PF 2015.2 Discursivas

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INSTITUTO DE F´ISICA - UFRJ
Parte 2 - PF de Fı´sica I - 2015-2
Questo˜es Discursivas
Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que: todos os fios e molas sa˜o ideais;
os fios permanecem esticados durante todo o tempo; a resisteˆncia do ar e´ desprezı´vel;
a gravidade tem mo´dulo g conhecido.
Questa˜o 1 [valor 2,6] A figura mostra um circuito ABCDE de atrito desprezı´vel, com um trecho horizontal BC, um
arco de cı´rculo CE de raio R e o ponto A a uma altura h do trecho horizontal. Um bloco de massa m e´ abandonado em
repouso no ponto A e um bloco ideˆntico esta´ em repouso sobre o circuito entre B e C. O bloco abandonado em A sofre
uma colisa˜o perfeitamente inela´stica, com os blocos permanecendo unidos apo´s a colisa˜o. Calcule
(a) a velocidade do bloco abandonado em A imediatamente antes de colidir com o outro bloco;
(b) a velocidade do conjunto imediatamente depois da colisa˜o;
(c) a velocidade do conjunto no ponto D, onde a direc¸a˜o da normal faz um aˆngulo θ = 60◦ com a vertical (Supondo que
a altura h seja suficiente para que os blocos passem por esse ponto com velocidade na˜o nula);
(d) o valor da forc¸a normal que age sobre os dois blocos grudados, no ponto D.
mA
h
m
B C
R
θ
D
2m
E
Questa˜o 2 [valor 2,6] Um disco homogeˆneo de massa M e raio R encontra-se em repouso sobre uma superfı´cie plana,
horizontal e com atrito. Num dado instante, ele e´ puxado por um fio ideal que esta´ enrolado em sua periferia, como
mostrado na figura. A forc¸a exercida pelo fio e´ horizontal e tem mo´dulo F constante. Sabe-se que o disco rola para a
direita, sem deslizar sobre a superfı´cie, e que seu momento de ine´rcia em relac¸a˜o a um eixo perpendicular ao plano do
disco e que passa pelo seu centro e´ ICM =MR2/2.
(a) Fac¸a um diagrama representando todas as forc¸as que agem sobre o disco nos seus respectivos pontos de aplicac¸a˜o;
(b) calcule o mo´dulo da acelerac¸a˜o do centro de massa do disco;
(c) determine a forc¸a de atrito que age sobre o disco (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido).
5
Resoluc¸a˜o:
Questa˜o 1 (a) As forc¸as que atuam sobre o bloco no trecho AB sa˜o apenas o peso e a normal. A normal e´ perpendicular
a` trajeto´ria; logo, o trabalho devido a ela neste trajeto e´ nulo. O peso e´ uma forc¸a conservativa. Assim, podemos usar a lei
de conservac¸a˜o da energia mecaˆnica entre os pontos A e B. Para tanto, vamos considerar o nivel zero da energia potencial
gravitacional coincidindo com o trecho horizontal do circuito.
EA = EB
KA + UA = KB + UB (1)
onde KA = 0 (o bloco e´ solto do repouso), UA = mgh, KB = mv2B/2 e UB = 0.
mgh =
mv2B
2
(2)
A velocidade do bloco B e´
vB =
√
2gh (3)
(b) A soma das forc¸as externas e´ nula, portanto podemos aplicar a lei da conservac¸a˜o do momento linear para os
instantes antes e depois da colisa˜o.
~pi = ~pf (4)
A velocidade do primeiro bloco foi calculada no item (a), ~v1i = vB iˆ =
√
2gh iˆ, e o segundo bloco esta´, inicialmente,
em repouso ~v2i = ~0 (estamos assumindo o eixo Ox na horizontal orientado para a direita). O momento total do sistema
formado pelos dois blocos antes da colisa˜o e´:
~pi = m
√
2gh iˆ (5)
Como se trata de uma colisa˜o completamente inela´stica os dois blocos saem juntos apo´s a colisa˜o, isto e´, ~v1f = ~v2f =
~vf . O momento linear total imediatamente apo´s a colisa˜o e´:
~pf = m~v1f +m~v2f = 2m~vf (6)
Assim,
m
√
2gh iˆ = 2m~vf ⇒ ~vf =
√
gh
2
iˆ (7)
A velocidade do conjunto imediatamente apo´s a colisa˜o e´ vf =
√
gh/2.
