Apostila 1 Acion AC

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Acionamentos Elétricos 
Prof.: Genésio G. Diniz 
1
1.1- CONJUGADO EM MÁQUINAS DE ROTOR CILÍNDRICO 
 
Neste trabalho as equações serão deduzidas a partir do ponto de vista de campo 
magnético, no qual considera a máquina como dois grupos de enrolamento, um no 
rotor e outro no estator, produzindo campos magnéticos no entreferro como mostrado 
na Figura 1. 
Com hipóteses apropriadas, o conjugado e a tensão gerada podem ser calculados 
em função de fluxos concatenados e da energia do campo magnético no entreferro em 
termos de grandeza de campo. O conjugado é expresso como a tendência para dois 
campos magnéticos se alinhar, e a tensão gerada é expressa como o resultado do 
movimento relativo entre o campo e o enrolamento. 
Na Figura 1 temos um diagrama vetorial das FMM do estator (Fs) e do rotor (Fr), 
ambas são ondas espaciais senoidais sendo o angulo de fase em relação ao seus eixos 
magnéticos. A FMM resultante é a soma vetorial de Fs e Fr, das relações 
trigonométricas, obtemos a expressão: 
srrsrssr FFFFF dcos2
22222 ++= (1.3) 
 
 
 
Figura 1- Máquina de 2 Pólos Simplificada (a) Modelo elementar (b) 
Diagrama Vetorial da Onda de Fluxo 
(FITZGERALD et al., 1978) 
 
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O campo radial resultante H é uma onda espacial cuja o valor de Hpico é obtido como: 
g
F
HHlFMM srpico 2
=Þ=
 (1.4) 
onde Hpico é a força magnetomotriz no entreferro sobre duas vezes o comprimento do 
entreferro (gap). 
Sabe-se que a energia armazenado no entreferro é também conhecida como Co-
energia: 
2
0 2
1
'' HWHdlW
H
mm =Þ= ò
 (1.5) 
Substituindo a Eq-1.3 e Eq1.4 na Eq-1.5 temos: 
)cos2(
8
' 2222
2
d
m
rsrs
o FFFF
g
W ++=
 (1.6) 
Sabe-se que conjugado é v/PT = então: 
)sen2(
8
'
2 srrs
o
srsr
FF
g
W
dt
d
dt
dW
T dm
dd
-=
¶
¶== (1.7) 
portanto : srrs
o FF
g
T d
m
sen
4 2
-= (1.8) 
 
 
1.2- CAMPO MAGNÉTICO GIRANTE 
 
Devido a forma física das máquinas rotativas, a disposição geométrica das 
bobinas na armadura faz com que se tenha a formação de um campo magnético 
girante. O campo magnético girante pode ser definido, como uma distribuição 
espacial da densidade de fluxo magnético cujo vetor, representativo dessa onda, tem 
um módulo constante e gira a uma velocidade angular constante determinada pela 
freqüência das correntes que o produzem.(FITZGERALD et al., 1978). 
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Para maior compreensão do referido efeito, será analisado a natureza do campo 
magnético produzido por enrolamento polifásico em uma máquina trifásica de dois 
pólos, onde os enrolamentos das fases individuais estão dispostos ao longo da 
circunferência do entreferro deslocados uns dos outros de 120º graus elétricos, 
como mostrado pelas bobinas a, - a ; b, -b e c, -c na Figura 1.2 . 
Cada enrolamento está alimentado por uma corrente alternada variando senoidalmente 
com tempo. Para um sistema balanceado, as correntes instantâneas são: 
)º240cos(
)º120cos(
)cos(
-v=
-v=
v=
tIi
tIi
tIi
Mc
Mb
Ma
 (1.1) 
 
Onde IM e o valor máximo de corrente e a seqüência de fases é tomada como 
sendo abc. Como conseqüência, tem-se três componentes de FMM, sendo a onda de 
FMM resultante representada por um vetor espacial oscilante que gira na periferia do 
entreferro a uma velocidade v t, com comprimento proporcional às correntes de fases 
instantâneas, esta FMM resultante é a soma vetorial das componentes de todas as três 
fases dada por : 
)cos(2/3),( tt vqq -=Á (1.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 Para uma melhor visualização deste efeito, considere a Figura 1.1 no momento 
em que t= 0, t=p /3 e t=2p /3. 
 
Ia Ib Ic 
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4
 
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4
- 1
- 0 . 8
- 0 . 6
- 0 . 4
- 0 . 2
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
 
 
 
 
Para t = 0, a fase a está em seu valor máximo IM, portanto, a FMM que é 
proporcional a corrente, tem seu valor máximo, Fa = FMAX. Observando o sentido das 
correntes na bobina a podemos determinar o sentido do vetor Fa, mostrado na Figura 
1.2a. Neste mesmo instante as correntes ib e ic são ambas de módulo IM/ 2 na direção 
negativa. Observando os sentidos das correntes instantâneas, representados com 
pontos e cruzes, as FMM correspondentes a fase b e c, são mostradas pelos vetores Fb 
e Fc, ambos de módulo igual a FMAX/ 2, desenhados na direção negativa ao longo dos 
eixos magnéticos das fases b e c respectivamente. A resultante, é obtida pela soma 
vetorial das contribuições individuais das três fases, é um vetor de modulo F=3/2 FMAX 
alinhado no eixo da fase a. 
Para o instante t=p /3, as correntes instantâneas na fase a e b são de IM /2 positivas e a 
corrente na fase c é de IM negativo. As componentes individuais de FMM e sua 
resultante são mostradas na Figura 1.2b. A resultante possui a mesma amplitude que no 
instante anterior, 3/2FMAX , porem deslocada de 60º graus em sentido anti-horário. 
 
Figura 1.1 - Correntes Trifásicas Instantâneas 
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No instante t= 2/3, note que o mesmo acontece, a corrente na fase b esta no seu 
máximo negativo e nas fases a e c á metade de seu valor máximo negativo, a 
resultante é novamente de modulo igual a 3/2FMAX , mas ela girou mais 60 graus 
elétricos no sentido anti-horário, alinhando-se com o eixo magnético da fase b, como 
mostra a Figura 1.2c. 
Como visto, conforme o tempo passa, a onda de FMM resultante desloca-se ao longo 
do entreferro com módulo constante, caracterizando, este comportamento, como 
campo magnético girante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO II - MODELAGEM DA MÁQUINA DE INDUÇÃO 
Figura 1.2- Campo Magnético Resultante no Entreferro de uma Máquina de Indução 
Trifásica 
(FITZGERALD et al., 1978) 
(a) (b) (c) 
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O objetivo deste capítulo é obter um modelo matemático da máquina de indução 
que permitirá o controle da mesma pela orientação de campo. São vários os modelos 
existentes que permitem uma análise transitória do motor de indução. Cabe ao 
pesquisador analisar qual o modelo mais adequado à solução de seu problema 
específico. 
Um modelo considerado adequadamente suficiente, quando se tratando de analisar 
a máquina de indução controlada vetorialmente, consiste em referenciar os 
parâmetros da máquina em um sistema de eixos girando a uma velocidade arbitrária. 
 A modelagem em variáveis naturais (“ABC”), são diferencias, não-lineares e 
com parâmetros variantes com o tempo, sendo inadequadas para simulações, pois 
demanda tempo de processamento. Utilizando a transformação “ABC / dq0 ”, que 
consiste em transformar a máquina trifásica (real), em uma máquina fictícia bifásica 
com as mesmas forças magnetomotrizes produzidas, é possível eliminar a dependência 
temporal dos parâmetros. Esta transformação pode ser feita diretamente o 
indiretamente, sendo a última computacionalmente mais vantajosa devido ao menor 
número de operações com senos e cosenos. Estes processos de transformações 
serão visto nas sessões posteriores. 
 
