Lista 3 - Probest
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Instituto de Matema´tica - INMA/UFMS
Terceira Lista de Probabilidade e Estat´\u131stica - Engenharia Civil
1. Uma urna conte´m 8 bolas, sendo 3 bolas amarelas e 5 bolas vermelhas e retira-se
uma bola dessa urna. Seja X a varia´vel que indica se a bola amarela foi sorteada.
Determine:
(a) A probabilidade de sair uma bola amarela? Resp: 3/8.
(b) E(X) e V ar(X)? Resp: E(X) = 3/8 e V ar(X) = (3/8).(5/8).
2. Das varia´veis abaixo descritas, assinale quais sa\u2dco binomiais, e para estas de\u2c6 as
respectivas distribuic¸o\u2dces de probabilidades. Quando julgar que a varia´vel na\u2dco e´
binomial, aponte as razo\u2dces de sua conclusa\u2dco.
(a) De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, sem reposic¸a\u2dco,
cinco bolas. Seja X o nu´mero de bolas brancas nas 5 extrac¸o\u2dces. Resp: Na\u2dco.
(b) De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, com reposic¸a\u2dco,
cinco bolas. Seja X o nu´mero de bolas brancas nas 5 extrac¸o\u2dces. Resp: Sim.
3. Uma usina hidroele´trica tem 5 geradores que funcionam independentemente, cada
um com probabilidade 0.98 de estar em operac¸a\u2dco. Qual a probabilidade de que exa-
tamente dois estejam em funcionamento em determinado instante? E(X)?V ar(X)?
Resp: 0.000077; E(X) = 4.9; V ar(X) = 0.098.
4. Um fabricante de perfurador de solo na construc¸a\u2dco civil, garante que uma caixa de
seus perfuradores contera´ no ma´ximo, 2 defeituosos. Se a caixa conte´m 18 pec¸as,
e a experie\u2c6ncia tem demonstrado que esse processo de fabricac¸a\u2dco produz 5% de
perfuradores defeituosos, qual a probabilidade de que uma caixa satisfac¸a a garantia?
Resp: 0.9419.
5. Certa fa´brica produz betoneiras, dos quais 15% sa\u2dco defeituosos. Achar a proba-
bilidade de que, numa amostra de 10 betoneiras selecionados ao acaso, tenhamos
nenhum defeituoso. Pelo menos um defeituoso. No ma´ximo um defeituoso. Resp:
0.1969; 0.8031; 0.5443.
6. Seja X uma varia´vel que indica o nu´mero de parafusos defeituosos produzidos pela
ma´quina A. Se a probabilidade desta ma´quina produzir um parafuso defeituoso e´
de 5%. Ao selecionar aleatoriamente dois parafusos, qual a probabilidade de ambos
serem defeituosos? Ao selecionarmos 50 parafusos, qual e´ a E(X) e a V ar(X)?
Resp: 0.0025; E(X) = 2.5; V ar(X) = 2.4.
7. Achar a me´dia e a varia\u2c6ncia da varia´vel aleato´ria Y = 3X +2, sendo o experimento
repetido 20 vezes e a probabilidade de sucesso na varia´vel aleato´ria X e´ de 0.3.
Resp: E(Y ) = 20; V ar(Y ) = 37.8.
8. Se X \u223c Bin(n; p). Em que µ = 12 e \u3c32 = 3. Calcule:
(a) n e p.
(b) E(Z) e V ar(Z), em que Z = X\u221212\u221a
3
.
Resp:(a) n=16; p=0.75 (b) E(Z) = 0; V ar(Z) = 1.
1
9. Uma fileira de luzes de Natal conte´m 20 la\u2c6mpadas ligadas em se´rie, isto e´, se uma
delas falha, toda a fileira falhara´. Cada la\u2c6mpada tem 0.02 de probabilidade de falhar
durante um per´\u131odo de 3 anos. As la\u2c6mpadas falham independente umas das outras.
Qual e´ a probabilidade de toda a fileira de la\u2c6mpadas permanecer sem falhar durante
tre\u2c6s anos? Resp: 0.6676.
10. Sa\u2dco contadas os nu´meros de part´\u131culas radioativas emitidas em cada intervalo de 5
segundos. Suponha que o nu´mero de part´\u131culas emitidas durante cada intervalo de
5 segundos tenha uma distribuic¸a\u2dco Poisson com para\u2c6metro 2. Qual a probabilidade
de que menos de 3 part´\u131culas sejam emitidas? Resp: 0.6765.
11. Seja X o nu´mero de acidentes de trabalho no me\u2c6s ocorridos na construc¸a\u2dco civil.
Se o nu´mero me´dio de acidentes por me\u2c6s e´ 3, qual a probabilidade de na\u2dco ocorrer
nenhum acidente no pro´ximo me\u2c6s? Resp: 0.05.
12. Em um livro de 800 pa´ginas ha´ 800 erros de impressa\u2dco. Qual a probabilidade de
que uma pa´gina contenha pelo menos 3 erros? Resp: 0.0803.
13. Em uma central telefo\u2c6nica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade
de que a central receba 2 chamadas em 2 minutos? t chamadas em 5 minutos?
Resp: 0.00227; P (X = t) = 25
te\u221225
t!
.
