Matemática I 2012 2 Seção (4)

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2012/2
Seção 4
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Matemática I
Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D.
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Seção 4
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Funções
Definição
Domínio e Imagem
Tipos de Funções: Injetora, Sobrejetora e Bijetora
 Função Composta
Função Inversa
Sistema Cartesiano
Par Ordenado
Plano Numérico
Gráficos em
Distância entre Pontos
Conteúdo da Seção
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Seção 4
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Encontramos em nosso cotidiano diversas relações que envolvem grandezas, sendo que o valor que se obtém para uma delas depende do valor de uma ou mais outras grandezas. 
Inicialmente, trabalharemos com situações que relacionem entre si apenas duas grandezas.
Funções
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O valor de imposto a ser pago (I) (ISS - Imposto Sobre Serviço) sobre um serviço depende do seu preço (p). 
O preço a ser pago por uma refeição em um self-service (P) depende da quantidade de comida colocada no prato (k).
A receita obtida na venda de uma mercadoria ou serviço (R) depende da quantidade vendida dessa mercadoria ou desse serviço (q).
Funções - Exemplos Práticos
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Nos exemplos anteriores:
Como o valor do Imposto (I) depende do preço do Serviço (p)?
Como o preço a ser pago (P) depende do peso (k)?
Como a receita (R) depende da quantidade (q)?
Funções - Exemplos Práticos
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Chamamos I, P e R de VARIÁVEIS DEPENDENTES, pois seus valores dependem dos valores de p, k e q.
As variáveis p, k e q recebem o nome de VARIÁVEIS INDEPENDENTES.
As situações descritas nos exemplos a), b) e c) estabelecem uma relação de DEPENDÊNCIA entre duas variáveis.
Funções
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Podemos substituir, nas frases, a palavra DEPENDE pela palavra FUNÇÃO e dizermos que:
o Imposto (I) é FUNÇÃO do seu preço de venda (p);
o preço da refeição (P) é FUNÇÃO de seu peso (k);
a receita (R) é FUNÇÃO da quantidade vendida (q).
Funções
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Utilizamos, simbolicamente, uma notação que indica a existência de uma relação de dependência entre duas variáveis.
 	Notação Interpretação
I = f ( p ) O imposto ( I ) é função do preço ( p ) 
P = f ( k )	O preço ( P ) é função do peso ( k ) 
R = f ( q ) 	A receita ( R ) é função da quantidade ( q )
Funções - Notação
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A LCL Comércio de Peças Ltda. emitiu uma nota fiscal referente à venda de 4 produtos vendidos. A nota foi emitida para seu cliente a José Bolinha Representações Ltda. Identifique, na nota fiscal a seguir, uma função receita e apresente-a utilizando a linguagem matemática.
Caso LCL Comércio de Peças Ltda.
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Caso LCL Comércio de Peças Ltda.
Rua Capitão Pedro Lins, 65
CEP 22793-078
Barra da Tijuca - Rio de Janeiro - Brasil
33.333.333 / 0001-54
01/08/2010
1444
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A LCL Discos Ltda. está fazendo uma liquidação com CDs de MPB. Os CDs desse gênero musical estão sendo vendidos ao preço de R$25,00 a unidade.
Qual a expressão matemática que permite calcular a receita diária que a LCL terá na venda de q unidades dos CDs de jazz?
Um cliente comprou 20 CDs de jazz, qual foi a receita que a loja teve com essa venda? 
Caso LCL Discos Ltda.
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A Receita depende da quantidade vendida:
Receita Variável Dependente
Quantidade Vendida Variável Independente
Matematicamente: 
O cliente comprou 20 CDs, logo a receita foi de:
Caso LCL Discos Ltda.
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Podemos agrupar as variáveis independentes e dependentes em dois conjuntos distintos.
Conjunto A
É o conjunto formado pelas DIFERENTES quantidades q que podem ser vendidas de uma determinada mercadoria ou serviço. 
