Apostila 8 - Rotação - Professor Claudio - FURG

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Física I - sistema com N particulas - Rotações
Claudio M. Maekawa
The Date
ii
Contents
Física Geral I - Rotações vii
1 Rotação 1
1.1 Variáveis de Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Na direção r^: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Na direção tangente à curva (direção �^) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Período . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Vetores angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Energia Cinética de Rotação e Momento de Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Sistema de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Cálculo de Momento de Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.1 Momento de inércia de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.2 Momento de inércia de sistemas contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Teorema do Eixo Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7.1 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8.1 Aplicação - torque de motores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9 Rotação, Segunda Lei de Newton - massa constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.10 Trabalho e energia cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.10.1 Cálculo do trabalho devido ao torque � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Rolamento 21
2.0.2 Rolamento da roda: eixo de rotação no CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.0.3 Rolamento da roda: eixo de rotação no contacto c/ o solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.0.4 Energia Cinética de Rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.0.5 Forças de Rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1 Quantidade de Movimento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 A segunda Lei de Newton para rotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Sistema de N partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.3 Sistema com dois corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.4 Conservação de momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
iii
iv CONTENTS
2.1.5 Aplicação: roda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.6 Aplicação: Giroscópio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
A The First apendix 33
Afterword 35
Preface
v
vi PREFACE
Física Geral I - Rotações
Parte I-
Conceitos básicos:
Variáveis angulares: posição angular �, velocidade angular !, aceleração angular �.
Relação com as variáveis lineares, s, v e a
Variáveis angulares: signi…cado da notação vetorial
Grandeza especial: Período T .
Energia cinética de Rotação - Momento de inércia - Teorema do eixo paralelo
Torque - A segunda lei de Newton para rotação -
Rotação: Trabalho e Energia Cinética
vii
viii FÍSICA GERAL I - ROTAÇÕES
Chapter 1
Rotação
O movimento de rotação ocorre em torno de um ponto especí…co denominado de centro de rotação.
Esse centro de rotação pode ser o Centro de Massa de um corpo.
Ou pode ser outro ponto ou até um eixo, o eixo de rotação:
1
2 CHAPTER 1. ROTAÇÃO
A trajetória de um corpo pode ter mais de um centro de rotação. Nesse caso cada centro é válido por um
instante apenas. Esses centros são denominados de centros instantâneos de rotação.
1.1 Variáveis de Rotação
Variáveis adequadas ! simpli…cam a descrição.
A escolha das variáveis é baseda pela simetria do movimento.
O ponto em foco descreve uma …gura 2D.
Essa …gura possui uma simetria.
Qual simetria? - Simetria circular ! variáveis polares.
Se escolhermos x e y, ambas coordenadas são necessárias para descrever o movimento.
Se escolhermos r e �.
Decomposição do movimento:
(
na direção r^
na direção tangente à curva. (�^)
1.1.1 Na direção r^:
Temos:
~r = r (t) r^ (1.1)
Descreve um movimento retilíneo, entre as possibilidades conhecemos dois:
MRU r (t) = r0 + v0t;
MRUV r (t) = r0 + v0t+ 12at
2
E também têm-se
r (t) = r; r = const: (1.2)
1.2. NA DIREÇÃO TANGENTE À CURVA (DIREÇÃO �^) 3
1.2 Na direção tangente à curva (direção �^)
Novas variáveis.
Posição Angular
Para uma trajetória curva. A partir de um eixo que passa pelo centro O e corta a curva em A, de…ne-se:
A posição angular �: É o ângulo formado entre o eixo OA e a segunda reta OB.
O Deslocamento Angular.
É de…nido por
�� = � � �0 (1.3)
onde �0 é o ângulo inicial e � é o ângulo …nal.
Relação entre �� e �S.
Usando a de…nição de ângulo se obtém essa relação.
Revisão: De…nição de ângulo: é a razão entre o comprimento de um arco �S e o raio r do setor
�� =
�S
r
(1.4)
Mantendo r constante, dessa expressão pode-se obter:
�S = r��: (1.5)
A unidade de ângulo é dado em radianos assim �S e r são dados em metros.
Velocidade angular média
A partir da de…nição de velocidade média
vm =
�S
�T
(1.6)
Podemos obter
�S
�t
= r
��
�t
:
4 CHAPTER 1. ROTAÇÃO
E de…ne-se a velocidade angular média !m por
!m =
��
�t
e temos a seguinte relação entre as velocidades médias linear vm e angular !m
vm = r!m: (1.7)
Velocidade angular instantânea: !
Análogo à de…nição de v, temos
! = lim
�t!0
��
�t
=
d�
dt
: (1.8)
e para a relação entre v e !, temos
lim
�t!0
�S
�t
= lim
�t!0
r
��
�t
= r lim
�t!0
��
�t
;
ou seja:
v = r!: (1.9)
Dessa expressão, obtemos
v0 = r!0; v = r!
e calculando �v = v � v0:
�v = r! � r!0 = r�!: (1.10)
Aceleração angular média �m e instantânea � :
De am = �v=�t e �v = r�!, obtemos
am = r�m: (1.11)
onde
�m =
�!