 
2.1- VETORES ESPACIAIS COMPLEXOS 
 
Um método bastante comum de representação de sistemas polifásicos foiproposto por Fortescue (STEVENSON, 1974). De acordo com Fortescue, o sistema 
trifásico pode ser representado por um conjunto de três componentes simétricas. 
Sendo estas: componentes de seqüência zero (Ia0 ); componentes de seqüência 
positiva (Ia1 ); componentes de seqüência negativa (I a2 ), mostradas na Equação 2.1. 
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7
)(
3
1
)(
3
1
)(
3
1
2
2
2
1
0
cbaa
cbaa
cbaa
aIIaIV
IaaIIV
IIIV
++=
++=
++=
 (2.1) 
Onde: a = e j2p/3 e a2 = e j4p/3 . 
Para um sistema alimentado equilibrado, as correntes e tensões são apenas de 
sequência positiva. 
Um motor de indução de dois pólos, pode ser convenientemente analisado em 
termos dos vetores espaciais complexos ou fasores espaciais como na Figura 2.1. 
Então, se iae, ibe e ice são as correntes instantâneas de estator nas fases ae, be e ce, o 
vetor complexo de corrente estatórica, ie, é definido por: 
cebeaee iaaiii
2
_
++= (2.2) 
 Onde: a = e j2p/3 =1/2 + j e a2 = e j4p/3 . 
O eixo real do plano complexo coincide com o eixo da fase “ae”, o qual também é 
o eixo de referência do estator. Observa-se que a representação obedece à seqüência 
positiva das componentes simétricas de fase. 
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O vetor de corrente estatórica complexa pode ser interpretada como sendo a 
corrente estatórica resultante ou a onda de FMM fundamental devido às três fases, 
como visto no item 1.1. Ou seja, sendo: 
tii Mae w= sen (2.3) 
então: 
)º90sen(
2
3 -w= tii Me (2.4) 
Para correntes trifásicas senoidais balanceadas, o vetor 
_
ei tem amplitude 
constante e se movimenta com velocidade constante w. Entretanto, vetores espaciais 
não são restritos à variações senoidais no tempo, nem à sequências constantes. Logo a 
equação de 
_
ei é uma equação geral que é válida para qualquer instante da corrente 
estatórica, desde que: 
0=++ cebeae iii (2.5) 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1- Representação das componentes simétricas 
(KAZMIERKOWSKI, 1994) 
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2.2 - REPRESENTAÇÕES NO PLANO COMPLEXO ‘dq’ 
 
2.2.1- Plano Referencial Estacionário ( aa bb ou deqe) ww=0 
 
Após feita a representação da máquina trifásica em termos de vetor resultante 
podemos facilmente representar este vetor em um plano complexo ab, no qual a é o 
eixo real em fase com o eixo da fase a e b eixo imaginário (Figura 2). 
 
Sendo o vetor resultante discriminado conforme a Eq.2.2 , onde : 
2
3
2
1
)3/4sen()3/4cos(
2
3
2
1
)3/2sen()3/2cos(
3/42
3/2
jjea
jjea
j
j
--=p+p==
+-=p+p==
p
p
 
 
Então pode-se obter a matriz transformação “ABC / ab” como sendo: 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
´
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
--
=ú
û
ù
ê
ë
é
ce
be
ae
e
e
i
i
i
i
i
2
3
2
3
0
2
1
2
1
1
b
a
 (2.5) 
 
 
Figura 2 - Vetor Resultante Representado no Plano 
Complexo aa bb 
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Em diversas literaturas o eixo a é também chamado de eixo direto do estator (de), e b 
é chamado de eixo em quadratura (qe). 
 
2.2.2. PLANO REFERENCIAL ROTÓRICO (drqr) èè ww= wwR 
Outra opção de referencial é o plano rotórico, onde o vetor direto (qr) está 
alinhado com o fasor fase Ar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.3. PLANO REFERENCIAL SÍNCRONO (DQ) ww=wwexcitação 
 
Vetores qd girando à velocidade da frequência de excitação. 
 
 
Relação dos vetores no plano estacionário e rotativo(síncrono): 
 
 
ae 
qe 
de de 
q 
qe 
d 
w 
q 
Figura 2.3- Plano Referencial (a) Estator como Referencial (b) Referencial Síncrono 
 
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Pela análise da figura 2.3, podemos afirmar que: 
 
q--=
q-q-=q-q-q-q=-
j
deqe
deqedeqedeqedq
eii
jiiiijiijii
)(
)sen)(cos()cossen(sencos
 
 
Logo a matriz transformação “ ab / dq” é dada como: 
 
 ú
û
ù
ê
ë
é
´ú
û
ù
ê
ë
é -
=ú
û
ù
ê
ë
é
de
qe
d
q
i
i
i
i
qq
qq
cossen
sencos
 (2.6) 
Pode-se obter a matriz transformação “ABC / dq” através das equações 2.5 e 2.6, 
o que resulta em: 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
´
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
p+qp-qq
p+qp-qq
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
c
b
a
d
q
i
i
i
i
i
i
2/12/12/1
)3/2sen()3/2sen(cos
)3/2cos()3/2cos(cos
0
 (2.7) 
 
Note que a matriz “ABC/dq” possui muitas operações com seno e coseno. Em 
sistemas de tempo real os atrasos, ocasionados por estas operações, podem afetar o 
seu comportamento. É conveniente, ao implementar computacionalmente esta 
conversão, utilizar o modo indireto, utilizando primeiramente a matriz “ABC /ab “ e 
depois a matriz “ab /dq”, desta forma reduziremos o número de operações com 
senos e cosenos. 
 
2.3. O MODELO DA MÁQUINA: EQUAÇÕES DAS TENSÕES NO ESTATOR 
 
Na modelagem de máquinas de indução trifásicas algumas considerações devem 
ser feitas sem afetar a validade das analises (CAMINHAS, 1989): 
- A máquina possui entreferro uniforme; 
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- Os enrolamentos do estator são idênticos e distribuídos de maneira a produzirem 
ondas espaciais senoidais de força magnetomotriz; 
- As barras do rotor são rearranjadas de forma que a FMM seja senoidal, sendo 
representada por enrolamentos trifásicos; 
- são desprezadas os efeitos de saturação e histerese, portanto, o circuito magnético 
é linear; 
- o motor é alimentado por correntes equilibradas, ou seja, componente de 
seqüência zero são desprezadas. 
 
2.3.1 - CIRCUITO ELÉTRICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO 
 
As equações das tensões no circuito estatórico trifásico são definidos da seguinte 
forma: 
 
V
dt
cedrceiceV
V
dt
bed
erbe
i
be
V
V
dt
aed
eraeiaeV
e
l
+=
l
+=
l
+=
 
Onde lae, lbe e lce são os fluxos concatenados com os enrolamentos das fases a, b e c 
do estatos, respectivamente. 
E, as equações das tensões no circuito rotórico são: 
 
V
dt
crd
rrcricrV
V
dt
br
d
rrbribrV
V
dt
ard
rrariarV
l
l
l
+=
+=
+=
 
Onde lar, lbr e lcr são os fluxos concatenados com os enrolamentos das fases a, 
b e c do rotor, respectivamente. 
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Equações do fluxo concatenado (fluxo mútuo): 
 
 espiraWb
abc
r
i
abc
ei
abc
rr
Labc
re
L
abc
erL
abc
eeL
abc
r
abc
e .
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
l
l 
 
Onde Lee e Lre, são as auto-indutâncias de estator para estator e indutância mútua 
de rotor para estator, respectivamente. Estas indutâncias representam a densidade de 
fluxo concatenado entre os enrolamentos estatóricos e rotóricos. 
 ()tcebeaeabce llll ,,= 
 ( )tcrbrarabcre llll ,,= 
 ( )tceibeiaeiabcei ,,= 
 ( )tcribriariabcri ,,= 
 
As submatrizes das indutâncias de enrolamento estator-estator e rotor-rotor 
podem ser representadas da seguinte forma: 
 
 
H
rrLlrLrmLrmL
rmLrrLlrLrmL
rmLrmLrrLlrL
abc
rrL
H
eeLleLemLemL
emLeeLleLemL
emLemLeeLleL
abc
eeL
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
+
+
+
=
+
+
+
=
 
 
As indutâncias mútuas de estator para rotor dependem do ângulo rotórico, ou seja, 
da posição do rotor em relação ao campo magnético girante: 
 
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re 
mm LjX w= 
jwLle ( )mrlr LLjLj -w=w 
s
rr Ve 
Ie 
Er 
Em 
Ir 
 [ ]
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ -÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷
ø
öç
è
æ +÷
ø
öç
è
æ -
÷
ø
öç
è
æ -÷
ø
öç
è
æ +
==
rrr
rrr
rrr
er
tabc
re
abc
er
CosCosCos
CosCosCos
CosCosCos
LLL
qpqpq
pqqpq
pqpqq
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
 
