Testes de Hipóteses

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Testes de Hipóteses
Prof. Carlos Amorim
Testes de Hipóteses
• Um Teste de Hipóteses é um procedimento
que conduz a uma tomada de decisão, com
base na informação fornecida pelos dados de
uma amostra, sobre a aceitação ou a rejeição
(não aceitação) de determinada hipótese(não aceitação) de determinada hipótese
estatística que se coloca sobre uma população.
Hipótese Estatística
• É uma suposição quanto ao valor de um
parâmetro populacional ou quanto à natureza da
distribuição de probabilidade de uma variável
populacional.
• Tipos:
– Hipótese nula: H0 (hipótese a ser testada)
– Hipótese alternativa: H1
Ex: A altura média da população brasileira é 1,65 m.
Hipótese: m65,1=µ
Hipótese Estatística
Ex:
As hipóteses podem ser hipóteses simples se especificam
mH 65,1:0 =µ mH 65,1:0 =µ mH 65,1:0 =µ
mH 65,1:1 ≠µ mH 65,1:1 >µ mH 65,1:1 <µ
a) b) c)
As hipóteses podem ser hipóteses simples se especificam
completamente o valor dos parâmetros, ou, caso contrário,
são hipóteses compostas.
Ex:
Hipótese simples:
Hipóteses compostas:
65,1=µ
65,1≠µ
65,1<µ
65,1>µ
Tipos de Teste
• Os testes de hipótese podem ser:
– Bilaterais: mH 65,1:0 =µ
mH 65,1:1 ≠µ
– Unilaterais à esquerda:
– Unilaterais à direita:
mH 65,1:0 =µ
mH 65,1:1 <µ
mH 65,1:0 =µ
mH 65,1:1 >µ
Estatística - teste
Considere uma amostra da população com
f.d.p. , em que é um parâmetro desconhecido, sobre
o qual pretendemos fazer um teste de hipóteses
e uma amostra particular retirada dessa população.
),...,,( 21 nXXX
)|( θXf θ
),...,,( 21 nxxx
O resultado do teste de hipóteses consiste na rejeição
ou não rejeição da hipótese nula , de acordo
com uma regra de decisão baseada numa
estatística, ,designada por estatística-
teste.
),...,,( 21 nXXXTT =
0H
Definição:
Regra de decisão
Um teste de hipóteses estabelece uma regra que
permite determinar um conjunto RC tal que:
Se pertencer a RC, rejeita-se),...,,( 21 nxxxTt = ;0H
Se não pertencer a RC, não se rejeita),...,,( 21 nxxxTt = ;0H
O conjunto RC chama-se região crítica ou região de rejeição.
O complementar do conjunto RC chama-se região de
aceitação.
A definição dessas regiões depende do tipo de teste efetuado
e do nível de significância considerado.
Tipos de erros
• Há dois tipos possíveis de erro ao testar uma 
hipótese estatística:
– Erro do Tipo I: consiste em rejeitar
quando é verdadeira.
0H
0Hquando é verdadeira.
– Erro do Tipo II: consiste em não rejeitar
quando é falsa.
0H
0H
0H
Decisão H0 verdadeira H0 falsa
Rejeitar H0
Não rejeitar H0
Erro tipo I Decisão correta
Erro tipo IIDecisão correta
Tipos de erros
• Nível de significância:
• Probabilidade de cometer o erro do tipo II:
=α P(cometer erro tipo I) = P(rejeitar H0 | H0 é verdadeira)
=β P(cometer erro tipo II) = P(não rejeitar H | H é falsa)
• Potência do Teste:
=β P(cometer erro tipo II) = P(não rejeitar H0 | H0 é falsa)
=− β1 P(rejeitar H0 | H0 é falsa)
Na prática, na maioria das aplicações de teste de
hipótese, nós especificamos o nível de significância ( ).α
Teste de Hipóteses
• Ex:
)16,(~ µNX
20:0 =µH
20:1 >µH
Região de rejeição
(crítica) para H0.
Região de aceitação
Para H0.
α %5=
20:1 >µH
n = 16 (tamanho da amostra)
~X 





