Exerc+¡cio 1 3M

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Exercício 1 
Determinar os diagramas de esforços solicitantes para a viga abaixo pelo Equação dos 
Três Momentos. Determinar todos os pontos de momentos máximos. Calcular também 
as reações de apoio. 
 
Solução: 
1) Determinação do Grau de Hiperestaticidade 
GH=2 
2) Numeração das barras e nós 
As barras devem ser numeradas a partir do número 1. 
Os nós devem ser numerados a partir do número 0. 
Para efeito de cálculo o engastamento deve ser substituído por um tramo adicional bi-
apoiado (barra fictícia = Barra 3) 
 
3) Equação dos 3M para EI constante por trechos (aplicar 2 vezes, GH=2) 
L
’
i M i-1 + 2(L
’
i+L
’
i+1)M i + L
’
i+1M i+1 = - (DiL
’
i + Ei+1L
’
i+1) 
i=1 
L’1.M0+2.(L’1+L’2).M1+L’2.M2= - (DDDD1.L’1+EEEE2.L’2) 
i=2 
L’2.M1+2.(L’2+L’3).M2+L’3.M3= - (DDDD2.L’2+EEEE3.L’3) 
4) Momentos fletores 
M0=0 M1=? M2=? M3=0 
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5) Vão Reduzido => Adotado EcIc =EI k
k
cc'
k LEI
IE
L =
 
Barra 1 
L1' =
EI
EI ·3=3m 
Barra 2 
L2' =
EI
2·EI ·4=2m 
Barra 3 (barra fictícia) 
L3' =0 
6) Fatores de forma (Tabela) 
Barra 1 (superposição dos efeitos dos carregamentos) 
O momento fletor de 125kN.m deve ser escorregado para barra da direita ou para barra 
da direita com o mesmo sentido. No caso, optou-se pelo escorregamento para barra da 
esquerda (barra 1) e sentido anti-horário. 
 L=3m a=3m b=0 
DDDD1=
q·L2
4 +M· �1-3·
a2
L2
� = 85·324 +(-125)· �1-3·
32
32
� =+441,25 
Barra 2 
 L=4m a=2m b=2m 
EEEE2=
P·a·b
L · �1+
b
L� =
150·2·2
4 · �1+
2
4� =+225 
DDDD2=
P·a·b
L · �1+
a
L� =
150·2·2
4 · �1+
2
4� =+225 
Barra 3 (barra fictícia não tem carregamento) 
EEEE3=DDDD3=0 
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7) Solução da Equação dos 3M 
L’1.M0+2.(L’1+L’2).M1+L’2.M2= - (DDDD1.L’1+EEEE2.L’2) 
3.0+2.(3+2).M1+2.M2= - (441,25.3+225.2) 
10.M1+2.M2=-1773,75 (÷2) 
M2 = - 886,875 – 5.M1 
L’2.M1+2.(L’2+L’3).M2+L’3.M3= - (DDDD2.L’2+EEEE3.L’3) 
2.M1+2.(2+0).M2=-(225.2+0.0) 
Substituindo M2 
2.M1+4(-886,875-5.M1)=-450 
M1=-172,083kN.m (convenção usual: sinal negativo significa momento em cima da 
viga) 
M2=-26,458kN.m 
8) Momentos fletores 
Colocam-se os resultados dos momentos finais na convenção usual na viga. 
 
Portanto, os momentos fletores em cada barra são: 
 
9) Cálculo dos esforços cortantes e momentos máximos: 
Para determinar esses diagramas é necessário isolar cada barra para analisá-la 
separadamente (Barra 1=BARRA AB →Barra 2=BARRA BC). 
• BARRA AB 
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Considerando a BARRA AB como bi-apoiada com os carregamentos iniciais mais os 
momentos encontrados pode-se achar a solução com as três equações de equilíbrio. 
As reações de apoios verticais da BARRA AB serão as cortantes da viga contínua 
hiperestática. 
 
∑ Fx =0 Não tem força na horizontal. 
 