14. Em me´dia ha´ duas chamadas por hora num certo telefone. Calcular a probabilidade
de se receber no ma´ximo 3 chamadas em duas horas e a probabilidade de nenhuma
chamada em 90 minutos? Resp: 0.4331; 0.0498.
15. O nu´mero de part´\u131culas radioativas emitidas por uma fonte segue distribuic¸a\u2dco de
Poisson com \u3bb = 0.5 part´\u131culas por segundo. Qual a probabilidade de a fonte emitir
uma part´\u131cula em tre\u2c6s segundos? Qual a probabilidade de a fonte emitir no ma´ximo
duas part´\u131culas em 3 segundos? Resp: 0.3347; 0.8088.
16. Numa linha adutora de a´gua, de 60 km de extensa\u2dco, o nu´mero de vazamento no
per´\u131odo de um me\u2c6s e´ em me´dia 4. Qual e´ a probabilidade de ocorrer, durante o me\u2c6s,
pelo menos um vazamento num setor de 3 km de extensa\u2dco? Resp: 0.1813.
17. Um fabricante afirma que apenas 5% de todas as va´lvulas que produz tem durac¸a\u2dco
inferior a 20 horas. Uma indu´stria compra semanalmente um grande lote de va´lvulas
desse fabricante, mas sob a seguinte condic¸a\u2dco: ela aceita o lote se, em 10 va´lvulas
escolhidas ao acaso, no ma´ximo uma tiver durac¸a\u2dco inferior a 20 horas; caso contra´rio
o lote e´ rejeitado.
(a) Se o fabricante de fato tem raza\u2dco, qual a probabilidade de um lote ser rejeitado?
(b) Suponha agora que o fabricante esteja mentindo, isto e´, na verdade a proporc¸a\u2dco
de va´lvulas com durac¸a\u2dco inferior a 20 horas e´ de 10%. Qual a probabilidade do lote
ser aceito, segundo o crite´rio acima? Resp: (a) 0.0861; (b) 0.736098.
18. Numa determinada estrada ocorrem em me´dia 2 acidentes para cada 100 km. Qual
a probabilidade de que em 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes? Em 300 km
ocorram 5 acidentes? Resp: 0.8753; 0.1606.
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19. Em um certo tipo de fabricac¸a\u2dco de fita magne´tica, ocorrem cortes a uma taxa de 1
por 2.000 cm. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 cm tenha nenhum
corte? No ma´ximo dois cortes? Pelo menos dois cortes? Resp: 0.3679; 0.9197;
0.2642.
20. Uma fa´brica produz tecidos com me´dia de 2.2 defeitos por jarda quadrada. Deter-
mine as seguintes probabilidades:
(a) na\u2dco mais de 4 defeitos numa jarda quadrada; Resp: 0.9275.
(b) nenhum defeito em duas jardas quadradas; Resp: 0.0123.
(c) duas jardas quadradas cada uma com dois defeitos. Resp: 0.0719.
21. Bateladas que consistem em 50 molas helicoidais, proveninetes de um processo de
produc¸a\u2dco, sa\u2dco verificadas com relac¸a\u2dco a` conformidade em relac¸a\u2dco aos requerimentos
dos consumidores. O nu´mero me´dio de molas na\u2dco conformes em uma batelada e´
igual a 5. Considere que o nu´mero de molas na\u2dco conformes em uma batelada,
denotado por X, seja uma varia´vel aleato´ria binomial. Quais sa\u2dco os valores de n e
p? P (X \u2264 2)? P (X \u2265 49)? P (X \u2265 3)?
Resp: n = 50 e p = 0.1; 0.1117; 4.51x10\u221248; 0.8883.
22. Em um processo de fabricac¸a\u2dco que lamina va´rias camadas de cera\u2c6mica, 1% dos
arranjos tem defeitos. Considere que os arranjos sejam independentes. Qual o
nu´mero me´dio e a varia\u2c6ncia dos arranjos que necessitam ser verificados, de modo a
se obter 5 arranjos com defeitos? Resp: 0.05 e 0.00495.
23. O nu´mero de falhas em parafusos de ma´quina de indu´stria te\u2c6xtil segue uma dis-
tribuic¸a\u2dco Poisson, com uma me´dia de 0.1 falha por metro quadrado. Qual e´ a
probabilidade de que: haja 2 falhas em um metro quadrado de tecido? 1 falha em
10 metros quadrados de tecido? Na\u2dco haja falha em 20 metros quadrados de tecido?
Resp: 0.0045; 0.3678 e 0.1353.
24. Em uma sec¸a\u2dco de uma autoestrada, o nu´mero de buracos, que e´ bastante significante
para requerer reparo, e´ suposto seguir uma distribuic¸a\u2dco Poisson, com uma me´dia
de dois buracos por milha. Qual e´ a probabilidade de que na\u2dco haja buracos que
requeiram reparo em 5 milhas de autoestrada? Qual e´ a probabilidade de que no
m\u131´nimo um buraco requeira reparo em 0.5 milha de autoestrada? Resp: 0.000045
e 0.6321.
25. O nu´mero de falhas em parafusos de ma´quina de indu´stria te\u2c6xtil segue uma dis-
tribuic¸a\u2dco Poisson, com uma me´dia de 0.1 falha por metro quadrado. Qual e´ a
probabilidade de que: haja 2 falhas em um metro quadrado de