n
N
2
,
σ
µ
Por hipótese: 20=µ
)1,20(~ NX
cX X20
64,21
Regra de decisão:
Rejeitar quando
0H
0H
64,21≤X
64,21>X
Não rejeitar quando
Etapas para realização dos 
testes de hipóteses
1) Especificar as hipóteses e ;
2) Fixar o limite do erro , e identificar a variável do
teste (estatística – teste);
3) Com o auxílio das tabelas estatísticas, considerando o
0H 1H
α
),...,,( 21 nXXXTT =
3) Com o auxílio das tabelas estatísticas, considerando o
nível de significância e a variável do teste,
determinar a RC (região crítica);
4) Com os elementos amostrais, calcular o valor da
variável do teste ;
5) Concluir pela rejeição ou não de pela comparação
do valor obtido na 4ª etapa com a RC.
( )α
),...,,( 21 nxxxTt =
0H
Teste de hipótese para a média 
com variância conhecida
1) Estabelecer as hipóteses:
00 : µµ =H
01 : µµ ≠H (a)
(b)µµ > uma das alternativas
2) Fixar o nível de significância e identificar a variável do 
teste:
.α
(b)
(c)
0µµ >
0µµ <
uma das alternativas
Nível de significância =
~
/
0
n
X
Z
σ
µ−
= ( )1,0NEstatística – teste:
Teste de hipótese para a média 
com variância conhecida
3) Determinar a região crítica (RC) com o auxílio da 
tabela da N(0,1).
(a) (b) (c)
2/α2/α α α
4) Calcular o valor da variável do teste:
n
X
Zcal
/
0
σ
µ−
=
Região Crítica
cz Z0
2/α
Z0 Z0
2/α
cz− cz cz−
Teste de hipótese para a média 
com variância conhecida
5) Conclusões:
ccalc zzz ≤≤−(a) Se , não se pode rejeitar .0H
ccal zz −<Se ou , rejeita-se .0Hccal zz >
(b)
(c)
ccal zz <Se , não se pode rejeitar .0H
Se , rejeita-se .0Hccal zz >
ccal zz −<
Se , não se pode rejeitar .0H
Se , rejeita-se .0H
ccal zz −>
Teste de hipótese para a média 
com variância conhecida
Ex1:
Uma máquina de ensacar determinado produto,
quando bem regulada, fornece o produto em sacos
cujos pesos têm distribuição normal com
média e desvio padrão . Com basekg600 =µ kg2,0=σmédia e desvio padrão . Com base
em uma amostra de 25 sacos (peso médio dos sacos
59,90 kg) teste a hipótese da máquina está bem
regulada, ou seja, , com nível de significância
de 5%.
kg600 =µ kg2,0=σ
kg600 =µ
Teste de hipótese para a média 
com variância conhecida
Ex1:
1)
2)
60:0 =µH
%5=α
60:1 ≠µH
4)
n
X
Zcal
/
0
σ
µ−
=
25/2,0
6090,59 −
= 5,2−=
2)
3)
%5=α
~
/
0
n
X
Z
σ
µ−
= ( )1,0NEstatística – teste:
cz Z0
%5,2%5,2
cz−
%5,47
%5,47)0( =<< czZP 96,1=cz
5)
Como então rejeitamos,
ao nível de significância de 5%, a
hipótese , em favor da
hipótese . Isso significa
que a máquina deve ser regulada.
96,15,2 −<−
60:0 =µH
60:1 ≠µH
Teste de hipótese para a média 
com variância desconhecida
1) Estabelecer as hipóteses:
00 : µµ =H
01 : µµ ≠H (a)
(b)µµ > uma das alternativas
2) Fixar o nível de significância e identificar a variável do 
teste:
.α
(b)
(c)
0µµ >
0µµ <
uma das alternativas
Nível de significância =
~
/ˆ
0
n
X
σ
µ−
( )1−ntEstatística – teste:
Teste de hipótese para a média 
com variância desconhecida
3) Determinar a região crítica (RC) com o auxílio da 
tabela “t”.
(a) (b) (c)
2/α2/α α α
( )1−nt ( )1−nt ( )1−nt
4) Calcular o valor da variável do teste:
n
X
tcal
/ˆ
0
σ
µ−
=
Região Crítica
ct t0
2/α
t0 t0
2/α
ct− ct ct−
( )
1
ˆ 1
2
−
−
==
∑
=
n
XX
S
n
i
i
σ,
Teste de hipótese para a média 
com variância desconhecida
5) Conclusões:
ccalc ttt ≤≤−(a) Se , não se pode rejeitar .0H
ccal tt −<Se ou , rejeita-se .0Hccal tt >
(b)
(c)
ccal tt <Se , não se pode rejeitar .0H
Se , rejeita-se .0Hccal tt >
ccal tt −<
Se , não se pode rejeitar .0H
Se , rejeita-se .0H
ccal tt −>
Teste de hipótese para a média 
com variância desconhecida
Ex2:
Dados os valores 4, 6, 3, 6 e 6, de uma amostra de