 
Os campos magnéticos do rotor e estator são representados pelas forças 
magnetomotrizes geradoras, as quais tem efeito no entreferro da máquina e suas 
relações são descritas no diagrama fasorial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.2. Determinação do Fluxo e Conjugado a partir do Modelo Elétrico 
 
 
O circuito equivalente 
 
Figura 2.5 - Diagrama fasorial das tensões de rotor e 
estator 
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convencional do MI com a impedância rotórica refletida ao estator é mostrado a 
seguir: 
 
 
 
 
 Figura 2.1. Modelo elétrico convencional do MI 
 
O torque (conjugado) é representado no circuito equivalente como sendo 
proporcional à potência no entreferro da máquina e entregue a rr/s: 
 
s
rI
2
P
3T r
2
r
w
= 2.3.1 
 
Esta equação pode ser reescrita em termos da tensão Er sobre o resistor rr/s para 
se obter: 
 
rrIE2
P
3T
w
= 2.3.2 
 
 
2.3.2.1. Circuito equivalente modificado 
 
Para se obter uma similaridade entre o torque produzido pelo motor cc e o MI, o 
circuito equivalente convencional deve ser ligeiramente modificado. Há várias formas 
de representação em estado estacionário. O mais utilizado, porém, é aquele que utiliza 
a taxa de transformação, como em transformadores. 
 
 
r
e
N
N
a = 
 
 
 
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Fig. 2.2. Representação do MI com referência à relação de transformação ‘a’ 
 
Uma forma especialmente usual para análise do controle de torque é obtido pela 
escolha da taxa “a” referencial, fazendo a indutância de disperção do rotor igual a 
zero. Assim, pode-se verificar a partir da figura 2.2, que: 
 
r
m
L
L
a = 
 Com esta escolha, o circuito geral se reduz à figura 2.3. Nota-se que a nova 
corrente no circuito rotórico é 
m
r
L
L
 vezes a corrente no circuito convencional. Nota-
se também que a nova reatância de magnetização tem a mesma tensão da resistência 
rotórica em seus terminais. 
 
 Fig. 2.3. Representação do MI com dispersão rotórica desprezível 
 
O novo circuito representa o comportamento em termos do fluxo rotórico, 
enquanto que no circuito convencional enfatiza o fluxo de entreferro (mútuo). Isto é 
importante para o controle do torque, porque coloca em evidência a componente da 
corrente estatórica responsável pelo fluxo rotórico. 
A corrente estatórica é então dividida em duas componentes: A nova componente de 
fluxo If e aquela que circula pela resistência rotórica IT . Estas componentes são 
responsáveis pelo controle do fluxo rotórico e pelo torque respectivamente. 
 
 
re jw(Le-aLm) ( )mr2 aLLaj -w 
s
r
a r2 Ve 
Ie 
Er 
Ir/a 
maLjw 
re 
s
r
L
L r
2
r
2
m Ve 
Ie 
r
2
m
L
L
jw 
r
m
r I
L
L 
r
r
m E
L
L
 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-w
r
2
m
s L
L
Lj 
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2.3.2.2. Controle do Conjugado através de Iff e IT 
 
A tensão Er é identificada como a queda de tensão sobre rr/s que é igual à tensão 
induzida pelo fluxo rotórico: 
 
rr jE wl= 2.3.3 
 
f=ll= ILeIL
L
2
P
3T mrTr
r
m 2.3.4 
 
 
m
r
m
r
m
r
m
r
r
m
Lj
E
jX
E
X
L
L
j
E
L
L
2
P
3I
w
===f 2.3.5 
Combinando as equações: 
 
f=l ILmr 
 
A componente de torque da corrente estatórica é imediatamente identificada como: 
'
r
m
r
T IL
L
I = 
E o torque desenvolvido pode ser expresso usando as equações 2.3.4 e 2.3.5: 
 
( ) T
r
2
m
T
r
m
mrr IIL
L
2
P
3I
L
L
IL
2
P
3IE
2
P
3T ff =÷÷ø
ö
ççè
æ
w
w
=
w
= 2.3.6 
 
Verifica-se então a similaridade entre o controle de conjugado da MI com o 
controle da máquina cc, onde fI representa a corrente de campo e TI a corrente de 
armadura. 
re 
s
r
L
L r
2
r
2
m Ve 
Ie 
m
r
m X
L
L
j 
r
m
r
T IL
L
I -= 
r
r
m E
L
L
 
'
ejX 
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 Fig. 2.5. Diagrama vetorial com as componentes de fluxo e conjugado 
 
Outra relação importante pode ser obtida a partir da equação do torque e da tensão 
rE . 
 
r
r
m
r
r
2
r
2
m
r
r
m
T
r
sE
L
L
s
r
L
L
j
E
L
L
I == 2.3.7 
Combinando as equações 2.5 e 2.7: 
 
fw= Isr
L
jI
r
r
T 2.3.8 
 
f
=w
I
I
L
r
s T
r
r 2.3.9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TI
T
r
m
r IL
L
I -= 
fI 
f=l ILmr 
eI 
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2.4. MODELO DA MÁQUINA NUM SISTEMA DE REFERÊNCIA 
ARBITRÁRIO 
 
Relembrando, a matriz de transformação de trifásico para qdo é: 
 
 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
+-
+-
=
2/12/12/1
)3/2sen()3/2sen(cos
)3/2cos()3/2cos(cos
3
2
pqpqq
pqpqq
qdT 
e, sua inversa: 
 [ ]
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-+
--=-
1)3/2sen()3/2cos(
1)3/2sen()3/2cos(
1coscos
1
pqpq
pqpq
qq
qdT 
 
 
2.4.1. EQUAÇÕES DE TENSÃO EM qd: 
 
Em notação matricial, as tensões nos enrolamentos estatóricos será: 
abc
e
abc
e
abc
e
abc
e irdt
d
V += l 
Aplicando a matriz de transformada Tqd0 para as tensões,fluxos concatenados e 
corrente na equação acima, teremos: 
][][][][][][ 1-1- qdoeqdo
abc
eqdo
qdo
eqdoqdo
qdo
e iTrTTdt
d
TV += l
 
O termo derivativo ][][ 1 qdoeqdoT
dt
d l pode ser expresso como: 
[ ] [ ] [ ] [ ]01001
0)3/2cos()3/2sen(
0)3/2cos)3/2sen(
0cossen
qd
eqd
qd
eqd Tdt
d
xT ll
q
pqpq
pqpq
qq
-- +
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-+-
---
-
= 
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20
Substituindo na Equação principal, obtemos a equação das tensões de estator, 
referenciadas aos vetores dq: 
 
 
 Ve
qdo = w qdoe
qdo
e
qdo
e
qdo
e ir+dt
d
+× ll
 
 
Onde: 
 
100
010
001
r=re
dt
d
= e
qdo
e
q
w 
 
De forma análoga às tensões do estator, pode-se obter a equação das tensões de 
rotor, referenciadas aos vetores dq: 
 
 Vr
qd0 = (w - wr) 0qdr
0qd
r
0qd
r
0qd
r irdt
d
+l+l 
 
Através da equação 7, pode-se derivar as expressões das tensões Vq e Vd de 
estator e rotor separadamente. 
Os fluxos concatenados no referencial qd0, são definidos a partir das auto e mútua 
indutâncias, assim como do ângulo q: 
 
=qq+qq=l
+q=l
-- 0qd
r
1
0qd
abc
er0qd
0qd
e
1
0qd
abc
ee0qd
0qd
e
abc
r
abc
er
abc
e
abc
ee0qd
0qd
e
i)](T[L)](T[i)](T[L)](T[
)iLiL)]((T[
 
 
 0 -1 0 
 -1 0 0 
 0 0 0 
 
 0 -1 0 
 -1 0 0 
 0 0 0 
(6) 
(7) 
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21
0qd
rer
er
0qd
e
le
eele
eele
i
000
0L
2
3
0
00L
2
3
i
L00
0L
2
3
L0
00L
2
3
L
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
+
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
+
+
= 
0qd
r
lr
rrlr
rrlr
0qd
eer
er
0qd
r
1
r0qd
abc
rrr0qd
0qd
e
1
0qd
abc
rer0qd
0qd
r
i
L00
0L
2
3
L0
00L
2
3
L
i
000
0L
2
3
0
00L
2
3
i)](T[L)](T[i)](T[L)](T[
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
+
+
+
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
=q-qq-q+qq-q=l --
 
