Modelos de oligopolio con sol.pdf

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1. (ANPEC 2005/12) 
Considere o seguinte jogo conhecido como a “batalha dos sexos”. Neste jogo, Ele prefere ir ao futebol e 
Ela ao shopping. Porém, entre a opção de desfrutarem do lazer sozinhos ou acompanhados, ambos 
preferem estar acompanhados. Com base na teoria dos jogos, julgue as afirmativas. 
 Ele 
 Shopping Futebol 
Ela Shopping 3, 2 0, 0 
 Futebol 0, 0 2, 3 
 
 Como para todos os jogos não cooperativos, a solução deste jogo envolve um equilíbrio de 
estratégias dominantes. 
 Este jogo caracteriza-se por possuir dois equilíbrios de Nash em estratégias puras. 
 Um equilíbrio de Nash pode envolver uma situação em que um dos jogadores, dadas as escolhas dos 
demais, encontraria incentivo para mudar sua escolha unilateralmente. 
2. ANPEC 2003/11 
Considere um jogo na forma normal resumido em termos da seguinte matriz de ganhos 
 
JOGADOR 2 
 L R 
JOGADOR 1 
U 3,1 ,0 
D 0,0 , 
 
 Para  = 1, U é uma estratégia dominante para o jogador 1 desde que  > 1. 
 Para  = 2 e  = 1, existe um único equilíbrio de Nash em estratégias puras. 
 Para  = 7 e  = 6, o equilíbrio de Nash em estratégias puras é Pareto eficiente. 
3. ANPEC 2002/11 
Julgue as afirmativas abaixo. 
 
 JOGADOR 2 
   
JOGADOR 1 
a 5,0 5,1 
b -70,0 20,1 
 Com relação ao jogo descrito pela matriz de possibilidades acima representada pode-se afirmar que 
as estratégias a e  são dominantes. 
 Com relação ao jogo descrito pela mesma matriz de possibilidades, pode-se afirmar que o par (b, ) 
constitui um equilíbrio de Nash. 
 Com relação à teoria dos jogos, pode-se dizer que o dilema dos prisioneiros ocorre quando o 
equilíbrio de Nash não é um equilíbrio em estratégias dominantes. 
4. ANPEC 2001/13 
Considere o jogo descrito pela seguinte matriz de possibilidades, em que (x, y) = (ganho do agente 1, 
ganho do agente 2) 
 
