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Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Roberto Aguiar Falconí
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PRÓLOGO
Se inicia el libro con la presentación de un manual rápido de uso del programa
MATLAB, orientado a que el lector comprenda los programas que se desarrollan en los
diferentes capítulos del texto. MATLAB es un programa muy poderoso, que permite con pocas
sentencias realizar cálculos numéricos avanzados y esto fue lo que me motivo a elaborar una
serie de programas sobre los temas que se tratan ya que la lectura de los mismos servirá para
comprender mejor el marco teórico expuesto. Además de ello el lector contará con programas
que le faciliten su aplicación práctica a futuro.
En el primer capítulo se trata sobre la respuesta dinámica de sistemas de un grado de
libertad, para el efecto se trata primero el caso de vibración libre, luego se estudia las
vibraciones forzadas ante excitación armónica y finalmente la respuesta en el tiempo ante
pulsos rectangulares. Hay dos aspectos de interés muy práctico que son: el cálculo del
factor de amplificación por desplazamientos y el factor de amplificación de fuerzas,
cuando la frecuencia de la excitación armónica es similar a la frecuencia de vibración de
la estructura, es decir cuando se está cerca de la resonancia.
El segundo capítulo está dedicado a tratar los Espectros de Respuesta Elásticos,
se encuentra en primer lugar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad
ante una acción sísmica por el Método de Newmark, luego para ilustrar como se obtienen los
espectros se halla la respuesta de dos sistemas de un grado de libertad, que tienen diferentes
períodos ante un mismo sismo y finalmente se definen los espectros de respuesta. La
importancia de conocer las formas espectrales en una determinada localidad se lo ilustra
al analizar la forma de los espectros, de los sismos de 1985 registrados en México y en
Chile.
En el tercer capítulo se estudia los Espectros de Diseño, para ilustrar la forma de
cálculo se halla el respectivo espectro de diseño, en base a 17 acelerogramas de sismos
registrados en el Perú, los mismos que fueron normalizados, para que todos ellos tengan una
aceleración máxima del suelo del 40% de la aceleración de la gravedad. La forma espectral
obtenida fue comparada con las formas espectrales del Código Ecuatoriano de la Construcción,
CEC-2000, para los cuatro perfiles de suelo. Luego se presenta el trabajo realizado por Seed,
Ugas y Lysmer en 1976 que ha sido empleado en forma indirecta en la formulación de
espectros de diseño en varias normativas sísmicas de América Latina.
Por ser de actualidad el Análisis Sísmico por Desempeño, en el capítulo tres, también
se indica la propuesta realizada por el autor de este libro (2004), para encontrar los
espectros para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro que tienen períodos de
retorno de 43, 73, 475 y 970 años, respectivamente.
Con el propósito de entender el factor de reducción de las fuerzas sísmicas, con el cual
se pasa del espectro de diseño elástico al espectro de diseño inelástico, se deducen las reglas
de igual desplazamiento y de igual energía. Luego se muestra el trabajo desarrollado por
Newmark y Hall en 1982 sobre el factor de reducción por ductilidad, considerando el tipo de
suelo. En este contexto también se presenta los resultados de las investigaciones
realizadas en el Centro de Investigaciones Científicas por el autor de este libro (2005)
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para determinar el factor de reducción por ductilidad en base a 63 registros de sismos
ocurridos en Colombia, Perú, Chile y Argentina.
En la mayoría de normativas sísmicas vigentes se presentan valores para determinar el
factor de reducción de las fuerzas sísmicas en diferentes tipologías estructurales. Estos
factores tienen un carácter cualitativo, razón por la cual en este libro se indica una
metodología de cálculo para hallar este factor en forma cuantitativa, para el efecto se
debe hallar el producto del factor de reducción por ductilidad, del factor de resistencia y
del factor de redundancia. Se presentan propuestas para el cálculo de estos factores.
El capítulo cuatro es una magnifica oportunidad para repasar la teoría de Análisis
Matricial de Estructuras, ya que se detalla la forma como se obtiene la matriz de rigidez
de una estructura por Ensamblaje Directo, a partir de las matrices de rigidez de los
elementos. Se ilustra el cálculo del arreglo que contiene los grados de libertad, del vector de
colocación y del ensamblaje. Se presenta los diagramas de flujo y el respectivo programa de
computación. Posteriormente se indican algunas formas de obtener la matriz de rigidez
condensada, desde la más elemental que es mediante la inversa de una matriz hasta la más
práctica que se tiene en la triangularización de la matriz de rigidez, empleando Gauss.
El capítulo cinco está dedicado a la matriz de Masas de cualquier tipo de
estructura, claro está que por facilidad se orienta a los marcos planos pero la formulación es
general y esto se ha tratado de demostrar cuando se resuelve un modelo muy sencillo en el
cual se involucra la interacción suelo estructura. Para evaluar la matriz de masas se debe
calcular primero la Energía Cinética, para facilitar este cálculo se da una regla muy práctica.
Si el lector sabe los conceptos fundamentales para determinar las matrices de: rigidez,
masa y amortiguamiento, estará en capacidad de encontrar la respuesta dinámica de cualquier
estructura. Por esta razón, en el capítulo cuatro se estudia con detenimiento el cálculo de la
matriz de rigidez, en el capítulo cinco, se hace lo propio, con la matriz de masas y en el capítulo
siete se dedica a la matriz de amortiguamiento. Todo esto orientado al análisis dinámico de
estructuras.
En el capítulo seis se determinan los modos de vibración de una estructura sin
considerar amortiguamiento. Por lo tanto, se resuelve el problema de vibraciones libres en
sistemas de múltiples grados de libertad sin considerar amortiguamiento. A pesar de que
el cálculo se reduce a una sentencia con MATLAB sin embargo se presenta uno de los
métodos clásicos de la obtención de los valores y vectores propios como es el Método de
Jacobi, de igual manera se ilustra el algoritmo de 2/1M para que el lector aprecie la bondad del
MATLAB y de paso conozca como se obtiene manualmente. Finaliza el capítulo con el
cálculo de los Modos Ritz en el que se consideran todos los grados de libertad de la
estructura.
En el capítulo siete se halla la matriz de amortiguamiento de dos maneras, la primera
mediante el Método de Rayleigh y la segunda empleando el algoritmo de Wilson y Penzien. Un
aspecto muy interesante es el desacoplamiento del sistema de ecuaciones diferenciales, tema
que se aborda en este capítulo, como también se ilustra el cálculo del exponencial de una
matriz orientado a la solución del problema de vibraciones libres, en sistemas de
múltiples grados considerando la matriz de amortiguamiento, en este caso se tienen
modos de vibración en desfase, por este motivo es que los valores y vectores propios
son números complejos.
El Análisis Sísmico Lineal de estructuras sometidas a acciones sísmicas es tratado en
el capítulo ocho, encontrando la respuesta dinámica aplicando el Método de Newmark
para sistemas de múltiples grados de libertad. Como aplicación práctica se halla la
respuesta en el tiempo, del cortante basal,de una estructura sometida a un acelerograma
artificial que es compatible con el espectro elástico del Código Ecuatoriano de la Construcción
CEC-2000 y se aprovecha el ejemplo para ilustrar que un factor de reducción de las
fuerzas sísmicas igual a 10 es muy alto para estructuras conformadas por vigas y
columnas.
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En el capítulo nueve se halla la respuesta en el tiempo de un sistema de n grados
de libertad aplicando el Procedimiento de Espacio de Estado que es muy útil utilizarlo
cuando se analizan estructuras con sistemas de control. Es importante que el lector conozca
sobre esta temática para cuando estudie el cálculo sísmico de estructuras con disipadores de
energía pueda seguir la parte numérica de la evaluación de la respuesta dinámica.
Los tres últimos capítulos del libro, están dedicados al análisis de una viga de flexión,
de una viga de corte y de una viga de flexión acoplada a una viga de corte, todo esto
modelado como un sistema continuo de infinito número de grados de libertad.
Aparentemente la solución de estos tres capítulos tiene más un enfoque teórico pero no es así
ya que a partir de estos modelos sencillos se han emitido recomendaciones que han sido
acogidas por varias normativas sísmicas.
En el capítulo diez se presenta en primer lugar la ecuación diferencial que
gobierna el problema de vibraciones de una viga de flexión y luego se resuelve el
problema de vibración libre, se hallan las formas de vibración de una viga en voladizo, de una
viga simplemente apoyada y de una viga en voladizo en la cual se incluye el efecto de la
interacción suelo estructura. En este modelo se ilustra mediante gráficos como en suelos
de baja resistencia los períodos de vibración de las estructuras se amplifican; en base al
estudio se presentan parámetros en los cuales se indican en que tipo de suelos es necesario o
no el cálculo con la interacción suelo estructura.
La ortogonalidad de los vectores propios se desarrolla con mucho detenimiento tanto
en el capítulo diez como en el once, para ilustrar posteriormente el cálculo de la respuesta
sísmica, de las vigas de flexión y de corte ante una determinada acción sísmica.
Como se ha venido indicando el capítulo once está dedicado al cálculo de una viga
de corte, para el efecto se deduce la ecuación diferencial y se resuelve el problema de
vibración libre y de vibración forzada, ante una acción sísmica. Se obtiene el primer modo de
vibración de una viga de corte y se compara con el primer modo de vibración de una viga de
flexión con lo cual se demuestra que en los primeros pisos la viga de flexión tiene menores
amplitudes y en los últimos pisos tiene mayores amplitudes, que la viga de corte en que el
comportamiento es al revés.
Una viga de flexión, es el modelo numérico de cálculo de un edificio conformado solo
por muros de corte y una viga de corte, es el modelo numérico de un edificio conformado solo
por vigas y columnas sin muros de corte. Al comparar el primer modo de vibración de estas
dos vigas se concluye que lo más adecuado es tener edificios con vigas, columnas y
muros de corte ya que la viga de flexión en los primeros pisos sostiene a la viga de corte
y en los últimos pisos es la viga de corte la que sostiene a la viga de flexión. El
acoplamiento de la viga de corte con la viga de flexión se lo estudia con detenimiento en
el capítulo doce.
Con el propósito de ilustrar la aplicación práctica y actual del estudio de una viga de
corte acoplada a una viga de flexión se presenta en el capítulo doce, el trabajo desarrollado por
Miranda (1999) con el que estima la deriva máxima de piso en sistemas de múltiples grados de
libertad, en forma rápida. Se ilustra el comportamiento de edificios en los cuales se tiene un
predominio de la viga de flexión sobre la de corte y viceversa, ante cargas laterales.
Miranda a partir del modelo de una viga de flexión acoplada a una viga de corte
determina dos parámetros que son utilizados en la evaluación rápida de la deriva máxima de
pisos. Esos parámetros son el que relaciona el desplazamiento máximo en un sistema de
múltiples grados de libertad con el desplazamiento máximo en un sistema de un grado de
libertad. El otro parámetro, que se presenta en el libro, es el que relaciona la deriva global de la
estructura con la deriva máxima de piso.
Por último, se presenta en forma resumida el resultado del proyecto de
investigación realizado en el 2005, en el Centro de Investigaciones Científicas de la
Politécnica del Ejército titulado: “Evaluación rápida de la deriva máxima de pisos en
edificios de Hormigón Armado”, con el propósito de que el lector compare los dos
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parámetros obtenidos en el modelo de Miranda (1999) cuando resuelve una viga de flexión
acoplada a una viga de corte, con los que se hallan en el estudio y además para que lo
apliquen en la evaluación de la vulnerabilidad sísmica de las estructuras.
No puedo finalizar este prólogo, sin reconocer una vez más, que este libro ha sido
posible gracias a la ayuda de Dios, sin su ayuda no soy capaz de pasar de la primera página
pero gracias a su bondad he podido finalizar esta obra que tiene doce capítulos que se
consideran básicos en el Análisis Dinámico de Estructuras.
De igual manera deseo dedicarle este libro a mi querida madre Blanca Falconí Vda.
de Aguiar, que Dios me ha dado la dicha de tenerla por muchos años y espero contar con sus
consejos y bendiciones por muchos años más.
Por último, pero ellos saben que son lo más importante, quiero agradecer a mi esposa
Alice Noury y a mis hijos: Roberto, Alice, María José, Nicolás que acaba de graduarse de
bachiller, Gabriel y Felipe. Por la felicidad que reina en nuestro hogar.
Dr. Ing. Roberto Aguiar Falconí
Centro de Investigaciones Científicas
Escuela Superior Politécnica del Ejército
Quito, Agosto de 2006
Roberto Aguiar Falconí
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ÍNDICE GENERAL
MANUAL RÁPIDO DE MATLAB..................................................1
1. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
RESUMEN…………………………………… ………………………………………17
1.1 VIBRACIONES LIBRES…………………………………………….…………..17
1.1.1 Solución de la ecuación diferencial……………………………………...19
1.1.2 Vibración libre sin amortiguamiento……………………………………..19
1.1.3 Vibración libre subamortiguada………………………………………….20
1.1.4 Vibración libre sobre amortiguada……………………………………….23
1.1.5 Vibración libre críticamente amortiguada…………………………........24
1.1.6 Factor de amortiguamiento……………………………………………….26
1.2 VIBRACIONES FORZADA. EXCITACIÓN ARMÓNICA……….……………27
1.2.1 Respuesta ante una excitación sinusoidal………………...................27
1.2.2 Factor de amplificación………..…………………………………..…….31
1.2.3 Fuerza transmitida a la fundación…………………...………………….34
1.3 EXCITACIONES ARBITRARIAS………………….…………………………...36
1.3.1 Escalón unitario…..………………………………………………………36
1.3.2 Pulso rectangular…………………………………………………………39
2. ESPECTROS DE RESPUESTA
RESUMEN…………………………………………………………………………….41
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CEINCI-ESPE2.1 MÉTODO DE ACELERACIÓN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL…..…….41
2.2 PROGRAMA LINEAL………………………………………………….………..43
2.3 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD……………………….…..……..46
2.4 ESPECTROS DE RESPUESTA..................................................................47
2.5 PROGRAMA ESPECTRO………………………………………………...……50
2.6 USO DEL PROGRAMA DEGTRA………………………………….……….....52
2.7 IMPORTANCIA DE LAS FORMAS ESPECTRALES…………….………….55
2.8 SEUDO ESPECTROS…………………………………………………………..57
3. ESPECTROS DE DISEÑO
RESUMEN…………………………………………………………………………….59
3.1 OBTENCIÓN DE UN ESPECTRO DE DISEÑO…….…………..…………..60
3.2 RESEÑA HISTÓRICA…………………………………..…............................63
3.3 ESPECTRO ELÁSTICO DEL CEC 2000……….........................................64
3.4 ESPECTROS POR DESEMPEÑO…………………………………..……….66
3.5 ESPECTROS INELÁSTICOS.....................................................................69
3.6 REGLA DE IGUAL DESPELAZAMIENTO..................................................71
3.7 REGLA DE IGUAL ENERGÍA………………………….…............................73
3.8 NEWMARK Y HALL (1982)…………………………….…...…………………74
3.9 AGUIAR Y GUERRERO (2005)…………………………...………………….78
3.10 APLICACIÓN AL ESPECTRO INELÁSTICO DEL CEC-2000….………..79
3.11 INCORPORACIÓN DEL FACTOR DE RESISTENCIA………….…………79
3.12 INCORPORACIÓN DE LA REDUNDANCIA……………………….……….82
3.13 CÁLCULO DEL FACTOR DE REDUCCIÓN R…………………….……….83
4. MATRIZ DE RIGIDEZ
RESUMEN……………………………………………………………………………87
4.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO…………………………………..87
4.1.1 Análisis sin nudo rígido………………………...…………………………88
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4.1.2 Análisis con nudo rígido…………………….……………………………92
4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA……………………….……….96
4.2.1 Coordenadas Generalizadas…………………………………………….96
4.2.2 Vector de Colocación…………………………………………………..…99
4.2.3 Ensamblaje directo………………………………………………………101
4.3 CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ……………….………….105
4.3.1 Condensación a las coordenadas “a”…………………………………106
4.3.2 Condensación a las coordenadas “b”…………………………………106
4.4 CONDENSACIÓN MEDIANTE SOLUCIÓN DE ECUACIONES…….……107
4.4.1 Caso en que Qb = 0……………………………………………………...108
4.4.2 Caso en que Qa = 0……………………………………………………...109
4.5 CONDENSACIÓN MEDIANTE ELIMINACIÓN DE GAUSS………….…...109
4.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL………………………………………….….112
4.6.1 Vigas axialmente rígidas……………………………………………..…112
4.6.2 Vigas y columnas axialmente rígidas………………………………….114
5. MATRIZ DE MASAS
RESUMEN…………………………………………………………………………..119
5.1 ENERGÍA CINÉTICA………………………….……………………………….119
5.2 REGLA DE CÁLCULO DE LA MATRIZ DE MASAS……..………………..121
5.3 REGLA DE CÁLCULO DE LA ENERGÍA CINÉTICA…….…..……………122
5.4 MATRIZ DE PASO…………………………………………….……………….125
5.5 ANÁLISIS PLANO…………………………………………….………………..128
5.5.1 Análisis con masas concentradas a nivel de piso…………………..128
5.5.2 Análisis con entrepisos flexibles………………………………………130
5.6 PÉNDULO INVERTIDO……………………………………………………….132
5.7 MOMENTO DE INERCIA DE LA MASA………………….………………....132
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5.8 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA………………….…………………134
5.9 ANÁLISIS ESPACIAL……………………………………….………………...135
6. MODOS DE VIBRACIÓN
RESUMEN…………………………………………………………………………..139
6.1 VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO……………………………139
6.1.1 Valores propios………………………………………………………….140
6.1.2 Propiedades dinámicas………………………………..……………….142
6.1.3 Modos de vibración……………………………………………………..142
6.2 ALGORITMO DE 2
1
M .………………………………………….…………….145
6.3 MÉTODO DE JACOBI………………………………………………………...150
6.3.1 Desarrollo del Método………………………………………………….151
6.3.2 Procedimiento de cálculo………………………………………………152
6.3.3 Cálculo de los Vectores Propios………………………………………153
6.4 MODOS RITZ…………………………………………………………………..153
7. MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO
RESUMEN…………………………………………………………………………..157
7.1 AMORTIGUAMIENTO TIPO RAYLEIGH……………………………………157
7.2 ALGORITMO DE WILSON Y PENZIEN……………………………………..159
7.3 ECUACIONES DIFERENCIALES DESACOPLADAS……………………..163
7.4 VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO…………………………..167
7.4.1 Exponencial de una matriz…………………………………………….168
7.4.2 Resumen del procedimiento de cálculo………………………………171
7.5 PROPIEDADES DINÁMICAS COMPLEJAS………………………………..175
7.5.1 Modos de vibración en el campo de los complejos…………………175
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7.5.2 Valores propios en el campo de los complejos……………………...177
7.5.3 Deducción en base a un sistema de un grado de libertad…………177
8. ANÁLISIS LINEAL
RESUMEN…………………………………………………………………………..181
8.1 MÉTODO DE NEWMARK…………………………………………………….181
8.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWMARK……………………………...186
8.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO…………………………………………...187
8.4 MODELO NUMÉRICO PARA ANÁLISIS PLANO…………………………..191
8.5 COMENTARIO SOBRE CORTANTE BASAL MÍNIMO……………………199
9. PROCEDIMIENTO DE ESPACIO DE ESTADO
RESUMEN…………………………………………………………………………..201
9.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA…………………………………………..201
9.2 FORMULACIÓN DE LA RESPUESTA………………………………………203
9.3 PROGRAMA PSE……………………………………………………………...204
9.4 EJEMPLOS DE APLICACIÓN…………………………………..…….……...206
9.5 INTRODUCCIÓN A LA INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA………...209
10. SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE FLEXIÓN
RESUMEN…………………………………………………………………..………213
10.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO……………………….…214
10.2 VIBRACIÓN LIBRE…………………………………………………………...216
10.2.1 Viga en Voladizo……………………………………………………...218
10.2.2 Viga apoyada………………………………………………………….220
10.2.3 Interacción suelo estructura…………………………………………224
10.2.4 Variación del período con la interacción…………………………...227
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10.3 ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS DE VIBRACION………………….228
10.3.1 Valores propios y modos normalizados……………………………231
10.4 VIBRACIÓN FORZADA……………………………………………………...232
10.4.1 Masas modales……………………………………………………….234
10.4.2 Respuesta en el tiempo…………………………………………...…236
11. SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE CORTE
RESUMEN…………………………………………………………………………..241
11.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO………………………….241
11.2 VIBRACIÓN LIBRE………………………………………………………...…244
11.2.1 Viga en Voladizo…………………………………………………...…246
11.2.2 Comparación de formas modales…………………………………..248
11.2.3 Frecuencias de vibración………………………………………….…249
11.3 ORTOGONALIDAD DE MODOS DE VIBRACIÓN………………………..250
11.4 VIBRACIÓN FORZADA……………………………………………………...252
11.5 CORTANTE BASAL……………………………………………………….…254
11.6 MASA MODAL………………………………………………………………...256
12. VIGA DE CORTE ACOPLADA A UNA DE FLEXIÓN
RESUMEN…………………………………………………………………………..261
12.1IMPORTANCIA DEL ESTUDIO……………………………………………...262
12.2 MODELO DE MIRANDA……………………………………………………..264
12.2.1 Respuesta en desplazamiento………………………………………26612.2.2 Efecto de la distribución de cargas…………………………………269
12.3 APLICACIONES………………………………………………………………272
12.3.1 Parámetro β1................................................................................273
12.3.2 Desplazamiento lateral……………………………………………….276
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12.4 DERIVA DE PISO…………………………………………………………….280
12.4.1 Parámetro β2................................................................................282
12.5 EVALUACIÓN RÁPIDA DE LA DERIVA MÁXIMA DE PISO…………….283
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MANUAL RÁPIDO DE MATLAB
RESUMEN
Existe una gran cantidad de libros sobre como se debe utilizar el MATLAB, de igual
manera en Internet se puede encontrar información muy útil sobre el manejo de este programa
pero en los dos casos el lector de este libro va a perder tiempo, primero en encontrar la
información y segundo en hallar las sentencias especificas que en este texto se utilizan en la
elaboración de los programas que aquí se presentan.
Por este motivo se presenta un manual rápido de uso del manual, orientado a que el
lector comprenda los programas que se desarrollan en cada capítulo. MATLAB es un software
muy fácil de aprender y muy poderoso ya que cuenta con una gran cantidad de rutinas que
facilitan su uso y lo fundamental la graficación de los resultados en forma elemental.
Los programas que se desarrollan en el texto van a ayudar a comprender la teoría que
se expone, razón por la cual, se recomienda su lectura e implementación de los mismos.
1. FORMAS DE TRABAJO
MATLAB proviene de las palabras MAtrix LABoratory es un lenguaje de alta
tecnología que integra en un solo ambiente la programación y la visualización gráfica. Existen
dos modalidades de trabajo que son la modalidad consola y la modalidad rutina.
• En la modalidad consola aparece el Prompt (>>) cada vez que se hace una operación.
En esta modalidad los cálculos se realizan en forma inmediata por medio de los
comandos adecuados. Se pueden escribir matrices, vectores y variables en consola y
después utilizarlos en los programas que se hacen en la otra modalidad.
• En la modalidad rutina no aparece el prompt >> pero en su lugar cada una de las líneas
están numeradas. Es en esta modalidad donde se realizan los programas y al estar
numeradas cada una de las líneas se facilita la corrección de los errores. Una vez que
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se realiza el programa se graba con un nombre. MATLAB automáticamente a este
archivo le asigna la extensión .m
Cuando se ejecuta MATLAB se ingresa a la modalidad prompt, a futuro se indicará
únicamente >> de aquí se pasa a la modalidad rutina escribiendo la palabra edit o en su
defecto utilizando el icono correspondiente para abrir archivos.
Tanto en la modalidad consola como en la modalidad rutina, si al final de una sentencia
se coloca ; no se imprimen los resultados. Si se omite el punto y coma si aparecerán los
resultados.
2. MATRICES Y VECTORES
Dada la siguiente matriz A y el vector B, estas se cargan en MATLAB como se indica a
continuación.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
20
15
7.192.801.23
4.301.235.10
BA
>> A=[10.5 23.1 30.4; 23.1 80.2 19.7]
>> B=[15 ; 20]
Después de cada número se deja uno o varios espacios.
Una vez que se han dado los datos de una fila se coloca punto y coma (;) con lo cual el
programa sabe que a continuación se tiene una nueva fila
Los elementos de una matriz o vector se indican entre [ ].
Una vez que se han definido las matrices y vectores, se pueden realizaras operaciones
de la siguiente forma:
Para calcular la transpuesta, se escribe el nombre de la matriz o vector y a
continuación el apóstrofo que está entre paréntesis. (‘).
Para sumar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo +.
Pare restar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo -.
Para multiplicar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el
signo *.
Para invertir una matriz, por ejemplo la matriz A. El comando es inv (A).
Para multiplicar un escalar por una matriz se procede en forma similar a la
multiplicación de una matriz.
• EJEMPLO 1
Dadas las matrices:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
62
23
12
11
31
42
CBA
Encontrar:
i. tAD = . La transpuesta de la matriz A .
ii. BAE = . El producto de la matriz A por la matriz B .
iii. 1−= CF . La matriz inversa de C .
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iv. BAG += . La suma de la matriz A con la matriz B .
v. CAH −= . La diferencia de las matrices A con la C .
• SOLUCIÓN
>> A=[ 2 4; 1 3]; B=[ 1 -1; 2 1]; C=[ 3 2; 2 6 ]
>> D=A’
>> E=A*B
>> F=inv(C)
>> G=A+B
>> H=A-C
El colocar el punto y coma después del corchete hace que no se imprima a
continuación la matriz. En este caso no se imprimirá las matrices A y B pero si se
imprimirá la matriz C.
Después de cada sentencia aparece inmediatamente los resultados esperados, así
luego de colocar D=A’, aparece
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
34
12
D
Los restantes resultados que se obtienen son:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
27
210
E ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
21429.014286.0
14286.042857.0
F ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
43
33
G ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−=
31
21
H
Si en el ejemplo, por desconocimiento o descuido, se colocaba:
>> E=a*B
MATLAB no puede hacer la operación ya que la matriz a no está definida. De tal
manera que en MATLAB se diferencian las minúsculas de las mayúsculas.
3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de la forma A X = B se procede de la
siguiente manera:
>> X= A\B
• EJEMPLO 2
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
40
50
42
513
1102
328
3
2
1
X
X
X
• SOLUCIÓN
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>> A=[8 2 3; 2 10 1; 3 1 5]; B=[ 42; 50; 40]; X= A\B
En este caso no se imprime la matriz A ni el vector B por el (;) .
Se pudo haber colocado la matriz A en una línea, el vector B en otra y el cálculo de las
incógnitas en otra.
La solución del ejercicio es:
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
00.6
00.4
00.2
X
4. CÁLCULO AVANZADO CON MATRICES
En este libro se tiene que calcular con cierta frecuencia los valores y vectores propios
de una matriz A y también el exponencial de una matriz eA. Esto se lo hace con los siguientes
comandos:
[V,D] = eig ( A ) En V vienen los vectores propios y en D los valores propios de A.
expm(A) El comando expm(A) halla el exponencial de la matriz.
• EJEMPLO 3
Encontrar los valores y vectores propios de la siguiente matriz A.⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
110
132
025
A
• SOLUCIÓN
>> A=[ 5 -2 0; -2 3 -1; 0 -1 1]; [V,D] = eig (A)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=
1019.05277.08433.0
5392.06831.04927.0
8360.05049.02149.0
V
Otra forma de calcular los valores y vectores propios, que ofrece MATLAB es:
[V,D] = eig (K,M) K es la matriz de rigidez, M es la matriz de masas. Las dos son
de orden (n x n) siendo n el número de grados de libertad. En
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
2899.60.00.0
0.02943.20.0
0.00.04158.0
D
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V vienen los modos de vibración y en D los valores propios con
los cuales se obtienen las frecuencias naturales.
• EJEMPLO 4
Calcular el exponencial de la siguiente matriz A
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
92
24
A
• SOLUCIÓN
>> A = [ 4 2 ; 2 9];
>> expm(A)
ans =
1.0e+004 *
0.1815 0.5096
0.5096 1.4555
En este caso no se le asignó el nombre de una matriz al resultado de eA. En este caso
MATLAB asigna la respuesta a ans.
El cálculo del exponencial de una matriz se lo aplica en el Procedimiento de Espacio de
Estado, para encontrar la respuesta sísmica de un sistema de n grados de libertad.
5. CÁLCULO DE INTEGRALES
MATLAB ofrece varias formas de calcular una integral, en este libro se utiliza la regla
del trapecio y su formato de uso es:
• trapz (X,Y) Donde X es un vector que contiene los puntos discretos X. Por otra
parte Y es el nombre del vector que contiene los valores de la
función Y en los puntos discretos X.
• trapz (Y) Esta modalidad se utiliza cuando los puntos discretos se encuentran
espaciados cada unidad.
6. MATRIZ IDENTIDAD Y NULA
MATLAB puede crear matrices de orden (n x n) con 1 solo en la diagonal, con 1 en
toda la matriz o con 0 en toda la matriz, de la siguiente manera:
A = eye (m) m es el orden de la matriz A identidad.
A = ones (m) m es el orden de la matriz A pero en este caso todos los elementos
de la matriz son unos.
A = zeros (m) m es el orden de la matriz A que está compuesta por ceros.
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7. FUNCIONES MATEMÁTICA ELEMENTALES
En la tabla 1 se indican las funciones elementales que más se utilizan en este libro.
Tabla 1 Funciones matemáticas elementales.
Función Comentario Función Comentario
sin (x) Seno trigonométrico abs (x) Valor absoluto
cos (x) Coseno angle (x) Angulo de fase
tan (x) Tangente sqrt (x) Raíz cuadrada
sinh (x) Seno hiperbólico real (x) Parte real del complejo
cosh (x) Coseno hiperbólico imag (x) Parte imaginaria
asin (x) Seno inverso trigon. conj (x) Conjugado de complejo
asinh (x) Seno inverso hiperbólico exp (x) Base exponencial e
log (x) Logaritmo de base e log10 (x) Logaritmo de base 10
8. GRÁFICAS EN MATLAB
Nuevamente MATLAB ofrece gran versatilidad para la elaboración de figuras, aquí
únicamente se presentan los comandos con los cuales se obtuvieron las curvas que están en
este texto.
Para realizar un simple gráfico en dos dimensiones el comando es:
plot (x,y)
xlabel (‘Titulo para eje de las x’); ylabel (‘Titulo para eje de las y’);
title (‘Titulo de la figura’)
Previamente se habrán obtenido los vectores x, y.
Para realizar varias curvas en un solo gráfico, se procede de la siguiente manera:
hold off
plot (x,y,’+’)
hold on
plot (x,z,’o‘)
El comando hold on mantiene la gráfica para realizar otra curva. Es conveniente
apagarla con hold off para que no quede activado este comando. Cuando se
construyen varias curvas en una gráfica es conveniente dibujar cada una de ellas con
un símbolo diferente los mismos que se indican entre ‘ ‘. En el ejemplo la primera curva
se dibujara con el signo más y la segunda curva con círculo, en este caso se escribió la
o no el cero. En la tabla 2 se indican varios símbolos disponibles.
Tabla 2 Símbolos disponibles
Tipo de marca Símbolo Tipo de Marca Símbolo
Punto . Línea-Punto - .
Líneas muy pequeñas : Líneas entrecortadas - -
Signo más + Signo estrella *
Círculo O Marca x x
En lugar de utilizar símbolos diferentes para construir las curvas se puede utilizar
colores, colocando en lugar del símbolo la letra de un color, las mismas que se indican
en la tabla 3.
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Para presentar varias figuras, se tiene el comando subplot en que se pueden
presentar m por n gráficas. La sintaxis es:
• subplot (m,n,k) k es el número de la gráfica que se dibuja, m y n se refiere a m por
n gráficas que se quieren dibujar.
Tabla 3 Colores disponibles
Color de línea Símbolo Color de línea Símbolo
Rojo R Amarillo y
Magenta M Turquesa C
Verde G Azul B
Blanco W Negro K
• EJEMPLO 5
Encontrar en forma gráfica las raíces de la siguiente ecuación:
0coshcos1 =+ pp
• SOLUCIÓN
Esta ecuación aparece cuando se resuelve una viga en flexión modelado como un
sistema continuo. La ecuación propuesta se puede escribir de la siguiente manera:
p
p
cosh
1cos −=
Por lo tanto se debe graficar las dos curvas que son: pcos , por una parte, y
pcosh/1− , por otra. Se presenta a continuación la forma de graficar en la modalidad consola.
>> dx=0.01;
>> for i = 1:500
p(i)=i*dx; y(i)=cos(p(i)); z(i)=-1/cosh(p(i));
end
>> plot (p,y,’r’); hold on; plot (p,z,’b’)
En la figura 1 se presentan las curvas que se obtienen:
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Figura 1 Gráfica de dos funciones.
Se puede colocar mayor información en el gráfico de la figura 1, con el propósito de
explicar mejor cuales son las raíces, esto se lo puede hacer con MATLAB pero es más fácil
realizarlo usando el programa PAINT; en la figura 2 se presenta el resultado final del cálculo
gráfico de las raíces que ha sido realizado con MATLAB y PAINT.
Figura 2 Raíces encontradas.
9. PROGRAMAS
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Si bien en el apartado anterior se realizó un pequeño programa, para dibujar las dos
curvas, lo usual es que esto se realice en la modalidad rutina. La primera instrucción de un
programa es:
function [resultados] = nombre (datos)
En resultados vendrá el nombre de las variables que contienen los resultados del
programa, puede ser una o varias variables o arreglos. El nombre corresponde a la forma de
identificar el programa, no hay limitación en el número de letras que se utilicen para el efecto.
Por último en datos vienen de consola, la información que requiere el programa para su
ejecución. Normalmente se deben colocar datos pero también el programa puede pedir los
datos por pantalla o a su vez tomarlos de un archivo o se pueden asignar valores de tal forma
que no es obligatorio que existan siempre datos.
Es conveniente documentar los programas, para el efecto se colocarán comentarios,
esto se lo hace con % y a continuación se indican todos los comentarios que se requieran.
Cuando el programa ve % simplemente ignora esa sentencia ya sabe que son comentarios.En una fila de datos se puede tener una o más sentencias en el ejemplo anterior se
escribió tres sentencias en una fila que son: p(i)=i*dx; y(i)=cos(p(i)); z(i)=-1/cosh(p(i)); esto hace
que los programas sean más cortos.
Para programar básicamente se necesita conocer como se escribe un bucle y la forma
de escribir las decisiones condicionales. En otras palabras saber el manejo del for y del if.
Bucles Empiezan con la palabra for y terminan con la palabra end. Luego
de un índice el mismo que va a variar en la forma que el usuario
desee. La sintaxis del for es la siguiente:
for i = ni:nf
…………..
end
Donde ni es el número inicial en que empieza el lazo o bucle y nf es
el número en que termina el bucle. En la forma indicada el índice i
variará de uno en uno. Si se desea otro tipo de variación la sintaxis
en la siguiente:
for i = ni,dx,nf
…………..
end
En este caso se especifica el incremento dx con el cual va a ir
variando el índice i. Los …………., significan que en ese lugar se
colocarán las sentencias del programa.
Condicionales La forma más sencilla de un condicional es la siguiente:
if condición
..............
else
…………
end
Si se cumple la condición que está al lado del if se ejecutan las
líneas que están a continuación, caso contrario no se ejecutan estas
líneas y se ejecutan las líneas posteriores a else.
En este libro se trabaja con los siguientes operadores para los
condicionales:
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Tabla 3 Lista de condicionales
Nombre Operador Nombre Operador
Mayor que > Menor que <
Mayor o igual >= Menor o igual >=
Igual == No es igual =
La forma general de un condicional es:
if condición
..............
elseif
…………
else
…………
end
En este caso se tiene opción de hacer varias preguntas adicionales,
en este caso solo se ha efectuado una pregunta adicional con elseif
pero se pueden hacer tantas como sea necesario.
• EJEMPLO 6
Elaborar un programa para encontrar una de las raíces de un polinomio de tercer grado
aplicando el Método de Newton Raphson.
• SOLUCIÓN
La fórmula del Método de Newton Raphson es la siguiente:
( )
( )i
i
ii Xf
Xf
XX '1 −=+
Donde ( )iXf es el valor de la función en el punto iX ; ( )iXf ' es el valor de la
derivada en iX . Por facilidad se desarrolla un programa específico para un polinomio de tercer
grado de la forma: ( ) dcxbxaxxf +++= 23 Los datos dcba ,,, se indicarán en la
modalidad consola. La ecuación a programar es:
cbXaX
dcXbXXaXX
ii
iii
ii ++
+++−=+ 23 2
23
1
El cálculo es iteractivo, ya que se debe imponer un valor inicial de iX y el programa
determina 1+iX con este valor se ve si ( )1+iXf es menor o igual a una tolerancia, si es menor
se halló la raíz, caso contrario se continua con el cálculo para lo cual 1+= ii XX . El programa
que se ha elaborado se denomina newtonraphson y se indica a continuación.
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Se destaca que en MATLAB no se puede colocar las tíldes en los programas de
tal manera que aparecerán ciertas palabras con error gramatical.
function [raiz]=newtonraphson(a,b,c,d,xi)
%
% Calculo de una raiz de un polinomio de tercer grado aplicando el
% Metodo de Newton Raphson
%
% a,b,c,d son datos del polinomio de tercer grado.
% xi es dato el valor inicial que el usuario propone.
% raiz es una de las raices que se obtienen
% tol es el nombre de la tolerancia con la cual se desea calcular.
% f es el valor de la funcion en el punto xi
tol=0.01;xx=xi;
for i=1:100
f=a*xi^3+b*xi^2+c*xi+d;
if f <=tol
raiz=xx; break
else
fp=3*a*xi^2+2*b*xi+c;xx=xi-f/fp;xi=xx;
end
end
Para ver la bondad del programa se encuentran las raíces del siguiente polinomio.
0252)( 23 =++−= xxxxf
La forma de ejecutar el programa es como sigue:
>> [raiz] = newtonraphson (2,-5,1,2,3)
El valor de iX inicial propuesto es 3. El programa reporta:
raiz =
2.0006
Con relación al programa es necesario explicar dos sentencias que son: break y
continue
• break Sirve para salir del bucle. En el programa realizado en principio se debía
realizar 100 iteracciones ya que el lazo va de 1 a 100 pero con la
pregunta que se realiza si f <= tol , no se llega a las 100 iteracciones, es
probable que un número mucho menor ya se halle la raíz. Entonces la
forma de salir del lazo es con break.
• continue Tiene el efecto contrario al break. Se realiza una pregunta dentro de un
lazo y si cumple cierta condición y no se quiere hacer ninguna operación,
únicamente que continúe con el bucle, en este caso se coloca continue.
¾ Cálculo de raíces de un polinomio
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Se escribió el programa newtonraphson para ilustrar el uso de un bucle y de un
condicionante. Para hallar las raíces de un polinomio MATLAB tiene el comando roots
con el cual se hallan todas las raíces del polinomio. La sintaxis es:
R = roots (p)
Donde p es un vector que contiene los coeficientes del polinomio y R es el nombre del
vector que contiene las raíces. En lugar de p y R se puede colocar cualquier nombre.
Para hallar las raíces de: 0252)( 23 =++−= xxxxf . Se procede de la siguiente
manera:
>> p = [ 2 -5 1 2]
>> raiz = roots (p)
El programa en el vector raiz reporta todas las raíces que son:
raiz =
2.0000
1.0000
-0.5000
Si se conocen las raíces de un polinomio y se desea hallar los coeficientes de dicho
polinomio el comando que se utiliza es poly ( r ) Donde r es el nombre del vector que
contiene las raíces. Para el ejemplo se tendría:
>> r = [ 2 1 -0.5]
>> poly (r)
El programa reporta:
ans =
1.0000 -2.5000 0.5000 1.0000
Que son los coeficientes del polinomio del ejemplo, dividido para 2.
Conforme pasa el tiempo, es probable que se olvide la forma de entrada de datos de
un determinado programa o no recuerda que hace el programa. En este caso, en la modalidad
consola se escribirá help y el nombre del programa. Luego va a aparecer todas las primeras
instrucciones que son comentarios.
10. ARCHIVO DE DATOS Y RESULTADOS
En el libro se encuentra la respuesta sísmica de varias estructuras ante un
acelerograma, de un sismo registrado en el Perú el 9 de noviembre de 1974, lo primero que se
debe realizar antes de llevar el archivo a MATLAB es eliminar las líneas de comentarios que
normalmente traen los archivos y después darle un nombre con extensión .dat
En el libro el archivo de este acelerograma se denomina Peru04.dat. Este archivo debe
grabarse en la carpeta de MATLAB denominada WORK. Se destaca que debe ser un archivo
ASCII.
Para cargar un archivo, la sintaxis es: load datos.dat;
Por otra parte, para guardar un archivo de resultados, la sintaxis es: save result.res;
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En la sintaxis se ha denominado datos y result a los archivos de datos y resultados
pero pueden tener cualquier nombre.
11. FACILIDADES DE MATLAB CON MATRICES
MATLAB facilita, la forma de trabajarcon matrices y vectores. A continuación se
indican algunas de estas formas:
¾ Creación de una matriz diagonal
Si en consola o rutina se escribe, por ejemplo:
A = diag ( [ 5 4 3 ] )
Se crea la matriz:
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
300
040
005
A
¾ Obtención de una submatriz
Se desea obtener de la matriz A del ejemplo anterior una submatriz que se va a
denominar B compuesta por las dos primeras filas y columnas.
B = A ( 1:2,1:2)
Se crea la submatriz:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
40
05
B
La sintaxis es primero identificar la matriz de la cual se va a obtener la submatriz.
Luego entre paréntesis se indica la fila inicial : la fila final coma la columna inicial : la
columna final
Si se desea extraer un elemento de una matriz, se escribe en la notación clásica. Por
ejemplo de la matriz A se desea obtener el número 4.
A (2,2)
ans=
4
¾ Símbolo :
Sirve para denotar todos los elementos de una fila o columna de una matriz. Por
ejemplo si se quiere obtener los elementos de la tercera columna de la matriz A.
A(:,3)
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ans=
0
0
3
¾ Máximo y Mínimo de un vector
Para encontrar el valor máximo o mínimo de un vector la sintaxis es: max (A) o min(A).
Siendo A. El nombre del vector.
¾ Dimensión de un vector o matriz
Para saber el orden de una matriz o vector la sentencia es length (A) donde A es el
nombre de la matriz o vector.
12. FUNCIONES
Una gran ventaja de MATLAB es que las funciones se pueden trabajar directamente
como vectores o matrices. Por ejemplo si se tiene una serie de tiempo que va desde 0 a 1 con
incrementos de 0.1, esto se lo obtiene de la siguiente manera:
>> t = linspace (0,1,11)
Con lo que se obtiene:
t = 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
La primera cantidad de linspace corresponde al número inicial, la segunda al número
final y la tercera al número de valores que se desea, entre los números inicial y final.
Se ha creado t como un vector fila. Esto es muy importante tener en cuenta ya que
para graficar funciones se necesita tener un vector columna. En este caso se escribe
de la siguiente manera:
>> t = linspace (0,1,11)’
Si se desea obtener el seno para cada uno de los valores de t se procede de la
siguiente manera:
>> a=sin(t)
Con lo que se halla:
a=
0 0.0998 0.1987 0.2955 0.3894 0.4794 0.5646 0.6442 0.7174 0.7833
0.8415
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Se ha presentado un manual rápido de MATLAB que tiene como objetivo que el lector
comprenda los programas que en libro se presentan. Con tantas ventajas que ofrece MATLAB,
los programas, de aspectos muy complejos como es por ejemplo, el hallar la respuesta en el
tiempo de un sistema de múltiples grados de libertad, son muy cortos.