cinco observações da variável . Teste, aonível de significância de 5%, a hipótese de que a média
da população é 1, contra a hipótese alternativa de que( )µ
( )2,~ σµNX
da população é 1, contra a hipótese alternativa de que
é maior do que 1.
( )µ
Teste de hipótese para proporções
1) Estabelecer as hipóteses:
00 : ppH =
01 : ppH ≠ (a)
(b)pp > uma das alternativas
2) Fixar o nível de significância e identificar a variável do 
teste:
.α
(b)
(c)
0pp >
0pp <
uma das alternativas
Nível de significância =
~
ˆ
00
0
n
qp
pp − ( )1,0N
Estatística – teste:
Teste de hipótese para proporções
3) Determinar a região crítica (RC) com o auxílio da 
tabela da N(0,1).
(a) (b) (c)
2/α2/α α α
4) Calcular o valor da variável do teste:
n
pp
pp
Z cal
)1(
ˆ
00
0
−
−
=
Região Crítica
cz Z0
2/α
Z0 Z0
2/α
cz− cz cz−
Teste de hipótese para proporções
5) Conclusões:
ccalc zzz ≤≤−(a) Se , não se pode rejeitar .0H
ccal zz −<Se ou , rejeita-se .0Hccal zz >
(b)
(c)
ccal zz <Se , não se pode rejeitar .0H
Se , rejeita-se .0Hccal zz >
ccal zz −<
Se , não se pode rejeitar .0H
Se , rejeita-se .0H
ccal zz −>
Teste de hipótese para proporções
Ex3:
As condições de mortalidade de uma região são tais
que a proporção de nascidos que sobrevivem até 60
anos é de 60%. Testar essa hipótese ao nível de 5% se
em 1000 nascimentos amostrados aleatoriamente,em 1000 nascimentos amostrados aleatoriamente,
verificou-se 530 sobreviventes até 60 anos.
Teste de hipótese para a variância 
com média desconhecida
1) Estabelecer as hipóteses:
2
0
2
0 : σσ =H
:1H
(a)
uma das alternativas
2
0
2 σσ ≠
2) Fixar o nível de significância e identificar a variável do 
teste:
.α
(a)
(b)
(c)
2
0
2 σσ >
2
0
2 σσ <
Nível de significância =
( )
~
1
2
0
2
σ
Sn −
( )
2
1−nχEstatística – teste:
0σσ ≠
Teste de hipótese para a variância 
com média desconhecida
3) Determinar a região crítica (RC) com o auxílio da 
tabela .
(a) (b) (c)
2χ
2/α
2/α
α
α
4) Calcular o valor da variável do teste:
( )
2
0
2
2 1
σ
χ
Sn
cal
−
=
Região Crítica
( )
1
1
2
2
−
−
=
∑
=
n
XX
S
n
i
i
,
2
supχ
2
)1( −nχ0 2infχ
2
supχ
2
)1( −nχ0
2
)1( −nχ0 2
infχ
Se ou , rejeita-se
Se , não se pode rejeitar
Teste de hipótese para a variância 
com média desconhecida
5) Conclusões:
2
sup
22
inf χχχ ≤≤ cal(a) .0H
2
inf
2 χχ <cal .0H
2
sup
2 χχ >cal
Se , rejeita-se
Se , não se pode rejeitar(b)
(c)
2
sup
2 χχ <cal .0H
Se , rejeita-se .0H
2
sup
2 χχ >cal
2
inf
2 χχ <cal
Se , não se pode rejeitar .0H
.0H
2
inf
2 χχ >cal
Teste de hipótese para a variância 
com média desconhecida
Ex4:
Para testar a hipótese de que a variância de uma
população é 25, tirou-se uma amostra aleatória de 25
elementos obtendo-se . Admitindo-se ,
efetuar o teste de significância unilateral (unicaudal) a
3,182 =S 10,0=α
efetuar o teste de significância unilateral (unicaudal) a
esquerda.
Teste de hipótese para a variância 
com média conhecida
Estatística - teste:
( )
21
2
~
n
i
iX
χ
µ∑
=
−
( )
2
2
1 ~ n
i χ
σ
=
Teste de hipótese para a diferença 
de duas médias
1) Estabelecer as hipóteses:
dH =− 210 : µµ
Supondo que as variâncias populacionais são conhecidas, 
independentes e normais.
Situação 1:
2) Fixar o nível de significância e identificar a variável do 
teste:
.α
dH =− 210 : µµ
dH ≠− 211 : µµ
Para d = 0
Nível de significância =
(Testes unilaterais podem ser realizados)
210 : µµ =H
211 : µµ ≠H
(Testes para igualdade de duas médias)
Teste de hipótese para a diferença 
de duas médias
Identificando a variável do teste:
21 µµ − 21 XX −
( )=− 21 XXE ( ) ( )=− 21 XEXE 21 µµ −( ) ( )
( )=− 21 XXV ( ) ( )=+ 21 XVXV
são independentes.1X 2Xe 2
2
2
1
2
1
nn
σσ
+
~21 XX − 





