Fenomeno de Transporte - energia

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FENÓMENOS DE TRANSPORTE I 
(Apontamentos) 
 
 
 
 
 
 
Cursos: Engª Química, Engª Mecânica 
Departamento de Engenharias e Tecnologias 
Professor Responsável: Sílvia Santos 
1º Semestre/2016 
 
 Fenómenos de transporte I - Apontamentos 
 
 
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5.6. Conservação da Energia 
A terceira lei fundamental aplicada à análise de escoamento de fluidos refere-se ao 
primeiro princípio da termodinâmica: 
 
∆𝐸 = 𝑄 ± 𝑊 
 
Em que E é a energia total por unidade de massa do fluido, Q é o calor absorvido por 
unidade de massa do fluido e W é o trabalho realizado, por unidade de massa do fluido, 
sobre a vizinhança. Estes termos têm dimensões de energia/massa, i.e., no Sistema 
Internacional, corresponde a J/Kg. 
Por análise da Figura 19, é possível efectuar um balanço de energia. De facto, a região 
I é ocupada pelo sistema no tempo t, a região II é ocupada pelo sistema no tempo t+t, 
enquanto que a região III é comum ao sistema em t e t+t. (Welty et al., 2008) 
No tempo t+t, a energia total do sistema pode ser expressa por: 
𝐸|𝑡+∆𝑡 = 𝐸𝐼𝐼|𝑡+∆𝑡 + 𝐸𝐼𝐼𝐼|𝑡+∆𝑡 
E, no tempo t: 
𝐸|𝑡 = 𝐸𝐼|𝑡 + 𝐸𝐼𝐼𝐼|𝑡 
Subtraindo a 2ª expressão da primeira e dividindo por t: 
𝐸|𝑡+∆𝑡 − 𝐸|𝑡
∆𝑡
=
𝐸𝐼𝐼|𝑡+∆𝑡 + 𝐸𝐼𝐼𝐼|𝑡+∆𝑡 − 𝐸𝐼|𝑡 − 𝐸𝐼𝐼𝐼|𝑡
∆𝑡
 
Rearranjando e tomando o limite quando t→0: 
lim
∆𝑡→0
𝐸|𝑡+∆𝑡 − 𝐸|𝑡
∆𝑡
=
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= lim
∆𝑡→0
𝐸𝐼𝐼𝐼|𝑡+∆𝑡 − 𝐸𝐼𝐼𝐼|𝑡
∆𝑡
+ lim
∆𝑡→0
𝐸𝐼𝐼|𝑡+∆𝑡 − 𝐸𝐼|𝑡
∆𝑡
 
Por outro lado: 
lim
∆𝑡→0
𝐸𝐼𝐼𝐼|𝑡+∆𝑡 − 𝐸𝐼𝐼𝐼|𝑡
∆𝑡
=
𝑑𝐸𝐼𝐼𝐼
𝑑𝑡
 
Que não é mais do que a taxa de modificação de energia do sistema, uma vez que, 
quando t→0, a região III torna-se o próprio volume de controlo. 
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Também, lim
∆𝑡→0
𝐸𝐼𝐼|𝑡+∆𝑡−𝐸𝐼|𝑡
∆𝑡
, à medida que t→0, representa a taxa de energia que 
abandona a superfície de controlo no intervalo de tempo t. 
É então possível escrever por palavras a lei da conservação da energia como: 
(
Calor 
fornecido 
ao V. C.
) − (
Trabalho
 realizado 
pelo V. C. sobre 
a vizinhança
) = (
Energia 
que sai 
do V.C. 
com o fluido
) − (
Energia 
que entra 
no V.C. 
com o fluido
) + (
Energia acumulada 
no V. C.
) 
 
Relativamente à energia contida no sistema, esta pode ser dividida em três tipos 
(expressa como energia/massa): 
- Energia Potencial, devida à presença do fluido num campo gravitacional. É dada por 
gz (por unidade de massa), sendo z a altura em relação a um determinado ponto. 
- Energia cinética, devida à existência de movimento. É dada por 
𝑣2
2
 (por unidade de 
massa), sendo 𝑣 a velocidade em relação às fronteiras do sistema. 
- Energia interna, U, relacionada com o estado térmico do fluido, ou seja, com a energia 
rotacional e vibracional nas ligações químicas. (atenção que este U também apresenta 
unidades de energia/massa). 
𝐸 = 𝑈 + 𝑔𝑧 +
𝑣2
2
 