Los programas que se desarrollan tienen un gran beneficio ya que ayudan al lector a
entender perfectamente el tema que se está exponiendo.
Para quienes deseen profundizar más en MATLAB se les recomienda el libro de
Shoichiro Nakamura (1997), Análisis numérico y visualización gráfica con MATLAB, 476 p.,
Prentice-Hall Hispanoamericana S.A., México.
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CAPÍTULO 1
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
RESUMEN
Se deduce la ecuación diferencial del movimiento para sistemas de un grado de
libertad y se resuelve en forma analítica para el caso de vibración: libre, forzada ante carga
armónica y arbitraria ante pulsos rectangulares. Para el primer caso se obtiene la respuesta
para vibraciones sin amortiguamiento, subamortiguada, sobre amortiguada y críticamente
amortiguada. Para el segundo caso se obtiene el factor de amplificación dinámica y se ilustra el
problema de la resonancia, luego se obtienen las fuerzas que se transmiten a la fundación por
efecto de vibración armónica. Finalmente para el tercer caso, se presenta la solución ante un
escalón unitario y de fuerza arbitraria y ante un pulso rectangular.
Se complementa el marco teórico con la presentación de programas en MatLab para
resolver el problema de vibraciones libres y para calcular el factor de amplificación dinámica de
desplazamiento.
1.1 VIBRACIONES LIBRES
En las estructuras se tienen dos tipos de vibraciones que son: vibración libre y
vibración forzada. En el primer caso, que se presenta en este apartado, la estructura vibra
debido a condiciones iniciales. Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el
comportamiento de vibración libre en un sistema de un grado de libertad, en la figura 1.1 se
indica el modelo numérico de cálculo a partir de un resorte que tiene una rigidez k como se
aprecia en la posición ( 1 ) de la figura 1.1, se ha notado por P.I. a la posición inicial del
sistema.
Se considera que la fuerza que se genera en el resorte es proporcional a la
deformación del mismo, con ésta hipótesis, se pasa a la posición ( 2 ) de la figura 1.1 en que
coloca la masa del sistema m sobre el resorte se lo hace de tal manera que el sistema no
vibre al terminar de colocar la masa el resorte se ha deformado una cantidad δ y ahora la
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Posición Inicial P.I., pasa a la posición de equilibrio estático que se ha llamado P.E.E. En la
posición ( 2 ) del equilibrio de fuerzas verticales se tiene:
δkgm =
En la posición ( 3 ) se ha colocado el amortiguador c pero no entra en funcionamiento
ya que el sistema está en reposo. La fuerza del amortiguador se considera proporcional a la
velocidad. En consecuencia se tendrá fuerza en el amortiguador cuando el sistema se
encuentra en movimiento. En ( 4 ) se dan las condiciones iniciales del sistema, para un tiempo
0=t la masa se desplaza una cantidad oq con una velocidad
.
oq .
Figura 1.1 Descripción del modelo numérico para vibración libre.
Se debe recalcar que el desplazamiento en un instante cualquiera )(tq se mide a
partir de P.E.E. Finalmente en ( 5 ) se presenta una posición genérica del movimiento en la que
se ha colocado que la fuerza en el resorte vale )( δ+qk hacia arriba, el peso del sistema vale
gm hacia abajo, la fuerza en el amortiguador
.
qc hacia arriba y la fuerza inercial
..
qm hacia
arriba. Del equilibrio, de fuerzas verticales, se tiene:
0)(
... =−+++ gmqmqcqk δ
Al sustituir ( 1.1 ) en ésta última ecuación, se tiene:
0
... =++ qkqcqm
Se conoce que la frecuencia natural nW y el período de vibración T , valen:
n
n W
T
m
kW π2==
Por otra parte, se define el factor de amortiguamiento ξ como:
km
c
2
=ξ
Si la ecuación diferencial ( 1.2 ) se divide para m se tiene:
02
... =++ qWq
m
cq n
( 1.2 )
( 1.2 )
( 1.3 )
( 1.4 )
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Al multiplicar y dividirel término c/m por mk2 y al utilizar la ecuación ( 1.4 ) se tiene:
nWm
mk
mk
c
m
c ξ22
2
==
Luego otra forma de presentar la ecuación diferencial del movimiento es:
02 2
... =++ qWqWq nnξ
1.1.1 Solución de la ecuación diferencial
Se plantea la solución de la ecuación diferencial ( 1.5 ) de la siguiente forma:
teatq λ=)(
Donde a es una constante de integración y λ es una variable a determinar. Al derivar
la ecuación ( 1.6 ) con respecto al tiempo y reemplazar en ( 1.5 ) se tiene:
( ) 02
02
22
22
2
..
.
=++
=++
=
=
nn
t
t
n
t
n
t
t
t
WWea
eaWeaWea
eaq
eaq
λξλ
λξλ
λ
λ
λ
λλλ
λ
λ
Para que la última ecuación sea igual a cero es necesario que la cantidad del
paréntesis sea cero.
1
2
442
02
2
222
22
−±−=
−±−=
=++
ξξλ
ξξλ
λξλ
nn
nnn
nn
WW
WWW
WW
Las raíces de λ dependen del valor de ξ ya que el radical puede ser positivo, cero o
negativo.
1.1.2 Vibración libre sin amortiguamiento
En este caso 0=ξ , es un caso ideal que significa que la estructura queda vibrando
indefinidamente. Al ser 0=ξ las raíces que se obtienen de ( 1.7 ) son:
1−±= nWλ
Luego la solución se transforma en:
( 1.5 )
( 1.6 )
( 1.7 )
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( ) ( ) ( )
22
cos)(
BAC
tWsenCtWsenBtWAtq nnn
+=
+=+= γ
Siendo γ el ángulo de fase.
• EJEMPLO 1
Encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad cuyo período
de vibración es 0.2 s., que no tiene amortiguamiento y que en el tiempo igual a cero el
desplazamiento inicial es de 2.cm., y la velocidad inicial es 10 cm/s.
• SOLUCIÓN
( ) ( )
( ) ( )tWWBtWsenWAtq
tWBsentWAtq
sT
W
nnnn
nn
n
cos)(
cos)(
1416.31
2.0
22
. +−=
+=
=== ππ
Para 0=t se tiene:
3183.0
416.31
101010
2
===→=
=
n
n W
BWB
A
Luego: ( )tsenttq 416.313183.0)416.31cos(2)( +=
En la figura 1.2 se tiene la respuesta en el tiempo y es importante tener en cuenta los
siguientes comentarios:
9 La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial.
9 Como la velocidad inicial es positiva, la pendiente de la figura 1.2 en t=0 es positiva
razón por la cual la curva va hacia arriba.
9 El tiempo que se demora en una oscilación completa es igual a 0.2 s., que corresponde
al período de vibración.
9 Como el sistema no tiene amortiguamiento la amplitud de la oscilación no decrece.
1.1.3 Vibración libre subamortiguada
Corresponde al caso real en el cual vibran las estructuras, el valor de 10 ≤< ξ . En
este caso las raíces son también números complejos.
Las raíces son:
21
1
ξ
ξλ
−=
−±−=
na
an
WW
WW
( 1.8 )
( 1.9 )
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-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Tiempo (s.)
D
es
pl
az
am
ie
nt
o
(c
m
.)
Figura 1.2 Respuesta en el tiempo de sistema de 1 gdl sin amortiguamiento.
Luego la solución es:
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]tWBtWsenAtWtq
tWBtWsenAetq
aan
aa
tWn
cos)exp()(
cos)(
+−=
+= −
ξ
ξ
La respuesta en el tiempo para el caso de vibración libre sin amortiguamiento se ha
escrito de dos formas en la ecuación (1.10) toda vez que en la primera no se ve tan claro el
exponente. Al igual que el caso anterior la suma de dos armónicos es otro armónico por lo que
la ecuación ( 1.10 ) en función del ángulo de fase queda:
22
)()exp()(
BAC
tWsentWCtq an
+=
+−= γξ
• EJEMPLO 2
Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo anterior si 05.0=ξ . El período del
sistema es 0.2 s.
./10)0(
.2)0(0
.
scmq
cmqt
=
==
• SOLUCIÓN
[ ]
[ ]
[ ]
3767.3105.01416.31
)()cos()exp(
)cos()()exp()(
)cos()()exp()(
2
.
=−=
−−
++−−=
+−=
a
aaaan
aann
aan
W
tWsenWBtWWAtW
tWBtWsenAtWWtq
tWBtWsenAtWtq
ξ
ξξ
ξ
( 1.10 )
( 1.11 )
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Para t=0 se tiene:
41883.03767.312416.3105.010
2
=∗+∗∗−=
=
AA
B
Luego la respuesta en el tiempo es:
( ) ( ) ( )[ ]ttsenttq 3767.31cos23767.3141883.05708.1exp)( +∗∗−=
En la figura 1.3 se presenta la respuesta en el tiempo para el ejemplo 2 que tiene 5%
de amortiguamiento.
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Tiempo (s.)
D
es
pl
az
am
ie
nt
o
(c
m
.)
Figura 1.3 Respuesta en el tiempo para sistema con 05.0=ξ
Los comentarios que se hacen al ejemplo 2, son los siguientes:
9 La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial.
9 La pendiente en t=0 es positiva.
9 El período de la oscilación en este caso vale:
a
a W
T π2=
9 Conforme transcurre el tiempo el desplazamiento tiende a cero.
1.1.4 Vibración libre sobre amortiguada
Corresponde al caso en que ξ es mayor que la unidad. En este aso las dos raíces son
reales. Luego la respuesta en el tiempo vale:
( )[ ] ( )[ ]tWWBtWWAtq nnnn 1exp1exp)( 22 −−−+−+−= ξξξξ
• EJEMPLO 3
( 1.12 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si 2.1=ξ . El período del sistema es
0.2 s.
./10)0(.2)0(0
.
scmqcmqt ===
• SOLUCIÓN
Se procede en forma similar a los ejercicios anteriores y la respuesta que se obtiene es
la siguiente:
( ) ( )tttq 5382.58exp049.18602.16exp049.3)( −−−=
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Tiempo (s.)
D
es
pl
az
am
ie
nt
o
(c
m
.)
Figura 1.4 Respuesta en el tiempo para 2.1=ξ
Los comentarios que se realizan a la figura 1.4, son:
9 La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial.
9 La pendiente en t=0 es positiva.
9 El sistema tiene tanto amortiguamiento que no oscila.
1.1.5 Vibración libre críticamente amortiguada
En caso 1=ξ . El radical de la ecuación ( 1.7 ) es cero y las dos raíces son iguales.
Por lo tanto, la respuesta en el tiempo es:
( ) ( )tWBtAtq n−+= exp)(
• EJEMPLO 4
Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si 0.1=ξ . El período del sistema es
0.2 s.
( 1.13 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
./10)0(
.2)0(0
.
scmq
cmqt
=
==
• SOLUCIÓN
( ) ( )[ ]nn WBtAAtWtq +−−= exp)(.
Al reemplazar las condiciones iniciales se encuentra:
2832.72 == BA
La respuesta en el tiempo viene dada por:
( ) ( )tttq 416.31exp2832.72)( −+=
La gráfica de la respuesta es similar a la de la figura 1.4
function [q]=vlibre(zi,w,qo,qpo)
%
% Vibraciones libres en sistemas de un grado de libertad
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI-ESPE
%-------------------------------------------------------------
% [q]=vlibre(zi,w,qo,qpo)
%-------------------------------------------------------------
% zi: factor de amortiguamiento
% w : frecuencia natural delsistema de 1 gdl.
% qo: desplazamiento en t=0
% qpo: velocidad en t=0
% tmax: tiempo maximo de la respuesta igual a 0.6 segundos.
t=linspace(0,0.6,500)';
if zi<1
wa=w*sqrt(1-zi*zi); B=qo; A=(qpo+zi*w*B)/wa;
q1=(A*sin(wa*t)+B*cos(wa*t)); q2=exp(-zi*w*t);
q=q2.*q1;
elseif zi==1
B=qo; A=qpo+B*w;
q=(A*t+B).*exp(-w*t);
else
landa1=-zi*w+w*sqrt(zi*zi-1); landa2=-zi*w-w*sqrt(zi*zi-1);
C=[1 1; landa1 landa2]; D=[qo; qpo];
X=C\D; A=X(1); B=X(2);
q=A*exp(landa1*t)+B*exp(landa2*t);
end
plot (t,q)
xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Desplazamiento')
title ('Vibracion libre en sistema de 1 gdl')
%---fin---
Se ha presentado un programa denominado VLIBRE que encuentra la respuesta en el
tiempo, para un problema de vibración libre. Los datos que se suministran al programa, son:
• ξ Factor de amortiguamiento.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
• nW Frecuencia natural del sistema.
• )0(q Desplazamiento en 0=t .
• )0(
.
q Velocidad en 0=t .
Como aplicación del programa VLIBRE, se resuelve el ejemplo 2 de este capítulo:
¾ [q] = vlibre (0.05,31.416,2,10)
En la figura 1.5 se indica lo que reporta el programa VLIBRE.
Figura 1.5 Respuesta en el tiempo de ejemplo 2 que se obtiene con programa VLIBRE en MATLAB.
1.1.6 Factor de amortiguamiento
Una de las aplicaciones del caso de vibración libre sub amortiguada se presenta en el
cálculo del factor de amortiguamiento ξ para el efecto se mide el decremento logarítmico ξ∆
del movimiento, mediante la siguiente ecuación:
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+=∆ anTtq
tq
n (
)(ln
2
1
πξ
Donde n es el número de períodos que se considera para la medición, )(tq es la
amplitud en un instante de medición y )( anTtq + es la amplitud luego de n períodos. El valor
de aT es el período de la vibración amortiguada. En la figura 1.6 se ilustra el cálculo del
decremento logarítmico, en este caso se ha medido las amplitudes en un período aT . Por otra
parte se tiene que:
( 1.14 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
21 ξ
ξ
ξ −
=∆
Figura 1.6 Cálculo del decremento logarítmico.
Newmark y Hall (1982) recomiendan los valores de ξ que se indican en la tabla 1.1.
Los comentarios que se pueden hacer al respecto son los siguientes:
El valor de ξ depende del tipo de material y del sistema estructural.
El valor de ξ depende del nivel de esfuerzos, mientras más bajo sea el nivel de
esfuerzos menor será ξ .
Para estructuras de Hormigón Armado el valor de ξ es superior a 10 si el nivel de
daño en la estructura es grande.
Normalmente los espectros de diseño se presentan para 05.0=ξ lo que implica que
existe un agrietamiento visible en la estructura.
1.2 VIBRACIONES FORZADA. EXCITACIÓN ARMÓNICA
Se tienen varios casos de vibración forzada de ellos, para quienes vivimos en una zona
de alta peligrosidad sísmica como es el Ecuador, el sismo es el más importante pero para otros
puede ser muy importante la acción del viento o las vibraciones que producen los motores de
máquinas.
Tabla 1.1 Valores recomendados de ξ en porcentaje.
Material y/o sistema estructural Nivel de esfuerzos o deformaciones ( )%ξ
Columnas aisladoras de porcelana Deformaciones elásticas 0.5 a 1
Esfuerzos admisibles; yσ5.0< 1 a 2 Sistemas de tuberías que pueden vibrar libremente
Cercanos a yσ , sin excederlo 2 a 3
( 1.15 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Esfuerzos admisibles; yσ5.0< 2 a 3 Sistemas estructurales de acero soldado
Cercanos a yσ , sin excederlo 5 a 6
Esfuerzos admisibles; yσ5.0< 2 a 3
Cercanos a estados últimos,
Sin pérdida de pretensión
5 a 7
Concreto pretensazo
Sin pretensión residual 7 a 10
Esfuerzos admisibles sin agrietamiento
visible
2 a 3
Agrietamiento visible generalizado 3 a 5
Sistemas estructurales de Hormigón
Armado
Cercanos a estados últimos 7 a 10
Esfuerzos admisibles; yσ5.0< 5 a 6 Estructuras de acero apernadas
Esfuerzos a nivel de cadencia 8 a 12
Esfuerzos admisibles 5 a 7
Cercano a estados últimos, con juntas
apernadas
10 a 15
Sistemas estructurales de madera, con
elementos clavados o apernados.
Estado de agotamiento con juntas
clavadas
15 a 20
La excitación de una máquina puede se modela mediante un pulso el mismo que
puede ser rectangular, triangular, trapezoidal, etc., pero para su solución se puede aproximar
estas funciones periódicas por funciones armónicas tipo seno o coseno. Por este motivo es
necesario estudiar la respuesta de un sistema de un grado de libertad ante una excitación
armónica.
1.2.1 Respuesta ante una excitación sinusoidal
Se desea encontrar la respuesta en el tiempo para el sistema de 1 gdl indicado en la
figura 1.7. La excitación vale tsenFo ω ; siendo ω la frecuencia de vibración de la excitación,
oF el valor de la amplitud máxima y t la variable tiempo.
Figura 1.7 Sistema de 1 gdl sometido a una fuerza armónica.
La ecuación diferencial del movimiento es:
tsenFqkqcqm o ω=++ &&&
La solución del problema )(tq será igual a la solución homogénea más la solución
particular.
( 1.16 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
)()()( tqtqtq ph +=
La solución homogénea se halla igualando a cero la ecuación diferencial, es decir se
resuelve la ecuación diferencial de vibración libre, la misma que se la repite a continuación.
0=++ hhh qkqcqm &&&
La solución particular depende de la forma de la excitación, se halla de la solución de:
tsenFqkqcqm oppp ω=++ &&&
La solución homogénea es importante en los primeros instantes de tiempo, luego
desaparece por lo que el sistema queda vibrando en base a la solución particular, se resolverá
a continuación únicamente la solución particular ya que la solución homogénea fue resuelta en
el apartado anterior y además desaparece en los primeros instantes de tiempo. Sea
tBtsenAqp ωω cos+=
Donde BA, son constantes de integración que se determinan en base a la ecuación
diferencial. Las derivadas de pq con respecto al tiempo, son:
tBtsenAq
tsenBtAq
ωωωω
ωωωω
cos
cos
22 −−=
−=
&&
&
Al reemplazar en ecuación diferencial y agrupando términos se tiene:
( ) ( ) tsenFtBkcAmBtsenAkcBAm o ωωωωωωω =++−++−− cos22
Al igualar coeficientes se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
( )
( ) 02
2
=−+
=−−
BmkAc
FBcAmk o
ωω
ωω
En forma matricial se tiene:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−−
02
2
oF
B
A
mkc
cmk
ωω
ωω
El determinante de los coeficientes vale:
( ) ( )222 ωω cmk +−=∆
Al aplicar la regla de Cramer se tiene:
( )
∆
−=∆
−
−
=
220 ωω
ω
mkFmk
cF
A o
o
( 1.17 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
∆−=∆
−
= o
o
Fcc
Fmk
B
ωω
ω
0
2
Figura 1.8 Suma de dos armónicos
En el triángulo rectángulo de la figura 1.8 se tiene:
γγ senXBXA == cos
Al reemplazar BA, en la ecuación ( 1.17 ) se tiene:
( )γωωγωγ +=+= tsenXtsenXtsenXqp coscos
De la figura 1.8se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )
2
222
2
22
2
222
22
∆
+−=∆+∆
−=+= ωωωω cmkFFcmkFBAX ooo
( ) ( )222 ωω cmk
F
X o
+−
=
El ángulo de fase vale:
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= −− 211 ω
ωγ
mk
ctg
A
Btg
En resumen si la respuesta del sistema viene dada por la respuesta permanente se
tiene que:
( ) ( ) ( )γωωω ++−= tsencmk
F
q o
222
• EJEMPLO 5
Encontrar la respuesta en el tiempo para un sistema de 1 gdl, que tiene los siguientes
datos:
cm
skgmkc
cm
kgk
cm
sKgm 943.68205.027146
.
51.17
2
==→=== ξξ
( 1.18 )
( 1.19 )
( 1.20 )
( 1.21 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
La excitación está definida por:
sT
sTkgTF
a
ao
1944.2023.010001 ==→=== πω
-1500,000
-1000,000
-500,000
0,000
500,000
1000,000
1500,000
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00
TIEMPO (t)
f(t
)
Figura 1.9 Excitación ( )tsentsenFtf o 944.201000)( == ω
• SOLUCIÓN
El sistema de ecuaciones lineales a resolver para encontrar las constantes de
integración es el siguiente:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−−
02
2
oF
B
A
mkc
cmk
ωω
ωω
( )
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∗−∗
∗−∗−
0.0
0.1000
944.2051.1727146944.20943.68
944.20943.68944.2051.1727146
2
2
B
A
32 1078996.31010919.5
0.0
0.1000
21861.19465943.1443
943.144321861.19465
−− ∗−=∗=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
BA
B
A
( ) ( )ttsentq 944.20cos1078996.3944.201010919.5)( 32 −− ∗−∗=
En la figura 1.10 se presenta la respuesta en el tiempo de los desplazamientos )(tq .
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
-0,06000
-0,04000
-0,02000
0,00000
0,02000
0,04000
0,06000
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
Tiempo (s)
D
es
pl
az
am
ie
nt
o
(c
m
)
Figura 1.10 Respuesta en el tiempo de desplazamientos.
1.2.2 Factor de amplificación
Si en la ecuación ( 1.19 ) se divide al numerador y denominador para la rigidez del
sistema se tiene:
( ) ( )
2
222
k
cmk
k
F
X
o
ωω +−
=
Se denomina:
o
n
o
o
X
X
W
r
k
FX
=
=
=
α
ω
En la ecuación ( 1.23 ) se ha denominado r a la relación de la frecuencia de la
excitación con respecto a la excitación de la frecuencia natural y α es el factor de
amplificación dinámica. Luego se tiene:
222
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
=
k
c
k
m
XX o
ωω
De donde:
( ) ( )222 21
1
rr ξ
α
+−
=
( 1.22 )
( 1.23 )
( 1.24 )
( 1.25 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
FACTOR DE AMPLIFICACION DINAMICA
0
1
2
3
4
5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
r
α
0,01
0,1
0,15
0,25
0,5
Figura 1.11 Factor de amplificación dinámica en función del factor de amortiguamiento.
En la figura 1.11 se presenta el factor de amplificación dinámica, en función de la
relación de frecuencias r , y para valores del factor de amortiguamiento ξ desde 0.01 a 0.5.
De esta figura y de la ecuación (1.25) se tienen los siguientes comentarios:
¾ Para el caso de vibración forzada, sin amortiguamiento 0=ξ y para 1=r en la
ecuación ( 1.25 ) se tiene que ∞=α , que constituye el pico principal de resonancia.
¾ A medida que ξ aumenta el factor de amplificación dinámica α disminuye.
¾ Para 1=r el valor de α tiene un máximo valor para factores de amortiguamiento
menores a 0.15. Tener 1=r significa que la frecuencia de la excitación es igual a la
frecuencia natural del sistema y para estos casos el factor de amplificación dinámica es
mayor que la unidad.
¾ A medida que el valor de ξ se incrementa más ancho es el pico de amplitudes
máximas.
A continuación se presenta el programa FAD que obtiene en forma gráfica el factor de
amplificación dinámica α para cuatro valores del factor de amortiguamiento ξ . La forma de
uso del programa, en MATLAB es la siguiente:
¾ [f] = fad(z1,z2,z3,z4)
Como ejemplo de aplicación, se desea encontrar las curvas del factor de amplificación
para valores de ξ igual a 0.01, 0.1, 0.15 y 0.5.
[f] = fad(0.01,0.1,0.15,0.5)
En la figura 1.12 se indican las curvas que se encuentran en el MATLAB, para los
datos indicados.
function [f]=fad(z1,z2,z3,z4)
%
% Factor de Amplificación Dinámica
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
% CEINCI-ESPE
% ---------------------------------------
% [f]=fad(z1,z2,z3,z4)
% ---------------------------------------
% z1: Factor de amortiguamiento 1
% z2: Factor de amortiguamiento 2
% z3: Factor de amortiguamiento 3
% z4: Factor de amortiguamiento 4
% r : Relación entre la frecuencia excitación a frecuencia natural
% f : Factor de amplificación dinámica
hold off
dr=0.02;r=0;
for i=1:150
r=r+dr;
f(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z1*r)^2));f1(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z2*r)^2));
f2(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z3*r)^2));f3(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z4*r)^2));
rr(i)=r;
end
plot (rr,f); hold on
plot (rr,f1,'--'); plot (rr,f2,':'); plot (rr,f3,'-.')
xlabel('r'); ylabel('Factor de amplificacion');
axis([0,3,0,5]);
text (2.0,4.5,'z1 ---- ','Fontname','symbol'); text (2.0,4.0,'z2 - - -','Fontname','symbol')
text (2.0,3.5,'z3 .......','Fontname','symbol'); text (2.0,3.0,'z4 .-.-.-','Fontname','symbol')
hold off
% ---fin---
1.2.3 Fuerza transmitida a la fundación
Se ha visto que la solución de la ecuación diferencial ( 1.16 ) en régimen permanente
viene dada por:
( )γω += tsenXq
De donde la derivada con respecto al tiempo es:
( )γωω += tXq cos.
La fuerza que llega a la cimentación, tf , viene dada por la contribución de la fuerza del
resorte, ktf , más la contribución de la fuerza del amortiguador
c
tf .
( ) ( )γωωγω +++=
+=+=
tXctsenXkf
qcqkfff
t
c
t
k
tt
cos
.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 1.12 Curvas que se obtienen con programa FAD en MATLAB.
Nuevamente se tiene la suma de dos armónicos por lo que la fuerza transmitida a la
fundación vale:
( ) ( ) ( )φγωω +++= tsenXcXkft 22
Por lo tanto el valor máximo de la fuerza transmitida a la fundación TF vale:
( ) XckFT 22 ω+=
Al reemplazar el valor de X de la ecuación ( 1.21 ) se tiene:
( )
( ) ( )222
22
ωω
ω
cmk
ckFF oT +−
+=
oF es la fuerza aplicada al sistema de 1 gdl y TF es la fuerza transmitida a la
fundación. Se denomina τ a la relación entre la fuerza transmitida a la cimentación con
relación a la fuerza aplicada.
o
T
F
F=τ
Pero de ecuación ( 1.26 ) se tiene que:
( )
( ) ( )222
22
ωω
ωτ
cmk
ck
+−
+=
( 1.27 )
( 1.26 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Al dividir el numerador y denominador del radical para 2k y al expresarle en función
del factor r y ξ , el factor de transmisibilidad τ queda:( )
( ) ( )222
2
21
21
rr
r
ξ
ξτ +−
+=
En la figura 1.13 se grafica τ para valores de ξ igual a 0.01; 0.1; 0.15; 0.25 y 0.50.
Del análisis de esta figura se desprende lo siguiente:
¾ Cuando 0=r el valor de 1=τ .
¾ Cuando 2=r el valor de 1=τ . Además es el punto en el cual cambia la forma de
la curva.
¾ Para 0=ξ el valor de )1/(1 2r−=τ ; y para 1=r el valor de ∞=τ .
¾ Independiente del valor de ξ , cuando ∞→r , el valor de 0=τ . De ahí la necesidad
de que el valor de ω difiera lo mayor que se pueda con relación a nW .
FACTOR DE TRANSMITIBILIDAD
0
1
2
3
4
5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
r
τ
0,01
0,1
0,15
0,25
0,5
Figura 1.13 Factor de transmitibilidad de las fuerzas a la cimentación.
1.3 EXCITACIONES ARBITRARIAS
Se desea encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de 1 gdl, ante una fuerza
)(tf arbitraria, para lo cual en la figura 1.14 se indica el modelo numérico de cálculo. La
ecuación diferencial del movimiento es:
)(
...
tfqkqcqm =++
( 1.28 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 1.14 Excitación arbitraria
1.3.1 Escalón unitario
En la figura 1.15 se presenta la fuerza escalón unitario que vale 0 para valores
negativos del tiempo y vale la unidad para valores positivos del tiempo.
01)( ≥= ttf
Se consideran nulas las condiciones iniciales. Luego: 0)0()0(
. == qq
Figura 1.15 Función escalón unitario.
La ecuación diferencial a resolver es:
011
...... =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −++⇒=++
k
qkqcqmqkqcqm
Se realiza el siguiente cambio de variable:
z
k
q =− 1
Luego la ecuación diferencial se transforma en:
0
... =++ zkzczm
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Por el cambio de variable, las condiciones iniciales, son:
0)0(1)0(
. =−= z
k
z
Por lo tanto la solución se ha transformado en un problema de vibración libre con
condiciones iniciales que se estudió en el apartado 1. Se denomina )(tg a la solución del
escalón unitario. Las soluciones son:
♦ Caso sin amortiguamiento
( ) ( )
( ) ( )tWWBtWsenWAtz
tWsenBtWAtz
nnnn
nn
cos)(
cos)(
. +−=
+=
Al reemplazar las condiciones iniciales, se tiene:
BA
k
==− 01
Luego:
( )tW
k
tz ncos
1)( −=
Con el cambio e variable se tiene:
( )
( )[ ]tW
k
tq
k
tW
kk
tztq
n
n
cos11)(
1cos11)()(
−=
+−=+=
A la solución se denomina )(tg . Luego:
( )[ ]tW
k
tg ncos1
1)( −=
♦ Caso sub amortiguado
Al proceder en forma similar al caso de vibración libre sin amortiguamiento se obtiene:
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
+−−= tsenWtWtW
k
tg aan 21
cosexp11)( ξ
ξξ
El valor de aW está definido en la ecuación ( 1.9 ).
( 1.29 )
( 1.30 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
♦ Caso sobre amortiguado
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
+−−= ∩∩ tWsenhtWtW
k
tg aan
1
coshexp11)(
2ξ
ξξ
12 −=∩ ξna WW
Si la fuerza actuante no fuera unitaria sino que tiene una magnitud 0F la respuesta en
el tiempo, sería:
)()( tgFtq o=
• EJEMPLO 6
Encontrar la respuesta en el tiempo para la fuerza )(tf que se indica en la figura 1.16
en que la fuerza empieza en el tiempo T y tiene una magnitud 0F .
Figura 1.16 Fuerza escalón de magnitud 0F .
• SOLUCIÓN
Para un tiempo Tt > se tiene que el tiempo de duración de la fuerza 0F es Tt − .
Luego:
( )TtgFtq −= 0)(
1.3.2 Pulso rectangular
Se desea hallar la respuesta en el tiempo para el pulso rectangular indicado en la figura
1.17 en que la fuerza vale 0F hasta el tiempo T y luego es nula.
( 1.31 )
( 1.32 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 1.17 Pulso rectangular.
Se tienen dos formas de resolver el problema del pulso rectangular, la primera resolver
la ecuación diferencial del movimiento y la segunda utilizar la respuesta )(tg . Para el primer
caso se procedería así:
0)0()0(
0
.
0
...
==
<<=++
qq
TtFqkqcqm
Se resuelve la ecuación diferencial indicada, considerando condiciones iniciales nulas,
después se halla la respuesta en )(Tq y )(
.
Tq que son las condiciones iniciales de la
siguiente ecuación diferencial que es valida para Tt ≥ .
Ttqkqcqm ≥=++ 0...
Figura 1.18 Artificio para resolver un pulso rectangular
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
La segunda forma de solución se presenta en forma gráfica en la figura 1.18 en que el
pulso rectangular es igual a una fuerza escalón de magnitud 0F más otra fuerza escalón pero
de magnitud negativa 0F y que empieza en el tiempo T .
La solución para el caso indicado en la figura 1.18 es la siguiente:
( ) TtTtgFtgFtq
TttgFtq
≥−−=
<<=
00
0
)()(
0)()(
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
CAPÍTULO 2
ESPECTROS DE RESPUESTA
RESUMEN
Se presenta en forma práctica el método de aceleración lineal para encontrar la
respuesta de un sistema de un grado de libertad ante una acción sísmica, para el efecto se ha
elaborado un programa en MATLAB denominado LINEAL.
Posteriormente se indica la definición de espectros de respuesta elásticos, los mismos
que se hallan con el programa elaborado en MATLAB denominado ESPECTRO.
Al leer detenidamente cada una de las instrucciones de los programas LINEAL y
ESPECTRO se entenderá mejor la forma como se obtiene la respuesta en el tiempo de un
sistema de un grado de libertad y como se encuentran los espectros de respuesta elásticos.
Por considerarlo muy práctico se presenta también el uso del programa DEGTRA que
permite obtener espectros de respuesta elásticos e inelásticos y más aspectos relacionados
con la dinámica de estructuras.
Finalmente, se ve la importancia de conocer las formas espectrales en base a dos
registros sísmicos, el uno de México de 1985 y el otro de Chile de 1985.
2.1 MÉTODO DE ACELERACIÓN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL
La ecuación diferencial que gobierna un sistema de un grado de libertad ante una
acción sísmica definida por su acelerograma es la siguiente:
gUmqkqcqm
..... −=++
( 2.1 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Donde m es la masa; c es el amortiguamiento; k es la rigidez, del sistema de un
grado de libertad, 1gdl, q es la respuesta en el tiempo de desplazamiento;
.
q es la respuesta
en el tiempo de velocidad;
..
q es la respuesta en el tiempo de aceleración y gU
..
es la
aceleración del suelo.
Existe una gran cantidad de métodos para encontrar la respuesta lineal de la ecuación
diferencial ( 2.1 ). Uno de ellos es el métodode Aceleración Lineal que está deducido en el
capítulo 4 del libro: Sistema de Computación CEINCI3 para evaluar daño sísmico en los Países
Bolivarianos, Aguiar (2002). Aquí se presenta una síntesis del método, orientado a la
elaboración de un programa de computación pero antes de ello es necesario manifestar que la
ecuación diferencial ( 2.1 ) se puede escribir también de la siguiente manera, al dividir todo
para la masa del sistema m .
gnn UqWqWq
..
2
...
2 −=++ ξ
Siendo nW la frecuencia natural del sistema y ξ es el factor de amortiguamiento
crítico. En el capítulo 1 se vio que:
m
kWn = km
c
2
=ξ
El método de aceleración lineal, considera que en la respuesta del sistema la
aceleración entre dos instantes de tiempo varía en forma lineal. Sea iq , iq
.
y iq
..
, el
desplazamiento, velocidad y aceleración en el tiempo discreto it y sea 1+iq , 1
.
+iq y 1
..
+iq , lo
propio pero en el tiempo discreto 1+it . El procedimiento de cálculo es el siguiente:
i. Se determina la masa equivalente del sistema ∗M
62
2tktcmM ∆∆ ++=∗
Donde t∆ es el incremento de tiempo con el cual se desea hallar la respuesta sísmica.
ii. Se halla el incremento de carga ∗iQ∆
tkqtktcqQQ iii ∆∆∆∆∆
.
2
..
2
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=∗
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−= + ii UUmQ ..1..∆
Siendo
..
1
..
, +ii UU la aceleración del suelo en los tiempos discretos it y 1+it .
iii. Se halla el incremento de aceleraciones
..
q∆
∗
∗
=
M
Q
q i
∆∆ ..
( 2.2 )
( 2.3 )
( 2.4 )
( 2.5 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
iv. Se encuentra el incremento de velocidad
.
q∆
tqtqq i ∆∆∆∆ 2
..
... +=
v. Se determina el incremento de desplazamiento q∆
2
..
2
..
.
62
tqt
q
tqq ii ∆∆∆∆∆ ++=
vi. Se obtiene el nuevo desplazamiento, velocidad y aceleración en 1+it
....
1
..
..
1
.
1
qqq
qqq
qqq
ii
ii
ii
∆
∆
∆
+=
+=
+=
+
+
+
vii. Los valores obtenidos en el tiempo 1+it se asignan a it
1
....
1
..
1
+
+
+
=
=
=
ii
ii
ii
qq
qq
qq
Para un nuevo incremento de tiempo se repite desde el paso dos. Es importante
destacar que en el Análisis Lineal, la masa equivalente ∗M se determina una sola vez.
2.2 PROGRAMA LINEAL
El programa LINEAL, halla en forma gráfica, la respuesta en el tiempo de un sistema
de un grado de libertad, ante una acción sísmica, definida por su acelerograma, aplicando el
Método de Aceleración Lineal indicado en el apartado anterior.
El programa ha sido elaborado en MATLAB y antes de utilizarlo se debe grabar el
archivo que contiene únicamente las aceleraciones del sismo en formato ASCII. El nombre
tiene extensión .dat. Después de ello cuando se encuentra en la modalidad consola se carga
el acelerograma y después se ejecuta LINEAL, de la siguiente manera:
[d,v,a] = lineal (p,m,c,k,dt)
• p es el nombre del archivo que contiene el acelerograma.
• m es la masa del sistema de 1 gdl.
• c es el amortiguamiento del sistema de 1 gdl.
• k es la rigidez del sistema de 1 gdl.
• dt es el incremento de tiempo con el cual se desea hallar la respuesta. El mismo que
tiene que ser igual al incremento de tiempo con el cual se obtuvo el acelerograma.
( 2.6 )
( 2.7 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Una vez que se ejecuta LINEAL aparecen cuatro gráficas, la primera de ellas es el
acelerograma, que es dato. La segunda la respuesta en el tiempo de los desplazamientos, la
tercera de las velocidades y la última de las aceleraciones.
function [d,v,a]=lineal(p,m,c,k,dt)
%
% Respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad
% por el Método de la Aceleración Lineal
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI ESPE
%------------------------------------------------------------------
% [d,v,a]=lineal(p,m,c,k,dt)
%------------------------------------------------------------------
% p : vector que contiene los registros del acelerograma
% m : masa del sistema
% c : amortiguamiento del sistema
% k : rigidez del sistema
% d, v, a : desplazamiento, velocidad y aceleración de la respuesta
% dt : incremento de tiempo
%
n=length(p); tmax=dt*n; t=linspace(0,tmax,n)';
ma=m+(c*dt/2)+(k*dt*dt/6);
d(1)=0; v(1)=0; a(1)=0;
for i=1:n-1
dq=-m*(p(i+1)-p(i));
dqa=dq-a(i)*(c*dt+k*dt*dt/2)-v(i)*k*dt;
inca=dqa/ma; incv=a(i)*dt+inca*dt/2; incd=v(i)*dt+a(i)*dt*dt/2+inca*dt*dt/6;
d(i+1)=d(i)+incd; v(i+1)=v(i)+incv; a(i+1)=a(i)+inca;
d(i)=d(i+1); v(i)=v(i+1); a(i)=a(i+1);
end
subplot (4,1,1); plot (t,p); title('Acelerograma');
subplot (4,1,2); plot (t,d); ylabel('Desplazamiento');
subplot (4,1,3); plot (t,v); ylabel('Velocidad');
subplot (4,1,4); plot (t,a);xlabel('Tiempo'); ylabel('Aceleracion');
%---fin---
• EJEMPLO 1
Hallar la respuesta en el tiempo del oscilador indicado en la figura 2.1, que tiene una
masa
cm
sTm
2
004898.0= , una frecuencia natural
s
Wn
12832.6= y un coeficiente de
amortiguamiento 05.0=ξ . Ante el sismo del 9 de noviembre de 1974, registrado en el Perú.
El acelerograma fue obtenido a 80 Km., del epicentro sobre un suelo limo arcilloso. El evento
tuvo una magnitud de 6. La aceleración máxima del sismo, en valor absoluto fue de 117 gals
(cm/s2). El incremento de tiempo con el cual fue obtenido el registro es st 02.0=∆ .
• SOLUCIÓN
Para utilizar el programa LINEAL se debe determinar el amortiguamiento y la rigidez
del sistema, en base a la frecuencia natural y al coeficiente de amortiguamiento.
cmTmWkmkW nn /19336619.0004898.0*4786.39/
22 ===→=
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Figura 2.1 Modelo de un sistema de 1 gdl.
cmTsmkcmkc /0030775.0193366.0*004898.0*05.0*222/ ===→= ξξ
El período del sistema que se analiza es nWT /2π= = 1 s. Una vez cargado el
acelerograma como un vector, en la modalidad consola, se ejecuta el programa lineal.
>>load Peru04.dat
>>[d,v,a] = lineal (Peru04, 0.004898, 0.00307751136, 0.19336619, 0.02)
Es importante tener muy en cuenta las unidades. Si el acelerograma viene en gals.
Se debe trabajar todo con cm y s. Así es como se ha procedido en el ejemplo realizado.
En la figura 2.2 se indica la respuesta en el tiempo del sistema de 1 gdl., del ejemplo 1.
Como se indicó aparece el acelerograma, los desplazamientos, velocidad y aceleración.
Se puede hallar las respuestas máximas, en valor absoluto, desde la modalidad
consola de la siguiente manera:
>>Sd=max(abs(d))
Sd=
2.9842
>>Sv=max(abs(v))
Sv=
23.8650
>>Sa=max(abs(a))
Sa=
213.5134
Roberto Aguiar Falconí
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Figura 2.2 Respuesta en el tiempo de Ejemplo 1.
Se ha denominado Sd, Sv, Sa a la máxima respuesta, en valor absoluto, de los
desplazamientos, velocidades y aceleraciones, respectivamente.
2.3 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
En el capítulo 1 se presentó un modelo de un sistema de 1 gdl. En la figura 2.1 se
mostró otro modelo de 1 gdl. Todo esto, con el objeto de que el lector se familiarice con la
forma como se acostumbra representar los sistemas de 1 gdl.Con este antecedente, en la figura 2.3 se indican dos modelos más. A la izquierda se
ha dibujado un pórtico de un vano y un piso en el que se ha resaltado la masa, se ha indicado
la rigidez y el amortiguamiento. A la derecha se tiene otra forma de presentar un sistema de un
grado de libertad, en base a una columna con una masa puntual. Lo importante es que el lector
observe que todos ellos, son formas de representar un sistema de 1 gdl.
Por su sencillez en el dibujo, se utilizará en el presente capítulo el último modelo
compuesto por una columna y la masa puntual.
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Figura 2.3 Modelo de un sistema de un grado de libertad.
• EJEMPLO 2
Hallar la respuesta en el tiempo de un sistema cuya masa es 0.0024 Ts2/cm, la rigidez
es 0.023687 T/cm y el amortiguamiento vale 0.000753981 Ts/cm. Ante el sismo utilizado en el
ejemplo 1.
• SOLUCIÓN
El sistema de 1 gdl del ejercicio anterior, tenía un período de vibración de 1 segundo y
el de este ejercicio, tiene un período de 2 segundos. Es importante tener esto presente para el
tema que se tratará en el próximo apartado.
>>load Peru04.dat
>>[d,v,a] = lineal (Peru04, 0.0024, 0.000753981, 0.023687, 0.02)
La respuesta en desplazamientos, velocidades y aceleraciones, que reporta el
MATLAB, al utilizar el programa lineal, se indican en la figura 2.4. Por otra parte, las respuestas
máximas son: cmSd 6702.2= . ./0933.15 scmSv = y 2/5191.129 scmSa = .
2.4 ESPECTROS DE RESPUESTA
Por los años de 1915, Naito diseñaba sus estructuras ante sismos considerando como
fuerzas laterales una fracción del peso de sus elementos y sus edificaciones tuvieron un buen
comportamiento durante el sismo de Tokyo de 1923 lo que no ocurrió con otras edificaciones
que colapsaron.
A partir de 1930 se reconoció el problema sísmico como un problema de dinámica de
estructuras y ya se empezaron a definir modelos numéricos de cálculo, en los que se
establecieron bien las variables involucradas. En 1934 Benioff introduce la definición de
espectro de respuesta. En 1952, Housner presenta el pseudo espectro de velocidades.
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Figura 2.4 Respuesta en el tiempo de Ejemplo 2.
Se define el espectro de respuesta como la respuesta máxima de un conjunto de
osciladores de 1 gdl que tienen el mismo amortiguamiento, sometidas a una historia de
aceleraciones dadas.
Figura 2.5 Esquema de cálculo de los Espectros de Respuesta.
En la figura 2.5 se muestra el esquema de cálculo de los espectros de respuesta. A la
izquierda aparecen un conjunto de osciladores de 1 gdl, todos ellos tienen 05.0=ξ y cada
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uno va a ser sometido al sismo cuyo acelerograma se indica en la parte inferior izquierda. En
este caso, corresponde al sismo del 9 de noviembre de 1974, utilizado en los ejemplos 1 y 2.