+−
2
2
2
1
2
1
21 ,
nn
N
σσ
µµ
( ) ( )
2
2
2
1
2
1
2121
nn
XX
Z
σσ
µµ
+
−−−
= )1,0(~ N (Estatística - teste)
Teste de hipótese para a 
diferença de duas médias
3) Determinar a região crítica (RC) com o auxílio da 
tabela da N(0,1).
2/α2/α
4) Calcular o valor da variável do teste:
Região Crítica
cz Z0
2/α2/α
cz−
( )
2
2
2
1
2
1
21
nn
dXX
Zcal
σσ
+
−−
=
Teste de hipótese para a 
diferença de duas médias
5) Conclusões:
ccalc zzz ≤≤−Se , não se pode rejeitar .0H
ccal zz −<Se ou , rejeita-se .0Hccal zz >
Teste de hipótese para a 
diferença de duas médias
Ex5:
Um fabricante faz dois tipos de pneus. Para o
tipo A, milhas, e para o tipo B, milhas.
Um táxi testou 50 pneus do tipo A e 40 pneus do tipo B,
obtendo 24000 milhas e 26000 milhas de duração média
2500=σ 3000=σ
obtendo 24000 milhas e 26000 milhas de duração média
dos respectivos tipos. Adotando-se , testar a
hipótese de que a vida média dos dois tipos é a mesma.
%4=α
Teste de hipótese para a 
diferença de duas médias
Ex5:
1)
2)
0:0 =− BAH µµ
%4=α
0:1 ≠− BAH µµ
4)
( )
( ) ( )
40
3000
50
2500
02600024000
22
+
−−
=calZ 38,3−=
BA µµ =
BA µµ ≠
2)
3)
%4=α
Estatística – teste:
cz Z0
%2%2
cz−
%48
%48)0( =<< czZP 05,2=cz
4050
5)
Como então rejeitamos,
ao nível de significância de 4%, a
hipótese nula, em favor da hipótese
alternativa. Isso significa que a vida
média dos dois tipos de pneus são
diferentes.
05,238,3 −<−
( ) ( )1,0~
22
N
nn
dXX
Z
B
B
A
A
BA
σσ
+
−−
=
Teste de hipótese para a diferença 
de duas médias
Supondo que as variâncias populacionais são desconhecidas, 
mas são supostamente iguais.
Situação 2:
( ) ( )
22
2121 XX
σσ
µµ −−−
2σ1σ e desconhecidos.
Identificando a variável do teste:
( ) ( )2121 µµ

