Relatório_Aula_02

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Relatório Aula 02
Universidade Federal de São João del Rei
Campus Alto Paraopeba - CAP
Engenharia de Telecomunicações
Diego Santos Seabra
Ouro Branco
2013
Relatório Aula 02
Relatório apresentado como exigência 
do professor Gustavo Fernandes em En-
genharia de Telecomunicações da Univer-
sidade Federal de São João del Rei.
Diego Santos Seabra
Ouro Branco
2013
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO.................................................................................................................. 5
2 EXERCÍCIO 1................................................................................................................... 6
2.1 Letra a......................................................................................................................... 6
2.2 Letra b......................................................................................................................... 6
2.3 Letra c......................................................................................................................... 6
2.4 Letra d......................................................................................................................... 6
2.5 Letra e......................................................................................................................... 7
2.6 Letra f.......................................................................................................................... 7
2.7 Letra g......................................................................................................................... 7
2.8 Letra h......................................................................................................................... 8
2.9 Letra i.......................................................................................................................... 8
2.10 Letra j........................................................................................................................ 8
2.11 Letra k....................................................................................................................... 9
2.12 Letra l........................................................................................................................ 9
2.13 Letra m..................................................................................................................... 9
3 EXERCÍCIO 2................................................................................................................. 10
4 EXERCÍCIO 3................................................................................................................. 11
4.1 Letra a....................................................................................................................... 11
4.2 Letra b....................................................................................................................... 11
5 EXERCÍCIO 4................................................................................................................. 13
6 EXERCÍCIO 5................................................................................................................. 15
6.1 Letra a....................................................................................................................... 15
6.2 Letra b....................................................................................................................... 15
6.3 Letra c....................................................................................................................... 15
6.4 Letra d....................................................................................................................... 15
6.5 Letra e....................................................................................................................... 16
7 EXERCÍCIO 6................................................................................................................. 18
8 DESCRIÇÕES................................................................................................................ 19
9 CONCLUSÃO................................................................................................................. 20
REFERÊNCIAS................................................................................................................. 21
5
1 INTRODUÇÃO
Este relatório tem como objetivo apresentar os exercícios propostos na segunda
aula.
Como será visto adiante, esses exercícios proporcionam uma visão ainda mais
aprofundada de como funcionam os cálculos matemáticos dentro do MATLAB,
facilitando toda e qualquer equação que se pode imaginar a ser resolvida com esta
ferramenta.
6
2 EXERCÍCIO 1
Começamos este exercício declarando os vetores das letras a,b e c.
2.1 Letra a
>> a = [1 2 3 4 5 6 7]
>> a =
1 2 3 4 5 6 7
2.2 Letra b
>> b = [3:3:21]
>> b =
3 6 9 12 15 18 21
2.3 Letra c
>> c = [0 5 10 15 10 5 0; -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7]
>> c =
0 5 10 15 10 5 0
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
2.4 Letra d
>> d = [a(4:7)]
>> d =
7
4 5 6 7
2.5 Letra e
>> e = sort (d,'descend')
>> e =
7 6 5 4
2.6 Letra f
>> f = [d;e]
>> f =
4 5 6 7
7 6 5 4
2.7 Letra g
>> g = [f(1:2,1:4)']
>> g =
4 7
5 6
6 5
7 4
>> g = [g(1,1) g(2,1); g(1,2) g(2,2); g(3,1) g(4,1); g(3,2) g(4,2)]
>> g =
4 5
7 6
6 7
5 4
8
2.8 Letra h
>> h = [b(4:7)]
>> h =
12 15 18 21
>> h = h'
>> h =
12
15
18
21
2.9 Letra i
>> i = [c(1,6); c(2,6)]
>> i =
5
-6
2.10 Letra j
>> j = [c(1:2,1:3)]
>> j =
0 5 10
-1 -2 -3
9
2.11 Letra k
>> k = j.^2
>> k =
0 25 100
1 4 9
2.12 Letra l
>> l = [k(1,1),k(1,2)-1,k(1,3)-1;k(2,1)+1,k(2,2)+1,k(2,3)+1]
>> l =
0 24 99
2 5 10
2.13 Letra m
>> m = [l(1,1),-l(1,2),-l(1,3);-l(2,1),-l(2,2),-l(2,3)]
>> m =
0 -24 -99
-2 -5 -10
10
3 EXERCÍCIO 2
Para a resolução deste exercício utilizaremos a forma matricial (A*X - B = 0).