 
Então as relações de fluxo concatenado podem ser expressas como: 
 
.estatoraoreferidasestãorotóricassquantidadeAs:.Obs
i
i
i
i
i
i
L00L00
0LL00L0
00LL00L
000L00
0L00LL0
00L00LL
r0
´
dr
´
qr
´
e0
de
qe
lrm
mlrm
mlrm
le
mmle
mmle
r0
´
dr
´
qr
´
e0
de
qe
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
+
+
+
+
=
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
l
l
l
l
l
l
 
 
 
 
 
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22
2.4.3. Determinação do Conjugado a partir de Vqd e Iqd (Forma alternativa) 
 
Na transformação de referencial, as variáveis como tensão, corrente e fluxo 
podem ser tomados como vetores acoplados num plano síncrono, de forma que são 
contínuos, quando referenciados a este plano para um sistema trifásico não 
equilibrado, além dos vetores dq síncronos, há ainda os componentes de sequências 
zero, que em sistemas de potência são aquelas que circulam para a terra, a partir do 
neutro em sistemas conectados em estrela e desequilibrados ou em situações de 
curto-circuito. Pode-se dizer que esta componente é normal ao plano dq. Em 
máquinas de indução, conectadas em triângulo ou em estrela sem neutro, não haverá 
circulação destas correntes. 
Para determinação das variáveis dq a partir das variáveis trifásicas, deve-se 
lembrar que a transformação trifásica para referencial estacionário é definida pela 
resultante vetorial dos vetores da sequência positiva das fases abc. 
E, a transformação do referencial estacionário para rotórico(síncrono), é definido 
pela matriz: 
 
ú
û
ù
ê
ë
é
´ú
û
ù
ê
ë
é
qq
q-q
=ú
û
ù
ê
ë
é
de
qe
d
q
i
i
cossen
sencos
i
i
 
A representação da matriz acima para a exponencial de Euler (forma polar) pode 
ser verificada como a seguir, a partir da matriz de transformação . 
 
2.4.3.1. Desenvolvimento da forma polar de representação: 
 
A representação vetorial determina que: 
 
q-q-q-q=
q-q-q-q=-
cosdjsenqjsendcosq
)cosdsen(qjsendcosqjdq
eeee
eeee 
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23
 
q-q- -=q-q-q-q=
q+q-q-q=
j
e
j
eee
ee
ejdeq)senj(cosdj)senj(cosq
)sen
j
1
(cosdj)senj(cosq
 
 ( ) q--=- jee ejdqdjq 
Concluindo, 
 )polarforma(e
cossen
sencos
T jse
q-
® =ú
û
ù
ê
ë
é
qq
q-q
= 
Desta forma, as variáveis complexas dq podem ser expressas como: 
 
[ ]
abce
j
ce
2
beae
j
qd
fe
fafafe
3
2
f
q-
q-
=
++=
 
Onde “f” pode significar qualquer variável estatórica ou rotórica, como tensão, 
corrente ou fluxos. 
 
3.2. Determinação de q e d diretamente do trifásico (forma alternativa) 
Outra forma de determinação dos vetores girantes(síncronos), diretamente das 
variáveis trifásicas começa pela análise do diagrama vetorial mostrado a seguir: 
 
 
 Figura 2.6. Vetores trifásicos das variáveis rotóricas e estatóricas em dq. 
 
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24
Desta análise podemos definir as componentes de abc sobre d e q: 
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ p+q+÷
ø
ö
ç
è
æ p-q+q=
3
2
cosf
3
2
cosfcosf
3
2
f cebeaeqe 
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ p+q+÷
ø
ö
ç
è
æ p-q+q=
3
2
senf
3
2
senfsenf
3
2
f cebeaede 
Desta forma pode-se determinar o vetor resultante rotativo, multiplicando todos os 
termos por e -jq: 
[ ])3/2(jce)3/2(jbejaedeqeqd efefef
3
2
jfff p+q-p-q-q- ++=-= 
Onde: a = 3
2
j
e
p
 e a2 = 3
4
j
e
p
; 
Da mesma forma, as variáveis rotóricas podem ser transformadas para o plano 
rotativo(síncrono) através da exponencial complexa: 
[ ]
abcr
)(j
cr
2
brar
)(j
qdr
fe
fafafe
3
2
f
r
r
q-q-
q-q-
=
++=
 
Pode-se agora utilizar as equações acima para transformar as equações vetoriais 
complexas da máquina para o plano referencial síncrono (rotativo); 
)ei´(peLipe)LL(ierveV rjabcr
j
mabce
j
mleabce
j
eabce
j
qde
qq-q-q-q- +++= 
Entretanto pela regra da cadeia para a diferenciação: 
y
dt
dx
)xy(
dt
d
dt
dy
x -= 
Desta forma podemos reescrever a equação 2.8-7, 
]ei´L)ie)LL[(j
]ei´[
dt
d
L)ie(
dt
d
)LL(ierve
)(j
abcrmabce
j
mle
)(j
abcrmabce
j
mleabce
j
eabce
j
r
r
q-q-q-
q-q-q-q-q-
++w+
+++=
 
Utilizando-se das equações 2.8-5 e 2.8-6, pode-se determinar: 
]i
dt
d
Li)LL[(ji
dt
d
Li
dt
d
)LL(irV ´qdrmqdemle
´
qdrmqdemleqdeeqde ++w++++= 
De forma similar, pode-se determinar as equações do circuito rotórico em 
coordenadas do plano rotativo:Acionamentos Elétricos 
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25
]i
dt
d
Li)LL)[((ji
dt
d
Li
dt
d
)LL(irv qdem
´
qdrm
´
lrrqdem
´
qdrm
´
lr
´
qdr
´
r
´
qdr ++w-w++++= 
+-+-++-=-= )jII(
dt
d
L)jII(
dt
d
)LL()jII(rjVVV drqrmdqmlsdqsdqqd 
)]jII(L)jII(L)jII(L[j drqrmdqmdqls -+-+-w+ 
+-++-++-=
dt
dI
jL
dt
dI
L
dt
dI
)LL(j
dt
dI
)LL(IjrIrV drm
qr
m
d
mls
q
mlsdsqsqd 
drmqrmdmqmdlsqls ILI´LjILILjILILj w+w+w+w+w+w+ 
 
d
q
qsdrmdmls
q
qs
drmdmdls
qr
m
q
mlsqs
dt
d
Ir]ILI)LL[(
dt
d
Ir
I´LILIL
dt
dI
L
dt
dI
)LL(Ir:alReParte
wl+
l
+=++w+
l
+=
=w+w+w++++
 
 
q
d
dsddq
d
ds
qrmqmqls
dr
m
d
mlsds
dt
d
IrVjVj
dt
d
jIjr
]I´LILIL[j
dt
dI
jL
dt
dI
)LL(jIjr:agináriaImParte
wl-
l
+=Þ-=wl+
l
--=
=++w+-+--
 
Logo, 
dr
qe
qesqe
dt
d
IrV wl+
l
+= 
qr
qe
desde
dt
´d
IrV wl-
l
+= 
 
 
 
 
 
 
2.4.3 . O conjugado no MI: 
 
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26
O conjugado pode ser expresso a partir das potências de estator e rotor: 
WceiceVbe
i
be
VaeiaeVin
P ++= 
WcricrVbribrVariarVinP ++=
 
W
r0
i
r0
V2
dr
i
dr
V
qr
i
qr
V
e0
i
e0
V2
de
i
de
V
qe
i
qe
V
2
3
inP ÷ø
öç
è
æ +++++w= 
 
Usando as equações 6 e 7, na equação acima, substituindo as tensões, obtêm-se 
os seguintes tipos de termos: (Ver Fitzgerald cap. 2) 
ï
ï
ï
î
ïï
ï
í
ì
=wl
=l
=
.mecânico
trabalhoemconvertida)coenergia(energiadetaxaatasenreprei
;osenrolamententreenergiadeciatransferêndetaxaatasenrepre
dt
d
i
;joulicasperdastasenrepreri2
 
