Testes de Hipóteses
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Testes de Hipóteses

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Testes de Hipóteses

Prof. Carlos Amorim

Testes de Hipóteses

• Um Teste de Hipóteses é um procedimento
que conduz a uma tomada de decisão, com
base na informação fornecida pelos dados de
uma amostra, sobre a aceitação ou a rejeição

(não aceitação) de determinada hipótese(não aceitação) de determinada hipótese
estatística que se coloca sobre uma população.

Hipótese Estatística

• É uma suposição quanto ao valor de um
parâmetro populacional ou quanto à natureza da
distribuição de probabilidade de uma variável
populacional.

• Tipos:
– Hipótese nula: H0 (hipótese a ser testada)

– Hipótese alternativa: H1

Ex: A altura média da população brasileira é 1,65 m.
Hipótese: m65,1=µ

Hipótese Estatística
Ex:

As hipóteses podem ser hipóteses simples se especificam

mH 65,1:0 =µ mH 65,1:0 =µ mH 65,1:0 =µ
mH 65,1:1 ≠µ mH 65,1:1 >µ mH 65,1:1 <µ

a) b) c)

As hipóteses podem ser hipóteses simples se especificam
completamente o valor dos parâmetros, ou, caso contrário,
são hipóteses compostas.

Ex:
Hipótese simples:

Hipóteses compostas:

65,1=µ

65,1≠µ

65,1<µ
65,1>µ

Tipos de Teste

• Os testes de hipótese podem ser:

– Bilaterais: mH 65,1:0 =µ
mH 65,1:1 ≠µ

– Unilaterais à esquerda:

– Unilaterais à direita:

mH 65,1:0 =µ
mH 65,1:1 <µ

mH 65,1:0 =µ
mH 65,1:1 >µ

Estatística - teste

Considere uma amostra da população com
f.d.p. , em que é um parâmetro desconhecido, sobre
o qual pretendemos fazer um teste de hipóteses
e uma amostra particular retirada dessa população.

),...,,( 21 nXXX

)|( θXf θ

),...,,( 21 nxxx

O resultado do teste de hipóteses consiste na rejeição
ou não rejeição da hipótese nula , de acordo
com uma regra de decisão baseada numa
estatística, ,designada por estatística-
teste.

),...,,( 21 nXXXTT =

0H

Definição:

Regra de decisão

Um teste de hipóteses estabelece uma regra que
permite determinar um conjunto RC tal que:

Se pertencer a RC, rejeita-se),...,,( 21 nxxxTt = ;0H

Se não pertencer a RC, não se rejeita),...,,( 21 nxxxTt = ;0H

O conjunto RC chama-se região crítica ou região de rejeição.
O complementar do conjunto RC chama-se região de

aceitação.

A definição dessas regiões depende do tipo de teste efetuado
e do nível de significância considerado.

Tipos de erros

• Há dois tipos possíveis de erro ao testar uma
hipótese estatística:

– Erro do Tipo I: consiste em rejeitar
quando é verdadeira.

0H

0Hquando é verdadeira.

– Erro do Tipo II: consiste em não rejeitar
quando é falsa.

0H

0H

0H

Decisão H0 verdadeira H0 falsa

Rejeitar H0

Não rejeitar H0

Erro tipo I Decisão correta

Erro tipo IIDecisão correta

Tipos de erros

• Nível de significância:

• Probabilidade de cometer o erro do tipo II:

=α P(cometer erro tipo I) = P(rejeitar H0 | H0 é verdadeira)

=β P(cometer erro tipo II) = P(não rejeitar H | H é falsa)

• Potência do Teste:

=β P(cometer erro tipo II) = P(não rejeitar H0 | H0 é falsa)

=− β1 P(rejeitar H0 | H0 é falsa)

Na prática, na maioria das aplicações de teste de
hipótese, nós especificamos o nível de significância ( ).α

Teste de Hipóteses

• Ex:

)16,(~ µNX

20:0 =µH

20:1 >µH

Região de rejeição
(crítica) para H0.

Região de aceitação
Para H0.

α %5=
20:1 >µH

n = 16 (tamanho da amostra)

~X 








n
N

2

,
σ

µ

Por hipótese: 20=µ

)1,20(~ NX

cX X20

64,21

Regra de decisão:

Rejeitar quando

0H

0H

64,21≤X

64,21>X

Não rejeitar quando

Etapas para realização dos
testes de hipóteses

1) Especificar as hipóteses e ;

2) Fixar o limite do erro , e identificar a variável do
teste (estatística – teste);

3) Com o auxílio das tabelas estatísticas, considerando o

0H 1H

α
),...,,( 21 nXXXTT =

3) Com o auxílio das tabelas estatísticas, considerando o
nível de significância e a variável do teste,
determinar a RC (região crítica);

4) Com os elementos amostrais, calcular o valor da
variável do teste ;

5) Concluir pela rejeição ou não de pela comparação
do valor obtido na 4ª etapa com a RC.