�t
;
é a de…nição de aceleração angular média.
Toma-se o limite para �t! 0 em (1.11)
lim
�t!0
am = lim
�t!0
r�m = r lim
�t!0
�m: (1.12)
e obtemos
a = r� (1.13)
onde
� = lim
�t!0
�m =
d!
dt
(1.14)
é a aceleração angular instantânea.
A equação � (t)
A partir de
s (t) = s0 + v0t+
a
2
t2
1.2. NA DIREÇÃO TANGENTE À CURVA (DIREÇÃO �^) 5
e de
s = r�; v = r!; a = r� (1.15)
obtemos:
r� (t) = r�0 + r!0t+
r�
2
t2
elimina r chegamos à equação:
� (t) = �0 + !0t+
�
2
t2: (1.16)
A partir dessa equação pode-se derivar a equação ! (t),por
d
dt
� (t) =
d
dt
�
�0 + !0t+
�
2
t2
�
; (1.17)
do lado direito, temos
d
dt
�0 = 0;
d
dt
(!0t) = !0;
d
dt
��
2
t2
�
= �t
assim
! (t) = !0 + �t: (1.18)
De forma análoga à equação � (t) essa equação se relaciona com a equação da velocidade linear:
v (t) = v0 + at: (1.19)
Exercício: Obtenha a equação de v (t) a partir de ! (t).
1.2.1 Período
Em radianos uma volta completa no circulo é �� = 2� radianos.
� (t)� �0 = 2� = !0t+ �
2
t2 (1.20)
No caso de ! = !0 = constante , então � = 0 e temos
2� = !0t(1.21)
De…ne-se o período T como o tempo necessário para se dar uma volta completa no circulo mantendo a velocidade
angular constante.
t de 1 voltaz}|{
T =
dist: de 1 voltaz}|{
2�
!0
: (1.22)
Podemos relacionar com o módulo v da velocidade tangencial, usando
v = r!0 ! !0 = v
r
(1.23)
e obtemos
t: de 1 volta no circ:z}|{
T =
comprim: do circuloz}|{
2�r
v
:
6 CHAPTER 1. ROTAÇÃO
1.3 Vetores angulares
As variáveis angulares vetoriais são de…nidas com base no eixo de rotação da seguinte forma.
Vetor posição angular ~�.
O módulo do vetor é o ângulo ���~���� = �: (1.24)
A direção é ao longo do eixo de rotação
e o sentido é determinado pela regra da mão direita / parafuso destro: Os dedos acompanham o giro sobre o circulo
e o polegar aponta na direção e sentido do vetor.
Sendo o eixo de rotação ao longo do eixo z^. O versor �^ = z^ e o vetor ~� é denotado por
~� = � z^ = � �^ (1.25)
Os vetores ~! e ~�
O versor �^ é mantido constante pois o eixo de rotação não muda de direção .
Assim aplicando uma vez d=dt, obtemos
d
dt
~� =
d
dt
� �^;
~! = !�^: (1.26)
O vetor ~! também está ao longo do eixo de rotação.
Análogamente, obtemos
~� = ��^. (1.27)
A aceleração centrípeta (apontada para o centro de rotação)
Foi visto que uma partícula em movimento circular possui a aceleração centrípeta
ar =
v2
r
; (1.28)
usando v = r! obtemos
ar =
(!r)
2
r
= !2r (1.29)
Essa aceleração é radial (na direção do raio) e apontada para o centro do circulo, assim
~ar = �ar r^ = �!2r r^ (1.30)
Como r^ é perpendicular à �^ , temos que
~ar ? ~�: (1.31)
1.4. ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO E MOMENTO DE INÉRCIA 7
1.4 Energia Cinética de Rotação e Momento de Inércia
Seja dado um sistema com N partículas de massas mi e velocidade ~vi em movimento circular. A velocidade ~vi é
tangencial à curva. Vamos ao caso em que a velocidade angular !i de cada partícula são todas iguais, !i = !. Nesse
caso todas as partículas giram como um todo.
A energia cinética da partícula i é dada por:
Ki =
1
2
mi~v
2
i :
A energia cinética total é a soma de todas as Ki, i.e:
Ktot =
NX
i=1
Ki =
NX
i=1
1
2
mi~v
2
i : (1.32)
A velocidade tangencial ~vi das partículas dependem da posição radial ~ri delas em relação ao centro do circulo:
vi = ri!
e temos
~v2i = v
2
i = (ri!)
2
: (1.33)
Substituindo na expressão de Ki, temos
Ktot =
NX
i=1
1
2
mi (ri!)
2
=
NX
i=1
1
2
mir
2
i !