∑ MA=0 → Adotado anti-horário positivo. 
 VB
esq
 · 3 – R · 1,5 - 47,083 = 0 
 VB
esq
 = 143,194 kN 
No diagrama de esforço cortante: Negativo pela convenção de sinal da cortante que 
estabelece que quando o esforço cortante for percorrer a barra no sentido anti-horário 
ele será negativo. 
	 Fy =0 → VAdir + VBesq - R = 0 
 VAdir = 111,806 kN 
No diagrama de esforço cortante: Positivo pela convenção de sinal da cortante que 
estabelece que quando o esforço cortante for percorrer a barra no sentido horário ele 
será positivo. 
Colocam-se esses valores encontrados no diagrama de esforço cortante. 
Neste caso o diagrama de esforço cortante mostra um ponto de cortante igual à zero 
(V=0). Neste caso tem-se um momento máximo neste ponto. 
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Para determinação deste momento tem-se que definir a equação de momento fletor 
para esse trecho, derivá-la e igualá-la a zero. Assim, obtém-se a cota “x” para cortante 
igual a zero. Com esse valor volta-se na equação de momento e tira-se o valor do 
momento máximo. 
• Equação do momento fletor. 
Isola-se um trecho “x” da BARRA AB. Intervalo 0 < x < 3. 
 
Calcula-se o momento no ponto “S” a uma distância “x” do ponto A. Adotado para 
cálculo do Ms sentido horário positivo (Tração em baixo momento positivo – ao calcular 
o momento se der positivo desenha do lado de baixo da viga; se der negativo desenha 
do lado de cima da viga). 
MS=111,806 ·x - R· x2 = 111,806 ·x - 85 ·x · 
x
2 
MS= 111,806 ·x - 42,5 · x2Equação do momento fletor para BARRA AB. 
Verificação da Equação de momento fletor. 
x M 
0 MA=0 OK! 
3 MB = - 47,083 OK! 
 
A equação de esforço cortante pode ser obtida derivando a equação de momento 
fletor: 
V= dMdx =111,806 - 42,5· 2 · x = 111,806 - 85 ·x Equação de esforço cortante 
para BARRA AB. 
Verificação da Equação de esforço cortante. 
x V 
0 VAdir= 111,806 kN OK! 
3 VBesq = -143,194 kN OK! 
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Igualando a equação a zero tem-se o valor de “x” para qual o momento 
fletor é máximo. 
V=
dM
dx =111,806 - 2 ·42,5 ·x = 111,806 - 85 ·x = 0 
 
Portanto, x = 1,315 m 
Volta-se equação de momento e obtém-se o valor de momento máximo: 
MMAX= 111,806 ·1,315 - 42,5 · 1,3152 
MMAX = 73,533 kN . mSinal positivo: desenha do lado de baixo da viga. 
• BARRA BC 
 
Da mesma forma, considerando a BARRA BC como bi-apoiada com os carregamentos 
iniciais mais os momentos encontrados pode-se achar a solução com as três equações 
de equilíbrio. 
As reações de apoios verticais da BARRA BC serão as cortantes da viga contínua 
hiperestática. 
 
∑ Fx =0 Não tem força na horizontal. 
 
∑ MB=0 → Adotado anti-horário positivo. 
 VC
esq
 · 4 – 150 · 2 - 26,458 + 172,083 = 0 
 VC
esq
 = 38,594 kN 
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No diagrama de esforço cortante: Negativo pela convenção de sinal da cortante que 
estabelece que quando o esforço cortante for percorrer a barra no sentido anti-horário 
ele será negativo. 
	 Fy =0 → VBdir + VCesq - 150 = 0 
 VBdir = 111,406 kN 
No diagrama de esforço cortante: Positivo pela convenção de sinal da cortante que 
estabelece que quando o esforço cortante for percorrer a barra no sentido horário ele 
será positivo. 
Colocam-se esses valores encontrados no diagrama de esforço cortante. 
Apesar de não se ter cortante igual a zero (V=0) precisa-se encontrar o momento no 
ponto R. Adotado para cálculo do MR sentido horário positivo (Tração em baixo 
momento positivo– ao calcular o momento: se der positivo desenha do lado de baixo da 
viga; se der negativo desenha do lado de cima da viga). 
MR=VBdir ·2 – 172,083 = 50,729 kN . mSinal positivo: desenha do lado de baixo da 
viga. 
 
6) Determinação das reações de apoio 
RA = VA
dir
 = 111,806 kN 
 RB = VB
esq
 + VBdir= 143,194 + 111,406 = 254,6 kN 
 RC= VC
esq
 = 38,594 kN 
 
7) Traçado dos diagramas de esforços solicitantes: 
Diagrama de esforço cortante 
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Diagrama de momento fletor 
O momento concentrado no nó B de 125 kN.m aparece no diagrama na 
descontinuidade do traçado (Salto de 172,083 – 47,083 = 125 kN . m)