−−− XX
σσσ == 21
Estimador não tendencioso da variância, comum as duas populações, é dada por:
2
2
2
1
2
1
nn
σσ
+
21 e desconhecidos.
2
21
11
σ





+
nn
( ) ( )
221
1
2
22
1
2
11
2
21
−+
−+−
=
∑∑
==
nn
XXXX
S
n
i
i
n
i
i
ou
( ) ( )
2
11
21
2
22
2
112
−+
−+−
=
nn
SnSn
S
Teste de hipótese para a diferença 
de duas médias
Identificando a variável do teste:
Supondo que as variâncias populacionais são desconhecidas, 
mas são supostamente iguais.
Situação 2:
( )221 −+nnt
( ) ( )
~
11 2
21
2121
S
nn
XX






+
−−− µµ
=calt (Estatística - teste)
Teste de hipótese para a diferença 
de duas médias
Ex6:
Uma amostra da população A forneceu os valores
10, 4, 8, 11, 14, 12, 9, 13 e 9, e uma amostra da
população B forneceu os valores 14, 16, 16 e 10.
Supondo que a variável em análise tem distribuiçãoSupondo que a variável em análise tem distribuição
normal com variância , em ambas as populações,
teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese de que
a média da população A é igual a média da população
B.
2σ
Teste de hipótese para a diferença 
de duas médias
Variâncias desconhecidase diferentes.Situação 3:
Variável do teste:
( ) ( )
( )t
XX
t ~21
21 −−−
=
µµ
os graus de liberdade para t são dados por:
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1






−
+





−






+
=
n
S
nn
S
n
n
S
n
S
gl
( ) ( )
( )glt
n
S
n
S
t ~
2
2
2
1
2
1
21






+
=
Teste de hipótese para a diferença entre 
as proporções de duas populações
1) Estabelecer as hipóteses:
dppH =− 210 :
dppH ≠− 211 :
(Testes unilaterais podem ser realizados)
2) Fixar o nível de significância e identificar a variável do 
teste:
.αNível de significância =
Identificando a variável do teste:
21 pp − 21 ˆˆ pp −
Teste de hipótese para a diferença entre 
as proporções de duas populações
Identificando a variável do teste:
( )=− 21 ˆˆ ppE ( ) ( )=− 21 ˆˆ pEpE 21 pp −
( )=− 21 ˆˆ ppV ( ) ( ) =−+ )ˆ,ˆ(2ˆˆ 2121 ppCovpVpV
2
22
1
11
n
qp
n
qp
+
0
21 nn
~ˆˆ 21 pp − 





+−
2
22
1
11
21 ,
n
qp
n
qp
ppN
( ) ( )
2
22
1
11
2121
ˆˆ
n
qp
n
qp
pppp
Z
+
−−−
= )1,0(~ N
(Estatística - teste)
( ) ( )
2
22
1
11
2121
ˆˆˆˆ
ˆˆ
n
qp
n
qp
pppp
Z
+
−−−
= )1,0(~ N
Teste de hipótese para a diferença entre 
as proporções de duas populações
3) Determinar a região crítica (RC) com o auxílio da 
tabela da N(0,1).
2/α2/α
4) Calcular o valor da variável do teste:
Região Crítica
cz Z0
2/α2/α
cz−
( ) ( )
2
22
1
11
2121
ˆˆˆˆ
ˆˆ
n
qp
n
qp
pppp
Zcal
+
−−−
=
Teste de hipótese para a diferença entre 
as proporções de duas populações
5) Conclusões:
ccalc zzz ≤≤−Se , não se pode rejeitar .0H
ccal zz −<Se ou , rejeita-se .0Hccal zz >
Teste de hipótese para a diferença entre 
as proporções de duas populações
Freqüentemente , então:0=d
210 : ppH =
211 : ppH ≠
(Teste para igualdade de duas proporções)
Identificando a variável do teste:
( ) ( )
2
22
1
11
2121
ˆˆ
n
qp
n
qp
pppp
Z
+
−−−
=
Por :0H ppp == 21
( )
21
21
ˆˆ
n
pq
n
pq
pp
Z
+
−
=
( )