Para tanto, no MATLAB utilizamos uma matriz de vetores, como visto a seguir:
>> A = [2 1.5 1;1 6 -2; 2 4 0]
>> A =
2.0000 1.5000 1.0000
1.0000 6.0000 -2.0000
2.0000 4.0000 0
>> B = [13.20; 21.64; 26.62]
>> B =
13.2000
21.6400
26.6200
>> X = A\B
>> X =
-23.7100
18.5100
32.8550
Como resultado temos que x1 = -23.71, x2 = 18.51 e x3 = 32.8550.
11
4 EXERCÍCIO 3
Para este exercício utilizaremos o comando rand, como visto em sala de aula,
que cria uma matriz quadrada com números aleatórios. Porém é necessário
escrever um código com condições específicas para especificarmos quais
elementos são maiores que 0.5 (para não haver valores booleanos). Então neste
exemplo usaremos o seguinte código e o nomearemos sei.m:
a = rand(50);
for n=1:50
if a(n)>.5
b(n) = a(n);
end
end
4.1 Letra a
>> sei.m
4.2 Letra b
>> sort (b,'descend')
>> ans =
Columns 1 through 6
0.99 0.98 0.95 0.95 0.94 0.93
Columns 7 through 12
0.87 0.86 0.86 0.83 0.83 0.81
Columns 13 through 18
12
0.80 0.77 0.75 0.69 0.68 0.68
Columns 19 through 24
0.66 0.65 0.63 0.63 0.62 0.60
Columns 25 through 30
0.56 0 0 0 0 0
Columns 31 through 36
0 0 0 0 0 0
Columns 37 through 42
0 0 0 0 0 0
Columns 43 through 48
0 0 0 0 0 0
Columns 49 through 50
0 0
13
5 EXERCÍCIO 4
Para resolvermos este exercício é necessário ter em mente que um vetor
perpendicular ao plano é um vetor normal (normal vector, no capítulo Descrições).
Pelas propriedades de produto vetorial tem-se que AB vetorial AC (ABxAC) resulta
um vetor ortogonal aos dois planos.
Portanto:
n = ABxAC, onde n é o vetor normal ao plano.
Obs.: Lembrando que AB equivale à expressão B - A.
Agora declaramos os vetores dosvértices do triângulo:
>> a = [6,-1,2]
a =
6 -1 2
>> b = [-2,3,-4]
b =
-2 3 -4
>>c = [-3,1,5]
c =
-3 1 5
E fazemos as outras operações:
>> AB = (b-a)
AB =
-8 4 -6
>> AC = (c-a)
AC =
-9 2 3
14
>>n = cross(AB,AC)
n =
24 78 20
Para o cálculo do ângulo, utilizaremos a função angle, como visto a seguir:
>> angle (a)
ans =
0 3.1416 0
15
6 EXERCÍCIO 5
Começamos este exercício declarando X = [6 2 45; 65 32 9; 3 8 1].
6.1 Letra a
>> Y = min(X)
>> Y =
3 2 1
6.2 Letra b
>> soma = sum(Y)
>> soma =
6
6.3 Letra c
>> Z = max(X')
>> Z =
45 65 8
Obs.: Lembrando que esta operação não pode ser feita com a transposta "do
lado" de fora [Z = max(X)'], visto que desta forma estaremos fazendo a matriz
transposta do resultado max (que, neste caso é o máximo de cada coluna).
6.4 Letra d
16
>> produto = prod(Z)
>> produto =
23400
6.5 Letra e
Para este exercício dividiremos nossas linhas em vetores separados para poder ter
maior controle do cálculo a ser executado. Neste caso x2 equivale a 1ª linha, x3 à
segunda e assim por diante.