( )α

),...,,( 21 nxxxTt =

0H

Teste de hipótese para a média
com variância conhecida

1) Estabelecer as hipóteses:

00 : µµ =H

01 : µµ ≠H (a)
(b)µµ > uma das alternativas

2) Fixar o nível de significância e identificar a variável do

teste:

.α

(b)

(c)

0µµ >

0µµ <
uma das alternativas

Nível de significância =

~
/

0

n

X
Z

σ
µ−

= ( )1,0NEstatística – teste:

Teste de hipótese para a média
com variância conhecida

3) Determinar a região crítica (RC) com o auxílio da
tabela da N(0,1).

(a) (b) (c)

2/α2/α α α

4) Calcular o valor da variável do teste:

n

X
Zcal

/

0

σ
µ−

=

Região Crítica

cz Z0

2/α

Z0 Z0

2/α

cz− cz cz−

Teste de hipótese para a média
com variância conhecida

5) Conclusões:

ccalc zzz ≤≤−(a) Se , não se pode rejeitar .0H

ccal zz −<Se ou , rejeita-se .0Hccal zz >

(b)

(c)

ccal zz <Se , não se pode rejeitar .0H

Se , rejeita-se .0Hccal zz >

ccal zz −<

Se , não se pode rejeitar .0H

Se , rejeita-se .0H

ccal zz −>

Teste de hipótese para a média
com variância conhecida

Ex1:

Uma máquina de ensacar determinado produto,
quando bem regulada, fornece o produto em sacos
cujos pesos têm distribuição normal com

média e desvio padrão . Com basekg600 =µ kg2,0=σmédia e desvio padrão . Com base
em uma amostra de 25 sacos (peso médio dos sacos
59,90 kg) teste a hipótese da máquina está bem
regulada, ou seja, , com nível de significância
de 5%.

kg600 =µ kg2,0=σ

kg600 =µ

Teste de hipótese para a média
com variância conhecida

Ex1:

1)

2)

60:0 =µH

%5=α

60:1 ≠µH

4)

n

X
Zcal

/

0

σ
µ−

=
25/2,0

6090,59 −
= 5,2−=

2)

3)

%5=α

~
/

0

n

X
Z

σ
µ−

= ( )1,0NEstatística – teste:

cz Z0

%5,2%5,2

cz−

%5,47

%5,47)0( =<< czZP 96,1=cz

5)

Como então rejeitamos,
ao nível de significância de 5%, a
hipótese , em favor da
hipótese . Isso significa
que a máquina deve ser regulada.

96,15,2 −<−

60:0 =µH
60:1 ≠µH

Teste de hipótese para a média
com variância desconhecida

1) Estabelecer as hipóteses:

00 : µµ =H

01 : µµ ≠H (a)
(b)µµ > uma das alternativas

2) Fixar o nível de significância e identificar a variável do

teste:

.α

(b)

(c)

0µµ >

0µµ <
uma das alternativas

Nível de significância =

~
/ˆ

0

n

X

σ
µ−

( )1−ntEstatística – teste:

Teste de hipótese para a média
com variância desconhecida

3) Determinar a região crítica (RC) com o auxílio da
tabela “t”.

(a) (b) (c)

2/α2/α α α

( )1−nt ( )1−nt ( )1−nt

4) Calcular o valor da variável do teste:

n

X
tcal

/ˆ

0

σ
µ−

=

Região Crítica

ct t0

2/α

t0 t0

2/α

ct− ct ct−

( )
1

ˆ 1

2

−

−
==

∑
=

n

XX

S

n

i

i

σ,

Teste de hipótese para a média
com variância desconhecida

5) Conclusões:

ccalc ttt ≤≤−(a) Se , não se pode rejeitar .0H

ccal tt −<Se ou , rejeita-se .0Hccal tt >

(b)

(c)

ccal tt <Se , não se pode rejeitar .0H

Se , rejeita-se .0Hccal tt >

ccal tt −<

Se , não se pode rejeitar .0H

Se , rejeita-se .0H

ccal tt −>

Teste de hipótese para a média
com variância desconhecida

Ex2:

Dados os valores 4, 6, 3, 6 e 6, de uma amostra de
cinco observações da variável . Teste, ao