En la parte central de la figura 2.5, se tiene la respuesta en el tiempo de
desplazamiento, se ha colocado únicamente de dos osciladores, el uno tiene un período de 1 s.
(ejemplo 1) y el otro un período de 2 s. (ejemplo 2). Se ha identificado las respuestas máximas
en cada uno de ellos, como Sd1 para el sistema con T=1 s., y Sd2 para el sistema con T=2 s.
Nótese que Sd1 es negativo ya que se halla en la parte inferior y Sd2 es positivo por estar en la
parte superior pero para encontrar el espectro se considera en valor absoluto
En la parte derecha, de la figura 2.5 se han colocado los valores de Sd1 y Sd2 asociados
a períodos de 1 y 2 s., se han colocado además los desplazamientos máximos
correspondientes a los restantes períodos del conjunto de osciladores, la gráfica que resulta de
unir las respuestas máximas es el Espectro de Respuesta Elástica de Desplazamientos,
ante el sismo del 9 de Noviembre de 1974.
En la parte central de la figura 2.5 se pudo haber colocado las respuestas máximas de
velocidades o de aceleraciones, con lo que se habría hallado los espectros de respuesta
elásticos de velocidad y aceleración, respectivamente.
Por lo tanto, se pueden obtener espectros de respuesta elásticos de desplazamientos,
velocidades y aceleraciones, encontrando las máximas respuestas en valor absoluto de
)(),(
.
tqtq y )(
..
tq . A estas respuestas máximas se las denomina con las letras vd SS , y aS .
max)(tqSd = ( 2.8 )
maxv
tqS )(&= ( 2.9 )
maxa
tqS )(&&= ( 2.10 )
Las respuestas máximas en valor absoluto, de los ejercicios resueltos, se indican en la
tabla 2.1. Al graficar dST − se tiene el espectro de desplazamientos, al graficar vST − se
tiene el espectro de velocidades y al graficar aST − se tiene el espectro de aceleraciones.
Tabla 2.1 Respuestas máximas encontradas en los dos ejercicios realizados.
nW T dS vS aS
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
s
1
( )s ( ).cm ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
s
cm.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
2
.
s
cm
6.2832 1.00 2.98 23.87 213.51
3.1416 2.00 2.67 15.09 129.52
En la tabla 2.1 se tienen dos puntos de los espectros. Para tener el espectro completo se
deben analizar por lo menos 100 sistemas de 1 gdl.
2.5 PROGRAMA ESPECTRO
Se ha elaborado un programa en MATLAB denominado ESPECTRO, en base al
programa LINEAL. En este programa se ha omitido las sentencias con las cuales se
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encontraba la respuesta en el tiempo de desplazamiento, velocidad y aceleración, así como se
suprimido la sentencia que dibujaba el acelerograma. El programa que encuentra las
respuestas paso a paso de un oscilador de 1 gdl pero que no presenta las respuestas en el
tiempo se denomina LINEALES.
La forma de utilizar el programa ESPECTRO es:
>> [Sd,Sv,Sa] = espectro (p,dt,zeda)
• Sd Matriz que contiene los desplazamientos espectrales para diferentes valores deξ .
• Sv Matriz que contiene las velocidades espectrales para diferentes valores de ξ .
• Sa Matriz que contiene las aceleraciones espectrales para diferentes valores de ξ .
• p Vector que contiene las aceleraciones del suelo para el cual se hallan los espectros
• dt Incremento de tiempo con el cual se halla la respuesta, igual al incremento de
tiempo del acelerograma.
• zeda Vector que contiene los valores de ξ para los cuales se desean los espectros.
El período obtiene los espectros, desde un período inicial igual a 0.01 s., hasta un
período máximo de 3.0 s., con un incremento en los períodos de 0.03 s. De tal manera que se
calculan los espectros en base a 100 osciladores, si se desea incrementar el número de
osciladores se debe disminuir el incremento de período. Cualquiera de estos valores se puede
modificar al ingresar al programa espectro.m
Antes de utilizar el programa, se debe cargar el archivo de datos en el cual se halla el
acelerograma y el vector que contiene los valores, del factor de amortiguamiento para los
cuales se desea encontrar los espectros.
function [Sd,Sv,Sa]=espectro(p,dt,zeda)
%
% Espectros de respuesta elástica de: desplazamientos, velocidad y aceleración.
% Empleando Método de Aceleración Lineal.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%CEINCI-ESPE
%
%------------------------------------------------------------------------------------------------
% [Sd,Sv,Sa]=espectro(p,dt,zeda)
%------------------------------------------------------------------------------------------------
%
% p Vector que contiene el acelerograma.
% dt Intervalo de tiempo con el que se halla la respuesta igual al
% valor con que fueron tomados los datos del acelerograma.
% zeda Vector que contiene los valores de amortiguamiento.
% Sd Valores máximos de los desplazamientos en absoluto.
% Sv Valores máximos de las velocidades en absoluto.
% Sa Valores máximos de las aceleraciones en absoluto.
% DT Intervalo de Periodos = 0.03 s.
% Tmin Período mínimo que se considera igual a 0.01 s.
% Tmax Período máximo que se considera igual a 3.00 s.
%
hold off; Tmin=0.01; Tmax=3.0; DT=0.03; n=((Tmax-Tmin)/DT)+1;
m=length(zeda); T=linspace(Tmin,Tmax,n)'; W=2*pi./T; K=W.*W;
for i=1:m
zi=zeda(i); C=(2*zi).*sqrt(K);
for j=1:n
xj=K(j); yj=C(j);
[d,v,a]=lineales(p,1,yj,xj,dt);
Sd(i,j)=max(abs(d)); Sv(i,j)=max(abs(v)); Sa(i,j)=max(abs(a));
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end
end
subplot (3,1,1); plot (T,Sd); ylabel('Desplazamiento'); title('ESPECTROS DE
DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION RELATIVA')
hold on
subplot (3,1,2); plot (T,Sv); ylabel('Velocidad');
hold on
subplot (3,1,3); plot (T,Sa);xlabel('PERIODO'); ylabel('Aceleracion'); hold off
%---fin---
• EJEMPLO 3
Hallar los espectros de respuesta elástica de desplazamiento, velocidad y aceleración
del sismo del 9 de noviembre de 1974, para valores de ξ igual a: 0.05; 0.10 y 0.20.
• SOLUCIÓN
>> load Peru04.dat
>> zeda=[0.05; 0.10; 0.20]
>> [Sd,Sv,Sa]=espectro (Peru04,0.02,zeda)
En la figura 2.6 se ha indicado los espectros que reporta el programa ESPECTRO. Los
comentarios que se realizan al respecto, son los siguientes:
La identificación del tipo de línea, que se encuentra en la parte inferior de la figura 2.6
se lo realizó con el programa PAINT.
El último de los espectros es de aceleración relativa. No se ha encontrado el espectro
de aceleración absoluta. La diferencia entre los dos, radica en que el espectro de
aceleraciones relativas, se encuentra de la respuesta máxima en valor absoluto de las
aceleraciones
..
)(tq . En cambio, para hallar de la aceleración absoluta se debe hallar
el valor máximo en valor absoluto de
....
)()( tUtq g+ , es decir se debe sumar la
aceleración del suelo.
A medida que los valores de ξ se incrementan, las formas espectrales disminuyen.
Al presentar los tres espectros de respuesta de: desplazamiento, velocidad y
aceleración relativa, en un solo gráfico, la escala vertical se redujo con lo que se
deforma un poco las formas espectrales.
Se denominan espectros de respuesta, ya que son espectros para un determinado
sismo. Los espectros de diseño se obtienen en base a los espectros de respuesta de
varios sismos, como se ilustra en el próximo capítulo.
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Figura 2.6 Espectros de respuesta elástica para el sismo del 9 de noviembre de 1974.
2.6 USO DEL PROGRAMA DEGTRA
Un programa muy versátil para el análisis dinámico de sistemas de 1 gdl es el
programa DEGTRA desarrollado por Ordaz et al (2002) en el Instituto de Ingeniería de la
Universidad Nacional Autónoma de México, por lo que en este apartado se presenta su uso.
Una vez que se tiene instalado el programa DEGTRA, lo primero que se debe hacer,
es abrir una ventana para lo cual se selecciona el icono que está indicado con una flecha en la
figura 2.7.
Después se busca el archivo en el cual se halla el acelerograma, para el efecto se
selecciona el icono que está indicado en la figura 2.8.
Una vez que se ha seleccionado el archivo que contiene el acelerograma se debe
indicar el número de líneas inútiles y el incremento de tiempo con el cual fueron grabados estas
aceleraciones. En la figura 2.9 están en blanco los casilleros que deben ser llenados para que
se cargue el acelerograma.
Roberto Aguiar Falconí
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Figura 2.7 Abertura de ventana con el programa DEGTRA.
Figura 2.8 Selección del archivo que contiene el acelerograma.
Normalmente en las primeras líneas del archivo que contiene el acelerograma se tiene
información sobre el registro, como la fecha del sismo, la magnitud, el tipo de suelo en que fue
registrado el evento, la distancia epicentral, el nombre de la estación sismológica, el incremento
de tiempo, la dirección de la componente sísmica, etc. Esta información es muy valiosa pero
para fines de cálculo del espectro se convierte en líneas inútiles. Para el ejemplo de la figura
2.9 se tiene 11 líneas inútiles. Por otra parte el valor de sDT 02.0= .
Luego de llenar los casilleros en blanco con el número de líneas inútiles y el valor de
DT se presiona el icono OK apareciendo inmediatamente el acelerograma que está indicado
en la figura 2.10.
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Figura 2.9 Datos que se deben indicar para cargar el acelerograma.
Posteriormente se selecciona el icono que calcula el espectro de respuesta que está
indicado en la figura 2.10. Luego de presionar el icono que está bajo la flecha aparece el
cuadro de datos que se presenta en la figura 2.11 y el usuario debe ratificar o rectificar esa
información que aparece.
Figura 2.10 Acelerograma y selección del icono que obtiene el espectro de respuesta.
Se debe indicar el número de puntos NT que se desean considerar para obtener el
espectro. Por defecto considera 50 puntos. Es el número de osciladores de 1 gdl que se
desean. Mientras más puntos se considera es mejor pero demanda más tiempo.
El segundo dato es el período mínimo a partir del cual se desea hallar el espectro, por
defecto este valor es 0.01 s., luego el período final hasta el cual se obtendra el espectro, por
defecto se considera 3 s., Estos dos valores son adecuados razón por la que no deben
modificarse.
Roberto Aguiar Falconí
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Figura 2.11 Información que se debe suministrar para encontrar el espectro de respuesta.
Finalmente se indica el valor de ξ que en la figura 2.11 se ha notado como Csi . Una
vez llenado estos datos se selecciona el tipo de espectro que se desea encontrar. En la figura
2.11 se ha seleccionado el icono que corresponde al espectro de desplazamiento.
Figura 2.12 Acelerograma y Espectro de respuesta.
En la figura 2.12 se aprecia a la izquierda el acelerograma y a la derecha el espectro
de respuesta elástico de desplazamiento, obtenido para 05.0=ξ .
2.7 IMPORTANCIA DE LAS FORMAS ESPECTRALES
Los espectros de respuesta proporcionan información muy valiosa para el proyectista
estructural, ya que se puede inferir los edificios que van a estar sujetos a mayores fuerzas
sísmicas.
Por ejemplo, el sismo del 19 de septiembre de 1985, que tuvo una magnitud de 8.1 y
una profundidad focal de 33 Km., se registro a 20 Km., de la costa de Guerrero y en el centro
de Ciudad deMéxico que se halla a 400 km., de la zona epicentral se tuvo gran daño en las
edificaciones de mediana altura que están asociadas a períodos entre 1.5 y 2.5 segundos
debido a que en esa zona se tuvo las mayores amplitudes como se aprecia a la derecha de la
figura 2.13 en que se presenta el espectro de respuesta elástico de aceleraciones absolutas.
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Figura 2.13 Acelerograma y espectro de aceleraciones del sismo del 19 de septiembre de 1985.
En la figura 2.13, a la izquierda se aprecia que la aceleración máxima del registro fue
de 0.17 g., 17% de la aceleración de la gravedad y de baja frecuencia semejante a una
excitación de tipo armónico que resultan ser muy destructivos. A la derecha de la figura 2.15 se
observa que la aceleración máxima espectral fue de 1 g., y está asociado a un período de 2 s.
Figura 2.14 Acelerograma y espectro del sismo de Chile de 1985.
En el espectro de aceleraciones de la figura 2.13 se ve que para períodos menores a
1.5 s., las ordenadas espectrales son bajas. Luego las estructuras que tienen estos períodos
que son las de pocos pisos, no fueron afectadas por el sismo de septiembre de 1985, como lo
fueron las estructuras que tienen períodos entre 1.5 y 2.5 s. En el centro del Distrito Federal la
velocidad de la onda de corte es muy baja. Por lo tanto, el período de vibración se debe
calcular considerando interacción suelo estructura, lo que implica que el período es mayor que
el que se obtiene con reglas como 0.11 N, siendo N el número de pisos.
El 3 de marzo de 1985 tuvo lugar en Chile un sismo, también de subducción, con una
profundidad focal de 15 km., y de una magnitud de 7.8. Aproximadamente a 140 km., del
epicentro, en Lloleo se tuvo un registro sísmico con una aceleración máxima de 698 gals que
corresponde a 0.71 g., cuyo acelerograma se indica a la izquierda de la figura 2.14 pero este
sismo causó menos daño en las estructuras, que el sismo del Distrito Federal a pesar de que la
aceleración máxima fue 4.17 veces mayor.
A la derecha de la figura 2.14 se presenta el espectro de aceleraciones absolutas del
registro de Llolleo, se aprecia que las aceleraciones espectrales máximas están asociadas a
períodos comprendidos entre 0.3 y 0.5 s. En consecuencia fueron las edificaciones pequeñas
las que sufrieron más daño. La aceleración máxima fue de 1880 gals que corresponde a 1.92
g., y está asociada a un período de 0.29 s.
Se ha presentado dos espectros, el uno, el de Ciudad de México de 1985 en el cual las
estructuras intermedias de 6 a 18 pisos fueron las más afectadas y el otro el del sismo de Chile
de 1985 en que las estructuras de 2 a 4 pisos fueron afectadas. De tal manera que en Ciudad
de México se tendrá mayor precaución en la construcción de edificaciones de 6 a 18 pisos y de
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ser posible se evitará tener edificios con estos pisos. En cambio en Chile habrá que tener
cuidado con las edificaciones de pocos pisos ya que se esperan fuerzas sísmicas muy altas.
Evidentemente que en base a dos eventos sísmicos no se pueden dar conclusiones
generales sin embargo de ello se hace notar que es muy importante conocer las formas
espectrales con el propósito de saber que tipo de edificaciones se verán más afectadas
durante un sismo de similares características.
2.8 SEUDO ESPECTROS
A partir del espectro de desplazamientos se puede obtener en forma aproximada el
espectro de velocidades y el espectro de aceleraciones, utilizando la definición de seudo
espectro.
dnvna
dnv
SWPSWPS
SWPS
2≈≈
≈
Siendo vPS y aPS los seudo espectros de velocidad y aceleración. Si bien es cierto
desde el punto de vista numérico encontrar los espectros de velocidad o aceleración, aplicando
cualquier algoritmo de cálculo, no es ningún problema, de tal manera que no tendría mayor
importancia la definición de seudo espectros y las ecuaciones ( 2.11 ) y ( 2.12 ). Pero la
importancia de estas ecuaciones radica en la aplicación práctica para hallar el desplazamiento
espectral elástico a partir de la aceleración espectral, utilizando para el efecto la siguiente
ecuación.
ad S
TS
2
2 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= π
Donde T es el período de vibración. De esta forma se obtiene el desplazamiento
espectral a partir de la aceleración espectral.
( 2.11 )
( 2.12 )
( 2.13 )
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CAPÍTULO 3
ESPECTROS DE DISEÑO
RESUMEN
Se inicia el capítulo presentando en forma didáctica como se obtiene un espectro de
diseño para 17 acelerogramas de sismos registrados en el Perú. Luego se realiza una reseña
histórica sobre los espectros de diseño y se indican los resultados del trabajo desarrollado por
Seed, Ugas y Lysmer desarrollado en 1976, que han servido de base para la formulación de
formas espectrales en varias normativas sísmicas publicadas por la década de los años
ochenta. Posteriormente se presentan los Espectros Elásticos e Inelásticos del Código
Ecuatoriano de la Construcción, CEC-2000, se realiza un estudió muy detallado del factor de
reducción de las fuerzas sísmicas R por comportamiento inelástico de la estructura, se indica
la forma como se evalúa este factor en base al factor de ductilidad µR , al factor de
sobrerresistencia SR y al factor de redundancia RR .
Varias normativas sísmicas, entre ellas el CEC-2000 no indican como debe evaluarse
el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R , únicamente se asignan valores para
determinadas tipologías estructurales, los mismos que provienen de la experiencia y poco rigor
cuantitativo, que al no ser utilizados en forma eficiente por desconocimiento de cómo se calcula
este factor puede llevar a sobre estimar o subestimar significativamente las fuerzas sísmicas de
diseño, razón por la cual en este capítulo se da bastante énfasis al cálculo del factor R .
También se presenta los resultados de dos investigaciones realizadas en el Centro de
Investigaciones Científicas, CEINCI, la primera, sobre el cálculo del factor µR en base al
estudio de las respuestas elástica e inelástica de 63 acelerogramas de sismos registrados en
Colombia, Perú, Chile y Argentina.
La segunda investigación que se presenta tiene que ver con la propuesta que se hace
para obtener espectros, para ser utilizados en el análisis sísmico por desempeño. En efecto se
proponen formas espectrales para los sismos denominados: frecuente, ocasional, raro y muy
raro que tienen períodos de retorno de 43, 73, 475 y 970 años, respectivamente. Estas formas
espectrales se derivan a partir del sismo raro estipulado por el CEC-2000. Se presenta,
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además, programas de computación en MATLAB para hallar los espectros por desempeño y el
factor de reducción por ductilidad.
3.1 OBTENCIÓN DE UN ESPECTRO DE DISEÑO
Para encontrar un espectro de diseño se deben clasificar los registros sísmicos de
acuerdo al lugar en que fueron registrados ya que la forma espectral depende del tipo de suelo.
Una vez que se tienen clasificados los eventos se procede a obtener los espectros de
respuesta de cada uno de ellos, posteriormente se aplicanlas estadísticas con las que se
determina el espectro de diseño. Realmente es muy sencillo encontrar un espectro de diseño lo
difícil es tener una muestra de datos que se la pueda considerar confiable.
Es deseable que los registros sísmicos con los cuales se vayan a obtener los espectros
de diseño tengan una aceleración máxima de suelo considerable, por lo menos que sean
mayores al 10% de la aceleración de la gravedad. En la mayor parte de países de
Latinoamérica no se cuenta con una cantidad suficiente de eventos fuertes por lo que han
trabajado con sismos de aceleraciones pequeñas normalizados a aceleraciones grandes, este
procedimiento no es correcto pero ante la ausencia de registros fuertes no queda otra opción.
• EJEMPLO 1
Obtener un espectro de diseño a partir de los registros sísmicos indicados en la tabla
3.1, que fueron sentidos o registrados en el Perú. En la última columna se muestra el tipo de
suelo en el cual se obtuvo el registro, cuando no se tiene información del tipo de suelo en el
que se ha obtenido el acelerograma se acostumbra colocar suelo a secas.
Tabla 3.1 Registros sísmicos considerados para obtener espectro de diseño
Cod Fecha Lugar Distancia
Epicentral
Magnitud Aceleración
Máxima
Tipo de
Suelo
01 b 13-06-05 Iquique 387.79 km. 7.8 Mw 125.43 gals Roca
02 a 13-06-05 Iquique 180.31 km. 7.8 Mw 119.10 gals Suelo
02 b 13-06-05 Iquique 180.31 km. 7.8 Nw. 111.15 gals Suelo
03 a 17-10-66 Perú 225.26 km. 6.4 Mb. 180.59 gals Grava guesa
03 b 17-10-66 Perú 225.26 km. 6.4 Mb. 269.34 gals Grava gruesa
04 a 9-11-74 Perú 80.55 km. 6.0 Mb. 116.79 gals Limo arcilloso
04 b 9-11-74 Perú 80.55 km. 6.0 Mb. 93.71 gals Limo arcilloso
05 a 23-06-01 Perú 338.46 km. 8.3 Mw 295.22 gals Suelo
05 b 23-06-01 Perú 338.46 km. 8.3 Mw 220.04 gals Suelo
06 a 31-05-70 Perú 369.17 km. 7.9 Mw 104.82 gals Grava gruesa
06 b 31-05-70 Perú 369.17 km. 7.9 Mw. 97.749 gals Grava gruesa
07 a 3-10-74 Perú 59.74 km. 8.1 Mw 97.96 gals Grava gruesa
07 b 3-10-74 Perú 59.74 km. 8.1 Mw. 178.95 gals Grava gruesa
08 a 3-10-74 Perú 63.89 km. 6.2 Mb. 192.35 gals Aluvional
08 b 3-10-74 Perú 63.89 km. 6.2 Mb. 207.12 gals Aluvional
09 a 5-01-74 Perú 90.10 km. 6.5 Mw. 139.59 gals Suelo
09 b 5-01-74 Perú 90.10 km. 6.5 Mw. 156.18 gals Suelo
• SOLUCIÓN
En la tabla 3.1 se tiene un total de 17 registros, cantidad que es pequeña como para
pensar en separarlos de acuerdo al tipo de suelo en que fueron registrados, razón por la que se
trabaja con todos ellos. Cada uno de estos registros fue normalizado a 392 gals (0.4 g) de
tal manera que los registros se multiplicaron por un factor tal que la aceleración máxima sea la
indicada. Los espectros se obtuvieron para 05.0=ξ
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En la figura 3.1 se indican los espectros de respuesta, de aceleraciones absolutas, de
cada uno de ellos y con una línea más gruesa se presenta el espectro medio. Para cada
período de vibración se tienen 17 aceleraciones espectrales de tal manera que se puede hallar
la media y la desviación estándar para cada período.
La línea más gruesa de la figura 3.1 corresponde al espectro medio que se sería el
espectro de diseño del grupo de datos, la misma que se presenta en la figura 3.2. Nótese que
para 0=T la aceleración espectral vale 0.4 g = 392 gals tiene un valor que está alrededor de
975 gals. La relación entre estos dos valores se denomina β que será comentado cuando se
hable del Espectro de Diseño del Código Ecuatoriano. Retomando el ejemplo, con los datos se
tiene que 49.2=β
ESPECTROS RESPUESTA
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Periodo
A
ce
le
ra
ci
ó
01b
02a
02b
03a
03b
04a
04b
05a
05b
06a
06b
07a
07b
08a
08b
09a
09b
Media
Figura 3.1 Espectros de respuesta y espectro medio de la muestra considerada.
Al trabajar con el espectro medio se tiene que la probabilidad de excedencia de
las ordenadas espectrales es del 50%. En efecto, se aprecia que existe una cantidad
significativa de aceleraciones que están sobre la curva media. Si se desea disminuir esta
probabilidad de excedencia a la curva de valores medios se deberá sumar una desviación
estándar o más dependiendo de la probabilidad de excedencia con la cual se desea trabajar.
Una vez que se tiene el espectro medio, para dar ecuaciones para una normativa
sísmica, se definen líneas y curvas que más se aproxime al espectro medio, como se ilustra en
la figura 3.3 en que se ha definido una línea ascendente, luego una recta, posteriormente una
curva descendente y finalmente una recta. El punto de inicio del espectro tiene una
aceleración espectral que vale: 0Aα , siendo α el coeficiente de importancia y 0A la
aceleración máxima del suelo. La recta de aceleración constante, que va desde el período 0T
hasta el período *T tiene un valor de 0Aβα . Habrá que definir la ecuación de la curva
descendente del espectro que va desde el período ∗T hasta +T y finalmente la ecuación para
períodos mayores a +T .
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Figura 3.2 Espectro medio, de diseño de grupo de datos.
Con el propósito de ser conservador y teniendo presente que el valor del período 0T es
muy bajo se puede pensar en eliminar la recta ascendente y dejar el espectro para la normativa
sísmica como se indica en la figura 3.4. En este caso se tienen dos rectas y una curva. Se hace
hincapié en que para períodos menores a 0T se está sobredimensionando la aceleración
espectral y por ende la fuerza sísmica resultante.
Figura 3.3 Espectro medio y formas spectrales para normativa sísmica
3.2 RESEÑA HISTÓRICA
En 1959, Housner propuso el primer grupo de formas espectrales promedio,
normalizando para el efecto 8 registros obtenidos de los siguientes terremotos: El Centro 1934
y 1940, Western Washington, (Olympia) 1949 y Kerb County (Taft) 1952. Trabajando en forma
similar a la indicada en el apartado anterior.
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Hayashi, Tsuchida y Kurata en 1971, presentan formas espectrales promedio
trabajando con 61 acelerogramas registrados en Japón, lamentablemente muchos de los
registros tenían aceleraciones muy bajas y las condiciones del subsuelo en las estaciones de
los registros se conocen parcialmente, por estos motivos los resultados obtenidos son
considerados como preliminares.
Figura 3.4 Modelo de 2 rectas y una curva para el espectro de diseño.
Newmark, Blume y Kapur en 1973 presentaron los resultados a los que llegaron
trabajando con acelerogramas cuya aceleración máxima del suelo es mayor que 0.1g. Los
estudios realizados los dividieron en dos grupos. ... En el primer grupo obtuvieron espectros
normalizados con respecto a la aceleración máxima del suelo ..., para el efecto trabajaron con
33 registros. ... En el segundo grupo obtuvieron espectros normalizados con respecto a la
velocidad máxima del suelo ..., en este caso trabajaron con 28 registros. En los estudios
realizados no se clasificó los registros de acuerdo al tipo de suelo.
Seed, Ugas y Lysmer en 1976 ampliaron el estudio y consideran 104 registros
obtenidos en sitios en los cuales se conoce con cierta exactitud las condiciones del suelo. Este
trabajo ha servido de base para la formulación de varios códigos en América del Sur. Razón
por la cual a continuación se presentan los resultados del trabajo en la figura 3.5.Seed et al (1976) clasificaron los 104 registros en cuatro tipos de suelo, a saber: i)
Registros en roca (28), ii) Registros en suelo duro con espesor inferior a 60 m., (suelo rígido)
(31), iii) Registros en suelos granulares con profundidad superior a 75 m. (30), y iv) registros
para arcillas medias o arenas (15).
Seed et al (1976), luego de la clasificación de los registros, construyeron los espectros de
respuesta elásticos para un 5% de amortiguamiento y en la figura 3.5 se indican los espectros
de aceleración promedios para los cuatro tipos de suelo, indicados. Del análisis de la figura 3.5
se puede indicar:
• La respuesta máxima espectral de los registros en roca se da para un período de
0.2 s., y tiene un factor de amplificación de 2.5.
• En los suelos duros con espesores inferiores a los 60 m, la respuesta máxima se dio
para períodos de 0.4 s con un factor de amplificación de 2.8.
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• El espectro promedio de suelos no cohesivos profundos tiene dos picos máximos,
uno a los 0.45 s de período con un factor de amplificación de 2.7 y otro a los 0.90 s
de período con un factor de 1.9.
• Los registros de arcillas blandas a medias, producen un espectro con un factor de
amplificación de 2.1, que se da para un rango de períodos que varía de 0.3 a 1.0 s.
Figura 3.5 Espectros promedios, para diferentes condiciones de suelo.
3.3 ESPECTRO ELÁSTICO DEL CEC 2000
El Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 considera cuatro zonas sísmicas
que van desde .15.0 g , en la región oriental, hasta la zona cuatro que tiene un valor
.4.0 gAo = , en parte de la costa y de la sierra. En la figura 3.6 se presenta la forma del
espectro de diseño elástico del CEC-2000 que está definido por las siguientes ecuaciones:
2
25.1
o
d
S
o
d
od
AATT
T
SAATTT
AATT
α
α
βα
=>
=<<
=<
+
+∗
∗
Donde α es el coeficiente de importancia de la estructura; β , ∗T , +T , S
parámetros que están definidos en la tabla 3.2 y que dependen del perfil de suelo. 0A es la
aceleración máxima del suelo y está definido en el mapa de peligrosidad sísmica del Ecuador.
T es el período de vibración de la estructura.
( 3.1 )
( 3.2 )
( 3.3 )
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Figura 3.6 Espectro Elástico del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000
El valor de 0A del CEC-2000 fue obtenido para un período de retorno de 475 años con
una probabilidad de excedencia del 10%. Si se considera 1=α , se mantiene la probabilidad
de excedencia, este valor se recomienda para viviendas y oficinas. Si se considera 5.1=α la
probabilidad de excedencia está alrededor de 2% cantidad muy baja considerando el período
de retorno. Si 25.1=α la probabilidad de excedencia está alrededor del 5%.
Tabla 3.2 Parámetros que definen el espectro elástico del CEC-2000
Perfil de suelo ∗T
( s )
+T
( s )
β S
S1 0.50 2.50 2.5 1.0
S2 0.52 3.11 3.0 1.2
S3 0.82 4.59 2.8 1.5
S4 2.00 10.00 2.5 2.0
0A es la aceleración del suelo en roca, ahora por efecto del tipo de suelo la
aceleración del suelo vale 0AS como se ilustra en la figura 3.7, donde S es el factor de
amplificación por efecto del tipo de suelo. Los valores de S indicados en la tabla 3.2 son los
recomendados por el Uniform Building Code UBC-97
En la figura 3.8 se presentan los cuatro espectros del CEC-2000 para los perfiles de
suelo: S1, S2, S3 y S4, para un valor de gA 4.00 = ; 1=α . Se indica además el espectro
medio encontrado en el apartado 3.1 en base a los sismos registrados en Perú pero
normalizados a 0.4 g. Se aprecia una buena correlación con el espectro correspondiente a un
perfil de suelo S1, debido a que la mayor parte de los registros utilizados fueron registrados en
suelo S1.
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Figura 3.7 Amplificación de la aceleración por efecto del tipo de suelo.
3.4 ESPECTROS POR DESEMPEÑO
Las grandes pérdidas que dejaron los sismos de Loma Prieta de 1989 de ocho mil
millones de dólares y el sismo de Northridge de cuarenta mil millones de dólares obligó a que
en 1992 se creará en los Estados Unidos de Norte América el Comité VISION 2000 para que
presente la nueva filosofía de diseño sísmico para el siglo XXI. En 1995 el SEAOC por sus
siglas en Inglés (Structural Engineers Association of California), publicó sus resultados y en
ellos se estableció que las estructuras deberán verificar su desempeño sísmico para los cuatro
eventos denominados: Frecuente, Ocasional, Raro y Muy Raro que constan en la tabla 3.3
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Figura 3.8 Espectros del CEC-2000 y espectro medio obtenido en apartado 1.
En el libro: Análisis Sísmico por Desempeño, Aguiar (2003) se tiene un estudio muy
detallado al respecto. Ahora lo que interesa ilustrar es como determinar los cuatro espectros
estipulados en la tabla 3.3. Para el efecto en el capítulo 8 del libro antes indicado se presenta
una propuesta para obtener estos espectros a partir del espectro correspondiente al sismo raro,
que es el estipulado por el CEC-2000. La propuesta se resume a continuación.
Tabla 3.3 Sismos recomendados por el Comité VISION 2000.
Sismo Vida Útil
T
Probabilidad de
Excedencia ∗P
Período medio
de retorno, rt
Tasa Anual de
excedencia, 1p
Frecuente 30 años 50% 43 años 0.02310
Ocasional 50 años 50% 72 años 0.01386
Raro 50 años 10% 475 años 0.00211
Muy raro 100 años 10% 970 años 0.00105
• Para el Sismo Frecuente se dividen las ordenadas espectrales del Sismo Raro para 3
y posteriormente se ajusta la forma espectral para un amortiguamiento ξ del 2%,
empleando las ecuaciones propuestas por Newmark y Hall, que se indican a
continuación:
ξα ln68.021.3 −=a
ξα
ξα
ln27.082.1
ln41.031.2
−=
−=
d
v
Las ecuaciones denominadas ( 3.4 ) tienen un 50% de probabilidad de excedencia. Por
otra parte, en estas ecuaciones cba ααα ,, , son los factores de amplificación para la
aceleración, velocidad y desplazamiento. Existe otra ecuación más sencilla, que
también se puede hallar para pasar del espectro que está calculado para un 05.0=ξ
a un 02.0=ξ Esta es:
04.0
5 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ξaf
( 3.5 )
( 3.4 )
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En la ecuación ( 3.5 ) el valor de ξ se indica en porcentaje.
• Para el Sismo Ocasional se multiplica el sismo frecuente por 1.4
• Para el Sismo muy raro se multiplica el sismo raro por 1.3
Se ha elaborado un programa en MATLAB denominado Vision que determina los
cuatro espectros, para análisis sísmico por desempeño. La forma de uso del programa es:
[saf,sao,sar,sam]=Vision (A0)
• A0 es la aceleración maxima del suelo en gals, definida en el Código Ecuatoriano de
la Construcción, varía desde 392 gals en la zona de mayor peligrosidad sísmica, hasta
147 gals.
• Posteriormente, por pantalla se debe indicar un código que identifica el perfil de suelo.
Para un perfil de suelo S1, el código es 1; para un suelo S2 el código es 2; para suelo
S3 es 3 y para suelo S4 es 4.
function[saf,sao,sar,sam]=Vision(a0);
%
% ESPECTROS POR DESEMPEÑO
%
% Por: Roberto Aguiar
% ESPE
%
%--------------------------------------------------------------------------
% [saf,sao,sar,sam]=Vision(a0)
%--------------------------------------------------------------------------
% a0 : Aceleración del suelo en roca en gal definido en la zona sismica
% Ta : Periodo donde termina la aceleracion constante
% Tm : Periodo donde termina la aceleracion descendente
% beta : Parametro por tipo de suelo
% s : Parametro por tipo de suelo
% alfa : Coeficiente de importancia
% is : Codigo del perfil de suelo
%
alfa=1.0;
fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4');
is=input ('\n Indique el codigo :');
if is==1
ta=0.50; tm=2.50; beta=2.5; s=1.0;
elseif is==2
ta=0.52; tm=3.11; beta=3.0; s=1.2;
elseif is==3
ta=0.82; tm=4.59; beta=2.8; s=1.5;
else
ta=2.0; tm=10.0; beta=2.5; s=2.0;
end
tmin=0.01; tmax=3.0; n=100; dt=(tmax-tmin)/n;
hold off
for i=1:n;
t(i)=i*dt;
if t(i)<=ta;
sar(i)= alfa*beta*a0;
elseif t(i)<=tm & t(i)>ta;
sar(i)= (1.25*alfa*a0*(s^s))/t(i);
else
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sar(i)= (alfa*a0)/2;
end
saf(i)=sar(i)/3; sao(i)=saf(i)*1.4; sam(i)=sar(i)*1.3;
end
plot(t,saf);
hold on
plot(t,sao,'--'); plot(t,sar),':'; plot(t,sam),'-.';
xlabel ('Periodo (s)'); ylabel ('Aceleracion (gal)')
hold off
end
En el programa VISION no se ha realizado la corrección de las formas espectrales por
el factor de amortiaguamiento, para los sismos frecuente y ocasional.
• EJEMPLO 2
Ilustrar el uso del programa VISION para hallar los espectros por desempeño, para la
zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador )/3924.0( 20 scmgA == en un perfil de
suelo S3.
• SOLUCION
[saf,sao,sar,sam]=Vision (392)
Por pantalla se digitará el número 3, para indicar que corresponde al perfil de suelo S3.
En la figura 3.8 se indican los espectros de desempeño que reporta el programa.
3.5 ESPECTROS INELÁSTICOS
El CEC-2000 obtiene el Espectro Inelástico dividiendo el Espectro Elástico, indicado en
la figura 3.6 para el factor epR φφ . Donde R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas
debido a comportamiento no lineal, pφ factor que toma en cuenta las irregularidades en planta,
eφ factor que considera las irregularidades en elevación.
La curva superior de la figura 3.9 corresponde al espectro elástico y la curva inferior al
espectro inelástico, en la que se aprecia que las tres ramas del espectro se hallan divididas
para epR φφ . Las ecuaciones que definen las tres zonas del espectro inelástico son:
ep
o
d
ep
S
o
d
ep
o
d
R
A
ATT
RT
SA
ATTT
R
A
ATT
φφ
α
φφ
α
φφ
βα
2
25.1
=>
=<<
=<
+
+∗
∗
( 3.6 )
( 3.7 )
( 3.8 )
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Figura 3.8 Espectros Propuestos para un perfil de suelo S3 en la zona de mayor peligrosidad.
Es importante tener en cuenta que si se diseña un edificio para el espectro elástico no
se espera ningún daño en la estructura pero resultará muy costosa ya que las fuerzas sísmicas
serán muy altas. En cambio si se diseña para el espectro inelástico se espera daño en la
estructura pero no costará tanto la edificación ya que se ha diseñado para menores fuerzas
sísmicas.
Esto ha llevado a que los proyectistas estructurales trabajen con los valores más
altos de R que están estipulados en el CEC-2000 pero esto implica un gran riesgo y es
debido a que las fuerzas sísmicas se encuentren subvaloradas es decir se está
calculando por el lado de la inseguridad, para cierto rango de períodos, como se verá
posteriormente.
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Figura 3.9 Espectros: Elástico e Inelástico del CEC-2000
Por lo expuesto en el párrafo anterior es fundamental que el proyectista estructural
conozca que el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R se calcula con la siguiente
ecuación:
RS RRRR µ=
Donde µR es un factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido a la ductilidad de
la estructura, SR es el factor de resistencia y RR es el factor de redundancia. En los siguientes
apartados se deduce la ecuación ( 3.9 ).
3.6 REGLA DE IGUAL DESPLAZAMIENTO
No se debe perder de vista que la definición de espectros sísmicos está relacionada
con un sistema de un grado de libertad 1 gdl. En este contexto en la figura 3.10 se presenta la
relación fuerza – desplazamiento de un sistema con comportamiento lineal que está
representada por las letras O-Y-E., y de un sistema con comportamiento inelástico o no lineal
que está representado por las letras O-Y-I.
La relación entre la fuerza y el desplazamiento representa la rigidez del sistema. Ahora
bien, en análisis lineal la rigidez no cambia lo que significa que por más que se incremente
la fuerza lateral al sistema la rigidez permanece constante. En cambio, cuando se realiza un
análisis no lineal, la rigidez se mantiene constante hasta el punto de fluencia, que en la figura
3.10 se ha indicado con la letra Y. Una vez que se alcanza la fluencia la rigidez cambia, en la
figura 3.10 al tener la recta Y-I significa que la rigidez de post fluencia es nula, a este modelo
se denomina elasto perfectamente plástico. En definitiva en análisis no lineal la rigidez
cambia.
Para explicar la regla de igual desplazamiento, se considera que se tiene un sistema de
1 gdl., al cual se lo ha analizado con un modelo e análisis lineal y con un modelo de análisis no
lineal. Luego de lo cual, sorprendentemente se encuentra que el desplazamiento latelaral
máximo es el mismo. En consecuencia se tiene que:
ei ∆∆ =
( 3.9 )
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Donde i∆ es el máximo desplazamiento lateral que se obtiene en un sistema de 1 gdl
al considerar comportamiento inelástico y e∆ es el máximo desplazamiento lateral que se
encuentra en el sistema de 1 gdl con comportamiento elástico.
Al considerar comportamiento elástico la máxima fuerza lateral que se halla en el
sistema de acuerdo a la nomenclatura de la figura 3.10 es eF y al considerar comportamiento
inelástico la máxima fuerza lateral del sistema es yF . Se define como µR a la relación entre la
máxima fuerza elástica con respecto a la máxima fuerza inelástica.
y
e
F
FR =µ
µR es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido al comportamiento no
lineal del sistema, sin incorporar el factor de sobrerresistencia. Por otro lado a la relación entre
el máximo desplazamiento inelástico i∆ con respecto al desplazamiento de fluencia y∆ se
denomina la demanda de ductilidad µ .
Figura 3.10 Relación fuerza – desplazamiento. Regla de igual desplazamiento.
En la figura 3.10 se aprecia que el triángulo rectángulo O-Y- y∆ es semejante al
triángulo rectángulo O-E- i∆ . Por lo tanto se tiene que:
y
i
y
e
F
F
∆
∆=
Pero ye FF / es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas µR ; y , yi ∆∆ / es la
demanda de ductilidad del sistema µ . Por lo tanto, en la regla de igual desplazamiento se
tiene:
µµ =R
( 3.10 )( 3.11 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
3.7 REGLA DE IGUAL ENERGÍA
En la regla de igual energía se considera que el máximo desplazamiento inelástico en
un sistema de 1 gdl, es diferente del máximo desplazamiento elástico, como se aprecia en la
figura 3.11. La recta O-Y-E representa el comportamiento elástico del sistema y las rectas O-Y-I
el comportamiento inelástico.
Figura 3.11 Relación fuerza – desplazamiento. Regla de igual energía.
La regla de igual energía establece que la energía del sistema con comportamiento
elástico es igual a la energía del sistema con comportamiento inelástico. En otras palabras el
área del triángulo O-E- e∆ es igual al área del triángulo O-Y- y∆ más el área del rectángulo
y∆ -Y-I- i∆ .
( )yiyyyee FFF ∆∆∆∆ −+= 22
De ecuación ( 3.10 ) se tiene que ye FRF µ= al reemplazar este valor y luego de
simplificar yF se obtiene:
( )
222
y
iyi
yeR ∆∆∆∆∆∆ −=−+=µ
De la relación de triángulos semejantes se encuentra que:
ye
y
e
y
e RR
F
F ∆∆∆
∆
µµ =⇒==
Al reemplazar el valor de e∆ se tiene:
22
2
y
i
yR ∆∆∆ −=µ
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Al dividir para y∆ , y teniendo en cuenta que:
y
i
∆
∆=µ
Se halla:
2
1
2
2
−= µµR
De donde:
12 −= µµR
Se ha encontrado dos expresiones para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas,
por comportamiento inelástico, la primera obtenida a partir de la regla de iguales
desplazamientos que indica que µµ =R , y la segunda hallada de la regla de igual energía
que establece que 12 −= µµR . Estas dos reglas fueron deducidas por Newmark y Hall en
1982, razón por la cual es necesario presentar aunque sea en forma resumida.
3.8 NEWMARK Y HALL (1982)
Para sistemas de 1 gdl. Newmark y Hall en 1982 presentaron una ecuación para
encontrar el desplazamiento máximo inelástico i∆ en función del desplazamiento máximo
elástico e∆ . Esta ecuación es:
ei R
∆∆
µ
µ=
Donde µ es la demanda de ductilidad del sistema y µR es el factor de reducción de
las fuerzas sísmicas, sin considerar sobrerresistencia, que depende del período de vibración
T . Dos de los valores de µR son los correspondientes a la regla de igual desplazamiento y a
la regla de igual energía. Los valores propuestos por Newmark y Hall (1982) son:
( )
c
cc
c
cb
b
a
TTR
TTT
T
TR
TTTR
sTTR
sTTR
≥=
<<=
≤≤−=
=≤≤−=
=<=
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
β
µ
µ
'
'12
.125.033/112
33/11
( )
( )
cc
ab
a
TT
TT
TT
µ
µ
β
12
/log2
/log
' −=
=
( 3.12 )
( 3.13 )
( 3.14 )
( 3.15 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 3.12 Nomenclatura utilizada por Newmark y Hall (1982).
En la figura 3.12 se indica la nomenclatura de los períodos utilizados por Newmark y
Hall en 1982, en el espectro de aceleraciones. Los valores de aT y bT están definidos y valen
0.0303 s., y 0.125 s., el valor de cT dependen del tipo de suelo y
'
cT se encuentra con la
ecuación ( 3.15 ).
