TOPOGRAFIA CONCEITOS E APLICAÇÕES

Prévia do material em texto

96 Topografia – Conceitos e Aplicações 
 
vistas até agora foi possível, dentro de certos limites, abstrair da forma curva da Terra2, nas 
operações de nivelamento tal só é possível desde que se verifiquem certos requisitos que 
serão apresentados ao longo deste capítulo. 
Consideremos a Figura 5.1, que nos ajudará a compreender melhor as diferentes 
quantidades a definir, tendo por base um perfil (corte) da superfície terrestre: 
 
Figura 
5.1 A superfície física e o geoide. 
 
 Vertical do lugar (v) – linha de força do campo gravítico num ponto; esta direção é 
materializada por um fio de prumo; 
 Superfície de nível – (também designada por superfície equipotencial) superfície 
perpendicular, em todos os seus pontos, à direção da vertical do lugar (v); por cada 
ponto passa uma e uma só superfície de nível. É, por isso, uma superfície curva. No 
âmbito da Topografia estas superfícies consideram-se esféricas e concêntricas3; 
 Nível médio do mar em equilíbrio (Geoide) – altura média da superfície do mar 
obtida pelas leituras do nível das águas num marégrafo; a superfície de um líquido em 
repouso coincide com uma superfície de nível; 
 Datum vertical – superfície de nível arbitrada para origem das altitudes. Em Portugal, 
essa superfície é o nível médio da água do mar que resultou das medições do marégrafo 
de Cascais por um período de 19 anos; 
 Cota de um ponto – distância medida ao longo da vertical do lugar entre esse ponto e 
uma superfície de nível arbitrária (não necessariamente o datum vertical); 
 Altitude de um ponto (HA) – distância medida ao longo da vertical do lugar entre esse 
ponto, ou a superfície de nível que o contém, e o datum vertical; 
 
2 Continua a ser verdade para distâncias do domínio da topografia, ou seja, algumas (poucas) centenas de 
metros. Sempre que estes limites são ultrapassados a “planificação” da forma da Terra acarreta erros 
consideráveis. 
3 Veremos que, no caso de se considerarem distâncias curtas (algumas centenas de metros), estas superfícies 
podem ser substituídas por planos de nível. 
A 
B 
HA 
HB 
HAB 
v 
Superfície de nível que passa por A 
Superfície de nível que passa por B 
Superfície Física 
Nível médio das águas do mar (Geoide) 
v 
98 Topografia – Conceitos e Aplicações 
 
convencional, pois, na projeção ortogonal, sobre o plano horizontal a terceira dimensão é 
perdida. 
O nivelamento, qualquer que este seja, consiste num processo que tornará possível a 
determinação de cotas ou de altitudes de um ou mais pontos. 
5.1 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
Podemos definir nivelamento geométrico como sendo o tipo de nivelamento que visa 
obter desníveis, e consequentemente altitudes (ou cotas), com grande rigor, usando 
aparelhos topográficos chamados níveis. Baseia-se na execução de visadas horizontais, 
utilizando o nível, sobre réguas colocadas verticalmente nos pontos em questão. 
O nivelamento geométrico também poderia chamar-se nivelamento direto porque consiste 
em medir no terreno as diferenças de nível entre pontos. Na realidade, o método 
geométrico foi o primeiro a ser usado, embora não com o equipamento atual, para medir 
desníveis. O problema consiste no seguinte (observe-se a Figura 5.3): dados dois pontos Q 
e P, distanciados entre si no terreno, como medir o desnível entre eles? 
 
