APOSTILA DE ESTATÍSTICA APLICADA

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CURSO TÉCNICO DE 
SEGURANÇA DO TRABALHO 
 
ESTATÍSTICA BÁSICA 
Prof.ª Maria Leonor da Silva Teixeira 
Profª. Maria Leonor da Silva Teixeira 
 
Módulo: IX 
 
 
ESTATÍSTICA 
BÁSICA 
 
 
 Disciplina do Eixo Curricular Transversal ao Currículo do 
 Curso Técnico de Segurança do Trabalho do CEFET/RJ 
 
 
 
 
Edição: CEFET/RJ – COORDENAÇÃO DE SEGURANÇA DO TRABALHO 
 
Local: Av. Maracanã, 229 – Maracanã 
 
Editora: CEFET/RJ 
 
Ano de Publicação: 2012 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Av. Maracanã, 229 – Maracanã - CEP 20.271-110 – Rio de Janeiro- R –Tel. 2256-3164p. 3 
 
Presidente da República 
Dilma Rousseff 
 
Ministro da Educação 
Aloizio Mercadante 
 
Secretário de Educação Profissional 
e Tecnológica 
 Eliezer Moreira Pacheco 
 
Professora – organizadora 
Maria Leonor da Silva Teixeira 
 
Diretor Geral do CEFET/RJ 
Carlos Henrique Figueiredo Alves 
 
Diretora de Ensino 
Gisele Maria Ribeiro Vieira 
 
Coordenadora da Educação à 
Distância no CEFET/RJ 
Maria Esther Provenzano 
 
Coordenador Geral do e-tec no 
CEFET/RJ 
Mauro Godinho Gonçalves 
 
Coordenador Geral Adjunto do e-tec 
no CEFET/RJ 
Alexandre Martinez dos Santos 
 
Coordenadora do Curso de 
Segurança do Trabalho do e-tec no 
CEFET/RJ 
Myrna da Cunha 
 
Coordenador de Tutoria do e-tec no 
CEFET/RJ 
Unapetinga Hélio Bomfim Vieira 
 
Professora Pesquisadora do e-tec no 
CEFET/RJ 
Lucia Helena Dias Mendes 
 
Design Instrucional 
Luciana Ponce Leon Montenegro de 
Morais Castro 
 
 
 
 
 Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Central do CEFET/RJ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C977 Curso técnico de segurança do trabalho, módulo IX: Estatística Básica: 
 Disciplina do Eixo Curricular Transversal ao Currículo do Curso 
 Técnico de Segurança do Trabalho do CEFET-RJ / Maria Leonor da 
 Silva Teixeira (org.). Rio de Janeiro: CEFET/RJ – 2012. 
 111p. : il. color. 
 
 
 1. Segurança do trabalho. 2. Estatística I. Centro Federal de 
 Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca. II. Teixeira, Maria 
 Leonor da Silva(org.). III. Título. 
 
 
 CDD 363.11 
 
 
 
 
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Apresentação do e-Tec Brasil 
 
Prezado estudante, 
 Bem vindo ao e-Tec Brasil! 
 Você faz parte de uma rede nacional pública de ensino, a Escola Técnica Aberta do 
Brasil, instituída pelo Decreto n° 6.301, de 12de dezembro de 2007, com o objetivo de 
democratizar o acesso ao ensino técnico público, na modalidade à distância. O programa é 
resultado de uma parceria entre o Ministério da Educação, por meio das Secretarias de 
Educação Profissional e Tecnológica (SETEC), as universidades e escolas técnicas 
estaduais e federais. 
 A educação à distância no nosso país, de dimensões continentais e grande 
diversidade regional e cultural, longe de distanciar, aproxima as pessoas ao garantir acesso 
à educação de qualidade, e promover o fortalecimento da formação de jovens moradores de 
regiões distantes, geograficamente ou economicamente, dos grandes centros. 
 O e-Tec Brasil leva os cursos técnicos a locais distantes das instituições de ensino e 
para a periferia das grandes cidades, incentivando os jovens a concluir o ensino médio. Os 
cursos são ofertados pelas instituições públicas de ensino e o atendimento ao estudante é 
realizado em escolas-polo integrantes das redes públicas municipais e estaduais. 
 O Ministério da Educação, as instituições públicas de ensino técnico, seus servidores 
técnicos e professores acreditam que uma educação profissional qualificada – integradora 
do ensino médio e educação técnica, - é capaz de promover o cidadão com capacidades 
para produzir, mas também com autonomia diante das diferentes dimensões da realidade 
cultural, social, familiar, esportiva, política e ética. 
 Nós acreditamos em você! 
 Desejamos sucesso na sua formação profissional! 
 
Ministério da Educação 
Janeiro de 2010 
 
Nosso contato 
etecbrasil@mes.gov.br 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
Palavra do Professor – organizador...................................................................................06 
Apresentação da Disciplina.................................................................................................07 
Projeto Institucional.............................................................................................................08 
Capítulo 1 Introdução. ....................................................................................................11 
Capítulo 2 Estatística Aplicada........................................................................................15 
Capítulo 3 Representações Gráficas...............................................................................21 
Capítulo 4 Distribuição de Frequências...........................................................................29 
Capítulo 5 Medidas de Tendência Central......................................................................41 
Capítulo 6 Medidas de Dispersão...................................................................................59 
Capítulo 7 Técnicas de Contagem e Teoria dos Conjuntos............................................69 
Capítulo 8 Noções de Probabilidade...............................................................................81 
Capítulo 9 Elaboração de gráficos Estatísticos Aplicados à Segurança do 
Trabalho.........................................................................................................99 
Bibliografia.........................................................................................................................109 
Currículo do Professor – organizador................................................................................110 
Palavra do Coordenador....................................................................................................111 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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COM A PALAVRA, A PROFESSORA... 
 
 
 Segurança é quesito imprescindível quando o propósito é manter um 
ambiente de trabalho saudável e produtivo. 
 Tal objetivo está diretamente ligado à valorização do ser humano, fator 
primordial para o sucesso de qualquer empresa. Sendo assim, o conhecimento 
técnico sobre segurança do trabalho é decisivo para se atingir e manter a qualidade 
de vida dos empregados. 
 Considerando que segurança do trabalho pode ser entendida como o 
conjunto de medidas que são adotadas visando minimizar os acidentes de trabalho, 
doenças ocupacionais, bem como proteger a integridade e a capacidade de 
trabalho do trabalhador, ter profissionais treinados e capacitados para lidar com a 
implantação de normas de prevenção, coletar e manusear dados que realimentarão 
e darão idéia da eficácia dessa implantação é missão dos profissionais de 
segurança do trabalho. 
 O mercado de trabalho nacional carece de mão de obra especializada, a 
nível técnico, neste setor. 
 O curso no qual você está inserido procura diminuiresta deficiência de mão 
de obra, possibilitando àqueles que não podem fazer um curso presencial a 
oportunidade de fazer um curso à distância. 
 A disciplina “Estatística Básica” foi esquematizada, visando facilitar o seu 
bom entendimento do conteúdo, bem como torná-lo agradável para estudo. Ela vai 
lhe proporcionar os ensinamentos básicos necessários para o levantamento de 
dados estatísticos e cálculo de medidas necessárias à análise e tomada de 
decisões necessárias ao acompanhamento dos procedimentos relativos ao seu 
trabalho. 
 A fim de minimizar seu tempo disponível para estudo, procuramos colocar 
exercícios resolvidos para entendimento da teoria, além de exercícios propostos 
para fixá-la. 
 Desejando-lhe um bom curso e esperando poder atender às suas 
expectativas, a respeito deste assunto, deixo o seguinte pensamento: 
 
 “O aprender é um processo natural que surge da curiosidade das 
pessoas” 
 
Seja curioso. 
 
 
Maria Leonor da Silva Teixeira 
Estatística/ Professora 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apresentação da Disciplina 
MÓDULO – ESTATÍSTICAS BÁSICA 
 
Carga Horária: 40 horas 
 
 
 
 
 Espera-se que o(a) cursista desenvolva as seguintes competências: 
 
 
 
► Introdução ao Curso 
 
► Apresentar os principais conceitos estatísticos e matemáticos necessários ao 
desenvolvimento do curso. 
 
► Conhecer as principais representações gráficas usados na estatística. 
 
► Aprender a representar grandes massas de dados através de distribuições de 
freqüências, bem como a sua representação gráfica. 
 
► Aprender a calcular as principais medidas de tendência central e separatrizes 
dos valores considerados para estudo. 
 
► Aprender a calcular as principais medidas de dispersão dos valores 
considerados para estudo. 
 
► Recordar as técnicas de contagem bem como os conceitos fundamentais e as 
principais propriedades de conjuntos. 
 
► Aprender as noções fundamentais do cálculo das probabilidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Projeto instrucional 
 
Disciplina: Estatísticas Básica (Carga horária: 40 horas) 
Ementa: Introdução a Estatística Aplicada – Conceitos Matemáticos – Representações 
Gráficas – Distribuição de Frequência – Medidas de Tendência Central e de Dispersão – 
Distribuições Discretas e Contínuas – Noções de Probabilidade – Aplicações de CEP e 
Qualidade – Elaboração de Gráficos Estatísticos aplicados à Segurança do Trabalho. 
 