Logo, o conjugado eletromecânico desenvolvido pela máquina será a soma dos 
termos wli, divididos pela velocidade mecânica: 
( ) ( )( )[ ] m.Niiii
2
P
2
3
T drqr
´
qrdr
´
rdeqeqede
r
em l-lw-w+l-lww
= 
Sabendo-se que, 
qrmqelemqedrmdelemde ILI)LL(eILI)LL( ++=l++=l 
qemqrlsmqr
'
dsmdrlsmdr
' ILI)LL(eILI)LL( ++=l++=l 
rotoreestatordetotaissindutânciaassãoque,LLLeLLLseFazendo rlrmelem =+=+-
 
( ) ( ) ( ) deqrmqeeqedrmdeedeqeqede IILILIILILII +-+=l-l 
( )deqrqedrmdeqrmdeqeeqedrmqedee IIIILIILIILIILIIL -=--+ 
dredr
'
demqreqr
'
qem ILILeILIL:Como -l=-l= 
( )
( )qrdr'drqr'qrdr'drqr'
qrdreqrdr
'
drqredrqr
'
deqrqedrm
IIII
IILIIILIIIIIL
l-l-=l-l=
+l--l=-
 
Logo, 
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27
( ) ( )qrdr'drqr'deqeqede IIII l-l-=l-l 
Então: 
( ) ( )( )[ ]drqr'qrdr'rdeqeqede
r
IIII
P
2
3
T l-lw-w+l-lw
w
= 
 ( ) ( )( )[ ]drqr'qrdr'rdrqr'qrdr'
r
IIII
P
2
3 l-lw-w+l-lw-
w
= 
 ( )( )[ ]rdrqr'qrdr'
r
II
P
2
3 w-w+w-l-lw-
w
= 
 ( )drqr'qrdr' IIP
2
3 l-l-= 
 ( )qrdr'drqr' IIP
2
3 l-l= 
Com a orientação de campo: 
qrdrr
qs
r
m
qrqrrqsmqr
IP
;I
L
L
I0ILIL:Como
lw-=
-=Þ=+=l
 
( ) ).orientadocampo(0IdosenII
L
L
IILI
L
L
ILILP
ILIL
drqede
r
2
m
drqemrqe
r
m
demdrrr
demdrrdr
=Þ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+w=+w=
+=l
;II
L
L
P qede
r
2
m
rw= ;IL
L
P:ou qedr
r
m
r lw= 
Para determinação do conjugado: .II
L
LP
T qede
r
2
m
r
=
w
= 
 
Relembrando a equação 2.3.6 da seção 2.3.2, pode-se verificar que o conjugado é 
função do produto entre as variáveis de fluxo (Id) e armadura (Iq), como num motor de 
corrente contínua. 
2.5. Circuito equivalente modificado no plano dq Síncrono 
 
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28
O objetivo desta seção é apresentar uma forma mais simples, porém aproximada, 
do modelo da MI em regime permanente, como verificado na seção 2.3.2, onde o 
circuito equivalente foi modificado tendo como referência a taxa de transformação 
baseada no número de espiras do estator e rotor. 
Esta modificação no modelo, permite uma interpretação mais fácil e sólida, pois, 
permite uma visualização das componentes de fluxo e carga(armadura), assim como 
visto pelo modelo das impedâncias na disciplina Máquinas Elétricas II. 
 
Figura 2.7. Diagrama vetorial de seqüência positiva em um referencial síncrono. 
Pela figura 2.8 pode-se deduzir que, para este referencial: 
( ) 0IIL qrqemqm =+=l (não existe, neste referencial, fluxo em q) 
qrqe II -= 2.4.1 
A corrente de magnetização, neste referencial, é a soma vetorial das corrente rotórica 
e estatórica de eixo d. 
mdrde III =+ 2.4.2 
 
 
As componentes do vetor fluxo concatenado estatórico são: 
( ) ( )remrs IILj +w-w-
 
rI
 
eI
mI 
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qemeqrmqeeqe I)LL(ILIL -=+=l 
2.4.3 
)II(LI)LL(ILIL drdemdemedrmdeede ++-=+=l 2.4.4 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.8. Diagrama fasorial para seqüência positiva, plano referencial síncrono, 
referenciado ao fluxo de entreferro ( lm acoplado ao eixo d). 
 
E, a partir dessas equações, o vetor fluxo concatenado estatórico pode ser ser 
reescrito como: 
mmemee IjLI)LL( -+=l 2.4.5 
Similarmente, o fluxo rotórico será: 
mmrmrr IjLI)LL( --=l 2.4.6 
As equações em estado estacionário são definidas a seguir: 
eSeee jIrV lw-= 2.4.7 
rSr
r jI
S
r
0 lw+= 2.4.8 
Usando as equações 2.4.5 e 2.4.6, as equações das tensões tornar-se-ão: 
)jI(LjI)]LL(jr[V mmSemeSee -w+-w+= 2.4.9 
rmrS
r
mmS I)LL(jS
r
)jI(Lj0 úû
ù
êë
é -w++-w= 2.4.10 
ie 
lem 
lrm=Lmir llr=Llr 
i
lm 
ir 
Er 
Ea q 
d 
lr 
i
im 
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30
As equações anteriores mostram claramente que descrevem um circuito de 
seqüência positiva. Porém, se considerarmos o plano dq deslocado, de tal forma que 
que o eixo d coincida (oriente-se) com o fluxo rotórico lm (princípio da orientação 
de campo), como ilustrado pela figura 2.9, ter-se-á: 
0Idr = 2.4.11 
0ILIL qrrqemqr =+=l 2.4.12 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.9. Diagrama fasorial para seqüência positiva, plano referencial síncrono, 
referenciado ao fluxo total rotórico ( lr acoplado ao eixo d). 
 
Ou seja, não haverá, neste referencial, componente do fluxo rotórico no eixo q, e, 
as componentes de fluxo estatórico serão: 
qe
´
eqe
r
2
m
eqrmqeeqe ILIL
L
LILIL =÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-=+=l 2.4.13 
de
r
2
m
de
r
2
m
edrmdeede IL
L
I
L
L
LILIL +÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-=+=l 2.4.14 
O que resulta no vetor fluxo estatórico: 
)jI(IL dee
´
ee -+=l
r
2
m
L
L
 2.4.15 
 
O vetor fluxo rotórico será simplesmente, 
ie 
lem 
lrm=Lmir llr=Llr ir 
lm 
ir 
Er 
Ea 
q 
d 
lr 
i
im 
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)jI(Lj demdrr -=l-=l 2.4.16 
E as tensões serão representadas pelas seguintes equações: 
)jI(
L
L
jI)Ljr(V de
r
2
m
Se
´
eSee -w+w+= 2.4.17 
)jI(LjI
S
r
0 demSqr
r -w+= 2.4.18 
Multiplicando-se a equação da tensão rotórica por Lm/Lr e usando a equação 2.4.12 
para eliminar o termo Iqr, resulta que: 
)jI(
L
L
jI
S
r
L
L
0 der
2
m
Sqe
r
2
r
m -÷÷
ø
ö
çç
è
æ
w+÷
ø
ö
ç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-= 2.4.19 
As equações 2.4.17 e 2.4.19 descrevem o circuito equivalente mostrado na figura 
2.10, usando o fator de transformação Lm/Lr. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.10 Diagrama fasorial para seqüência positiva, plano referencial síncrono, 
referenciado ao fluxo de entreferro ( lm acoplado ao eixo d). 
 
O circuito resultante coloca todas as dispersões no lado do estator, e é chamado 
muitas vezes de circuito baseado no fluxo rotórico, pois evidencia toda a corrente de 
magnetização que produz o fluxo rotórico lr. 
 
3. CONTROLE DE VELOCIDADE 
 
re 
s
r
L
L r
2
r
2
m Ve 
Ie 
r
2
m
e L
L
jw 
qsI 
r
r
m E
L
L
 
esLjw 
dsjI- 
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32
3.1. Ajuste da Tensão Aplicada 
Uma justificativa simples que explica a estreita faixa de controle de velocidade 
abaixo da velocidade nominal do motor, é, em alguns casos, a necessidade da redução 
da tensão aplicada abaixo de seu valor nominal. A faixa deste controle de velocidade é 
dependente não só das curvas de torque / velocidade que variam de acordo com a 
tensão aplicada, mas também da curva torque / velocidade de carga. Desde que o 
torque (conjugado) desenvolvido é proporcional ao quadrado da tensão e a corrente 
rotórica é proporcional à tensão aplicada. Se a carga térmica é afetada principalmente 
pela corrente do rotor, o conjugado para um dado nível de carga térmica reduzirá com 
a queda da tensão aplicada. Neste caso, a operação em baixa velocidade sem 
sobreaqueciemento será possível somente se o conjugado de carga cair com a 
velocidade. Além disso, desde que eem PsP )1( -= , a eficiência decrescerá com o 
aumento do escorregamento. 
 
