Dinamica de Estructuras con MATLAB

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Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRÓLOGO 
 
 
 
Se inicia el libro con la presentación de un manual rápido de uso del programa 
MATLAB, orientado a que el lector comprenda los programas que se desarrollan en los 
diferentes capítulos del texto. MATLAB es un programa muy poderoso, que permite con pocas 
sentencias realizar cálculos numéricos avanzados y esto fue lo que me motivo a elaborar una 
serie de programas sobre los temas que se tratan ya que la lectura de los mismos servirá para 
comprender mejor el marco teórico expuesto. Además de ello el lector contará con programas 
que le faciliten su aplicación práctica a futuro. 
 
En el primer capítulo se trata sobre la respuesta dinámica de sistemas de un grado de 
libertad, para el efecto se trata primero el caso de vibración libre, luego se estudia las 
vibraciones forzadas ante excitación armónica y finalmente la respuesta en el tiempo ante 
pulsos rectangulares. Hay dos aspectos de interés muy práctico que son: el cálculo del 
factor de amplificación por desplazamientos y el factor de amplificación de fuerzas, 
cuando la frecuencia de la excitación armónica es similar a la frecuencia de vibración de 
la estructura, es decir cuando se está cerca de la resonancia. 
 
El segundo capítulo está dedicado a tratar los Espectros de Respuesta Elásticos, 
se encuentra en primer lugar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad 
ante una acción sísmica por el Método de Newmark, luego para ilustrar como se obtienen los 
espectros se halla la respuesta de dos sistemas de un grado de libertad, que tienen diferentes 
períodos ante un mismo sismo y finalmente se definen los espectros de respuesta. La 
importancia de conocer las formas espectrales en una determinada localidad se lo ilustra 
al analizar la forma de los espectros, de los sismos de 1985 registrados en México y en 
Chile. 
 
En el tercer capítulo se estudia los Espectros de Diseño, para ilustrar la forma de 
cálculo se halla el respectivo espectro de diseño, en base a 17 acelerogramas de sismos 
registrados en el Perú, los mismos que fueron normalizados, para que todos ellos tengan una 
aceleración máxima del suelo del 40% de la aceleración de la gravedad. La forma espectral 
obtenida fue comparada con las formas espectrales del Código Ecuatoriano de la Construcción, 
CEC-2000, para los cuatro perfiles de suelo. Luego se presenta el trabajo realizado por Seed, 
Ugas y Lysmer en 1976 que ha sido empleado en forma indirecta en la formulación de 
espectros de diseño en varias normativas sísmicas de América Latina. 
 
Por ser de actualidad el Análisis Sísmico por Desempeño, en el capítulo tres, también 
se indica la propuesta realizada por el autor de este libro (2004), para encontrar los 
espectros para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro que tienen períodos de 
retorno de 43, 73, 475 y 970 años, respectivamente. 
 
Con el propósito de entender el factor de reducción de las fuerzas sísmicas, con el cual 
se pasa del espectro de diseño elástico al espectro de diseño inelástico, se deducen las reglas 
de igual desplazamiento y de igual energía. Luego se muestra el trabajo desarrollado por 
Newmark y Hall en 1982 sobre el factor de reducción por ductilidad, considerando el tipo de 
suelo. En este contexto también se presenta los resultados de las investigaciones 
realizadas en el Centro de Investigaciones Científicas por el autor de este libro (2005) 
 Roberto Aguiar Falconí 
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para determinar el factor de reducción por ductilidad en base a 63 registros de sismos 
ocurridos en Colombia, Perú, Chile y Argentina. 
 
En la mayoría de normativas sísmicas vigentes se presentan valores para determinar el 
factor de reducción de las fuerzas sísmicas en diferentes tipologías estructurales. Estos 
factores tienen un carácter cualitativo, razón por la cual en este libro se indica una 
metodología de cálculo para hallar este factor en forma cuantitativa, para el efecto se 
debe hallar el producto del factor de reducción por ductilidad, del factor de resistencia y 
del factor de redundancia. Se presentan propuestas para el cálculo de estos factores. 
 
El capítulo cuatro es una magnifica oportunidad para repasar la teoría de Análisis 
Matricial de Estructuras, ya que se detalla la forma como se obtiene la matriz de rigidez 
de una estructura por Ensamblaje Directo, a partir de las matrices de rigidez de los 
elementos. Se ilustra el cálculo del arreglo que contiene los grados de libertad, del vector de 
colocación y del ensamblaje. Se presenta los diagramas de flujo y el respectivo programa de 
computación. Posteriormente se indican algunas formas de obtener la matriz de rigidez 
condensada, desde la más elemental que es mediante la inversa de una matriz hasta la más 
práctica que se tiene en la triangularización de la matriz de rigidez, empleando Gauss. 
 
El capítulo cinco está dedicado a la matriz de Masas de cualquier tipo de 
estructura, claro está que por facilidad se orienta a los marcos planos pero la formulación es 
general y esto se ha tratado de demostrar cuando se resuelve un modelo muy sencillo en el 
cual se involucra la interacción suelo estructura. Para evaluar la matriz de masas se debe 
calcular primero la Energía Cinética, para facilitar este cálculo se da una regla muy práctica. 
 
Si el lector sabe los conceptos fundamentales para determinar las matrices de: rigidez, 
masa y amortiguamiento, estará en capacidad de encontrar la respuesta dinámica de cualquier 
estructura. Por esta razón, en el capítulo cuatro se estudia con detenimiento el cálculo de la 
matriz de rigidez, en el capítulo cinco, se hace lo propio, con la matriz de masas y en el capítulo 
siete se dedica a la matriz de amortiguamiento. Todo esto orientado al análisis dinámico de 
estructuras. 
 
En el capítulo seis se determinan los modos de vibración de una estructura sin 
considerar amortiguamiento. Por lo tanto, se resuelve el problema de vibraciones libres en 
sistemas de múltiples grados de libertad sin considerar amortiguamiento. A pesar de que 
el cálculo se reduce a una sentencia con MATLAB sin embargo se presenta uno de los 
métodos clásicos de la obtención de los valores y vectores propios como es el Método de 
Jacobi, de igual manera se ilustra el algoritmo de 2/1M para que el lector aprecie la bondad del 
MATLAB y de paso conozca como se obtiene manualmente. Finaliza el capítulo con el 
cálculo de los Modos Ritz en el que se consideran todos los grados de libertad de la 
estructura. 
 
En el capítulo siete se halla la matriz de amortiguamiento de dos maneras, la primera 
mediante el Método de Rayleigh y la segunda empleando el algoritmo de Wilson y Penzien. Un 
aspecto muy interesante es el desacoplamiento del sistema de ecuaciones diferenciales, tema 
que se aborda en este capítulo, como también se ilustra el cálculo del exponencial de una 
matriz orientado a la solución del problema de vibraciones libres, en sistemas de 
múltiples grados considerando la matriz de amortiguamiento, en este caso se tienen 
modos de vibración en desfase, por este motivo es que los valores y vectores propios 
son números complejos. 
 
El Análisis Sísmico Lineal de estructuras sometidas a acciones sísmicas es tratado en 
el capítulo ocho, encontrando la respuesta dinámica aplicando el Método de Newmark 
para sistemas de múltiples grados de libertad. Como aplicación práctica se halla la 
respuesta en el tiempo, del cortante basal,de una estructura sometida a un acelerograma 
artificial que es compatible con el espectro elástico del Código Ecuatoriano de la Construcción 
CEC-2000 y se aprovecha el ejemplo para ilustrar que un factor de reducción de las 
fuerzas sísmicas igual a 10 es muy alto para estructuras conformadas por vigas y 
columnas. 
 
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En el capítulo nueve se halla la respuesta en el tiempo de un sistema de n grados 
de libertad aplicando el Procedimiento de Espacio de Estado que es muy útil utilizarlo 
cuando se analizan estructuras con sistemas de control. Es importante que el lector conozca 
sobre esta temática para cuando estudie el cálculo sísmico de estructuras con disipadores de 
energía pueda seguir la parte numérica de la evaluación de la respuesta dinámica. 
 
Los tres últimos capítulos del libro, están dedicados al análisis de una viga de flexión, 
de una viga de corte y de una viga de flexión acoplada a una viga de corte, todo esto 
modelado como un sistema continuo de infinito número de grados de libertad. 
Aparentemente la solución de estos tres capítulos tiene más un enfoque teórico pero no es así 
ya que a partir de estos modelos sencillos se han emitido recomendaciones que han sido 
acogidas por varias normativas sísmicas. 
 
En el capítulo diez se presenta en primer lugar la ecuación diferencial que 
gobierna el problema de vibraciones de una viga de flexión y luego se resuelve el 
problema de vibración libre, se hallan las formas de vibración de una viga en voladizo, de una 
viga simplemente apoyada y de una viga en voladizo en la cual se incluye el efecto de la 
interacción suelo estructura. En este modelo se ilustra mediante gráficos como en suelos 
de baja resistencia los períodos de vibración de las estructuras se amplifican; en base al 
estudio se presentan parámetros en los cuales se indican en que tipo de suelos es necesario o 
no el cálculo con la interacción suelo estructura. 
 
La ortogonalidad de los vectores propios se desarrolla con mucho detenimiento tanto 
en el capítulo diez como en el once, para ilustrar posteriormente el cálculo de la respuesta 
sísmica, de las vigas de flexión y de corte ante una determinada acción sísmica. 
 
Como se ha venido indicando el capítulo once está dedicado al cálculo de una viga 
de corte, para el efecto se deduce la ecuación diferencial y se resuelve el problema de 
vibración libre y de vibración forzada, ante una acción sísmica. Se obtiene el primer modo de 
vibración de una viga de corte y se compara con el primer modo de vibración de una viga de 
flexión con lo cual se demuestra que en los primeros pisos la viga de flexión tiene menores 
amplitudes y en los últimos pisos tiene mayores amplitudes, que la viga de corte en que el 
comportamiento es al revés. 
 