A entrada e saída de energia com o fluxo (transporte convectivo), pode ser expressa 
por: 
∬ 𝐸𝜌(�⃗�. �⃗⃗�)𝑑𝐴
0
𝑆𝐶
= ∬ (𝑈 + 𝑔𝑧 +
𝑣2
2
) 𝜌(�⃗�. �⃗⃗�)𝑑𝐴
0
𝑆𝐶
 
E o termo de acumulação: 
𝜕
𝜕𝑡
∭ 𝐸𝜌𝑑𝑉
0
𝑉𝐶
=
𝜕
𝜕𝑡
∭ (𝑈 + 𝑔𝑧 +
𝑣2
2
) 𝜌𝑑𝑉
0
𝑉𝐶
 
Logo, 
𝑞 − �̇� = ∬ 𝐸𝜌(�⃗�. �⃗⃗�)𝑑𝐴
0
𝑆𝐶
+
𝜕
𝜕𝑡
∭ 𝐸𝜌𝑑𝑉
0
𝑉𝐶
 
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Onde q e �̇� represental calor e trabalho por unidade de massa. 
Também o trabalho realizado pelo fluido sobre as vizinhanças está associado: 
- às forças de pressão (na S.C.), uma vez que o trabalho é o produto entre a força e o 
deslocamento; 
- ao atrito, uma vez que nas fronteiras do sistema existe uma força de corte que se opõe 
ao movimento. Este trabalho representa-se por Wμ̇ ; 
- ao trabalho mecânico útil (também designado por trabaljo de veio ou shaft work) que 
consiste no trabalho realizado pelo fluido na movimentação de equipamentos (por 
exemplo, a pôr uma pá de uma turbina em movimento). Este trabalho representa-se por 
WṠ . 
Então, o termo referente ao trabalho (�̇�) pode ser escrito: 
�̇� = ∬ 𝑃(�⃗�. �⃗⃗�)𝑑𝐴
0
𝑆𝐶
+ Wμ̇ + WṠ 
Assim: 
 
𝑞 − WṠ = ∬ (𝐸 +
𝑃
𝜌
) 𝜌(�⃗�. �⃗⃗�)𝑑𝐴
0
𝑆𝐶
+
𝜕
𝜕𝑡
∭ 𝐸𝜌𝑑𝑉
0
𝑉𝐶
+ Wμ̇ 
Se, 
 
- Não há troca de energia calorífica entre o fluido e o exterior (q=0), 
- Não há sistemas mecânicos a fornecer energia mecânica ao fluido nem a receber 
energia mecânica do fluido (WṠ =0), 
- As forças de corte são consideradas desprezáveis (escoamento “sem atrito”), 
- o fluido pode ser considerado incompressível (ρ=constante), 
- o escoamento é estacionário (
∂
∂t
∭ EρdV
0
VC
=0), 
A equação anterior pode ser escrita: 
∬ (𝐸 +
𝑃
𝜌
) 𝜌(�⃗�. �⃗⃗�)𝑑𝐴
0
𝑆𝐶
= 0 ⇔ ∬ (𝑈 + 𝑔𝑧 +
𝑣2
2
+
𝑃
𝜌
) 𝜌(�⃗�. �⃗⃗�)𝑑𝐴
0
𝑆𝐶
= 0 
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Para o caso de um fluido a escoar com perfil plano (velocidade constante) ao longo 
de uma linha de corrente: 
 
 
 
 
A equação anterior toma a forma: 
(𝑈2 + 𝑔𝑧2 +
𝑣22
2
+
𝑃2
𝜌
) 𝜌𝑣2𝐴2 − (𝑈1 + 𝑔𝑧1 +
𝑣21
2
+
𝑃1
𝜌
) 𝜌𝑣1𝐴1 = 0 
Que, assumindo escoamento isotérmico (U=0) e dividindo por g: 
𝑃1
𝜌𝑔
+
𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑧1 =
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑧2 
Que não é mais do que a Equação de Bernoulli. 
A equação de Bernoulli traduz o conhecido princípio trabalho-energia: 
o trabalho realizado pela resultante das forças exteriores, pressão e gravidade, que 
actuam num elemento de fluido é igual à variação da energia cinética deste elemento. 
(Campos, 2013) 
Também pode ser interpretada de uma forma complementar, talvez mais simples de 
compreender: 
ao longo de uma linha de corrente, a energia mecânica total transportada por um 
elemento de fluido é constante. Esta energia é a soma das energias potencial, cinética 
e de “pressão”, esta última mais correctamente chamada energia de escoamento. A 
variação de uma destas formas de energia mecânica implica a variação de pelo 
menos uma das outras duas, para que a energia mecânica total permaneça 
constante.(Campos, 2013) 
Na realidade, a equação de Bernoulli é um caso particular da equação de balanço de 
energia. Se for importante considerar a geometria do perfil de velocidades, poderá ser 
considerado o coeficiente no termo da energia cinética: 
S.C.1 S.C.2 
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𝑃1
𝜌𝑔
+
𝑣1
2
2𝛼𝑔
+ 𝑧1 =
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑣2
2
2𝛼𝑔
+ 𝑧2 
Note que, cada um dos termos da equação de Bernoulli apresenta unidades de 
comprimento. Estes termos, tanto individualmente, como no colectivo, indicam as 
quantidades que podem ser directamente convertidas para a produção de energia 
mecânica. 
Um exemplo clássico da equação de Bernoulli pode ser observado na Figura seguinte, 
onde se pretende determinar a velocidade de saída de um fluido de um tanque. 
 
Figura 20: Volume de controlo para análise da equação de Bernoulli. (Welty et al., 
2008) 
A aplicação da equação de Bernoulli resulta em: 
 
𝑃𝑎𝑡𝑚
𝜌𝑔
+ 0 + 𝑦1 =
𝑃𝑎𝑡𝑚
𝜌𝑔
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 0 ⇔ 𝑣2 = √2𝑔𝑦1 
 
5.7. Exercícios propostos - Conservação da Energia 
 
1. A um tubo de Venturi, com os pontos 1 e 2na horizontal, liga-se um manómetro 
diferencial. Sendo Q=3,14 L/s e v1=1 m/s, calcular os diâmetros D1 e D2 do Venturi, 
desprezando-se as perdas de carga (hf=0).Dados: Hg=13,6 g/cm3; água=1 g/cm3. 
Nível 
constante no 
tanque 
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2. No tubo recurvado abaixo, circula água (água=1 g/cm3). A pressão relativa no 
ponto 1 é de 1,9 kgf/cm2. Sabendo-se que o caudal é de 23,6 L/s, calcule a perda de 
carga (hf = ?) entre os pontos 1 e 2. Nota: 1 kgf/cm2=98,07 KPa. 
 
 
 
3. Pretende-se desenvolver uma instalação laboratorial para divulgação científica, 
constituída por um tanque com duas saídas laterais. 
 
 
a) Se h2=2×h1, quais as velocidades de descarga nos dois tubos? 
b) Se h1=15 cm e h2=30 cm e os tubos tiverem diâmetro=5mm, qual o caudal de 
água a fornecer ao tanque (L/h) de forma a manter o nível da água? 
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c) Se se interrompe a corrente de alimentação, obtenha a equação diferencial 
que descreve a lei da variação temporal da altura h1, mantendo-se a distância 
h2-h1=15 cm e o diâmetro dos tubos. 
 
4. A bomba representada na figura fornece água a uma instalação 
industrial a partir de um poço. O tubo de entrada tem diâmetro de 0,05 
m, comprimento de 3,0 m e está 1,8 m submerso dentro da água do poço. 
Admitindo que a perda de carga por atrito é de 1,2 m, qual será o caudal 
que conduzirá a um abaixamento da pressão à entrada da bomba até 
à sua pressão de vapor? A pressão de vapor da água é de 1,70 kPa abs. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografia 
Azevedo, E.G., Termodinâmica Aplicada, 3ª Ed., Escolar Editora, 2011. 
Campos, J.M., Notas Para o Estudo da Mecânica do Fluidos, FEUP edições, 2013. 
Coulson, J.M. and Richardson, J. F., Chemical Engineering, Fluid Flow, Heat Transfer and 
Mass Transfer – Vol 1, 6th Edition, Butterworth –Heinemann, 1999. 
Geankoplis, C.J., Transport Processes and Unit Operations, 3rd Edition, Prentice Hall 
International Editions, 1993. 
Massey, B.S., Mechanics of Fluids, 8th Edition, Taylor & Francis, 2006. 
Welty, J.R., Wicks, C. E., Wilson, R. E., Rorrer, G. L. Fundamentals of Momentum, Heat and 
Mass Transfer, 5th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2008.