O conjunto formado pelas possíveis quantidades q (variáveis independentes) recebe o nome de DOMÍNIO.
Funções: Domínio
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Conjunto A
Funções: Domínio
Domínio – Variáveis Independentes
Variáveis Independentes = Quantidades Vendidas
q1
q2
q3
q4
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Conjunto B 
O conjunto formado pelas diferentes RECEITAS obtidas da venda de possíveis QUANTIDADES de mercadorias ou serviços recebe o nome de CONJUNTO IMAGEM. 	 
A receita recebe o nome de variável dependente (R), pois seus valores dependem das quantidades vendidas (variáveis independentes). 
Funções: Imagem
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Conjunto B
Funções: Imagem
 R1
 R2
Imagem – Variáveis Dependentes
Variáveis Dependentes = Receitas Obtidas
 R3
 R4
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Funções: Definições
x é a variável independente da função.
Domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de x.
y é a variável dependente da função.
Imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de y, isto é, todos os valores gerados pela função por cada um dos valores do domínio.
Um conjunto de dois números reais em uma determinada ordem forma um par ordenado.
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Funções: Definições
função
Uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x , y), no qual dois pares distintos não têm o primeiro número do par em comum.
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Podemos ainda encarar as funções como “máquinas” processadoras.
Essa máquina é abastecida com uma “matéria-prima” (MP) chamada quantidade (Variável Independente).
A MP é “processada” por um processo chamado função. 
A matéria-prima, após ser processada, fornece como “produto final (PF)” uma grandeza chamada Receita (Variável Dependente). 
Funções
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A função é o processo que transforma as Variáveis Independentes, que formam o Domínio (MP), em Variáveis Dependentes, que formam a Imagem (PF).
Funções
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A LCL Lanchonetes Ltda. contratou recentemente uma nova cozinheira. A funcionária acertou um salário fixo mensal de R$500,00, mais R$2,00 por hora extra trabalhada. 
Como contador da firma, expresse o salário (S), em reais, da cozinheira em função do número de horas extras (h) trabalhadas em um mês.
Calcule os salários mensais da cozinheira para 10, 15 e 20 horas extras trabalhadas no mês. 
Caso LCL Lanchonetes Ltda.
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O salário da cozinheira é a soma do salário fixo com o salário variável.
O salário variável depende das horas extras trabalhadas no mês.
Matematicamente:
Caso LCL Lanchonetes Ltda.
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O salário para 10 horas extras:
Para 15 horas extras:
Para 20 horas extras:
Caso LCL Lanchonetes Ltda.
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Um conjunto de dois números reais em uma determinada ordem forma um par ordenado.
Exemplos:
O conjunto de todos os pares ordenados, formados por números reais, chama-se Plano Numérico, 2. Cada par ordenado (x, y) denomina-se Ponto do Plano Numérico.
Sistema Cartesiano - Par Ordenado e Plano Numérico
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Sistema Cartesiano - Plano Numérico
ordenada
abscissa
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Função - Gráficos em 2
Função Crescente
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Função - Gráficos em 2
Função Decrescente
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Função - Gráficos em 2
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Função - Gráficos em 2
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Sejam P1 e P2 dois pontos em 2 representados pelos pares ordenados (2 ; 6) e (4 ; 10), respectivamente, encontre a distância entre eles.
Sugestão: Lembre-se do Teorema de Pitágoras.
Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados de seus catetos é igual ao quadrado de sua hipotenusa. 
Sistema Cartesiano - Distância entre 2 Pontos
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Sistema Cartesiano - Distância entre 2 Pontos
P1
D=?
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Seção 4
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A distância entre P1(x1, y1) e P2(x2, y2) é dada por...
Essa distância é chamada de distância euclidiana. 
Sistema Cartesiano - Distância entre 2 Pontos
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Seção 4
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O Payssandu Sport Club está precisando contratar um volante. Seu “olheiro” recebeu uma fita de vídeo da atuação de um jogador do Juiz de Fora Sport Club em um jogo contra o Cruzeiro no estádio do Mineirão.