+
−
=
21
21
11
ˆˆ
nn
pq
pp
Estimador apropriado de p, levando em
consideração todas as observações é:
21
2211
ˆˆ
ˆ
nn
pnpn
p
+
+
=
Identificando a variável do teste:
Teste de hipótese para a diferença entre 
as proporções de duas populações
Para :0=d
( )
( )
( )1,0~
11
ˆ1ˆ
ˆˆ
21 N
pp
pp
Z




+−
−
= (Estatística - teste)
( ) 11ˆ1ˆ
21 nn
pp 





+−
onde:
21
2211
ˆˆ
ˆ
nn
pnpn
p
+
+
=
Teste de hipótese para a diferença entre 
as proporções de duas populações
Ex7:
Deseja-se testar se são iguais as proporções de
homens e mulheres que lêem revista e se lembram de
determinado anúncio. São os seguintes os resultados de
amostras aleatórias independentes de homens eamostras aleatórias independentes de homens e
mulheres:
onde x1 é o número de homens que se lembram do
anúncio e x2 é o correspondente número de mulheres.
Admita
701 =x
Homens Mulheres
502 =x
2002 =n2001 =n
%.10=α
Teste de hipótese para a igualdade 
de duas variâncias
1) Estabelecer as hipóteses:
2) Fixar o nível de significância e identificar a variável do 
22
2
2
10 : σσσ ==H
2
2
2
11 : σσ ≠H
2) Fixar o nível de significância e identificar a variável do 
teste: 
.αNível de significância =
Identificando a variável do teste:
( )
~
1
2
1
2
11
σ
Sn
U
−
=
( )
~
1
2
2
2
22
σ
Sn
V
−
=
( )
2
11−n
χ
( )
2
12 −n
χ
( )
( )
2
2
2
22
2
1
2
11
1
1
σ
σ
Sn
Sn
V
U
−
−
=
( )
( )
~
1
1
/
/
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
−
−
=
n
V
n
U
S
S
σ
σ
( )1,1 21 −− nnF
Teste de hipótese para a 
igualdade de duas variâncias
Supondo verdadeira:
(Estatística - teste)
0H
=
2
2
2
2
2
1
2
1
/
/
σ
σ
S
S
22
2
2
1 σσσ ==
( )1,12
2
2
1
21
~ −− nnF
S
S
22 /σS 2S
3) Determinar a região crítica (RC) com o auxílio da 
tabela da distribuição F.
supf
2/α
( )1,1 21 −− nnF
0
inff
2/α Região Crítica
Teste de hipótese para a 
igualdade de duas variâncias
4) Calcular o valor da variável do teste:
2
2
2
1
S
S
Wcal =
5) Conclusões: 
Se ou , rejeita-se
Se , não se pode rejeitarsupinf fWf cal ≤≤ .0H
inffWcal < .0HsupfWcal >
Teste de hipótese para a 
igualdade de duas variâncias
Ex8:
Queremos verificar se duas máquinas produzem
peças com a mesma homogeneidade quanto à
resistência à tensão. Para isso, sorteamos duas
amostras de seis peças de cada máquina, e obtivemosamostras de seis peças de cada máquina, e obtivemos
as seguintes resistências:
Admita %.10=α
Máquina A 145 127 136 142 141 137
Máquina B 143 128 132 138 142 132