Aula 8 Estatística e Probabilidade

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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
Prof. Lucio Borges de Araújo
Modelos Probabilísticos Contínuos
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5.2.1 DISTRIBUIÇÃO NORMAL
� A distribuição normal é a mais importante das
distribuições;
� Conhecida como a “curva em forma de sino”, a
sua forma é:
� Há maior probabilidade de a VA assumir valore
próximos do centro; 2
� Uma variável aleatória X, que tome todos os valores 
reais −∞ < � < +∞ tem distribuição normal quando 
sua função densidade de probabilidade (f.d.p.) for da 
forma: 
� � = 12�	
 �
���
���
�
�
	, ���	 − ∞ < � < +∞
� Os parâmetros � e 
 seguem as seguintes condições:
−∞ < � < +∞ e 
 > 0	 .
em que 	� � = � e � � = 
�
� � �
 
� 
!� = 1
� Notação: � ∼ 	#(�, 
�). 3
PROPRIEDADES
� Para uma mesma média � e diferentes desvios
padrão 
. Considerando, 
& > 
' > 
(.
� Distribuições normais com o mesmo desvio
padrão e médias diferentes. Considere �&>�'.
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� A probabilidade de uma variável assumir valores
entre a e b é igual e a integral da função de
densidade de probabilidade entre os pontos a e b
de interesse.
� NÃO é uma tarefa Fácil
� No caso da distribuição normal, algumas dessas
áreas – com os pontos a e b, função de � e 
 – são
bastante difundidas e são representadas a seguir:
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5.2.2 DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
� A distribuição normal particular com média 0 e 
desvio padrão 1 é chamada de distribuição 
normal padrão e costuma ser denotada por Z. 
� Tem como objetivo solucionar a complexidade da 
�(�) através da mudança de variável. 
� Fazendo:
) = *��� ,
temos que )~#(0,1) e consequentemente, E(Z)=0 e
VAR(Z)=1. 6
� Estas probabilidades estão tabeladas e este caso
particular é chamado de Forma Padrão da
Distribuição Normal.
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Exemplo: Calcular as seguintes probabilidades 
utilizando a distribuição normal padrão:
a) P(Z>1)
b) P(Z<2)
c) P(Z>-2,38)
d) P(Z<-1,57)
e) P(0,68<Z<1,91)
f) P(-0,73<Z<2,54)
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Exemplo: Determinar os valores de z:
a) Tal que acima dele esteja 25% da área total;
b) Tal que abaixo dele esteja 95% da área total;
c) Tal que abaixo dele esteja 5% da área total;
d) Simétricos em relação a origem, que entre si 
abrangem 95 % da área total. 
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� Exemplo: A duração de um certo tipo de pneu,
em quilômetros rodados, é uma variável normal
com duração media 60000Km e desvio padrão
10000Km.
� Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente
escolhido durar mais de 75000Km?
� Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente
escolhido durar entre 50000km e 70000km?
� Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente
escolhido durar exatamente 70000km?
� O fabricante deseja fixar prazo de garantia, em
quilômetros, de tal modo que, se a duração do
pneu for inferior a garantia, o pneu seja trocado.
De quantos quilômetros deve ser este prazo, para
que somente 1% dos pneus sejam trocados?
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Exemplo: Seja um teste aplicado a um grupo de 50
adolescentes do 3º ano colegial. Obteve-se uma
distribuição normal com média 50 e desvio padrão
6. Pergunta-se:
a) Qual a proporção de alunos com notas 
superiores a 60 ? 
b) Qual a probabilidade averiguar o número de 
alunos com notas entre 35 e 45
c) Qual a probabilidade de um aluno 
aleatoriamente escolhido ter uma nota igual 70?
d) qual é a nota abaixo da qual estão 75% dos 
alunos?
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