Nesse jogo,
o volante fez diversos lançamentos para o centroavante de seu time, deixando-o cara a cara com o goleiro adversário. O lance que mais chamou a atenção dos dirigentes do Payssandu foi um lançamento, em profundidade, que resultou em um belíssimo gol para o Juiz de Fora.
Caso Payssandu Sport Club
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Com auxílio de recursos computacionais, determinou-se que o volante estava a 20 metros da linha de fundo do gol de seu time e a 15 metros da linha lateral esquerda do campo. O passe foi recebido pelo centroavante de seu time, que estava localizado a 70 metros da linha de fundo do gol de seu time e a 40 metros da linha lateral esquerda do campo.
Você saberia calcular o comprimento do passe feito por esse jogador?
Caso Payssandu Sport Club
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Esquema de Lançamento
Caso Payssandu Sport Club
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Caso Payssandu Sport Club
 Cálculo da Distância
P1
P2
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Seção 4
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As coordenadas do ponto médio são dadas pela média aritmética das coordenadas dos pontos extremos do segmento de reta.
Sistema Cartesiano - Ponto Médio
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Sistema Cartesiano - Ponto Médio
P1
P2
Pmédio
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Funções Injetora, Sobrjetora e Bijetora
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Função Composta
Dadas duas funções f e g, a função composta é representada por: 
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Dadas as funções					, determine a função		, seu domínio e sua imagem.
 
Função Composta - Exemplos
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A LCL Telefonia Ltda. produz celulares para empresas de telecomunicações. A produção consiste de duas etapas distintas, que são executadas cada uma em um galpão diferente da empresa. A primeira etapa consiste da produção do circuito integrado, na qual existe uma perda de 5% das placas produzidas. A segunda etapa, na montagem dos aparelhos, que tem uma perda de 10% de produtos. 
	A LCL recebeu um pedido de 1.000 celulares de um de seus clientes, e o gerente de produção deseja determinar quantos circuitos impressos deve mandar produzir para atender a esse pedido.
Caso LCL Telefonia Ltda. 
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Considere x o número de componentes que entram em uma etapa de produção.
A função de produção de circuito é dada por...
A função de montagem dos celulares é dada por...
Caso LCL Telefonia Ltda. - Solução
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Caso LCL Telefonia Ltda. - Solução
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Caso LCL Telefonia Ltda. - Solução
g ( f (x) )
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Logo, a função é dada por...
O que desejamos é o valor de x para que o valor de seja igual a 1.000.
Caso LCL Telefonia Ltda. - Solução
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Se f é o conjunto de pares ordenados (x,y) e se existe uma função f -1 tal que 
então, f -1, que é o conjunto dos pares ordenados (y,x), é chamada a inversa da função f .
f e f -1 são chamadas funções inversas. 
Para que uma função f admita a inversa, ela precisa ser bijetora, isto é, injetora e sobrejetora.
Função Inversa
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Seção 4
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Determinar a função inversa da função
		 
Função Inversa - Exemplos
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Determinar a função inversa da função
Função Inversa - Exemplos
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Seção 4
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Uma variável y é diretamente proporcional à n-ésima potência da variável x (n > 0) se 
onde k é uma constante não nula.
k é denominada Constante de Proporcionalidade.
Dependência entre Variáveis
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Seção 4
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Uma variável y é inversamente proporcional à n-ésima potência da variável x (n > 0) se 
onde k é uma constante não nula.
Dependência entre Variáveis
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De uma forma geral diz-se que uma variável z é conjuntamente proporcional a uma variável x e inversamente proporcional a uma variável y se...
onde k é uma constante não nula.
Dependência entre Variáveis
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CD-ROM do Livro-texto 1 – Matemática I
Capítulo 4 – Funções
Exercícios
Exercício Conceitual
Exercícios Propostos
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