(c) As u´nicas forc¸as que atuam em todo percurso sa˜o o peso e a normal. O peso e´ uma forc¸a conservativa e a normal
na˜o realiza trabalho neste trajeto; logo, para encontrar a velocidade vD, podemos usar a lei de conservac¸a˜o da energia
mecaˆnica entre os pontos C e D.
EC = ED
KC + UC = KD + UD (8)
onde KC = 2mv2C/2 (a velocidade do conjunto no ponto C, vC = vf =
√
gh/2 foi calculada no item (b)), UC = 0,
KD = 2mv
2
D/2 e UD = 2mghD. A altura do ponto D e´
hD = R−R cos 60◦ = R− R
2
=
R
2
(9)
6
Logo,
2mv2C
2
=
2mv2D
2
+ 2mghD
1
2
2m
(√
gh
2
)2
= mv2D +mgR (10)
O mo´dulo da velocidade no ponto D e´ vD =
√
g (h− 2R)/2.
(d) Supondo que o conjunto chega com uma velocidade na˜o-nula no ponto D, deve haver uma resultante centrı´peta
de mo´dulo 2mv2D/R, onde vD e´ a velocidade do conjunto no ponto D. As forc¸as que atuam no ponto D sa˜o o peso ~PD,
|~PD| = 2mg e a normal ~ND. A normal e´ perpendicular ao circuito e aponta para o centro do arco de cı´rculo CE, o peso
aponta para baixo e tem uma componente radial Py′ = PD cos 60◦ = 2mg (1/2) = mg.
Para que o conjunto permanec¸a em movimento circular ao longo do circuito CE, a resultante das forc¸as na direc¸a˜o
radial deve ser igual a` resultante centrı´peta, ou seja,
ND − Py′ = 2mv
2
D
R
ND −mg = 2m
R
(√
g
h− 2R
2
)2
(11)
A normal no ponto D e´ ND = mg (h/R − 1).
7
Questa˜o 2 a) Diagrama de forc¸as
~F a forc¸a aplicada sobre o disco
~P a forc¸a peso
~N a forc¸a normal
~fat a forc¸a de atrito sobre o disco (adotando o
mesmo sentido da forc¸a ~F )
b) aCM
A dinaˆmica do disco e´ descrita pela combinac¸a˜o de dois modos de movimento:
Translac¸a˜o: ~F + ~fat + ~N + ~P =M~aCM
Rotac¸a˜o: ~τF + ~τfat + ~τN + ~τP = I~α
Como o disco rola sem deslizar ha´ o vı´nculo entre a acelerac¸a˜o do centro de massa e a acelerac¸a˜o angular, dado por
aCM = αR.
Para a translac¸a˜o considerando o sentido positivo o mesmo da forc¸a ~F :
F + fat =MaCM i)
N − P = 0
Para a rotac¸a˜o calculando os torques em relac¸a˜o ao centro do disco e adotando o sentido anti-hora´rio como positivo, os
torques devidos a` forc¸a normal ~N e ao peso ~P sa˜o nulos, temos:
Rfatkˆ −RFkˆ = Iα(−kˆ) → −Rfat +RF = Iα ii)
Das relac¸o˜es i), ii) e o vı´nculo, α = aCM/R, temos o sistema de equac¸o˜es:

fat + F =MaCM iii)
F − fat = I aCM
R2
A soluc¸a˜o deste sistema nos fornece, onde I = (1/2)MR2,
aCM =
2F
(M + I/R2)
→ aCM = 4
3
F
M
c) ~fat
Para obter a forc¸a de atrito podemos usar a relac¸a˜o iii), com o resultado da acelerac¸a˜o do centro de massa,
F + fat =✚✚M
4
3
F
✚✚M
→ fat = F
3
O sinal positivo encontrado para a forc¸a de atrito indica que o sentido adotado para esta forc¸a esta´ correto. Portanto
de acordo com os unita´rios indicados
~fat =
F
3
ıˆ
8