El estudio realizado por Newmark y Hall (1982) concluye en que para períodos de
vibración muy pequeños que tienden a cero el desplazamiento máximo inelástico es
igual a la ductilidad del sistema por el desplazamiento máximo elástico. Por el lado
contrario para períodos grandes el desplazamiento máximo inelástico es igual al
desplazamiento máximo elástico y para los períodos intermedios se tienen valores
intermedios determinados por las ecuaciones ( 3.14 ).
El programa denominado NEWMARKHALL permite encontrar el factor de reducción
para algunos valores de ductilidad, el usuario en la modalidad consola mediante el vector u
indicará los valores de ductilidad para los cuales desea calcular el factor µR . El uso del
programa es:
[Ru] = newmarkhall (u)
• u Vector que contiene las ductilidades para las cuales se desea calcular µR .
function [Ru]=newmarkhall(u)
%
% Factor de reduccion por Ductilidad propuesto por Newmark y Hall (1982)
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI-ESPE
%-----------------------------------------------------------------------
% [Ru]=newmarkhall(u)
%-----------------------------------------------------------------------
% Ru Factor de reduccion por ductilidad
% u Vector que contiene las demandas de ductilidad que se obtienen.
% Ta, Tb Periodos del espectro definidos por Newmark y Hall.
% Tc Periodos caracteristicos del suelo se consideran los del CEC-2000
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
% T Periodo de vibracion de la estructura.
%
m=length(u);
fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4');
is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :');
if is==1
Tc=0.50;
elseif is==2
Tc=0.52;
elseif is==3
Tc=0.82;
else
Tc=2.0;
end
Tmin=0.01; Tmax=3.0; n=100; DT=((Tmax-Tmin)/n); Ta=1/33; Tb=0.125; hold off;
for j=1:m
Tac=(sqrt(2*u(j)-1)/u(j))*Tc;
for i=1:n
T(i)=i*DT;
if T(i)<Ta
Ru(i,j)=1;
elseif T(i)>=Ta & T(i)<=Tb
beta=(log10(T(i)/Ta))/(2*log10(Tb/Ta)); Ru(i,j)=(2*u(j)-1)^beta;
elseif T(i)>=Tb & T(i)<=Tac
Ru(i,j)=sqrt(2*u(j)-1);
elseif T(i)>Tac & T(i) <Tc
Ru(i,j)=u(j)*T(i)/Tc;
else
Ru(i,j)=u(j);
end
end
end
for j=1:m
if j==1
plot (T,Ru)
elseif j==2
plot (T,Ru,'--')
else
plot (T,Ru,':')
end
hold on
end
xlabel('Periodo (s)'); ylabel ('Factor de Reduccion por Ductilidad');
axis([0,3,0,4.5]);
%---fin
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 3.13 Factores de reducción por ductilidad utilizando ecuaciones de Newmark y Hall.
• EJEMPLO 3
Utilizando el programa NEWMARHALL encontrar los factores de reducción de
ductilidad, para un perfil de suelo S2, de acuerdo a la propuesta de Newmark y Hall (1982),
para ductilidades de 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5 y 4.0
• SOLUCIÓN
>> u = [ 1.5; 2.0; 2.5; 3.0; 3.5; 4.0]
>> [Ru]=newmarkhall(u)
En la figura 3.13 se indican las curvas que reporta el programa NEWMARKHALL. La
identificación de cada curva se la realizó utilizando PAINT.
3.9 AGUIAR Y GUERRERO (2005)
En base al análisis de 63 registros sísmicos con aceleración máxima del suelo mayor al
10% de la aceleración de la gravedad, Aguiar y Guerrero en el 2005 encuentran relaciones
para el desplazamiento máximo inelástico i∆ con respecto al desplazamiento máximo elástico
e∆ . Si se aprecia la ecuación ( 3.13 ) está relación reporta µµ R/ . Lo importante es
determinar el valor de µR que pueda ser utilizado en el Ecuador o en alguno de los países de
donde proceden los acelerogramas con que se ha trabajado. Las ecuaciones obtenidas son las
siguientes:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
( )[ ]
05.0248.0
1
),(
0.0381.0
1
),(
11
247.1
247.1
07.2
07.2
/133
=++=
=++=
=+−=
∆=∆
αα
αα
µ
µ
µβ
β
µ
para
TT
TTc
para
TT
TTc
Rc c
ei
Donde α es la relación entre la rigidez post fluencia con respecto a la rigidez elástica,
para el modelo elasto plato perfecto indicado en las figuras 3.10 y 3.11 el valor de 0=α ya
que la rigidez post fluencia es cero (recta Y-I). El denominador de la ecuación ( 3.17 ) viene a
ser el valor de µR que se ha comentado en los últimos apartados.
En la figura 3.14 se indica la curva que dio origen a la ecuación ( 3.17 ) para el caso de
0=α , para demandas de ductilidad de 2 a 4. Se destaca que los sismos del estudio fueron
registrados en Colombia, Perú, Argentina y Chile.
Se observa en la figura 3.14 que para períodos mayores a 0.5 s., el desplazamiento
máximo inelástico es prácticamente igual al desplazamiento máximo elástico. Por lo
tanto para períodos mayores a 0.5 s., se cumple la regla de igual desplazamiento. Para
períodos menores a 0.5 s., la regla de igual desplazamiento subestima el cálculo del
desplazamiento máximo inelástico.
Se aprecia en la figura 3.14 que cuando el período tiende a cero la relación entre el
desplazamiento máximo inelástico con respecto al desplazamiento máximo elástico tiende a la
ductilidad, de acuerdo al trabajo desarrollado por Newmark y Hall (1982).
Con los datos indicados en la figura 3.14 se puede indicar que para períodos
menores a 0.5 s., la regla de igual energía es apropiada para calcular el desplazamiento
máximo inelástico.
Figura 3.14 Parámetro 3β obtenido en base a sismos registrados en América del Sur.
( 3.16 )
( 3.17 )
( 3.18 )
( 3.19 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
3.10 APLICACIÓN AL ESPECTRO INELÁSTICO DEL CEC-2000
Con relación a las figuras 3.10 y 3.11 se tiene que la fuerza elástica eF es igual al
producto de la masa m por la aceleración elástica eA . De igual manera la fuerza inelástica yF
es igual a la masa m por la aceleración inelástica iA .
iy
ee
AmF
AmF
=
=
Al dividir estas dos ecuaciones y teniendo en cuenta que µRFF ye =/ se tiene que la
aceleración inelástica es igual a la aceleración elástica dividida para el factor de reducción de
las fuerzas sísmicas.
µR
AA ei =
Esta ecuación ha sido adoptada por el CEC-2000 y por algunas otras normativas
sísmicas, de tal manera que a partir del espectro elástico se halla el espectro inelástico
dividiendo para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas.
3.11 INCORPORACIÓN DEL FACTOR DE RESISTENCIA
Cuando se realiza el análisis sísmico se encuentran las fuerzas laterales, estáticas
equivalentes con las que se procede al diseño de la estructura. La sumatoria de estas fuerzas
laterales representa el cortante basal de diseño 0V . Ahora bien, cuando se diseñan los
elementos estructurales, para facilitar el sistema constructivo, se coloca más armadura o se
agrandan las secciones de los elementos para poder utilizar los mismos encofrados o para
facilitar el armado.
Adicionalmente, en el cálculo se deben realizar una serie de controles, como por
ejemplo, el control de la conexión viga columna, el mismo que algunas veces conduce a
incrementar la sección de los elementos. Todo esto ocasiona un incremento en la capacidad al
corte basal de la estructura lo que da origen al factor de resistencia SR que no es más que la
relación entre la verdadera capacidad al corte en la base que tiene la estructura con relación al
corte basal de diseño.
Únicamente para mantener el esquema de la explicación se hace una abstracción a la
nomenclatura utilizada en las figuras 3.10 y 3.11 y se emplea una figura realizada por Julio
Hernández (1997) la misma que se presenta en la figura 3.15.
El modelo elasto perfectamente plástico es un modelo ideal, en la realidad la rigidez
post fluencia es diferente de cero. Por otra parte, ante un sismo severo no se forma una sola
rótula plástica sino que se forman varias rótulas como lo ilustra la figura 3.15. La primera rótula
está identificada en la figura con la letra D de diseño que vendría a representar la letra Y de las
figuras 3.10 y 3.11 pero ahora el nuevo modelo elasto plasto se encuentra más arriba porque la
estructura tiene una mayor capacidad sísmica.
Con esta indicación el factor de resistencia SR viene definida por:
( 3.20 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
d
y
S F
F
R =
Por relación de triángulos semejantes, de la figura 3.15 se tiene que:
S
d
y
d
y R
F
F ==∆
∆
De donde:
dSy
dSy
R
FRF
∆∆ =
=
Luego:
dSi
dS
i
y
i
dSe
dS
e
y
e
R
R
FRRF
FR
F
F
F
R
∆=∆⇒∆
∆=∆
∆=
=⇒==
µµ
µµ
Por lo tanto, al considerar el factor de resistencia, se tiene que el factor de reducción de
las fuerzas sísmicas R y la ductilidad global del sistema D, valen:
µ
µ
S
S
RD
RRR
=
=
Figura 3.15 Capacidad sísmica resistente.
Es importante ver con detenimiento la ecuación ( 3.24 ) que indica que la
ductilidad global del sistema es igual al producto del factor de resistencia por la
demanda de ductilidad. En estructuras muy bien detalladas que tengan ductilidades por
curvatura en las vigas mayores a 12 se puede pensar en tener una ductilidad 4=µ y un factor
( 3.21 )
( 3.22 )
( 3.23 )
( 3.24 )
Roberto Aguiar Falconí
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de resistencia de 1.5 de tal manera que la ductilidad global es de 6. Para estas condiciones, en
la figura 3.16, se indica el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R .
Figura 3.16 Factor de reducción R para una demanda de ductilidad global 6.
El factor de reducción de las fuerzas por ductilidad µR se halló con la siguiente
ecuación:
( )[ ]
TT
Tc
cR c
381.0
1
11
07.2
07.2
/1
++=
+−= µµ
Nótese, en la figura 3.16, que para períodos menores a 0.5 s., los valores deR son
menores a 6. De tal manera que para este rango de períodos no se puede trabajar considerar
un factor de reducción de las fuerzas sísmicas igual a 10 ya que el sismo le va a demandar
mayores fuerzas sísmicas. Es verdad que en el ejemplo se ha considerado que el factor de
redundancia es igual a la unidad pero al considerar este factor tampoco se llega a 10.
El desconocimiento de la forma como se evalúa el factor de reducción de las
fuerzas sísmicas R puede llevar a que emplee el mayor valor que estipula el Código y de
esa manera se obtienen fuerzas estáticas por sismo muy bajas que están mal evaluadas.
3.12 INCORPORACIÓN DE LA REDUNDANCIA
Cuando la estructura ingresa al rango no lineal, es importante que la mayor parte de
elementos tome partido soportando las fuerzas sísmicas, para que de esta manera se de una
redistribución de esfuerzos en la estructura. El Índice de redundancia, es el parámetro que
permite calificar la redistribución de esfuerzos en la estructura cuando esta incursiona
en el rango no lineal. Guendelman (2000).
Como se podrá apreciar el índice de redundancia depende de que resistencia adicional
tenga el elemento cuando ha llegado a la fluencia, cuando ha llegado al límite del rango
elástico. En efecto, habrá elementos que han llegado a la fluencia y otros no pero si los
primeros tienen todavía una capacidad de soportar más fuerzas sísmicas o tienen una gran
ductilidad, de seguro que esto obligará aque los elementos que están menos solicitados
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
absorban mayores cargas y deformaciones, de esta forma no se permite tener elementos
ociosos y así la estructura disipará la mayor cantidad de energía sísmica.
El índice de redundancia también es función del número de elementos que tenga el
pórtico y del número de pórticos que tenga la estructura, ya que a mayor cantidad de
elementos se tendrá una mayor cantidad de rótulas plásticas. Pero no es función únicamente
del número de rótulas plásticas el índice de redundancia si no también de que tanto permite
esa rótula plástica incursionar en el rango no lineal, de tal manera que el índice de redundancia
se puede calcular en base al número de rótulas plásticas y a la capacidad de incursionar en el
rango inelástico de ese elemento.
El ATC (1995) penaliza a las estructuras que tienen menos de 4 ejes de columnas,
asignado valores para el factor de redundancia RR menores a la unidad, como se aprecia en la
tabla 3.4. Donde, por ejemplo, para estructuras compuestas por 3 ejes de columnas en cada
dirección el factor RR , de acuerdo al ATC es de 0.86 Estas son estructuras compuestas por 9
columnas.
Tabla 3.4 Valores propuesto de RR por el ATC-1995
Número de ejes de columnas Factor RR
2 0.71
3 0.86
4 1.00
En forma implícita se incorporaba el factor de redundancia, en el factor de ductilidad
global del sistema D y para efecto se consideraba que si una estructura tiene una mayor
cantidad de ejes de columnas, tendrá un mayor valor de D. La tendencia actual es
transparentar ese valor y para el efecto se están realizando numerosas investigaciones entre
las que se destacan las realizadas por Tsopelas y Husain (2004) en que proponen el cálculo
del factor de redundancia RR en función de dos índices, el uno denominado índice de
redundancia por resistencia sr y el otro denominado índice de redundancia por formación de
rótulas plásticas vr .
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−=
e
ve
sR vk
rvk
rR
1
1
Donde k es un parámetro estadístico que está relacionado con una función normal de
resistencia de los elementos de la estructura. Este parámetro varía entre 1.5 y 2.5. (Nowak y
Collins, 2000). eν es el coeficiente de variación de la resistencia de los elementos, varía entre
0.08 y 0.14 (Ellingwood et al. 1980).
1
11
−= mnrv
Siendo n el número de rótulas plásticas que se esperan en un pórtico plano; m el
número de pórticos que tiene la estructura en la dirección analizada.
nr
u
s S
S
r =
Donde uS es la máxima resistencia de la estructura, que no está asociada al colapso
de la misma. nrS es la resistencia de la estructura como que no tuviera redundancia. Se ha
presentado únicamente el modelo desarrollado por Tsopelas y Husain (2004) para determinar
( 3.25 )
( 3.26 )
( 3.27 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
para determinar el factor de redundancia y tener idea de las variables que intervienen en su
formulación. La determinación de RR se la realiza en cada dirección principal de la estructura.
3.13 CÁLCULO DEL FACTOR DE REDUCCIÓN R
Para iniciar el análisis sísmico de una estructura, el proyectista estructural debe
imponerse un valor de reducción de las fuerzas sísmicas R y para el efecto acude al Código o
Normativa Sísmica y selecciona el mayor valor estipulado de acuerdo a la tipología estructural.
Es conveniente que el lector conozca que esos valores no tienen un respaldo cuantitativo más
bien tienen un respaldo cualitativo y están basados en el criterio de expertos. Por lo que se
recomienda ser cautelosos con la selección de los mismos y no tomar el mayor estipulado
especialmente si el período de la estructura es menor a 0.5 segundos, (figura 3.16 ).
Una vez que el proyectista selecciona el valor de R , también selecciona el valor de la
ductilidad µ . Si R es alto el valor de µ también será alto y para lograr un µ alto deberá
seguir al pie de la letra todo lo requerido en el Código A.C.I. (American Concrete Institute). Una
vez que ha finalizado el diseño, es obligación del calculista calcular el factor R , para lo
cual debe proceder de la siguiente manera:
i. Calcular el factor de reducción por ductilidad µR , el mismo que está en función del
período de vibración T y de la ductilidad del sistema µ
( )[ ]
TT
Tc
cR c
381.0
1
11
07.2
07.2
/1
++=
+−= µµ
ii. Determinar el factor de resistencia SR para el efecto debe encontrar la curva de
capacidad sísmica resistente, empleando la técnica del pushover. La curva de
capacidad sísmica relaciona el cortante basal V con el desplazamiento lateral máximo
en el tope del edificio tD . Aguiar (2003). En la figura 3.17, a la izquierda se indica con
líneas entrecortadas esta curva y con línea continua se presenta el modelo bilineal.
Figura 3.17 Descripción del modelo utilizado para calcular ∗UV .
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
El modelo bilineal está definido por el cortante de fluencia yV , el desplazamiento a
nivel de fluencia tyD , el cortante a nivel de fallo uV y el desplazamiento asociado tuD .
En Aguiar (2002) se enseñan varios criterios con los cuales se puede hallar el modelo
bilineal.
Una vez que se halla el modelo bilineal, que contempla incremento de resistencia en el
rango no lineal, se halla el modelo elasto perfectamente plástico que se muestra en la
gráfica de la derecha de la figura 3.17, mediante las siguientes ecuaciones:
ty
y
U
ty
uy
U DV
VD
VV
V
∗
∗∗ =+=
2
Donde ∗UV es la capacidad de cortante último de la estructura. Para encontrar el factor
de resistencia SR se debe conocer el cortante de diseño 0V ya que:
0V
VR US
∗
=
El valor de 0V debe encontrarse con cualquier método en el cual no intervenga el
factor de reducción de las fuerzas sísmicas R ya que este el valor se está
calculando. Se recomienda utilizar el Método del Espectro de Capacidad descrito con
detalle en el libro: “Análisis Sísmico por Desempeño”, Aguiar (2003).
En el Método del Espectro de Capacidad se coloca en un mismo grafico, el espectro de
capacidad de la estructura y el espectro de demanda sísmica como se tiene en la figura
3.18. En el eje de las X, se representa el desplazamiento espectral que se ha
denominado dS y en el eje de las Y, la aceleración espectral denominada aS . De tal
manera que el espectro de diseño que relaciona el período de la estructura con la
aceleración espectral debe pasarse al formato desplazamiento aceleración. Lo propio
debe ejecutarse con la curva de capacidad sísmica de la estructura que está en el
formato desplazamiento lateral máximo vs. cortante basal.
En el Método del Espectro de capacidad básicamente se halla el punto de desempeño
que en la figura 3.18 se ha identificado como dt.
Figura 3.18 Descripción del Método del Espectro de capacidad.
( 3.28 )
( 3.29 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
El desplazamiento dt está asociado a un sistema de un grado de libertad por lo que
para encontrar el desplazamiento máximo tD en el sistema real que tiene múltiples
grados de libertad se debe multiplicar este valor por el factor 1β .
tt dD 1β=
Donde td es el desplazamiento lateral máximo, en un sistema de un grado de libertad,
que se halla enel Método del Espectro de Capacidad. 1β es el factor de amplificación
que permite encontrar el desplazamiento lateral máximo en el tope del edificio tD . Se
recomienda la ecuación propuesta por Algan (1982) para calcular 1β . Esta es:
12
3
1 += N
Nβ
Siendo N el número de pisos de la estructura. Una vez que se ha determinado tD se
ingresa a la curva de capacidad sísmica de la estructura, con este valor y se halla el
cortante basal 0V . Finalmente se aplica la ecuación ( 3.29 ) y se halla SR .
iii. Se halla el factor de redundancia RR para el efecto se recurre a la técnica del
pushover para ver el número de rótulas plásticas que se pueden formar en la
estructura. Más fácil es ver el número de rótulas plásticas n que se forman en un
pórtico hasta llegar al fallo de la estructura. Para una determina dirección se tiene el
número de pórticos m . Por lo tanto al aplicar la ecuación ( 3.26 ) que se copia a
continuación, se halla el índice de redundancia por formación de rótulas plásticas.
1
11
−= mnrv
Para encontrar el índice de resistencia sr se recomienda trabajar con la siguiente expresión:
∑
=
=
ns
i
yi
ui
s ns
M
M
r
1
Donde yiui MM , son los momentos último y de fluencia en la sección i. La sumatoria
va desde i=1 hasta ns siendo ns el número total de secciones del pórtico . Por lo tanto, se
debe hallar la relación momento curvatura en cada uno de los elementos del pórtico y encontrar
el valor promedio indicado en ( 3.32 ). Para cada elemento se hallan seis valores de la relación
yu MM / dos en el nudo inicial, dos en el centro de luz y dos en el nudo. Son dos valores ya
que se debe considerar que el elemento trabaja a flexión en forma cóncava y convexa. De
estos seis valores se halla el promedio en el elemento y con estos promedios se encuentra el
valor medio de todo el pórtico.
Se entiende que el programa que se está empleando para hallar la curva de capacidad
sísmica de la estructura aplicando la técnica del pushover, obtiene también la relación
momento curvatura en la forma anotada en el párrafo anterior.
Finalmente se recomienda el cálculo del factor de redundancia con la siguiente ecuación:
( 3.30 )
( 3.31 )
( 3.32 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
88.0
12.01 V
SR
rrR
En la ecuación propuesta por Tsopelas y Husain (2004) se ha reemplazado 12.0=evk .
Al aplicar la técnica del pushover y el Método del Espectro de capacidad para hallar el punto de
desempeño, el proyectista estructural estará conociendo más de cerca el probable
comportamiento sísmico que va a tener la estructura ya que podrá apreciar cual es la
secuencia de formación de las rótulas plásticas, la capacidad de incursionar en el rango no
lineal cada elemento y la estructura en si.
Un programa de computación que facilita el cálculo del factor de resistencia SR y del factor de
redundancia RR es el CEINCI 3. Aguiar (2003).
( 3.33 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
CAPÍTULO 4
MATRIZ DE RIGIDEZ
RESUMEN
La condensación estática de la matriz de rigidez, es la base fundamental para el
análisis sísmico de estructuras, tanto en el rango lineal como en el rango no lineal. Por este
motivo, en el presente capítulo se presenta esta temática orientada al uso del computador.
Se presentan tres formas de encontrar la matriz de rigidez condensada, a saber: la
primera involucra la inversión de una matriz, la segunda implica la solución de un conjunto de
ecuaciones lineales y la tercera, que es la más se utiliza, mediante la eliminación de Gauss.
Por otra parte, se presenta la matriz de rigidez de los elementos para el análisis
sísmico de pórticos planos, de dos maneras, la primera sin considerar nudos rígidos y la
segunda considerando nudos rígidos.
El análisis sísmico de una estructura puede realizarse considerando pisos rígidos o
considerando pisos flexibles, temas que también son analizados en el presente capítulo. Para
el primer caso, se presentan dos formas de modelar los elementos, en la primera se considera
que solo las vigas son axialmente rígidas y en la segunda todos los elementos son axialmente
rígidos.
Para todos los tópicos presentados en este capítulo se han desarrollado programas de
computación en MATLAB los mismos que ayudan a entender la teoría expuesta y además
para su utilización práctica.
4.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO
En análisis lineal se considera que la rigidez a flexión (EI)o, es constante; lo propio
sucede con la rigidez al corte (GA)o. En consecuencia, la matriz de rigidez de un elemento es
constante y lo mismo sucede con la matriz de rigidez de la estructura. La obtención de las
matrices indicadas se presenta con detenimiento en la tercera edición del libro: “Análisis
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Matricial de Estructuras”, Aguiar ( 2004), aquí se omite la deducción y únicamente se presentan
los formularios de cálculo.
4.1.1 Análisis sin nudo rígido
En la figura 4.1, se indica el sistema de coordenadas locales de un elemento horizontal
de un pórtico plano, en el que no se considera la deformación axial, hipótesis de cálculo que se
puede utilizar en el análisis sísmico de estructuras para los elementos horizontales.
Figura 4.1 Sistema de coordenadas locales para un elemento axialmente rígido.
Para el elemento horizontal indicado en la figura 4.1, se tiene que el sistema de
coordenadas locales es igual al sistema de coordenadas globales. Por otra parte, se recuerda
que las estructuras se resuelven en coordenadas globales.
La matriz de rigidez del elemento, es simétrica con respecto a la diagonal principal,
razón por la cual solo se presenta la matriz triangular superior. Con relación al sistema de
coordenadas locales de la figura 4.1, la matriz de rigidez es la siguiente.
k
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
'
'
'
k
bt
abk
btbt
( 4.1 )
La forma de la matriz de rigidez, indicada en ( 4.1 ) es válida para elementos de
sección constante o de variable. Para elementos de sección constante, se tiene:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
+= φ
φ
41
1)(4
L
EIk o ( 4.2.1 )
kk =' ( 4.2.2 )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−= φ
φ
41
21)(2
L
EIa o ( 4.2.3 )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+= φ41
1)(6
2L
EIb o ( 4.2.4 )
bb =' ( 4.2.5 )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+= φ41
1)(12
3L
EIt o ( 4.2.6 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
2)(
)(3
LGA
EI
o
o βφ = ( 4.2.7 )
Donde E es el módulo de elasticidad del material, I es la inercia a flexión de la sección
transversal, β es el factor de forma por cortede la sección, A es el área de la sección
transversal, G es el módulo de corte y L la longitud del elemento.
• EJEMPLO 1
Encontrar la matriz de rigidez, sin considerar nudos rígidos, para una viga de sección
constante de 30cm de base por 30 cm. de altura y tiene una longitud de 3.7m. Por otra parte,
E=2100000 T/m2 y G=840000 T/m2.
• SOLUCIÓN
Tma
Tmkk
Tmk
mI
mA
99.743
004931.041
004931.021
7.3
000675.021000002
21.1510'
21.1510
004931.041
004931.01
7.3
000675.021000004
004931.0
7.384000009.0
000675.021000002.13
000675.0
12
3.03.0
09.03.03.0
2
4
3
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
×+
×−××=
==
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
×+
+××=
=××
×××=
=×=
=×=
φ
mTt
Tbb
Tb
/32.329
004931.041
1
7.3
000675.0210000012
24.609'
24.609
004931.041
1
7.3
000675.021000006
3
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
×+
××=
==
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
×+
××=
k
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
20.1510
24.60932.329
99.74324.60920.1510
24.60932.32924.60932.329
El programa que calcula la matriz de rigidez de un elemento viga sin considerar nudos
rígidos se denomina kviga y la forma de uso es la siguiente:
[k] = kviga (b,h,L,E)
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
• b es la base de la sección transversal del elemento.
• h es la altura de la sección transversal del elemento.
• L es la longitud del elemento.
• E es el módulo de elasticidad del elemento.
Para el ejemplo 1, los datos de entrada, son:
>> [k]=kviga (0.30,0.30,3.70,2100000)
function [k]=kviga(b,h,L,E)
%
% Matriz de rigidez de un elemento viga sin nudos rigidos
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI-ESPE
%-------------------------------------------------------------
% [k]=kviga(b,h,L,E)
%-------------------------------------------------------------
% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
% L: longitud del elemento.
% E: modulo de elasticidad del material
% beta: factor de forma se considera 1.2
G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L);
kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi));
kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L;
k(1,1)=t; k(1,2)=b; k(1,3)=-t; k(1,4)=bp; k(2,2)=kf; k(2,3)=-b; k(2,4)=a;
k(3,3)=t; k(3,4)=-bp; k(4,4)=kpf;
for i=1:3;
for j=i+1:4;
k(j,i)=k(i,j);
end
end
fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Viga: \n\n')
for i=1:4
for j=1:4
fprintf ('%10.3f', k(i,j))
end
fprintf('\n')
end
%---fin---
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 4.2 Sistema de coordenadas globales para un elemento vertical, totalmente flexible.
Para un elemento vertical, en la figura 4.2, se indica el sistema de coordenadas
globales, para el caso de que el elemento sea totalmente flexible. La matriz de rigidez es:
k
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
'
0
'0
0
000
'00
k
r
bt
abk
rr
btbt
( 4.3 )
L
EAr = ( 4.4 )
Los restantes términos de la matriz de rigidez, fueron indicados en las ecuaciones
anteriores.
function [k]=kcolumna(b,h,L,E)
%
% Matriz de rigidez de un elemento columna sin nudos rigidos
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI-ESPE
%-------------------------------------------------------------
% [k]=kcolumna(b,h,L,E)
%-------------------------------------------------------------
% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
% L: longitud del elemento.
% E: modulo de elasticidad del material
% beta: factor de forma se considera 1.2
G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L);
kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi));
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L;r=E*area/L
k=zeros(6);
k(1,1)=t; k(1,3)=-b; k(1,4)=-t; k(1,6)=-bp; k(2,2)=r; k(2,5)=-r;
k(3,3)=kf; k(3,4)=b; k(3,6)=a; k(4,4)=t; k(4,6)=bp; k(5,5)=r; k(6,6)=kpf;
for i=1:5;
for j=i+1:6;
k(j,i)=k(i,j);
end
end
fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Columna: \n\n')
for i=1:6
for j=1:6
fprintf ('%12.3f', k(i,j))
end
fprintf('\n')
end
%---fin---
El programa que determina la matriz de rigidez de un elemento columna, sin nudos
rígidos es kcolumna y la forma de utilizarlo es:
[k] = columna (b,h,L,E)
El significado de las variables de entrada, son iguales a las del programa kviga.
4.1.2 Análisis con nudo rígido
En el análisis estructural se puede considerar que los nudos son completamente
rígidos. En consecuencia, la longitud de los elementos que ingresa al nudo, tienen rigidez axial
infinita y rigidez a flexión infinita. Sean 1c y 2c las longitudes de rigidez infinita de un elemento,
como el indicado en la figura 4.3.
Figura 4.3 Coordenadas locales para un elemento ∞=A , con dos sectores de rigidez infinita.
Ahora, la matriz de rigidez del elemento, es la siguiente.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
k=
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++
+−
++++−++
+−+
tcbck
tcbt
tccbcbcatcbtcbck
tcbttcbt
2
22
2
21211
2
11
21
'2'
)'(
')(2
'
( 4.5 )
Los términos de rigidez k, a, k', b, b', t, son los indicados en las ecuaciones ( 4.2.1 a 4.2.7 ).
• EJEMPLO 2
Encontrar la matriz de rigidez, para la viga de sección constante del ejemplo 1,
considerando nudos rígidos, para el caso de la figura 4.4.
Figura 4.4 Geometría de la viga con dos sectores de rigidez infinita.
• SOLUCIÓN
Al reemplazar c1 = c2 = 0.15 y los restantes datos indicados en el ejemplo anterior, en
(4.5 ), se obtiene:
k=
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
39.1700
64.65832.329
17.93464.65839.1700
64.65832.32964.65832.329
function [k]=kviganr(b,h,c1,c2,L,E)
%
% Matriz de rigidez de un elemento viga con nudos rigidos
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI-ESPE
%--------------------------------------------------------------------
% [k]=kviganr(b,h,c1,c2,L,E)
%--------------------------------------------------------------------
% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
% c1 longitud del nudo rigido en el nudo inicial.
% c2 longitud del nudo rigido en el nudo final.
% L: longitud del elemento de borde a borde sin los nudos rigidos
% E: modulo de elasticidad del material
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
% beta: factor de forma se considera 1.2
G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L);
kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi));
kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L;
k(1,1)=t; k(1,2)=b+c1*t; k(1,3)=-t; k(1,4)=bp+c2*t;
k(2,2)=kf+2*c1*b+c1*c1*t;k(2,3)=-(b+c1*t); k(2,4)=a+c1*bp+c2*b+c1*c2*t;
k(3,3)=t; k(3,4)=-(bp+c2*t); k(4,4)=kpf+2*c2*bp+c2*c2*t;
for i=1:3;
for j=i+1:4;
k(j,i)=k(i,j);
end
end
fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Viga: \n\n')
for i=1:4
for j=1:4
fprintf ('%10.3f', k(i,j))
end
fprintf('\n')
end
%---fin---
El programa que determina la matriz de rigidez de un elemento viga, considerando
nudos rígidos, se denomina: kviganr . La forma de uso y los datos de entrada son:
[k]=kviganr(b,h,c1,c2,L,E)
• b,h son la base y altura de la sección transversal del elemento.
• c1,c2 son la longitudes del nudo rígido, en el nudo inicial y final, respectivamente.
• L, E es la luz libre del elemento y el módulo de elasticidad.
Figura 4.5 Coordenadas globales para un elemento vertical, con dos sectores de rigidez infinita.
En la figura 4.5, se indica el sistema de coordenadas globales, de un elemento vertical,
en el cual se consideran dos sectores de rigidez infinita de longitudes c1, para el nudo inicial y
c2, para el nudo final. La matriz de rigidez del elemento, en este caso es la indicada en ( 4.6 ).
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
k=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++
+
++++++
−
+−−+−
tcbck
r
tcbt
tccbcbcatcbtcbck
rr
tcbttcbt
2
22
2
21211
2
11
21
'2'
0
'0
'02
000
)'(0)(0
( 4.6 )
Por facilidad de escritura se han presentado la matriz triangular superior de todas las
matrices de rigidez, pero en los respectivos programas se obtiene toda la matriz de rigidez.
Primero se han programado los elementos de la matriz triangular superior y después mediante
dos lazos se ha encontrado los elementos de la matriz triangular inferior, sabiendo que estas
matrices son simétricas, con respecto a la diagonal principal.
EL programa que determina la matriz de rigidez de un elemento columna, con nudos
rígidos es:
[k]=kcolumnanr(b,h,c1,c2,L,E)
• b,h son la base y altura de la sección transversal del elemento.
• c1,c2 son la longitudes del nudo rígido, en el nudo inicial y final, respectivamente.
• L, E es la luz libre del elemento y el módulo de elasticidad.
function [k]=kcolumnanr(b,h,c1,c2,L,E)
%
% Matriz de rigidez de un elemento columna con nudos rigidos
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI-ESPE
%---------------------------------------------------------------------------------
% [k]=kcolumnanr(b,h,c1,c2,L,E)
%---------------------------------------------------------------------------------
% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
% L: longitud del elemento.
% E: modulo de elasticidad del material
% beta: factor de forma se considera 1.2
G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L);
kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi));
kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L;r=E*area/L
k=zeros(6);
k(1,1)=t; k(1,3)=-(b+c1*t); k(1,4)=-t; k(1,6)=-(bp+c2*t);k(2,2)=r; k(2,5)=-r;
k(3,3)=kf+2*c1*b+c1*c1*t; k(3,4)=b+c1*t; k(3,6)=a+c1*bp+c2*b+c1*c2*t;
k(4,4)=t; k(4,6)=bp+c2*t; k(5,5)=r; k(6,6)=kpf+2*c2*bp+c2*c2*t;
for i=1:5;
for j=i+1:6;
k(j,i)=k(i,j);
end
end
fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Columna: \n\n')
for i=1:6
for j=1:6
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
fprintf ('%12.3f', k(i,j))
end
fprintf('\n')
end
%---fin---
4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
Se presenta en forma rápida, la forma como se obtiene la matriz de rigidez de una
estructura, orientada al cálculo de la matriz de rigidez lateral. Para el efecto se verá como se
obtiene la matriz de Coordenadas Generalizadas, CG; la matriz que contiene a los Vectores de
Colocación, VC, el ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura y finalmente el cálculo de
la matriz de rigidez lateral.
4.2.1 Coordenadas Generalizadas
Para ilustrar el cálculo de la matriz de Coordenadas Generalizadas, CG, en la figura 4.6
se ha dibujado un pórtico de 1 vano y dos pisos. Para el análisis sísmico se considera que
las vigas son axialmente rígidas, de tal forma que se tiene un solo desplazamiento lateral por
piso. Las columnas son totalmente flexibles. Con estas hipótesis se tiene que cada nudo
interior de un pórtico plano tiene dos grados de libertad que son: la componente de
desplazamiento vertical y la rotación. Además en cada piso se tiene un desplazamiento lateral.
Se puede numerar primero los dos grados de libertad de cada nudo interior y al final los
desplazamientos horizontales de piso, así se ha procedido en la figura 4.6. Se pudo también
numerar en primer lugar los desplazamientos horizontales de piso y al final los dos grados de
libertad de cada nudo.
Figura 4.6 Numeración de los nudos y grados de libertad.
A continuación se indica el programa CG, que obtiene los grados de libertad de un
pórtico plano en el que primero se numeran los dos grados de libertad por nudo
(desplazamiento vertical y giro) y posteriormente el desplazamiento horizontal por piso. La
forma para utilizar el programa es:
[CG]=cg(nod,np,nr)
• nod Número de nudos del pórtico plano.
• np Número de pisos del pórtico
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
• nr Número de nudos restringidos.
Con esta información de entrada el programa se ejecuta y empieza un dialogo entre el
programa, que hace preguntas y el usuario que suministra los datos.
Con la información del número de nudos, el programa genera una matriz de (nod,3)
llena de 1. El número de filas es igual al número de nudos y el número de columnas es igual a
3, que son los tres grados de libertad que tiene un nudo de un pórtico plano. La primera
columna define el desplazamiento horizontal, la segunda el desplazamiento vertical y la tercera
el giro. A esta matriz se ha denominado CG.
Posteriormente cuando se indica el número de nudos restringidos, se genera un lazo
en que el usuario debe responder, con letra minúscula, si el nudo restringido puede
desplazarse horizontalmente, verticalmente o si puede rotar. Para la estructura de la figura 4.6,
las dos primeras filas de la matriz CG que estaban con 1 se cambian por 0. Finalmente en la
última parte del programa se obtienen todos los grados de libertad. En resumen, los valores
que tiene la matriz CG, en cada etapa son:
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
8710
6510
439
219
000
000
111
111
111
111
000
000
111
111
111
111
111
111
function [CG]=cg(nod,np,nr)
%
% Programa para encontrar las coordenadas generalizadas
% orientado al calculo de la matriz de rigidez lateral
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI-ESPE
%-------------------------------------------------------------
% [CG]=cg(nod,np.nr)
%-------------------------------------------------------------
% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% nod Numero de nudos
% np Numero de pisos
% nr Numero de nudos restringidos
%
ngl=0; CG=ones(nod,3);
for i=1:np
fprintf ('Nudo mayor del piso, %d ',i)
nn(i)=input (' Numero del nudo:');end
% analisis de restricciones
for i=1:nr
nudres= input ('\n Numero del nudo restringido:');
X1 = input (' Desplazamiento en X ,si(s) o no(n):','s');
if X1=='n'
CG(nudres,1)=0;
else
ngl=ngl+1; CG(nudres,1)=ngl;
end
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Y1 = input (' Desplazamiento en Y ,si(s) o no(n):','s');
if Y1=='n'
CG(nudres,2)=0;
else
ngl=ngl+1; CG(nudres,2)=ngl;
end
R1 = input (' Rotacion ,si(s) o no(n):','s');
if R1=='n'
CG(nudres,3)=0;
else
ngl=ngl+1; CG(nudres,3)=ngl;
end
end
% grados de libertad
for i=1:nod
for j=1:2
if CG(i,j+1)~=0
ngl=ngl+1; CG(i,j+1)=ngl;
else,end
end
end
ico=0;ii=1;
for i=1:nod-nr
j=nr+i;
if ico==0
ngl=ngl+1; ico=1;
else, end
if j<=nn(ii)
CG(j,1)=ngl;
else,end
if j==nn(ii)
ico=0;ii=ii+1;
else,end
end
% ---end---
En la figura 4.7 se indica la entrada de datos, de la estructura de la figura 4.6, para el
programa CG. Al final se indica lo que reporta el programa. Cada fila de CG contiene la
información de los grados de libertad de un nudo.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 4.7 Uso de programa CG para la estructura de la figura 4.6
4.2.2 Vector de Colocación
El Vector de Colocación de cada elemento, está conformado por los grados de libertad
del nudo inicial y del nudo final, escritos en el siguiente orden: primero, el desplazamiento
horizontal; segundo, el desplazamiento vertical y tercero, el giro.
En la figura 4.8, a la izquierda, se indica la numeración de los nudos y a la derecha, de
los elementos de la estructura de 2 pisos y 1 vano. La identificación del nudo inicial y del nudo
final de un elemento, es arbitraria. Sin embargo, se recomienda que en columnas el nudo inicial
sea el que se halla abajo y el nudo final el que se halla arriba; para vigas, se recomienda que el
nudo inicial este a la izquierda y el nudo final a la derecha del elemento. Al aplicar esta
recomendación, se tienen los valores indicados en la tabla 4.1 para la ubicación del nudo inicial
y final.
Figura 4.8 Numeración de nudos y elementos.
function [VC]=vc(mbr,ncol,CG)
%
% Programa para encontrar el vector de colocacion de porticos planos
% orientado al calculo de la matriz de rigidez lateral
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI-ESPE
%-------------------------------------------------------------
% [VC]=vc(mbr,ncol,CG)
%-------------------------------------------------------------
% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% VC Vector de colocacion
% mbr Numero de miembros
% ncol Numero de columnas
%
% Informacion de elementos
for i=1:mbr
if i<=ncol
fprintf ('\n Columna %d:',i);
ini(i)=input ('\nNumero nudo inicial:');
fin(i)=input ('Numero nudo final:');
else
fprintf ('\n viga %d:',i);
ini(i)=input ('\nNumero nudo inicial:');
fin(i)=input ('Numero nudo final:');
end
end
% Arreglo VC. Vectores de colocacion
for i=1:mbr
for k=1:3
VC(i,k)= CG(ini(i),k);
VC(i,k+3) = CG(fin(i),k);
end
end
fprintf(' \n Vectores de colocacion de los elementos \n')
for i=1:mbr
for k=1:6
fprintf('%7d',VC(i,k))
end
fprintf( '\n')
end
% ---fin---
Tabla 4.1 Identificación del nudo inicial y final de los elementos.
Elemento 1 2 3 4 5 6
Nudo Inicial 1 2 3 4 3 5
Nudo Final 3 4 5 6 4 6
Con la información de la tabla 4.1 y con la matriz de Coordenadas Generalizadas, se
hallan los Vectores de Colocación, que son:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]87106510)6(
439219)5(
8710439)4(
6510219)3(
439000)2(
219000)1(
=
=
=
=
=
=
VC
VC
VC
VC
VC
VC
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
El programa que obtiene el vector de colocación se ha denominado VC y la entrada de
datos es la siguiente:
[VC]=vc(mbr,ncol,CG)
• mbr Número de elementos del pórtico.
• ncol Número total de columnas.
• CG Matriz que contiene las coordenadas generalizadas de cada elemento.
Cuando se ejecuta VC el usuario por pantalla debe indicar al programa el nudo inicial y
el nudo final de cada uno de los elementos de la estructura.
4.2.3 Ensamblaje directo
Una vez que se tiene determinado el Vector de Colocación de cada uno de los
elementos, se procede al cálculo de la matriz de rigidez de la estructura, para lo cual en un
gran lazo que va de 1 al número total de elementos (mbr) se halla la matriz de rigidez del
elemento k , sea este viga o columna. Luego se realiza el ensamblaje utilizando el vector de
colocación como se lo indica en el diagrama de flujo indicado en la figura 4.9. Se ha
denominado SS a la matriz de rigidez de la estructura. En el libro Análisis Matricial de
Estructuras, Aguiar (2004), se presenta el fundamento teórico del ensamblaje directo, con una
serie de ejemplos.
El programa klateral obtiene la matriz de rigidez de la estructura, que se ha visto en
este subapartado y en la última parte del programa determina la matriz de rigidez lateral, que
se estudiará en el próximo apartado. La forma de uso de este programa, es:
[KL]=klateral(E)
• E Es el módulo de elasticidad del material.
Cuando se ejecuta el programa, a más de los datos ya indicados para encontrar las
Coordenadas Generalizadas y el Vector de Colocación, el usuario deberá indicar por pantalla,
la base, la altura de la sección transversal; las longitudes del nudo rígido inicial y final y la luz
libre.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 4.9 Diagrama de flujo para encontrar la matriz de rigidez
function [KL]=klateral(E)
%
% Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI-ESPE
%-------------------------------------------------------------
% [KL]=klateral(E)
%-------------------------------------------------------------
% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% VC Vector de colocacion
% E Modulo de elasticidad del material
% SS Matriz de rigidez de la estructura
% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
% long: longitud del elemento.