Una viga de flexión, es el modelo numérico de cálculo de un edificio conformado solo 
por muros de corte y una viga de corte, es el modelo numérico de un edificio conformado solo 
por vigas y columnas sin muros de corte. Al comparar el primer modo de vibración de estas 
dos vigas se concluye que lo más adecuado es tener edificios con vigas, columnas y 
muros de corte ya que la viga de flexión en los primeros pisos sostiene a la viga de corte 
y en los últimos pisos es la viga de corte la que sostiene a la viga de flexión. El 
acoplamiento de la viga de corte con la viga de flexión se lo estudia con detenimiento en 
el capítulo doce. 
 
Con el propósito de ilustrar la aplicación práctica y actual del estudio de una viga de 
corte acoplada a una viga de flexión se presenta en el capítulo doce, el trabajo desarrollado por 
Miranda (1999) con el que estima la deriva máxima de piso en sistemas de múltiples grados de 
libertad, en forma rápida. Se ilustra el comportamiento de edificios en los cuales se tiene un 
predominio de la viga de flexión sobre la de corte y viceversa, ante cargas laterales. 
 
Miranda a partir del modelo de una viga de flexión acoplada a una viga de corte 
determina dos parámetros que son utilizados en la evaluación rápida de la deriva máxima de 
pisos. Esos parámetros son el que relaciona el desplazamiento máximo en un sistema de 
múltiples grados de libertad con el desplazamiento máximo en un sistema de un grado de 
libertad. El otro parámetro, que se presenta en el libro, es el que relaciona la deriva global de la 
estructura con la deriva máxima de piso. 
 
Por último, se presenta en forma resumida el resultado del proyecto de 
investigación realizado en el 2005, en el Centro de Investigaciones Científicas de la 
Politécnica del Ejército titulado: “Evaluación rápida de la deriva máxima de pisos en 
edificios de Hormigón Armado”, con el propósito de que el lector compare los dos 
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parámetros obtenidos en el modelo de Miranda (1999) cuando resuelve una viga de flexión 
acoplada a una viga de corte, con los que se hallan en el estudio y además para que lo 
apliquen en la evaluación de la vulnerabilidad sísmica de las estructuras. 
 
No puedo finalizar este prólogo, sin reconocer una vez más, que este libro ha sido 
posible gracias a la ayuda de Dios, sin su ayuda no soy capaz de pasar de la primera página 
pero gracias a su bondad he podido finalizar esta obra que tiene doce capítulos que se 
consideran básicos en el Análisis Dinámico de Estructuras. 
 
De igual manera deseo dedicarle este libro a mi querida madre Blanca Falconí Vda. 
de Aguiar, que Dios me ha dado la dicha de tenerla por muchos años y espero contar con sus 
consejos y bendiciones por muchos años más. 
 
Por último, pero ellos saben que son lo más importante, quiero agradecer a mi esposa 
Alice Noury y a mis hijos: Roberto, Alice, María José, Nicolás que acaba de graduarse de 
bachiller, Gabriel y Felipe. Por la felicidad que reina en nuestro hogar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dr. Ing. Roberto Aguiar Falconí 
Centro de Investigaciones Científicas 
Escuela Superior Politécnica del Ejército 
 
 
 
 
 
Quito, Agosto de 2006 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE GENERAL 
 
 
 
MANUAL RÁPIDO DE MATLAB..................................................1 
 
1. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD 
 
RESUMEN…………………………………… ………………………………………17 
 
1.1 VIBRACIONES LIBRES…………………………………………….…………..17 
 
1.1.1 Solución de la ecuación diferencial……………………………………...19 
 
1.1.2 Vibración libre sin amortiguamiento……………………………………..19 
 
1.1.3 Vibración libre subamortiguada………………………………………….20 
 
1.1.4 Vibración libre sobre amortiguada……………………………………….23 
 
1.1.5 Vibración libre críticamente amortiguada…………………………........24 
 
1.1.6 Factor de amortiguamiento……………………………………………….26 
 
1.2 VIBRACIONES FORZADA. EXCITACIÓN ARMÓNICA……….……………27 
 
1.2.1 Respuesta ante una excitación sinusoidal………………...................27 
 
1.2.2 Factor de amplificación………..…………………………………..…….31 
 
1.2.3 Fuerza transmitida a la fundación…………………...………………….34 
 
1.3 EXCITACIONES ARBITRARIAS………………….…………………………...36 
 
1.3.1 Escalón unitario…..………………………………………………………36 
 
1.3.2 Pulso rectangular…………………………………………………………39 
 
2. ESPECTROS DE RESPUESTA 
 
RESUMEN…………………………………………………………………………….41 
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 CEINCI-ESPE2.1 MÉTODO DE ACELERACIÓN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL…..…….41 
 
 2.2 PROGRAMA LINEAL………………………………………………….………..43 
 
2.3 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD……………………….…..……..46 
 
2.4 ESPECTROS DE RESPUESTA..................................................................47 
 
2.5 PROGRAMA ESPECTRO………………………………………………...……50 
 
2.6 USO DEL PROGRAMA DEGTRA………………………………….……….....52 
 
2.7 IMPORTANCIA DE LAS FORMAS ESPECTRALES…………….………….55 
 
2.8 SEUDO ESPECTROS…………………………………………………………..57 
 
 
3. ESPECTROS DE DISEÑO 
 
RESUMEN…………………………………………………………………………….59 
 
3.1 OBTENCIÓN DE UN ESPECTRO DE DISEÑO…….…………..…………..60 
 
 3.2 RESEÑA HISTÓRICA…………………………………..…............................63 
 
 3.3 ESPECTRO ELÁSTICO DEL CEC 2000……….........................................64 
 
 3.4 ESPECTROS POR DESEMPEÑO…………………………………..……….66 
 
 3.5 ESPECTROS INELÁSTICOS.....................................................................69 
 
3.6 REGLA DE IGUAL DESPELAZAMIENTO..................................................71 
 
3.7 REGLA DE IGUAL ENERGÍA………………………….…............................73 
 
3.8 NEWMARK Y HALL (1982)…………………………….…...…………………74 
 
 3.9 AGUIAR Y GUERRERO (2005)…………………………...………………….78 
 
 3.10 APLICACIÓN AL ESPECTRO INELÁSTICO DEL CEC-2000….………..79 
 
3.11 INCORPORACIÓN DEL FACTOR DE RESISTENCIA………….…………79 
 
3.12 INCORPORACIÓN DE LA REDUNDANCIA……………………….……….82 
 
3.13 CÁLCULO DEL FACTOR DE REDUCCIÓN R…………………….……….83 
4. MATRIZ DE RIGIDEZ 
 
RESUMEN……………………………………………………………………………87 
 
4.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO…………………………………..87 
 
4.1.1 Análisis sin nudo rígido………………………...…………………………88 
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4.1.2 Análisis con nudo rígido…………………….……………………………92 
 
 4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA……………………….……….96 
 
 4.2.1 Coordenadas Generalizadas…………………………………………….96 
 
 4.2.2 Vector de Colocación…………………………………………………..…99 
 
 4.2.3 Ensamblaje directo………………………………………………………101 
 
 4.3 CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ……………….………….105 
 
 4.3.1 Condensación a las coordenadas “a”…………………………………106 
 
 4.3.2 Condensación a las coordenadas “b”…………………………………106 
 
 4.4 CONDENSACIÓN MEDIANTE SOLUCIÓN DE ECUACIONES…….……107 
 
 4.4.1 Caso en que Qb = 0……………………………………………………...108 
 
 4.4.2 Caso en que Qa = 0……………………………………………………...109 
 
 4.5 CONDENSACIÓN MEDIANTE ELIMINACIÓN DE GAUSS………….…...109 
 
 4.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL………………………………………….….112 
 
 4.6.1 Vigas axialmente rígidas……………………………………………..…112 
 
 4.6.2 Vigas y columnas axialmente rígidas………………………………….114 
 
 
 
5. MATRIZ DE MASAS 
 
RESUMEN…………………………………………………………………………..119 
 
5.1 ENERGÍA CINÉTICA………………………….……………………………….119 
 
5.2 REGLA DE CÁLCULO DE LA MATRIZ DE MASAS……..………………..121 
 
5.3 REGLA DE CÁLCULO DE LA ENERGÍA CINÉTICA…….…..……………122 
 
5.4 MATRIZ DE PASO…………………………………………….……………….125 
 
5.5 ANÁLISIS PLANO…………………………………………….………………..128 
 
 5.5.1 Análisis con masas concentradas a nivel de piso…………………..128 
 
 5.5.2 Análisis con entrepisos flexibles………………………………………130 
 
5.6 PÉNDULO INVERTIDO……………………………………………………….132 
 
5.7 MOMENTO DE INERCIA DE LA MASA………………….………………....132 
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5.8 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA………………….…………………134 
 
5.9 ANÁLISIS ESPACIAL……………………………………….………………...135 
 
 
 
6. MODOS DE VIBRACIÓN 
 
 RESUMEN…………………………………………………………………………..139 
 
6.1 VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO……………………………139 
 
 6.1.1 Valores propios………………………………………………………….140 
 
 6.1.2 Propiedades dinámicas………………………………..……………….142 
 
 6.1.3 Modos de vibración……………………………………………………..142 
 
6.2 ALGORITMO DE 2
1
M .………………………………………….…………….145 
 
6.3 MÉTODO DE JACOBI………………………………………………………...150 
 
 6.3.1 Desarrollo del Método………………………………………………….151 
 
 6.3.2 Procedimiento de cálculo………………………………………………152 
 
 6.3.3 Cálculo de los Vectores Propios………………………………………153 
 
6.4 MODOS RITZ…………………………………………………………………..153 
 
 
 