 Agente 2 
 a b 
Agente 1 A 3,2 5,5 
 B 0,0 7,4 
 As estratégias B e b são dominantes para os agentes 1 e 2, respectivamente. 
 O par de estratégias (B, b) é um equilíbrio de Nash. 
 O par de estratégias (A, b) é eficiente no sentido de Pareto. 
 Todo equilíbrio de Nash desse jogo é eficiente no sentido de Pareto. 
5. 
Estamos alocando um peixe entre 𝑁 compradores. Denotamos o conjunto de compradores com o índice 𝑖. 
Cada agente 𝑖 considera que o peixe tem um valor 𝑣𝑖, sendo que 𝑣1>𝑣2>⋯>𝑣𝑁. O mecanismo para 
decidir o comprador que fica com o peixe é um leilão de envelope selado. Dito mecanismo funciona da 
seguinte forma: todos os jogadores enviam ofertas de compra pelo peixe (que devem ser números não 
negativos); o leiloeiro recebe os lances e determina o ganhador: o comprador será o de menor índice 𝑖 
entre aqueles que tenham o lance mais alto. O preço que o comprador paga é o expressado no seu lance. 
Formule o leilão como um jogo de estratégia, e analise os equilíbrios de Nash. 
Sol: O jogo se representa mediante jogadores, ações e recompensas. Então 
 Jogadores: 𝑖=1,…,𝑁 
 Ações: lances no leilão, que vamos representar mediante 𝑏𝑖 
 Recompensas: serão as diferenças entre o valor que cada jogador dá ao peixe e o que ele tem que 
pagar no caso que ele ganhe: 𝑣𝑖−𝑏𝑖 
Vamos dividir a análise dos equilíbrios de Nash em várias etapas. 
Etapa 1: Pode existir um equilíbrio onde o jogador 1 não ganhe o peixe? 
Se sim, então 𝑗≠1 expressa o maior lance do leilão e 𝑏1<𝑏𝑗. Nesse caso, se 𝑏𝑗>𝑣2 então 𝑣𝑗−𝑏𝑗<0 e portanto 
o jogador pode melhorar se retirando do leilão. Se 𝑏𝑗<𝑣2, então o jogador 1 pode mudar o seu lance para 
𝑏1>𝑏2 e ganhar o peixe com recompensa positiva (o que é melhor que não ganhar o peixe, que da 
recompensa igual a zero). 
Resultado 1: Ou seja, em qualquer equilíbrio de Nash o jogador 1 ganha o peixe. 
Etapa 2: Pode existir um equilíbrio onde o jogador 1 ganha o peixe com um lance menor do que 𝑣2? 
De novo por redução ao absurdo, se o lance é menor do que 𝑣2, o jogador 2 pode se desviar e expressar 
um lance justo acima de 𝑏1, ganhando o peixe com recompensa não negativa. 
Resultado 2: Em qualquer equilíbrio de Nash, o lance ganhador é maior o igual a 𝑣2 
Etapa 3: Pode existir um equilíbrio onde o jogador 1 ganha o peixe com um lance maior do que 𝑣1? 
Não, porque então o jogador 1 melhoraria se se desviasse e não expressasse lance. 
Resultado 3: Em qualquer equilíbrio de Nash, o lance ganhador é menor do que 𝑣1 
Etapa 4: O jogador 1 ganha sozinho? 
Vamos supor o contrário, 𝑏1>𝑏𝑗 (sendo j qualquer outro jogador). Então o jogador 1 pode diminuir o lance 
e continuar ganhando o peixe. Portanto, não pode ser equilíbrio de Nash (o jogador 1 tem incentivos para 
se desviar). 
Resultado 3: Em qualquer equilíbrio de Nash, existe pelo menos um jogador 𝑗 tal que 𝑏1=𝑏𝑗 
Solução (caracterização dos equilíbrios de Nash): os equilíbrios de Nash cumprem: 𝑏1∈[𝑣1,𝑣2], 𝑏1≥𝑏𝑗 
∀𝑗, e 𝑏1=𝑏𝑗 para algum jogador 𝑗. 
6. Guerra de atrito 
Dois jogadores estão envolvidos em uma disputa sobre um objeto. O valor do objeto para o jogador 𝑖 é 
𝑣𝑖 > . O tempo é modelado como uma variável contínua que começa em 0 e continua indefinidamente. 
Cada jogador escolhe quando entregar o objeto para o outro jogador; se o primeiro jogador se rendesse no 
momento , o outro jogador obtém o objeto naquele momento. Se ambos os jogadores se rendessem 
simultaneamente, o objeto é dividido igualmente entre eles: o jogador 𝑖 recebe uma recompensa de 𝑣𝑖 . 
Além disso, o tempo é valioso: até a primeira capitulação, cada jogador perde uma unidade de 
recompensa por unidade de tempo. 
Formular esta situação como um jogo estratégico e mostrar que em todos Nash equilíbrios um dos 
jogadores se rende imediatamente. 
Sol: jogadores n; ações – ∈ ( ); recomepensas 
 
{
 
 
 