 
AULA 
 
OBJETIVOS DE 
APRENDIZAGEM 
 
MATERIAIS 
CARGA 
HORÁRIA 
(horas) 
 
1- Introdução 
 
Introdução ao Curso 
 
 Impresso 
 
1 
 
2- Estatística 
Aplicada 
 
●Aprender os conceitos fundamentais da 
estatística aplicada, e recordar os 
conceitos matemáticos necessários ao 
entendimento do conteúdo do curso, tais 
como: 
● Diferença entre variáveis discretas e 
continuas; 
●Arredondamento de dados; 
● Notação científica de números; 
● Algarismos significativos, e 
● Funções e desigualdades. 
 
 
 
 
 
 
 
 Impresso 
 
 
 
 
 
 
5 
 
3-Representações 
Gráficas 
 
●Neste capítulo o aluno será apresentado 
às principais representações gráficas de 
dados estatísticos e de que maneira eles 
ajudam na apresentação e visualização 
dos dados. 
 
 
 
 
 
 Impresso 
 
 
 
5 
 
4- Distribuição de 
Frequência 
 
 
●Ao final deste capítulo o aluno deverá 
saber construir uma distribuição de 
freqüências, simples e por classes, bem 
como representá-la graficamente por um 
histograma e polígono de freqüências. 
 
 
 
 
 
 
 
 Impresso 
 
 
 
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5- Medidas de 
Tendência Central 
 
●Ao final deste capítulo o aluno deverá 
saber calcular: 
● A média aritmética, a média ponderada, 
a moda e a mediana de um conjunto de 
valores; 
●As medidas separatrizes: Quartis, Decis e 
Percentis; 
●Relação de assimetria entre média, moda 
e mediana; e 
● A Média geométrica e harmônica 
 
 
 
 
 
 
Impresso 
 
 
 
 
 
5 
 
6- Medidas de 
Dispersão 
 
 Ao final deste capítulo o aluno deverá 
saber calcular: 
● A Amplitude Total; 
● O Desvio médio; 
● A Variância; 
● O Desvio padrão, e 
● O Coeficiente de variação. 
 
 
 
 
 
 Impresso 
 
 
 
 
5 
 
7- Técnicas de 
Contagem e Teoria 
dos Conjuntos 
 
 Ao final deste capítulo o aluno deverá 
estar em condições de aplicar o 
conhecimento abaixo para entender e 
resolver os exercícios do capítulo 8: 
●Arranjos simples; 
●Permutações simples; 
●Combinações simples; 
●Conceitos fundamentais de conjuntos; e 
●As principais propriedades de conjuntos. 
 
 
 
 
 
 
 Impresso 
 
 
 
 
 
5 
 
8- Probabilidade 
 
 Neste capítulo o aluno aprenderá os 
conceitos fundamentais da probabilidade, 
além das suas principais propriedades e 
teoremas. 
 
 
 
 
 Impresso 
 
 
 
5 
 
9- Elaboração de 
Gráficos 
Estatísticos 
Aplicados 
 
● A partir de exemplos reais, construir 
gráficos estatísticos para apresentar os 
dados obtidos e classificados em uma 
distribuição de frequências. 
 
 
 
 Impresso 
 
 
 4 
 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
A Estatística é tão antiga como o primeiro homem, pois a necessidade de enumerar as 
coisas surgiu com ele. A vontade de saber é uma das tendências congênitas ao ser humano, 
o qual, vendo constantemente ao redor de si acontecimentos cuja grandeza e cuja causa 
desconhece, experimenta um sentimento de admiração e, a seguir, de curiosidade. 
Nascida como simples compilação de números, a Estatística tem evoluído até nossos 
dias como um poderoso instrumento destinado a pesquisar as ligações de causalidade 
existentes entre os fenômenos. Ela é um valioso instrumento que pode ser usada tanto pelo 
educador, como pelo político, o economista, o médico, o industrial, o agricultor, o cientista, o 
engenheiro, o matemático, etc..., em seus respectivos campos de atuação, ou seja, a 
Estatística encontra aplicações em quase todos os campos da atividade humana. 
 
 
1.1- Por que estudar Estatística? 
 A Estatística é a ciência da obtenção de informações a partir de dados numéricos. A 
utilização de dados vem se tornando cada vez mais freqüente em um numero cada vez 
maior de profissões. 
 Vejamos alguns exemplos e perguntas que poderiam ser feitas: 
 
Exemplo 1. O Departamento de Estatística do Trabalho do País X relata uma taxa de 6,5% 
de desempregos no mês Y. 
Pergunta 1: O governo consultou todos os desempregados? 
Pergunta 2: Como obteve tal informação? 
Pergunta 3: Qual a precisão de 6,5% ? 
Exemplo 2. Um noticiário de TV dá notícias sobre o hábito de fumar em locais públicos. 
Alega-se que grande parte da evidência que relaciona o fumo ao câncer de pulmão e outros 
problemas de saúde é de natureza “estatística”Pergunta : Que tipo de evidência é a evidência estatística? 
Exemplo 3. Um repórter cita um estudo que pretende mostrar que o exercício físico regular 
contribui para prolongar a vida. Mas um médico consultado pelo repórter lança dúvidas 
sobre a real utilidade do estudo. 
Pergunta: Como podemos dizer se os dados em estudo realmente corroboram as 
conclusões anunciadas? 
 
 Não podemos escapar dos dados, assim como não podemos evitar o uso de palavras. 
Tal como as palavras, os dados não se interpretam a si mesmos, mas devem ser lidos com 
entendimento. Da mesma maneira que um escritor pode dispor as palavras em argumentos 
convincentes ou frases sem sentido, os dados também podem ser convincentes, enganosos 
ou simplesmente inócuos. A capacidade de acompanhar e compreender argumentos 
baseados em dados é importante para a tomada de decisões ou a compreensão dos fatos. 
 A estatística assim como a vida, é uma arte – a arte de tomar decisões acertadas em 
face da incerteza. Muitos pensam na estatística como uma simples coleção de números. Na 
 
 
 
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verdade foi este o seu significado original: State-istics era a coleção de informações 
populacionais e econômicas vitais para o Estado. Hoje, entretanto, a estatística é muito mais 
do que isso. Transformou-se em um método científico de análise com larga aplicação em 
negócios e em todas as ciências sociais e naturais. 
 
 x.x.x.x.x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AApprreesseennttaarr ooss pprriinncciippaaiiss ccoonncceeiittooss eessttaattííssttiiccooss ee 
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 OObbjjeettiivvoo:: AAoo ffiinnaall ddeessttaa aauullaa vvooccêê ddeevveerráá sseerr ccaappaazz ddee:: 
 AApprreennddeerr ooss ccoonncceeiittooss ffuunnddaammeennttaaiiss ddaa eessttaattííssttiiccaa aapplliiccaaddaa,, ee 
rreeccoorrddaarr ooss ccoonncceeiittooss mmaatteemmááttiiccooss nneecceessssáárriiooss aaoo eenntteennddiimmeennttoo ddoo 
ccoonntteeúúddoo ddoo ccuurrssoo,, ttaaiiss ccoommoo:: 
 DDiiffeerreennççaa eennttrree vvaarriiáávveeiiss ddiissccrreettaass ee ccoonnttiinnuuaass;; 
 AArrrreeddoonnddaammeennttoo ddee ddaaddooss;; 
 NNoottaaççããoo cciieennttííffiiccaa ddee nnúúmmeerrooss;; 
 AAllggaarriissmmooss ssiiggnniiffiiccaattiivvooss,, 
 FFuunnççõõeess ee ddeessiigguuaallddaaddeess 
 
 
 
 
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2. ESTATISTICA APLICADA 
 A Estatística Aplicada refere-se às técnicas pelas quais os dados de natureza 
quantitativa são coletados, organizados, apresentados e analisados. O ponto central da 
análise estatística moderna é a tomada de decisões sob condições de incerteza. 
 A seguir, iremos apresentar alguns conceitos fundamentais necessários para o bom 
entendimento das medidas estatísticas que serão estudadas neste curso. 
 
2.1. Estatística – está interessada nos métodos científicos para a coleta, organização, 
resumo, apresentação e análise de dados, bem como na obtenção de conclusões válidas e 
na tomada de decisões razoáveis baseadas em tais análises. 
2.2. População ou Universo – conjunto de elementos a serem estudados e que 
apresentam determinada característica, representada pela letra N. 
Uma população pode ser finita ou infinita. Por exemplo: 
- finita - numero de crianças em uma determinada escola X. 
- infinita - numero de resultados (cara ou coroa) em sucessivos lances de uma 
moeda. . 
 
2.3. Amostra – parte significativa de elementos da população, selecionados 
aleatoriamente, e representada pela letra “n”. 
 Se uma amostra é representativa de uma população, conclusões importantes, sobre a 
população, podem ser inferidas (deduzidas, concluídas, tiradas como conseqüência) da sua 
análise. 
 Inferência: Ato ou efeito de inferir. 
Exemplo: 
 População: Numero de peças produzidas, num determinado dia numa fabrica X. 
 Por exemplo: N = 1000 peças. 
 Amostra: retirar, aleatoriamente, n peças para verificar se são defeituosas. 
 Por exemplo: n = 100. 
 OBS: A partir da amostra, podemos inferir a quantidade de peças defeituosas da 
população. 
2.4. Estatística indutiva – ou inferência estatística, é a parte da estatística que trata das 
condições sob as quais as inferências são válidas, e como essa inferência não pode ser 
absolutamente certa, a linguagem da probabilidade é usada no estabelecimento das 
conclusões. 
2.5. Estatística descritiva ou dedutiva – é a parte da estatística que procura 
somente descrever e analisar um certo grupo, sem tirar qualquer conclusão ou inferências 
sobre um grupo maior. 
2.6. Dados brutos – são aqueles dados, colhidos para estudo, e que ainda não foram 
numericamente classificados. 
 