 Figura 3.1. Conjugado em função da tensão estatórica e velocidade 
 
 
3.2. Ajuste da Resistência Rotórica (Rotor Bobinado) 
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33
Nas máquinas de rotor bobinado, resistências externas podem ser introduzidas 
para limitar a corrente de partida. A figura 3.2 mostra que a curva torque / velocidade 
pode ser ajustada através da variação da resistência rotórica. Neste método, ao 
contrário da variação da tensão aplicada, pode-se obter operação com torque 
constante elevado para corrente nominal. 
 
 
3.3. Ajuste da Tensão e Frequência Estatóricas 
Com o inversor de frequência, a amplitude, a frequência e a fase da tensão aplicada 
ao motor podem ser variadas eletronicamente. Se o inversor pode conduzir fluxo de 
potência bidimensional, o motor poderá operar nos quatro quadrantes. Porem-se o 
inversor permite o fluxo de corrente em apenas um sentido, a operação será limitada a 
um ou dois quadrantes. 
Quando a frequência de excitação, we, é zero , o valor do escorregamento, s, dado 
por srs www /)( - , torna-se indefinido. Isto pode ser um problema com a forma 
convencional das equações de regime permanente dada por: 
Figura 3.2. Conjugado como função da resistência 
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34
( )rsmsrlrsrr IILjILj
s
r
V ++÷
ø
öç
è
æ += ww ''' (3.1) 
Para operação com frequência variável que inclui excitação em CC, a equação 3.2 
, também de regime permanente, é mais usual: 
( ) ( )rsmeslrsrs IILjILjrV '+++= ww (3.2) 
( )[ ] ( ) ( )rsmrerrsrr IILjIjrV +-+-+= wwww ' (3.3) 
A expressão correspondente ao valor médio, para o conjugado desenvolvido por 
uma máquina de P pólos é : 
( ) rr
rmsnrmsn
rr
em rI
PrI
T ''.
2
3''3 2
2
wwww -
=
-
= N.m. (3.4) 
 
3.4. Operação com Fluxo de Entreferro Constante 
A curva de conjugado / velocidade de uma máquina de indução que opera com 
fluxo mútuo constante, tem características que não se altera com as variações de 
frequência de excitação. 
s
M
rsmm
E
IIL
w
l =+= ' (3.5) 
então, mantendo o fluxo mútuo constante é equivalente manter a taxa Em/ws constante 
b
alnomiM
sM
E
E
w
w ln= (3.6) 
onde Em nominal é o valor de Em à frequência base nominal. O máximo valor continuo 
de Em não deveria ser maior que seu valor à frequência nominal se a excessiva 
saturação do núcleo deve ser evitada. 
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35
lr
b
s
r
rs
b
M
r
XjR
E
I
''
'
w
w
ww
w +
-
-= (3.7) 
( )2
2
2
min
22
2
2
'
'
'
'
'
lr
rs
rb
alnoM
lr
b
s
rs
rb
M
r
X
r
E
X
r
E
I
+÷÷ø
ö
ççè
æ
-
=
÷÷ø
ö
ççè
æ
+÷÷ø
ö
ççè
æ
-
=
ww
w
w
w
ww
w
 (3.8) 
substituindo o quadrado da corrente rotórica na equação 3.4, com a equação 3.8, a 
expressão para o conjugado desenvolvido com fluxo constante torna-se: 
( )
r
lr
rs
rb
alnoM
rmsn
em r
X
R
EP
T '
'
')(2
3
2
2
2
min
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
+÷÷ø
ö
ççè
æ
-
-
=
ww
www
 (3.9) 
 
examinado a equação anterior, para o conjugado desenvolvido, com o fluxo constante, 
verifica-se que o valor de velocidade de deslizamento, ws-wr, para qualquer valor de ws. 
graficamente isto é equivalente à transformação vertical da curva velocidade / 
conjugado para condições nominais, ao longo do eixo das velocidades, à medida que a 
Figura 3.3. Conjugado x Velocidade com fluxo constante e freqüências de 60, 
45, 30, 15, 0 e –15 Hz. 
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36
frequência varia. Isto indica que obter-se-á o mesmo valor de conjugado à mesma 
velocidade de escorregamento ws-wr. 
Com Em mantido constante, a máxima potência para uma dada potência de 
excitação, será desenvolvida no entreferro quando: 
lr
b
s
máxs
rb X
r
'
'
w
w
ww
w
=
-
 (3.10) 
e a máxima velocidade e escorregamento será: 
r
lr
b
máxs r
X
'
'
www ±=- (3.11) 
Os valores positivos do segundo membro da equação 3.11, indica escorregamento 
na motorização, e, negativo para regeneração. O valor máximo conjugado 
desenvolvido, obtido pela substituição da equação 3.11 em 3.9 é : 
lr
alnoM
b
máx
em
X
EP
T
'4
3 2 min
w
= (3.12) 
o valor máximo de conjugado é independente da frequência ws, que é o mesmo obtido 
à velocidade nominal wb. 
Pode-se verificar ainda que a partir da equação 3.9, que o conjugado pode ser 
controlado pelo ajuste do fluxo estatórico, velocidade de escorregamento ou ambos, 
através do controle da amplitude e frequência da tensão aplicada ao motor. Com o 
inversor controlado a tensão, a velocidade de escorregamento é normalmente mantida 
dentro do máximo valor de deslizamento elevado, e a corrente de estator e perdas 
baixas. 
Dentro dos valores nominais de tensão do inversor, a amplitude da tensão do 
estator pode ser ajustada para manter o fluxo estatórico constante. Entretanto, 
mantendo fluxo estatórico e velocidade de escorregamento constante resultará em 
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37
altos valores de escorregamento e altas perdas rotóricas nas baixas frequências de 
operação. 
O fluxo de excitação do rotor pode ser considerado como o fluxo estatórico vezes 
o deslizamento. Então na região gráfica de torque constante, mantêm-se o fluxo à um 
nível capaz de prover máximo conjugado. Após a velocidade base, na faixa de potênciaconstante, a velocidade de escorregamento é mantida constante, pela possibilidade de 
o deslizamento crescer com a velocidade até o máximo valor. Com o valor nominal de 
s, normalmente metade do valor de Smax, o valor máximo da faixa de potência 
constante é em trono de duas vezes o valor da velocidade base. 
 
3.5. Operação Tensão / Frequência Constante 
 
Embora a regulação à fluxo constante de entreferro ser possível com o uso de 
realimentação direta do fluxo medido na prática, o uso da tensão terminal medida é 
preferível, pois a medição do fluxo com sensores de efeito Hall ou através de bobinas, 
mesmo havendo filtros, pode trazer problemas, seja de ruídos, seja para sua 
substituição quando necessário. O controle indireto da tensão de entreferro através da 
tensão terminal é bem mais simples. 
Entretanto, como mostrado na figura 3.4 a curva torque / velocidade do mesmo 
motor operando com controle V/F constante não é a mesma da figura 3.3, obtida com 
fluxo constante, para todas as condições de operação. 
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38
 
 
 
Para frequências de excitação não nulas, a distorção que se verifica que se verifica 
na figura 3.4, pode ser atribuída à mudança do fluxo mútuo causado pela queda de 
tensão sobre a impedância estatórica, lsbss Xjr )/( ww+ , especialmente nas baixas 
frequências, onde a queda de tensão na resistência rs torna-se dominante. 
 