2: (1.34)
O módulo da velocidade angular ! é a mesma para todas as partículas. A somatória
PN
i=1 não afeta ! e podemos
escrever:
Ktot =
1
2
"
NX
i=1
mir
2
i
#
!2 (1.35)
A quantidade no colchetes depende das propriedades das partículas e recebe um nome especial.
O Momento de Inércia de rotação
I =
NX
i=1
mir
2
i (1.36)
8 CHAPTER 1. ROTAÇÃO
Com essa de…nição reescreve-se Ktot por
Ktot =
1
2
I!2 (1.37)
é a energia cinética de rotação.
O papel de I.
Compare com m da expressão:
Ktot =
1
2
mv2 (1.38)
pode-se ver que I representa o papel análogo à m.
A massa é também interpretada como massa inercial, i.e., grau de inércia ou resitência da partícula em mudar
de velocidade linear.
Nesse sentido o momento de inércia I é o grau de inércia ou resistência da partícula em mudar a velocidade
angular. Assim I também é chamado de inércia de rotação.
Isto quer dizer que:
quanto maior I mais difícil é mudar ~!
1.5 Sistema de Unidades
No sistema SI os ângulos medidos em rad = radianos
A velocidade é dada em rad=s.
Mas também podem ser usadas
rpm = 1 volta (rotação) por minuto
Hz = 1 volta por segundo.
Ou seja podemos converter a velocidade em frequência.
O momento de inércia I é dado em kg m2
1.6 Cálculo de Momento de Inércia
A expressão
I =
NX
i=1
mir
2
i
é adequado para um sistema discreto de N partículas.
Para um sistema contínuo, temos
mi ! dm; ri ! r;
NX
i=1
!
Z
; (1.39)
e reescreve-se
I =
Z
r2dm: (1.40)
onde dm é o elemento de massa localizado na posição ~r.
1.6. CÁLCULO DE MOMENTO DE INÉRCIA 9
1.6.1 Momento de inércia de sistemas discretos
1) Dois corpos de massas iguais à m ligados por uma barra de massa desprezível e comprimento L. A barra é
colocada ao longo do eixo x e a origem do referêncial é colocada no meio da barra.
Nesse caso temos
m1 = m2 = m
~ri = xix^
e na equação de I:
I =
2X
i=1
mix
2
i = m
�
x21 + x
2
2
�
= m
�
L2
4
+
L2
4
�
= m
L2
2
(1.41)
1.6.2 Momento de inércia de sistemas contínuos
1) Momento de inércia de uma barra de comprimento L e densidade linear constante � = M=L. O eixo de rotação
está no meio da barra.
Temos:
r ! x; � = M
L
=
dm
dx
! dm = �dx; (1.42)
O momento de inércia é:
I =
Z L
2
�L2
x2�dx = �
x3
3
jL2�L2
=
M
L
1
3
�
L3
8
+
L3
8
�
= M
1
3
L2
4
= M
L2
12
: (1.43)
2) Momento de inércia de um aro de raio R em torno do eixo central.
I =
Z
r2dm
Temos que
� =
M
2�R
=
dm
dS
o elemento de arco é
dS = Rd�
e temos
I =
Z
r2�Rd� =
Z
R2�Rd� = R3
M
2�R
2�
I = MR2
3) Momento de inércia de uma esfera de raio R
Referencia eixo que passa pelo centro da esfera, a distância r é medido em relação à esse eixo para aplicar a
expressão:
I =
Z
r2dm:
A esfera pode ser vista como uma soma de discos de raios r:
10 CHAPTER 1. ROTAÇÃO
e o seu momento de inércia I é então uma soma contínua de momentos de inércia dI de discos com espessura dx.
I =
Z
dI
Da …gura, temos:
r =
p
R2 � x2
Para dm usamos a massa do disco
dm =
M
V
�r2dx =
M
V
�
�
R2 � x2� dx
onde dx é a espessura do disco. Assim o momento de inércia do disco é
dI =
1
2
dmr2 =
1
2
M
V
�
�
R2 � x2�2 dx
Para toda esfera, temos
I =
Z R
�R
1
2
M
V
�
�
R2 � x2�2 dx = M
2V
�
Z R
�R
�
R2 � x2�2 dx (1.44)
=
M
2V
�2
Z R
0
�
R2 � x2�2 dx
Cálculo da integral Z R
0
�
R2 � x2�2 dx = R5 8
15
(1.45)
Substitui
I =
M
2V
�2R5
8
15
(1.46)
o volume da esfera é V = 43�R
3, substitui em I, temos:
I =
M
4
3�R
3
�R5
8
15
= MR2
2
5
(1.47)
1.7. TEOREMA DO EIXO PARALELO 11
1.7 Teorema do Eixo Paralelo
O momento de inércia ICM :
Os exemplos de momento de inércia I que vimos são calculados em relação ao eixo que passa pelo CM do sistema,
esse é o ICM . A utilização desse eixo facilita o cálculo.
Mas nem sempre o corpo sofrerá rotações em torno do eixo que passa pelo seu CM. Ele pode rotacionar em
torno de um eixo qualquer.