 
 
 
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2.7 ROL – Listagem ordenada de um conjunto de dados segundo uma ordem de grandeza 
crescente ou decrescente. 
 
2.8. Amplitude total do rol (ATR) – é a diferença entre o maior e o menor valor do 
Rol, representado por ATR. 
Exemplo : N = { 5, 8, 3, 9, 11, 4, 7, 23, 11, 3, 4, 12 } 
 Rol: { 3, 3, 4, 4, 5,7, 8, 9, 11, 11, 12, 23} ordem crescente de grandeza, ou 
 Rol: {23, 12, 11, 11, 9, 8, 7, 5, 4, 4, 3, 3,} ordem decrescente de grandeza. 
, ATR= 23 – 3 = 20 
 
 
2.9. CONCEITOS MATEMÁTICOS 
 
2.9.1. VARIÁVEIS DISCRETAS E CONTÍNUAS. 
 Variável discreta - quando pode assumir pontos determinados num intervalo [a –b] 
 Exemplo 1: {O numero N de faces de um dado} = { 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
 Exemplo 2: {O numero N de filhos de uma família} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...........} 
 Variável contínua – quando pode assumir qualquer valor num intervalo [a – b] 
 Exemplo 1: { A altura H de um individuo que pode estar entre 1,65m e 1,70mm, ou seja, 
a altura pode ser; 1,65m,1,653m,1,69222m, 1,69222456m ,.........} 
 Exemplo 2: {O peso de um grupo de 10 crianças entre 5 e 10 anos} 
 
OBS: Na prática podemos verificar que contagens dão origem a variáveis discretas e 
medições a variáveis contínuas. 
 
2.9.2 - Arredondamento de dados 
 O arredondamento de um número à unidade mais próxima (décimo, ou outra decimal) 
reduz seus dígitos significativos ao numero de dígitos significativos garantido pelo cálculo 
realizado. Quando o resto a ser arredondado for “ exatamente 5´, a convenção é fazer o 
arredondamento para o par mais próximo . Esta prática faz com que, ao longo das 
operações, as diminuições e acréscimos devidos aos arredondamento tendam a se 
compensar. 
 
Exemplo: Arredondar os números abaixo:72,8 (para o inteiro mais próximo) = 73 , pois 8 é maior do que 5 
 72,8146 (para o centésimo mais próximo) = 72,81 , pois 46 é menor que 50 
 18,758 (para o décimo mais próximo) = 18,8 , pois 58 é maior que 50 
 15,449 (para o centésimo mais próximo) = 15,45 , pois 9 é maior que 5 
 89,1750 (para o centésimo mais próximo) = 89,18 , pois 50 igual 50 
 
 
 
 
 
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2.9.3 - Notação científica 
 Ao escrever números, especialmente que contenham muitos zeros, antes ou depois 
da vírgula, é conveniente empregar a notação científica que utiliza as potências de 10. 
 
Exemplo 1: 101 = 10 
 10 2 = 10x10 = 100 
 104 = 10x10x10x10 = 10.000 
Obs: o expoente representa o numero de zeros depois do 1 
 
 Exemplo 2: 10 0 = 1 10-2 = 0,01 
 10 -1 = 0,1 10-4 = 0,0001 
 
Obs1: O expoente representa o numero de casas depois da vírgula. 
 
Obs2: Quando multiplicamos um numero por 10x (x inteiro) , é a mesma coisa que deslocar 
a virgula x casas para a direita. Se por outro lado multiplicarmos por 10-x 
(x inteiro) é a mesma coisa que deslocar a vírgula x casas para a esquerda. 
 
Exemplo 3: 864.000.000 = 8,64 x 108 ( 8 é o numero de casas depois da virgula) 
 0,00003416 = 3,416 X 10-5 ( numero de casas deslocadas à direita) 
 
2.9.4- Algarismos significativos 
 Os algarismos corretos, separados dos zeros necessários para a localização da 
vírgula, chamam-se algarismos significativos ou dígitos significativos do numero. 
Exemplo 1: 1,66 tem 3 algarismos significativos 
Exemplo 2: 4,5300 tem 5 algarismos significativos 
Exemplo 3: 0,0018 = 1,8 X 10-3 tem 2 algarismos significativos 
Exemplo 4: 0,001800 = 1,800 x 10-3 tem 4 algarismos significativos 
 
2.9.5. Funções 
 Se cada valor que a variável X pode assumir corresponder a um ou mais 
valores da variável Y, diz-se que Y é uma função de X e escreve-se Y = F(X) 
 (ler “ Y igual à função F de X” ), para indicar essa dependência funcional. 
Outras letras, tais como G, ø, etc. podem ser usadas. 
 Se Y = F(X), temos que X é chamada de variável independente e Y de variável 
dependente. 
 
Exemplo 1: Seja Y = 2X – 3 ou seja, Y = F(X) 
 Se X = 5, implica que Y = 2(5) – 3 = 7 ou seja, F(5) = 7 
 Se X = -1 implica que Y = 2(-1) – 3 = - 5 ou seja, F(-1) = - 5 
 
 
 
 
 
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2.9.6- Desigualdades 
Os símbolos: > “ maior do que” ≥ “ maior do que ou igual ” 
 < “menor do que” ≤ “ menor do que ou igual” , 
 
são conhecidos como símbolos de desigualdades. 
Exemplos: 3 < 5 leia-se “ 3 é menor do que 5” 
 5 > 3 leia-se “ 5 é maior do que 3” 
 X < 8 leia-se “ X é menor do que 8” 
 X ≥10 leia-se “ X é maior do que ou igual a 10” 
 4 < Y ≤ 6 leia-e “ Y maior do que 4 e menor ou igual a 6. 
 
 x.x.x.x.x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RR ee pp rr ee ss ee nn tt aa çç õõ ee ss GG rr áá ff ii cc aa ss 
 
 
 
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MMeettaa:: 
 
Conhecer as principais representações gráficas usados 
na estatística. 
 
 
 OObbjjeettiivvoo:: AAoo ffiinnaall ddeessttaa aauullaa vvooccêê ddeevveerráá sseerr ccaappaazz ddee:: 
 
 Neste capítulo o aluno será apresentado às principais 
representações gráficas de dados estatísticos e de que maneira 
eles ajudam na apresentação e visualização dos dados. 
 
 
 
 
 
 
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3. REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS 
 
 Uma maneira de apresentar ou mesmo representar os dados estatísticos de modo 
que se tornem mais fáceis de serem vistos e entendidos, é através de sua representação 
gráfica. 
 
 Um gráfico é uma representação de dados obtidos e representado por formas 
geométricas, de modo a fornecer ao leitor uma interpretação mais rápida e objetiva. 
 
 A informática possibilita o uso de recurso nunca antes disponíveis, que agilizam o 
trabalho, bem como propicia a criação de gráficos elaborados. 
 
 Existe uma grande quantidade de formas de representação gráfica e a crescente 
utilização de softwares específicos favorece a execução dos mesmos. A escolha da forma a 
ser utilizada está diretamente relacionada com o tipo de dados e o objetivo do gráfico. 
 
 Os gráficos devem ser auto-explicativos e de fácil compreensão, e de preferência sem 
comentários inseridos. Um gráfico deve ter como requisito básico a simplicidade e a clareza. 
 
 Não há uma regra rígida para o uso de um ou outro gráfico, mas caberá a quem está 
fazendo o trabalho analisar para que público alvo será emitido o relatório da pesquisa – nem 
sempre conhecedores do assunto - para estabelecer a melhor maneira de representar os 
dados. 
 
 Na construção de um gráfico algumas regras devem ser observadas, como por 
exemplo: 
 
 Tamanho adequado com a publicação; 
 Escala adequada a fim de não desfigurar os dados; 
 Titulo acima do gráfico; 
 Escalas proporcionais aos valores, posicionadas da esquerda para a direita e de 
baixo para cima; 
 Legendas. 
 
 
EXEMPLO DOS GRÁFICOS MAIS USADOS: 
 
3.1. Gráfico de Linhas 
 
 O gráfico de linhas é composto por dois eixos, um vertical e outro horizontal, e por 
uma linha que mostra a evolução de um fenômeno ou processo. Geralmente é usado em 
séries temporais, ou seja, em séries cujos dados estão em correspondência com o tempo. 
 
 
 
Exemplo: A tabela abaixo mostra a produção, em toneladas, de milho e trigo produzidos na 
fazenda AMOR, durante os anos de 1975 a 1980. 
 
 
 
 
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ANOS 
Produção de trigo 
 (toneladas) 
Produção de milho 
 (toneladas) 
1975 195 100 
1976 210 110 
1977 225 105 
1978 250 95 
1979 230 110 
1980 235 100 
 
3.1.1. Vamos representar a tabela de dados acima por um gráfico de linhas 
 
Produção de milho e trigo da fazenda AMOR
0
50
100
150
200
250
300
1975 1976 1977 1978 1979 1980
 
TO
NE
LA
DA
S
TRIGO
MILHO
 
 
 
3.1.2. Gráfico de COLUNAS 
 O gráfico de colunas é composto por duas linhas, uma vertical e outra horizontal, 
chamados de eixos cartesianos. No eixo horizontal são construídas as colunas que 
representam a variação de um fenômeno ou de um processo de acordo com sua 
intensidade. Essa intensidade é indicada pelo eixo vertical. As colunas devem sempre 
possuir a mesma largura e a distânciaentre elas deve ser constante. 
 Este tipo de gráfico representa praticamente qualquer série estatística. 
 
