Métrica de FRW

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Deduc¸a˜o da Me´trica de
Friedmann-Robertson-Walker
La´zaro Lima de Sales
Universidade Estadual do Piau´ı - UESPI
Campus Piripiri
1 de agosto de 2016
A cosmologia moderna e´ regida pelo princ´ıpio cosmolo´gico em escalas
suficientemente grandes, este princ´ıpio e´ fundamentado nos seguintes enun-
ciados:
(i) As leis da f´ısica sa˜o as mesmas em todos os referenciais.
(ii) o universo e´ espacialmente homogeˆneo e isotro´pico.
Uma me´trica que descreve a dinaˆmica e evoluc¸a˜o do universo com eficieˆncia
e´ a de FRW, pois ela expressa a homogeneidade e isotropia do espac¸o-tempo,
ou seja, todos os pontos e direc¸o˜es do universo sa˜o equivalentes.
Considerando que o universo seja uma esfera, a partir de agora iremos
estudar a evoluc¸a˜o de alguns paraˆmetros, como, o fator de escala R(t), o
raio r com uma curvatura adimensional k do tecido espac¸o-tempo. Podemos
escrever o espac¸o Euclididano de 4 dimenso˜es como um elemento de linha
dl2 = dx21 + dx
2
2 + dx
2
3 + dx
2
4 , (1)
ou da forma padra˜o em 3D
dl2 = dx21 + dx
2
2 + dx
2
3 , (2)
onde x1, x2 e x3 sa˜o as coordenadas espaciais. Estendendo para o caso de
uma hiperesfera que envolve uma quarta dimensa˜o,
1
R2 = x21 + x
2
2 + x
2
3 + x
2
4 . (3)
Explicitando a dependeˆncia de x4, obtemos
x4 =
√
R2 − x21 − x22 − x23 . (4)
Diferenciando x4 em relac¸a˜o a xi, onde i = 1, 2, 3, ..., temos
∂x4
∂xi
= − xi√
R2 − x21 − x22 − x23
. (5)
Agora vamos aclarar a seguinte expressa˜o
dx4 =
∂x4
∂x1
dx1 +
∂x4
∂x2
dx2 +
∂x4
∂x3
dx3 . (6)
Substitu´ıdo a eq. 5 na eq. 6 para seus respectivos ı´ndices,
dx4 = −(x1dx1 + x2dx2 + x3dx3)√
R2 − x21 − x22 − x23
, (7)
e elevando ambos os lados ao quadrado, temos
dx24 =
(x1dx1 + x2dx2 + x3dx3)
2
R2 − x21 − x22 − x23
. (8)
Substitu´ıdo a eq. 8 na eq. 1, encontramos a expressa˜o
dl2 = dx21 + dx
2
2 + dx
2
3 +
(x1dx1 + x2dx2 + x3dx3)
2
R2 − x21 − x22 − x23
. (9)
Como estamos tratando o universo como uma esfera, temos que relembrar
algumas relac¸o˜es. Escrevendo nosso sistema de equac¸o˜es em coordenadas po-
lares esfe´ricas, as transformac¸o˜es sa˜o dada por
x1 = rsinθcosφ
x2 = rsinθsinφ
x3 = rcosθ
θ : 0→ pi
φ : 0→ 2pi
2
r : 0→ R .
Para facilitar o nosso ca´lculo, iremos fazer uma reduc¸a˜o alge´brica assu-
mindo que
r2 = x21 + x
2
2 + x
2
3 (10)
r =
√
x21 + x
2
2 + x
2
3 . (11)
Diferenciando em relac¸a˜o as treˆs coordenadas, temos
dr =
x1dx1 + x2dx2 + x3dx3√
x21 + x
2
2 + x
2
3
. (12)
Elevando tudo ao quadrado e rearranjando,
dr2(x21 + x
2
2 + x
2
3) = (x1dx1 + x2dx2 + x3dx3)
2 . (13)
Substituindo as equac¸o˜es 10 e 13 na eq. 9, com um pouco de a´lgebra
obtemos a seguinte equac¸a˜o
dl2 = dx21 + dx
2
2 + dx
2
3 +
dr2r2
R2 − r2 . (14)
Agora temos que encontrar a forma de dx1, dx2 e dx3, para isso, iremos
diferenciar x1, x2 e x3 em coordenadas polares esfe´ricas. A diferenciac¸a˜o sera´
parcial e em termos de r, θ e φ para cada coordenada:
dx1 = rcosφcosθdθ + sinθcosφdr − rsinθsinφdφ (15)
dx2 = rsinφcosθdθ + sinθsinφdr + rsinθcosφdφ (16)
dx3 = cosθdr − rsinθdθ (17)
Substituindo as equac¸o˜es 15, 16 e 17 na eq. 14, temos
dl2 = (rcosφcosθdθ + sinθcosφdr − rsinθsinφdφ)2 + (rsinφcosθdθ + sinθsinφdr
+ rsinθcosφdφ)2 + (cosθdr − rsinθdθ)2 + dr
2r2
R2 − r2 . (18)
Realizando algumas operac¸o˜es ba´sicas, obtemos
dl2 =
R2dr2
R2 − r2 + r
2dθ2 + r2sin2θdφ2 . (19)
3
De modo a fazer uma generalizac¸a˜o, vamos usar a seguinte definic¸a˜o
r′ ≡ r
R
.
Colocando R2 em evideˆncia,
dl2 = R2
[
dr2
R2 − r2 +
r2
R2
dθ2 +
r2
R2
sin2θdφ2
]
.
Inserindo a definic¸a˜o na eq. 19, encontramos
dl2 = R2
[
R2dr′2
R2 − r′2R2 + r
′2dθ2 + r′2sin2θdφ2
]
dl2 = R2
[
R2dr′2
R2(1− r′2) + r
′2dθ2 + r′2sin2θdφ2
]
dl2 = R2
[
dr′2
1− r′2 + r
′2dθ2 + r′2sin2θdφ2
]
. (20)
Segundo a teoria geral da Relatividade de Einstein, o espac¸o-tempo e´
dinaˆmico, ele se curva na presenc¸a de massa e energia, no entanto o elemento
de linha dl2 na˜o inclui a curvatura do universo . Essa curvatura que chama-
mos de k pode assumir valores da seguinte maneira:
k > 0 −→ Curvatura Positiva (universo fechado)
k = 0 −→ (universo plano)
k < 0 −→ Curvatura negativa (universo aberto)
Inserindo a curvatura k, obtemos a forma geral
dl2 = R2
[
dr′2
1− kr′2 + r
′2dθ2 + r′2sin2θdφ2
]
. (21)
Esta u´ltima equac¸a˜o e´ um elemento de linha sobre a superf´ıcie de uma
hiperesfera. Da me´trica de Minkowski, segue que
ds2 = c2dt2 − (dx21 + dx22 + dx23) . (22)
O segundo termo do lado direito da me´trica de Minkowski e´ o elemnto de
linha visto na eq. 1 na forma 3D, substituindo na me´trica, chegamos enfim
a expressa˜o
ds2 = c2dt2 −R(t)2
[
dr2
1− kr2 + r
2dθ2 + r2sin2θdφ2
]
, (23)
4
que e´ a me´trica de Friedmann-Robertson-Walker.
5