%
nod=input('\n Numero de nudos:');
np=input(' Numero de pisos:');
nr=input(' Numero de nudos restringuidos:');
[CG,ngl]=cg1(nod,np,nr);
mbr=input('\n\n Numero de miembros:' );
ncol=input('\n Numero de columnas:');
[VC]=vc1(mbr,ncol,CG)
for i=1:mbr
if i<=ncol
fprintf ('\n Columna %d:',i);
B(i)=input ('\n Base:'); H(i)=input ('Altura:'); L(i)=input ('Luz libre:');
C1(i)=input ('Longitud de nudo rigido inicial:');
C2(i)=input ('Longitud de nudo rigido final:');
else
fprintf ('\n viga %d:',i);
B(i)=input ('\n Base:'); H(i)=input ('Altura:'); L(i)=input ('Luz libre:');
C1(i)=input ('Longitud de nudo rigido inicial:');
Roberto AguiarFalconí
CEINCI-ESPE
C2(i)=input ('Longitud de nudo rigido final:');
end
end
% Calculo de la matriz de rigidez de la estructura
SS=zeros(ngl,ngl);
for i=1:mbr
b=B(i);h=H(i);c1=C1(i);c2=C2(i);long=L(i);
if i<=ncol
[k]=kcnr(b,h,c1,c2,long,E);
else
[k]=kvnr(b,h,c1,c2,long,E);
end
for j=1:6
jj=VC(i,j);
if jj==0
continue
end
for m=1:6
mm=VC(i,m);
if mm==0
continue
end
SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m);
end
end
end
% Matriz de rigidez lateral
na=ngl-np;nb=np;
Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl);
KL=Kbb-Kba*inv(Kaa)*Kab;
fprintf ('\n Matriz de rigidez lateral :')
for i=1,np;
for j=1,np;
fprintf ('%12.3f', KL(i,j))
end
fprintf('\n')
end
%---fin---
Al final del capítulo se presenta la rutina KVNR que se indica en el programa
KLATERAL, tiene la particularidad de que se usa el artificio, mediante el cual la matriz de
rigidez de un elemento viga es de 6x6 para poder realizar el ensamblaje directo en la forma
indicada en el programa. La otra rutina que se utiliza es KCNR pero esta se obtiene
eliminando las impresiones de la rutina KCOLUMNANR.
En el diagrama de flujo presentado se arma toda la matriz de rigidez de la estructura,
pero esto no es necesario, se puede obtener solo la matriz triangular superior en forma de
vector, etc. En el libro indicado anteriormente se presenta amplia información al respecto.
• EJEMPLO 3
Hallar la matriz de rigidez de la estructura indicada en la figura 4.10, considerando
nudos rígidos. Todos los elementos son de 30/30. Se consideran los mismos valores de E y G,
de los ejemplos anteriores.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 4.10 Geometría y grados de libertad de pórtico plano, utilizado en ejemplo.
• SOLUCIÓN
En este ejercicio, primero se ha numerado el desplazamiento horizontal de piso y
después los restantes dos grados de libertad por nudo. Contrario a la forma como se realizó el
programa klateral, de tal manera que la matriz de rigidez de la estructura que se obtendrá en el
presente ejercicio es diferente a la que se halla con el programa klateral debido a que los
grados de libertad son diferentes. En realidad los valores son los mismos pero están en
diferentes posiciones.
La matriz de rigidez lateral, que está asociada solo a la componente de desplazamiento
horizontal de piso, si es la misma.
Sea la columna izquierda, el elemento número 1, la viga el 2 y la columna derecha el 3.
Los vectores de colocación de estos elementos, son:
[ ]
[ ]
[ ]5432
541000
321000
)2(
)3(
)1(
=
=
=
VC
VC
VC
Nótese que el vector de colocación del elementos dos, tiene cuatro elementos, debido
a que la matriz de rigidez del elemento es de 4X4. En el programa klateral, se utilizó un artificio
para convertir la matriz de 4X4 en una de 6X6 y consistió en colocar ceros en la primera y
cuarta fila y en la primera y cuarta columna, de esta nueva matriz, como se observa en el
programa. De esta manera se tiene una sola forma de ensamblar la matriz de rigidez.
La matriz de rigidez del elemento dos, se indicó en el ejemplo 2 y la de los elementos
uno y tres, al aplicar ( 4.6 ), se obtiene:
k=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
02.2797
053.80425
72.1655060.1249
28.1342028.146842.2328
053.804250053.80425
72.1655060.124928.1468060.1249
Al efectuar el ensamblaje directo de la matriz de rigidez de la estructura, se obtiene:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
k=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
40.4497
64.65885.80754
17.93464.65840.4497
64.65832.32964.65885.80754
72.1655072.1655020.2499
4.3 CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
En la figura 4.11, se presenta nuevamente la estructura, de un vano y un piso, que se
ha venido analizando y cuyos grados de libertad se indicaron en la figura 4.10. Ahora, con línea
más gruesa se indica el desplazamiento horizontal y con líneas menos gruesa los restantes
grados de libertad. Lo importante es notar que se separan los grados de libertad.
En el sistema de coordenadas de una estructura, se puede diferenciar un grupo de
coordenadas a las que se denomina ”coordenadas a'', que en el ejemplo de la figura 4.7 es la
uno y las restantes, a las que se denomina "coordenadas b''. Con esto, tanto el vector de
cargas generalizadas Q, como el vector de coordenadas generalizadas q , están particionados
de la siguiente forma:
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
b
a
Q
Q
Q ( 4.7.1)
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
b
a
q
q
q ( 4.7.2)
Figura 4.11 Coordenadas "a" y "b", de estructura ejemplo.
Por otra parte, la ecuación básica de análisis estático, que relaciona el vector de cargas
generalizadas Q, con el vector de coordenadas generalizadas q, por medio de la matriz de
rigidez de la estructura K, es:
qKQ = ( 4.8 )
Al reemplazar ( 4.7.1 ) y ( 4.7.2 ) en ( 4.8 ) y al trabajar con submatrices, la matriz de
rigidez de la estructura, también estará particionada, de la siguiente forma:
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
b
a
bbba
abaa
b
a
q
q
kk
KK
Q
Q
( 4.9 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
La condensación estática de la matriz de rigidez se da cuando Qa o Qb son ceros, los
dos casos se desarrollan a continuación:
4.3.1 Condensación a las coordenadas "a"
Este caso se presenta cuando el vector Qb=0.
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
b
a
bbba
abaaa
q
q
kk
KKQ
0
de donde:
bbbaba
babaaaa
qKqK
qKqkQ
+=
+=
0
luego:
ababbb qKkq
1−−= ( 4.10.1 )
ababbabaaa qKKKKQ )(
1−−= ( 4.10.2 )
Sea K* la matriz de rigidez condensada a las coordenadas "a".
babbabaa KKKKK
1* −−= ( 4.10.3 )
4.3.2 Condensación a las coordenadas "b"
Se presenta cuando el vector de cargas Qa=0. Procediendo en forma similar se
obtiene:
babaaa qKkq
1−−= ( 4.11.1 )
babaababbb qKKKKQ )(
1−−= ( 4.11.2 )
Sea K+ la matriz de rigidez condensada a las coordenadas "b".
abaababb KKKKK
1−+ −= ( 4.11.3 )
La ecuación (4.11.3) es la que se utilizó en el programa klateral. En MATLAB como
ya se cuentan con rutinas definidas es muy sencillo determinar las submatrices. El cálculo de la
matriz de rigidez lateral se encuentra en la parte final del programa.
• EJEMPLO 4
Encontrar la matriz de rigidez condensada a la coordenada lateral 1, indicada enla
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
figura 4.11. Que corresponde a la estructura de la figura 4.10, del ejemplo anterior.
• SOLUCIÓN
En este caso, la partición de la matriz de rigidez de la estructura K se la realiza en la
primera fila y primera columna, toda vez que existe una sola "coordenada a". Por lo tanto las
submatrices, son:
[ ]
[ ]72.1655072.16550
20.2499
=
=
ab
aa
K
K
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
40.4497
64.65885.80754
17.93464.65840.4497
64.65832.32964.65885.80754
bbK
La submatriz Kba es la transpuesta de la submatriz Kab. Para aplicar la ecuación
(4.10.3) es necesario calcular la inversa de Kbb.
51 10
27.23
1501.0241.1
790.41501.027.23
1501.00026.01501.024.1
−− ×
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=bbK
[ ]
]772.1485[*
*
428.1013
1
1
=
−=
=
−
−
K
KKKKK
KKK
babbabaa
babbab
4.4 CONDENSACIÓN MEDIANTE SOLUCIÓN DE ECUACIONES
El trabajar con la ecuación (4.10.3) o con la ecuación (4.11.3) implica calcular una
matriz inversa, lo cual demanda bastante tiempo de cálculo, si se piensa en estructuras de
algunos pisos. Razón por la cual, en la práctica, se transforma el cálculo de la matriz inversa
por un sistema de ecuaciones lineales, como se ve a continuación.
4.4.1 Caso en que Qb = 0
En la ecuación ( 4.10.3 ) se realiza, se define la matriz T de la siguiente manera:
babb KKT
1−−= ( 4.12.1 )
Al multiplicar ambos lados de la ecuación ( 4.12.1 ) por Kbb, se obtiene:
babb KTK −= ( 4.12.2 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Para encontrar la matriz T, se debe resolver un conjunto de ecuaciones lineales, cuya
matriz de coeficientes es la submatriz Kbb y los términos independientes son las diferentes
columnas de la submatriz Kba.
Con el cambio de variable realizado, la ecuación ( 4.10.3 ) se transforma en:
TKKK abaa +=* ( 4.12.3 )
• EJEMPLO 5
Encontrar la matriz de rigidez condensada del ejercicio anterior, por intermedio de la
matriz T.
• SOLUCIÓN
Al sustituir las submatrices, del ejemplo anterior en ( 4.12.2 ), se obtiene:
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−
−
−
72.1655
0
72.1655
0
40.449764.65817.93464.658
64.65885.8075464.65832.329
17.93464.65840.449764.658
64.65832.32964.65885.80754
41
31
21
11
T
T
T
T
La solución del sistema de ecuaciones lineales, reporta
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−=
30599.0
00497.0
30605.0
00497.0
T
]772.1485[*
*
]428.1013[
=
+=
=
K
TKKK
TK
abaa
ab
4.4.2 Caso en que Qa= 0
Se procede en forma similar al indicado en el apartado ( 4.3.1 ), con lo que se obtiene:
abaa KKT
1−−= ( 4.13.1 )
TKKK babb +=+ ( 4.13.2 )
abaa KTK −= ( 4.13.3 )
Ahora, la matriz T se obtiene resolviendo un conjunto de ecuaciones lineales que
tienen una sola matriz de coeficientes que es Kaa pero diferentes términos independientes que
son las diferentes columnas de la matriz kab.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
4.5 CONDENSACIÓN MEDIANTE ELIMINACIÓN DE GAUSS
Si bien es cierto, mediante la solución de un conjunto de ecuaciones lineales, se
optimiza la obtención de la matriz de rigidez condensada. No es menos cierto, que todavía se
puede optimizar el proceso de cálculo únicamente triangularizando la matriz de rigidez, tema
que se trata a continuación y es válido únicamente para el caso de que Qa= 0.
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
b
a
bbba
abaa
b q
q
kk
KK
Q
0
de donde:
babaaa qKqk +=0 ( 4.14.1 )
bbbabab qKqKQ += ( 4.14.2 )
Si a la ecuación ( 4.14.1 ) multiplicamos por Kaa-1, y en ésta se reemplaza la ecuación
(4.13.1), se obtiene:
babaaa qKKqI
10 −+=
ba qTqI −=0 ( 4.14.3 )
Ahora, si a la ecuación ( 4.14.3 ) multiplicamos por -Kba y sumamos a la ecuación
(4.14.2 ) se encuentra:
( ) bbabbab qTKKqQ ++= 0 ( 4.14.4 )
De acuerdo a ( 4.13.2 ), la ecuación entre paréntesis es la matriz de rigidez
condensada K+.
bab qKqQ
++= 0 ( 4.14.5 )
Al reescribir en forma matricial las ecuaciones ( 4.14.3 ) y ( 4.14.5 ) se halla.
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
b
a
b q
q
K
TI
Q 0
0
( 4.14.6 )
Por consiguiente, dada la matriz de rigidez total, se aplica la eliminación de Gauss
Jordan hasta eliminar los elementos correspondientes a las coordenadas "a" y lo que se
obtienen son las matrices T y K+.
• EJEMPLO 6
Encontrar la matriz de rigidez condensada, de la estructura de un piso y un vano, de la
estructura de los ejemplos 4 y 5, pero aplicando la eliminación de Gauss Jordan.
• SOLUCIÓN
Primero se debe encontrar la matriz de rigidez de la estructura, para la nueva
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
numeración de los grados de libertad, que se indican en la figura 4.12. Nótese que la
coordenada lateral, se ha numerado al último.
Figura 4.12 Numeración de los grados de libertad para eliminación de Gauss Jordan.
k =
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
20.2499
72.165540.4497
064.65885.80754
72.165517.93464.65840.4497
064.65832.32964.65885.80754
Al triangularizar la matriz de rigidez, se obtiene:
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
772.14850000
31116.01000
0030.000645.0100
368591.0206764.0146027.010
000000.0008156.0004078.0008156.01
Finalmente, al llevar a la forma de la ecuación ( 4.14.5 ), se encuentra:
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
772.14850000
31116.01000
0030.00100
368591.00010
000000.00001
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Los valores de las cuatro primeras filas de la quinta columna, corresponden a -T, la
diferencia que existe es debido al redondeo. El último valor es la matriz de rigidez condensada
a la coordenada lateral, de la estructura analizada.
...Para fines prácticos la matriz de rigidez se obtiene únicamente de la etapa de
triangularización y no necesariamente deben ser unos los elementos de la diagonal...
4.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL
Se define ...matriz de rigidez lateral, KL... a la matriz de rigidez asociada a las
coordenadas laterales de piso. Cuando en el análisis sísmico de pórticos planos se considera
un solo grado de libertadpor piso, a este modelo se denomina ...piso rígido... y sirve
únicamente para el análisis ante la componente horizontal de movimiento del suelo.
Existen dos formas de modelar los elementos de un pórtico plano, ante la acción
sísmica horizontal. En la primera forma se considera que únicamente las vigas son axialmente
rígidas y las columnas totalmente flexibles. En cambio, en la segunda forma se considera que
todos los elementos son axialmente rígidos. El pórtico analizado en los numerales anteriores
corresponde a la primera forma de cálculo.
En la figura 4.9, se indican los dos modelos anotados, para un pórtico plano de dos
pisos y dos vanos. El modelo de la izquierda, corresponde a la primera forma de cálculo y el de
la derecha a la segunda forma de cálculo. En el pórtico de la izquierda se nota que solo las
vigas son axialmente rígidas; en cambio, en el de la derecha todos los elementos son
axialmente rígidos.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 4.9 Modelos de cálculo para determinar la matriz de rigidez lateral.
4.6.1 Vigas axialmente rígidas
Para este modelo de cálculo, las matrices de rigidez de los elementos: viga y columna,
orientados al análisis en el computador, se indicó en el apartado 4.1, razón por la cual se omite
el marco teórico y únicamente se presenta un ejemplo de cálculo.
• EJEMPLO 7
Para el pórtico plano indicado en la figura 4.10, cuyas vigas son de 30/30 y las
columnas de 30/40. Se desea encontrar la matriz de rigidez lateral, considerando que solo las
vigas son axialmente rígidas. A la derecha de la figura 4.10, se indica la numeración de los
elementos. Por otra parte, el módulo de elasticidad E = 2173706.5 T/m2 y no se considera
nudos rígidos.
Figura 4.10 Geometría del pórtico y numeración de elementos.
• SOLUCIÓN
En la figura 4.11, se indica a la izquierda los grados de libertad del pórtico de la figura
4.10, al considerar que solo las vigas son axialmente rígidas. Se ha numerado primero los
corrimientos laterales de piso y luego los restantes grados de libertad, de tal manera que no se
aplicará la triangularización de Gauss. A la derecha de la figura 4.11, se presentan las
Roberto Aguiar Falconí
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coordenadas laterales de piso.
Figura 4.11 Grados de libertad, considerando vigas axialmente rígidas y coordenadas laterales.
La matriz de rigidez es de 14 por 14; la submatriz Kaa es de 2 por 2, la Kab de 2 por 12;
la Kbb es de 12 por 12 y la Kba de 12 por 2. En forma resumida, las operaciones matriciales son:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=− −
50.528607.3558
07.355864.4477
15.801315.8013
15.801330.160261
babbabaa KKKK
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
65.272608.4455
08.445566.11548
LK
4.6.2 Vigas y columnas axialmente rígidas
Cuando todos los elementos de un pórtico plano, conformado por vigas y columnas, se
consideran axialmente rígidos, se disminuye notablemente el número de grados de libertad y el
cálculo es más rápido. Para el caso de que no se considere nudo rígido, las matrices de
rigidez, son:
• Elemento viga
Figura 4.12 Coordenadas globales para un elemento viga, axialmente rígido.
k = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
'ka
ak
( 4.15 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
La ecuación ( 4.15 ) se encuentra de la ecuación ( 4.1 ), eliminando la primera y tercera
columna, y, la primera y tercera fila. El sistema de coordenadas asociado con la ecuación
(4.15) se indica en la figura 4.12.
Figura 4.13 Coordenadas globales para un elemento columna, axialmente rígido.
• Elemento columna
k =
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−−−
'''
'
'
kbab
btbt
abkb
btbt
( 4.16 )
Si en la ecuación ( 4.3 ), se elimina la segunda y quinta fila, por un lado, y se elimina la
segunda y quinta columna, por otro lado, se obtiene la ecuación ( 4.16 ) que es la matriz del
elemento columna para el sistema de coordenadas globales indicado en la figura 4.13.
• EJEMPLO 8
Con relación al pórtico plano de la figura 4.10. Encontrar la matriz de rigidez lateral,
considerando que todos los elementos son axialmente rígidos.
• SOLUCIÓN
En la figura 4.14, a la izquierda se indica los grados de libertad del pórtico, cuando
todos los elementos son axialmente rígidos. Existe un corrimiento horizontal en cada piso y una
rotación en cada uno de los nudos. A la derecha de la figura 4.14, se muestran las
coordenadas laterales para las cuales se determina la matriz de rigidez lateral.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 4.14 Grados de libertad, considerando que todos los elementos son axialmente rígidos
y coordenadas laterales.
• Matriz de rigidez del elemento viga.
k = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
22.130411.652
11.65222.1304
• Matriz de rigidez del elemento columna.
k =
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−−−
69.556481.333834.278281.3338
81.333805.267181.333805.2671
34.278281.333869.556481.3338
8132.333805.267181.333805.2671
• Vectores de colocación VC, de las vigas.
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]87
76
54
43
10
9
8
7
=
=
=
=
VC
VC
VC
VC
• Vectores de colocación VC, de las columnas.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]8200
7200
6200
5100
4100
2100
6
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
=
VC
VC
VC
VC
VC
VC
• Submatrices Kaa, Kab, Kbb
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
152.8013152.8013
152.8013303.16026
aaK
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−−=
813.3338813.3338813.3338813.3338813.3338813.3338
813.3338813.3338813.3338000
abK
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
913.6868112.6520344.278200
112.652136.8173112.6520344.27820
0112.652913.686800344.2782
344.278200726.10207112.6520
0344.27820112.65283.13737112.652
00344.27820112.652601.12433
bbK
• Matriz de rigidez lateral
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=− −
492.5358309.3509
309.3509582.4516
15.801315.8013
15.801330.160261
babbabaa KKKK
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
658.2654841.4503
841.4503718.11509
LK
Se han presentado dos modelos para el cálculo de la matriz de rigidez lateral, el
primero es más adecuado pero demanda de una mayor cantidad de números. En estructuras
esbeltas es necesario considerar la deformación axial en los elementos, si la relación alto-
ancho en planta, es mayor que tres se debe considerar la deformación axial.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 4.15 Significado físico de los elementos de la primera columna de la matriz de rigidez, para el
primer modelo de cálculo.
En la figura 4.15 se indica el significado físico de los elementos de la primera columna
de la matriz de rigidez lateral, para el primer modelode cálculo. Se aprecia que son las fuerzas
que producen un desplazamiento unitario en el primer piso y nulo en el segundo piso.
En el programa KLATERAL se utilizan dos rutinas que no han sido indicadas la una es
la que obtiene la matriz de rigidez de elemento, en vigas, denominada KVNR y la otra la que
obtiene la matriz de rigidez de elemento, en columnas. En el ensamblaje de la matriz de rigidez
que se utiliza en el programa KLATERAL, se trabaja con matrices de 6 x 6 para los elementos
pero al considerar que la viga es axialmente rígida, esta matriz es de 4 x 4 razón por la cual se
utiliza un artificio en el programa KVNR para que sea de 6 x 6.
function [k]=kvnr(b,h,c1,c2,L,E)
%
% Matriz de rigidez de un elemento viga con nudos rigidos
% Se usa para el calculo de la matriz de rigidez de la estructura
% Se la completa a 6X6 con ceros en la primera y cuarta fila.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI-ESPE
%--------------------------------------------------------------------
% [k]=kvnr(b,h,c1,c2,L,E)
%--------------------------------------------------------------------
% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
% c1 longitud del nudo rigido en el nudo inicial.
% c2 longitud del nudo rigido en el nudo final.
% L: longitud del elemento de borde a borde sin los nudos rigidos
% E: modulo de elasticidad del material
% beta: factor de forma se considera 1.2
G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L);
kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi));
kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L;
k=zeros(6,6);
k(2,2)=t; k(2,3)=b+c1*t; k(2,5)=-t; k(2,6)=bp+c2*t;
k(3,3)=kf+2*c1*b+c1*c1*t; k(3,5)=-(b+c1*t); k(3,6)=a+c1*bp+c2*b+c1*c2*t;
k(5,5)=t; k(5,6)=-(bp+c2*t); k(6,6)=kpf+2*c2*bp+c2*c2*t;
for i=1:5;
for j=i+1:6;
k(j,i)=k(i,j);
end
end
%fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Viga: \n\n')
%for i=1:4
% for j=1:4
% fprintf ('%10.3f', k(i,j))
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
% end
% fprintf('\n')
%end
%---fin---
No se indica la rutina KCNR por que esta se obtiene de la rutina KCOLUMNANR
suprimiendo las instrucciones de impresión.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
CAPÍTULO 5
MATRIZ DE MASAS
RESUMEN
Se presenta el marco teórico para el cálculo de la matriz de masas, orientado al
análisis sísmico de estructuras, en el plano y en el espacio. Se inicia el capítulo calculando la
energía cinética de las estructuras y de este cálculo se encuentra la matriz de masas. Por la
importancia del tema se obtiene la matriz de masas en dos sistemas de coordenadas diferentes
y se ve la relación que existe entre estas dos matrices, empleando la matriz de transformación
de coordenadas.
Posteriormente se presentan reglas prácticas de cómo obtener la matriz de masas para
el análisis plano considerando piso rígido y considerando piso flexible. De igual forma se
presenta una regla práctica para hallar la matriz de masas para el análisis espacial
considerando tres grados de libertad por planta. Por considerarlo didáctico se presenta el
cálculo de la matriz de masas para una estructura en forma de péndulo invertido considerando
la interacción suelo estructura.
5.1 ENERGÍA CINÉTICA
La energía cinética de una estructura T es igual a la energía cinética de traslación
más la energía cinética de rotación.
2.
2
2
1
2
1 θJvmT +=
Donde m es la masa, v es la velocidad lineal de traslación, J es el momento de
inercia de la masa y
.θ es la velocidad angular.
( 5.1 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
• EJEMPLO 1
Calcular la energía cinética de la estructura mostrada en la figura 5.1, si se desprecia el
momento de inercia de las masas concentradas.
• SOLUCIÓN
Por ser las columnas axialmente rígidas, no existe desplazamiento vertical en los
nudos. Por lo tanto, el sistema tiene cuatro grados de libertad, que son los corrimientos
horizontales y rotación de los nudos. Ahora, como se desprecia la inercia rotacional de las
masas, las coordenadas principales, serán los desplazamientos horizontales y las
coordenadas secundarias, serán los giros.
Figura 5.1 Pórtico plano con masas puntuales en los nudos.
A las coordenadas principales se las identifica con la letra q y a las coordenadas
secundarias con la letra s , como se aprecia a la izquierda de la figura 5.2. A la derecha de la
mencionada figura, únicamente se colocan las coordenadas principales, debido a que la
solución dinámica se realiza para las coordenadas principales.
En la deformada, que se ha dibujado a la izquierda de la figura 5.2, se recuerda que en
los nudos se cumple que la rotación de la columna es igual a la rotación de la viga. De igual
manera que en el empotramiento no hay giros.
Figura 5.2 Coordenadas principales q y secundarias s .
La energía cinética T será igual a:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +=+=
2
2
.
2
2
1
.
1
2
2
.
2
2
1
.
1 2
1
2
1
2
1 qmqmqmqmT
Siendo 1
.
q la velocidad de traslación horizontal de la masa 1m y 2
.
q la velocidad de
traslación horizontal de la masa 2m .
5.2 REGLA DE CÁLCULO DE LA MATRIZ DE MASAS
Para sistemas de varios grados de libertad, la energía cinética se puede escribir en
forma matricial de la siguiente manera:
=T ..
2
1 qMq
t
Donde
.
q es el vector de velocidades y M es la matriz de masas, que es simétrica,
con respecto a la diagonal principal y todos los elementos de la diagonal son positivos.
Para deducir la regla práctica, de cálculo de la matriz de masas M , y, para no alargar
la exposición se considera un sistema de dos grados de libertad. En consecuencia, se tendrá:
=
.
q
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
2
.
1
.
q
q
M ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
mm
mm
Al reemplazar el vector
.
q y la matriz de masas M en la ecuación ( 5.2 ) y teniendo
presente que 1221 mm = se tiene:
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2
.
1
.
2221
1211
2
.
1
.
2
1
q
q
mm
mm
qqT
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++=
2
.
1
.
2
.
221
.
122
.
211
.
112
1
q
q
qmqmqmqmT
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ++=
2
2
.
222
.
1
.
12
2
1
.
11 22
1 qmqqmqmT
Luego, la regla práctica para encontrar la matriz de masas, es la siguiente:
i. Encontrar la energía cinética de la estructura y sacar factor común
2
1
.
ii. Los elementos de la diagonal principal son los coeficientes de
2.
iq .
iii. Los elementos que están fuera de la diagonal, son simétricos y por ejemplo, para el
término, ijm vale ji qq
..
2
1
.
( 5.2 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Al aplicar la regla indicada a laestructura indicada en la figura 5.1, que se encontró la
energía cinética en el apartado anterior se tiene que la matriz de masas es:
=M ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
0
0
m
m
5.3 REGLA DE CÁLCULO DE LA ENERGÍA CINÉTICA
Para facilitar el cálculo de la energía cinética T de una estructura, se recomienda el
siguiente procedimiento:
i. Seleccionar las coordenadas principales de la estructura.
ii. Encontrar los desplazamientos y giros en el centro de masas.
iii. Hallar el diagrama de distribución de velocidades.
iv. Calcular la Energía Cinética y sacar factor común 2/1 .
• EJEMPLO 2
Encontrar la matriz de masas para la estructura de la figura 5.3; las masas se
encuentran distribuidas en todo el piso, el mismo que se considera totalmente rígido.
Adicionalmente dos columnas son axialmente rígidas.
• SOLUCIÓN
Se recomienda la lectura del libro: “Análisis Matricial de Estructuras”, Aguiar (2004),
antes de realizar el ejercicio.
La estructura tiene 4 grados de libertad, se recuerda que los elementos ∞=A
disminuyen un grado de libertad y que los elementos ∞=I disminuyen dos grados de
libertad. Luego el número de grados de libertad es igual a 42*21*43*4 =−− . Los nudos
interiores tienen tres grados de libertad, de ahí el primer producto. En la figura 5.4 se indica el
sistema de coordenadas generalizadas, para el ejemplo, son todas coordenadas principales.
Se destaca que las coordenadas principales son aquellas que se necesitan para definir la
posición de las masas.
El centro de masas se halla en 2/L debido a que el elemento es de sección constante
y la masa está uniforme distribuida. Por lo tanto, se debe hallar los desplazamientos y giros en
2/L , para el efecto es conveniente dibujar una deformada general y obtener los corrimientos y
giros en el centro de masa.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 5.3 Pórtico plano con piso rígido.
Si resulta complicada la determinación de los desplazamientos y giros a partir de la
deformada general, se puede construir las deformadas elementales, e ir viendo para cada una
de ellas, los desplazamientos y giros, en el centro de masa. Luego, se aplica el principio de
superposición, que no es más que sumar los resultados parciales.
En la figura 5.5, a la izquierda, se presentan los desplazamientos y giros en el centro
de masa. El diagrama de distribución de velocidades son estos desplazamientos y giros pero
con velocidades, este diagrama se indica a la derecha de la figura 5.5.
Figura 5.4 Grados de libertad de estructura analizada.
En el diagrama de velocidades, del segundo piso, se ha sumado las dos velocidades verticales:
222
4
.
2
.
4
.
2
.
4
. qLqL
L
q
qq +=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−+
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
El momento de inercia de un elemento de longitud L y con masa uniforme distribuida es:
12
2LmJ =
Figura 5.5 Desplazamientos y giros en centro de masa y diagrama de distribución de velocidades.
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
++=
2
2
.2
2
2
2
.
2
1
.
2
2.
4
2
.2
1
2
4
..
2
2
3
.
1
1222
1
12222
1
qLm
Lq
qm
L
qqLm
qLqqmT
El primer término corresponde a la energía cinética de traslación y el segundo a la
energía cinética de rotación, tanto para la masa del segundo piso como para la masa del primer
piso. Así mismo, se aprecia que se ha calculado la velocidad lineal resultante, cuando se tienen
dos componentes de velocidad.
Luego de algunas simplificaciones y agrupar términos, se tiene:
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧ +++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++= 4
.
2
.
1
2
4
.
1
2
3
.
1
2
2
.2
2
2
1
2
1
.
2 6
2
3332
1 qqLmqmqmqLmLmqmT
Al aplicar la regla indicada en el apartado anterior, se tiene:
( 5.3 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
0
6
0
3
0
0
33
0
3113
1
24
2112
1
44
4114133
3223
2
2
2
1
22
4334211
===
===
===
==+=
===
mmLmm
mmmm
mmmm
mmLmLmm
mmmm
Se escribe solo la matriz triangular inferior, debido a que la matriz de masas es
simétrica.
=M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
3
0
6
0
00
33
0
11
1
2
2
2
1
2
mLm
m
LmLm
m
5.4 MATRIZ DE PASO
En la figura 5.6 se tiene a la izquierda un pórtico cuyo piso es totalmente rígido y la
masa está repartida en toda su longitud. La estructura tiene tres grados de libertad, en la parte
central se han indicado una opción de la ubicación de los grados de libertad y en el extremo
derecho se tiene otra opción. Como son dos sistemas diferentes se han denominado sistemas
qQ − y ∗∗ − qQ , siguiendo la nomenclatura del libro “Análisis Matricial de Estructuras”,
Aguiar (2004). La letra mayúscula define el vector de cargas generalizadas y la minúscula el
vector de coordenadas generalizadas o coordenadas principales.
Sea, M la matriz de masas en el sistema de coordenadas qQ − y ∗M la matriz de
masas en el sistema ∗∗ − qQ .
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 5.6 Dos sistemas de coordenadas principales
Se define la matriz de paso T que permite pasar del sistema qQ − al sistema
∗∗ − qQ , de la siguiente manera:
∗= qTq
Se demuestra ahora, que:
TMTM t=∗
• DEMOSTRACIÓN
La energía cinética T (sin negrilla) es igual a:
=T ..
2
1 qMq
t
Al reemplazar ( 5.4 ) en esta expresión se tiene:
=T ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ∗∗ ..
2
1 qTMqT
t
Luego:
2
1=T ( ) ∗∗ .. qTMTq tt
De donde:
TMTM t=∗
Se deja al lector, que demuestre que la matriz de masas, para el sistema de
coordenadas de la mitad de la figura 5.6 es:
( 5.4 )
( 5.5 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
=M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
32
0
2
0
00
2mLmL
mLm
m
Cuando las coordenadas se consideran en el centro de masa, sistema de la derecha
de la figura 5.6, se obtiene:
=∗M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
12
00
00
00
2mL
m
m
En la figura 5.7 se presentan las deformadas elementales con las cuales se encuentra
la matriz de paso T . La matriz T se obtiene dibujando las deformadas elementales en el
sistema ∗q y se mide en el sistema q . Al proceder de esta manera se obtiene.
=T
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
100
2
10
001
L
Figura 5.7 Deformadas elementales
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
∗M
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
12
00
00
00
100
2
10
001
32
0
2
0
00
1
2
0
010
001
2
2 mL
m
m
L
mLmL
mLm
m
L
Dos objetivos se perseguían con la realización del ejercicio, el primero que el lector vea
que si considera el sistema de coordenadas en el centro de masas, la matriz de masas
que se obtiene es simétrica y el segundo que la matriz de masas de una estructura no es
única, depende del sistema de coordenadas pero estas matrices se encuentran relacionadas
por medio de la matriz de paso T .
5.5 ANÁLISIS PLANO
Uno de los aspectos más complejos que se tiene al analizar una estructura, es definir
el modelo numérico de cálculo, el mismo que represente en forma sencilla y a la vez real el
comportamiento sísmico o dinámico, que tendrá la edificación. En el presente apartado se
presentan varios modelos para el análisis de pórticos planos.
5.5.1 Análisis con masas concentradas a nivel de piso
Como se indicó en el capítulo anterior, en pórticos planos se puede considerar, que
únicamente las vigas son axialmente rígidas y los restantes elementos son totalmente flexibles.
En consecuencia, se tiene un grado de libertad por piso, la componente de desplazamiento
horizontal y dos grados de libertad adicional en cada uno de los nudos que son la componente
de desplazamiento vertical y la rotación. Por otra parte, se considera que las masas son
puntuales y se encuentran concentradas a nivel de cada piso, teniendo cada una de ellas un
grado de libertad que es la componente de desplazamiento horizontal de piso.
Figura 5.8 Modelo de masas concentradas de un pórtico plano.
En la figura 5.8, a la izquierda se presenta un pórtico plano, que puede tener voladizos
y a derecha el modelo numérico para el análisis sísmico, en el cual se han concentrado la
masa a nivel de cada piso, de tal manera que 1m es la masa total del piso 1; 2m es la masa
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
total del piso 2; etc. Normalmente se desprecia la inercia rotacional de las masas, de tal
manera que la energía cinética del sistema es igual a la energía cinética de traslación.
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +++=
2
4
.
4
2
3
.
3
2
2
.
2
2
1
.
12
1 qmqmqmqmT
De donde:
=M
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
4
3
2
1
m
m
m
m
En el modelo de masas puntuales, la matriz de masas es diagonal y los elementos
son las masas de cada piso, de tal manera que la forma general de M es la siguiente:
=M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
n
i
m
m
m
m
...
...
2
1
Donde im es la masa total del piso i; nm es la masa total del último piso. El modelo de
masas puntuales concentradas en cada piso sirve para:
• Realizar el análisis sísmico ante la componente horizontal de movimiento del suelo.
Este modelo no permite considerar la componente vertical.
• Para considerar la respuesta sísmica a nivel de piso. No permite encontrar la respuesta
a nivel de una viga específica o de una columna específica del piso. Si se desea
encontrar la respuesta en el tiempo en los elementos, se deben considerar todos los
grados de libertad como coordenadas principales. Es decir a más de los corrimientos
horizontales de piso se debe tomar en cuenta el desplazamiento vertical y rotación de
cada nudo del pórtico. Esto se ilustra en el pórtico de un piso y un vano de la figura 5.9.
En la figura 5.9, se ha considerado que la viga es axialmente rígida, de esa manera se
tiene un solo desplazamiento horizontal de piso. Si se va a realizar el análisis sísmico con
todos los grados de libertad, la matriz de masas será de cinco por cinco y tendrá valor
únicamente el elemento de la primera fila y primera columna, que vale m, los demás elementos
son cero
( 5.6 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 5.9 Modelo en el cual se consideran todos los grados de libertad.
.
El modelo de la figura 5.9 permite encontrar la variación de momentos, de cortantes, de
fuerza axial, en cada instante de tiempo. A cambio, la solución del problema de valores y
vectores propios, que se estudiará en capítulos posteriores, es un poco más complicada que el
caso en que no se tienen ceros en la diagonal de la matriz de masas.
5.5.2 Análisis con entrepisos flexibles
En el modelo con piso flexible se concentran las masas en cada una de las juntas como
se aprecia a la derecha de la figura 5.10. En la parte izquierda, se indican los grados de libertad
con los cuales se encontrará la matriz de la estructura. En el modelo se considera que todos
los elementos son totalmente flexibles.
Figura 5.10 Grados de libertad para análisis estático y dinámico .Modelo de masas puntuales en nudos.
Nótese, la forma de numerar las coordenadas, primero se notan las componentes de
desplazamiento horizontal y luego las componentes de desplazamiento vertical, finalmente las
rotaciones de los nudos. Se procede de esta manera ya que ahora las coordenadas principales
son los desplazamientos horizontales y verticales; las coordenadas secundarias son los giros,
En la parte central de la figura 5.10 se indican las coordenadas principales, en este caso la
matriz de masas es de 16 por 16.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Para el modelo de masas puntuales en las juntas, la forma de la matriz de masas es la
siguiente:
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
n
VH
V
H
m
m
m
MM
M
M
M
...
2
1
• EJEMPLO 3
Se desea encontrar la matriz de masas para la estructura de la figura 5.11,
concentrando las masas a nivel de cada uno de los nudos. La masa
m
sTmm
2
21 612.0== .
• SOLUCIÓN
En la figura 5.11, a la derecha, se indica la geometría de la estructura, con las masas
concentradas a nivel de los nudos. También se indican todos los grados de libertad a la
izquierda y en la parte central se indican las coordenadas principales.
Figura 5.11 Modelo de cálculo con piso flexible, grados de libertad para el análisis estático y dinámico.
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
612.00.00.00.0
0.0612.00.00.0
0.00.0612.00.0
0.00.00.0612.0
000
000
000
000
2
1
2
1
m
m
m
m
M
5.6 PÉNDULO INVERTIDO
Las estructuras en forma de péndulo invertido son aquellas que tienen una sola
columna y sobre ella se tiene una losa con o sin vigas. El modelo de análisis se indica en la
figura 5.12 a la izquierda se indica la geometría de la estructura y a la derecha los grados de
libertad que se consideran para el análisis sísmico. El modelo no considera deformación axial
( 5.7 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
en la columna, para el ejemplo que se está presentando.
Figura 5.12 Modelo de cálculo de una estructura en forma de péndulo invertido.
En las estructuras en forma de péndulo invertido, la componente rotacional es
fundamental considerarla en el análisis, de tal manera que no se desprecia la inercia rotacional
J . La energía cinética vale:
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +=
2
2
.2
1
.
2
1 qJqmT
De donde:=M ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
J
m
0
0
Siendo m la masa total del sistema y J el momento de inercia de la masa, que vale:
( )22
12
hamJ +=
5.7 MOMENTO DE INERCIA DE LA MASA
En este apartado se deduce la ecuación ( 5.9 ) con el propósito de conocer más sobre
el momento de inercia de la masa J . Para la deducción se considera un elemento diferencial
dm que se halla a una distancia r del eje de rotación, como se ilustra a la derecha de la figura
5.13. Por definición se tiene:
∫=
m
dmrJ 2
( 5.8 )
( 5.9 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 5.13 Cálculo del momento de inercia de la masa con respecto al eje Z.
Se considera que la densidad ρ es constante. Luego el diferencial de masa es igual al
producto de la densidad por el diferencial de volumen.
dzdydxdVdm ρρ ==
Por otra parte:
222 YXr +=
Luego:
( )∫∫∫ += dzdydxYXJ ρ22
En la figura 5.13, a la izquierda, se observa que la profundidad es constante y vale b .
De igual forma al ser la densidad constante, sale de la integral con lo que se halla:
( )∫∫ += dydxYXbJ 22ρ
Al integrar únicamente en el cuadrante superior, los resultados se multiplican por 4 y se
encuentra:
( )∫ ∫ += 2/
0
2/
0
224
h a
dydxYXbJ ρ
Luego, de efectuar las integrales indicadas y al reemplazar límites, se llega a:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
12
22 hahabJ ρ
Pero el producto habρ es la masa del sistema m , con lo que:
[ ]22
12
hamJ +=
Que era lo que se quería demostrar. Se destaca que la ecuación ( 5.3 ) es un caso
particular, para 0=h .
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Se ha calculado el momento de inercia de la masa con respecto al eje Z de la figura
(5.13 ). Existen dos momentos de inercia más, con respecto a los ejes X e Y, se deja al lector la
deducción de las respectivas ecuaciones que son similares a la encontrada.
5.8 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA
Por considerarlo de interés y sobre todo para reafirmar la forma de cálculo de la
energía cinética; se presenta un modelo sencillo de interacción suelo estructura, para el
péndulo invertido que se ha venido analizando. En la figura 5.14 se indica dicho modelo en el
que se consideran cuatro grados de libertad, los dos primeros son los que se tenían
anteriormente y los grados de libertad 3 y 4 corresponden al desplazamiento de la cimentación
y a la rotación de la cimentación.
En la figura 5.14, a la izquierda se tiene el modelo de cálculo en el cual la masa de la
cimentación tiene un valor om y la masa de la cubierta tiene un valor m .
Como hipótesis se considera que la cimentación se mueve como cuerpo rígido, de tal
manera que cuando la cimentación se desplaza 3q , toda la estructura se desplaza 3q y
cuando la cimentación rota 4q , la masa superior se desplaza una cantidad igual a 4qL , esta
cantidad es negativa ya que se desplaza hacia la izquierda. Con estas indicaciones en la figura
5.15 se indica el diagrama de velocidades.
Figura 5.14 Modelo de interacción suelo estructura considerado.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 5.15 Diagrama de distribución de velocidades.
2
4
.2
3
.
0
2
4
.
2
.2
4
.
3
.
1
.
2
1
2
1
2
1
2
1 qJqmqqJqLqqmT c++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=
Donde J es el momento de inercia de la masa de cubierta y cJ es el momento de
inercia de la masa de la cimentación. Al desarrollar la ecuación se tiene:
( ) ( ) ⎪⎭⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ +−−+++++++= 4
.
2
.
4
.
3
.
4
.
1
.
3
.
1
.2
4
.
2
2
3
.
0
2
2
.2
1
.
2222
2
1 qqJqqmLqqmLqqmqmLJJqmmqJqmT c
Luego la matriz de masas resultante se indica a continuación. Se ha copiado la matriz
triangular inferior, por ser simétrica la matriz de masas.
=M
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++−−
+
cJJmLmLJmL
mmm
J
m
2
00
0
5.9 ANÁLISIS ESPACIAL
Se presenta el modelo en el cual la losa es totalmente rígida en el plano, de tal manera
que se tiene, en cada piso, tres grados de libertad por planta, que son la componente de
desplazamiento horizontal en sentido X, la componente de desplazamiento horizontal en
sentido Y, la rotación de piso con relación a un eje perpendicular a la losa.
( 5.10 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
( 5.11 )
Figura 5.16 Modelo de piso rígido para análisis sísmico espacial.
En la figura 5.16 se indica a la izquierda una estructura de dos pisos, cuyas
dimensiones en planta son a y b . La masa total del primer piso es 1m y la masa total del
segundo piso es 2m . A la derecha de la figura 5.16 se indican los grados de libertad; primero
se han numerado las componentes de desplazamiento horizontal en sentido X, empezando
desde el primer piso, luego las componentes de desplazamiento horizontal en sentido Y,
finalmente las rotaciones o torsión de piso. La matriz de masas resultante es:
=M
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
2
1
2
1
2
1
J
J
m
m
m
m
En general, para un edificio de n pisos, la matriz de masas es la siguiente:
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
J
m
m
M
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
( 5.12 )
( 5.13 )
=m
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
nm
m
m
L
2
1
=J
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
nJ
J
J
L
2
1
siendo 1m la masa total del piso 1; 2m la masa total del piso 2, etc.; 1J es el momento de
inercia de la masa 1m ; 2J es el momento de inercia de la masa 2m , etc. Para un piso i se
tiene que:
( )22
12 ii
i
i ba
m
J +=
donde ii ba , son las dimensiones de la losa en el piso i.