 
7. MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO 
 
 RESUMEN…………………………………………………………………………..157 
 
 7.1 AMORTIGUAMIENTO TIPO RAYLEIGH……………………………………157 
 
 7.2 ALGORITMO DE WILSON Y PENZIEN……………………………………..159 
 
 7.3 ECUACIONES DIFERENCIALES DESACOPLADAS……………………..163 
 
 7.4 VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO…………………………..167 
 
 7.4.1 Exponencial de una matriz…………………………………………….168 
 
 7.4.2 Resumen del procedimiento de cálculo………………………………171 
 
 7.5 PROPIEDADES DINÁMICAS COMPLEJAS………………………………..175 
 
 7.5.1 Modos de vibración en el campo de los complejos…………………175 
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 7.5.2 Valores propios en el campo de los complejos……………………...177 
 
 7.5.3 Deducción en base a un sistema de un grado de libertad…………177 
 
 
 
 
8. ANÁLISIS LINEAL 
 
 RESUMEN…………………………………………………………………………..181 
 
 8.1 MÉTODO DE NEWMARK…………………………………………………….181 
 
 8.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWMARK……………………………...186 
 
 8.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO…………………………………………...187 
 
 8.4 MODELO NUMÉRICO PARA ANÁLISIS PLANO…………………………..191 
 
 8.5 COMENTARIO SOBRE CORTANTE BASAL MÍNIMO……………………199 
 
 
 
 
9. PROCEDIMIENTO DE ESPACIO DE ESTADO 
 
 RESUMEN…………………………………………………………………………..201 
 
 9.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA…………………………………………..201 
 9.2 FORMULACIÓN DE LA RESPUESTA………………………………………203 
 
 9.3 PROGRAMA PSE……………………………………………………………...204 
 
 9.4 EJEMPLOS DE APLICACIÓN…………………………………..…….……...206 
 
 9.5 INTRODUCCIÓN A LA INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA………...209 
 
10. SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE FLEXIÓN 
 
 RESUMEN…………………………………………………………………..………213 
 
10.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO……………………….…214 
 
10.2 VIBRACIÓN LIBRE…………………………………………………………...216 
 
 10.2.1 Viga en Voladizo……………………………………………………...218 
 
 10.2.2 Viga apoyada………………………………………………………….220 
 
 10.2.3 Interacción suelo estructura…………………………………………224 
 
 10.2.4 Variación del período con la interacción…………………………...227 
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 10.3 ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS DE VIBRACION………………….228 
 
 10.3.1 Valores propios y modos normalizados……………………………231 
 
 10.4 VIBRACIÓN FORZADA……………………………………………………...232 
 
 10.4.1 Masas modales……………………………………………………….234 
 
 10.4.2 Respuesta en el tiempo…………………………………………...…236 
 
 
 
 
11. SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE CORTE 
 
 RESUMEN…………………………………………………………………………..241 
 
 11.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO………………………….241 
 
 11.2 VIBRACIÓN LIBRE………………………………………………………...…244 
 
 11.2.1 Viga en Voladizo…………………………………………………...…246 
 
 11.2.2 Comparación de formas modales…………………………………..248 
 
 11.2.3 Frecuencias de vibración………………………………………….…249 
 
 11.3 ORTOGONALIDAD DE MODOS DE VIBRACIÓN………………………..250 
 
 11.4 VIBRACIÓN FORZADA……………………………………………………...252 
 
 11.5 CORTANTE BASAL……………………………………………………….…254 
 
 11.6 MASA MODAL………………………………………………………………...256 
12. VIGA DE CORTE ACOPLADA A UNA DE FLEXIÓN 
 
 RESUMEN…………………………………………………………………………..261 
 
 12.1IMPORTANCIA DEL ESTUDIO……………………………………………...262 
 
 12.2 MODELO DE MIRANDA……………………………………………………..264 
 
 12.2.1 Respuesta en desplazamiento………………………………………26612.2.2 Efecto de la distribución de cargas…………………………………269 
 
 12.3 APLICACIONES………………………………………………………………272 
 
 12.3.1 Parámetro β1................................................................................273 
 
 12.3.2 Desplazamiento lateral……………………………………………….276 
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 12.4 DERIVA DE PISO…………………………………………………………….280 
 
 12.4.1 Parámetro β2................................................................................282 
 
 12.5 EVALUACIÓN RÁPIDA DE LA DERIVA MÁXIMA DE PISO…………….283 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANUAL RÁPIDO DE MATLAB 
 
 
RESUMEN 
 
 
Existe una gran cantidad de libros sobre como se debe utilizar el MATLAB, de igual 
manera en Internet se puede encontrar información muy útil sobre el manejo de este programa 
pero en los dos casos el lector de este libro va a perder tiempo, primero en encontrar la 
información y segundo en hallar las sentencias especificas que en este texto se utilizan en la 
elaboración de los programas que aquí se presentan. 
 
Por este motivo se presenta un manual rápido de uso del manual, orientado a que el 
lector comprenda los programas que se desarrollan en cada capítulo. MATLAB es un software 
muy fácil de aprender y muy poderoso ya que cuenta con una gran cantidad de rutinas que 
facilitan su uso y lo fundamental la graficación de los resultados en forma elemental. 
 
Los programas que se desarrollan en el texto van a ayudar a comprender la teoría que 
se expone, razón por la cual, se recomienda su lectura e implementación de los mismos. 
 
 
1. FORMAS DE TRABAJO 
 
 
MATLAB proviene de las palabras MAtrix LABoratory es un lenguaje de alta 
tecnología que integra en un solo ambiente la programación y la visualización gráfica. Existen 
dos modalidades de trabajo que son la modalidad consola y la modalidad rutina. 
 
• En la modalidad consola aparece el Prompt (>>) cada vez que se hace una operación. 
En esta modalidad los cálculos se realizan en forma inmediata por medio de los 
comandos adecuados. Se pueden escribir matrices, vectores y variables en consola y 
después utilizarlos en los programas que se hacen en la otra modalidad. 
 
• En la modalidad rutina no aparece el prompt >> pero en su lugar cada una de las líneas 
están numeradas. Es en esta modalidad donde se realizan los programas y al estar 
numeradas cada una de las líneas se facilita la corrección de los errores. Una vez que 
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se realiza el programa se graba con un nombre. MATLAB automáticamente a este 
archivo le asigna la extensión .m 
 
Cuando se ejecuta MATLAB se ingresa a la modalidad prompt, a futuro se indicará 
únicamente >> de aquí se pasa a la modalidad rutina escribiendo la palabra edit o en su 
defecto utilizando el icono correspondiente para abrir archivos. 
 
Tanto en la modalidad consola como en la modalidad rutina, si al final de una sentencia 
se coloca ; no se imprimen los resultados. Si se omite el punto y coma si aparecerán los 
resultados. 
 
 
2. MATRICES Y VECTORES 
 
 
Dada la siguiente matriz A y el vector B, estas se cargan en MATLAB como se indica a 
continuación. 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
20
15
7.192.801.23
4.301.235.10
BA 
 
>> A=[10.5 23.1 30.4; 23.1 80.2 19.7] 
>> B=[15 ; 20] 
 
ƒ Después de cada número se deja uno o varios espacios. 
ƒ Una vez que se han dado los datos de una fila se coloca punto y coma (;) con lo cual el 
programa sabe que a continuación se tiene una nueva fila 
ƒ Los elementos de una matriz o vector se indican entre [ ]. 
 
Una vez que se han definido las matrices y vectores, se pueden realizaras operaciones 
de la siguiente forma: 
 
ƒ Para calcular la transpuesta, se escribe el nombre de la matriz o vector y a 
continuación el apóstrofo que está entre paréntesis. (‘). 
ƒ Para sumar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo +. 
ƒ Pare restar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo -. 
ƒ Para multiplicar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el 
signo *. 
ƒ Para invertir una matriz, por ejemplo la matriz A. El comando es inv (A). 
ƒ Para multiplicar un escalar por una matriz se procede en forma similar a la 
multiplicación de una matriz. 
 
 
• EJEMPLO 1 
 
 
Dadas las matrices: 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
62
23
12
11
31
42
CBA 
 
Encontrar: 
 
i. tAD = . La transpuesta de la matriz A . 
ii. BAE = . El producto de la matriz A por la matriz B . 
iii. 1−= CF . La matriz inversa de C . 
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iv. BAG += . La suma de la matriz A con la matriz B . 
v. CAH −= . La diferencia de las matrices A con la C . 
 
 
• SOLUCIÓN 
 
 
>> A=[ 2 4; 1 3]; B=[ 1 -1; 2 1]; C=[ 3 2; 2 6 ] 
>> D=A’ 
>> E=A*B 
>> F=inv(C) 
>> G=A+B 
>> H=A-C 
 
ƒ El colocar el punto y coma después del corchete hace que no se imprima a 
continuación la matriz. En este caso no se imprimirá las matrices A y B pero si se 
imprimirá la matriz C. 
ƒ Después de cada sentencia aparece inmediatamente los resultados esperados, así 
luego de colocar D=A’, aparece 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
34
12
D 
 
ƒ Los restantes resultados que se obtienen son: 
 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
27
210
E ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
21429.014286.0
14286.042857.0
F ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
43
33
G ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−=
31
21
H 
 
Si en el ejemplo, por desconocimiento o descuido, se colocaba: 
 
>> E=a*B 
 
MATLAB no puede hacer la operación ya que la matriz a no está definida. De tal 
manera que en MATLAB se diferencian las minúsculas de las mayúsculas. 
 
 
3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES 
 
 
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de la forma A X = B se procede de la 
siguiente manera: 
 
>> X= A\B 
 
 
• EJEMPLO 2 
 
 
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
40
50
42
513
1102
328
3
2
1
X
X
X
 
 
 
• SOLUCIÓN 
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>> A=[8 2 3; 2 10 1; 3 1 5]; B=[ 42; 50; 40]; X= A\B 
ƒ En este caso no se imprime la matriz A ni el vector B por el (;) . 
ƒ Se pudo haber colocado la matriz A en una línea, el vector B en otra y el cálculo de las 
incógnitas en otra. 
 