0
50
100
150
200
250
T
O
N
E
L
A
D
A
1975 1976 1977 1978 1979 1980
PRODUÇÃO DE MILHO E TRIGO DA FAZENDA AMOR
MILHO
TRIGO
 
 
 
 
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3.1.3. Gráfico de BARRAS 
 
 É representado por retângulos dispostos horizontalmente, prevalecendo os mesmos 
critérios adotados na elaboração do gráfico de colunas. 
 
PRODUÇÃO DE MILHO E TRIGO DA FAZENDA AMOR
0 100 200 300
1975
1977
1979
TONELADAS
TRIGO
MILHO
 
 
 
3.2. Gráfico de SETORES 
 
 Os gráficos de setores são representados por círculos divididos proporcionalmente de 
acordo com os dados do fenômeno ou do processo a ser representado. Os valores são 
expressos em números ou em percentuais (%). 
 Apresentaremos alguns exemplos de como podemos criar um gráfico de setores. 
 
 
Exemplo 1: 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2: 
 
 
Exemplo 3: 
 
 
Exemplo.4 : As áreas de alguns continentes do mundo, em milhões de quilômetros 
quadrados, estão apresentadas abaixo. 
 
Continente 
Área 
(milhões de km2 
Ásia 26,9 
Europa 4,9 
América do Norte 24,3 
América do Sul 17,9 
TOTAL 133,3 
 Fonte: Nações Unidas 
 
Pede-se; Construir um gráfico adequado para os dados 
Solução: o exemplo acima pode ser representado por: 
 
 
 
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a) Gráfico de BARRAS 
 
 
 
b) Gráfico de SETORES 
 
 
OU, 
 
, 
 
 
 
 
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 DD ii ss tt rr ii bb uu ii çç ãã oo dd ee FF rr ee qq üü êê nn cc ii aa ss 
 
 
 
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MMeettaa:: 
 
Aprender a representar grandes massas de dados 
através de distribuições de freqüências, bem como a 
sua representação gráfica. 
 
 
 OObbjjeettiivvoo:: AAoo ffiinnaall ddeessttaa aauullaa vvooccêê ddeevveerráá sseerr ccaappaazz ddee:: 
 
 Ao final deste capítulo o aluno deverá saber construir uma 
distribuição de freqüências, simples e por classes, bem 
como representá-la graficamente por um histograma e 
polígono de freqüências. 
 
 
 
 
 
 
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4. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
 
 Quando se resumem grandes massas de dados brutos, costuma-se freqüentemente 
distribuí-los em classes ou categorias e determinar o numero de elementos pertencentes a 
cada uma das classes, denomina-se freqüência de classe, representado por fi. 
 Um arranjo tabular dos dados por classes, juntamente com as freqüências 
correspondentes, chama-se “distribuição de freqüências ou tabela de freqüências. 
 
Classes fi = (frequências) 
 a1 .. b1 f1 
 a2 b2 f2 
 a3 b3 f3 
 ........................... ...... 
 ........................... ...... 
 ak bk fk 
 ∑............... N = ∑ fi 
Onde: 
 ai bi classe 
 ai limite inferior de classe: Li 
 bi limite superior de classe: Ls 
 fi numero de elementos do Rol contidos em cada classe 
 k numero de classes onde, 3 ≤ k ≤ 20 
 N = ∑ fi total de elementos do Rol 
 Intervalo símbolo que une ai a bi, podendo ser de 4 tipos: 
 1. fechado (inclui ai e bi) 
 2. semi aberto a esquerda ( exclui ai e inclui bi ) 
 3. semi aberto à direita ( inclui ai e exclui bi ) 
 4. aberto ( exclui ai e bi ) 
 
Obs1: os intervalos 1,2,3 podem ser usados quando se trabalhar com variáveis discretas, e 
os intervalos 2,3,4, quando se trabalhar com variáveis continuas. 
 
Obs2: devemos usar uma distribuição de frequências por classes quando o numero de 
elementos for maior ou igual a 50 
 
Obs3: quando o numero de elementos for menor do que 50, e havendo repetições 
significativas dos elementos, podemos construir uma distribuição de freqüências simples, 
onde as freqüências (fi) serão as repetições dos elementos. 
 
 
 
 
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Valores fi = (frequências) 
X1 f1 
X2 f2 
X3 f3 
...... ...... 
..... ...... 
xk fk 
 ∑............... N = ∑ fi 
 
Exemplo: Uma turma de 20 alunos de matemática da 7ª série da escola Bahia, apresentou 
as seguintes notas na prova final. 
 
3, 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 8 8 9 9 9 10 
 
Apresentar as notas segundo uma distribuição de freqüências? 
 
Solução 
Como N = 20 é menor do que 50 construiremos uma distribuição de freqüências 
simples. 
 Notas Freqüências (fi) 
3 2 
4 3 
5 4 
6 5 
8 2 
9 3 
10 1 
Total = ∑ 20 
 
 
4.1. Método de construção de uma distribuição por classes 
 
 Para a construção de uma distribuição por classes devem ser seguidos os seguintes 
passos : 
1º ) Determinar a amplitude total do ROL = ATR 
2º ) Fixar um numero “K” de classes convenientes onde 3 ≤ k ≤ 20 
3º ) Determinar o valor “h” que somado a ai nos dará bi , onde : 
 h = 
K
ATR
 , h > k 
 
 
 
 
 
 
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4.2. Intervalos e limites de classe 
Um símbolo que define uma classe, como por exemplo, 151 158, chama-se 
intervalo de classe, e os números extremos 151 e 158 são chamados limites inferior (Li) e 
limite superior (Ls) de classe, respectivamente. 
 
4.3. Limites reais de classe: 
 São obtidos adicionando-se o limite superior de uma classe ao limite inferior da classe 
seguinte e dividindo-se a soma por 2. 
 
EX 1ª classe 151 158 limites reais 150,5 158,5 
 2ª classe 159 166 limites reais 158,5 166,5 
 
4.4. Amplitude de classe: ( h) 
 É a diferença entre os limites reais superior e inferior da classe. Se todas as classes 
tiverem amplitudes iguais, esse valor é igual à diferença entre dois limites inferiores ou 
superiores consecutivos. 
 Para o exemplo acima teríamos: 
 
 158,5 – 150,5 = 166,5 – 158,5 = 159 – 151 = 166 – 158 = 8 
 
4.5. Ponto médio de classe (Xi) 
 É a média aritmética entre os limites de classe, não se levando em consideração o 
tipo de intervalo usado, ou seja: 
 Ponto médio, Xi = 
2
biai  
 
4.6. Freqüências relativas ( Fr ) 
 É a relação existente entre a freqüência de cada classe e o total de freqüências,geralmente expressas em percentagem e cuja soma é igual a 1 ou 100%. 
 Fr = 
N
fi , onde ∑ Fr = 1 = 100% 
 
4.7. Freqüências acumuladas 
 É a freqüência total de todos os valores inferiores ao limite superior de uma dada 
classe, ou seja: 
 
 F1 = f1 
 F2 = f1 + f2 
 F3 = f1 + f2 + f3 
 .................................. 
 Fn = f1 + f2 + f3 + .........+ fn = N 
 
 
 
 
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4.8. Histograma e Polígono de freqüências 
 São duas representações gráficas das distribuições de freqüências, a saber: 
 
HISTOGRAMA – é um gráfico formado por um conjunto de retângulos justapostos, muito 
usados para representar distribuições de freqüências, cujos dados foram agrupados em 
classes de mesma amplitude. O histograma tem: 
a) as bases sobre o eixo horizontal (eixo dos X ), com centro no ponto médio e as 
larguras iguais às amplitudes dos intervalos das classes. 
b) as áreas proporcionais às freqüências das classes. 
 
POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS – é um gráfico de linhas em que as freqüências são 
locadas sobre perpendiculares levantadas nos pontos médios das bases dos retângulos do 
histograma. Pode-se também obtê-los ligando-se os pontos médios das bases superiores 
dos retângulos do histograma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resumindo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCICIOS 
 
Ex 1: Os dados a seguir referem-se às alturas (em cm) de 76 alunos regularmente 
matriculados na PUCC , 10 ano básico da turma de 1977 à noite. Pede-se: 
a) construir uma distribuição de frequências por classes; 
b) determinar os pontos médios de classe; 
c) determinar as frequências relativas; 
d) determinar as frequências acumuladas; e 
e) Construir os seguintes gráficos: 
 Gráfico de colunas 
 Histograma 
 Polígono de freqüências 
 
172 180 174 182 176 167 160 162 162 164 167 174 169 155 155 156 
163 169 155 180 176 171 179 167 173 180 172 163 168 165 172 176 
172 174 173 165 165 163 181 156 180 168 150 166 178 178 168 181 
184 166 177 167 166 173 160 180 186 185 169 179 183 189 178 164 
172 164 154 165 170 168 169 180 174 175 191 191 
 
 
Solução 
 
1º Organizar os dados segundo um ROL 
 
150 154 155 155 155 156 156 160 160 162 162 163 163 163 164 164 
164 165 165 165 165 166 166 166 167 167 167 167 168 168 168 168 
169 169 169 169 170 171 172 172 172 172 172 173 173 173 174 174 
174 174 175 176 176 176 177 178 178 178 179 179 180 180 180 180 
180 180 181 181 182 183 184 185 186 189 191 191 
 
 
 
 
Av. Maracanã, 229 – Maracanã - CEP 20.271-110 – Rio de Janeiro- R –Tel. 2256-3164p. 36 
2º ) Determinar o maior e o menor valor do conjunto 
 Numero de elementos N = 76 
 Maior valor = 191 
 Menor valor = 150 
 ATR = 191 – 150 = 41 
 Numero de classes desejadas: K =7 
Obs1: Existe uma fórmula de calcular o valor de k, que deve ser um número entre 3 e 20, 
ou seja: 
 K = 1 + 3,3 lg N (onde lg pode ser calculado direto de uma calculadora) 
 
 No nosso caso seria : K =1 + 3,3 lg(76) = 1=3,3(1,88) = 7,2 = 7 . O numero de 
classes não pode ser fracionário. Usei o arredondamento de dados visto anteriormente. 
 