• EJEMPLO 4
Calcular la matriz de masas de la casa de dos pisos que se indica en la figura 5.17, si
la carga muerta 2500 m
kgD = y la carga viva 2200 m
kgL = . Estas cargas son iguales en los
dos pisos.
Para el análisis se considera la carga muerta más un porcentaje de la carga viva.
Este porcentaje depende del uso de la edificación. Para viviendas este porcentaje es del 25%.
Este porcentaje considera la poca probabilidad que existe para que se registre un sismo con
toda la carga viva.
• SOLUCIÓN
.8.82.325.0825.0
2.3320016200
0.8800016500
2
2
2
2
TPPP
Tkgm
m
kgP
Tkgm
m
kgP
LDT
L
D
=∗+=+=
==∗=
==∗=
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 5.17 Descripción de la estructura cuya matriz de masas se calcula.
( ) 22221
2
21
395.200.400.4
12
898.0
898.0
8.9
8.8
smTJJ
m
sTmm
=+==
===
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
395.2
395.2
898.0
898.0
Jm
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPECAPÍTULO 6
MODOS DE VIBRACIÓN
RESUMEN
Se presenta la solución del problema de vibraciones libres, sin considerar el
amortiguamiento del sistema, el mismo que conduce a la obtención de los valores y vectores
propios de una estructura. Con los valores propios se hallan las frecuencias y períodos de
vibración y los vectores propios son los modos de vibración. Posteriormente se indica el
algoritmo de 2/1M con el cual se obtienen los períodos y modos de vibración en las
estructuras. Además se presenta un programa en MATLAB para este algoritmo.
Un método clásico para encontrar los valores y vectores propios, es el Método de
Jacobi, razón por la cual se estudia con bastante detenimiento, este método.
Finalmente, un tema muy importante, en la dinámica de estructuras, es el relacionado
con los Modos Ritz, que permite encontrar los modos de vibración con todos los grados de
libertad. Con este tema se cierra el capítulo.
6.1 VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO
La forma general del sistema de ecuaciones diferenciales, para el análisis dinámico, en
un sistema de múltiples grados de libertad, es:
QqKqCqM =++ ...
Donde M , C , K son las matrices de masas, amortiguamiento y rigidez; Q es el
vector de cargas,
...
,, qqq son los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración,
respectivamente. Para el caso de vibración libre sin amortiguamiento se tiene que 0=C y
( 6.1 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
0=Q . Luego, el sistema de ecuaciones que se resuelve en este apartado es:
0=+ qKqM ..
Se plantea la solución de ( 6.2) de la siguiente manera:
q )(t )(tfφ=
Donde φ es un vector que no depende del tiempo y que contiene los vectores propios
y )(tf es una función del tiempo. La primera y segunda derivada, con respecto al tiempo de
q , son:
)()()()(
......
tftqtftq φφ ==
Al reemplazar )(),(
.
tqtq y )(
..
tq en la ecuación ( 6.2 ) se tiene:
0=+ )()(.. tfKtfM φφ
De donde:
0=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+ φM
tf
tfK
)(
)(
..
Se denomina:
0)()(
)(
)( ..
..
=+⇒−= tftf
tf
tf λλ
Luego se tiene:
( ) 0=− φλ MK
En resumen, el problema de vibración libre, definido en la ecuación ( 6.2 ) se ha
descompuesto en dos problemas, que son:
( )
0
0
=+
=−
)()(
..
_
tftf
MK
λ
φλ
6.1.1 Valores Propios
La ecuación (6.5), representa el problema de valores y vectores propios, donde λ es el
valor propio y φ es el vector propio. Una vez calculado λ se obtiene de la ecuación ( 6.4 ) el
valor de )(tf .
La ecuación ( 6.5 ) tiene soluciones φ distintas de cero, solamente si el determinante
de la matriz de coeficientes es nulo.
( 6.2 )
( 6.3 )
( 6.4 )
( 6.5 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
0=− MK λdet
Al resolver la ecuación ( 6.6 ) se obtiene un polinomio característico; si se tiene una
matriz de rigidez y de masas de orden n ×n, este polinomio será de orden n.
De la solución de este polinomio se encuentran n raíces de λ . Si las matrices K y
M son reales, simétricas y definidas positivas; los valores de λ son reales y positivos.
• EJEMPLO 1
Encontrar los valores propios de una estructura, cuyas matrices de rigidez y de masas,
son las siguientes:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
97.000.0
00.002.2
8.21000.3983
0.39830.12352
MK
• SOLUCIÓN
Cuando se resuelva el polinomio característico )(λP , siempre se notarán las raíces
de menor a mayor.
nλλλλ ≤≤≤ .........321
6.1.2 Propiedades dinámicas
Una vez que se ha resuelto el problema de valores propios, y se ha obtenido las raíces
del polinomio característico, se pasa a calcular las frecuencias de vibración niW usando la
ecuación ( 6.7 ). El subíndice i representa el modo i.
( ) ( )[ ] ( )[ ]
( )
737.7603888.676
06.10084792056.162259594.1
00.398397.08.210002.20.12352
97.08.21000.3983
0.398302.20.12352
97.00.0
0.002.2
8.21000.3983
0.39830.12352
0
21
2
2
==
=+−=∴
=−−−∗−=−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−=−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=−
=−
λλ
λλλ
λλλ
λ
λλ
λλ
λ
P
MK
MK
MK
MK
( 6.6 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
iniW λ=
ni
i W
T π2=
Con cada una de las frecuencias de vibración, se obtienen los períodos de vibración,
iT con la ecuación ( 6.8 ). Para el ejercicio 1, se tiene:
1994.87737.7603
017.26888.676
22
11
===
===
λ
λ
n
n
W
W
.072.0
1994.87
22
.242.0
017.26
22
2
2
1
1
s
W
T
s
W
T
n
n
===
===
ππ
ππ
6.1.3 Modos de vibración
Cada uno de los valores propios, está asociado a un modo de vibración. Estos modos
de vibración indican la forma como va a responder la estructura y son adimensionales.
Se obtienen los modos de vibración, reemplazando los valores propios obtenidos en la
ecuación ( 6.5 ). Este procedimiento se apreciara mejor a medida que sigamos resolviendo el
ejercicio.
• EJEMPLO 2
Hallar los modos de vibración del ejemplo 1.
• SOLUCIÓN
o Cálculo del primer modo de vibración )1(φ .
Sea )(1φ de la forma:
Al reemplazar valores se tiene:
[ ] 011 =⋅⋅− )(φλ MK
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
b
a)(1φ
( 6.7 )
( 6.8 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=⋅−
219.14440.3983
0.3983686.10984
581.6560.0
0.0314.1367
8.21000.3983
0.39830.12352
97.00.0
0.002.2
888.676
8.21000.3983
0.39830.12352
1 MK λ
[ ]
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
=⋅⋅−
0
0
219.14440.3983
0.3983686.10984
0)1(1
b
a
MK φλ
De donde
0219.14440.3983
00.3983686.10984
=⋅+⋅−
=⋅−⋅
ba
ba
Aparentemente se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas. Pero eso no es cierto, ya
que si a la segunda ecuación se multiplica por –2.7579, se obtiene la primera ecuación y es
una de las características de los vectores propios. Siempre hay una ecuación menos.
De tal manera que el sistema de ecuaciones es linealmente dependiente, eso significa
que hay una gran cantidad de vectores propios. Por ejemplo, si a = 1 y se reemplaza en la
primera ecuación, se obtiene b = 2.758, pero si b = 1 se obtiene que a = 0.363, es decir que
tendríamos:
L⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1
363.0
758.2
1 )1()1( φφ
Al existir un infinito número de vectores propios, se habla de vectores propios
normalizados. La forma más común de normalizar los modos es:
ℜ=)()( iti M φφ
Donde ℜ es una constante de normalización que puede tener cualquier valor. Algunos
consideran el valor del promedio de las masas, otros lo normalizan de tal forma de ℜ sea la
unidad
Por didáctica se va a llamar X el vector propio sin normalizar, como los que se han
obtenido en los ejemplos realizados y φ al vector propio normalizado. Para el modo de
vibración i, se tendrá:
)()()( iii Xαφ =
Al sustituir ( 6.10 ) en ( 6.9 ) y luego de despejar )(iα se tiene:
( 6.10 )
( 6.9 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
)()(
)(
iti
i
XMX
ℜ=α
• EJEMPLO3
Normalizar los modos de vibración del ejercicio 1, que se ha venido resolviendo en el
presente apartado, si la constante de normalización es la unidad, 1=ℜ .
• SOLUCIÓN
Al reemplazar valores en ( 6.11 ) se obtiene 326.0)1( =α . Por lo tanto el primer vector
propio normalizado vale:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
899.0
326.0
758.2
000.1
326.0)1()1()1( Xαφ
o Cálculo del segundo modo de vibración )2(X
[ ] −=− 022 )(XMK λ
Sea ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
b
a
X )2( al reemplazar en [ ] −=− 022 )(XMK λ se tiene:
De donde el sistema de ecuaciones resulta:
0825.52740.3983
00.3983549.3007
=−−
=−−
ba
ba
( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=⋅−
825.52740.3983
0.3983549.3007
625.73750.0
0.0549.15359
8.21000.3983
0.39830.12352
97.00.0
0.002.2
737.7603
8.21000.3983
0.39830.12352
2 MK λ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−
0
0
825.52740.3983
0.3983549.3007
b
a
( 6.11 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Al igual que antes, solo se tiene una ecuación con dos incógnitas, así que se impone
un valor para cualquiera de las variables. Si a = 1, se tiene que:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−= 755.0
000.1)2(X
A partir de )2(X se encuentra por un procedimiento similar al anterior el vector propio
normalizado a la unidad. Encontrando:
Estos dos modos de vibración encontrados, indican como se comportará una estructura
bajo la acción de un sismo o de una excitación dinámica. En la figura 6.1 se grafican estos
modos para el caso de un pórtico plano de dos pisos en el que se han concentrado las masas a
nivel de piso.
Figura 6.1 Modos de vibración de una estructura de dos pisos.
6.2 ALGORITMO DE 2
1
M
En el apartado anterior se presentó el cálculo de las propiedades dinámicas y de los
modos de vibración de una estructura desde un punto de vista conceptual. Ahora bien en la
práctica se calculan los valores y vectores propios de una matriz utilizando algún método, uno
de los más utilizados es el de Jacobi que encuentra todos los valores y vectores propios de una
matriz simétrica.
Se tiene que definir por lo tanto esa matriz, a partir de las matrices de rigidez K y de
masas M . Para el efecto, una alternativa es utilizar el algoritmo que en este apartado se
indica. La ecuación ( 6.5 ) puede escribirse de la siguiente manera:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
471.0
623.0)2(φ
( 6.12 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
φλφ MK =
Sea
oM φφ 2
1−=
Al reemplazar ( 6.13 ) en ( 6.12 ) se tiene:
oo MMMK φλφ 2
1
2
1 −− =
Por otro lado se tiene que:
2
1
2
1
MMM =
Al reemplazar en la última ecuación se encuentra:
oo MMK φλφ 2
1
2
1
=−
Al multiplicar por la izquierda, por 2
1−
M se obtiene:
ooMKM φλφ =−− 2
1
2
1
Se denomina
2
1
2
1 −−= MKMK o
De donde, la ecuación ( 6.14 ) se transforma en:
oooK φλφ =
El procedimiento de cálculo para encontrar los valores y vectores propios de una
estructura aplicando el algoritmo de 2
1
M es el siguiente:
1. Se encuentra la matriz 2
1
M . Normalmente la matriz de masas es diagonal de
tal manera que 2
1
M se encuentra sacando la raíz cuadrada de los elementos
de la diagonal.
2. Se determina 2
1−
M . Para el caso de matrices diagonales no es más que la
inversa de los elementos de la diagonal.
3. Se determina oK .
( 6.13 )
( 6.14 )
( 6.15 )
( 6.16 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
4. Se aplica cualquier Método de cálculo de valores y vectores propios en oK .
5. Finalmente se hallan los vectores propios oM φφ 2
1−=
El programa MODOSPLANO escrito en MATLAB determina los períodos y modos de
vibración de pórticos planos, utilizando el algoritmo de 2
1
M . Previamente el usuario habrá
obtenido con otro programa la matriz de rigidez lateral o carga esta matriz. La forma de uso, es:
[Modos]=modosplano (K)
• K es la matriz de rigidez lateral del pórtico.
• Modos son los modos de vibración del pórtico.
function [Modos]=modosplano(K)
%
% Calculo de modos de vibracion de porticos planos.
% Empleando algoritmo de M elevado a la 1/2.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI ESPE
% -----------------------------------------------------------------
% [Modos]=modosplano(K)
% -----------------------------------------------------------------
% K Matriz de rigidez lateral del portico plano
% M Matriz de masas, se programa como vector ya que es diagonal
% NP Numero de pisos.
% Por pantalla se indicara las masas de cada piso.
% Previamente el usuario habra calculado la matriz de rigidez lateral
% con otro programa.
% T Periodos de vibracion.
%
NP = input (' \n Numero de pisos ');
for i=1:NP
fprintf ('Indique la masa del piso , %2d',i);
M(i) = input (', Valor de la masa: ');
end
M12=sqrt(M);
for i=1:NP
M12(i)=1.0/M12(i);
end
MINV=zeros(NP,NP); MINV=diag(M12); Ko=MINV*K*MINV;
[V,D]=eig(Ko); Modos=MINV*V; Wn=sqrt(D); T=diag(Wn);
for i=1:NP
T(i)=2*pi/T(i);
end
fprintf ('\n Periodos de vibracion ')
T
fprintf ('\n Modos de vibracion ')
Modos;
% ---fin
• EJEMPLO 4
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Encontrar los períodos y modos de vibración de la estructura de la figura 6.2. Si
2/21.1738965 mTE = . La carga es uniforme distribuida en cada piso y tiene una magnitud
de 2.0 T/m., aplicando el algoritmo de 2
1
M .
Figura 6.2 Pórtico y modelo con masas puntuales.
• SOLUCIÓN
Al multiplicar la carga uniforme repartida por la longitud total de 8 m., y al dividir por el
valor de la gravedad, se encuentra la masa concentrada en cada piso, que vale 1.633 Ts2/m.
La matriz de rigidez y la matriz de masas para el cálculo del problema de valores y
vectores propios, son:
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
633.100
0633.10
00633.1
9.8366.10807.285
6.10800.22781.1538
7.2851.15381.2761
MK
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
= −
783.000
0783.00
00783.0
278.100
0278.10
00278.1
2/12/1 MM
De donde, la matriz oK resulta:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
46.51273.66195.174
73.66100.139586.941
95.17486.94181.1690
oK
Los períodos de vibración resultan:
.1221.0.2135.0.6921.0 321 sTsTsT ===
Los modos de vibración, son:
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
2057.0
5196.0
5478.0
4444.0
3757.0
5232.0
6104.0
4486.0
1963.0
)3()2()1( φφφ
Figura 6.3 Modos de vibración
En la figura 6.3, se indican los respectivos modos de vibración. Nótese que el primer
modo no tiene punto de inflexión. El segundo modo tiene un punto de inflexión y el tercer modo
tiene dos puntos de inflexión.
El cálculo de los valores y vectores propios, en la matriz oK se hallaron aplicando el
Método de Jacobi que se indica en el siguiente apartado.
Si sedesea encontrar los períodos de vibración con el programa MODOSPLANO se
debe proceder de la siguiente manera:
>> K=[2761.1 -1538.1 285.7; -1538.1 2278.0 -1080.6; 285.7 -1080.6 836.9]
>> [Modos] = modos plano(K)
Numero de pisos 3
Indique la masa del piso, 1, Valor de la masa: 1.633
Indique la masa del piso, 2, Valor de la masa: 1.633
Indique la masa del piso, 3, Valor de la masa: 1.633
Luego el programa reporta los períodos y modos indicados en el ejemplo. Con la
salvedad que está cambiado de signo los valores del tercer modo pero esto no tiene
trascendencia ya que los modos son una base.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
( 6.17 )
( 6.18 )
MATLAB presenta otra opción para calcular directamente los valores y vectores
propios directamente, por consola, utilizando el comando eig pero de forma diferente a la que
está en el programa modosplano.
• EJEMPLO 5
Determinar, por consola, los valores y vectores propios del ejemplo 4.
• SOLUCIÓN
>> K=[2761.1 -1538.1 285.7; -1538.1 2278.0 -1080.6; 285.7 -1080.6 836.9];
>> M=[1.633 0 0; 0 1.633 0; 0 0 1.633];
>> [V,D] = eig (K,M)
En V se encuentran los modos de vibración o vectores propios y en D los valores
propios.
6.3 MÉTODO DE JACOBI
Un método clásico para encontrar los valores y vectores propios de una matriz
simétrica es el Método de Jacobi. Los teoremas fundamentales en que se basa el método son:
Teorema 1. Dos matrices A y B se dicen que son semejantes si existe una
matriz que admite inversa P, tal que:
PAPB 1−=
Teorema 2. Si A y B son dos matrices semejantes, entonces tienen los mismos
valores propios.
Teorema 3. Si una matriz es diagonal. Entonces los valores propios son los
elementos de la diagonal.
Teorema 4. Toda matriz simétrica es diagonalizable en una base de vectores
propios.
Definición de Matriz Ortogonal. Una matriz H se dice que es ortogonal, si:
tt HHIHH =→= −1
La idea básica del Método de Jacobi es construir una serie de matrices que son
semejantes a la original, para lo cual se emplea una matriz de paso P que es ortogonal. Las
matrices semejantes que se van obteniendo tienden a ser diagonales. El procedimiento es
iterativo y termina estrictamente cuando se llega a una matriz diagonal.
El procedimiento termina cuando en la última matriz encontrada, la suma de los
elementos fuera de la diagonal en valor absoluto es menor a una tolerancia prefijada. La matriz
final es semejante a la matriz original y además se considera diagonal. Por lo tanto los valores
propios son las cantidades de la diagonal.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Existe las siguientes posibilidades para hacer cero a los elementos fuera de la
diagonal: i) Hacer ceros por filas, ii) Hacer ceros por columnas, iii) Hacer cero al mayor
elemento fuera de la diagonal en valor absoluto, iv) Una combinación de los casos anotados.
6.3.1 Desarrollo del Método
Sea qpa , el elemento de la fila p y columna q, de una matriz A, que se desea hacer
cero, qp ≠ , el elemento se encuentra en la matriz triangular inferior en el ciclo k. La matriz P,
con la cual se construirá la matriz semejante y con la cual se logrará el objetivo propuesto tiene
la siguiente forma:
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=→
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
= +
1
1
1
0
1
,
θθ
θθ
CosSen
SenCos
P
AP
a
A k
qp
K
En la ecuación ( 6.19 ) se han indicado los elementos no nulos de la matriz P. En
general ésta matriz se determina de la siguiente manera.
i. En la diagonal principal todos los elementos son 1 a excepción de dos términos
que valen Cosθ . Estos términos corresponden a los ubicados en la fila p y
columna p; y al ubicado en la fila q y columna q.
ii. El elemento qpa , de la matriz triangular inferior tiene por valor θSen− , su
simétrico vale θSen
La matriz P, indicada en la ecuación ( 6.19 ) es ortogonal. En consecuencia se cumple
que la inversa de la matriz P no es más que la transpuesta. A esta matriz se la conoce también
con el nombre de matriz de rotación.
La base del método consiste en evaluar θ de tal manera que el elemento qpa ,
correspondiente a la matriz 1+kA sea nulo. El valor de θ se obtiene a partir de la siguiente
ecuación:
qqpp
qp
aa
a
tg
,,
,22 −=θ
6.3.2 Procedimiento de cálculo
( 6.19 )
( 6.20 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
El procedimiento de cálculo para encontrar los valores y vectores propios de una matriz
A simétrica es como sigue:
i. Se construye la matriz 1A semejante a la matriz A
pero tPP 1
1
1 =− . Luego:
ii. Se obtiene la matriz 2A semejante a 1A , etc.…
111
4344
3233
2122
........................
+++ =
=
=
=
kk
t
kk
t
t
t
PAPA
PAPA
PAPA
PAPA
Se puede decir que 111 +++ += kkk EDA . Donde 1+kD es una matriz diagonal y 1+kE
lo que está fuera de la diagonal. Entonces.
0lim
....
...lim
1
2
1
1
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
+∞→
+∞→
kk
n
kk
E
D
λ
λ
λ
Por el teorema 2, los valores propios λ de A son los valores propios de 1+kA . Por otra
parte el test de parada deberá verificar que ε<∑ +1,k jia . La sumatoria en valor absoluto de
los elementos fuera de la diagonal es menor que una cantidad muy pequeña ε .
6.3.3 Cálculo de los Vectores Propios
Al desarrollar el procedimiento indicado en el apartado anterior, se tiene:
111 PAPA
t=
1
1
11 PAPA
−=
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
1143211234111
432112344
3211233
21122122
111
..............
...........
+−−++ =
=
=
==
=
kkk
ttttt
k
t
k
t
kk
tttt
ttt
ttt
t
PPPPPPPAPPPPPPPA
PPPPAPPPPA
PPPAPPPA
PPAPPPAPA
PAPA
El producto de las matrices P transpuesta de ( 6.21 ) converge a tP y el producto de
las matrices P de ( 6.21 ) converge a P, que es matriz ortogonal. Luego se tiene que:
PAPA tk =+1
Por lo tanto por el teorema 4, las columnas de la matriz P de ( 6.22 ) son los vectores
propios de A.
Como se indicó el método de Jacobí se aplica en la matriz oK
6.4 MODOS RITZ
En el apartado 6.2 de este capítulo, se obtuvo los modos de vibración de un pórtico
plano, considerando que los elementos horizontales son axialmente rígidos de tal manera que
existe un grado de libertad horizontal por piso y un corrimiento vertical y rotación en cada uno
de los nudos. El cálculo se realizó con la matriz de rigidez lateral que es aquella matriz que
está asociada a los desplazamientos laterales de piso.
Al proceder de esta manera en el análisis dinámico, únicamente se obtienen los
desplazamientos horizontales de cada piso, no es factible conocer los desplazamientos
verticales y giros de cada uno de los nudos. De igual manera los modos de vibración que se
obtienen están relacionados exclusivamente con los desplazamientos horizontales.
Si se desea conocer los modos de vibración, asociados a todos los gradosde libertad,
se debe trabajar con toda la matriz de rigidez pero normalmente la matriz de masa solo tiene
cantidades diferentes de cero en las coordenadas laterales de piso de tal manera que trabajar
con toda la matriz de rigidez y con toda la matriz de masa para hallar los valores y vectores
propios demandaría demasiadas operaciones y algo muy importante que no todos los
algoritmos de cálculo podrían resolver el problema de valores y vectores propios.
• EJEMPLO 6
En la figura 6.4 se indica un pórtico de un piso y un vano, en el cual se han numerado
sus grados de libertad considerando que la viga es axialmente rígida. La matriz de rigidez es de
5 X 5 y la matriz de masas es también de 5 X 5 pero únicamente el término (5,5) tiene una
cantidad diferente de cero. Se desea calcular los valores y vectores propios de la estructura, si
las matrices de rigidez y de masas, son:
( 6.21 )
( 6.22 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
45.0
00.0
00.0
00.0
00.0
20.2499
72.165540.4497
00.064.65885.80754
72.165517.93464.65840.4497
00.064.65832.39264.65885.80754
MK
Se ha escrito la matriz triangular superior de K ya que la matriz es simétrica y los
elementos de la diagonal de la matriz de masas.
• SOLUCIÓN
El problema de valores y vectores propios está definido por la siguiente ecuación:
( ) 0=− φλ MK
Donde λ es el vector que contiene los valores propios y φ la matriz que contiene los
vectores propios. K es la matriz de rigidez y M es la matriz de masa. Debido a que la matriz M
contiene ceros en la diagonal es factible aplicar la condensación estática para lo cual la
ecuación ( 6.23 ) puede escribirse de la forma
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
B
A
BB
A
BBBA
ABAA
MKK
KK
φ
φλφ
φ
0
00
Al trabajar con las submatrices indicadas se obtiene:
BBBBBABA
BABAAABABAAA
MKK
KKKK
φλφφ
φφφφ
=+
−=⇒=+ −10
Figura 6.4 Estructura de análisis para ilustrar los modos Ritz.
( 6.23 )
( 6.24 )
( 6.25 )
( 6.26 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
De la ecuación ( 6.25 ) se obtiene:
BA T φφ =
Siendo:
ABAA KKT
1−−=
Al reemplazar ( 6.27 ) en ( 6.26 ) se encuentra:
BBBBB MK φλφ =∗
Donde:
TKKK BABBBB +=∗
La ecuación ( 6.29 ) es similar a la ecuación ( 6.23 ). Por lo tanto, se debe hallar la
submatriz BBK y luego hallar los valores y vectores propios.
Para el ejemplo que se está analizando las submatrices son:
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
−
−
=
72.1655
0.0
72.1655
0.0
40.449764.65817.93464.658
64.65885.8075464.65832.392
17.93464.65840.449764.658
64.65832.39264.65885.80754
ABAA KK
[ ]20.2499== BBtABBA KKK
Al reemplazar los valores en ( 6.28 ) se obtiene la matriz T, y al reemplazar en ( 6.30 )
se halla ∗BBK . Estas matrices resultan:
[ ]77511.1485
30604.0
00497.0
30604.0
00497.0
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−= ∗BBKT
Al reemplazar en ( 6.29 ) se tiene:
( ) 0=−= ∗∗ BBBBBBBBB MKMK φλφλφ
Por definición de vectores propios Bφ tiene que ser diferente de cero. Luego:
72248.3301045.077511.14850 ==∗−→=−∗ λλλ BBB MK
( 6.27 )
( 6.28 )
( 6.29 )
( 6.30 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Si ∗BBK hubiese sido de orden 2x2 o de mayor orden el determinante de
BBB MK λ−∗ debe igualarse a cero. Finalmente al reemplazar el valor de λ en ( 6.29 ) se
halla Bφ . En este caso Bφ puede ser cualquier valor pero para que cumpla 1=BBtB M φφ El
valor de 49071.1=Bφ .
Al reemplazar T y Bφ en ( 6.27 ) se halla Aφ
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−=
45621.0
00741.0
45621.0
00741.0
Aφ
De esta manera se ha encontrado el vector φ
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
49071.1
45621.0
00741.0
45621.0
00741.0
B
A
φ
φφ
De tal manera que es factible encontrar los modos de vibración con todos los grados de
libertad.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
CAPÍTULO 7
MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO
RESUMEN
Se presentan dos formas de cálculo de la Matriz de Amortiguamiento, la primera del
tipo Rayleigh y la segunda mediante el algoritmo propuesto por Wilson y Penzien. Para esta
última forma de cálculo se ha elaborado un programa denominado AMORTIGUAMIENTO que
permite hallar la matriz de amortiguamiento para pórticos planos.
Posteriormente se presenta el desacoplamiento de las ecuaciones diferenciales, que
gobiernan los problemas dinámicos, en forma numérica y teórica.
Finalmente se resuelve el problema de Vibraciones Libres de Sistemas con
Amortiguamiento de múltiples grados de libertad, por el método del exponencial de la matriz,
también conocido como procedimiento de espacio de estado y se indica el programa
denominado VLIBREAMORTIGUADO que halla la respuesta en el tiempo de un pórtico plano
sometido a un ensayo de vibración libre, el programa gráfica la respuesta en desplazamientos
para el último piso del pórtico. Se demuestra, mediante un sistema de un grado de libertad, que
al considerar el amortiguamiento, los valores y vectores propios son números complejos. Se
indica la forma como se debe hallar la frecuencia natural de vibración a partir de los números
complejos y la forma de interpretar los modos de vibración con números complejos.
7.1 AMORTIGUAMIENTO TIPO RAYLEIGH
Cuando se encuentra la respuesta en el tiempo, por los métodos denominados paso a
paso, es necesario determinar la matriz de amortiguamiento C , ya sea para análisis lineal o no
lineal, tema que es abordado en el presente capítulo.
Normalmente se considera C , del tipo Rayleigh, como una combinación lineal de las
matrices de masa M y de rigidez K .
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
KaMaC o 1+=
Donde oa y 1a , son dos constantes que se obtienen en base a los dos primeros
modos de vibración, utilizando la siguiente ecuación:
22
1 ni
ni
o
i
Wa
W
a +=ξ
Siendo iξ , factor de amortiguamiento del modo i, niW , frecuencia natural del modo i.
El amortiguamiento tipo Rayleigh indicado es un caso particular del amortiguamiento
desarrollado por Caughey (1960), el mismo que viene expresado de la siguiente manera:
∑−
=
−=
1
0
1 )(
n
i
i
i KMaMC
Donde n, es el número de modos que se consideran en el análisis. La ecuación (7.3)
permite calcular la matriz de amortiguamiento considerando un número n de modos de
vibración; si 2=n se tiene el amortiguamiento tipo Rayleigh.
• EJEMPLO 1
Encontrar la matriz de amortiguamiento tipo Rayleigh de una estructura cuyas matrices
de rigidez y de masas, son las siguientes:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
299.1000.0
000.0709.0
241.4637620.2318
620.2318747.1545
MK
Se considera que05.021 == ξξ
• SOLUCIÓN
De la solución del problema de valores y vectores propios, se halla:
s
W
s
W nn
1410.731002.19 21 ==
Al reemplazar 05.021 == ξξ en la ecuación ( 7.2 ) se halla:
2
410.73
410.732
05.0
2
002.19
002.192
05.0
10
10
∗+∗=
∗+∗=
aa
aa
De donde:
0011.0509.1 10 == aa
Luego, la matriz de amortiguamiento, resulta:
( 7.1 )
( 7.2 )
( 7.3 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
+=
0612.75505.2
5505.27702.2
241.463762.2318
62.2318747.1545
0011.0
299.100.0
00.0709.0
509.1
10
C
KaMaC
7.2 ALGORITMO DE WILSON Y PENZIEN
La evaluación de la matriz de amortiguamiento tipo Caughey, considerando n modos de
vibración, tiene cierta dificultad, razón por la cual es conveniente utilizar el algoritmo
desarrollado por Wilson y Penzien (1972) para obtener la matriz C . Este algoritmo parte de la
matriz de amortiguamiento ortogonal C , definida de la siguiente manera:
∗∗ == MCCt ΩΦΦ ξ2
Siendo Φ la matriz modal
[ ]nφφφφ ......321=Φ
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
nξ
ξ
ξ
ξ
...
...
2
1
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=Ω
nn
n
n
W
W
W
...
...
2
1
ΦΦ MM t=∗
Donde ∗M , Ω , ξ son matrices diagonales. Por lo tanto la matriz ∗C es diagonal.
Por otra parte, la matriz C puede escribirse de la siguiente manera:
( ) 11 −−= ΦΦΦΦ CC tt
Al reemplazar la ecuación (7.4) en (7.9), se obtiene:
( ) 11 −∗−= ΦΦ CC t
Por otro lado, si en la ecuación (7.8) se premultiplica por ( ) 1−∗M , se obtiene:
( ) ( ) ΦΦ MMIMM t11 −∗∗−∗ ==
De donde:
( 7.4 )
( 7.5 )
( 7.6 )
( 7.7 )
( 7.8 )
( 7.9 )
( 7.10 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
( ) MM tΦΦ 11 −∗− =
De un modo similar a partir de la ecuación (7.8) se obtiene:
( ) ( ) 11 −∗− = MMt ΦΦ
Al reemplazar (7.12), (7.4) y (7.11) en la ecuación (7.10), se obtiene:
( ) MMMC tΦΩΦ ξ21−∗=
De donde se obtiene la matriz iC , que define el amortiguamiento en cada modo de
vibración i.
( ) ( )MM
M
WC tii
i
nii
i φφξ ∗= 2
Siendo iφ , el modo de vibración i. Finalmente la matriz de amortiguamiento C se
obtiene mediante el sumatorio indicado en la ecuación (7.15)
∑
=
=
n
i
iCC
1
• EJEMPLO 2
Determinar la matriz de amortiguamiento, aplicando el algoritmo de Wilson y Penzien,
de una estructura cuyo valor de 05.021 == ξξ . Por otra parte, las matrices de rigidez y de
masas, son:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
0.5870.0
0.00.734
88000125000
125000348000
MK
• SOLUCIÓN
Los valores propios, son 9323.611 =λ y 0970.5622 =λ , y los vectores propios son:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
01731.0
03351.0
03747.0
01548.0
21 φφ
0.10.1 222111 ==== ∗∗ φφφφ MMMM tt
• Modo 1
7870.0
1
8697.705.0228697.79323.61
1
11
1 =∗∗=== ∗M
W
W nn
ξ
( 7.11 )
( 7.12 )
( 7.13 )
( 7.14 )
( 7.15 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Al aplicar la ecuación (7.14) se obtiene:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
6911.3806778.196
6778.1966104.101
1C
• Modo 2
3709.2
1
7086.2305.0227086.230970.562
2
22
2 =∗∗=== ∗M
W
W nn
ξ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
8089.2445193.592
5193.5920948.1434
2C
Finalmente, al aplicar la ecuación (7.15), se obtiene:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
4999.6258415.395
8415.3957052.1535
C
Nótese en este ejemplo que la contribución del modo dos es más importante en valores
que la contribución del modo uno.
El programa denominado AMORTIGUAMIENTO obtiene la matriz de amortiguamiento
de una estructura utilizando el algoritmo de Wilson y Penzien. Para su uso en la modalidad
consola el usuario debe indicar la matriz de rigidez y el vector zeda que contiene los factores
de amortiguamiento ξ , tantos como el orden de la matriz de rigidez. La forma de uso, es:
>> [C]=amortiguamiento (K,zeda)
• K es la matriz de rigidez.
• zeda vector que contiene los factores de amortiguamiento.
Posteriormente por pantalla se indican las masas de cada piso.
function [C]=amortiguamiento(K,zeda)
%
% Calculo de la matriz de amortiguamiento utilizando
% Algoritmo de Wilson y Penzien
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI ESPE
% -----------------------------------------------------------------
% [C]=amortiguamiento(K,zeda)
% -----------------------------------------------------------------
% K Matriz de rigidez lateral del portico plano.
% M Matriz de masas.
% NP Numero de pisos.
% Por pantalla se indicara las masas de cada piso.
% Previamente el usuario habra calculado la matriz de rigidez lateral
% con otro programa.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
% T Periodos de vibracion.
% C Matriz de amortiguamiento.
% zeda Vector que contiene los coeficientes de amortiguamiento.
%
NP = input (' \n Numero de pisos ');
M = zeros(NP,NP); C = zeros(NP,NP);
for i=1:NP
fprintf ('Indique la masa del piso , %2d',i);
M(i,i) = input (', Valor de la masa: ');
end
[V,D]=eig(K,M); Wn=sqrt(D); W=diag(Wn);
for i=1:NP
fi=V(:,i); mi=fi'*M*fi; aux=2*zeda(i)*W(i)/mi;
C=C+aux.*M*fi*fi'*M;
end
fprintf ('\n Matriz de amortiguamiento')
C
% ---fin
• EJEMPLO 3
Ilustrar la forma de uso del programa amortiguamiento con los datos del ejemplo 2.
• SOLUCIÓN
>> K = [348000 -125000; -125000 88000]
>> zeda =[0.05; 0.05]
>> [C] = amortiguamiento (K,zeda)
Número de pisos 2
Indique la masa del piso, 1, Valor de la masa: 734
Indique la masa del piso, 2, Valor de la masa: 587
• REPORTE DE PROGRAMA
Matriz de amortiguamiento
C =
1.0 e+003 *
1.5357 -0.3958
-0.3958 0.6255
7.3 ECUACIONES DIFERENCIALES DESACOPLADAS
En el algoritmo de Wilson y Penzien, se empezó indicando que:
∗∗ == MCCt ΩΦΦ ξ2
Para demostrar esta ecuación, es necesario explicar el desacoplamiento del sistema de
ecuaciones diferenciales. Para ello, se recurre al sistema de ecuaciones diferenciales que
gobiernan los problemas dinámicos. Esta es:
QqKqCqM =++ ...
( 7.16 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
( 7.17 )
( 7.22 )
Donde KCM ,, son las matrices de masas, rigidez y amortiguamiento
respectivamente; Q es el vector de cargas generalizadas,
...
,, qqq son los vectores de
desplazamiento, velocidad y aceleración.
El sistema de ecuaciones diferenciales ( 7.16 ) es acoplado, debido a que las matrices
de rigidez y de amortiguamiento no son diagonales ya que tienen elementos fuera de la
diagonal principal. Para desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales y tener las nuevas
matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, diagonales, se plantea el siguiente cambio de
variable:
Xq Φ=
Donde Φ es la matriz Modal cuyas columnas son los respectivos modos de vibración y
fue indicada en ( 7.5 ). En realidad Φ es una matriz depaso que permite pasar de las
coordenadas q a las coordenadas X. La ecuación ( 7.16 ) se transforma en:
∗∗∗∗ =++ QXKXCXM ...
Donde:
QQ
KK
CC
MM
t
t
t
t
Φ
ΦΦ
ΦΦ
ΦΦ
=
=
=
=
∗
∗
∗
∗
• EJEMPLO 4
Antes de realizar la demostración de la ecuación ( 7.20 ) en forma analítica, se hace lo
mismo pero en forma numérica. Para el efecto se desea desacoplar las ecuaciones
diferenciales de la estructura de la figura 7.1, en la cual, a la izquierda se presenta un pórtico
con piso flexible y sus correspondientes grados de libertad; al centro se indican los grados de
libertad que permiten considerar la componente sísmica horizontal o vertical y a la derecha el
modelo de masas concentradas en los nudos.
Las matrices de rigidez, masa y amortiguamiento, para los cuatro grados de libertad del
modelo indicado al centro de la figura 7.1, son:
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
−−
−−
=
177.75737177.137613.164613.164
177.137177.75737613.164613.164
613.164613.164896.47816665.47149
613.164613.164665.47149896.47816
K
( 7.18 )
( 7.19 )
( 7.20 )
( 7.21 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 7.1 Estructura con piso flexible, modelos y grados de libertad.
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
612.00.00.00.0
0.0612.00.00.0
0.00.0612.00.0
0.00.00.0612.0
000
000
000
000
2
1
2
1
m
m
m
m
M
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
−−
−−
=
529.21019.0043.0043.0
019.0529.21043.0043.0
043.0043.0064.13045.11
043.0043.0045.11064.13
C
• SOLUCION
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
=
00396.090388.090387.000.0
00396.090388.090387.000.0
90387.000.000396.090388.0
90387.000.000396.090388.0
Φ
La matriz de amortiguamiento C se halló mediante el algoritmo de Wilson y Penzien.
Se ha indicado también la matriz modal Φ que se obtiene de la solución del problema de
valores y vectores propios. La primera columna de Φ corresponde al primer modo, la segunda
al segundo modo, etc.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Por otra parte, luego del triple producto matricial indicado en las ecuaciones ( 7.19 ) a
(7.21) se encuentra:
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=∗
9.1087
123530
123980
00.155170
K
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=∗
1
1
1
1
M
Era de esperarse que los elementos de la diagonal de la matriz de masa sean la unidad
debido a que los modos están normalizados de la forma 1)()( =iti M φφ .
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=∗
2984.3
147.35
210.35
394.39
C
Tanto en ∗∗∗ CMK ,, se han escrito únicamente los términos de la diagonal ya que
los restantes elementos son cero. Al ser diagonales las matrices se tienen para el ejemplo, 4
ecuaciones diferenciales cada una de ellas en una sola variable, estas son:
∗
∗
∗
∗
=++
=++
=++
=++
44
.
44
..
33
.
33
..
22
.
22
..
11
.
11
..
9.10872984.3
125530147.35
123980210.35
155170394.39
QXXX
QXXX
QXXX
QXXX
Al tener ecuaciones diferenciales en una sola variable, la solución analítica es sencilla.
Lo que no sucede cuando se tienen ecuaciones diferenciales con dos o más variables que se
presentan cuando no se desacopla el sistema de ecuaciones diferenciales.
Para el ejemplo que se analiza, las matrices ξ y Ω , son:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
983.32
468.351
108.352
916.393
05.0
05.0
05.0
05.0
Ωξ
Luego, al utilizar la ecuación ( 7.4 ) se halla la matriz ∗C anotada. Es importante
destacar que se pudo obtener la matriz de amortiguamiento ∗C , diagonal debido a que
se utilizó el algoritmo de Wilson y Penzien para hallar C .
Para demostrar que *** ,, CMK son diagonales se debe realizar el triple producto
matricial indicado en las ecuaciones ( 7.21 ), ( 7.19 ) y ( 7.20 ) respectivamente. Además se
debe tener en cuenta que debido a la ortogonalidad de los modos de vibración se cumple que:
00 )()()()( == jtijti KM φφφφ
Donde i, j, representan los modos i, j. De tal manera que las matrices ** , MK solo
tendrán elementos en la diagonal principal.
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
)()(
)()(
)2()2(
)1()1(
*
ntn
iti
t
t
K
K
K
K
K
φφ
φφ
φφ
φφ
LL
LL
Algo similar se obtiene para *M , en donde un término cualquiera de la diagonal
principal vale )()( iti M φφ pero por la forma como se obtuvieron los modos, para el presente
ejemplo, se tiene: 1)()( =iti M φφ .
En la solución del problema de valores y vectores propios, estudiado en el capítulo 6,
se tenía:
)()( i
i
i MK φλφ =
Donde iλ es el valor propio del modo i. Además 2nii W=λ . Ahora si se multiplica a los
dos lados por ti )(φ se tiene:
i
itiiti
i
iti KMK λφφφφλφφ =⇒= )()()()()()(
De tal forma que los elementos de la diagonal de la matriz ∗K son iguales a las
frecuencias de vibración elevadas al cuadrado.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=∗
2
2
2
2
1
nn
n
n
W
W
W
K
L
7.4 VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO
El sistema de ecuaciones diferenciales, que definen el problema de vibración libre con
amortiguamiento, en sistemas de n grados de libertad es el siguiente:
0=++ qKqCqM ...
Al multiplicar esta ecuación por 1−M por la izquierda se tiene:
01
.
1
.. =++ −− qKMqCMq
Por otra parte, como artificio numérico de cálculo se incorpora la siguiente relación:
0
.. =− qq
Al escribir en forma matricial las ecuaciones ( 7.25 ) y ( 7.24 ) en este orden, se tiene:
0
0
11 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−− ...
.
q
q
CMKM
I
q
q
Se define la matriz F de la siguiente manera:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−= −− CMKM
I
F 11
0
La matriz F es de orden (2n x 2n). Siendo n el número de grados de libertad. Ahora
se plantea el siguiente cambio de variable:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= .
q
q
X
El vector X es de orden ( 2n ) y está compuesto por el vector de desplazamientos y el
vector de velocidades. Al derivar X con respecto al tiempo se tiene:
( 7.23 )
( 7.24 )
( 7.25 )
( 7.26 )
( 7.27 )
( 7.28 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=
..
.
.
q
q
X
Al reemplazar ( 7.27 ) en ( 7.26 ) y posteriormente al sustituir ( 7.29 ) y ( 7.28) se tiene:
0=− XFX.
7.4.1 Exponencial de una matriz
El sistema de ecuaciones diferenciales ( 7.30 ) se puede escribir de la forma:
XFX =.
Sea D una matriz, diagonal, semejante a la matriz F . Por lo tanto, existe una matriz
de paso Φ que admite inversa, tal que:
ΦΦ= − FD 1
Donde Φ es la matriz modal de orden n x n, cuyas columnas son los vectores propiosde la matriz F . Se plantea el siguiente cambio de variable para resolver la ecuación ( 7.30 ).