La solución del ejercicio es: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
00.6
00.4
00.2
X 
 
 
4. CÁLCULO AVANZADO CON MATRICES 
 
 
En este libro se tiene que calcular con cierta frecuencia los valores y vectores propios 
de una matriz A y también el exponencial de una matriz eA. Esto se lo hace con los siguientes 
comandos: 
 
ƒ [V,D] = eig ( A ) En V vienen los vectores propios y en D los valores propios de A. 
ƒ expm(A) El comando expm(A) halla el exponencial de la matriz. 
 
 
• EJEMPLO 3 
 
Encontrar los valores y vectores propios de la siguiente matriz A.⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
110
132
025
A 
 
 
• SOLUCIÓN 
 
>> A=[ 5 -2 0; -2 3 -1; 0 -1 1]; [V,D] = eig (A) 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=
1019.05277.08433.0
5392.06831.04927.0
8360.05049.02149.0
V 
 
 
Otra forma de calcular los valores y vectores propios, que ofrece MATLAB es: 
 
ƒ [V,D] = eig (K,M) K es la matriz de rigidez, M es la matriz de masas. Las dos son 
de orden (n x n) siendo n el número de grados de libertad. En 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
2899.60.00.0
0.02943.20.0
0.00.04158.0
D
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V vienen los modos de vibración y en D los valores propios con 
los cuales se obtienen las frecuencias naturales. 
 
 
• EJEMPLO 4 
 
 
Calcular el exponencial de la siguiente matriz A 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
92
24
A 
 
• SOLUCIÓN 
 
>> A = [ 4 2 ; 2 9]; 
>> expm(A) 
 
ans = 
 
 1.0e+004 * 
 
 0.1815 0.5096 
 0.5096 1.4555 
 
En este caso no se le asignó el nombre de una matriz al resultado de eA. En este caso 
MATLAB asigna la respuesta a ans. 
 
El cálculo del exponencial de una matriz se lo aplica en el Procedimiento de Espacio de 
Estado, para encontrar la respuesta sísmica de un sistema de n grados de libertad. 
 
 
5. CÁLCULO DE INTEGRALES 
 
 
MATLAB ofrece varias formas de calcular una integral, en este libro se utiliza la regla 
del trapecio y su formato de uso es: 
 
• trapz (X,Y) Donde X es un vector que contiene los puntos discretos X. Por otra 
parte Y es el nombre del vector que contiene los valores de la 
función Y en los puntos discretos X. 
 
• trapz (Y) Esta modalidad se utiliza cuando los puntos discretos se encuentran 
espaciados cada unidad. 
 
6. MATRIZ IDENTIDAD Y NULA 
 
MATLAB puede crear matrices de orden (n x n) con 1 solo en la diagonal, con 1 en 
toda la matriz o con 0 en toda la matriz, de la siguiente manera: 
 
ƒ A = eye (m) m es el orden de la matriz A identidad. 
 
ƒ A = ones (m) m es el orden de la matriz A pero en este caso todos los elementos 
de la matriz son unos. 
 
ƒ A = zeros (m) m es el orden de la matriz A que está compuesta por ceros. 
 
 
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7. FUNCIONES MATEMÁTICA ELEMENTALES 
 
En la tabla 1 se indican las funciones elementales que más se utilizan en este libro. 
 
Tabla 1 Funciones matemáticas elementales. 
Función Comentario Función Comentario 
sin (x) Seno trigonométrico abs (x) Valor absoluto 
cos (x) Coseno angle (x) Angulo de fase 
tan (x) Tangente sqrt (x) Raíz cuadrada 
sinh (x) Seno hiperbólico real (x) Parte real del complejo 
cosh (x) Coseno hiperbólico imag (x) Parte imaginaria 
asin (x) Seno inverso trigon. conj (x) Conjugado de complejo 
asinh (x) Seno inverso hiperbólico exp (x) Base exponencial e 
log (x) Logaritmo de base e log10 (x) Logaritmo de base 10 
 
 
8. GRÁFICAS EN MATLAB 
 
 
Nuevamente MATLAB ofrece gran versatilidad para la elaboración de figuras, aquí 
únicamente se presentan los comandos con los cuales se obtuvieron las curvas que están en 
este texto. 
 
ƒ Para realizar un simple gráfico en dos dimensiones el comando es: 
 
plot (x,y) 
xlabel (‘Titulo para eje de las x’); ylabel (‘Titulo para eje de las y’); 
title (‘Titulo de la figura’) 
 
Previamente se habrán obtenido los vectores x, y. 
 
ƒ Para realizar varias curvas en un solo gráfico, se procede de la siguiente manera: 
 
hold off 
plot (x,y,’+’) 
hold on 
plot (x,z,’o‘) 
 
El comando hold on mantiene la gráfica para realizar otra curva. Es conveniente 
apagarla con hold off para que no quede activado este comando. Cuando se 
construyen varias curvas en una gráfica es conveniente dibujar cada una de ellas con 
un símbolo diferente los mismos que se indican entre ‘ ‘. En el ejemplo la primera curva 
se dibujara con el signo más y la segunda curva con círculo, en este caso se escribió la 
o no el cero. En la tabla 2 se indican varios símbolos disponibles. 
 
Tabla 2 Símbolos disponibles 
Tipo de marca Símbolo Tipo de Marca Símbolo 
Punto . Línea-Punto - . 
Líneas muy pequeñas : Líneas entrecortadas - - 
Signo más + Signo estrella * 
Círculo O Marca x x 
 
En lugar de utilizar símbolos diferentes para construir las curvas se puede utilizar 
colores, colocando en lugar del símbolo la letra de un color, las mismas que se indican 
en la tabla 3. 
 
 
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ƒ Para presentar varias figuras, se tiene el comando subplot en que se pueden 
presentar m por n gráficas. La sintaxis es: 
 
• subplot (m,n,k) k es el número de la gráfica que se dibuja, m y n se refiere a m por 
n gráficas que se quieren dibujar. 
 
Tabla 3 Colores disponibles 
Color de línea Símbolo Color de línea Símbolo 
Rojo R Amarillo y 
Magenta M Turquesa C 
Verde G Azul B 
Blanco W Negro K 
 
 
• EJEMPLO 5 
 
Encontrar en forma gráfica las raíces de la siguiente ecuación: 
 
0coshcos1 =+ pp 
 
 
• SOLUCIÓN 
 
Esta ecuación aparece cuando se resuelve una viga en flexión modelado como un 
sistema continuo. La ecuación propuesta se puede escribir de la siguiente manera: 
 
p
p
cosh
1cos −= 
 
Por lo tanto se debe graficar las dos curvas que son: pcos , por una parte, y 
pcosh/1− , por otra. Se presenta a continuación la forma de graficar en la modalidad consola. 
 
>> dx=0.01; 
>> for i = 1:500 
 p(i)=i*dx; y(i)=cos(p(i)); z(i)=-1/cosh(p(i)); 
 end 
>> plot (p,y,’r’); hold on; plot (p,z,’b’) 
 
En la figura 1 se presentan las curvas que se obtienen: 
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Figura 1 Gráfica de dos funciones. 
 
 
Se puede colocar mayor información en el gráfico de la figura 1, con el propósito de 
explicar mejor cuales son las raíces, esto se lo puede hacer con MATLAB pero es más fácil 
realizarlo usando el programa PAINT; en la figura 2 se presenta el resultado final del cálculo 
gráfico de las raíces que ha sido realizado con MATLAB y PAINT. 
 
 
 
Figura 2 Raíces encontradas. 
 
 
9. PROGRAMAS 
 
 Roberto Aguiar Falconí 
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Si bien en el apartado anterior se realizó un pequeño programa, para dibujar las dos 
curvas, lo usual es que esto se realice en la modalidad rutina. La primera instrucción de un 
programa es: 
 
function [resultados] = nombre (datos) 
 
En resultados vendrá el nombre de las variables que contienen los resultados del 
programa, puede ser una o varias variables o arreglos. El nombre corresponde a la forma de 
identificar el programa, no hay limitación en el número de letras que se utilicen para el efecto. 
Por último en datos vienen de consola, la información que requiere el programa para su 
ejecución. Normalmente se deben colocar datos pero también el programa puede pedir los 
datos por pantalla o a su vez tomarlos de un archivo o se pueden asignar valores de tal forma 
que no es obligatorio que existan siempre datos. 
 
Es conveniente documentar los programas, para el efecto se colocarán comentarios, 
esto se lo hace con % y a continuación se indican todos los comentarios que se requieran. 
Cuando el programa ve % simplemente ignora esa sentencia ya sabe que son comentarios.En una fila de datos se puede tener una o más sentencias en el ejemplo anterior se 
escribió tres sentencias en una fila que son: p(i)=i*dx; y(i)=cos(p(i)); z(i)=-1/cosh(p(i)); esto hace 
que los programas sean más cortos. 
 
Para programar básicamente se necesita conocer como se escribe un bucle y la forma 
de escribir las decisiones condicionales. En otras palabras saber el manejo del for y del if. 
 
™ Bucles Empiezan con la palabra for y terminan con la palabra end. Luego 
de un índice el mismo que va a variar en la forma que el usuario 
desee. La sintaxis del for es la siguiente: 
 
for i = ni:nf 
 ………….. 
end 
 
Donde ni es el número inicial en que empieza el lazo o bucle y nf es 
el número en que termina el bucle. En la forma indicada el índice i 
variará de uno en uno. Si se desea otro tipo de variación la sintaxis 
en la siguiente: 
 
for i = ni,dx,nf 
 ………….. 
end 
 
En este caso se especifica el incremento dx con el cual va a ir 
variando el índice i. Los …………., significan que en ese lugar se 
colocarán las sentencias del programa. 
 