E nesse caso o cálculo de I pode se tornar mais complexo.
Contudo há um caso onde se pode obter o momento de inércia I a partir de ICM .
O Teorema do Eixo Paralelo
Seja dado um corpo de massa M distribuído uniformemente pelo corpo e seja ICM o seu momento de inércia
em relação ao eixo que passa pelo CM do corpo. Seja dado um segundo eixo que está à uma distância h e é paralelo
ao primeiro eixo.
O momento de inércia I em relação à esse eixo paralelo se relaciona com ICM por:
I = ICM +Mh
2: (1.48)
Demonstração:
Vamos calcular I em relação ao eixo paralelo.
No sistema do CM.
As coordenadas do eixo paralelo sobre o plano que corta os dois eixos são:
xp = a; yp = b: (1.49)
12 CHAPTER 1. ROTAÇÃO
O elemento de massa dm tem coordenadas (x; y).
A distância j~rj entre a posição do eixo paralelo e o elemento de massa dm é dado por
j~rj =
q
(x� a)2 + (y � b)2
O momento de inércia I é de…nido por
I =
Z
r2dm
substituindo r2 , temos
I =
Z h
(x� a)2 + (y � b)2
i
dm
Expandindo o colchetes, temos
r2 = x2 � 2ax+ a2 + y2 � 2by +b2
que pode ser reagrupado da seguinte forma
r2 = x2 + y2 � 2ax� 2by + a2 + b2 (1.50)
substitui na integração, temos
I =
Z �
x2 + y2
�
dm� 2a
Z
xdm� 2b
Z
ydm+
Z �
a2 + b2
�
dm: (1.51)
A primeira integral é o ICM
ICM =
Z �
x2 + y2
�
dm
A segunda e terceiras integrais estão relacionadas com as coordenadas do CM
xCM =
1
M
Z
xdm; yCM =
1
M
Z
ydm (1.52)
que no nosso caso são nulas
xCM = 0; yCM = 0: (1.53)
Na quarta integral, da …gura temos
a2 + b2 = h2 (1.54)
1.7. TEOREMA DO EIXO PARALELO 13
E substituindo esses resultados, temos:
I = ICM + h
2
Z M
0
dm: (1.55)
a última integração é a massa total e se chega
I = ICM + h
2M:
O termo Mh2:
É o momento de inércia de um ponto que contém toda a massa do corpo M e está à distância h do eixo paralelo.
1.7.1 Aplicação
1) Seja dada uma barra de comprimento L e massa M . O eixo de rotação é colocado numa das extremidades da
barra.
a) Calcule o momento de inércia em relação à esse eixo.
A de…nição de I.
A densidade linear da barra é: � = ML
O elemento de massa da barra é : dm = �dx
Assim, temos
I =
Z
x2dm = �
Z L
0
x2dx =
M
L
x3
3
jL0 =
ML2
3
: (1.56)
b) Calcule o ICM o momento de inércia da barra em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa.
Pelo Teorema do eixo paralelo, temos:
I = ICM + h
2M (1.57)
Nesse caso: h = L2
ICM = I � h2M = I � L
2
4
M;
considerando que o eixo que passa pelo CM é paralelo ao eixo que passa pela extremidade da barra e como I = ML
2
3 ,
temos
ICM =
ML2
3
� L
2
4
M = ML2
�
1
3
� 1
4
�
= ML2
1
12
: (1.58)
14 CHAPTER 1. ROTAÇÃO
1.8 Torque
No caso dos movimentos giratórios, não é a força que desempenha um papel central e sim o torque.
O torque é de…nido por
~� = ~r � ~F : (1.59)
Em coordenadas cartesianas, temos
~r = x{^+ y|^+ zk^; ~F = Fx {^+ Fy |^+ Fz k^:
O produto vetorial é dado pelo determinante da matriz
~� = ~r � ~F =
��������
{^ |^ k^
x y z
Fx Fy Fz
��������
Para o caso especí…co no qual:
~r = x{^; ~F = Fy |^:
temos
~� = ~r � ~F =
��������
{^ |^ k^
x 0 0
0 Fy 0
�������� = xFyk^ (1.60)
e pode-se ver que o torque ~� é perpendicular à ~r e ~F .
Em coordenadas polares, o módulo de ~� é:
j~� j = rF sin�; (1.61)
onde � é o ângulo entre ~r e ~F . A direção de ~� é perpendicular ao desenho e o sentido é saindo do desenho. (regra
do parafuso/mão direita)
1.8. TORQUE 15
Análise da expressão em coordenadas polares.
O efeito de sin�.
Possui valôres mínimo e máximo.
(
sin 0 = 0 ! torque min. = 0
sin �2 = 1 ! torque max = rF
O efeito de r.
aumenta r ! aumenta o torque.
1.8.1 Aplicação - torque de motores
Esquema de virabrequim
A explosão empurra o pistão que por sua vez empurra um dos braços do virabrequim.