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
Φ=
)(
)(
)(
2
1
tU
tU
tU
U
UX
n
M
Al derivar ( 7.32 ) con respecto al tiempo, se encuentra:
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
Φ=
)(
)(
)(
.
2
.
1
.
.
..
tU
tU
tU
U
UX
n
M
( 7.29 )
( 7.30 )
( 7.31 )
( 7.32 )
( 7.33 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Al reemplazar ( 7.33 ) y ( 7.32 ) en ( 7.30) se tiene:
UFUUFU ΦΦ=⇒Φ=Φ −1..
Pero el producto ΦΦ− F1 es la matriz diagonal D . Por lo tanto, se ha logrado
desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales.
UDU =.
Al ser desacoplado el sistema ( 7.34 ) por ser D , diagonal, se tiene:
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
tn
n
t
t
eC
eC
eC
tU
λ
λ
λ
M
2
2
1
1
)(
Donde nλλλ L,, 21 son los valores propios de F . Por otra parte, nCCC L,, 21 son
las constantes de integración, que se obtienen en función de las condiciones iniciales. Sea 0X
el vector de condiciones iniciales, para 0=t . Al tener presente en la ecuación ( 7.32 ) que
para 0=t el exponencial teλ es igual a la unidad, se tiene:
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
Φ=
nC
C
C
X M
2
1
0
Sea 0C el vector que contiene a las constantes de integración.
0
1
000 XCCX
−Φ=⇒Φ=
La ecuación ( 7.35 ) se puede escribir de la siguiente manera:
0
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
)( C
e
e
e
C
C
C
e
e
e
eC
eC
eC
tU
tn
t
t
n
tn
t
t
tn
n
t
t
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
MMMM
Se denomina, matriz E a la matriz de los exponenciales.
( 7.34 )
( 7.35 )
( 7.36 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
tn
t
t
e
e
e
E
λ
λ
λ
M
2
1
Con lo que se tiene:
0
1
0)( XECEtU
−Φ==
Pero )()( tUtX Φ= . Luego:
0
1)( XEtX −ΦΦ=
La forma reducida de Jordan, establece que el exponencial de una matriz es igual a:
1−ΦΦ= Ee tF
Finalmente:
0)( XetX
tF=
7.4.2 Resumen del procedimiento de cálculo
Para resolver un problema de vibración libre, en sistemas de n grados de libertad,
considerando el amortiguamiento. Son datos, las matrices de masas, amortiguamiento y
rigidez: KCM ,, y el vector de condiciones iniciales 0X . El procedimiento de cálculo es el
siguiente:
• Se determina la matriz F .
• Se hallan los valores y vectores propios de la matriz F .
• Con los vectores propios se encuentra la matriz modal Φ .
• Con los valores propios se halla la matriz E .
• Se halla el exponencial de tFe
• Finalmente se encuentra la respuesta )(tX mediante la ecuación ( 7.40).
El programa VLIBREAMORTIGUADO, resuelve el problema de vibraciones libres en
un sistema de múltiples grados de libertad considerando el amortiguamiento. La forma de uso
del programa es la siguiente:
[q]=vlibreamortiguado(K, zeda, Xo)
• K es la matriz de rigidez lateral de la estructura, la misma que deberá indicarse en
consola.
• zeda es el vector que contiene los factores de amortiguamiento. Si el sistema tiene n
grados de libertad, se deberán indicar n valores de ξ .
( 7.37 )
( 7.38 )
( 7.39 )
( 7.40 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
• Xo es el vector de condiciones iniciales, que contiene los desplazamientos y
velocidades del sistema. El orden de este vector es 2n; los n primeros valores
corresponden a los desplazamientos y los n restantes a las velocidades en 0=t .
function [q]=vlibreamortiguado(K,zeda,Xo)
%
% Vibraciones libres considerando amortiguamiento.
% Solucion por medio del exponencial de una matriz.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI ESPE
% -----------------------------------------------------------------
% [q]=vlibreamortiguado(K,zeda,Xo)
% -----------------------------------------------------------------
% K Matriz de rigidez lateral del portico plano, viene de consola.
% M Matriz de masas.
% NP Numero de pisos, igual al numero de grados de libertad.
% Por pantalla se indicara las masas de cada piso.
% Previamente el usuario habra calculado la matriz de rigidez lateral
% con otro programa.
% T Periodos de vibracion.
% C Matriz de amortiguamiento.
% zeda Vector que contiene los coeficientes de amortiguamiento. viene de
% consola, sirve para calcular matriz de amortiguamiento.
% Xo Vector de condiciones iniciales, viene de consola.
% F Matriz de orden 2nx2n
% q Los n primeros valores corresponden a los desplazamientos y los
% restantes a las velocidades.
% dt Incremento de tiempo con el cual se obtiene la respuesta.
% n Numero de puntos que se desean obtener en la respuesta.
% Programado para dt=0.02 y n=100
dt=0.02; n=100;
NP = input (' \n Numero de pisos ');
M = zeros(NP,NP); C = zeros(NP,NP);
% Matriz de Masas
for i=1:NP
fprintf ('Indique la masa del piso , %2d',i);
M(i,i) = input (', Valor de la masa: ');
end
% Matriz de amortiguamiento mediante algoritmo de Wilson y Penzien
[V,D]=eig(K,M); Wn=sqrt(D); W=diag(Wn);
for i=1:NP
fi=V(:,i); mi=fi'*M*fi; aux=2*zeda(i)*W(i)/mi;
C=C+aux.*M*fi*fi'*M;
end
% Matriz F
CERO=zeros(NP,NP); IDENT=eye(NP,NP);MIK=(-1)*inv(M)*K; MIC=(-1)*inv(M)*C;
F=[CERO IDENT; MIK MIC];
% Valores Propios de F
[V,D] = eig(F)
% Respuesta en el tiempo
for j=1:n
t=j*dt; E=expm(F*t); EE=real(E); q=EE*Xo;
tt(j)=t; des(j)=q(NP);
end
% Dibujo para la respuesta en el tiempo del ultimo piso
plot (tt,des)
xlabel ('Tiempo (s)'); ylabel ('Desplazamiento ultimo piso');
title ('Vibracion libre considerando amortiguamiento');
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
% ---fin
• EJEMPLO 5
Encontrar la respuesta en el tiempo, para el tercer piso, de la estructura indicada en la
figura 7.2, cuyas matrices de rigidez y masa, son:
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
633.100
0633.10
00633.1
9.8366.10807.285
6.10800.22781.1538
7.2851.15381.2761
MK
Para los siguientes casos:
i) En t=0 ; los desplazamientos laterales son 1.0 cm., para el primer piso; 2.0 cm.,
para el segundo piso y 3.0 cm., para el tercer piso. Las velocidades son nulas para
t=0.
ii) En t=0; únicamente el desplazamiento del tercer piso vale 3.0 cm. Las velocidades
son nulas.
Para los dos casos los valores de 05.0321 === ξξξ
Esta estructura fue analizada en el capítulo 6, cuando se hallaron los modos de
vibración.
Figura 7.2 Pórtico plano sometido a dos ensayos de vibración libre.
• SOLUCIÓN
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Los vectores de condiciones iniciales, para los dos casosque se van a analizar, son:
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
0
0
0
03.0
0
0
0
0
0
03.0
02.0
01.0
00 XX
Se detalla el cálculo para el primer caso, con el programa VLIBREAMORTIGUADO
>> K=[2761.1 -1538.1 285.7; -1538.1 2278.0 -1080.6; 285.7 -1080.6 836.9];
>> zeda=[0.05; 0.05; 0.05];
>> Xo=[0.01; 0.02; 0.03; 0; 0; 0];
>> [q]=vlibreamortiguado(K,zeda,Xo)
Número de pisos 3
Indique la masa del piso, 1, Valor de la masa: 1.633
Indique la masa del piso, 2, Valor de la masa: 1.633
Indique la masa del piso, 3, Valor de la masa: 1.633
La respuesta, para los desplazamientos laterales del tercer piso se indica en la figura
7.3. El programa VLIBREAMORTIGUADO encuentra la respuesta en el tiempo para un
incremento de tiempo de 0.02 s., y hasta un tiempo de 2 s., si se desea la respuesta para un
incremento de tiempo menor se debe cambiar dt en el programa. De igual forma si se desea
calcular para un mayor tiempo se debe cambiar n.
Figura 7.3 Respuesta en el tiempo para los 2 primeros segundos, caso 1 de ejemplo 5.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 7.4 Respuesta en el tiempo para los 2 primeros segundos, caso 2 de ejemplo 5.
En la figura 7.4 se indica la respuesta en el tiempo para el caso 2, en que únicamente
el tercer piso se mueve 2 cm. y todas las demás condiciones iniciales son nulas.
7.5 PROPIEDADES DINÁMICAS COMPLEJAS
Si se obtienen los valores y vectores propios de la matriz F del ejemplo anterior, los
valores y vectores propios son números complejos, esto es debido a que con el
amortiguamiento las formas modales no se conservan. Por esta razón se acostumbra
llamar modos no normales de vibración o modos fuera de fase.
7.5.1 Modos de vibración en el campo de los complejos
• EJEMPLO 6
Presentar los modos de vibración del ejemplo 5, que corresponde a la estructura de 3
pisos indicada en la figura 7.2
• SOLUCIÓN
Al imprimir la matriz V, del programa VLIBREAMORTIGUADO se hallan los 6 modos
de vibración. Los dos primeros se indican a continuación:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−
+−
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=
7753.0
5698.0
2494.0
0853.00043.0
0627.00031.0
0274.00014.0
7753.0
5698.0
2494.0
0853.00043.0
0627.00031.0
0274.00014.0
)2()1( i
i
i
i
i
i
φφ
Las tres primeras cantidades corresponden a los desplazamientos laterales y las tres
últimas a las velocidades. Los restantes modos de vibración, son:
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
+−
+−
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
+
−−
−−
=
5675.0
4798.0
6682.0
0193.00010.0
0163.00008.0
0227.00011.0
5675.0
4798.0
6682.0
0193.00010.0
0163.00008.0
0227.00011.0
)4()3( i
i
i
i
i
i
φφ
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
+
−−
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
+
−−
=
2628.0
6639.0
6999.0
0051.00003.0
0129.00006.0
0136.00007.0
2628.0
6639.0
6999.0
0051.00003.0
0129.00006.0
0136.00007.0
)6()5( i
i
i
i
i
i
φφ
En todos los casos se aprecia que los modos son complejos conjugados, de tal
manera que no se tienen 6 modos, sino únicamente 3. Para entender su significado físico se
debe encontrar el módulo del complejo. Estos resultan:
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
2628.0
6639.0
6999.0
0051.0
0129.0
0136.0
5675.0
4788.0
6682.0
0193.0
0163.0
0227.0
7753.0
5698.0
2494.0
0854.0
0628.0
0275.0
)3()2()1( φφφ
Al obtener el módulo se pierde el signo, de tal manera que es bastante difícil dibujar las
formas modales pero al observar los valores complejos del primer modo se aprecia que las
tres primeras cantidades tienen el mismo signo, luego se puede dibujar la forma modal. De
igual manera al observar el tercer modo con números complejos se aprecia que dos
cantidades tienen el mismo signo y la tercera signo diferente, de manera que es posible dibujar
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
la forma modal y al observar el quinto modo se tiene algo similar. En la figura 7.5 se presentan
los modos de vibración encontrados.
Figura 7.5 Modos de vibración
7.5.2 Valores propios en el campo de los complejos
• EJEMPLO 7
Presentar los valores propios del ejemplo 5, que corresponde a la estructura de 3 pisos
indicada en la figura 7.2
• SOLUCIÓN
Al imprimir la matriz diagonal D, del ejemplo realizado se tiene que los valores propios
son:
ii
ii
ii
4131.515739.24131.515739.2
3899.294713.13899.294713.1
0676.94539.00676.94539.0
65
33
21
+−=−−=
+−=−−=
+−=−−=
λλ
λλ
λλ
Los valores propios son números complejos conjugados. En el siguiente sub apartado
se va a demostrar que un valor propio cualquiera tiene la siguiente forma:
iWWiWW anan +−=+−= ξλξλ
De tal manera que la parte real del número complejo es el valor de nWξ y la parte
imaginaria es aW . Se recuerda que la frecuencia de vibración amortiguada es igual a:
21 ξ−= na WW
( 7.41 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
El módulo del número complejo vale:
( ) nnn WWW =−+ 2222 1 ξξ
Por lo tanto, para hallar las frecuencias de vibración se debe hallar los módulos. Para el
ejemplo estos resultan:
s
W
s
W
s
W nnn
14775.5114267.291079.9 321 ===
Se destaca que MATLAB reporta los valores propios de mayor a menor.
7.5.3 Deducción en base a un sistema de un grado de libertad
Solamente por facilidad, la demostración se realiza para un sistema de un grado de
libertad. En este caso la matriz F puede escribirse de la siguiente manera
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−=
m
c
m
kF
10
Para hallar los valores propios, se debe cumplir que el determinante de IF λ− sea
cero. Donde I es la matriz identidad.
0
1
det)det( =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−
−
=− λ
λ
λ
m
c
m
kIF
De donde:
0)( 2 =++=
m
k
m
cP λλλ
En el capítulo 1, se vio que para sistemas de 1 gdl, se cumple que:
22 nn Wm
kW
m
c == ξ
Por lo tanto, el polinomio característico )(λP queda:
02)( 22 =++= nn WWP λξλλ
Las raíces de )(λP , son:
iWWiWW anan −−=+−= ξλξλ 21
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Por lo tanto, los valores propios de F , son en general, complejos conjugados y el
coeficiente de la parte imaginaria es el valor de la frecuencia natural del sistema amortiguado y
la parte real corresponde al producto nWξ− . Para fines prácticos se tiene que na WW ≈ , con
esta aproximación el coeficiente de la parte imaginaria es el valor de la frecuencia natural del
sistema.
Para encontrar los modos de vibración, se deben reemplazarlos valores propios en:
( ) 0=− φλ IF
Así, para el primer valor propio se tiene:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−
−
⇓
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−+−−
−
0
01
0
01
2 b
a
iWWW
iWW
b
a
iWW
m
c
m
k
iWW
ann
an
an
an
ξ
ξ
ξ
ξ
Como el sistema de ecuaciones es linealmente dependiente, para la solución se
considera:
ia += 1
De donde:
( ) ( ) iWWWWb nana ξξ −++−=
Por lo tanto, el primer modo resulta:
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−++−
+=
iWWWW
i
nana ξξφ
1)1(
Procediendo de igual forma se halla el segundo modo de vibración, que es el
conjugado de )1(φ . De tal manera que la matriz modal Φ resulta:
( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−+−−++−
−+=
iWWWWiWWWW
ii
nananana ξξξξ
11Φ
Para hallar el exponencial de la matriz F , se debe calcular la inversa de Φ , esta es:
( 7.42 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
( ) ( )
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−++−
−−++=−
iiWWWW
iiWWWW
iW nana
nana
a 1
1
4
11
ξξ
ξξΦ
La matriz E , para el sistema de 1 gdl., que se está analizando, resulta:
( )
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= −−
+−
tiWaWn
tiWaWn
t
t
e
e
e
e
E ξ
ξ
λ
λ
0
0
0
0
2
1
De donde:
( ) ( )
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= −−−
−
tWsenitW
tWsenitW
e
ee
ee
E
aa
aatWn
itWatWn
itWatWn
cos0
0cos
0
0 ξ
ξ
ξ
El exponencial de tFe resulta:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+=
=
−
−
tWsenWtWWtWsenW
tWsentWWtWsenW
W
ee
Ee
anaaan
aaaan
a
tWn
tF
tF
ξ
ξξ
cos
cos
2
1ΦΦ
Si bien las matrices 1,, −ΦΦ E contienen números complejos, el triple producto
matricial de las mismas contiene solo cantidades reales. Luego la solución del problema de
vibración libre, con cualquier tipo de amortiguamiento, está en el campo de los números reales.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
CAPÍTULO 8
ANÁLISIS LINEAL
RESUMEN
Se presenta el Método de Newmark, para encontrar la respuesta lineal, en el tiempo,
de un sistema de múltiples grados de libertad, ante una acción sísmica. En primer lugar se
deducen las ecuaciones generales, para el caso de aceleración constante y de aceleración
lineal. Luego se aplica el Método, para el análisis sísmico plano y se resume el procedimiento
de cálculo.
Se indica además el programa NEWMARKLINEAL que grafica la respuesta de
desplazamientos del último piso de un pórtico plano e indica la respuesta máxima. El programa
es de carácter general ya que ingresan como datos las matrices de masas, amortiguamiento,
rigidez y el vector J que define las cargas generalizadas. Encuentra la respuesta ante un
acelerograma.
Finalmente, se describe el modelo de análisis sísmico, para pórticos planos y se realiza
un ejemplo en el que se ilustra el cálculo de las respuestas en el tiempo de desplazamientos
laterales y del cortante basal. Se destaca que el corte basal hallado en el análisis elástico es
bastante alto y que en la práctica se divide este valor para el factor de reducción de las fuerzas
sísmicas, debido a comportamiento inelástico de la estructura. El valor estipulado de este valor
en el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 es muy alto lo cual se demuestra en el
ejemplo.
8.1 MÉTODO DE NEWMARK
Sea
..
iq y 1
..
+iq los vectores de respuesta, de aceleración de un sistema de n grados de
libertad en los tiempos discretos it y 1+it , ante acciones dinámicas y t∆ el incremento de
tiempo, como lo muestra la figura 8.1
Se define:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
1+≤≤−= iii tttparattτ
De ecuación ( 8.1 ), se observa que para itt = , se tiene que 0=τ y para
ttt i ∆== →+ τ1 . Siendo:
ii ttt −=∆ +1
La aceleración del sistema para un instante cualquiera τ , viene definida por:
)()()(
....
1
....
iii qqfqq −+= +ττ
Figura 8.1 Variación de la aceleración entre [ ]1, +ii tt
De tal forma, que:
tparaf
paraf
∆==
==
ττ
ττ
1)(
00)(
En otras palabras, se tiene que:
1)(0 ≤≤ τf
La ecuación ( 8.2 ) considera que la ley de variación de las aceleraciones en el
intervalo [ ]1, +ii tt es la misma para los n grados de libertad.
La velocidad del sistema para un tiempo cualquiera del intervalo puede expresarse
como:
∫+= ti dqqq
0
....
)()( τττ
Al reemplazar ( 8.2 ) en ( 8.3 ) se tiene:
( 8.3 )
( 8.1 )
( 8.2 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
( ) ττττ ττ dfqqdqqq iiii ∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −++= +0
..
1
..
0
....
)(
Se destaca que iq
.
, iq
..
y 1
..
+iq son los vectores de velocidad y aceleración en los
tiempos discretos it y 1+it respectivamente, son cantidades constantes. Luego:
∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −++= +
t
iiii dfqqqqq
0
..
1
......
)()( ττττ
Sea:
∫=
τ
τττ
0
)()( dfg
∫
∆
=∆
t
dft
0
)( ττγ
∫
∆
=∆
t
dgt
0
2 )( ττβ
Para tti ∆== +1τ se tiene al reemplazar ( 8.6 ) en ( 8.4 )
tqqtqqq iiiii ∆−+∆+= ++ γ)(
..
1
.....
1
.
De donde:
( ) tqqqq iiii ∆⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+= ++ 1
.....
1
.
1 γγ
Al reemplazar ( 8.5 ) en ( 8.4 ) e integrar, se halla:
( ) ( )∫ ∫∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −++= +
t
iiii dgqqdqdqdq
0 00
..
1
....
0
..
)(
τττ
τττττττ
∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −++=− +
τ
τττττ
0
..
1
..2...
)(
2
)( dgqqqqqq iiiii
∫−+++= +
τ
τττττ
0
..
1
..2...
)()(
2
)( dgqqqqqq iiiii
Para tti ∆== +1τ se encuentra, luego de sustituir ( 8.7 )
2
..
1
..2...
1 2
tqqtqtqqq iiiiii ∆⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+∆+∆+= ++ β
De donde:
2
1
.....
1 2
1 tqqtqqq iiiii ∆⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+∆+= ++ ββ
( 8.4 )
( 8.5 )
( 8.6 )
( 8.7 )
( 8.8 )
( 8.9 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
2
1
..
2
...
1 2
1 tqtqtqqq iiiii ∆+∆⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+∆+= ++ ββ
Al despejar 1
..
+iq de esta última ecuación, se tiene:
iiiii qtqqqt
q
...
11
..
1
2
11 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∆−−∆= ++ ββ
Al reemplazar ( 8.10 ) en ( 8.8 ), se obtiene:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −∆−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∆−−∆∆+∆−+= ++ 12
111
...
12
...
1
.
βγβγγ iiiiiii qttqqqtttqqq
Luego:
( ) iiiii qtqqqtq
...
11
.
2
11 ∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−∆= ++ β
γ
β
γ
β
γ
• EJEMPLO 1
Determinar los valores de β y γ . Si )(τf se considera constante y vale 0.5
• SOLUCIÓN
Al ser constante )(τf de ecuación ( 8.5 ), se tiene:
ττ
2
1)( =g
Al sustituir este valor en ecuación ( 8.7 ), se obtiene:
∫
∆
=∆
t
dt
0
2
2
1 ττβ
4
1
4
1 22
=
∆=∆
β
β tt
Por otra parte, al reemplazar )(τf en ecuación ( 8.6 ) se halla:
( 8.10 )
( 8.11 )
Roberto Aguiar FalconíCEINCI-ESPE
2
1
2
1
2
1
0
=
∆=∆
=∆ ∫∆
γ
γ
τγ
tt
dt
t
Por lo tanto, cuando se considera que la variación de la aceleración en la
respuesta del sistema es constante, los valores de β y γ son respectivamente
4
1
y
2
1
.
A este caso se denomina Método de Aceleración Constante o Método del Trapezoide.
• EJEMPLO 2
Determinar los valores de β y γ si )(τf varía en forma lineal y viene definida por la
siguiente ecuación:
t
f ∆=
ττ )(
• SOLUCIÓN
Al emplear la ecuación ( 8.5 ), se encuentra:
t
g ∆= 2)(
2ττ
Al reemplazar este valor en ( 8.7 ) e integrar, se halla:
ττβ d
t
t
t
2
0
2
2
1 ∫∆∆=∆
6
1
32
1 32
=
∆
∆=∆
β
β t
t
t
Al trabajar con la ecuación ( 8.6 ), se obtiene:
2
1
2
1 2
0
=
∆
∆=∆
∆=∆ ∫
∆
γ
γ
ττγ
t
t
t
d
t
t
t
Por lo tanto, para el caso de aceleración lineal
6
1=β y
2
1=γ
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
8.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWMARK
El sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna los problemas dinámicos, está
definido por la ecuación ( 8.12 ). La solución de este sistema se realizará con el Método de
Newmark.
)(
...
taJMqKqCqM −=++
Donde KCM ,, son las matrices de Masa, Amortiguamiento y Rigidez del sistema.
Se consideran constantes para análisis lineal.
...
,, qqq son los vectores de desplazamiento,
velocidad y aceleración, respectivamente, . J es un vector que contiene unos para el caso
plano, depende del modelo numérico de análisis, a(t) es la aceleración de movimiento del
suelo. Normalmente se considera la componente horizontal.
Para el tiempo discreto 1+it , la ecuación ( 8.12 ), queda:
111
.
1
..
++++ −=++ iiii aJMqKqCqM
Por otra parte, el vector de desplazamientos en forma incremental, es
iii qqq +∆= ++ 11
Las ecuaciones ( 8.11 ) y ( 8.10 ) en función de ∆ quedan:
iiii
iiii
qtqq
t
q
qq
t
q
t
q
...
11
.
...
121
..
2
11
1
2
111
∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+∆∆=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−∆−∆∆=
++
++
β
γ
β
γ
β
γ
βββ
Finalmente, al reemplazar ( 8.16 ), ( 8.15 ) y ( 8.14 ) en ( 8.13 ), se obtiene luego de
agrupar términos
11 ++
∧ =∆ ii FqK
Siendo:
C
t
M
t
KK ∆+∆+=
∧
β
γ
β 2
1
iiiiiii qKqtqCqqt
MaJMF −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+∆+−= ++
......
11 2
111
2
11
β
γ
β
γ
ββ
Se denomina a
∧
K como la matriz de rigidez efectiva, que es una matriz constante para
análisis lineal y a 1+iF el vector de cargas efectivas, que es variable en cada instante de
tiempo.
( 8.12 )
( 8.13 )
( 8.14 )
( 8.15 )
( 8.16 )
( 8.17 )
( 8.18 )
(8.19)
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Al resolver el sistema de ecuaciones lineales definido en ( 8.17 ) se encuentra 1+∆ iq .
Por lo tanto el vector de desplazamientos para el tiempo 1+i se obtendrá sumando éstos
valores a los del tiempo i, utilizando la ecuación ( 8.14 ). La aceleración y velocidad para el
tiempo 1+i se encuentran con las ecuaciones ( 8.15 ) y ( 8.16 ).
Si en el tiempo 0=t , la aceleración del suelo es diferente de cero y si las condiciones
iniciales 0)0()0(
. == qq . Se debe evaluar )0(..q con la ecuación del movimiento que queda:
)0()0(
..
aJMqM −=
8.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
El procedimiento de cálculo, para el análisis lineal, utilizando el método β de
Newmark, es el siguiente:
i. Se determina la matriz de rigidez efectiva.
C
t
M
t
KK ∆+∆+=
∧
β
γ
β 2
1
ii. Para el instante de tiempo 1+i se determina el vector de cargas efectivo.
iiiiiii qKqtqCqqt
MaJMF −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+∆+−= ++
......
11 2
111
2
11
β
γ
β
γ
ββ
iii. Se obtiene el incremento de desplazamiento para el tiempo 1+i , para ello se debe
resolver el sistema de ecuaciones lineales:
11 ++
∧ =∆ ii FqK
iv. Se calculan la aceleración, velocidad y desplazamiento en el incremento de tiempo
1+i .
iiii
iiii
qtqq
t
q
qq
t
q
t
q
...
11
.
...
121
..
2
11
1
2
111
∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+∆∆=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−∆−∆∆=
++
++
β
γ
β
γ
β
γ
βββ
iii qqq +∆= ++ 11
v. Se actualizan desplazamientos, velocidades y aceleraciones y se pasa al próximo
punto desde el paso ii.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
1
....
1
..
1
+
+
+
=
=
=
ii
ii
ii
qq
qq
qq
• EJEMPLO 3
Encontrar la respuesta en el tiempo, del pórtico plano de la figura 8.2 ante el sismo del
9 de noviembre de 1974, registrado en Perú. Las matrices de rigidez, masas, amortiguamiento
y el vector J, se indican a continuación.
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
633.100
0633.10
00633.1
9.8366.10807.285
6.10800.22781.1538
7.2851.15381.2761
MK
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
1
1
1
0325.31143.20124.0
1143.23010.51516.2
0124.01516.23608.6
JC
• SOLUCIÓN
Para el análisis sísmico plano, en que se concentran las masas, como se indica en la
figura 8.2, el vector J es unitario. Para encontrar las matrices de rigidez, masas y
amortiguamiento, las unidades utilizadas son T., m., y s. Esto se debe tener cuenta para que el
acelerograma tenga unidades de m/s2.
Para resolver el problema se elaboró el programa NEWMARKLINEAL y la forma de
uso es la siguiente:
[Y] = NEWMARKLINEAL (p,M,C,K,J,dt,beta)
• p Corresponde al nombre del archivo que contiene el acelerograma.
• M Es la matriz de masas de orden (nxn) Siendo n el número de grados de libertad.
• C Es la matriz de amortiguamiento.
• K Es la matriz de rigidez.
• J Es el vector unitario, para el caso plano (Q = - M J a(t) ).
• dt Es el incremento de tiempo del acelerograma y con el cual se halla la respuesta
dinámica.
• beta Vale 0.25 cuando se considera aceleración constante o 0.167 para aceleración
lineal.
• Y Es la respuesta máxima de los desplazamientos, en valor absoluto, del último piso
de un pórtico plano.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 8.2 Modelo de cálculo de un pórtico plano para el análisis sísmico.
>> K=[2761.1 -1538.1 285.7; -1538.1 2278.0 -1080.6; 285.7 -1080.6 836.9]
>> M=[1.63 0 0; 0 1.63 0; 0 0 1.63]
>> C=[ 6.3608 -2.1516 0.0124; -2.1516 5.3010 -2.1143; 0.0124 -2.1143 3.0325]
>> J=[1; 1; 1]
>> load Peru04.dat
>> [Y] =newmarklineal (Peru04,M,C,K,J,0.02,0.167)
El archivo del acelerograma tiene un 02.0=dt y se ha considerado 167.0=β . La
respuesta del tercer piso se indica en la figura 8.3 y el valor máximo del desplazamiento es
0.0226 m. Este ejercicio se resuelve también en el próximo capítulo por el Procedimiento de
Espacio de Estado.
function [ymax]=Newmarklineal(p,M,C,K,J,dt,beta)
%
% Respuesta en el tiempode un sistema de multiples grados de libertad
% por el Metodo de Newmark, ante una sismo definido por su acelerograma
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI ESPE
%
%------------------------------------------------------------------
% [ymax]=Newmarklineal(p,M,C,K,J,dt,beta)
%------------------------------------------------------------------
% p : vector que contiene los registros del acelerograma
% M : matriz de masas del sistema
% C : matriz de amortiguamiento del sistema
% K : matriz de rigidez del sistema
% J : Q=-M J a(t) es vector unitario para caso plano.
% dt : incremento de tiempo con el cual se calcula la respuesta.
% beta: Vale 1/4 para aceleracion constante y 1/6 para aceleracion lineal
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
% gama: Vale 0.5
% d, v, a : desplazamiento, velocidad y aceleracion de la respuesta
%
n=length(p);tmax=dt*n;t=linspace(0,tmax,n)';gama=0.5;ngl=length(K);
% Cambio de cm/s2 a m/s2 en el acelerograma
for i=1:n
p(i)=p(i)/100;
end
% Constantes auxiliares de calculo
fac1=1/(beta*dt);fac2=gama/(beta*dt); fac3=1/(beta*dt*dt);
fac4=(1/(2*beta))-1;fac5=1-(gama/beta); fac6=1-(gama/(2*beta));
% Calculo de K sombrero
Ks=K+fac3*M+fac2*C;
% Condiciones iniciales
for i=1:ngl
d(i)=0; v(i)=0; a(i)=0;
end
d=d';v=v';a=a';
% Respuesta en el tiempo
for i=1:n-1
F=-M*J*p(i+1)+M*(fac1*v+fac4*a)-C*(fac5*v+fac6*dt*a)-K*d;
dq=Ks\F;aa=fac3*dq-fac1*v-fac4*a;
vv=fac2*dq+fac5*v+fac6*dt*a;dd=dq+d;
y(i)=dd(ngl);tt(i)=dt*i;
d=dd; v=vv; a=aa;
end
plot (tt,y)
ylabel('Desplazamiento ultimo piso');xlabel('Tiempo')
ymax=max(abs(y))
%---fin---
Figura 8.3 Respuesta en desplazamientos del tercer piso.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
8.4 MODELO NUMÉRICO PARA ANÁLISIS PLANO
El modelo numérico con el cual se realiza el análisis sísmico, se lo ha venido
desarrollando en los capítulos anteriores, sin embargo en el presente apartado, se describe en
forma rápida el mismo, en el presente apartado.
• EJEMPLO 4
Encontrar la respuesta sísmica del pórtico 2, de una construcción de 2 pisos, de la
figura 8.4, ante el acelerograma sintético, indicado en la figura 8.5. Este acelerograma genera
en forma aproximada el espectro del CEC-2000 para un perfil de suelo S2 en la zona de mayor
peligrosidad sísmica de Ecuador.
El registro de la figura 8.5 es una acelerograma artificial, que tiene una duración de 20
segundos y la fase inicial y final son de 5 segundos, cada uno. De tal forma que la fase intensa
la que produce daño tiene una duración de 10 segundos. Como se indicó este acelerograma
reproduce, en forma aproximada, el espectro del Código Ecuatoriano de la Construcción, para
un perfil de suelo S2 y para una aceleración máxima del suelo del 40% de la aceleración de la
gravedad.
Las cargas que se consideran para el análisis, son de 500 kg/m2 para la carga muerta y
de 200 kg/m2 para la carga viva, de tal manera que la carga para el análisis sísmico es de 550
kg/m2 ya que se trata de una vivienda. (550 = 500 + 0.25 x 200).
Figura 8.4 Estructura de análisis
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 8.5 Acelerograma sintético.
• SOLUCIÓN
En la figura 8.6, se aprecia que sobre el pórtico 2, gravitan dos cargas triangulares, de
tal forma que la carga uniforme distribuida sobre el pórtico, tiene un valor de:
m
TsWP 467.12*
3
0.455.02
30
=∗=∗=
Siendo W la carga uniforme distribuida por unidad de área, s la luz corta, que en
este caso es igual y vale 4.0 m., se multiplica por 2 ya que son dos áreas cooperantes. En la
figura 8.7 se presenta la geometría del pórtico 2, con las cargas actuantes y las secciones de
las vigas y columnas.
Las vigas se consideran axialmente rígidas, de tal manera de tener un solo
desplazamiento horizontal por piso. Las columnas se consideran totalmente flexibles, con esta
indicación en la figura 8.8 se indican los grados de libertad, respectivos.
Figura 8.6 Área cooperante de carga para el pórtico 2
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
En la figura 8.8, se indican las coordenadas principales, que son la 9 y la 10. Las
coordenadas secundarias van del 1 al 8. Las coordenadas principales se han numerado al final,
debido a que la matriz de rigidez lateral, se obtiene aplicando la primera etapa de Gauss, que
consiste en triangularizar el sistema, como se indicó en el capítulo 4. La matriz de rigidez de la
estructura es de 10 por 10, luego al aplicar la primera etapa de Gauss pero hasta la fila 8, se
obtiene la matriz de rigidez lateral en las dos últimas filas.
Figura 8.7 Geometría del pórtico 2 y cargas actuantes.
Únicamente para aplicar el Método de Newmark se trabaja con la matriz de rigidez
lateral, que para el presente ejemplo es de 2 por 2.
Figura 8.8 Coordenadas principales y secundarias
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Se trabaja con un modelo de masas puntuales por piso, como se indica en la figura 8.9,
de tal manera que 1m es la masa total del piso 1 y 2m es la masa total del piso 2.
m
sTmm
2
21 599.08.9
4467.1 =∗==
La matriz de masas es de 10 por 10, en la cual solo existen valores diferentes de cero
en la fila 9 y columna 9, que vale 1m y en la fila 10 y columna 10, que vale 2m . Se trabaja con
modos Ritz, como se vio en el capítulo 6. Para el ejercicio, las propiedades dinámicas del
pórtico que se analiza se indican en la tabla 8.1.
Tabla 8.1 Propiedades dinámicas de pórtico 2.
Modo Valor Propio Frecuencia Natural
(1/s)
Período
(s)
1 646.645 25.429 0.247
2 9017.31 94.959 0.066
Figura 8.9 Modelo para el cálculo de las masas
Como se trabajó con matrices de 10 por 10, los modos de vibración tienen 10
elementos y son:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
5151.0
185.1
5521.0
01541.0
5521.0
01541.0
01458.0
00757.0
01458.0
00757.0
1850.1
5151.0
1456.0
0069.0
1456.0
0069.0
2043.0
00495.0
2043.0
00495.0
)2()1( φφ
Para entender el significado de los modos de vibración, se debe mirar primero la figura
8.8; ahí se aprecia que la primera coordenada corresponde al desplazamiento vertical del nudo
izquierdo de la primera planta, positivo si va hacia arriba, la segunda al giro de ese nudo,
positivo si es antihorario, etc. Las dos últimas coordenadas corresponden al desplazamiento
lateral del primero y segundo piso.
Nótese que los desplazamientos verticales, tanto para el primer modo como para el
segundo modo, son pequeños, pero existen y los giros en cada uno de los nudos, no son tan
pequeños, especialmente para el primer modo. Se recuerda que los modos lo único que
indican es la forma como va a responder la estructura y son adimensionales.
En la figura 8.10 se ha dibujado las dos formas modales;cada uno de los nudos se ha
identificado con una letra tanto para la posición inicial como para la posición final. Con el
propósito de ilustrar la forma del modo no se ha dibujado en forma proporcional a los
resultados. Lo importante de todo esto, es que se vea que ha más de los desplazamientos
horizontales existen desplazamientos verticales y rotaciones, en cada uno de los nudos.
Figura 8.10 Modos de vibración considerando todos los grados de libertad.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Normalmente, para el análisis sísmico plano, se dibujan los modos de vibración como
se indica en la figura 8.11, para las coordenadas principales, debido a que las coordenadas
secundarias influyen muy poco en la respuesta estructural.
Figura 8.11 Modos de vibración considerando solo los desplazamientos horizontales.
A pesar de que la matrices de rigidez, masa y amortiguamiento son de 10 por 10, la
estructura solo tiene dos modos de vibración, debido a que las dos últimas matrices solo dos
cantidades son diferentes de cero.
En las figuras 8.12 y 8.13 se muestran la respuesta en el tiempo del desplazamiento
horizontal del primer y del segundo piso. Como se trabaja en el rango elástico la estructura
oscila siempre con respecto al eje de coordenadas (desplazamiento igual a cero); cuando la
estructura responde en el rango no lineal este eje varía de acuerdo a las deformaciones
permanentes del sistema. Se aprecia en estas figuras que los dos pisos tienen básicamente el
mismo comportamiento, claro está que el segundo piso tiene mayores desplazamientos
horizontales que el primer piso.
Para fines prácticos, interesa los desplazamientos laterales máximos, estos son:
0.0107 m., para el piso uno y 0.0242 m., para el piso dos.
-0,015
-0,01
-0,005
0
0,005
0,01
0,015
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tiempo (Seg)
D
es
pl
az
am
ie
nt
o
Pr
im
er
P
is
o
(m
)
Figura 8.12 Respuesta en el tiempo del desplazamiento horizontal del primer piso.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
-0,025
-0,02
-0,015
-0,01
-0,005
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tiempo (Seg)
D
es
pl
az
am
ie
nt
o
Se
gu
nd
o
Pi
so
(m
)
Figura 8.13 Respuesta en el tiempo del desplazamiento horizontal del segundo piso.
Por otra parte, en la figura 8.14 se presentan las fuerzas horizontales que actúan en los
pisos uno y dos, la suma de estas fuerzas horizontales, reporta el cortante basal que se ha
denominado V y en la figura 8.15 se indica la respuesta en el tiempo del cortante basal.
Figura 8.14 Fuerzas horizontales equivalentes y cortante basal
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 5 10 15 20
Tiempo (Seg)
C
or
ta
nt
e
B
as
al
(T
on
)
Figura 8.15 Variación en el tiempo del cortante basal.
Como era de esperarse las respuestas máximas se hallan en la fase intensa del
acelerograma que va desde los 5 hasta los 15 segundos.
Figuras similares, se puede presentar para ver la variación en el tiempo, de los
momentos a flexión, cortantes o fuerzas axiales, en vigas y columnas.
El cortante basal máximo, que se observa en la figura 8.15 es de 14.456 T., es una
cantidad muy alta. Como se estudió en el capítulo 3, este es el cortante elástico y el cortante
inelástico para el cual se diseña la estructura, se obtiene dividiendo el cortante elástico
para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R , que es función del factor de
reducción por ductilidad µR , del factor de resistencia sR y del factor de redundancia
RR
8.5 COMENTARIO SOBRE CORTANTE BASAL MINIMO
Algunos proyectistas estructurales, reducen el cálculo sísmico a obtener el cortante
basal 0V de acuerdo al Código Ecuatoriano de la Construcción y luego encuentran las fuerzas
laterales en cada uno de los pisos. El valor de 0V se halla con la siguiente ecuación:
W
R
CIZV
ep φφ=0
Donde Z es el factor de zonificación sísmica, I es el coeficiente de importancia, C el
coeficiente sísmico, R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas, ep φφ , coeficientes
que toman en cuenta las irregularidades en planta y elevación, W es el peso reactivo que se
obtiene únicamente con la carga muerta.
Para el ejercicio que se resolvió en el apartado anterior, se tiene que el factor de
zonificación es igual a 0.4, el de importancia es 1, que el coeficiente sísmico 3=C . Para el
tipo de estructura el Código Ecuatoriano de la Construcción permite trabajar con 10=R y
como la estructura no tiene irregularidades en planta y elevación se tiene: 1== ep φφ .
( 8.20 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
El peso total reactivo, obtienen multiplicando el área cooperante (negreada de figura
8.4) por el valor de la carga muerta y por el número de pisos, de tal forma que:
.825.02
2
24 TW =∗⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∗⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∗∗=
Al reemplazar todos estos valores, se encuentra que el cortante basal mínimo 0V es
igual a:
TV 96.08
1110
0.30.14.0
0 =∗∗∗
∗∗=
El cortante basal que se obtuvo del análisis elástico es de 14.456 T., y si diseñan para
un cortante basal de 0.96 T., el real valor de R con el cual están trabajando es 15.05, cantidad
que resulta de dividir 14.456 para 0.96.
Se debe tener mucho cuidado con el valor de R . Se recomienda que en pórticos
planos conformados por vigas y columnas el valor máximo de R sea igual a 8, con el
compromiso del proyectista estructural de que va a cumplir estrictamente con todo lo
estipulado en el Código A.C.I. de 2005.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
CAPÍTULO 9
PROCEDIMIENTO DE ESPACIO DE ESTADO
RESUMEN
El Procedimiento de Espacio de Estado, SSP, es muy utilizado en el control activo de
estructuras, sin embargo aquí se lo presenta para resolver la respuesta en el tiempo de un
sistema de múltiples grados de libertad acoplados. Por lo tanto se trabajan con matrices de
rigidez, masa y amortiguamiento que no son diagonales. El Procedimiento de Espacio de
Estado, tiene enormes ventajas de exactitud y tiempo de ejecución respecto a métodos
clásicos. Además de ello no presenta problemas de estabilidad en la solución numérica.
Se presenta el programa denominado PSE que encuentra la respuesta en el tiempo
para cualquier modelo numérico de cálculo ya que se debe dar como datos: las matrices de
masa, amortiguamiento y rigidez; de igual manera, se dará como dato el vector que multiplica a
la aceleración del suelo. El programa PSE halla la respuesta en el tiempo de un sistema de
múltiples grados de libertad ante un determinado acelerograma y presenta la historia de
desplazamientos correspondiente al grado de libertad n, pero el usuario fácilmente puede
encontrar la respuesta en desplazamientos con respecto a cualquier grado de libertad.
Finalmente se presenta un modelo de análisis sísmico de un sistema en forma de
péndulo invertidoconsiderando la interacción suelo estructura, donde se aplica el
Procedimiento de Espacio de Estado para encontrar la respuesta en el tiempo.
9.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
El sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan los problemas de dinámica
estructural, es el siguiente:
QqKqCqM =++ ...
( 9.1 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Donde KCM ,, son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez,
respectivamente;
...
,, qqq son los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración. Q es
el vector de cargas generalizadas.
Al premultiplicar la ecuación ( 9.1 ) por 1−M , por la izquierda, se halla:
QMqKMqCMq 11
.
1
.. −−− =++
Como artificio numérico de cálculo se introduce la siguiente ecuación:
0=− .. qq
Se introduce la siguiente notación:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=⇒⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
..
.
.
.
q
q
X
q
q
X
Con esta notación, las ecuaciones ( 9.3 ) y ( 9.2 ), quedan:
rXFX +=.