 
𝑣 
 
 
𝑣 > 
 
 Se então qualquer um ganharia mais se esperando um pouco 
 Se , o jogador i pode ganhar mais parando no 
 Se , o jogador 1 pode ganhar mais esperando a um tempo algo maior do 
que , excepto se 𝑣 . 
No equilíbrio, portanto, e 𝑣 
7. 
Duas empresas competem no mercado de eletricidade em uma hora do dia. O custo de produção marginal 
é de 55 € / MWh, o mesmo para ambos, e cada uma tem uma capacidade de produção máxima de 6.500 
MW. As duas empresas estimam que o preço que faz com que a demanda seja zero é de 300 € / MWh. 
Ademais, estimam que a demanda aumenta 50 MW para cada 1 €/MWh que o preço diminui. 
Analise a indústria definindo um jogo de estratégia. Defina um modelo de comportamento dos agentes e 
um conceito de equilíbrio. Usando o modelo definido, calcule o preço de mercado, a produção de cada 
empresa (E1 e E2) e os benefícios de cada uma no equilíbrio. 
Suponiendo que los agentes se comportan como en un equilibrio de Cournot: 
p=300-(1/50)·(q1+q2) (curva demanda) 
p=55+(1/50)·q1 (optimalidad e1) 
p=55+(1/50)·q2 (optimalidad e2) 
3·p=300+55+55 => p=136.7 €/MWh; q1=q2=4083.3 MW 
B1=B2=333.5 k€ 
8. ANPEC 2009/13 
Considere uma indústria com 35 firmas, todas com a mesma função de custo dada por c(qi) = 2qi, em que 
qi é a produção da firma i (i= 1,...,35). Defina ∑ 𝑖. A demanda de mercado é dada por p(Q) 
=362−2Q. Supondo que as firmas se comportam como no modelo de Cournot e dado que elas são 
idênticas, cada firma produzirá a mesma quantidade q∗. Determine q∗. 
9. 
Considere uma indústria de cerveja com 3 firmas. A primeira delas tem capacidade de 8000 hectolitros 
(hc), associada a plantas com custos marginais de 35R$/hc. A segunda empresa tem capacidade de 15000 
hc com custos marginais de 42R$/hc. A terceira tem uma capacidade de 4000 hc com custos marginais de 
41R$/hc. Num certo período do ano, a demanda para um preçode 40R$/hc seria de 12000 hc, mas por 
cada 1R$/hc que aumente o preço a demanda se reduzirá em 500 Mhc. Se cada uma das três firmas 
imagina que os rivais reagem fixando o nível de produção, qual é a produção de cada firma em equilíbrio? 
Mercado de Cournot (“rivais reagem fixando o nível de produção”). Três jogadores, que decidem 
quantidades, e recebem como recompensa o lucro (definido por custo, preço e produção). Precisamos 
definir a curva da demanda: 
 
 
 
 ; 
 
 
 
p = 64-(1/500)(q1 + q2 + q3) 
 ; 
Paso 1 – Definir as reações do rival: Cournot 
Paso 2 – Definir os lucros em função das reações do rival: 
 ( 
 
 
( )) 
Paso 3 – Calcular as condições de otimalidade para as três firmas: 
Para a firma 1: ( 
 
 
( )) 
 
 
 
Para a firma 2: ( 
 
 
( )) 
 
 
 
Para a firma 3: ( 
 
 
( )) 
 
 
 
Paso final – Resolver: voltamos a colocar as equações em função dos preços: 
Firma 1: 
 
 
 
Firma 2: 
 
 
 
Firma 3: 
 
 
 
Demanda: 
 
 
( ) 
Somando… 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 𝑖 ( ) ( 𝑖 ) 
 𝑖 ( ) ( 𝑖 ) 
 𝑖 ( ) ( 𝑖 ) 
10. 
Na indústria anterior, os agentes descobrem que a demanda é muito menos elástica do que esperavam. 
Tanto assim que passam a supor que a demanda é totalmente inelástica: a demanda é 12000 hc 
independentemente de qual seja o preço. Ao mesmo tempo, depois de investir em estudos de mercado, 
estima-se que a primeira empresa aumente 400 hc a sua produção por cada 1R$/hc que aumenta o preço 
do mercado, que a segunda empresa aumenta 600 hc a sua produção por cada 1R$/hc que aumenta o 
preço, e que a terceira empresa aumenta 700 hc a sua produção por cada 1R$/hc que aumenta o preço. 
Qual é o preço de equilíbrio? 
As regras do jogo mudam, porque a definição do preço na função de lucro (dada pela equação da 
demanda) muda. Sabemos, neste caso, que . Ademais, como antes, 
 . 
Paso 1 – Definir as reações do rival: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
Paso 2 – Definir os lucros em função das reações do rival: 
 
Paso 3 – Calcular as condições de otimalidade para as três firmas: 
 
 
 
Para a firma 1: 
 
 
 
Para a firma 2: 
 
 
 
Para a firma 3: 
 
 
 
Paso final – Resolver: 
Levando em consideração a demanda: e somando: