Relatório_Aula_03

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Relatório Aula 03
Universidade Federal de São João del Rei
Campus Alto Paraopeba - CAP
Engenharia de Telecomunicações
Diego Santos Seabra
Ouro Branco
2013
Relatório Aula 03
Relatório apresentado como exigência 
do professor Gustavo Fernandes em En-
genharia de Telecomunicações da Univer-
sidade Federal de São João del Rei.
Diego Santos Seabra
Ouro Branco
2013
Sumário
1 Introdução 3
2 Exercício 1 3
2.1 sec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 sech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 asec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.4 asech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 csc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.6 csch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.7 acsc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.8 acsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.9 cot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.10 coth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.11 acot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.12 acoth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.13 nextpow2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.14 unwrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.15 isreal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.16 cplxpair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.17 mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.18 isieee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.19 isempty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.20 issparse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Exercício 2 8
4 Exercício 3 12
4.1 Número 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.1.1 Letra a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.1.2 Letra b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.1.3 Letra c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1.4 Letra d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1.5 Letra e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Número 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2.1 Letra a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2.2 Letra b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2.3 Letra c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2.4 Letra d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2.5 Letra e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3 Número 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3.1 Letra a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3.2 Letra b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3.3 Letra c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3.4 Letra d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1
4.3.5 Letra e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.4 Número 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.4.1 Letra a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.4.2 Letra b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.4.3 Letra c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.4.4 Letra d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.4.5 Letra e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.4.6 Letra f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.5 Número 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.5.1 Letra a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.5.2 Letra b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.5.3 Letra c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Exercício 4 17
5.1 Letra a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2 Letra b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.3 Letra c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.4 Letra d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.5 Letra e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.6 Letra f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.7 Letra g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.8 Letra h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Descrições 27
6.1 Phase Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7 Funções Utilizadas 27
7.1 relat3-exec2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.2 relat3-exec21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.3 Resultado da Função relat3-exec2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8 Conclusão 32
9 Referências 33
2
Relatório Aula 03
Diego Santos Seabra
31 de Outubro de 2013
1 Introdução
Este relatório tem como objetivo apresentar novos comandos (referentes à Aula 03 ) e as no-
vas formas de se lidar com o comando plot , que é um comando essencial para a programação em
MATLAB, pois em nossas "experiências"queremos também visualizar o processo matemático execu-
tado. Então serão apresentados novos comandos e modos de se trabalhar com equações recorrentes
na área da Matemática, tais como os números complexos.
2 Exercício 1
2.1 sec
Informa a secante do argumento apresentado no estilo sec(x).
Ex.:
sec(pi)
ans =
-1
2.2 sech
Informa a secante hiperbólica do argumento apresentado no estilo sech(x).
Ex.:
sech(pi)
ans =
0.0863
2.3 asec
Informa a inversa da secante do argumento apresentado no estilo asec(x).
Ex.:
asec(pi)
ans =
0.0863
3
2.4 asech
Informa o inverso da secante hiperbólica do argumento apresentado no estilo asech(x).
Ex.:
asech(pi)
ans =
0.0000 + 1.2469i
2.5 csc
Informa a cossecante do argumento apresentado no estilo csc(x).
Ex.:
csc
(
pi
2
)
ans =
1
2.6 csch
Informaa cossecante hiperbólica do argumento apresentado no estilo csch(x).
Ex.:
csch
(
pi
2
)
ans =
0.4345
2.7 acsc
Informa o inverso da cossecante do argumento apresentado no estilo acsc(x).
Ex.:
acsc
(
pi
2
)
ans =
0.6901
2.8 acsch
Informa o inverso da cossecante hiperbólica do argumento apresentado no estilo acsch(x).
Ex.:
acsch
(
pi
2
)
ans =
0.6000
4
2.9 cot
Informa a cotangente do argumento apresentado no estilo cot(x).
Ex.:
cot
(
5pi
4
)
ans =
1.0000
2.10 coth
Informa a cotangente hiperbólica do argumento apresentado no estilo coth(x).
Ex.:
coth
(
5pi
4
)
ans =
1.0008
2.11 acot
Informa o inverso da cotangente do argumento apresentado no estilo acot(x).
Ex.:
acot
(
5pi
4
)
ans =
0.2493
2.12 acoth
Informa o inverso da cotangente hiperbólica do argumento apresentado no estilo acoth(x).
Ex.:
acoth
(
5pi
4
)
ans =
0.2604
2.13 nextpow2
Informa o a próxima potência de 2.
nextpow2(x) retorna o primeiro P tal que 2P ≥ abs(x).
Ex.:
nextpow2(pi)
ans =
2
5
2.14 unwrap
Corrige o ângulo de fase para produzir plots mais "suaves"(Vide Descrições para ângulo de
fase - phase angle)). Neste caso, retira o valor de uma ângulo apresentado, como no exemplo a seguir.
Ex.:
unwrap(pi)
ans =
3.1416
2.15 isreal
Verifica se o argumento apresentado possi uma parte real, sendo 0 para FALSO e 1 para POSI-
TIVO.
Ex.:
isreal(0.0000 + 1.2469i)
ans =
0
Neste caso o resultado foi 0 (zero) pois o número complexo apresentado não possui parte real,
somente parte imaginária.
2.16 cplxpair
Ordena números complexos em pares de complexos conjugados.
Ex.:
x = [3:6;1:4]
x =
3 4 5 6
1 2 3 4
x = complex(x)
x =
3.0000 + 0.0000i 4.0000 + 0.0000i 5.0000 + 0.0000i 6.0000 + 0.0000i
1.0000 + 0.0000i 2.0000 + 0.0000i 3.0000 + 0.0000i 4.0000 + 0.0000i
y = cplxpair(x)
y =
1 2 3 4
3 4 5 6
6
2.17 mod
Informa o módulo da divisão de dois números reais.
Ex.:
>>x = 2
x =
2
>>y = 3
y =
3
>> mod(x, y)
ans =
2
2.18 isieee
COMANDO NÃO EXISTENTE NO MATLAB.
2.19 isempty
Informa se o argumento solicitado é vazio.
Ex.:
>>x = 2
x =
2
>>y = []
y =
[]
>> isempty(x)
ans =
0
>> isempty(y)
ans =
1
7
2.20 issparse
Informa se uma matriz é esparsa. Sendo 1 POSITIVO e 0 NEGATIVO.
Ex.:
a = [1 : 4; 5 : 8; 9 : 12]
a =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
>> issparse(a)
ans =
0
3 Exercício 2
Números complexos na forma Cartesiana e Polar.
Forma Cartesiana Forma Polar
z1 = 1 + j1 1 + j1
√
2 ejpi/4
z2 = −z1 −1− j1
√
2 e−j3pi/4
z3 = z1∗ 1− j1
√
2 e−jpi/4
z4 = 2z2 −2− j2 2
√
2 e−j3pi/4
z5 = 3e
−jpi −3 3 e−jpi
z6 = z2 + z5 −4− j1
√
42 + 1 e−jarctan(−4/−1)
z7 = z2/z5 1/3 + j1/3
√
2/3 ejpi/4
z8 = z2 × z5 3 + j3 3
√
2 ejpi/4
Plot utilizando o comando compass.
8
Plot utilizando o comando compass e o comando grid. Neste caso foi utilizado o comando grid
para podermos representar de forma "completa"os fasores
Comandos do MATLAB (forma Cartesiana) para se chegar à tabela mostrada acima:
z1 = 1+j*1
z1 =
1.0000 + 1.0000i
z2=-z1
z2 =
-1.0000 - 1.0000i
z3=z1
z3 =
1.0000 + 1.0000i
9
z4=2*z2
z4 =
-2.0000 - 2.0000i
z5 = 3*exp(-j*pi)
z5 =
-3.0000 - 0.0000i
z6 = z2 + z5
z6 =
-4.0000 - 1.0000i
format rat
z7 = z2 / z5
z7 =
1/3 + 1/3i
format short
z8 = z2*z5
z8 =
3.0000 + 3.0000i
10
Comandos do MATLAB (forma Polar) para se chegar à tabela mostrada acima:
Para se executar esta parte, necessitados da Identidade de Euler que relaciona a forma polar
de um número complexo com a sua forma cartesiana (ou retangular).
Assim:
M 6 θ ≡M.ejθ = a+ bj
, onde:
M =
√
a2 + b2
θ = tan−1(b/a)
a =M. cos θ
b =M.senθ
Segue-se abaixo, então, as funções utilizadas para se calcular às formas polares no MATLAB (vide
Funções Utilizadas)
• Função "Tranformação Cartesiano -> Polar"(relat3-exec21.m.)
• Resultado da Função acima citada.
11
4 Exercício 3
4.1 Número 1
4.1.1 Letra a
>> a = 1
a =
1
>> b = 1
b =
1
>> cart2pol(a, b)
ans =
0.7854
Obs.:
0.7854 =
pi
4
4.1.2 Letra b
>> a = 2
a =
2
>> b = −2
b =
-2
>> cart2pol(a, b)
ans =
-0.7854
Obs.:
−0.7854 = −pi
4
12
4.1.3 Letra c
>> a =
√
3
a =
1.7321
>> b = 1
b =
1
>> cart2pol(a, b)
ans =
0.5236
Obs.:
0.5236 =
pi
6
4.1.4 Letra d
>> a = 4
a =
4
>> b = 0
b =
0
>> cart2pol(a, b)
ans =
0
4.1.5 Letra e
>> a = 0
a =
0
>> b = −3
b =
-3
>> cart2pol(a, b)
ans =
-1.5708
13
Obs.:
−1.5708 = −pi
2
4.2 Número 2
4.2.1 Letra a
>> a = 1
a =
1
>> b =
pi
2
b =
1.5708
>> pol2cart(a, b)
ans =
0.8487
4.2.2 Letra b
>> a = −2
a =
-2
>> b =
49pi
6
b =
25.6563
>> pol2cart(a, b)
ans =
-10.6768
4.2.3 Letra c
>> a = 3
a =
3
>> b = −5pi
3
b =
-5.2360
14
>> pol2cart(a, b)
ans =
5.1836
4.2.4 Letra d
>> a = 0
a =
0
>> b =
pi
9
b =
0.3491
>> pol2cart(a, b)
ans =
0.3491
Obs.:
0.3491 =
pi
9
4.2.5 Letra e
>> a = 7
a =
7
>> b = pi
b =
3.1416
>> pol2cart(a, b)
ans =
2.3685
15
4.3 Número 3
4.3.1 Letra a
4.3.2 Letra b
4.3.3 Letra c
4.3.4 Letra d
4.3.5 Letra e
4.4 Número 4
asd
4.4.1 Letra a
ddds
4.4.2 Letra b
4.4.3 Letra c
4.4.4 Letra d
4.4.5 Letra e
4.4.6 Letra f
4.5 Número 5
4.5.1 Letra a
4.5.2 Letra b
4.5.3 Letra c
16
5 Exercício 4
5.1 Letra a
Código do Plot:
>> t = 0:.001: 6pi;
r =
t
5
;
polar(t,r,'�r');
title('Espiral de Arquimedes');
17
5.2 Letra b
Código do Plot:
>> t = 0:.001: 6pi;
r = 2t;
polar(t,r,'�r');
title('Espiral Hiperbólica');
18
5.3 Letra c
Código do Plot:
>> t = 0:.001: 6pi;
r = 2t/10;
polar(t,r,'�r');
title('Espiral Logarítmica');
19
5.4 Letra d
Código do Plot:
>> t = 0:.001: 6pi;
r =
√
t;
polar(t,r,'�r');
title('Espiral Parabólica');
20
5.5 Letra e
Código do Plot:
>> t = 0:.001: 6pi;
r = 2sin(4t);
polar(t,r,'�r');
title('Rosáceas');
21
5.6 Letra f
Código do Plot:
>> t = 0:.001: 6pi;
r = −2− 2sin(t);
polar(t,r,'�r');
title('Limaçons');
22
Código do Plot:
>> t = 0:.001: 6pi;
r = 3 + 2sin(t);
polar(t,r,'�r');
title('Limaçons -> r = a + b.sen(t)');
23
Código do Plot:
>> t = 0:.001: 6pi;
r = 2 + 3cos(t);
polar(t,r,'�r');
title('Limaçons -> r = a + b.cos(t)');
24
5.7 Letra g
Código do Plot:
>> t = 0:.001: 6pi;
r = 1 + 2sin(t);
polar(t,r,'�r');
title('Limaçons -> r = a + b.sen(t)');
25
5.8 Letra h
Código do Plot:
>> t = 0:.001: 6pi;
r = sqrt(4 ∗ (cos(2 ∗ t)));
polar(t,r,'�r');
title('Lemniscatas');
26
6 Descrições
6.1 Phase Angle
Phase angle is calculated by taking the inverse tangent of the ratio of the real and imaginary
parts of a complex number. The complex tangent function will output a value between 0 and 2pi
(or -pi and pi, depending on how it is set up, but no difference essentially). Thus if your phase
is changing and reaches 2pi, for example, and continues to increase, the inverse tangent function
will calculate that the phase suddenly changed to 0 (since moving around the unit circle is periodic
with period 2pi). This will make it look like your phase is jumping abruptly from 2pi to 0, as it is
being "wrapped"around the unit circle. The 'unwrap' function in matlab attempts to remove this
wrapping, in other words "unwrap", the phase. This is not always successful,particularly when the
real and imaginary part become very large or very small.