Donde:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−= −− CMKM
I
F 11
0
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= − QMr 1
0
La solución del sistema es la siguiente:
( )kkkkk rrPrPXAX −++= +++ 12111
Siendo:
( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −∆=
−=
=
−
−
∆
AP
t
FP
IAFP
eA Ft
1
1
2
1
1
1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
−−
−
0
11
1
I
MKCK
F
En la ecuación ( 9.8 ) el subíndice k corresponde al instante de tiempo k y el subíndice
k+1 al instante de tiempo k+1. En la ecuación ( 9.9 ), t∆ es el incremento de tiempo con el cual
se desea hallar la respuesta en el tiempo. En el programa PSE que se presenta en los
( 9.2 )
( 9.3 )
( 9.4 )
( 9.5 )
( 9.6 )
( 9.7 )
( 9.8 )
( 9.9 )
( 9.10 )
( 9.11 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
siguientes apartados se ha considerado que t∆ es el incremento de tiempo con el cual se
obtuvo el acelerograma y es igual al incremento de tiempo con el cual se halla la respuesta en
el tiempo.
Para hallar el vector de estado X en el instante k+1 mediante la ecuación ( 9.8 ) se
debe conocer el valor de X en el instante k, el valor de la excitación en los instantes k y k+1.
La fuente de error se tiene en el cálculo del exponencial de la matriz:
1)exp( −== ΦΦ∆ EFtA
Siendo Φ la matriz modal, cuyas columnas son los vectores propios de F , E es la
matriz diagonal cuyos elementos son )exp( λt∆ , donde λ son los valores propios de F .
9.2 FORMULACIÓN DE LA RESPUESTA
La solución de la ecuación ( 9.5 ) es la siguiente:
( ) ( )[ ] ( ) τττ drtFXtFtX t −+= ∫
0
0 expexp)(
Al discretizar la respuesta y considerando un incremento constante de tiempo t∆ se
puede encontrar la respuesta en un instante ( ) tkt ∆+= 1 en función del valor anterior para
tkt ∆=0 .
( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )[ ]( )∫
∆+
∆
−∆++∆∆=∆+∆
tk
tk
drFtktkXtFttkX
1
1expexp τττ
Se considera que la variación de la excitación r entre el instante de tiempo tk ∆ y el
instante de tiempo ( ) tk ∆+1 es lineal. Luego:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tktk
t
tkrttkrtktkrr ∆+<≤∆∆
∆−∆+∆∆−+∆= 1τττ
Al sustituir esta variación de ( )τr en la integral y considerando el siguiente cambio de
variable:
( ) τµτµ ddtk −=⇒−∆+= 1
Se tiene:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∆ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∆+∆
∆−∆+∆−∆+∆∆=∆+∆
t
dtkr
t
tkrttkrtFtkXtFttkX
0
expexp µµµ
Ecuación que puede expresarse en forma condensada, de la siguiente manera:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]krkrPkrPkXAkX −+++=+ 111 21
Donde:
( 9.12 )
( 9.13 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −∆=
−=
=
−
−
∆
AP
t
FP
IAFP
eA Ft
1
1
2
1
1
1
El algoritmo de Espacio de Estado puede ser considerado como la generalización de la
integral de Duhamel para varios grados de libertad.
9.3 PROGRAMA PSE
El programa PSE encuentra la respuesta en el tiempo de un sistema de n grados de
libertad ante una acción sísmica definida por el acelerograma. La forma de uso del programa
es la siguiente:
[q]=pse(M,C,K,Qo,p,dt)
• M es la matriz de masas del sistema, de orden nXn. El usuario debe indicar por consola
esta matriz.
• C es la matriz de amortiguamiento del sistema, que debe el usuario dar por consola.
• K es la matriz de rigidez del sistema, que debe el usuario dar por consola.
• Qo es el vector que multiplica a la aceleración del suelo, se debe indicar por consola.
• p es el nombre del archivo que contiene al acelerograma.
• dt es el incremento de tiempo del acelerograma. Con este incremento de tiempo se
encuentra la respuesta en el tiempo.
Si se tiene un sistema de un grado de libertad, la ecuación del movimiento es:
)(
...
tamqkqcqm −=++
Para este caso el valor de Qo que se debe indicar al programa es: Qo=[-m]
Para un sistema de múltiples grados de libertad, el sistema de ecuaciones diferenciales
es el siguiente:
)(
...
taJMqKqCqM −=++
En este caso el valor de Qo es: JMQ −=0
Como se aprecia Qo es el vector que multiplica a la aceleración del suelo )(ta . Es
importante tener presente las unidades en las cuales está el acelerograma. Si las unidades
están en cm./s2, en el cálculo de las matrices de masa, rigidez y amortiguamiento se deberá
trabajar con T., y cm., como se aprecia en el primer ejemplo que se resuelve, posteriormente.
Si en todo el cálculo dinámico se ha trabajado en T., y m., el usuario del programa
debe cambiar las unidades del acelerograma de cm./s2 a m/s2. Esto antes de utilizar el
programa PSE, la otra opción es modificar al programa de tal manera que la aceleración del
suelo se pase de cm./s2., a m/s2.; este procedimiento se ilustra en el segundo ejemplo. Lo
importante es que se tengan unidades compatibles.
function [q]=pse(M,C,K,Qo,p,dt)
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
%
% Procedimiento de Espacio de Estado para sistemas de n grados de libertad
% Programa general en que se requiere la respuesta ante un acelerograma.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI ESPE
% -----------------------------------------------------------------
% [q]=pse(M,C,K,Qo,p,dt)
% -----------------------------------------------------------------
% M Matriz de masas.
% C Matriz de amortiguamiento.
% K Matriz de rigidez.
% Qo Coeficiente del vector de cargas que multiplica a la aceleracion
% del suelo.
% p Acelerograma para el cual se calcula la respuesta en el tiempo.
% Previamente el usuario habrá calculado las matrices de masa,
% amortiguamiento, rigidez, así como el coeficiente Qo.
% F Matriz de orden 2nx2n
% q Los n primeros valores corresponden a los desplazamientos y los
% restantes a las velocidades.
% dt Incremento de tiempo con el cual se obtiene la respuesta.
ngl=length(K);
% Matriz F
CERO=zeros(ngl,ngl); IDENT=eye(ngl,ngl);MIK=(-1)*inv(M)*K;MIC=(-1)*inv(M)*C;
F=[CERO IDENT; MIK MIC];
% Exponencial de la matriz F multiplicado por dt
A=expm(dt*F);
% Matrices P1 y P2
IDEN=eye(2*ngl,2*ngl); P1=inv(F)*(A-IDEN); P2=inv(F)*((1/dt)*P1-A);
% Vector r de cargas sísmicas
for i=1:ngl; NULO(i)=0; end; MIQ=inv(M)*Qo;
% respuesta en el tiempo
n=length(p);
for i=1:2*ngl; Xk(i)=0;end; Xk=Xk';q=Xk(ngl);
for i=1:n-1
t(i)=i*dt;MCARGA=MIQ*p(i); MCARGA2=MIQ*p(i+1);rk=[NULO'; MCARGA];rk2=[NULO';
MCARGA2];
Xk2=A*Xk+P1*rk2+P2*(rk2-rk);
% Solo almacena la respuesta en el tiempo del ultimo grado de libertad
q(i)=Xk2(ngl); Xk=Xk2;
end
q=q'; t=t';
% Dibujo para la respuesta en el tiempo del ultimo piso
plot (t,q)
xlabel ('Tiempo (s)'); ylabel ('Desplazamiento ultimo piso');
% ---fin
9.4 EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Se resuelven dos ejemplos, el primero corresponde a un sistema de 1 gdl., que es el
sistema del ejercicio 1, resuelto en el capítulo 1 y el segundo a un pórtico de 3 pisos. En el
primer caso las unidades son compatibles, mientras que en el segundo no lo son.
• EJEMPLO 1
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de 1 gdl., que está definido por:
cm
Tk
cm
Tc
cm
sTm 193366.00030775.0004898.0
2
===
Ante el sismo registrado en el Perú el 9 de noviembre de 1974, cuyo archivo está en
gals y se denomina Peru04.dat. El intervalo de tiempo de este archivo es 0.02 s.
• SOLUCIÓN
En la figura 9.1 se presenta la respuesta en el tiempo del sistema, pero antes se indica
la forma como se debe proceder para la entrada de datos.
>> M=[0.004898]
>> C=[0.003775]
>> K=[0.193366]
>> Qo=[-0.004898]
>> load Peru04.dat
>> [q]=pse(M,C,K,Qo,Peru04,0.02)
Las matrices ,,,,, 21
1 PPAFF − son:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−=
−
01
0253.00159.0
6283.04786.39
10 1FF
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−= 9797.07826.0
0198.09921.0
A
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−= 0099.00052.0
0001.0010.0
0198.00079.0
0002.00199.0
21 PP
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 9.1 Respuesta en el tiempo de ejemplo 1.
• EJEMPLO 2
Encontrar la respuesta en el tiempo, del tercer piso, de la estructura indicada en la
figura 9.2, ante el sismo de Perú del 9 de noviembre de 1974. Las unidades con las cuales se
obtuvieron las matrices de rigidez, masa y amortiguamiento son T., y m.
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
633.100
0633.10
00633.1
9.8366.10807.285
6.10800.22781.1538
7.2851.15381.2761
MK
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
633.1
633.1
633.1
0325.31143.20124.0
1143.23010.51516.2
0124.01516.23608.6
0QC
La matriz de amortiguamiento se obtuvo con los siguientes valores
05.0321 === ξξξ .
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 9.2 Pórtico plano sometido a dos ensayos de vibración libre.
• SOLUCIÓN
Se modificó al programa PSE debido a que el acelerograma está en cm./s2 y se desea
tener en m/s2. Las sentencias que se incrementaron son:
for i=1:n
p(i)=p(i)/100;
end
En la figura 9.3 se indica la respuesta de desplazamientos del tercer piso, se aprecia
que prácticamente se obtuvieron los mismos resultados cuando se aplicó el Método de
Newmark, en el capítulo anterior.
Los desplazamientos laterales máximos, para cada uno de los pisos y el cálculo de la
deriva máxima de piso se indican en la tabla 9.1. La deriva máxima de piso es el
desplazamiento relativo de piso dividido para la altura de piso.
Tabla 9.1 Cálculo de la deriva máxima de piso
Piso Desplazamiento
Máximo
(m)
Desplazamiento
Relativo
(m)
Altura de Piso
(m)
Deriva de Piso
(%)
3 0.0227 0.0063 3.00 0.21
2 0.0164 0.0092 3.00 0.31
1 0.0072 0.0072 3.00 0.24
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 9.3 Desplazamientos del tercer piso de ejemplo 2.
En la última columna de la tabla 9.1 se indica la deriva máxima de piso en porcentaje.
Interesa el mayor valor de todos ellos. Este es 0.31%.
9.5 INTRODUCCION A LA INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA
A la izquierda de la figura 9.4 se presenta un modelo de cálculo de una estructura en
forma de péndulo invertido que tiene una masa m y su correspondiente cimentación que tiene
una masa mo. Este modelo fue presentado en el capítulo 5, cuando se calculó la matriz de
masas. La diferencia que se tiene ahora es que los giros se consideran horario positivos. En el
libro “Análisis Sísmico de estructuras en forma de Péndulo Invertido” de Roberto Aguiar (1991)
se presenta un estudio muy detallado. Aquí se presentan la forma de la matrices de rigidez,
masa y del vector de cargas generalizadas y se realiza un ejemplo de cálculo utilizando el
Procedimiento de Espacio de Estado.
Figura 9.4 Modelo de Péndulo Invertido considerando la interacción suelo estructura.
• Matriz de rigidez
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
=K
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
r
d
k
k
kb
bt
000
000
00
00
''
'
Donde '' ,, kbt son elementos de la matriz de rigidez, considerando base empotrada.
En el capítulo 4 se indicó como se obtienen estos valores. dk es la rigidez lineal del conjunto
suelo-cimentación. rk es la rigidez angular del conjunto suelo-cimentación.
• Matriz de masas
=M
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+−−
−+
−
cJJmHHmJmH
mHmmm
JJ
Hmmm
*
0
00
0
2
0
Donde 0, mm son las masas de la estructura y de la cimentación; cJJ , son los
momentos de inercia de las masas de la estructura y de la cimentación; H es la altura entre la
cimentación y la losa como se aprecia en la figura 5.4.
• Matriz de amortiguamiento
C
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
r
d
E
C
C
C
Donde EC es la matriz de amortiguamiento que se obtiene con la base empotrada,
puede calcularse utilizando el Método de Rayleigh o el algoritmo propuesto por Wilson y
Penzien, estudiados en el capítulo 7; dC es el amortiguamiento viscoso lineal del conjunto
suelo-cimentación; rC es el amortiguamiento viscoso angular del conjunto suelo-cimentación.
• Vector de Cargas
( 9.14 )
( 9.15 )
( 9.16 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
0QQ = )(0)(
0
ta
Hm
mm
m
ta
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
+−=
La variable todavía no definida es )(ta que es la aceleración del suelo.
• EJEMPLO 3
Encontrar la respuesta en el tiempo, del desplazamiento horizontal de la estructura, de
la banda transportadora de material indicada en el capítulo 6 del libro: “Análisis Sísmico de
estructuras en forma de péndulo invertido”, Aguiar (1991); ante el sismo del 9 de noviembre de
1974, si las matrices que definen el problema dinámico, son:
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
593.50.00.00.0
0.0232.410.00.0
0.00.0930.0417.0
0.00.0417.0898.0
185.12682.2091.0682.2
682.2787.00.0596.0
091.000.0091.00.0
682.2596.00.0596.0
CM
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
682.2
787.0
00.0
596.0
929.381510.00.00.0
0.0311.385390.00.0
0.00.0987.6182493.3091
0.00.0493.3091995.20600QK
• SOLUCIÓN
El desplazamiento lateral máximo de la banda transportadora ante el sismo del 9 de
noviembre de 1974 es de 6.5 mm. Se destaca que la aceleración máxima del sismo es de
116.785 gals.
En la figura 9.5 se presenta la respuesta en el tiempo solicitada.
( 9.17 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 9.5 Respuesta en el tiempo del desplazamiento horizontal de la estructura.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
CAPÍTULO 10
SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE FLEXIÓN
RESUMEN
El análisis de una viga en voladizo, que trabaja a flexión, es muy utilizado para
modelar edificios con muros de corte, razón por la cual en este capítulo se deduce en primer
lugar la ecuación diferencial de una viga a flexión de sección constante o variable, modelada
como un sistema continuo, sometida a cargas transversales al eje del elemento. Todo el
estudio se enfoca hacia vigas de sección constante.
Posteriormente se estudia con detenimiento el problema de vibración libre en sistemas
continuos, para tres casos que son: viga en voladizo, viga apoyada-apoyada y viga en voladizo
considerando la interacción suelo estructura; es importante reconocer las formas modales
especialmente de la viga en voladizo con base empotrada.
Luego se realiza un estudio bastante detallado sobre la ortogonalidad de lo modos de
vibración en sistemas continuos y finalmente se resuelve el caso de vibración forzada de una
viga en voladizo con base empotrada ante una acción sísmica definida por un acelerograma.
El marco teórico se complementa con la realización de ejemplos y programas de
computación. Se han elaborado los siguientes programas: VLIBREVOLADIZO, que presenta
las formas modales para una viga en voladizo con base empotrada; VLIBREAPOYADO, que
halla las formas modales para una viga apoyada apoyada; VLIBREINTERACCION, que
demuestra como se incrementa el período de vibración, de una estructura si se halla en suelos
blandos, obtiene curvas para diferentes relaciones de la rigidez trasnacional del suelo-
cimentación con respecto a la rigidez de la estructura y también de la rigidez rotacional del
suelo-cimentación con respecto a la rigidez de la estructura.
Se presenta también el programa MASAMODALFLEXION, que determina la masa
modal equivalente de una viga en flexión, para los cinco primeros modos y se demuestra que
es el mínimo número de modos que se deben considerar en la respuesta sísmica. El último
programa desarrollado es VFORZADAVOLADIZO, que halla la respuesta en el tiempo del
desplazamiento lateral en el tope de la viga en voladizo, con base empotrada, ante un sismo
caracterizado por su acelerograma.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
10.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO
Se estudian las vibraciones de una viga de flexión, de sección constante o variable,
sometido a unas fuerzas transversales al eje de elemento, ),( txP las mismas que varían en el
tiempo, como se ilustra en la figura 10.1. Se denomina
__
m a la masa por unidad de longitud; L
a la longitud del elemento. Si bien en la figura 10.1 se han colocado dos apoyos fijos para
presentar el problema, se puede tener cualquier tipo de apoyo.
Figura 10.1 Viga transversal con carga transversal al eje del elemento.
Para encontrar la ecuación diferencial que gobierna el problema, es necesario
considerar un elemento diferencial como el mostrado en la figura 10.2 y en el describir las
cargas actuantes; el peso propio no está en la dirección en que se realiza la suma de fuerzas.
Sean MV , el cortante y momento a la izquierda del elemento diferencial, se considera
únicamente el primer término de variación de la serie de Taylor para el cortante y momento a la
derecha del elemento diferencial. Del equilibrio de fuerzas verticales, se tiene:
0)( 2
2__ =−++−
dt
YddxmdxPdx
dx
dVVV
Donde ),( txY es el desplazamiento vertical en el punto x y en el instante de tiempo
t . De paso nótese la convención de signos positiva considerada para el cortante y la flexión.
Simplificando la expresión y dividiéndola para dx se tiene:
2
2__
dt
YdmP
dx
dV −=
Del equilibrio de momentos, con respecto al punto A, se tiene:
( ) 0)(
2
2
=+−++ dx
dx
dMMdxPMVdx
( 10.1 )
( 10.2 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 10.2 Elemento diferencial y cargas actuantes
Por ser un elemento diferencial, se puede considerar que dx elevado al cuadrado es
igual a cero. Luego de simplificar los momentos y dividiendo para dx , se halla:
dx
dMV =
De la resistencia de materiales se conoce que:
2
2
2
2
)(
)( dx
YdxEIM
xEI
M
dx
Yd =⇒=
Derivando esta última expresión obtenemos el cortante, como sigue:
3
3
2
2
2
2
)()(
)(
dx
YdxEI
dx
Yd
dx
xdIEV
dx
YdxEI
dx
dV
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
Ahora al derivar esta última ecuación y al reemplazar en ( 10.2 ) se halla:
2
2
2
2
2
2
3
3
4
4 )()(2)(
dt
YdmP
dx
Yd
dx
xIdE
dx
Yd
dx
xdIE
dx
YdxEI −=++
Que es la ecuación diferencial general para una viga de flexión, de inercia variable, que
está sujeto a cargas transversales al eje. Para elementos de sección constante la derivada de
la inercia con respecto a x es cero, con lo que la ecuación (10.4) queda:
P
dt
Ydm
dx
YdEI =+ 2
2
4
4
Se deja constancia, desde un punto de vista riguroso, que las derivadas que
intervienen en ( 10.5 ) no son derivadas ordinarias, sino derivadas parciales ya que Y es
función de ( x,t ). Por lo tanto, la ecuación ( 10.5 ) debió haberse escrito de la siguiente manera:
P
t
Ym
x
YEI =∂
∂+∂
∂
2
2
4
4
( 10.3 )
( 10.4 )
( 10.5 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
10.2 VIBRACIÓN LIBRE
Para el caso de vibración libre se tiene que la fuerza transversal 0=P . Luego la
ecuación diferencial a resolver es:
02
2
4
4
=+
dt
Ydm
dx
YdEI
Se plantea la solución como el producto de una función modal )(xv por una función
del tiempo )(ty
)()(),( tyxvtxY =
Al obtener la derivada cuarta de Y con respecto a x, y la derivada segunda de Y con
respecto al tiempo y al reemplazar en ( 10.6 ) se halla:
0)()( 2
2
__
4
4
=+
dt
ydxv
EI
mty
dx
vd
Al dividir todo por )(xv se halla:
0)(
)( 2
2
__
4
4
=+
dt
yd
EI
mty
xv
dx
vd
De donde:
)()(
2
2
__
4
4
ty
dt
yd
EI
m
xv
dx
vd
−=
El lado izquierdo de la ecuación (10.8) solo depende de la variable x, y el lado derecho
depende de la variable t . Luego para que se cumpla ( 10.8 ) es importante y necesario que sea
igual esta igualdad sea igual a una constante a4
4
2
2
__
4
4
)()(
a
ty
dt
yd
EI
m
xv
dx
vd
=−=
Luego el problema de vibración libre, definido en ( 10.6 ) se ha desacoplado en dos
problemas, que son:
0)(
)(
4
4
4
44
4
=−⇒= xva
dx
vda
xv
dx
vd
0)(
)(
4
__2
2
4
2
2
__
=+⇒=− tya
m
EI
dt
yda
ty
dt
yd
EI
m
( 10.6 )
( 10.7 )
( 10.8 )
( 10.9 )
( 10.10 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Se aprecia que la ecuación ( 10.10 ) representa un problema de vibración libre sin
amortiguamiento en un sistema de un grado de libertad pero para ello debe cumplirse que:
4
__
2 a
m
EIWn =
Por lo tanto, para encontrar la frecuencia natural nW del sistema, se debe calcular
primero el valor de a mediante la ecuación ( 10.9 ) cuya solución es:
)cosh()()cos()()( axDaxsenhCaxBaxsenAxv +++=
Las constantes de integración: DCBA ,,, dependen de las condiciones de contorno.
Figura 10.3 Viga en voladizo de flexión.
10.2.1 Viga en Voladizo
• EJEMPLO 1
Encontrar los modos de vibración de la viga de flexión en voladizo presentada en la
figura 10.3, calculada como un sistema continuo. Si la longitud es de 4.0 m.
• SOLUCIÓN
( 10.11 )
( 10.12 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Para la viga en voladizo, las condiciones de borde, son:
i. En 0)(0 =⇒= xvx
ii. En 0)(0 =⇒= xx θ
iii. En 0=⇒= VLx
iv. En 0=⇒= MLx
Para reemplazar las condiciones de borde es necesario calcular las derivadas de )(xv
)()cosh()()cos()(
)cosh()()cos()()(
)()cosh()()cos()(
3333'''
2222''
'
axsenhaDaxaCaxsenaBaxaAxv
axaDaxsenhaCaxaBaxsenaAxv
axsenhaDaxaCaxsenaBaxaAxv
+++−=
++−−=
++−=
El cortante se calcula con la tercera derivada y el momento con la segunda derivada.
Con esta indicación al reemplazar las condiciones de borde, se tiene en forma matricial:
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
D
C
B
A
aLaLsenhaLaLsen
aLsenhaLaLsenaL
)cosh()()cos()(
)()cosh()()cos(
0101
1010
0
Para que se cumpla ( 10.3 ) debe cumplir que el determinante de los coeficientes debe
ser cero. Luego:
0
)cosh()()cos()(
)()cosh()()cos(
0101
1010
det =
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
aLaLsenhaLaLsen
aLsenhaLaLsenaL
Al desarrollar el determinante y después de algunas simplificaciones, se tiene:
0)cosh()cos(1 =+ pp
Siendo:
Lap =
Las tres primeras raíces de p , son:
854.7694.4875.1 321 === ppp
A partir de la tercera raíz se cumple, aproximadamente que:
( ) 3
2
12 ≥−≈ nnpn π
( 10.13 )
( 10.14 )
( 10.15 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
El sistema de ecuaciones definido en ( 10.13 ) en linealmente dependiente, luego es
necesario imponerse el valor de una variable y hallar las restantes. Para 1=A las constantes
de integración, son:
DB
psenpsenh
ppDCA −=−
+=−==
)()(
)cosh()cos(11
Para hallar las formas modales, se debe reemplazar el valor de las constantes de
integración en la ecuación ( 10.12 ).
El programa VLIBREVOLADIZO encuentra en forma gráfica los tres primeros modos
de vibración de una viga de sección constante en voladizo. La forma de uso del programa, es:
[v]=vlibrevoladizo(L)
• L es la longitud de la viga en voladizo.
• v es la forma modal.
function [V]=vlibrevoladizo(L)
%
% Vibraciones libres en un sistema continuo de una viga de flexion en voladizo
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI-ESPE
%-------------------------------------------------------------
% [v]=vlibrevoladizo(L)
%-------------------------------------------------------------
% L : Longitud del elemento
% Las tres primeras raices de: 1+cos(p)*cosh(p)=0
% son: p1=1.875 p2=4.694 p3=7.854
% p=aL
% Constantes de Integracion
p1=1.875;a1=p1/L;dx=L/100; p2=4.694; a2=p2/L; p3=7.854; a3=p3/L;
A=1; C=-1; D1=(cos(p1)+cosh(p1))/(sinh(p1)-sin(p1));B1=-D1;
D2=(cos(p2)+cosh(p2))/(sinh(p2)-sin(p2));B2=-D2;
D3=(cos(p3)+cosh(p3))/(sinh(p3)-sin(p3));B3=-D3;
for i=1:100
x(i)=i*dx;
v1(i)=A*sin(x(i)*a1)+B1*cos(x(i)*a1)+C*sinh(x(i)*a1)+D1*cosh(x(i)*a1);
v2(i)=A*sin(x(i)*a2)+B2*cos(x(i)*a2)+C*sinh(x(i)*a2)+D2*cosh(x(i)*a2);
v3(i)=A*sin(x(i)*a3)+B3*cos(x(i)*a3)+C*sinh(x(i)*a3)+D3*cosh(x(i)*a3);
end
hold off
plot(v1,x,'--'); hold on
plot(v2,x,':'); plot(v3,x,'-.')
ylabel('Altura'); title('Formas modales de una viga en voladizo')
hold off
%---fin---
En la figura 10.4, se indican las tres primeras formas modales de la viga en voladizo del
ejemplo 1.
( 10.16 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 10.4 Formas modales para una viga de 4.0 m., de longitud.
10.2.2 Viga apoyada
• EJEMPLO 2
Encontrar los modos de vibración de la viga apoyada-apoyada, de sección constante,
presentada en la figura 10.5, calculada como un sistema continuo. Si la longitud es de 4.0 m.
Figura 10.5 Viga apoyada-apoyada.
• SOLUCIÓN
Para la viga apoyada-apoyada, las condiciones de borde, son:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
i. En 0)(0 =⇒= xvx
ii. En 0)(0 =⇒= xMx
iii. En 0)( =⇒= xvLx
iv. En 0)( =⇒= xMLx
Las condiciones de borde, conducen al planteamiento del siguiente sistema de
ecuaciones.
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
D
C
B
A
ppsenhppsen
ppsenhppsen
)cosh()()cos()(
)cosh()()cos()(
1010
1010
0
Procediendo de igual manera, que el ejemplo anterior, se halla que el polinomio
característico es:
0)()( =psenhpsen
Las raíces de ( 10.18 ) son:
πππ 32 321 === ppp
En general, se tiene que:
πipi =
De las dos primeras condiciones de borde se concluye que:
0== DB
Luego quedan dos ecuaciones dependientes, al imponernos 1=A se encuentra:
)(
)(
psenh
psenC −=
En la figura 10.6 se indican las tres primeras formas modales de la viga apoyada-
apoyada.
El programa que encuentra los modos de vibración de una viga de sección constante,
apoyada-apoyada, se denomina VLIBREAPOYADO y la forma de uso es la siguiente:
[v]=vlibreapoyado (L)
• L es la longitud de la viga en voladizo.
• v es la forma modal.
( 10.17 )
( 10.18 )
( 10.19 )
( 10.20 )
( 10.21 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 10.6 Modos de vibración de una viga apoyada-apoyada.
function [V]=vlibreapoyado(L)
%
% Vibraciones libres en un sistema continuo de una viga en voladizo
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI-ESPE
%-------------------------------------------------------------
% [v]=vlibreapoyado(L)
%-------------------------------------------------------------
% L : Longitud del elemento
% Las cuatro primeras raices de: sen(p)*senh(p)=0
% son: p1=3.1416 p2=6.2832 p3=9,4248 p4=12.5664
% p=aL
% Constantes de Integracion
p1=pi;a1=p1/L;dx=L/100; p2=2*pi; a2=p2/L; p3=3*pi; a3=p3/L; p4=4*pi; a4=p4/L;
B=0; D=0; A=1; C1=-sin(p1)/sinh(p1); C2=-sin(p2)/sinh(p2);
C3=-sin(p3)/sinh(p3);
for i=1:100x(i)=i*dx;
v1(i)=A*sin(x(i)*a1)+B*cos(x(i)*a1)+C1*sinh(x(i)*a1)+D*cosh(x(i)*a1);
v2(i)=A*sin(x(i)*a2)+B*cos(x(i)*a2)+C2*sinh(x(i)*a2)+D*cosh(x(i)*a2);
v3(i)=A*sin(x(i)*a3)+B*cos(x(i)*a3)+C3*sinh(x(i)*a3)+D*cosh(x(i)*a3);
end
hold off
plot(x,v1,'--'); hold on
plot(x,v2,':'); plot(x,v3,'-.');
xlabel('Longitud'); title('Formas modales de una viga apoyada-apoyada')
hold off
%---fin---
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 10.7 Modelo considerado para el estudio de la interacción suelo-estructura
10.2.3 Interacción suelo estructura
En la figura 10.7 se indica el modelo que se considera la para el estudio de la
interacción suelo-estructura. Se tiene la viga a flexión de sección constante, con masa uniforme
distribuida, la misma que está simplemente apoyada y en su base existen dos resortes: un
horizontal de rigidez lineal dk y uno rotacional de rigidez rk .
Para el modelo numérico de las figura 10.7, las condiciones de borde, son:
i. En )0(0 vKVx d ∗−=⇒=
ii. En )0(0 θ∗=⇒= rkMx
iii. En 0=⇒= VLx
iv. En 0=⇒= MLx
Para ver el signo negativo de la primera condición se recomienda mirar la convención
de signos positiva de la figura 10.1 al tener un desplazamiento lateral en la base se genera en
el resorte una fuerza de sentido contrario a la convención positiva en el resorte por lo que es
negativo. Por facilidad se denomina:
EI
k
EI
k rd == λµ
Se conoce que:
( 10.22 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
'''
3
3
vEI
dx
vdEIV ==
Luego la condición i., conduce a:
)0()0()0()0( '''''' v
EI
k
vvkvEI dd +⇒−=
De donde
( ) ( ) 00 3333 =+−−⇒=+++− DBaCaADB
EI
K
aCaA d µ
Para la condición ii., se tiene:
0)0()0(0)0()0( ''''2
2
=−⇒=− v
EI
kvvk
dx
vdEI rr
Luego:
( ) 022 =+−+− aCaA
EI
kaDaB r
Al cambiar de signo y teniendo en cuenta ( 10.22 ) se halla:
( ) ( ) 0022 =++−⇒=++− CAaDaBaCaAaDaB λλ
La tercera y cuarta condición fue desarrollada en el sub apartado 10.2.1, cuando se
analizó una viga en voladizo. Por consiguiente, las condiciones de contorno, escrito en forma
matricial son:
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−−
−
−−−
D
C
B
A
aLaLsenhaLaLsen
aLsenhaLaLsenaL
aa
aa
)cosh()()cos()(
)()cosh()()cos(
33
λλ
µµ
0
Para que ( 10.26 ) tenga solución diferente de cero, se debe cumplir que el
determinante de la matriz de coeficientes debe ser igual a cero. Esta condición reporta:
01)cosh()cos(1
)()cos(1)cosh()(1
44
22
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
µλµλ
µλλµ
aaLaLa
aLsenhaLaaaLaLsenaa
Se define:
3// LEI
k
j
LEI
ki dr ==
( 10.23 )
( 10.24 )
( 10.25 )
( 10.26 )
( 10.27 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Con estas definiciones y con la ecuación ( 10.15 ). La ecuación del determinante se
transforma en:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 01coshcos1
cos1cosh1
44
22
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
ji
ppp
ji
p
psenhp
j
p
i
pppsen
ij
pp
• EJEMPLO 3
Presentar en una figura la variación del parámetro p , para el primer modo de
vibración, para valores de j de 1 a 500 y para los siguientes valores de i : 0.5; 5; 50; 500.
• SOLUCIÓN
Antes de presentar la solución del ejercicio, se destaca que:
L
paLap =⇒=
Al sustituir este valor en la ecuación ( 10.11 ) se tiene:
4
4
__
24
__
2 p
Lm
EIWa
m
EIW nn ==
De tal manera que el parámetro p conduce al cálculo de la frecuencia natural de
vibración.
Para resolver el ejercicio se elaboró el programa VLIBREINTERACCION cuya forma
de utilización es la siguiente:
[p] = vlibreinteraccion
function [p]=vlibreinteraccion
%
% Vibraciones libres en un sistema continuo de una viga en voladizo
% considerando la interaccion suelo estructura.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI-ESPE
%-------------------------------------------------------------
% [p]=vlibreinteraccion
%-------------------------------------------------------------
% L : Longitud del elemento
% ii = kr/(EI/L) jj = kd/(EI/L3)
( 10.28)
( 10.29 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
% kr : Rigidez rotacional del conjunto suelo-cimentacion
% kd : Rigidez traslacional del conjunto suelo-cimentacion
% p=aL
% Constantes de Integracion
tol=0.1; valores=[0.5; 5; 50; 500];
for k=1:4
ii=valores(k);
for jj=1:500
dx=0.001; icod=0;
for i=1:3000
p=i*dx; f1= p*((p*p/jj)+(1/ii))*sin(p)*cosh(p);
f2= p*((1/ii)-(p*p/jj))*cos(p)*sinh(p);
f3=(1-(p^4/(ii*jj)))*cos(p)*cosh(p);
f4=1+(p^4/(ii*jj));
ft=abs(f1-f2-f3-f4);
if ft <= tol & icod==0
pp(jj)=p; icod=1;
end
end
end
if k==1
p1=pp';
elseif k==2
p2=pp';
elseif k==3
p3=pp';
else
p4=pp';
end
end
hold off
plot(p1,'--'); hold on; plot(p2,':'); plot(p3,'-.'); plot(p4)
xlabel('Valores de j'); ylabel('Valores de p'), title('Primer modo')
%---fin---
En la figura 10.8 se presenta la figura que se obtiene con el programa y en siguiente
sub apartado se comentan las curvas obtenidas.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 10.8 Frecuencias del primer modo de vibración
10.2.4 Variación del período con la interacción
Valores altos de i implican un suelo muy duro, de tal manera que un valor de 500=i
significa tener una base empotrada. De igual manera valores altos j corresponden a suelos
muy duros. El caso contrario se tendría para valores de ji, muy bajos.
En la figura 10.8 se aprecia que para 500=i y para valores de 100>j el parámetro
875.1=p que corresponde al valor que se obtiene, para el primer modo de vibración
considerando base empotrada. De tal manera que las curvas de la figura 10.8 para valores de
50≤i indican que la frecuencia natural disminuye a medida que la rigidez relativa lineal
disminuye. Lo propio se puede indicar con los valores de j .
El período de vibración se halla con la siguiente expresión nWT /2π= . De tal
manera que para suelos de dureza intermedia y de baja resistencia, existe una
amplificación del período fundamental de vibración. Amplificación que es mayor en los
suelos blandos que corresponden a valores de ji, , muy bajos.
En la figura 10.8 se aprecia un notable incremento de p para valores de 10<j luego
el incremento disminuye hasta valores que de j que están alrededor de 30 y finalmente son
constantes estos valores.
Con respecto a la variación de las curvas de la figura 10.8, en lo concerniente al
parámetro i se puede indicar que la variación de p es notable entre 5.0=i e 5=i . Luego
este incremento disminuye pero también es notable entre 5=i e 50=i . Para valores
mayores de i la variación de p es mínima.
Roberto Aguiar FalconíCEINCI-ESPE
Arboleda (1989), en base al modelo presentado concluye en lo siguiente:
• Si 50 << i o 100 << j el suelo no es apto para una cimentación superficial.
• Si 505 << i y 2010 << j se debe considerar el efecto de la interacción suelo
estructura en el análisis.
• Si 50>i y 60>j se debe analizar con base empotrada.
10.3 ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS DE VIBRACIÓN
La ecuación diferencial ( 10.5 ) se la reescribe de la siguiente manera:
[ ] PYmYEIP
dt
Ydm
dx
YdEI =+⇒=+ ..__''''2
2
4
4
Para el caso de vibración libre se tiene:
[ ] 0..__'''' =+ YmYEI
En la forma de solución, planteada en la ecuación ( 10.7 ) en lugar de llamar a la forma
modal )(xv se la va a denominar )(xφ . De tal manera que:
)()(),()()(),( tyxtxYtyxvtxY φ=⇒=
Luego la ecuación diferencial del movimiento de vibración libre, queda:
[ ] 0)()()()( ..__'''' =+ tyxmtyxEI φφ
Al dividir para )()(
__
tyxm φ se halla:
[ ] [ ]
)(
)(
)(
)(0
)(
)(
)(
)(
..
__
''''
..
__
''''
ty
ty
xm
xEI
ty
ty
xm
xEI −==+
φ
φ
φ
φ
Se vuelve a copiar de nuevo las ecuaciones ( 10.10 ) y ( 10.11 ) para demostrar que el
lado derecho de la ecuación ( 10.30 ) vale 2nW
4
__
..
4
__2
2
)(
)(0)( a
m
EI
ty
tytya
m
EI
dt
yd −==+
( 10.30 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
4
__
2 a
m
EIWn =
Luego:
0)()(
)(
)( ..2
..
=+⇒=− tytyW
ty
ty
n λ
Siendo
2
nW=λ
Retomando la ecuación ( 10.30 ) se tiene:
[ ] 2..
__
''''
)(
)(
)(
)(
nWty
ty
xm
xEI =−=
φ
φ
De donde:
[ ] 0)()( 2__'''' =− nWxmxEI φφ
Para el modo j se tiene:
[ ] 0)()( 2__'''' =− njjj WxmxEI φφ
Al multiplicar esta última expresión por )(xiφ en que ji ≠ e integrando la ecuación
resultante entre 0 y L se halla:
[ ] 0)()()()(
0
__
2
0
'''' =− ∫∫ L ijnjL ij dxxxmWdxxxEI φφφφ
Al integrar por partes la primera integral, considerando )(xu iφ= y dv a lo restante,
se tiene:
[ ]{ } [ ] dxxxEIxxEI L ijLij ∫−
0
''''
0
''' )()()()( φφφφ
Luego:
[ ]{ } [ ] ∫∫ =−− L ijnjL ijLij dxxxmWdxxxEIxxEI
0
__
2
0
''''
0
''' 0)()()()()()( φφφφφφ
Para una viga en voladizo, se tiene que en Lx = el cortante vale cero pero el cortante
está relacionado con la tercera derivada de )(xφ . De igual manera en el desplazamiento vale
cero luego en 0=x se tiene que 0)( =xφ . Estas dos condiciones conducen a que el primer
término valga cero. Por lo tanto, la ecuación queda:
( 10.31 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Nuevamente al integrar por partes la primera integral pero ahora se considera
)(' xu iφ= y dv a lo restante:
{ } ∫+− L ijLij dxxxEIxxEI
0
''''
0
''' )()()()( φφφφ
La expresión completa queda:
{ } 0)()()()()()(
0
__
2
0
''''
0
''' =−+− ∫∫ L ijnjL ijLij dxxxmWdxxxEIxxEI φφφφφφ
Otra vez, para la viga en voladizo se tiene que en Lx = el momento es igual a cero
pero el momento está relacionado con la segunda derivada de )(xφ . También se tiene que
para 0=x el giro es igual a cero, esto es que )(' xφ . Con estas dos condiciones se anula la
primera expresión, con lo que se tiene:
0)()()()(
0
__
2
0
'''' =− ∫∫ L ijnjL ij dxxxmWdxxxEI φφφφ
De donde:
∫∫ = L ijnjL ij dxxxmWdxxxEI
0
__
2
0
'''' )()()()( φφφφ
Procediendo de un modo similar para el modo i, se tendría:
[ ] 0)()( 2__'''' =− niii WxmxEI φφ
Ahora al multiplicar por )(xjφ e integrando entre 0 y L (se vuelve a repetir el proceso
de cálculo) se halla:
∫∫ = L jiniL ji dxxxmWdxxxEI
0
__
2
0
'''' )()()()( φφφφ
Para el caso de que 22 ninj WW ≠ al restar la ecuación ( 10.32 ) menos ( 10.33 ) se halla:
∫ =L ji dxxxm
0
0)()(
__ φφ
Al sustituir la ecuación ( 10.34 ) en cualquiera de las ecuaciones ( 10.32 ) o ( 10.33 ) se
encuentra:
[ ] ∫∫ =−− L ijnjL ij dxxxmWdxxxEI
0
__
2
0
'''' 0)()()()( φφφφ
( 10.32 )
( 10.33 )
( 10.34 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
0
0
=∫L ji dxxxEI )()( '''' φφ
En resumen, las condiciones de ortogonalidad para una viga en voladizo que trabaja a
flexión, son:
∫ =L ji dxxxm
0
0)()(
__ φφ
0
0
=∫L ji dxxxEI )()( '''' φφ
10.3.1 Valores propios y modos normalizados
Para el caso en que el modo i sea igual al modo j, se tiene de la ecuación ( 10.33 )
[ ]
[ ] iL i
L
i
ni
dxxm
dxxEI
W λ
φ
φ
==
∫
∫
0
2__
0
2
''
2
)(
)(
Que es la ecuación con la cual, también se pueden encontrar los valores propios en la
viga en voladizo. Para este mismo caso en que el modo ji = se tiene que las dos condiciones
de ortogonalidad son diferentes de cero.
( )∫∫ ≠≠ L iL i dxEIdxxm
0
2''
0
2
__
00)( φφ
Se normalizan los modos de vibración, de la siguiente manera:
∫
=
L
i
i
i
dxxm
xx
0
2
__
)(
)(
)(
φ
φφ
Con lo que se halla:
∫ =L i dxxm
0
2
__
1)(φ
Con esto, la ecuación ( 10.36 ) queda:
[ ]∫= L ini dxxEIW
0
2
''2 )(φ
( 10.35 )
( 10.36 )
( 10.37 )
( 10.38 )
( 10.39 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
10.4 VIBRACIÓN FORZADA
Se resuelve el caso de una viga de flexión en voladizo sometida a una acción sísmica
definida por su acelerograma. La ecuación diferencial para este caso es:
[ ] )(__..__'''' tamYmYEI −=+
Donde )(ta es la aceleración del suelo. Se plantea la solución de la siguiente manera:
∑∞
=
=
1
)()(),(
i
ii tyxtxY φ
Reemplazando ( 10.41 ) en ( 10.40 ) se halla:
( )∑ ∑∞
=
∞
=
−=+
1 1
__..__
'''' )()()()(
i i
iiii tamtyxmtyEI φφ
Al multiplicar esta última ecuación por )(xjφ e integrar entre 0 y L se halla:
( )∑ ∫ ∑ ∫ ∫∞
=
∞
=
−=+
1 0 1 0 0
____..'''' )()()()()()()(
i
L
i
L L
jjiijii dxxmtadxxxmtydxxEIty φφφφφ
En forma similar, a la del apartado anterior, al integrar por partes la primera integral y
aplicar las condiciones de borde para una viga en voladizo se halla:
∑ ∫ ∑ ∫ ∫∞
=
∞
=
−=+
1 0 1 0 0
____..
'''' )()()()()()()(
i
L
i
L L
jjiijii dxxmtadxxxmtydxxEIty φφφφφ
De la ortogonalidad de los modos de vibración (solo hay valores para ji = ) se tiene
para el modo j
( ) ∫∫∫ −=+ L jL jjL jj dxxmtadxxmtydxEIty
0
__
0
2
__..
0
2'' )()()()()( φφφ
Al dividir por ∫
L
j dxxm
0
2
__
)(φ y teniendo en cuenta la ecuación ( 10.36 ), se halla,
escribiendo en primer lugar el segundo término.
∫
∫
−=+ L
j
L
j
njjj
dxxm
dxxm
taWtyty
0
2
__
0
__
2
..
)(
)(
)()()(
φ
φ
Se denomina masa modal *jm
( 10.40 )
( 10.41 )
( 10.42 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
∫
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
= L
j
L
j
j
dxxm
dxxm
m
0
2
__
2
0
__
*
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