™ Condicionales La forma más sencilla de un condicional es la siguiente: 
 
if condición 
 .............. 
else 
 ………… 
end 
Si se cumple la condición que está al lado del if se ejecutan las 
líneas que están a continuación, caso contrario no se ejecutan estas 
líneas y se ejecutan las líneas posteriores a else. 
 
En este libro se trabaja con los siguientes operadores para los 
condicionales: 
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Tabla 3 Lista de condicionales 
Nombre Operador Nombre Operador 
Mayor que > Menor que < 
Mayor o igual >= Menor o igual >= 
Igual == No es igual = 
 
 
La forma general de un condicional es: 
 
if condición 
 .............. 
elseif 
 ………… 
else 
 ………… 
end 
 
 
En este caso se tiene opción de hacer varias preguntas adicionales, 
en este caso solo se ha efectuado una pregunta adicional con elseif 
pero se pueden hacer tantas como sea necesario. 
 
 
• EJEMPLO 6 
 
 
Elaborar un programa para encontrar una de las raíces de un polinomio de tercer grado 
aplicando el Método de Newton Raphson. 
 
 
• SOLUCIÓN 
 
 
La fórmula del Método de Newton Raphson es la siguiente: 
 
 ( )
( )i
i
ii Xf
Xf
XX '1 −=+ 
 
Donde ( )iXf es el valor de la función en el punto iX ; ( )iXf ' es el valor de la 
derivada en iX . Por facilidad se desarrolla un programa específico para un polinomio de tercer 
grado de la forma: ( ) dcxbxaxxf +++= 23 Los datos dcba ,,, se indicarán en la 
modalidad consola. La ecuación a programar es: 
 
cbXaX
dcXbXXaXX
ii
iii
ii ++
+++−=+ 23 2
23
1 
 
El cálculo es iteractivo, ya que se debe imponer un valor inicial de iX y el programa 
determina 1+iX con este valor se ve si ( )1+iXf es menor o igual a una tolerancia, si es menor 
se halló la raíz, caso contrario se continua con el cálculo para lo cual 1+= ii XX . El programa 
que se ha elaborado se denomina newtonraphson y se indica a continuación. 
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Se destaca que en MATLAB no se puede colocar las tíldes en los programas de 
tal manera que aparecerán ciertas palabras con error gramatical. 
 
 
 
function [raiz]=newtonraphson(a,b,c,d,xi) 
% 
% Calculo de una raiz de un polinomio de tercer grado aplicando el 
% Metodo de Newton Raphson 
% 
% a,b,c,d son datos del polinomio de tercer grado. 
% xi es dato el valor inicial que el usuario propone. 
% raiz es una de las raices que se obtienen 
% tol es el nombre de la tolerancia con la cual se desea calcular. 
% f es el valor de la funcion en el punto xi 
tol=0.01;xx=xi; 
for i=1:100 
 f=a*xi^3+b*xi^2+c*xi+d; 
 if f <=tol 
 raiz=xx; break 
 else 
 fp=3*a*xi^2+2*b*xi+c;xx=xi-f/fp;xi=xx; 
 end 
end 
 
 
Para ver la bondad del programa se encuentran las raíces del siguiente polinomio. 
 
0252)( 23 =++−= xxxxf 
 
La forma de ejecutar el programa es como sigue: 
 
>> [raiz] = newtonraphson (2,-5,1,2,3) 
 
El valor de iX inicial propuesto es 3. El programa reporta: 
 
raiz = 
 2.0006 
 
Con relación al programa es necesario explicar dos sentencias que son: break y 
continue 
 
• break Sirve para salir del bucle. En el programa realizado en principio se debía 
realizar 100 iteracciones ya que el lazo va de 1 a 100 pero con la 
pregunta que se realiza si f <= tol , no se llega a las 100 iteracciones, es 
probable que un número mucho menor ya se halle la raíz. Entonces la 
forma de salir del lazo es con break. 
 
• continue Tiene el efecto contrario al break. Se realiza una pregunta dentro de un 
lazo y si cumple cierta condición y no se quiere hacer ninguna operación, 
únicamente que continúe con el bucle, en este caso se coloca continue. 
 
 
¾ Cálculo de raíces de un polinomio 
 
 
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Se escribió el programa newtonraphson para ilustrar el uso de un bucle y de un 
condicionante. Para hallar las raíces de un polinomio MATLAB tiene el comando roots 
con el cual se hallan todas las raíces del polinomio. La sintaxis es: 
 
R = roots (p) 
 
Donde p es un vector que contiene los coeficientes del polinomio y R es el nombre del 
vector que contiene las raíces. En lugar de p y R se puede colocar cualquier nombre. 
Para hallar las raíces de: 0252)( 23 =++−= xxxxf . Se procede de la siguiente 
manera: 
 
>> p = [ 2 -5 1 2] 
>> raiz = roots (p) 
 
El programa en el vector raiz reporta todas las raíces que son: 
 
raiz = 
 
 2.0000 
 1.0000 
 -0.5000 
 
Si se conocen las raíces de un polinomio y se desea hallar los coeficientes de dicho 
polinomio el comando que se utiliza es poly ( r ) Donde r es el nombre del vector que 
contiene las raíces. Para el ejemplo se tendría: 
 
>> r = [ 2 1 -0.5] 
>> poly (r) 
 
El programa reporta: 
 
ans = 
 
 1.0000 -2.5000 0.5000 1.0000 
 
Que son los coeficientes del polinomio del ejemplo, dividido para 2. 
 
 
Conforme pasa el tiempo, es probable que se olvide la forma de entrada de datos de 
un determinado programa o no recuerda que hace el programa. En este caso, en la modalidad 
consola se escribirá help y el nombre del programa. Luego va a aparecer todas las primeras 
instrucciones que son comentarios. 
 
 
10. ARCHIVO DE DATOS Y RESULTADOS 
 
 
En el libro se encuentra la respuesta sísmica de varias estructuras ante un 
acelerograma, de un sismo registrado en el Perú el 9 de noviembre de 1974, lo primero que se 
debe realizar antes de llevar el archivo a MATLAB es eliminar las líneas de comentarios que 
normalmente traen los archivos y después darle un nombre con extensión .dat 
 
En el libro el archivo de este acelerograma se denomina Peru04.dat. Este archivo debe 
grabarse en la carpeta de MATLAB denominada WORK. Se destaca que debe ser un archivo 
ASCII. 
 
Para cargar un archivo, la sintaxis es: load datos.dat; 
 
Por otra parte, para guardar un archivo de resultados, la sintaxis es: save result.res; 
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En la sintaxis se ha denominado datos y result a los archivos de datos y resultados 
pero pueden tener cualquier nombre. 
 
 
11. FACILIDADES DE MATLAB CON MATRICES 
 
 
MATLAB facilita, la forma de trabajarcon matrices y vectores. A continuación se 
indican algunas de estas formas: 
 
 
¾ Creación de una matriz diagonal 
 
 
Si en consola o rutina se escribe, por ejemplo: 
 
A = diag ( [ 5 4 3 ] ) 
 
Se crea la matriz: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
300
040
005
A 
 
 
¾ Obtención de una submatriz 
 
 
Se desea obtener de la matriz A del ejemplo anterior una submatriz que se va a 
denominar B compuesta por las dos primeras filas y columnas. 
 
B = A ( 1:2,1:2) 
 
Se crea la submatriz: 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
40
05
B 
La sintaxis es primero identificar la matriz de la cual se va a obtener la submatriz. 
Luego entre paréntesis se indica la fila inicial : la fila final coma la columna inicial : la 
columna final 
 
Si se desea extraer un elemento de una matriz, se escribe en la notación clásica. Por 
ejemplo de la matriz A se desea obtener el número 4. 
 
A (2,2) 
ans= 
 4 
 
 
¾ Símbolo : 
 
 
Sirve para denotar todos los elementos de una fila o columna de una matriz. Por 
ejemplo si se quiere obtener los elementos de la tercera columna de la matriz A. 
 
A(:,3) 
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ans= 
 0 
 0 
 3 
 
 
¾ Máximo y Mínimo de un vector 
 
 
Para encontrar el valor máximo o mínimo de un vector la sintaxis es: max (A) o min(A). 
Siendo A. El nombre del vector. 
 
 
¾ Dimensión de un vector o matriz 
 
 
Para saber el orden de una matriz o vector la sentencia es length (A) donde A es el 
nombre de la matriz o vector. 
 
 
12. FUNCIONES 
 
 
Una gran ventaja de MATLAB es que las funciones se pueden trabajar directamente 
como vectores o matrices. Por ejemplo si se tiene una serie de tiempo que va desde 0 a 1 con 
incrementos de 0.1, esto se lo obtiene de la siguiente manera: 
 
>> t = linspace (0,1,11) 
 
 
Con lo que se obtiene: 
 
t = 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 
 
 
ƒ La primera cantidad de linspace corresponde al número inicial, la segunda al número 
final y la tercera al número de valores que se desea, entre los números inicial y final. 
ƒ Se ha creado t como un vector fila. Esto es muy importante tener en cuenta ya que 
para graficar funciones se necesita tener un vector columna. En este caso se escribe 
de la siguiente manera: 
 
>> t = linspace (0,1,11)’ 
 
Si se desea obtener el seno para cada uno de los valores de t se procede de la 
siguiente manera: 
 
 
>> a=sin(t) 
 
Con lo que se halla: 
 
 
a= 
 
0 0.0998 0.1987 0.2955 0.3894 0.4794 0.5646 0.6442 0.7174 0.7833 
 
 0.8415 
 
 
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Se ha presentado un manual rápido de MATLAB que tiene como objetivo que el lector 
comprenda los programas que en libro se presentan. Con tantas ventajas que ofrece MATLAB, 
los programas, de aspectos muy complejos como es por ejemplo, el hallar la respuesta en el 
tiempo de un sistema de múltiples grados de libertad, son muy cortos. 
 
Los programas que se desarrollan tienen un gran beneficio ya que ayudan al lector a 
entender perfectamente el tema que se está exponiendo. 
 
Para quienes deseen profundizar más en MATLAB se les recomienda el libro de 
Shoichiro Nakamura (1997), Análisis numérico y visualización gráfica con MATLAB, 476 p., 
Prentice-Hall Hispanoamericana S.A., México. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 1 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD 
 
 
RESUMEN 
 
 
Se deduce la ecuación diferencial del movimiento para sistemas de un grado de 
libertad y se resuelve en forma analítica para el caso de vibración: libre, forzada ante carga 
armónica y arbitraria ante pulsos rectangulares. Para el primer caso se obtiene la respuesta 
para vibraciones sin amortiguamiento, subamortiguada, sobre amortiguada y críticamente 
amortiguada. Para el segundo caso se obtiene el factor de amplificación dinámica y se ilustra el 
problema de la resonancia, luego se obtienen las fuerzas que se transmiten a la fundación por 
efecto de vibración armónica. Finalmente para el tercer caso, se presenta la solución ante un 
escalón unitario y de fuerza arbitraria y ante un pulso rectangular. 
 
Se complementa el marco teórico con la presentación de programas en MatLab para 
resolver el problema de vibraciones libres y para calcular el factor de amplificación dinámica de 
desplazamiento. 
 
 
 
1.1 VIBRACIONES LIBRES 
 
 
En las estructuras se tienen dos tipos de vibraciones que son: vibración libre y 
vibración forzada. En el primer caso, que se presenta en este apartado, la estructura vibra 
debido a condiciones iniciales. Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el 
comportamiento de vibración libre en un sistema de un grado de libertad, en la figura 1.1 se 
indica el modelo numérico de cálculo a partir de un resorte que tiene una rigidez k como se 
aprecia en la posición ( 1 ) de la figura 1.1, se ha notado por P.I. a la posición inicial del 
sistema. 
 
Se considera que la fuerza que se genera en el resorte es proporcional a la 
deformación del mismo, con ésta hipótesis, se pasa a la posición ( 2 ) de la figura 1.1 en que 
coloca la masa del sistema m sobre el resorte se lo hace de tal manera que el sistema no 
vibre al terminar de colocar la masa el resorte se ha deformado una cantidad δ y ahora la 
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Posición Inicial P.I., pasa a la posición de equilibrio estático que se ha llamado P.E.E. En la 
posición ( 2 ) del equilibrio de fuerzas verticales se tiene: 
 
δkgm = 
 
En la posición ( 3 ) se ha colocado el amortiguador c pero no entra en funcionamiento 
ya que el sistema está en reposo. La fuerza del amortiguador se considera proporcional a la 
velocidad. En consecuencia se tendrá fuerza en el amortiguador cuando el sistema se 
encuentra en movimiento. En ( 4 ) se dan las condiciones iniciales del sistema, para un tiempo 
0=t la masa se desplaza una cantidad oq con una velocidad 
.
oq . 
 
 
 
Figura 1.1 Descripción del modelo numérico para vibración libre. 
 
Se debe recalcar que el desplazamiento en un instante cualquiera )(tq se mide a 
partir de P.E.E. Finalmente en ( 5 ) se presenta una posición genérica del movimiento en la que 
se ha colocado que la fuerza en el resorte vale )( δ+qk hacia arriba, el peso del sistema vale 
gm hacia abajo, la fuerza en el amortiguador 
.
qc hacia arriba y la fuerza inercial 
..
qm hacia 
arriba. Del equilibrio, de fuerzas verticales, se tiene: 
 
0)(
... =−+++ gmqmqcqk δ 
 
Al sustituir ( 1.1 ) en ésta última ecuación, se tiene: 
 
0
... =++ qkqcqm 
 
Se conoce que la frecuencia natural nW y el período de vibración T , valen: 
 
n
n W
T
m
kW π2== 
 
Por otra parte, se define el factor de amortiguamiento ξ como: 
km
c
2
=ξ 
 
Si la ecuación diferencial ( 1.2 ) se divide para m se tiene: 
02
... =++ qWq
m
cq n 
 
( 1.2 ) 
( 1.2 ) 
( 1.3 ) 
( 1.4 ) 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
Al multiplicar y dividirel término c/m por mk2 y al utilizar la ecuación ( 1.4 ) se tiene: 
 
nWm
mk
mk
c
m
c ξ22
2
== 
 
Luego otra forma de presentar la ecuación diferencial del movimiento es: 
 
02 2
... =++ qWqWq nnξ 
 
 
1.1.1 Solución de la ecuación diferencial 
 
 
Se plantea la solución de la ecuación diferencial ( 1.5 ) de la siguiente forma: 
 
teatq λ=)( 
 
Donde a es una constante de integración y λ es una variable a determinar. Al derivar 
la ecuación ( 1.6 ) con respecto al tiempo y reemplazar en ( 1.5 ) se tiene: 
 
( ) 02
02
22
22
2
..
.
=++
=++
=
=
nn
t
t
n
t
n
t
t
t
WWea
eaWeaWea
eaq
eaq
λξλ
λξλ
λ
λ
λ
λλλ
λ
λ
 
 
Para que la última ecuación sea igual a cero es necesario que la cantidad del 
paréntesis sea cero. 
 
1
2
442
02
2
222
22
−±−=
−±−=
=++
ξξλ
ξξλ
λξλ
nn
nnn
nn
WW
WWW
WW
 
 
Las raíces de λ dependen del valor de ξ ya que el radical puede ser positivo, cero o 
negativo. 
 
 
1.1.2 Vibración libre sin amortiguamiento 
 
En este caso 0=ξ , es un caso ideal que significa que la estructura queda vibrando 
indefinidamente. Al ser 0=ξ las raíces que se obtienen de ( 1.7 ) son: 
 
1−±= nWλ 
 
Luego la solución se transforma en: 
 
( 1.5 ) 
( 1.6 ) 
( 1.7 ) 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 ( ) ( ) ( )
22
cos)(
BAC
tWsenCtWsenBtWAtq nnn
+=
+=+= γ
 
 
Siendo γ el ángulo de fase. 
 
 
• EJEMPLO 1 
 
Encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad cuyo período 
de vibración es 0.2 s., que no tiene amortiguamiento y que en el tiempo igual a cero el 
desplazamiento inicial es de 2.cm., y la velocidad inicial es 10 cm/s. 
 
• SOLUCIÓN 
 
( ) ( )
( ) ( )tWWBtWsenWAtq
tWBsentWAtq
sT
W
nnnn
nn
n
cos)(
cos)(
1416.31
2.0
22
. +−=
+=
=== ππ
 
 
Para 0=t se tiene: 
 
3183.0
416.31
101010
2
===→=
=
n
n W
BWB
A
 
 
Luego: ( )tsenttq 416.313183.0)416.31cos(2)( += 
 
En la figura 1.2 se tiene la respuesta en el tiempo y es importante tener en cuenta los 
siguientes comentarios: 
 
9 La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial. 
9 Como la velocidad inicial es positiva, la pendiente de la figura 1.2 en t=0 es positiva 
razón por la cual la curva va hacia arriba. 
9 El tiempo que se demora en una oscilación completa es igual a 0.2 s., que corresponde 
al período de vibración. 
9 Como el sistema no tiene amortiguamiento la amplitud de la oscilación no decrece. 
 
 
 
1.1.3 Vibración libre subamortiguada 
 
 
Corresponde al caso real en el cual vibran las estructuras, el valor de 10 ≤< ξ . En 
este caso las raíces son también números complejos. 
Las raíces son: 
21
1
ξ
ξλ
−=
−±−=
na
an
WW
WW
 
 
( 1.8 ) 
( 1.9 ) 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Tiempo (s.)
D
es
pl
az
am
ie
nt
o 
(c
m
.)
 
Figura 1.2 Respuesta en el tiempo de sistema de 1 gdl sin amortiguamiento. 
 
 
Luego la solución es: 
 
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]tWBtWsenAtWtq
tWBtWsenAetq
aan
aa
tWn
cos)exp()(
cos)(
+−=
+= −
ξ
ξ
 
 
La respuesta en el tiempo para el caso de vibración libre sin amortiguamiento se ha 
escrito de dos formas en la ecuación (1.10) toda vez que en la primera no se ve tan claro el 
exponente. Al igual que el caso anterior la suma de dos armónicos es otro armónico por lo que 
la ecuación ( 1.10 ) en función del ángulo de fase queda: 
 
 
22
)()exp()(
BAC
tWsentWCtq an
+=
+−= γξ
 
 
 
• EJEMPLO 2 
 
Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo anterior si 05.0=ξ . El período del 
sistema es 0.2 s. 
 
./10)0(
.2)0(0
.
scmq
cmqt
=
==
 
 
• SOLUCIÓN 
 [ ]
[ ]
[ ]
3767.3105.01416.31
)()cos()exp(
)cos()()exp()(
)cos()()exp()(
2
.
=−=
−−
++−−=
+−=
a
aaaan
aann
aan
W
tWsenWBtWWAtW
tWBtWsenAtWWtq
tWBtWsenAtWtq
ξ
ξξ
ξ
 
( 1.10 ) 
( 1.11 ) 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
 
Para t=0 se tiene: 
 
41883.03767.312416.3105.010
2
=∗+∗∗−=
=
AA
B
 
 
Luego la respuesta en el tiempo es: 
 ( ) ( ) ( )[ ]ttsenttq 3767.31cos23767.3141883.05708.1exp)( +∗∗−= 
 
En la figura 1.3 se presenta la respuesta en el tiempo para el ejemplo 2 que tiene 5% 
de amortiguamiento. 
 
 
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Tiempo (s.)
D
es
pl
az
am
ie
nt
o 
(c
m
.)
 