A distância entre o ponto de conexão do pistão com o virabrequim e o eixo de rotação faz o papel do termo r.
Dessa forma a força ~F do pistão direcionada linearmente sobre um dos braços do virabrequim produz o movimento
de rotação.
Assim, temos
1) Energia química - combustível - combustão
2) Converte em energia térmica - expansão do gás
3) Realiza trabalho mecânico sobre o pistão
4) Energia cinética linear do pistão
5) transforma–se em energia cinética de rotação - movimento do virabrequim - através do torque.
Observe que nesse processo a energia química armazenda no combustível é convertida em energia cinética de
rotação.
Assim um motor é na verdade um conversor de energia de um tipo para um outro tipo.
Na realidade, nenhum equipamento construído pelo homem é capaz de produzir energia, mas de apenas converter
uma forma de energia em outra.
16 CHAPTER 1. ROTAÇÃO
Há duas formas equivalentes de se calcular a intensidade do torque:
a) � = r (F sin�) = rFt;
b) � = (r sin�)F = r?F
onde em
a) Ft = F sin� é a componente da força que tangencia a trajetória curva do ponto ~r
b) r? = r sin � é chamado de braço de alavanca de ~F e nesse caso uma linha imaginária (linha de ação) extende
a atuação de ~F até o braço de alavanca.
1.9 Rotação, Segunda Lei de Newton - massa constante
Para o caso da massa constante a segunda lei de Newton, toma a forma de:
~F = m~a
No movimento de rotação, é a componente da força ~Ft tangencial à curva que move a partícula ao longo da
curva e assim gera uma aceleração tangencial ~at, como ~Ftk~at pode-se considerar apenas as intensidades:
Ft = mat (1.62)
Multiplica ambos os lados por r, temos
Ftr = matr (1.63)
Das de…nições:
torque: � = Fr aceleração tangencial: at = �r, reescreve-se
� = m�r2 (1.64)
que pode ser reescrito na forma
� = mr2�
1.10. TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA 17
Pode-se identi…car I = mr2 e se obtém
� = I� (1.65)
Essa é a segunda lei de Newton para a rotação.
Interpretação de I.
Lembrete
Na segunda lei ~F = m~a a massa se comporta como um termo que mede a "resistência" à mudança de
movimento. - massa inercial.
Aqui temos o momento de inércia I se comportando como um termo que mede a "resistência" à mudança de
movimento rotacional.
daí o nome, momento de inércia.
Isso signi…ca que
Se I for grande é preciso um � grande para produzir uma alteração (�) no movimento rotacional de corpo.
1.10 Trabalho e energia cinética
No caso do movimento linear de uma partícula, a variação da energia cinética �K = KF � Ki era causada pelo
trabalho W realizado por uma força que atua ao longo da trajetória linear da partícula
KF �Ki = W; Kf = 1
2
mv2f ; Ki =
1
2
mv2i ; W =
Z xf
xi
Fxdx: (1.66)
Para o caso Fx constante, temos
W = Fx
Z xf
xi
dx = Fx (xf � xi) = Fd: (1.67)
Com base nessas equações pode-se obter o caso análogo para o movimento rotacional.
Nesse caso temos a seguinte situação
A velocidade tangencial vt se relaciona com a velocidade angular !, por:
vt = r! (1.68)
assim a energias cinética de rotação pode ser dada por:
K =
1
2
mv2 =
1
2
mr2!2 (1.69)
18 CHAPTER 1. ROTAÇÃO
O momento de inércia I da partícula nessa trajetória circular é
I =
1
2
mr2
e se reescreve K por
K =
1
2
I!2
Temos, então que a relação entre K e W para esse caso é
1
2
I!2f �
1
2
I!2i = W: (1.70)
1.10.1 Cálculo do trabalho devido ao torque �
Vimos que no caso linear o trabalho é
W =
Z sf
si
Fds (1.71)
onde ds é o deslocamento linear, si e sf são as posições iniciais e …nais respectivamente e F é a intensidade da força
ao longo de ds.
No caso do deslocamento curvilíneo, temos
ds = rd�; F = Ft: (1.72)
onde ~Ft é a componente da força tangente à curva. Substituindo em W , temos
W =
Z �f
�i
Ftr d� (1.73)
Como
Ftr = �
obtemos
W =
Z �f
�i
� d�: (1.74)
De…ne-se o elemento de trabalho dW devido ao torque por
dW = �d�: (1.75)
Temos então
1
2
I!2f �
1
2
I!2i =
Z �f
�i
� d�: (1.76)
A Potência devido ao torque.
No caso de força constante, temos que
P =
dW
dt
= �
d�
dt
= �!: (1.77)
No caso de motores.
Vimos que o braço do virabrequim e o comprimeno do pistão não variam. Assim nesse caso � do motor é
constante.
1.10. TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA 19
O que muda no motor é a sua velocidade angular !.