Obs2: Para efeito de cálculo, é em geral conveniente que todos os intervalos de classe em 
uma distribuição de freqüências tenham iguais amplitudes. A fórmula que pode ser usada 
para determinar a amplitude aproximada das intervalos de classe é: 
 Amplitude aproximada = ATR ÷ K = h 
 No nosso caso h = 41 /7 = 5,85 = 6 (Arredondando para inteiro) 
 
a) Construir a distribuição por classes 
 
Alturas 
(cm) 
Freqüências 
fi 
Pontos médios 
Xi 
Frequências 
relativas 
Fr 
Frequências 
acumuladas 
Fa 
150 ----- 156 5 153 0,065 = 6,5 % 5 
156 ----- 162 4 159 0,053 = 5,3% 5+4 = 9 
162 ----- 168 19 165 0,25 = 25,0% 9+19 = 28 
168 ----- 174 18 171 0,237 =23,7% 28+18 = 46 
174 ----- 180 14 177 0,184=18,4% 46+14 = 60 
180 ----- 186 12 183 0,158 =15,8% 60+12 = 72 
186 ----- 192 4 189 0,053 =5,3% 72+4 = 76 
 ∑------ 76 ----- 1 =100% ---- 
 
 Obs: Como estamos trabalhando com alturas (variável contínua) usaremos um intervalo 
aberto à direita e à esquerda. 
 
 
 
 
 
 
 
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e) GRÁFICOS 
 
1) Gráfico de colunas 
 
 
 
 
 
2) Histograma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3) Polígono de Frequências 
 
 
 
Ou, 
 
 
 
Observações: 
1. O polígono de frequências é uma figura geométrica, cuja área é igual à área da soma dos 
retângulos do histograma. 
2. Para se construir o histograma e o polígono de frequências é necessário se acrescentar à 
distribuição uma classe inferior à primeira classe e superior à ultima classe, com 
frequência nula. Isto se faz necessário para que possamos fechar as laterais do gráfico de 
linhas e torná-lo um polígono. 
 
 
 
 
 
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A T I V I D A D E 1 
Classifique os conjuntos abaixo em contínuos (C) ou discretos (D) 
 
a) Numero de pessoas, por domicilio, num edifício A R ______ 
b) O peso de cada remessa de artigos de uma fabrica R ______ 
c) O numero de peças defeituosas em um lote R ______ 
d) O tempo decorrido antes da primeira falha de um dispositivo R ______ 
e) 0 numero de faces de um dado R ______ 
 
 
 
A T I V I D A D E 2 
Indicar como cada um dos seguintes valores seria arredondado: 
 
a) 5.789 (à centena mais próxima) R ____________ 
b) 6.501 (ao milhar mais próximo) R ____________ 
c) 130,055 ( à unidade mais próxima) R ____________ 
d) 28,65 ( ao décimo mais próximo) R ____________ 
e) 19,95 ( ao décimo mais próximo) R ____________ 
f) 32,505 ( a centésimo mais próximo) R ____________ 
 
 
 
 
 
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A T I V I D A D E 3 
 
Exercício 3. Considere a distribuição de frequências de salários semanais de 100 
operários de nível médio da empresa X. 
SALÁRIOS 
 Num funcionários 
fi 
140 ------ 159 7 
160 ------ 179 20 
180 ------ 199 33 
200 ------ 219 25 
220 ------ 239 11 
240 ------ 259 4 
Total 100 
Pede-se: 
a). Amplitude total do ROL 
b). Amplitude de classe 
c). Tipo de intervalo de classe usado e porque? 
d). Limite inferior da 3ª classe 
e). Limite superior da 5ª classe 
f). Freqüência da 2ª classe 
g). Calcular os pontos médios de classe 
h). Calcular as freqüências relativas 
i). Calcular as freqüências acumuladas 
j). Construir um gráfico de colunas 
k). Construir um gráfico de barras 
l). Construir um gráfico de setores 
m). Construir um histograma e um polígono de freqüências 
n). Se você fosse apresentar um relatório com os dados acima, e tivesse que os 
representar através deum gráfico, qual (ou quais) você usaria e por que? 
 
 
 
 
 
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MM ee dd ii dd aa ss dd ee TT ee nn dd êê nn cc ii aa CC ee nn tt rr aa ll 
 
 
 
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MMeettaa:: 
 
Aprender a calcular as principais medidas de tendência 
central e separatrizes dos valores considerados para 
estudo. 
 
 OObbjjeettiivvoo:: AAoo ffiinnaall ddeessttaa aauullaa vvooccêê ddeevveerráá sseerr ccaappaazz ddee:: 
 Ao final deste capítulo o aluno deverá saber calcular: 
 
 A média aritmética, a média ponderada, a moda e a mediana 
de um conjunto de valores; 
 As medidas separatrizes: Quartis, Decis e Percentis; 
 Relação de assimetria entre média, moda e mediana; e 
 A Média geométrica e harmônica.. 
 
 
 
 
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5. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
5.1. Índices ou notação por índices. 
 O símbolo Xi ( leia-se X índice i ) representa qualquer um dos N valores X1, 
X2, X3,...., Xn, de uma variável X. 
 A letra i, em Xi ,que pode representar qualquer dos números 1, 2, 3,,.....,N, é 
denominado índice. 
 Evidentemente, podemos usar outra letra além de i , como j , k , p ou s. 
 
5.2. Notação de Somatório 
 O símbolo “ ∑ “ , é a letra grega maiúscula sigma , que indica soma, sendo usado 
para representar a soma de um conjunto de valores X. 
 Se 


5
1i
X
 = x1 + x2 + x3 +x4 + x5 
 Por definição, se desejamos somar do primeiro ao ultimo termo, representaríamos: 
 


N
i
X
1
 = x1 + x2 + x3 + x4 + .......+ xN , 
e quando não há possibilidade de confusão, indica-se a soma, de modo mais simples por ∑ 
X, ∑ Xi ou 

i
Xi
 
Exemplos: 
Ex1. 


N
j
XjYj
1
 = X1Y1 + X2Y2+ ...........+ XNYN 
Ex2. 


N
j
aXj
1
 = a.X1 + a.X2 +........+ a.XN = a (X1+X2+…….+XN) = a 


N
j
Xj
1
 , em que “a” é 
uma constante . De maneira mais simples poderíamos escrever: 
 ∑ a.X = a.∑ X 
Ex3. Se a, b, c, são constantes quaisquer, então: 
 ∑ ( aX + bY – cZ ) = a ∑ X + b ∑ X – c ∑ X 
 
5.3. Média Aritmética: 
A media é um valor representativo de um conjunto de dados. Como esse valor tende a 
se localizar em um ponto central, dentro de um conjunto de dados ordenado segundo suas 
grandezas, a média também é denominada de medida de tendência central. 
Logo, a média aritmética, ou média, de um conjunto de N valores X1,X2,....,XN é 
representada por 
X
 (leia-se “X barra”) e é definida por: 
 
X
 = 
N
XXXX N .......321
 = 
N
Xi
N
i

1 = 
N
X ..............................(1) 
 
 
 
 
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Exemplo: Calcular a média aritmética dos números 4, 7, 12, 6, 9. 
 Aplicando (1), teremos: 
X
 = 
5
961274 
 = 
5
38
 = 7,6 
 Se os números X1, X2, X3,.........,Xk ocorrem com freqüências f1, f2, f3,.....,fk , 
respectivamente, então o cálculo da média será dado pela relação: 
 
X
 = 
N
XfXfXfXf kk .......332211
 = 




k
i
k
i
fi
Xifi
1
1 = 


f
Xf = 
N
Xf , 
Onde N = 
 f
 é a freqüência total , isto é , o total de elementos a serem considerados 
para o cálculo. 
 
Exemplo: Se os valores 4, 7, 5, 9, 3, ocorrerem co freqüências 2, 4, 3, 1, 4, 
respectivamente, a média aritmética será: 
 
X
 = 
14
)3)(4()9)(1()5)(3()7)(4()4)(2( 
 = 
14
12915288  = 
14
72
 = 5,14 
 
5.4. Média aritmética Ponderada 
 Se os valores X1, X2, X3,......,Xk ocorrem com pesos w1, w2, w3,....,wk, ou seja aos 
valores XK são dadas ponderações em função de sua importância, a média aritmética 
ponderada será dada pela relação: 
X
 = 
k
kk
wwww
XwXwXwXw


...
.......
321
332211
 = 


w
Xw 
 
Exemplo: Se a prova final de um curso tem peso 3 e as provas mensais peso 1, qual a 
média final de um aluno que obteve nota final 8,5 e notas mensais 7,0 e 9,0. 
 