7 Funções Utilizadas
7.1 relat3-exec2
z1 = 1+j*1
z1 =
1.0000 + 1.0000i
z2=-z1
z2 =
-1.0000 - 1.0000i
z3=z1
z3 =
1.0000 + 1.0000i
z4=2*z2
z4 =
-2.0000 - 2.0000i
%Verificar z4
z5 = 3*exp(-j*pi)
z5 =
27
-3.0000 - 0.0000i
z6 = z2 + z5
z6 =
-4.0000 - 1.0000i
format rat
z7 = z2 / z5
z7 =
1/3 + 1/3i
format short
z8 = z2*z5
z8 =
3.0000 + 3.0000i
diary'Relatorio03')
28
7.2 relat3-exec21
a=real(z1)
b=real(z1)
M=abs(z1)
theta=angle(z1)
a=real(z2)
b=imag(z2)
M=abs(z2)
theta=angle(z2)
a=real(z3)
b=imag(z3)
M=abs(z3)
theta=angle(z3)
a=real(z4)
b=imag(z4)
M=abs(z4)
theta=angle(z4)
a=real(z5)
b=imag(z5)
M=abs(z5)
theta=angle(z5)
a=real(z6)
b=imag(z6)
M=abs(z6)
theta=angle(z6)
a=real(z7)
b=imag(z7)
M=abs(z7)
theta=angle(z7)
a=real(z8)
b=imag(z8)
M=abs(z8)
theta=angle(z8)
29
7.3 Resultado da Função relat3-exec2
a =
1
b =
1
M =
1.4142
theta =
0.7854
a =
-1
b =
-1
M =
1.4142
theta =
-2.3562
a =
1
b =
1
M =
1.4142
theta =
0.7854
a =
-2
b =
-2
M =
2.8284
theta =
-2.3562
a =
-3
b =
-3.6739e-16
M =
3
30
theta =
-3.1416
a =
-4
b =
-1.0000
M =
4.1231
theta =
-2.8966
a =
0.3333
b =
0.3333
M =
0.4714
theta =
0.7854
a =
3.0000
b =
3.0000
M =
4.2426
theta =
0.7854
31
8 Conclusão
Como visto, o MATLAB faz jus a seu nome de ferramenta matemática mais usada no mundo,
pois com um pouco mais de aprofundamento em sua funções podemos perceber o quão ágil se torna
o processo de resolução de problemas matemáticos.
É interessante também perceber que a ferramenta aqui supracitada pode ser utilizada nas mais
diversas áreas, fazendo desde contas matemáticas até circuitos elétricos e malhas múltiplas.
32
REFERÊNCIAS
Centro de Cálculo - ISEL. Disponível em: <http://www.cc.isel.ipl.pt/> Acesso em: 3
nov. 2013
COPPE UFRJ. Disponível em: <http://www.peq.coppe.ufrj.br/> Acesso em: 3 nov.
2013
FUNÇÕES DISPONÍVEIS (MATLAB 4.2). Disponível em:
<http://www.mec.ita.br/~adade/Matlab/Web/anexo.htm> Acesso em: 3 nov. 2013
Funções Matemáticas do MATLAB. Disponível em:
<http://www.mec.ita.br/~adade/Matlab/Web/matfunc.htm> Acesso em: 3 nov. 2013
Funções para Construção de Matrizes. Disponível em:
<http://www.mec.ita.br/~adade/Matlab/Web/constroi.htm> Acesso em: 3 nov. 2013
Processamento Simbólico - Polinômios, Equações e Gráficos. Disponível em:
<http://www.dei.isep.ipp.pt/~asilva/Sebenta_IAC2_MatLab2.pdf> Acesso em: 3 nov.
2013
Traçando Gráficos no MATALB. Disponível em:
<http://www.mec.ita.br/~adade/Matlab/Web/graficos.htm> Acesso em: 3 nov. 2013
33