Figura 3.4. Curvas Conjugado x Velocidade com V/f constante e freqüências de 
60, 45, 30, 15, 0 e –15 Hz. 
Figura 3.5. Curvas V/f constante para três características de carga: Corrente 
nominal em motorização(linha cheia), sem carga (linha pontilhada) e regeneração. 
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39
A figura 3.5 mostra as curvas V/F para o mesmo motor da figura 3.3, para 3 
valores de corrente estatórica. Cada curva é obtida mantendo-se a amplitude da 
corrente estatórica e do fluxo constante em seus respectivos valores nominais, com 
frequência variável. As curvas indicam que a amplitude da tensão requerida será 
função da frequência e da carga. Em geral, o valor da tensão necessária para a 
motorização é maior que a necessária para condição sem carga, que por sua vez é 
maior que a situação de regeneração (gerador). Em motorização, a queda de tensão na 
impedância reduz a tensão de entreferro, mas na regeneração, o fluxo de potência, 
assim como a queda estatórica invertem. Com exceção para a curva ws=0, o impacto da 
queda na impedância para baixas frequências pode ser compensada pela adição de uma 
pequena tensão “boost” para características V/F constante. 
A figura 3.5b mostra as curvas de torque / velocidade obtidas com as 
características V/F apresentadas a baixos valores de conjugados máximos. Examinado 
as correntes, pode-se explicar tal fato. Neste caso as correntes estatóricas e rotóricas, 
especialmente próximo ao conjugado máximo são menos que aquelas apresentadas 
pela figura 3.3. 
A figura 3.6a mostra as curvas V/F para o mesmo motor. Quando o fluxo é 
mantido no valor nominal e a corrente rotórica que resulta o mesmo valor máximo 
conjugado dado pela equação 3.12. As curvas de torque / velocidade utilizando tensão 
de alimentação segundo a figura 3.6 são apresentadas na figura 3.6b. Neste caso, 
comparando com a figura 3.3, este tipo de controle é mais favorável, com exceção 
para ws=0. A curva ws=0 não tem somente um maior valor de torque máximo, mas 
também uma característica de variação (após o conjugado máximo) muito mais 
acentuada. Com ws=0, a tensão de magnetização, Em, e sempre zero e a corrente 
estatórica será determinada pela tensão aplicada e pela resistência do enrolamento. 
Quando a tensão terminal é fixa, a corrente estatórica permanece inalterada para 
qualquer velocidade de deslizamento. Consequentemente, as bruscas variações da 
curva conjugado / velocidade da figura 3.6b é função da corrente constante e não do 
fluxo constante. 
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40
O elevado valor do conjugado máximo (Pull Out Torque) para ws=0 pode ser 
reduzido, reduzindo-se a tensão aplicada. A figura 3.7a mostra as tensões modificadas 
para características V/F para que o conjugado máximo para ws=0, seja o mesmo que 
das outras frequências de excitação. 
O caso de excitação em corrente continua (ws=0), ocorre não somente com 
conversores de frequência, mas também com acionamentos que injetam corrente 
continua para obtenção de conjugado de frenagem. Quando as equações de tensão são 
desenvolvidas como na equação 3.1, a solução torna-se manipulável numericamente 
para qualquer ws, incluindo zero. Se ws é zero, a equação 3.1 torna-se 
( ) ( )rsmrrlrsrr
sss
IILjILjrV
IRV
''''' +-+=
=
ww
 (3.13) 
com somente a excitação estatórica, pois Vr é zero (ws=0), o fasor corrente rotórica é 
dado por: 
s
lrsr
mr
r I
Ljr
Lj
I ´''
'
w
w
+
= 
 (3.14) 
onde lrmr 'LL'L += 
os valores negativos da resistência rotórica agem como uma fonte de potência 
regenerativa através do estator. O conjugado de motorização será: 
2
222
2
''
´
2
3
s
rrr
rmr
em I
Lr
rLP
T
w
w
+
= N.m. (3.15) 
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41
 
 
3.6. Acionamentos de Máquinas de Indução 
A disponibilidade de eficientes chaveamentos de potência e rápidos processadores 
tem facilitado o desenvolvimento e o uso cada vez mais frequente dos acionamentos 
(Drivers) para motores de indução. Num acionamento típico de motores de indução, o 
conversor de potência usa para converter a energia da fonte de alimentação na forma 
necessária para operação do motor. 
As características de saída podem ser controladas de forma que a tensão e/ou 
frequência estejam em níveis compatíveis para o motor. Estas características podem 
associar ondas de harmônicos inerentes ao uso dos inversores. 
 Os tipos de inversores podem ser diferenciados em suas categorias relativas ao 
barramento CC: inversores VSI a fonte para a etapa de inversão é o LINK DC 
(barramento de CC), constituído por um retificador e um banco de capacitor. Para os 
inversores CSI, a fonte para a etapa de inversão são retificadores controlados com um 
banco de inversores no barramento CC. Atualmente os acionamentos de baixa 
potência, são constituídos de inversores VSI com tensão moduladas em largura de 
Figura 3.6. V/F constante e corrente rotórica para produzir conjugado máximo. 
 
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42
pulso (PWM), que permitem que a tensão e frequência sejam controlados 
eletronicamente. 
A função do modulador PWM é transferir as ondas de modulação de amplitude e 
frequência variáveis em trem de pulsos chaveados pelo inversor. Nos moduladores 
PWM clássicos, as interseções entre a onda senoidal de modulação e a onda triangular 
determinam os pontos de comutação para a geração do trem de pulsos. A figura 3.7 
mostra as formas de onda da tensão de saída de um inversor trifásico. Nos inversores 
PWM senoidais, a taxa de modulação é definida como quociente da amplitude da onda 
de modulação e da amplitude da onda triangular. A amplitude da componente 
fundamental de saída do PWM é proporcional ao índice de modulação, quando a taxa 
de modulação é menor que a unidade. Com a taxa de modulação unitária, a amplitude 
da componente fundamental é cerca de 79% de uma onda quadrada de mesma 
amplitude. Com a taxa de modulação aproxima-se de uma unidade a largura de pulsos 
torna-se tão estreita que não haverá tempo suficiente para que os chaveadoresse 
desliguem e retornem a sua capacidade de bloqueio em tensão reversa. 
 
3.6.1. Estratégia de Operação 
 
Figura 3.7. Curvas Conjugado x Velocidade com V/f constante e freqüências de 
60, 45, 30, 15, 0 e –15 Hz, na motorização(linha cheia) e regeneração. 
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43
A figura 9 mostra as estratégias de operação mais comumente usadas para a 
motorização possibilitando uma larga faixa de velocidade. Pode-se identificar três 
modos distintos: 
· Modo 1: mantém-se a velocidade constante e regula-se a corrente estatórica para 
obter torque constante. 
· Modo 2 : mantém-se tensão estatórica em seu valor nominal e regula a corrente 
estatórica para obter a potência constante. 
· Modo 3 : mantém-se a tensão estatórica constante regula-se a velocidade de 
deslizamento logo abaixo do valor de conjugado máximo. 
No modo 1, a taxa da amplitude da tensão de saída para frequência é ajustado de 
forma a se obter fluxo aproximadamente constante. O máximo valor de conjugado 
disponível na região de torque constante é usualmente definido pela limitação da 
corrente do inversor para valores abaixo daqueles correspondentes ao conjugado 
máximo. A transição do modo 1 para o modo 2 acontece quando o valor da tensão 
máxima é alcançado. No modo 2 o motor opera com a máxima tensão e sua forma de 
onda e quase quadrada. Como a frequência continua a crescer neste modo a maquina 
operará com fluxo de entreferro reduzido. Neste modo o deslizamento aumenta para 
manter a corrente estatórica no seu limite. A transição do modo 2 para o modo 3 
ocorre quando o deslizamento aproxima-se de seu limite (máximo conjugado). Então, 
o deslizamento se manterá neste valor e o limite máximo de velocidade pode ser 
determinado por algumas considerações como baixo conjugado máximo, excessivas 
perdas no núcleo e no enrolamento, perdas mecânicas, etc. 
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44
 
 
Em muitas aplicações à velocidade variável onde pequenas variações na velocidade 
do motor com carga é tolerável um simples sistema de malha aberta usando controle 
V/F com compensação em baixas frequências como a figura 3.9 pode ser satisfatório. 
Pode-se verificar duas formas simples desta compensação. Outras formas de 
compensação dependentes da carga podem ser utilizadas. 
 