X
 = 
311
)5,8)(3()0,9)(1()0,7)(1(


 = 
5
5,41
 = 8,3 
 
5.5. Cálculo da média aritmética para dados agrupados em 
distribuições de freqüências. 
 
 Quando os dados a serem estudados estão apresentados por uma distribuição de 
freqüências, todos os valores incluídos em um certo intervalo de classe são considerados 
coincidentes com o ponto médio do intervalo (classe). Nesse caso, os valores: 
 Xi são os pontos médios de classe e os 
 fi são as respectivas freqüências de classe. 
 
 
 
 
 
 
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5.5.1. Exempo: As alturas (em cm) de 100 estudantes do sexo masculino da Universidade 
XYZ, estão representadas na distribuição abaixo. 
 
 
 Alturas 
 (cm) 
Freqüências 
( f ) 
Pontos médios 
(X) f . X 
151 ----- 158 5 154,5 5(154,5) = 772,5 
159 ----- 166 18 162,5 18(162,5) = 2.925,0 
167 ----- 174 42 170,5 42(170,5) = 7.161,0 
175 ----- 182 27 178,5 27(178,5) = 4.819,5 
183 ----- 190 8 186,5 8(186,5) = 1.492,0 
 ∑ ........... 100 ------ 17.170,0 
 
Pede-se: Calcular a média aritmética das alturas 
 
X
 = 


f
Xf = 
N
Xf = 
100
0,170.17
 = 171,70 cm, 
Ou seja, a altura média dos 100 estudantes, observados na pesquisa, é de 171,70 cm. 
 
 
5.6. Mediana : Md 
 
 A mediana de um conjunto de N valores x1, x2, x3,......,xn , ordenados segundo uma 
ordem de grandeza (ROL) , é o valor que divide o conjunto em duas partes iguais de 
elementos. 
 a) se os valores de um conjunto estiverem apenas listados segundo um Rol, então: 
 se N é um numero impar de valores, a mediana será o valor correspondente ao 
termo central, ou seja, 
 se X = { x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7} Md = x4 
 
Exemplo: Rol={ 3, 4, 5, 6, 8, 8, 10} , N = 7 e Md = 6 (termo central) 
 
 se N é um numero par de valores, a mediana será igual à média aritmética entre os 
dois termos centrais, ou seja, 
 se X = { x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8} Md = 
2
54 xx 
 
Exemplo: Rol = { 5, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 18,18 21} , N = 10 e Md = 
2
1311
 = 12 
 b) Se os valores estão agrupados segundo uma distribuição de freqüências por 
classes, a mediana será dada pela relação: 
 
 Md = Li + 
mf
antfP  )( . h , onde: 
 
 
 
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 Li = limite inferior da classe mediana 
 h = amplitude de classe 
 fm = freqüência da classe mediana 
 
 antf )(
 = soma das freqüências anteriores à classe mediana 
 P = 
2
N
 se N é par 
P = elemento mediano onde: 
 P = 
2
1N
 se N é impar 
 
Exemplo: Considerando a distribuição do exemplo 5.5.1, calcule a mediana das alturas. 
 
 Alturas 
 (cm) 
Freqüências 
( f ) 
Frequênias 
Acumuladas Fa151 ----- 158 5 5 
159 ----- 166 18 23 
167 ----- 174 42 65 Classe mediana 
175 ----- 182 27 92 
183 ----- 190 8 100 
 ∑ ........... 100 ---- 
 
 
Como calcular: 
1. Calcular o valor de P , onde P = 
2
N
 = 
2
100
 = 50 
2. Calcular as freqüências acumuladas da distribuição (coluna 3) 
3. Verificar (na ordem da primeira classe para a ultima) em qual frequência acumulada se 
inclui o valor 50. No nosso exemplo está contido na 3ª classe 
4. 
 antf )(
 = 23 
5. fm = 42 
6. h = como o intervalo é fechado h = (174-167)+1 = 8 ou (174 – 166) = 8 
 
7. Aplicar a fórmula: Md = 167 + 
42
2350 
 x 8 = 172,14 

 172 
 Isto quer dizer que 50% dos alunos tem altura menor ou igual a 172 cm, e outros 50% 
tem altura maior ou igual a 172cm. 
 
 
5.7. Medidas separatrizes: Qi, Di, Pi 
 Um conjunto de dados, organizado em ordem de grandeza segundo um ROL, pode 
ser dividido em duas partes iguais de valores usando a mediana. 
 Por extensão desse conceito, pode-se pensar nos valores que dividem o conjunto em 
quatro partes iguais, chamados de Quartis, representados por Q1, Q2 e Q3, chamados de 
primeiro, segundo e terceiro quartis. 
 
 
 
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 De mesma maneira teríamos os “Decis” que dividem em 10 partes iguais de 
elementos, representados por D1, D2, D3,.......,D9, e os Percentis que dividem o conjunto em 
100 partes iguais de elementos, representados por P1, P2, P3,....,P50,......,P99,. 
 A fórmula para a determinação dessas medidas é igual à da mediana, variando 
apenas o valor de P, a saber: 
 
 
5.7.1. Valores de P para as separatizes 
 
Quartis: P1 = 
4
N
 , P2 = 
4
2N
 , P3 = 
4
3N
 
Decis: P1 = 
10
N
 , P2= 
10
2N
 , P3 = 
10
3N
 ,................., P8 = 
10
8N
, P9 = 
10
9N
 
Percentis: P1 = 
100
N
 , P2 = 
100
2N
, P3 = 
100
3N
 ,.................., P98 = 
100
98N
 , P99 = 
100
99N
 
Logo, Qi = Di = Pi = Md = Li + 
mf
antfP  )( . h 
0bs: A mediana (Md), o segundo quartil (Q2), o qüinto decil (D5) e o quinquagésimo percentil 
(P50), são iguais pois dividem o conjunto em duas partes iguais de elementos, ou seja: 
 Md = Q2 = D5 = P50 ou seja, 
2
N
 = 
4
2N
 = 
10
5N
= 
100
50N
 
 
Exemplo: considerando a distribuição abaixo, pede-se: 
 
 Alturas 
 (cm) 
Freqüências 
( f ) 
Frequênias 
Acumuladas Fa 
 
151 ----- 158 5 5 P5 
159 ----- 166 18 23 D2 ,P21 
167 ----- 174 42 65 Q1 ,Q2 ,D5, 
175 ----- 182 27 92 Q3, D7 
183 ----- 190 8 100 P96 
 ∑ ........... 100 ---- 
 
 
1) primeiro. segundo e terceiro quartis: Q1, Q2 e Q3 
2) segundo, quinto e sétimo decil : D2, D5 e D7 
3) quinto, vigésimo primeiro e nonagésimo sexto percentil.: P5,P21 e P96 
 
 Solução 
 
 
 
1a) Calculo do 1º quartil 
 
 
 
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 P = 
4
N
 = 
4
100
 = 25 
 Q1 = Li + 
mf
antfP  )( . h = 167 +
42
2325 
.8 = 167,38 = 167cm 
ou seja, 25% das alturas ≤ 167 cm = 1,67m 
 
1b) Calculo do 2º quartil 
 P = 
4
2N
 = 
4
200
 = 50 
 Q2 = Li + 
mf
antfP  )( . h = 167 +
42
2350 
.8 = 172,14 

 172cm = 1,72m 
ou seja, 50% das alturas ≤ 172 cm = 1,72m 
 
1c) Calculo do 3º quartil 
 P = 
4
3N
 = 
4
300
 = 75 
 Q3 = Li + 
mf
antfP  )( . h = 175 +
27
6575 
.8 = 177,96 

 178cm 
ou seja, 75% das alturas ≤ 178 cm =1,78m 
 
2a) Calculo do 2º decil 
 P = 
10
2N
 = 
10
200
 = 20 
 D2 = Li + 
mf
antfP  )( . h = 159 +
18
520 
.8 = 165,66 

 166cm 
ou seja, 20% das aturas ≤ 166 cm =1,66m 
 
2b) Calculo do 5º decil 
 P = 
10
5N
 = 
10
500
 = 50 
 D5 = Li + 
mf
antfP  )( . h = 167 +
42
2350 
.8 = 172,14 

 172cm 
ou seja, 50% das alturas ≤ 172 cm = 1,72m 
 
2c) Calculo do 7º decil 
 P = 
10
7N
 = 
10
700
 = 70 
 D7 = Li + 
mf
antfP  )( . h = 175 +
27
6570 
.8 = 176,48 

 176cm 
 
ou seja, 70% das alturas ≤ 176 cm = 1,76m 
 
 
3a) Calculo do 5º percentil 
 
 
 
Av. Maracanã, 229 – Maracanã - CEP 20.271-110 – Rio de Janeiro- R –Tel. 2256-3164p. 49 
 P = 
100
5N
 = 
100
500
 = 5 
 P5 = Li + 
mf
antfP  )( . h = 151 +
5
05 
.8 = 159cm 
ou seja, 5% das alturas ≤ 159 cm = 1,59m 
 
3b) Calculo do 21º percentil 
 P = 
100
21N
 = 
100
2100
 = 21 
 P21 = Li + 
mf
antfP  )( . h = 159 +
18
521
.8 = 166,11 

 166cm 
ou seja, 21% da alturas ≤ 166 cm = 1,66m 
 
3c) Calculo do 96º percentil 
 P = 
100
96N
 = 
100
9600
 = 96 
 P96 = Li + 
mf
antfP  )( . h = 183 +
8
9296 
.8 = 187 cm 
ou seja, 96% das alturas ≤ 187 cm = 1,87m 
 
5.8. Moda: Mo 
A moda de um conjunto de valores X1, X2, X3, X4,.........,XN , ordenados segundo um 
Rol, é o valor de maior freqüência do conjunto. A moda pode não existir, mas caso exista 
poderá não ser única, ou seja, o conjunto pode ser; 
 
 Amodal – quando os valores de um conjunto possuem todos a mesma freqüência: 
 Ex1: X = { 3, 5, 8, 10, 15, 23,34 } → frequência 1 para todos os valores 
 Ex2: X = { 3, 3, 6, 6, 8, 8, 10, 10, 11, 11} → freqüência 2 para todos os valores 
 
 Unimodal – quando apenas um valor do conjunto possui freqüência máxima. 
 Ex: X = { 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 18} → Mo = 9 , pois f(9) = 3. O conjunto 
se diz unimodal. 
 