Figura 
5.3 O desnível entre os pontos P e Q. 
Os antigos usavam algo que pudesse materializar uma horizontal a partir de Q, uma tábua 
associada a um recipiente com água que servisse de nível, por exemplo, medindo depois 
com fita métrica, na vertical, a distância que vai desde a tábua até ao ponto P (Figura 5.3). 
Esta medida seria considerada o desnível pretendido (HQP). Este foi o método utilizado 
pelos nossos antepassados com os meios de que dispunham. 
Observa-se na Figura 5.3 que P está numa posição inferior a Q, logo: PTHH QP  . 
A diferença de nível entre dois pontos é um valor algébrico ( ou ). No caso presente, a 
diferença de nível é negativa. No entanto, isso também depende do sentido em que se 
P 
Q 
Datum vertical 
H=0 
T 
HP 
HQ 
HPQ 
100 Topografia – Conceitos e Aplicações 
 
5.1.1.1 O Nível 
O nível é um aparelho topográfico munido de uma luneta astronómica, nivelas esféricas 
e/ou tóricas e ainda parafusos nivelantes da base. Este tipo de elementos é também comum 
aos taqueómetros e estações totais, estando já abordados no capítulo sobre medição de 
ângulos. No entanto, o nível tem uma particularidade que o torna especialmente apto à 
medição de desníveis. Com ele é fácil materializar com rigor uma visada horizontal. 
Atualmente, os níveis poderão ser óticos ou digitais. Existem dois tipos de níveis óticos: 
níveis bloco e níveis de horizontalização automática. No caso do nível bloco, a 
horizontalização da luneta é efetuada com auxílio de uma nivela tórica colocada no 
montante da luneta. Mostra-se na Figura 5.5 um nível bloco juntamente com o seu 
esquema teórico. 
 
Figura 
5.5 O nível bloco: representação esquemática e fotografia. 
 
O nível bloco tem como condição de construção o paralelismo entre o eixo ótico e a 
diretriz da nivela tórica. A cada visada é necessário calar a nivela tórica, atuando num 
parafuso de inclinação, garantindo-se assim a horizontalidade da visada. Aliás, colocar um 
nível em estação não é mais do que garantir a perfeita horizontalidade da sua visada. 
O nível de horizontalização automática é, atualmente, o tipo de nível mais utilizado, 
possuindo um mecanismo interno que, atuando por gravidade, permite colocar a linha de 
visada perfeitamente horizontal desde que haja uma aproximação, prévia, à horizontal, o 
que se consegue com a nivela esférica. Pode observar-se um destes níveis na Figura 5.8. 
Este nível é mais cómodo por não ser necessário calar nenhuma nivela durante as visadas. 
Apenas quando se coloca o nível no tripé se cala a nivela esférica. 
Atualmente, surgiram os níveis digitais, aparelhos de grande simplicidade de utilização. 
Recorrem a dispositivos de compensação semelhantes aos dos níveis automáticos. A principal 
inovação consiste na utilização de uma câmara fotográfica digital e uma mira tipo códigos de 
barra (Figura 5.6). A grande vantagem deste tipo de nível reside no facto de as leituras serem 
Eixo de rotação 
Eixo ótico 
Diretriz da nivela tórica 
Parafusos nivelantes 
Nivela esférica 
102 Topografia – Conceitos e Aplicações 
 