Varia de
0 rpm
a
10:000 rpm
Assim com base na equação (1.77):
Quanto maior
(
a veloc. angular ! (ou freq. de rotação)
o torque �
)
do motor maior é a potência obtida.
20 CHAPTER 1. ROTAÇÃO
Chapter 2
Rolamento
O rolamento é a combinação entre o movimento de translação e rotação de um corpo rígido.
O CM do corpo percorre uma trajetória retilínea enquanto que o ponto vermelho descreve uma trajetória formada
de arcos sucessivos.
Condição para o movimento de rolamento ideal:
Ocorpo roda em torno do seu CM sem deslizar em contacto com o solo.
Sob essa condição, temos que:
1) O CM da roda tem a velocidade : ~vcm
21
22 CHAPTER 2. ROLAMENTO
No intervalo �t o CM percorre a distância �S na direção horizontal. assim vcm é dada por:
vcm =
�S
�t
2) O Ponto P sobre a superfície da roda
No mesmo intervalo �t esse ponto percorre o comprimento de arco igual à �S
O módulo da velocidade tangencial de P é também
vcm =
�S
�t
Porém a velocidade do CM é para frente, equanto a velocidade do ponto P, quando ele está em contacto
com o chão é �~vcm
Relação entre vcm e !.
Da de…nição de ângulo
S = r� (2.1)
Para r constante, temos
d
dt
S = r
d
dt
�
como vcm = dS=dt obtemos a condição para o rolamento ideal:
vcm = r!: (2.2)
2.0.2 Rolamento da roda: eixo de rotação no CM
Roda em movimento de rolamento no plano sem deslizar.
Combinação de movimentos: rotação pura + translação pura = rolamento
As velocidades dos pontos A e P
Na rotação pura Na translação pura Resultante no rolamento
~vA = ~vcm ~vA = ~vcm ~vA = 2~vcm
~vP = �~vcm ~vP = +~vcm ~vP = 0
23
2.0.3 Rolamento da roda: eixo de rotação no contacto c/ o solo
O eixo de rotação está no ponto P . Nesse caso o movimento de rolamento é apenas uma rotação pura em torno
desse ponto.
Note que:
1) As velocidades dos pontos sobre a roda são perpendiculares à linha que liga o ponto ao eixo de rotação.
2) A velocidade do CM não muda. (~vcm)
No caso anterior a velocidade angular medida em relação ao eixo de rotação colocado no centro de massa é !
Qual é a velocidade angular em relação à esse novo eixo?
Denote por !P essa velocidade angular
A distância entre P e CM é R (raio da roda). A relação entre !P e ~vcm é então
R!P = vcm (2.3)
Mas em relação ao eixo de rotação no CM, vcm era dado por
vcm = R! (2.4)
comparando as duas temos
!P = !: (2.5)
Obtemos a mesma velocidade angular.
2.0.4 Energia Cinética de Rolamento
Em relação ao eixo que passa pelo ponto P . O rolamento é uma rotação pura e podemos usar a de…nição de energia
cinética de rotação:
K =
1
2
Ip!
2; (2.6)
onde ! é a velocidade angular e IP o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo ponto P .
Para encontrar IP ! aplica o teorema do eixo paralelo
Ip = Icm +MR
2;
24 CHAPTER 2. ROLAMENTO
onde M é a massa da roda e R a distância entre o CM e o ponto P . Obtemos para K:
K =
1
2
Icm!
2 +
1
2
MR2!2: (2.7)
Lembrando que vcm = !R, reescreve-se
K =
1
2
Icm!
2 +
1
2
Mv2cm: (2.8)
Interpretação:
(
1
2Icm!
2 ! Energia cinética de rotação em torno do CM
1
2Mv
2
cm ! Energia cinética de translação do CM
2.0.5 Forças de Rolamento
Força de Atrito
Vimos que
Rolamento suave
vcm = constante
! vP = 0,
P ponto de contacto
entre a roda e o solo
! P não desliza
Não há força de atrito
Aplica forças externas.
força resultante
externa
! O CM é acelerado
~acm 6= 0
! roda gira + rápido
acel. angular ~� 6= 0
Temos duas situações:
1) A roda não desliza - o movimento é de rolamento suave - Força de atrito estático ~fs
pode-se aplicar
vcm = !R (2.9)
Deriva com relação à t, considerando que R se mantém constante:
d
dt
vcm = R
d
dt
!
e obtemos
acm = R�: (2.10)
2) A roda desliza - O rolamento não é mais suave - a força de atrito é cinética ~fk e a condição vcm = !R não se
aplica.
Não será visto esse caso aqui.
Rolamento no plano inclinado
Um Roda de massa M e raio R rola suavemente para baixo de uma rampa com inclinação �. O eixo x^ é colocado
ao longo da rampa e apontado para cima.
Vamos determinar acm.
25
As forças:
1) Força gravitacional ~Fg atua sobre o CM da roda.
componente x: ~F xg = �Fg sin �x^ = �Mg sin �x^
componente y: ~F yg = �Fg cos �y^ = �Mg cos �y^
2) A Normal. É perpendicular a rampa, atua em P e sua direção passa pelo CM.