Figura 1.3 Respuesta en el tiempo para sistema con 05.0=ξ 
 
 
Los comentarios que se hacen al ejemplo 2, son los siguientes: 
 
9 La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial. 
9 La pendiente en t=0 es positiva. 
9 El período de la oscilación en este caso vale: 
 
a
a W
T π2= 
9 Conforme transcurre el tiempo el desplazamiento tiende a cero. 
 
 
1.1.4 Vibración libre sobre amortiguada 
 
Corresponde al caso en que ξ es mayor que la unidad. En este aso las dos raíces son 
reales. Luego la respuesta en el tiempo vale: 
 ( )[ ] ( )[ ]tWWBtWWAtq nnnn 1exp1exp)( 22 −−−+−+−= ξξξξ 
 
• EJEMPLO 3 
( 1.12 ) 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
 
Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si 2.1=ξ . El período del sistema es 
0.2 s. 
 
./10)0(.2)0(0
.
scmqcmqt === 
 
• SOLUCIÓN 
 
 
Se procede en forma similar a los ejercicios anteriores y la respuesta que se obtiene es 
la siguiente: 
 ( ) ( )tttq 5382.58exp049.18602.16exp049.3)( −−−= 
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Tiempo (s.)
D
es
pl
az
am
ie
nt
o 
(c
m
.)
 
Figura 1.4 Respuesta en el tiempo para 2.1=ξ 
 
Los comentarios que se realizan a la figura 1.4, son: 
 
9 La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial. 
9 La pendiente en t=0 es positiva. 
9 El sistema tiene tanto amortiguamiento que no oscila. 
1.1.5 Vibración libre críticamente amortiguada 
 
 
En caso 1=ξ . El radical de la ecuación ( 1.7 ) es cero y las dos raíces son iguales. 
Por lo tanto, la respuesta en el tiempo es: 
 ( ) ( )tWBtAtq n−+= exp)( 
 
• EJEMPLO 4 
 
Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si 0.1=ξ . El período del sistema es 
0.2 s. 
( 1.13 ) 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
./10)0(
.2)0(0
.
scmq
cmqt
=
==
 
 
• SOLUCIÓN 
( ) ( )[ ]nn WBtAAtWtq +−−= exp)(. 
 
Al reemplazar las condiciones iniciales se encuentra: 
 
2832.72 == BA 
 
La respuesta en el tiempo viene dada por: 
 ( ) ( )tttq 416.31exp2832.72)( −+= 
 
La gráfica de la respuesta es similar a la de la figura 1.4 
 
 
function [q]=vlibre(zi,w,qo,qpo) 
% 
% Vibraciones libres en sistemas de un grado de libertad 
% 
% Por: Roberto Aguiar Falconi 
% CEINCI-ESPE 
%------------------------------------------------------------- 
% [q]=vlibre(zi,w,qo,qpo) 
%------------------------------------------------------------- 
% zi: factor de amortiguamiento 
% w : frecuencia natural delsistema de 1 gdl. 
% qo: desplazamiento en t=0 
% qpo: velocidad en t=0 
% tmax: tiempo maximo de la respuesta igual a 0.6 segundos. 
t=linspace(0,0.6,500)'; 
if zi<1 
 wa=w*sqrt(1-zi*zi); B=qo; A=(qpo+zi*w*B)/wa; 
 q1=(A*sin(wa*t)+B*cos(wa*t)); q2=exp(-zi*w*t); 
 q=q2.*q1; 
elseif zi==1 
 B=qo; A=qpo+B*w; 
 q=(A*t+B).*exp(-w*t); 
else 
 landa1=-zi*w+w*sqrt(zi*zi-1); landa2=-zi*w-w*sqrt(zi*zi-1); 
 C=[1 1; landa1 landa2]; D=[qo; qpo]; 
 X=C\D; A=X(1); B=X(2); 
 q=A*exp(landa1*t)+B*exp(landa2*t); 
end 
plot (t,q) 
xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Desplazamiento') 
title ('Vibracion libre en sistema de 1 gdl') 
%---fin--- 
 
 
Se ha presentado un programa denominado VLIBRE que encuentra la respuesta en el 
tiempo, para un problema de vibración libre. Los datos que se suministran al programa, son: 
 
• ξ Factor de amortiguamiento. 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
• nW Frecuencia natural del sistema. 
• )0(q Desplazamiento en 0=t . 
• )0(
.
q Velocidad en 0=t . 
 
Como aplicación del programa VLIBRE, se resuelve el ejemplo 2 de este capítulo: 
 
 
¾ [q] = vlibre (0.05,31.416,2,10) 
 
 
En la figura 1.5 se indica lo que reporta el programa VLIBRE. 
 
 
 
Figura 1.5 Respuesta en el tiempo de ejemplo 2 que se obtiene con programa VLIBRE en MATLAB. 
1.1.6 Factor de amortiguamiento 
 
 
Una de las aplicaciones del caso de vibración libre sub amortiguada se presenta en el 
cálculo del factor de amortiguamiento ξ para el efecto se mide el decremento logarítmico ξ∆ 
del movimiento, mediante la siguiente ecuación: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+=∆ anTtq
tq
n (
)(ln
2
1
πξ 
 
Donde n es el número de períodos que se considera para la medición, )(tq es la 
amplitud en un instante de medición y )( anTtq + es la amplitud luego de n períodos. El valor 
de aT es el período de la vibración amortiguada. En la figura 1.6 se ilustra el cálculo del 
decremento logarítmico, en este caso se ha medido las amplitudes en un período aT . Por otra 
parte se tiene que: 
 
( 1.14 ) 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
 
21 ξ
ξ
ξ −
=∆ 
 
 
Figura 1.6 Cálculo del decremento logarítmico. 
 
 
Newmark y Hall (1982) recomiendan los valores de ξ que se indican en la tabla 1.1. 
Los comentarios que se pueden hacer al respecto son los siguientes: 
 
 
™ El valor de ξ depende del tipo de material y del sistema estructural. 
™ El valor de ξ depende del nivel de esfuerzos, mientras más bajo sea el nivel de 
esfuerzos menor será ξ . 
™ Para estructuras de Hormigón Armado el valor de ξ es superior a 10 si el nivel de 
daño en la estructura es grande. 
™ Normalmente los espectros de diseño se presentan para 05.0=ξ lo que implica que 
existe un agrietamiento visible en la estructura. 
 
 
1.2 VIBRACIONES FORZADA. EXCITACIÓN ARMÓNICA 
 
 
Se tienen varios casos de vibración forzada de ellos, para quienes vivimos en una zona 
de alta peligrosidad sísmica como es el Ecuador, el sismo es el más importante pero para otros 
puede ser muy importante la acción del viento o las vibraciones que producen los motores de 
máquinas. 
 
Tabla 1.1 Valores recomendados de ξ en porcentaje. 
Material y/o sistema estructural Nivel de esfuerzos o deformaciones ( )%ξ 
Columnas aisladoras de porcelana Deformaciones elásticas 0.5 a 1 
Esfuerzos admisibles; yσ5.0< 1 a 2 Sistemas de tuberías que pueden vibrar libremente 
Cercanos a yσ , sin excederlo 2 a 3 
( 1.15 ) 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
Esfuerzos admisibles; yσ5.0< 2 a 3 Sistemas estructurales de acero soldado 
Cercanos a yσ , sin excederlo 5 a 6 
Esfuerzos admisibles; yσ5.0< 2 a 3 
Cercanos a estados últimos, 
Sin pérdida de pretensión 
5 a 7 
Concreto pretensazo 
Sin pretensión residual 7 a 10 
Esfuerzos admisibles sin agrietamiento 
visible 
2 a 3 
Agrietamiento visible generalizado 3 a 5 
Sistemas estructurales de Hormigón 
Armado 
Cercanos a estados últimos 7 a 10 
Esfuerzos admisibles; yσ5.0< 5 a 6 Estructuras de acero apernadas 
Esfuerzos a nivel de cadencia 8 a 12 
Esfuerzos admisibles 5 a 7 
Cercano a estados últimos, con juntas 
apernadas 
10 a 15 
Sistemas estructurales de madera, con 
elementos clavados o apernados. 
Estado de agotamiento con juntas 
clavadas 
15 a 20 
 
La excitación de una máquina puede se modela mediante un pulso el mismo que 
puede ser rectangular, triangular, trapezoidal, etc., pero para su solución se puede aproximar 
estas funciones periódicas por funciones armónicas tipo seno o coseno. Por este motivo es 
necesario estudiar la respuesta de un sistema de un grado de libertad ante una excitación 
armónica. 
 
 
 1.2.1 Respuesta ante una excitación sinusoidal 
 
Se desea encontrar la respuesta en el tiempo para el sistema de 1 gdl indicado en la 
figura 1.7. La excitación vale tsenFo ω ; siendo ω la frecuencia de vibración de la excitación, 
oF el valor de la amplitud máxima y t la variable tiempo. 
 
Figura 1.7 Sistema de 1 gdl sometido a una fuerza armónica. 
 
 
La ecuación diferencial del movimiento es: 
tsenFqkqcqm o ω=++ &&& 
 
La solución del problema )(tq será igual a la solución homogénea más la solución 
particular. 
 
( 1.16 ) 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
)()()( tqtqtq ph += 
 
La solución homogénea se halla igualando a cero la ecuación diferencial, es decir se 
resuelve la ecuación diferencial de vibración libre, la misma que se la repite a continuación. 
 