5.1.2 Efetuar observações com nível 
Antes de realizar um nivelamento geométrico é fundamental garantir que são respeitadas 
todas as condições que levam ao correto funcionamento do método. Em termos de 
material, como foi visto no ponto anterior, necessitamos de um tripé, de um nível e de uma 
ou duas miras (réguas graduadas). 
A preparação para as observações com nível desenrola-se em quatro etapas: 
1. Colocar o tripé no local desejado: 
Ao realizar esta operação dever-se-á assegurar que a base fica numa posição 
aproximadamente horizontal. Os pés deverão, sempre que o terreno o permita, ser 
fixados ao solo, pressionando com o pé sobre o dispositivo apropriado. Teoricamente, 
este ponto (estação) pode ser qualquer um, normalmente o que permite melhor 
visibilidade dos pontos a observar. Veremos mais adiante que existem algumas 
condicionantes que limitam a escolha deste ponto. 
2. Apertar o nível sobre a base do tripé: 
Posicionar o nível no centro da base fixando-o a esta, sem forçar 
demasiado, por intermédio do parafuso que pode ser acedido pela parte 
inferior da base. 
3. Calar a(s) nivela(s): 
Por norma, os níveis possuem uma nivela esférica, a qual deve ser calada 
apenas no momento em que se coloca o nível no tripé. Por ser um tipo de nivela de 
baixa resolução, esta não mais se desretificará durante otrabalho nessa estação (até 
porque a nivela esférica horizontaliza o plano ao qual se associa). Se se tratar de um 
nível bloco então sempre que se faz uma observação é necessário calar a nivela tórica, 
normalmente por intermédio de um parafuso de inclinação. Recorde-se que a nivela 
tórica apenas horizontaliza o eixo ao qual se associa, neste caso o eixo ótico, não 
havendo garantia de manutenção da horizontalidade ao rodar o nível para visar outro 
ponto. No caso de um nível de horizontalização automática, mais nenhum cuidado 
especial será necessário. 
4. Realizar as observações sobre a mira: 
Depois de ultrapassadas as etapas anteriores, pode-se começar a efetuar as leituras sobre 
a mira, devendo, antes de tudo, focarem a imagem e os fios do retículo usando os 
parafusos apropriados7. 
 
7 A localização destes parafusos pode ser diferente dependendo do modelo e/ou marca do nível. 
104 Topografia – Conceitos e Aplicações 
 
dizer que, no caso do nivelamento geométrico, a distância entre a estação e o ponto visado 
é dada pela Equação (5.2).  13 LLKdh  (5.2) 
5.1.3 Nivelamento geométrico simples 
A determinação do desnível (H) entre dois pontos A e B é feita colocando o nível num 
ponto próximo de A e de B e visando, nos dois pontos, uma mira graduada, vertical. 
Fazem-se as leituras do fio médio do retículo (LA e LB). O desnível surge como a diferença 
entre as duas leituras. 
Quando um trabalho de nivelamento pode ser realizado recorrendo à utilização de uma 
única estação, é designado por nivelamento geométrico simples. As Figuras 5.10 e 5.11 
ilustram este processo, respetivamente, em perfil e em perspetiva. 
 
Figura 
5.10 Nivelamento geométrico simples (perfil). 
 
 
Figura 
5.11 Nivelamento geométrico simples (perspetiva). 
 
A 
LB 
HAB 
estação 
B 
LA 
Nível Mira 
Mira 
6 Apoio Topográfico
Ca
pít
ulo
 
 
 
 E
DI
ÇÕ
ES
 T
ÉC
NI
CA
S 
 
LID
EL
 
 
Como se disse no capítulo inicial deste livro, o objetivo lato da Topografia é a 
determinação de coordenadas de pontos. Essas coordenadas poderão pertencer a 
referenciais locais ou a referenciais mais gerais, regionais ou nacionais, dizendo-se, neste 
último caso, que estão ligadas à rede. No presente capítulo serão descritos métodos e 
técnicas que permitem obter coordenadas de pontos ligadas à rede. 
Por usar métodos e técnicas da geometria plana, a Topografia pode operar diretamente 
sobre o plano cartográfico, sendo este aquele que resulta da projeção da superfície terrestre 
num plano por um determinado sistema de projeção. Por esse motivo, a ligação à rede far-
se-á sempre por intermédio de coordenadas cartográficas, tendo que existir, no local de 
operação, um ou mais pontos de coordenadas conhecidas no sistema cartográfico em que 
se pretende operar. Esses pontos de apoio são os que constituem a rede geodésica nacional, 
assunto já abordado no Capítulo 2, ou outros previamente coordenados no local. 
A obtenção de coordenadas de pontos ligadas à rede pode ser um objetivo em si mesmo ou 
estar ligada a um processo de constituição de uma rede local para apoio a levantamentos 
topográficos. Estas redes de apoio topográfico resultam de um adensamento da rede 
geodésica, nos locais onde é necessário, usando métodos topográficos. Estes são 
triangulações, interseções e estabelecimento de poligonais de que falaremos mais adiante. 
Iremos iniciar este capítulo abordando uma série de problemas sobre ângulos, distâncias e 
orientações, que são no fundo os problemas fundamentais da Topografia. Estes problemas, 
e a forma como se resolvem, têm depois aplicação quer na obtenção isolada de 
coordenadas quer na ligação à rede, ou mesmo nas operações usuais durante o 
levantamento topográfico. 
6.1 PROBLEMAS SOBRE COORDENADAS, DISTÂNCIAS E ORIENTAÇÕES 
Antes de nos referirmos aos vários processos que permitem densificar a rede topográfica, 
nomeadamente as interseções e as poligonais, serão tratados alguns problemas tipo da 
Topografia, pois compreendem a utilização de distâncias, coordenadas e orientações, em 
suma, as principais quantidades topográficas, relacionadas com a planimetria. 
Na Topografia, são utilizadas coordenadas planas, resultantes de uma projeção cartográfica 
que transforma a superfície curva da Terra (superfície de referência – elipsoide) numa 
superfície plana. No nosso país é utilizada a projeção de Mercator transversa, que devido à 
dimensão reduzida do nosso território dá origem a distorções pequenas (ver Capítulo 2). 
Apoio Topográfico 139
 