 
Figura 3.8. Modos de operação em ampla faixa de velocidade 
Figura 3.9. Controle V/F com compensação (booster) de tensão em baixas 
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45
Como se pode verificar, a referencia de velocidade de deslizamento é adicionada à 
velocidade rotórica para produzir a frequência desejada. Referência da velocidade de 
escorregamento pode ser negativa, neste caso a máquina ira regenerar; entretanto, este 
valor deve ser limitador com certa margem de segurança abaixo da velocidade de 
escorregamento para a qual acontece o conjugado critico (torque máximo). Desde que 
a velocidade de escorregamento seja normalmente menor em relação à velocidade 
rotórica. Operações com velocidade de escorregamento negativas causam 
regeneração (frenagem), e consequentemente fluxo de potência para o barramento 
DC. A potência regenerativa deve ser dissipada nos resistores de frenagem ou retornar 
a rede prevenido excessivos crescimentos na tensão DC devido à sobrecarregamento 
dos capacitores do link DC. A estratégia de controle pelo deslizamento é largamente 
usada porque o fator de potência de entrada e o conjugado devido a corrente estatórica 
podem ser elevados, resultado em melhor utilização da corrente disponibilizada pelo 
inversor. Quando o fluxo de entreferro e a velocidade de escorregamento são 
mantidos constantes, o conjugado desenvolvido será o mesmo, mas a eficiência não 
será tão boa como a obtida para fluxo e deslizamento constantes. Quando o 
deslizamento é mantido constante, a velocidade de deslizamento variará linearmente 
com a frequência de excitação e a suavidade da curva torque / velocidade no lado da 
velocidade síncrona caíra com a frequência, as figura 3.10 e 3.11 mostram o controle 
de velocidade em malha fechada com a regulação V/F e escorregamento. 
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46
 
 
 
 
Figura 3.10. Controle de velocidade em malha fechada com V/F e regulação de 
deslizamento. 
Figura 3.11. Controle V/F com compensação (booster) de tensão em baixas 
frequências em inversor SIEMENS. 
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47
3.7. CONTROLE VETORIAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 
 
As máquinas de corrente contínua são a bastante tempo conhecidas pela sua 
facilidade de controle. Isso deve-se ao fato de que o fluxo de campo e o fluxo da 
armadura, devido a ação dos comutadores, estarem sempre perpendiculares um do 
outro, esta ortogonalidade permite um controle independente dos mesmos. 
Na máquina c.c. o valor do fluxo de campo é mantido constante (até a velocidade 
base), e, através do controle da corrente de armadura, proporciona indiretamente, o 
controle do conjugado. Desta forma obtém-se respostas rápidas de velocidade, pois o 
conjugado pode ser alterado rapidamente. 
O controle vetorial ou controle com campo orientado tem como objetivo a 
obtenção de um controle desacoplado entre o fluxo e o conjugado eletromagnético na 
máquina de corrente alternada, de forma a tornarem análogas as máquinas de corrente 
contínua, melhorando assim, suas características dinâmicas, quando comparada com a 
resposta dos acionamentos convencionais. 
No motor de indução, o ângulo espacial d varia com a carga, o que compromete 
a resposta dinâmica. d pode ser controlado desde que a corrente do estator seja 
decomposta em componentes de fluxo e de conjugado. Através da orientação de 
campo garante-se um ângulo espacial de 90º elétricos entre estas componentes, 
obtendo assim um controle independente das mesmas. 
 
3.1. Princípio da Orientação do Campo 
 
O princípio da orientação de campo se originou no oeste da Alemanha, em um 
trabalho de Hasse e Blaschke, na Universidade de Darmstadt e Brauunschweig, em um 
laboratório da Siemens. Vários métodos de implementação têm sido desenvolvidos, 
mas estas técnicas podem ser classificadas em dois grupos: Controle Direto e 
Controle Indireto. A classificação é baseada no método usado para determinar o vetor 
de fluxo rotórico. 
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48
O controle de Orientação de Campo Indireto foi proposto por Hasse, e requer uma 
alta resolução de sensores de posição do rotor, como encoder ou resolver, para 
determinar a posição do fluxo rotórico. 
O controle por Orientação Direta de Campo, originalmente sugerido por 
Blaschke, determina a magnitude e a posição do vetor de fluxo do rotor, por meio de 
medição de fluxo direto ou por uma estimação baseada em condições terminais. O 
desenvolvimento do método de controle direto da Universidade de Brauchweig tem 
sido descrito pelo professor Leonhard . O controle campo-orientado tem sido 
caracterizado por uma complicada aproximação de processadores de sinais 
sofisticados e transformação em coordenadas complexas, pois no passado a 
implementação era feita usando controles eletrônicos analógicos. De qualquer forma, 
o controle digital com microprocessador esta tornando isso irrelevante e permitindo 
espetaculares avanços. 
 
3.2 - Orientação de Campo – Referencial Síncrono qd 
A orientação de Campo consiste em colocar o eixo d em fase com fluxo rotórico lr. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinação da posição do fluxo rotórico em relação à corrente rotórica: 
 
lr = lr + llrie 
lem 
lrm=Lmir llr=Llr ir 
lm 
ir 
Er 
Ea 
q 
d 
lr 
ir 
im 
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49
lr = Lm(ie + ir) + Llrir 
 
Onde: llr = Fluxo de dispersão rotórico; 
 Llr = Indutância de dispersão rotórica. 
 
Baseado na equação de tensão no rotor: 
 
Vr = rrir + slr = 0; s = jw 
 
slr = -rrir ==> lr = -(rrir)/jw e, multiplicando numerador e denominador por j: 
 
 lr = j (rrir)/ w Logo, lr está avançado em relação à ir de 90°. 
 
Relembrando, o conjugado pode ser expresso, com o campo orientado, como: 
q
r
d
rem iPT l-= 2
3
 (1) 
 
Determinação da velocidade de escorregamento: 
 
Determinando qri : 
)2(0
).(0:)(
d
r
d
r
d
r
q
r
d
r
d
r
d
r
d
r
q
rr
d
r
ir
dt
d
síncronorefeVOndeir
dt
d
V
+l=
=l+l+lw-w-=
)3(
L
iL
i
LLLOndeiLiLComo
r
d
em
d
rd
r
lrmr
d
rr
d
em
d
r
-l
=
+=+=l
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50
q
rlrm
q
em
d
r iLLiL )( ++=l 
 
No referencial síncrono (campo orientado) 0=lqr 
 
q
rr
q
em iLiL +=0 
 
r
q
emq
r L
iL
i
-
= (5) 
substituindo (5) em (1) 
q
e
d
r
r
m
em iL
L
PT l=
2
3
 
Definição da velocidade de escorregamento : 
0' =+=l qrr
q
em
d
r iLiL 
''
lrmr LLL += 
lr
q
emq
r L
iL
i
-
= (1) 
 
Da equação drr
q
r
q
rr
q
r dt
d
irV lw-w+l+= )( 
 
0=qrV 
)4(totalrotóricoFluxoi
1s
L
:LaplacedesoperadorpormembrososambosndoMultiplica)iL(
L
r
dt
d
0
)2(em)3(equaçãoadoSubstituin
d
e
md
r
d
em
d
r
r
d
rd
r
Þ
+t
=l
-l+l=
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51
0=lqrdt
d
, então: 
d
r
q
r
q
r
r
ir
l
-
=w-w (2) 
 
substituindo (1) em (2) : 
 
d
rr
q
emq
e
r
m
d
r
r
slipr
iL
i
L
Lr
lt
=
l
=w=w-w
'
'
 è Velocidade de escorregamento 
 
 
 
 
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52
 
 
 
Figura 3.11. Aplicações práticas: Malha de regulação de velocidade com controle 
vetorial em inversor SIEMENS. 
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53
3.7. Simulação 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.12. Modelo para simulação em Matlab/Simulink de um acionamento Vetorial com MI com Orientação de Campo 
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54
 
 
 
 
 
 
ABC® 
 
 
 
 
 
 ®qd 
 
1+ts
Lm
 p2
3 ´ Ä s
1
 ¸
m
r
L
t 
 
r
m
L
L-
Ä s
1
cm jj +
1
q
ei
d
ei
q
ri
q
rl emT
slipw
rw
rw
w q
q
cT
+
-
+
+
·
w
Ai
Ci
Bi
b
a
b a b a
qdSíncronosEixos
orientadoCampo
Modelo do Motor de Indução na análise vetorial 
 MI 
L LINK 
L LINK 
+ 
+ 
Av
Bv
cv
Ai
Bi
Ci
Inversor de Frequência