 Bimodal – quando apenas dois valores do conjunto possuem freqüência máxima. 
 Ex: X = { 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 11, 11, 11, 15} → Mo1 = 4 e Mo2 = 11, pois 
f(4) = f(11) = 3, e o conjunto se diz bimodal. 
 
Como vimos a moda pode não existir, mas caso existe pode não ser única, ou seja o 
conjunto pode ser amodal, bimodal, trimodal e acima disso se diz plurimodal. 
 
No caso de dados agrupados por uma distribuição de freqüências, a moda será o valor 
(ou valores) de X correspondente à(s) classe(s) de maior freqüência. Nesse caso a moda 
pode ser obtida pela fórmula: 
 
 
 
 
Av. Maracanã, 229 – Maracanã - CEP 20.271-110 – Rio de Janeiro- R –Tel. 2256-3164p. 50 
 Moda = Mo = Li + 
h








21
1
, 
Onde, 
 
 Li = limite inferior da classe modal 
 ∆1 = diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe 
imediatamente inferior 
 ∆2 = diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe 
imediatamente superior 
 h = amplitude do intervalo da classe modal 
 
Exemplo1: Considerando a distribuição, calcule a sua moda: 
 
 Alturas 
 (cm) 
 Freqüências 
( f ) 
 
 151 ----- 158 5 
 159 ----- 166 18 
 167 ----- 174 42 Classe modal 
 175 ----- 182 27 
 183 ----- 190 8 
 ∑ ........... 100 
 
 
Moda = Mo = Li + 
h








21
1
, = 167 + 
8
1524
24








 = 171,92 

172 cm 
 ∆1 = 42 – 18 = 24 
 ∆2 =42 – 27 = 15 
 Neste caso o conjunto é dito unimodal pois possui uma só moda. 
 
Exemplo 2: Considerando a distribuição, calcule a sua moda 
 Alturas 
 (cm) 
Freqüências 
( f ) 
 
151 ----- 158 8 
159 ----- 166 30 Classe modal 1 
167 ----- 174 17 
175 ----- 182 30 Classe modal 2 
183 ----- 190 15 
 ∑ ........... 100 
 
 
Moda = Mo1 = Li + 
h








21
1
, = 159 + 
8
1312
12








 = 162,84 

163 cm 
 ∆1 = 30 – 18 = 12 
 ∆2 = 30 – 17 = 13 
 
 
 
 
 
Av. Maracanã, 229 – Maracanã - CEP 20.271-110 – Rio de Janeiro- R –Tel. 2256-3164p. 51 
Moda = Mo2 = Li + 
h








21
1
, = 175 + 
8
1513
13








 = 178,71 

179 cm 
 ∆1 = 30 – 17 = 13 
 ∆2 = 30 – 15 = 15 
 Neste caso o conjunto possui duas modas e é chamado de bimodal 
 
5.9 . Medidas de assimetria 
a) Uma distribuição de freqüências por classes é dita simétrica quando: 
 Média = Mediana = Moda ou 
X
 = Md = Mo 
b) Uma distribuição de freqüências por classes é dita Assimétrica à esquerda ou 
negativa, quando: 
 Média < Mediana < Moda ou 
X
 < Md < Mo 
c) Uma distribuição de freqüências por classes é dita Assimétrica à direita ou positiva, 
quando: 
 Média > Mediana > Moda ou 
X
 > Md > Mo 
 
Exemplo: Calcular os tipos de assimetria das distribuições abaixo: 
 
 Distribição A Distribuição B Distribuição C 
Classes fi Classes fi Classes fi 
2 ---- 6 6 2 ---- 6 6 2 ---- 6 6 
6----10 12 6----10 12 6----10 30 
10----14 24 10----14 24 10----14 24 
14----18 12 14----18 30 14----18 12 
18----22 6 18----22 6 18----22 6 
Total 60 Total 78 Total 78 
 
Solução: 
Distribuição A: 
X
 = 12 Md = 12 e Mo = 12 
Distribuição B: 
X
 = 12,9 Md = 13,5 e Mo = 16 
Distribuição C: 
X
 = 11,1 Md = 10,5 e Mo = 8 
 
Calculando o tipo de assimetria 
 
Distribuição A: 
X
 = 12 = Md = 12 = Mo = 12 

 a distribuição é simétrica 
Distribuição B: 
X
 = 12,9 < Md = 13,5 < Mo = 16

 a distribuição é assimétrica à 
esquerda ou negativa 
Distribuição C: 
X
 = 11,1 > Md = 10,5 > Mo = 8 

 a distribuição é assimétrica à 
direita ou positiva 
 
 
 
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5.10. Média Geométrica : G 
 
 A média geométrica G de um conjunto de N números X1,X2,X3,....,XN é a raiz de ordem 
N do produto desses números. 
 
 
N
NXXXXG ...... 321
 
Ex : Calcule a média geométrica dos valores: X = {2, 4, 8 } 
 
 
3 )8)(4)(2(G
 = 
3 64
 = 4 
 Na prática G é calculada por meio de logaritmos, e pode-se usar uma máquina de 
calcular que dê esses valores. 
 log G = 
N
1
log ( X1.X2.X3....XN) = 
N
1
{ logX1+logX2+logX3 +........+ log XN} 
No exemplo acima teríamos: 
 log G = 
3
1
 log {(2)(4)(8)} = 
3
1
{ log2+ log4 + log8} = 
 log G = 
3
1
 {0,3010 + 0,6020 + 0,9030} = 
3
1
 1,806 = 0,602 
 G = 3,9994 = 4 
Ou log G = 
3
1
log 64 = 
3
1
1,806 = 0,602 
 
Obs: para se calcular o valor de G, basta entrar na calculadora com o valor 0,602, apertar a 
tecla SHIFT e em seguida apertar a tecla log. 
 
 Quando os valores estiverem agrupados segundo uma distribuição de freqüências, a 
média geometria será dada pela relação: 
 G = 
N
f
N
fff NXXXX ....... 321 3
.
21
 
 
 
 
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 Aplicando logaritmos , teríamos: 
 
 log G = 
N
1
log 
 NfNfff XXXX ......321 321
 = 
N
1
( f1 logX1 + f2 logX2 +.....+fN log XN) 
 log G = 
 Xifi
N
log
1
 = 
N
Xifi log 
 
Exemplo: calcular a média geometria da distribuição: 
 
 Alturas 
 (cm) 
Freqüências 
( f ) 
Pontos médios 
Xi Log Xi fi logXi 
151 ----- 158 5 154,5 2,1889 10,9445 
159 ----- 166 18 162,5 2,2108 39,7944 
167 ----- 174 42 170,5 2,2317 93,7314 
175 ----- 182 27 178,5 2,2516 60,7932 
183 ----- 190 8 186,5 2,2706 18,1648 
 ∑ ........... 100 
------- -------- 
223,4283 
 
 log G = 
N
Xifi log = 
100
4283,223
 = 2,234283 
 
 G = 171,50 cm = 172 cm = 1,72 m 
 
Obs: Usamos a tabela para fazer os cálculos, o que facilita o trabalho. 
 
 
5.11. Média Harmônica: H 
 
5.11.1-A média harmônica H, de um conjunto de N números X1, X2, X3,....,XN, é a 
recíproca da média aritmética das recíprocas dos valores, ou seja: 
H = 
 
N
i XiN 1
11
1
 = 
 
N
I Xi
N
1
1
 = 
NXXXX
N
1
......
111
321

 
Exemplo: Calcular a média harmônica do conjunto X = { 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12} 
Solução: H = 
NXXXX
N
1
......
111
321

 = 
12
1
10
1
7
1
6
1
6
1
5
1
3
1
7

 = 
 
 = 
140
167
7
 = 
167
)140)(7(
 = 
167
980
 = 5,868 

 5,9 
 
 
 
Av. Maracanã, 229 – Maracanã - CEP 20.271-110 – Rio de Janeiro- R –Tel. 2256-3164p. 54 
Exemplo: As cidades A, B e C são eqüidistantes umas das outras. Um motorista viaja de A 
para B a 30 km/h, de B para C a 40 km/h e de C para A a 50 km/h. determinar sua 
velocidade média para todo o percurso d viagem? 
 