Portanto teremos:
>> X
X =
6 2 45
65 32 9
3 8 1
>> x1 = (X')
x1 =
6 65 3
2 32 8
45 9 1
>> x2 = x1(1:3)
x2 =
6 2 45
>> x3 = x1(4:6)
x3 =
65 32 9
17
>> x4 = x1(7:9)
x4 =
3 8 1
Partindo desses cálculos, faremos agora o módulo de cada vetor, ou seja, de cada
linha:
>> norm (x2) //Equivalente à 1ª Linha
ans =
45.4423
>> norm (x3) //Equivalente à 2ª Linha
ans =
73.0068
>> norm (x4) //Equivalente à 3ª Linha
ans =
8.6023
18
7 EXERCÍCIO 6
Para a resolução deste exercício utilizaremos a Lei de Kirchoff para resolver as
malhas do circuitos supracitado. E para tanto teremos as seguintes equações:
(V1-8)/2 + (V1-0)/4 + (V1-V2)/6 = 0
(V2-V1)6 + (V2-0)/3 + (V2-(-1))/10 = 0
(De acordo com a Lei de Kirchoff, para encontrarmos as tensões dos nós, temos
Ia+Ib+Ic=0).
A partir daí podemos escrever estes valores no MATLAB na forma matricial (A*X
- B = 0). Para tanto, no MATLAB utilizamos uma matriz de vetores, como visto a
seguir:
>> A = [11,-2;72,-20]
>> A =
11 -2
72 -20
>> B = [48;-12]
>> B =
48
-12
>> X = A\B
>>X =
12.9474
47.2105
Assim temos V1=12.94 e V2=47.21.
19
8 DESCRIÇÕES
The normal vector, often simply called the "normal," to a surface is a vector
perpendicular to it. Often, the normal unit vector is desired, which is sometimes
known as the "unit normal." The terms "normal vector" and "normalized vector"
should not be confused, especially since unit norm vectors might be called
"normalized normal vectors" without redundancy. When normals are considered on
closed surfaces, the inward-pointing normal (pointing towards the interior of the
surface) and outward-pointing normal are usually distinguished. The normal vector is
commonly denoted N or n, with a hat sometimes (but not always) added (i.e., N^^
and n^^) to explicitly indicate a unit normal vector.
Obs.:
Para mais informações, visite http://www.mathworld.wolfram.com/NormalVector.html
20
9 CONCLUSÃO
Como visto, o MATLAB faz jus a seu nome de ferramenta matemática mais
usada no mundo, pois com um pouco mais de aprofundamento em sua funções
podemos perceber o quão ágil se torna o processo de resolução de problemas
matemáticos.
É interessante também perceber que a ferramenta aqui supracitada pode ser
utilizada nas mais diversas áreas, fazendo desde contas matemáticas até circuitos
elétricos e malhas múltiplas.
21
REFERÊNCIAS
Análise Nodal. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=E6Gl5k7FR6Y>
Acesso em: 29 out. 2013
Equação Geral do Plano. Disponível em:
<http://www.mat.ufmg.br/gaal/aulas_online/at4_02.html> Acesso em: 29 out. 2013
Lines, Planes and MATLAB. Disponível em:
<http://www2.math.umd.edu/~jmr/241/lines-planes.htm> Acesso em: 29 out. 2013
MATLABBásico: ITA. Disponível em:
<http://www.mec.ita.br/~adade/Matlab/Web/indice.htm> Acesso em: 29 out. 2013
MATLAB para a Engenharia. Disponível em:
<http://ifgjatai.webcindario.com/MatLab_para_Engenharia.pdf> Acesso em: 29 out.
2013
Normal Vector. Disponível em: <http://mathworld.wolfram.com/NormalVector.html>
Acesso em: 29 out. 2013
Operações Lógicas: ITA. Disponível em:
<http://www.mec.ita.br/~adade/Matlab/Web/operalog.htm> Acesso em: 29 out. 2013