 
 E
DI
ÇÕ
ES
 T
ÉC
NI
CA
S 
 
LID
EL
 
 
O ângulo horizontal formado por uma direção e a direção do Norte cartográfico designa-se por 
rumo cartográfico. O rumo cartográfico de uma direção AB será representado como RAB. 
Nas secções seguintes referir-nos-emos ao rumo cartográfico, por vezes, simplesmente 
como rumo. 
6.1.2 Cálculo de rumo cartográfico e da distância entre dois pontos de coordenadas conhecidas 
O problema pode ser apresentado da seguinte forma: dadas as coordenadas de dois pontos A e 
B, pretende-se determinar a distância entre os pontos, assim como o rumo da direção AB. 
Na Figura 6.2 ilustra-se uma possível representação esquemática em função das 
coordenadas dos pontos. São ainda representadas, nesta figura, as várias quantidades, 
conhecidas e a determinar. 
 
Figura 
6.2 Representação esquemática do problema. 
Para facilitar a compreensão da dedução do rumo de uma direção, atentemos na Figura 6.3, 
que representa a mesma situação da Figura 6.2, mas, agora, com a inclusão de quantidades 
auxiliares. 
 
Figura 
6.3 Determinação do rumo. 
B
A 
NC 
RAB 
AB
M=MB-MA
P=PB-PA
B 
A
NC 
NC 
MA MB 
PA 
PB RAB 
Dados:


);(
);(
BB
AA
PMB
PMA
 
A determinar: 

ABR
AB
 
AB 
Apoio Topográfico 141
 
 
 E
DI
ÇÕ
ES
 T
ÉC
NI
CA
S 
 
LID
EL
 
 
Marco Geodésico M (m) P (m) 
Fragas de Ermida 21.279,22 174.192,42 
Seixinhos 20.215,20 171.308,08 
 
Resolução 
A figura seguinte representa, à escala 1:50.000, a posição dos marcos geodésicos referidos. 
Pretende-se determinar a distância entre os marcos FS e o rumo FSR . 
 
Determinação do rumo: 
Bastará aplicar a expressão deduzida anteriormente e somar 200g ao resultado: 
garctgRFS 499,22234,2884
02,1064 
 

 
6.1.3 Obtenção do rumo inverso de uma direção 
Quando determinamos um rumo de uma direção materializada por dois pontos, A e B, na 
Figura 6.4, é sempre possível definir dois sentidos, logo, dois rumos, ABR e BAR . Estes 
rumos designam-se por rumos inversos e estão relacionados, como mostra a Figura 6.4. 
Fragas da Ermida 
Seixinhos B 
A 
N 
S 
W E
Determinação da distância: 
m M 02,106422,279.2120,215.20  
m P 34,288442,192.17408,308.171  
 