3) Força de atrito estática: ~fs = fsx^. Não é o atrito máximo, sua intensidade é o su…ciente para produzir o
rolamento.
É na direção de x positivo, pois o sentido do movimento de deslizamento da roda é para baixo (x negativo)
4) A força resultante é na direção x^:
���~R��� = Macm
Diagrama de forças:
Na direção x:
fs �Mg sin � = Macm (2.11)
Incógnitas: acm e fs
Precisamos de mais uma equação.! 2a¯ Lei de Newton para a rotação
� = Icm�: (2.12)
A aceleração angular � produzida se relaciona com acm por:
�acm = R�: (2.13)
o sinal negativo é porque acm está apontada na direção �x^
A força que produz a rotação é ~fs e o torque produzido por ela é
� = fsR: (2.14)
e reescreve-se
� = Icm�! fsR = �Icm acm
R
(2.15)
26 CHAPTER 2. ROLAMENTO
Podemos agora obter fs dessa equação
fs = �Icm acm
R2
: (2.16)
Para obter acm substitui-se fs em (2.11)
�Icm acm
R2
�Mg sin � = Macm (2.17)
e isolando acm,
�Icm acm
R2
�Macm = Mg sin �;
�
�
Icm
MR2
+ 1
�
Macm = Mg sin �;
obtemos
acm = � g sin �
1 + IcmMR2
: (2.18)
Análise da expressão se acm:
Observe a diferença em relação ao caso sem a força de atrito ~fs: a
s=atrito
cm = �g sin �.
Observe o efeito do atrito com o plano inclinado, ele altera o denominador:
�
1 + IcmMR2
��1
e reduz acm.
A expressão nos conta também que o raio R da roda in‡uencia na aceleração …nal.
No caso da roda ser apenas um aro linear de raio R e massa M , temos que Icm = MR2. E se pode ver que a
aceleração se torna metade da aceleração do caso sem atrito
acm =
a
s=atrito
cm
2
:
2.1 Quantidade de Movimento Angular
No movimento retilíneo a grandeza que contém a informação quantitativa sobre o estado de movimento de uma
partícula é a quantidade de movimento linear (ou momento linear):
~p = m~v: (2.19)
Se ~p
= 0 estado de repouso
6= 0 estado de movimento :
A massa m é denominada inercial, pois ela quanti…ca o grau de resistência à alteração do estado de movimento.
Será que para o movimento rotacional não há uma grandeza que represente o mesmo papel que ~p representa
para o movimento linear?
A de…nição da quantidade de movimento angular/momento angular ~L.
Essa grandeza é de…nida em relação à uma origem O, por:
~L � ~r � ~p: (2.20)
2.1. QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR 27
onde ~r é o vetor posição da partícula em relação à origem O e ~p o momento linear da partícula medido nesse
referencial centrado em O.
Em coordenadas cartesianas, temos
~L =
��������
{^ |^ k^
x y z
px py pz
�������� : (2.21)
Em coordenadas polares:
L = rp sin�
onde � é o ângulo entre ~r e ~p. A direção e sentido do vetor ~L é obtido pela regra da mão direita/parafuso direito.
A direção é perpendicular ao plano de…nido pelos vetores ~r e ~p.
2.1.1 A segunda Lei de Newton para rotações
A de…nição de momento angular é motivada pela forma da segunda Lei de Newton para rotações.
Essa forma pode ser obtida a partir da segunda lei escrita na sua forma mais geral:
~F =
d~p
dt
(2.22)
Podemos multiplicar vetorialmente à direita por ~r:
~r � ~F = ~r � d~p
dt
(2.23)
Estudo do termo à direita da igualdade: ~r � d~pdt .
Esse termo pode ser reescrito a partir da seguinte expressão:
d
dt
(~r � ~p) = ~r � d~p
dt
+
d~r
dt
� ~p
O segundo termo:
d~r
dt
� ~p = ~v � ~p = ~v �m~v = m (~v � ~v) = 0
Exercício: Calcule ~v � ~v e mostre que o resultado é nulo.
28 CHAPTER 2. ROLAMENTO
Assim temos
d
dt
(~r � ~p) = ~r � d~p
dt
substitui essa expressão em (2.23), obtemos
~r � ~F = d
dt
(~r � ~p) (2.24)
observe que
~r � ~F = ~� ; ~r � ~p = ~L
susbtitui em (2.24) e se obtém a segunda Lei para as rotações
~� =
d~L
dt
: (2.25)
Interpretação:
Essa equação nos mostra que o torque ~� é a causa da variação da quantidade de movimento angular
ou
A variação da quantidade de movimentoangular gera um torque no sistema.