Solução: Como todas as distâncias são iguais , então: 
 Vm = 
50
1
40
1
30
1
3

 = 
0783,0
3
= 38,3 km/h 
5.11.2 .Se X1, X2, X3,......, XN, ocorrem cm freqüências f1, f2, f3, ......., fN, então a média 
harmônica do conjunto de valores é dada por: 
H = 
 
N
i Xi
fi
N 1
1
1
 = 
 
N
I Xi
fi
N
1
 = 
N
N
X
f
X
f
X
f
X
f
N
 ......
3
3
2
2
1
1
, 
onde, N = f1 + f2 + f3 +...+ fN = 
 fi
 
 
 
Exemplo: calcular a média harmônica da distribuição abaixo: 
 
 Alturas 
 (cm) 
Freqüências 
( fi ) 
Pontos médios 
Xi 
Xi
fi
 
151 ----- 158 5 154,5 5/154,5 = 0,03236 
159 ----- 166 18 162,5 18/162,5 = 0,11076 
167 ----- 174 42 170,5 42/170,5 = 0,24633 
175 ----- 182 27 178,5 27/178,5 = 0,15126 
183 ----- 190 8 186,5 8/186,5 = 0,04289 
 ∑ ........... 100 
------- 
 0,5836 
 
 H = 
 
N
i Xi
fi
N 1
1
1
 = 
 
N
I Xi
fi
N
1
 = 
5836,0
100
 = 171,35 cm = 1,71 m 
 
5.12 . Relação entre as médias: aritmética, geométrica e harmônica 
 H ≤ G ≤ 
X
 
 
Exemplo: no exercício das alturas apresentado anteriormente, tivemos: 
 
X
 = 171,70 cm, 
 H = 171,35 cm 

 171,35 ≤ 171,50 ≤ 171,70 
 G = 171,50 cm 
 
 
 
 
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A T I V I D A D E 1 
As notas de um candidato nas provas de um concurso, foram: 
8,4 9,1 7,2 6,8 8,7 7,2 
Calcule: a) a média 
 b) a mediana 
 c) a moda 
 d) tipo de assimetria 
 
 
A T I V I D A D E 2 
Uma turma de 35 alunos apresentou as seguintes notasde matemática: 
35 45 40 40 52 56 59 60 54 55 56 59 60 60 
54 56 57 59 60 55 56 57 59 60 55 56 58 60 
80 85 60 65 63 70 75 
Pede-se: 
 a) representar as notas por uma distribuição de frequências 
 b) a amplitude total do rol 
 c) média, moda e mediana 
 d) 3º quartil, 2º decil, 9º decil, 20º percentil e 87º percentl 
 
 
 
 
 
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A T I V I D A D E 3 
DEFINA ACIDENTE DO TRABALHO 
Uma amostra de 50 empresas foi extraída para se determinar o número médio de 
acidentes por mil homens/hora em uma indústria. Os dados foram tabelados na 
distribuição abaixo. 
 
Numero médio de 
acidentes por mil 
homens/hora 
Numero de 
empresas 
1,5 ----1,7 3 
1,8 --- 2,0 12 
2,1 --- 2,3 14 
2,4 --- 2,6 9 
2,7 --- 2,9 7 
3,0 --- 3,2 5 
Total 50 
Pede-se: 
a) a média 
b) a mediana 
c) a moda para esta amostra de 50 empresas 
d) o tipo de comportamento assimétrico os dados? 
e) a média harmônica 
f) a média geométrica 
 
 
 
 
A T I V I D A D E 4 
Determinar a média aritmética, a média geométrica e a média harmônica dos dados e 
compare-as: { 2, 4, 8, 16, 32} 
 
 
 
 
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A T I V I D A D E 5 
 
No exercício 3 acima, calcule: 
a) 1º e 3º quartil 
b) 3º e 7º decil 
c) 35º e 87º decil 
A T I V I D A D E 6 
 
Os salários semanais de 100 operários estão relacionados na distribuição abaixo: 
Salário semanal Num de 
operários 
140 --- 159 7 
160 --- 179 20 
180 --- 199 33 
200 --- 219 25 
220 --- 239 11 
240 --- 259 4 
Total 100 
 
Pede-se: 
a) a média 
b) a moda 
c) a mediana dos salários 
d) média harmônica 
e) média geométrica 
f) qual a classificação dos dados em relação à sua assimetria 
 
 
 
 
 
 
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MM ee dd ii dd aa ss dd ee DD ii ss pp ee rr ss ãã oo 
 
 
 
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MMeettaa:: 
 
Aprender a calcular as principais medidas de dispersão 
dos valores considerados para estudo 
 
 OObbjjeettiivvoo:: AAoo ffiinnaall ddeessttaa aauullaa vvooccêê ddeevveerráá sseerr ccaappaazz ddee:: 
: Ao final deste capítulo o aluno deverá saber calcular: 
 A Amplitude Total; 
 O Desvio médio; 
 A Variância; 
 O Desvio padrão, e 
 O Coeficiente de variação. 
 
 
 
 
 
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6. MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 O grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se em torno de um valor 
médio, chama-se de variação ou dispersão dos dados. 
 Como a média aritmética é um valor facilmente influenciável por valores extremos, as 
medidas de dispersão nos ajudarão a ter uma melhor percepção do conjunto e da 
representatividade dessa média. 
 Existem várias medidas de dispersão, mas no nosso curso estudaremos apenas 
aquelas mais usadas 
 
6.1. Amplitude Total 
 A amplitude total de um conjunto de números X1, X2, X3, ..... , XN , é a diferença entre 
o maior e o menor número do conjunto. 
 At = Xmax - Xmin (X máximo menos X mínimo) 
 
Exemplo: X = { 3, 6, 8, 12, 15, 23 } 

 At = 23 – 3 = 20 
 
OBS: a) A At é a medida mais simples de dispersão; 
 b) Ela leva em conta apenas os valores mínimo e máximo do conjunto, mas se 
ocorrer qualquer variação no interior do conjunto, ela não dá qualquer indicação dessa 
variação; 
 c) Ela sofre a influência de valores “atípicos” no conjunto, ou seja, a presença de valor 
muito grande ou muito pequeno em relação ao conjunto. 
 Ex: X = { 4, 6, 7, 7, 10, 25} , At = 25 – 4 = 21 O valor 25 distorce o conjunto. 
 
Exemplo: Um empresário deseja comparar a performance de dois empregados, com base 
na produção diária de determinada peça, durante cinco dias: 
 Empregado A = { 70, 71, 69, 70, 70 } onde 
AX
 = 70 peças 
 Empregado B = { 60, 80, 70, 62, 83} 
BX
 = 71 peças 
 
Solução: AtA = 71- 69 = 2 e AtB = 83- 60 = 13 
 Com base na média aritmética, diríamos que a performance de B foi melhor do que a 
de A, pois a media de B é maior. 
 Mas se observarmos bem os dados, verificamos que a produção de A varia de 69 a 
71 enquanto que a de B varia de 60 a 83, ou seja , a dispersão de B é maior do que a de A 
para o mesmo numero de dias, o que dá a A melhor performance. 
 
6.2. Desvio Médio : DM 
 
6.2.1- O desvio médio de um conjunto de N números X1, X2, X3, ..... , XN é definido por: 
 
 DM = 
N
XXXXXX N  .........21 = 
N
XXi
N
i



1 , 
 
 
 
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onde 
X
 é a media aritmética dos valores Xi, ou seja o desvio médio é a média das 
diferenças ,em módulo, dos valores Xi em relação à média 
X
, dividido pelo total de 
elementos (N). 
 
Exemplo: Calcular o desvio médio do conjunto: X=
 11,8,6,3,2
 
Solução: 
1º ) Calcular a média: 
X
 = 
5
118632 
 = 
5
30
 = 6 
2º ) Calcular o desvio médio: 
 
 DM = 
5
6116866.6362  = 
5
14
 = 2,8 
6.2.2- Se X1, X2, X3, ..... , XN, ocorrem com freqüências f1, f2, f3,....., fN , respectivamente, o 
desvio médio será dado pela relação: 
 DM = 
N
NN
ffff
XXfXXfXXf


.........
.........
321
2211 = 





N
i
N
i
fi
XXifi
1
1 = 
N
XXifi  
Obs: Para os dados agrupados numa distribuição de freqüências, os valores Xi são os 
pontos médios de classe. 
 
Exemplo: Considere o conjunto das alturas dos 100 estudantes, visto no capitulo anterior: 
Calcular o desvio médio do conjunto. 
 (4) (5) 
 Alturas 
 (cm) 
Freqüências 
( f ) 
Pontos médios 
(X) XXi 
=
70,171Xi
 fi
XXi 
 
151 ----- 158 5 154,5 17,2 86,0 
159 ----- 166 18 162,5 9,2 165,6 
167 ----- 174 42 170,5 1,2 50,4 
175 ----- 182 27 178,5 6,8 183,6 
183 ----- 190 8 186,5 14,8 118,4 
 ∑ 
........... 
100 ------ ------- 604,0 
 
 Solução: 
1º) A média foi calculada em 171,70cm 
2º) Calcular os valores 
XXi 
 = 
70,171Xi
 (coluna 4) 
3º) calcular os valores fi
XXi 
 ( Coluna 5) 
4º) Aplicando a fórmula teríamos: 
 
 
 
Av. Maracanã, 229 – Maracanã - CEP 20.271-110 – Rio de Janeiro- R –Tel. 2256-3164p. 63 
 DM = 
N
XXifi  = 
100
0,604
 = 6,04 cm 
6.3. Variância 
 
6.3.1- A Variância é idêntica ao desvio médio