Pela avaliação destas diferenças, imediatamente se conclui
que este rumo é um ângulo pertencente ao 3º quadrante
(ver Tabela 6.1), pelo que será necessário somar, ao
resultado obtido, 200 g. 
 
    mFS 34,307434,288402,1064 22  
 
A distância foi arredondada com a precisão das
coordenadas, isto é, até ao centímetro. 
Apoio Topográfico 143
 
 
 E
DI
ÇÕ
ES
 T
ÉC
NI
CA
S 
 
LID
EL
 
 
Da Figura 6.6 obtém-se a Relação (6.5). 
 BABC RR gRR ABBC 200  (6.5) 
Podemos então dizer que para propagar um rumo bastará usar o rumo da direção anterior 
(RAB), somar o ângulo formado pelas duas direções (α) e somar ou subtrair meia-volta 
(200g). 
6.1.4.1 Transporte de coordenadas 
Este problema pode ser exposto da forma seguinte: conhecidas as coordenadas de um 
pontoA e medindo a distância desse ponto a um ponto B, assim como o rumo dessa 
direção (RAB), determinar as coordenadas do ponto B. 
Da Figura 6.6 pode-se obter a Relação (6.6). 
 
 




AB
PP
AB
AB
MM
AB
AB
AB
cos
sin
 (6.6) 
De onde, resolvendo a 1ª Equação de (6.6) em ordem a MB e a 2ª em ordem a PB, obtém- 
-se a Equação (6.7). 
 
 




ABABPP
ABABMM
AB
AB
cos
sin
 (6.7) 
 
Figura 
6.6 Propagação de coordenadas. 
 
B 
A 
NC 
NC 
MA MB 
PA 
PB 
RAB 
Dados:


ABR
PMA
AB
AA
,
);(
 
A determinar: );( BB PMB 
AB 
Apoio Topográfico 145
 
 
 E
DI
ÇÕ
ES
 T
ÉC
NI
CA
S 
 
LID
EL
 
 
De notar que FSR já tinha sido calculado anteriormente. 
Pode-se agora aplicar o transporte de coordenadas, ou seja, utilizar a expressão (1) para 
determinar as coordenadas pretendidas: 
 
 
 

mSCSCPP
mSCSCMM
SC
SC
 27,238.171)177,178cos(12,7408,308.171cos
 11,240.20)177,178sin(12,7420,215.20sin
 
6.1.4.2 Orientação do limbo horizontal 
Orientar o limbo horizontal de um aparelho topográfico significa possibilitar a obtenção de 
rumos. Os teodolitos e as estações totais são colocados em estação com o limbo horizontal 
numa posição arbitrária, não sendo, por isso, possível ler diretamente rumos. As leituras do 
limbo horizontal estão relacionadas com uma origem arbitrária, mas que em princípio será 
constante durante uma sessão de trabalho, para a mesma estação. A determinação de rumos 
necessita do conhecimento do rumo de uma direção a partir do ponto estação. Dois 
procedimentos podem ser utilizados: 
1. Orientação por coordenadas: 
O aparelho encontra-se estacionado num ponto A de coordenadas conhecidas e 
dispomos de um ponto B também de coordenadas conhecidas. Pretendemos determinar 
o rumo da direção AP, tal como ilustrado na Figura 6.7. 
Este procedimento passa sempre por: 
a) Obter RAB com as coordenadas dos pontos A e B; 






AB
AB
AB PP
MM
arctagR (6.8) 
b) Visar B e P e ler no limbo horizontal, LHB e LHP. 
Posteriormente, podem ser adotados dois processos de cálculo distintos: 
O primeiro processo consiste em obter o ângulo entre as direções AB e AP: 
  LH LHP B (6.9) 
e daí obter-se a Relação (6.10). 
R RAP AB   (6.10)
O segundo processo, mais prático e por isso mais usado, consiste em calcular o rumo da 
direção cuja leitura no limbo horizontal é zero (R0 da estação), como apresentado na 
Equação (6.11). 
BAB LHRR 0 (6.11)