2.1.2 Sistema de N partículas
Sendo uma quantidade vetorial o momento angular ~li de cada partícula i pode ser somada vetorialmente resultando
no momento angular total ~L do sistema:
~L =
NX
i=1
~li: (2.26)
A partir dessa equação podemos obter a variação temporal de ~L por:
d
dt
~L =
d
dt
NX
i=1
~li =
NX
i=1
d
dt
~li: (2.27)
sabemos que ddt
~l = ~� e temos:
d
dt
~L =
NX
i=1
~�i: (2.28)
onde ~�i é o torque sobre a partícula i. De…nimos como torque resultante do sistema ~� :
~�res =
NX
i=1
~�i: (2.29)
e reescreve-se
d
dt
~L = ~�res
Temos que a variação temporal do momento angular total ~L é causada pelo torque resultante ~�res.
2.1. QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR 29
2.1.3 Sistema com dois corpos
Temos um sistema com dois corpos A e B girando em torno de um eixo z^. Considere o caso de massas iguais
mA = mB = m. Os corpos estão equidistantes em relação ao eixo e a origem do sistema não está no plano de
rotação.
O momento linear ~p de cada partícula está no plano perpendicular ao eixo z^ e é tangente à trajetória circular.
Em relação à origem O. O momento angular da partícula B é:
~lB = ~r � ~p = rp sin 900 = rmv
então para o corpo B temos: ���~lB��� = rmv
e veja que o vetor ~lB forma um ângulo � com o eixo de rotação.
Obtenção da componente de ~lB sobre o eixo z^.
Temos que: lz = l cos� mas � é um ângulo desconhecido. Por outro lado temos que:
� = 90o � �
e da trigonometria, temos:
cos� = cos 90o cos � + sin 90o sin � = sin �: (2.30)
e a componente z de ~l é:
lz = l cos� = l sin � = rmv sin �;
~lz = lz z^ = rmv sin �z^ = mv r sin �z^ (2.31)
O momento angular e sua relação com o momento de inércia.
Da …gura, temos que
r? = r sin �
30 CHAPTER 2. ROLAMENTO
é a distância entre o corpo B e o eixo.Pode-se reescrever
~lz = r?mvz^: (2.32)
A relação entre ! e v é
v = r?!; (2.33)
substituindo essa expressão em ~lz, obtemos
~lz = r
2
?m!z^: (2.34)
Do cálculo do momento de inércia:
r2?m = I
e como
~! = !z^
obtemos:
~lz = I~!: (2.35)
Assim para a partícula B, temos:
~lzB = IB~!: (2.36)
Para a partícula A:
O cálculo é análogo e temos:
~lzA = IA~!: (2.37)
Como mA = mB e r?A = r?B , então
IA = IB = I ! ~lzA = ~lzB = I~!: (2.38)
O momento angular total na direção z^:
~LZ = ~lzA +~lzB = 2I~!: (2.39)
Nesse caso, como as massas e as distâncias r? são iguais, as demais componentes de ~L (~Lx e ~Ly) são nulas, pois
~lxA = �~lxB ; ~lyA = �~lyB : (2.40)
2.1. QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR 31
2.1.4 Conservação de momento angular
Assim como se pode obter a conservação de momento linear no caso da ausência de força resultante, no caso de
ausência de torque resultante, i.e.: ~�res = 0, temos
d~L
dt
= 0: (2.41)
Essa equação nos conta que o momento angular total ~L não varia com o tempo.
Isso signi…ca que
~Lantes = ~Ldepois: (2.42)
2.1.5 Aplicação: roda
O equilíbrio de uma roda em movimento.
Uma roda com velocidade angular ! possui momento angular ~L.
Considerando que não há torques sobre a roda, temos
~Lantes = ~Ldepois: (2.43)
Isso signi…ca que
~L = const: (2.44)
O módulo L = constante. Como I não muda então ! também não.
A direção e sentido de ~L.
Se mantém os mesmos durante todo o movimento.
Consequência: A roda se mantém em pé enquanto gira.
2.1.6 Aplicação: Giroscópio
Utilizando um disco de massa M muito grande obtemos :
I grande ! ~L grande
32 CHAPTER 2. ROLAMENTO
Assim, para mudar a direção de ~L é necessário :
~� grande ! ~F grande
e forças com
f < F
não serão capazes de alterar ~L. Consequência:
O sistema se mantém estável.
Aplicações:
Sistema de orientação de foguetes.
No ponto de partida. liga-se os giroscópios e os mantém móveis em relação à estrutura do foguete.
Assim os seus eixos de rotação se mantém constantes enquanto que o eixo do foguete muda.
Appendix A
The First apendix
The appendix fragment is used only once. Subsequent appendices can be created using the Chapter Section/Body
Tag.
33
34 APPENDIX A. THE FIRST APENDIX
Afterword
The back matter often includes one or more of an index, an afterword, acknowledgements, a bibliography, a colophon,
or any other similar item. In the back matter, chapters do not produce a chapter number, but they are entered in
the table of contents. If you are not using anything in the back matter, you can delete the back matter TeX …eld
and everything that follows it.
35