0=++ hhh qkqcqm &&& 
 
La solución particular depende de la forma de la excitación, se halla de la solución de: 
tsenFqkqcqm oppp ω=++ &&& 
 
La solución homogénea es importante en los primeros instantes de tiempo, luego 
desaparece por lo que el sistema queda vibrando en base a la solución particular, se resolverá 
a continuación únicamente la solución particular ya que la solución homogénea fue resuelta en 
el apartado anterior y además desaparece en los primeros instantes de tiempo. Sea 
 
tBtsenAqp ωω cos+= 
 
Donde BA, son constantes de integración que se determinan en base a la ecuación 
diferencial. Las derivadas de pq con respecto al tiempo, son: 
tBtsenAq
tsenBtAq
ωωωω
ωωωω
cos
cos
22 −−=
−=
&&
&
 
 
Al reemplazar en ecuación diferencial y agrupando términos se tiene: 
 ( ) ( ) tsenFtBkcAmBtsenAkcBAm o ωωωωωωω =++−++−− cos22 
 
Al igualar coeficientes se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 
 ( )
( ) 02
2
=−+
=−−
BmkAc
FBcAmk o
ωω
ωω
 
 
En forma matricial se tiene: 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−−
02
2
oF
B
A
mkc
cmk
ωω
ωω
 
 
El determinante de los coeficientes vale: 
 ( ) ( )222 ωω cmk +−=∆ 
 
Al aplicar la regla de Cramer se tiene: 
 
 
( )
∆
−=∆
−
−
=
220 ωω
ω
mkFmk
cF
A o
o
 
 
 
( 1.17 ) 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
∆−=∆
−
= o
o
Fcc
Fmk
B
ωω
ω
0
2
 
 
 
 
Figura 1.8 Suma de dos armónicos 
 
 
En el triángulo rectángulo de la figura 1.8 se tiene: 
 
γγ senXBXA == cos 
 
Al reemplazar BA, en la ecuación ( 1.17 ) se tiene: 
 ( )γωωγωγ +=+= tsenXtsenXtsenXqp coscos 
 
De la figura 1.8se tiene: 
( ) ( ) ( ) ( )
2
222
2
22
2
222
22
∆
+−=∆+∆
−=+= ωωωω cmkFFcmkFBAX ooo 
( ) ( )222 ωω cmk
F
X o
+−
= 
 
El ángulo de fase vale: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= −− 211 ω
ωγ
mk
ctg
A
Btg 
 
En resumen si la respuesta del sistema viene dada por la respuesta permanente se 
tiene que: 
 
( ) ( ) ( )γωωω ++−= tsencmk
F
q o
222
 
 
 
• EJEMPLO 5 
 
 
Encontrar la respuesta en el tiempo para un sistema de 1 gdl, que tiene los siguientes 
datos: 
 
cm
skgmkc
cm
kgk
cm
sKgm 943.68205.027146
.
51.17
2
==→=== ξξ 
( 1.18 ) 
( 1.19 ) 
( 1.20 ) 
( 1.21 ) 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
 
La excitación está definida por: 
 
sT
sTkgTF
a
ao
1944.2023.010001 ==→=== πω 
-1500,000
-1000,000
-500,000
0,000
500,000
1000,000
1500,000
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00
TIEMPO (t)
f(t
)
 
Figura 1.9 Excitación ( )tsentsenFtf o 944.201000)( == ω 
• SOLUCIÓN 
 
El sistema de ecuaciones lineales a resolver para encontrar las constantes de 
integración es el siguiente: 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−−
02
2
oF
B
A
mkc
cmk
ωω
ωω
 
 
( )
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∗−∗
∗−∗−
0.0
0.1000
944.2051.1727146944.20943.68
944.20943.68944.2051.1727146
2
2
B
A
 
 
32 1078996.31010919.5
0.0
0.1000
21861.19465943.1443
943.144321861.19465
−− ∗−=∗=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
BA
B
A
 
 ( ) ( )ttsentq 944.20cos1078996.3944.201010919.5)( 32 −− ∗−∗= 
 
En la figura 1.10 se presenta la respuesta en el tiempo de los desplazamientos )(tq . 
 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
-0,06000
-0,04000
-0,02000
0,00000
0,02000
0,04000
0,06000
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
Tiempo (s)
D
es
pl
az
am
ie
nt
o 
(c
m
)
 
Figura 1.10 Respuesta en el tiempo de desplazamientos. 
 
 
 
 1.2.2 Factor de amplificación 
 
 
Si en la ecuación ( 1.19 ) se divide al numerador y denominador para la rigidez del 
sistema se tiene: 
 
( ) ( )
2
222
k
cmk
k
F
X
o
ωω +−
= 
 
Se denomina: 
o
n
o
o
X
X
W
r
k
FX
=
=
=
α
ω
 
 
En la ecuación ( 1.23 ) se ha denominado r a la relación de la frecuencia de la 
excitación con respecto a la excitación de la frecuencia natural y α es el factor de 
amplificación dinámica. Luego se tiene: 
 
222
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
=
k
c
k
m
XX o
ωω
 
 
De donde: 
( ) ( )222 21
1
rr ξ
α
+−
= 
( 1.22 ) 
( 1.23 ) 
( 1.24 ) 
( 1.25 ) 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
 
 
FACTOR DE AMPLIFICACION DINAMICA 
0
1
2
3
4
5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
r
α
0,01
0,1
0,15
0,25
0,5
 
Figura 1.11 Factor de amplificación dinámica en función del factor de amortiguamiento. 
 
 
En la figura 1.11 se presenta el factor de amplificación dinámica, en función de la 
relación de frecuencias r , y para valores del factor de amortiguamiento ξ desde 0.01 a 0.5. 
De esta figura y de la ecuación (1.25) se tienen los siguientes comentarios: 
¾ Para el caso de vibración forzada, sin amortiguamiento 0=ξ y para 1=r en la 
ecuación ( 1.25 ) se tiene que ∞=α , que constituye el pico principal de resonancia. 
¾ A medida que ξ aumenta el factor de amplificación dinámica α disminuye. 
¾ Para 1=r el valor de α tiene un máximo valor para factores de amortiguamiento 
menores a 0.15. Tener 1=r significa que la frecuencia de la excitación es igual a la 
frecuencia natural del sistema y para estos casos el factor de amplificación dinámica es 
mayor que la unidad. 
¾ A medida que el valor de ξ se incrementa más ancho es el pico de amplitudes 
máximas. 
 
 
A continuación se presenta el programa FAD que obtiene en forma gráfica el factor de 
amplificación dinámica α para cuatro valores del factor de amortiguamiento ξ . La forma de 
uso del programa, en MATLAB es la siguiente: 
 
 
¾ [f] = fad(z1,z2,z3,z4) 
 
 
Como ejemplo de aplicación, se desea encontrar las curvas del factor de amplificación 
para valores de ξ igual a 0.01, 0.1, 0.15 y 0.5. 
 
[f] = fad(0.01,0.1,0.15,0.5) 
 
 
En la figura 1.12 se indican las curvas que se encuentran en el MATLAB, para los 
datos indicados. 
 
function [f]=fad(z1,z2,z3,z4) 
% 
% Factor de Amplificación Dinámica 
% 
% Por: Roberto Aguiar Falconi 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
% CEINCI-ESPE 
% --------------------------------------- 
% [f]=fad(z1,z2,z3,z4) 
% --------------------------------------- 
% z1: Factor de amortiguamiento 1 
% z2: Factor de amortiguamiento 2 
% z3: Factor de amortiguamiento 3 
% z4: Factor de amortiguamiento 4 
% r : Relación entre la frecuencia excitación a frecuencia natural 
% f : Factor de amplificación dinámica 
hold off 
dr=0.02;r=0; 
for i=1:150 
 r=r+dr; 
 f(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z1*r)^2));f1(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z2*r)^2)); 
 f2(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z3*r)^2));f3(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z4*r)^2)); 
 rr(i)=r; 
end 
plot (rr,f); hold on 
plot (rr,f1,'--'); plot (rr,f2,':'); plot (rr,f3,'-.') 
xlabel('r'); ylabel('Factor de amplificacion'); 
axis([0,3,0,5]); 
text (2.0,4.5,'z1 ---- ','Fontname','symbol'); text (2.0,4.0,'z2 - - -','Fontname','symbol') 
text (2.0,3.5,'z3 .......','Fontname','symbol'); text (2.0,3.0,'z4 .-.-.-','Fontname','symbol') 
hold off 
% ---fin--- 
 
 
 
1.2.3 Fuerza transmitida a la fundación 
 
 
Se ha visto que la solución de la ecuación diferencial ( 1.16 ) en régimen permanente 
viene dada por: 
 ( )γω += tsenXq 
 
De donde la derivada con respecto al tiempo es: 
( )γωω += tXq cos. 
 
La fuerza que llega a la cimentación, tf , viene dada por la contribución de la fuerza del 
resorte, ktf , más la contribución de la fuerza del amortiguador 
c
tf . 
 
( ) ( )γωωγω +++=
+=+=
tXctsenXkf
qcqkfff
t
c
t
k
tt
cos
.
 
 
 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
 
Figura 1.12 Curvas que se obtienen con programa FAD en MATLAB. 
Nuevamente se tiene la suma de dos armónicos por lo que la fuerza transmitida a la 
fundación vale: 
 
( ) ( ) ( )φγωω +++= tsenXcXkft 22 
 
Por lo tanto el valor máximo de la fuerza transmitida a la fundación TF vale: 
 
( ) XckFT 22 ω+= 
 
Al reemplazar el valor de X de la ecuación ( 1.21 ) se tiene: 
 
( )
( ) ( )222
22
ωω
ω
cmk
ckFF oT +−
+= 
 
oF es la fuerza aplicada al sistema de 1 gdl y TF es la fuerza transmitida a la 
fundación. Se denomina τ a la relación entre la fuerza transmitida a la cimentación con 
relación a la fuerza aplicada. 
 
o
T
F
F=τ 
 
Pero de ecuación ( 1.26 ) se tiene que: 
 
 
( )
( ) ( )222
22
ωω
ωτ
cmk
ck
+−
+= 
( 1.27 ) 
( 1.26 ) 
 Roberto Aguiar Falconí 
 CEINCI-ESPE 
 
 
Al dividir el numerador y denominador del radical para 2k y al expresarle en función 
del factor r y ξ , el factor de transmisibilidad τ queda: