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VIRTUS IMPAVIDA Centro Acadêmico do Agreste / N.F.D. Profa. Giovana Siracusa Disciplina: Álgebra Linear Lista 09 Universidade Federal de Pernambuco 1. Considere V = R2. Mostre que a função 〈 , 〉 : R2 × R2 → R, definida por 〈(x, y), (x′, y′)〉 = 2xx′ − xy′ − x′y + 2yy′ é um produto interno. 2. Seja β = {v1, ..., vn} ⊂ V uma base ortonormal do espaço vetorial de V. Mostre que, para v, w ∈ V arbitrários, tem-se 〈v, w〉 = n∑ i=1 〈v, vi〉 〈w, vi〉 . 3. Mostre que se u e v são vetores de um espaço vetorial euclidiano, então: (i) u ⊥ v =⇒ ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2. (Interprete geometricamente esse fato). (ii) (u+ v) ⊥ (u− v) =⇒ ‖u‖ = ‖v‖. (iii) ‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2 = 2(‖u‖2 + ‖v‖2). 4. Considere o seguinte produto interno no espaço R2: 〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = x1x2 + 2x1y2 + 2x2y1 + 5y1y2 Mostre que, em relação a este produto interno, o conjunto {(1, 0), (2, −1)} é uma base ortonormal de R2 5. Considere R4 munido do produto interno canônico. SejaW subespaço de R4 descrito por W = {(x, y, z, t) ∈ R4; x+ y = 0 e x− z − t = 0} (i) Determine uma base ortonormal para W. (ii) Determine uma base ortonormal para W⊥. (iii) Considere C a base canônica de R4 e γ a base ortonormal formada pela junção das bases de W e W⊥, encontradas nos itens anteriores. Determine [I]Cγ . 6. Considere em R3 o produto interno dado por < (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) >= 2x1x2 − x1y2 − x2y1 + y1y2 + z1z2 (i) Determine o ângulo entre os vetores (1, 1, 0) e (1, 1, √ 3). (ii) Ortogonalize a base β = {(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 1, 1)} (iii) Seja W ⊂ R3 o subespaço descrito por W = [(0, 1, 0), (−1, 0, 1)]. Encontre o complemento ortogonal de W 7. Considere R3 munido com o produto interno canônico e seja W o subespaço descrito por W = {(x, y, z) ∈ R3; x+ y − z = 0} (i) Encontre uma base ortonormal para V. (ii) Seja α = {v1, v2} a base obtida no item anterior, encontre v3 ∈ R3 tal que {v1, v2, v3} é uma base ortonormal de R3. (iii) Determine a transformação linear R que é uma reflexão de R3 em relação ao subespaço V. (iv) Determine a transformação linear P que é uma projeção ortogonal de R3 sobre V. 8. Seja V =M2×2(R) e considere W o subespaço de V descrito por W = {( x1 x2 x3 x4 ) ; x1 + x4 = 0 e x2 + x3 = 0 } (i) Encontre o complemento ortogonal W⊥ de W , com relação ao produto interno canônico de V, descrito por 〈( x1 x2 x3 x4 ) , ( y1 y2 y3 y4 )〉 = x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4. (ii) Encontre bases ortonormais para W e W⊥. (iii) Encontre a projeção ortogonal de V sobre W . (iv) Encontre a reflexão de V em relação a W. ii
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