Como calcular números Binários

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Como calcular números Binários
Sistema de numeração Binário
 Conhecidamente e comumente utilizamos o sistema de numeração decimal em nosso dia a dia, e sabemos que esse sistema é composto por dez algoritmos que são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9. Porém a maioria de nós também utiliza o sistema binário em atividades cotidianas como trabalho, edição de imagens, cálculos e até mesmo para construir esse post. Sabe como? se não, é o que pretendemos esclarecer adiante.
     O sistema de numeração binário,é, basicamente o sistema utilizado por programadores e pela computação e foi descoberto por Gottfried Wilhelm Leibniz, alguns estudiosos acreditam que ele foi o principal responsável pelo progresso humano, seus trabalhos e estudos na época foram desenvolvidos ao lado de alguns pensadores como Newton. esse fantástico pensador redescobriu os números binários 0 e 1 e defendia que o numero 0 significava o nada e atribuiu à Deus o numero 1, logo a dedução que a partir dos números 0(zero) e 1(um),  tudo foi criado, ou seja, a união desses dois números representa o Universo.
     O uso dos números 0 e 1 servem como base de cálculo, através deles é possível criar letras, números, gráficos, etc. Em um sistema como esse, é possível simplificar cálculos com auxilio da lógica, em computação, chamamos um digito binário de bit.
     Agora, vamos aprender o funcionamento dessa logica e sua aplicação na matemática.
Abaixo apresento a vocês uma pequena tabela com uma sequência de números e suas respectivas representações em seus sistemas de numeração respectivos.
	Decimal
	Binário
	Octal
	Hexa Decimal
	     0
	    0
	    0
	    0
	     1
	       1   
	    1
	    1
	     2
	   10
	    2 
	    2
	     3
	   11
	    3
	    3
	     4
	  100
	    4
	    4
	     5
	  101
	    5
	    5
	     6
	  110
	    6
	    6
	     7
	  111
	    7
	    7
	     8
	 1000
	   10
	    8
	     9
	 1001
	   11
	    9
	   10
	 1010
	   12
	    A
	   11
	 1011
	   13
	    B
	   12
	 1100
	   14
	    C
	   13
	 1101
	   15
	    D
	   14
	 1110
	   16
	    E
	   15
	 1111
	   17
	    F
     Veremos a seguir um exemplo de conversão de base decimal para binário onde vamos converter o numero 144 de base 10 para numero binário. Há duas formas de resolução:
     EXEMPLO 01
     Método utilizando a lógica
    Para demonstrar o primeiro método de resolver temos alguns passos a seguir, faremos uma contagem com potências de dois (sempre iniciando do numero 1) da seguinte forma: 1    2    4    8    16    32    64    128   256   ... vale lembrar que as potências devem ser utilizados de acordo com o numero que pretende-se a conversão - nesse caso paramos com o número 256 que é maior que o numero que pretendemos converter.
Nossa escala "pronta" ficará da seguinte forma:
256     128    64    32    16    8    4    2    1
Perceba que quando utilizarmos essa tabela, escrevemos ela da direita para esquerda partindo do numero maior para os menores.
Vamos converter o numero 144, então:
144 - 128 = 16
16   -  16  = 0
     Nesse método utiliza-se o numero pretendido para a conversão e subtrai-se o primeiro numero menor ou igual a ele que pertence a tabela.
    Aplicando os resultados em nossa tabela
256    128    64    32    16    8    4    2    1
  1                       1             .        
    perceba que anotamos apenas os múltiplos utilizados (uma vez cada um), agora, para obter a sequencia binária preenchemos com o 0 os múltiplos que não utilizamos
256    128    64    32    16    8    4    2    1
            1       0      0      1     0    0    0    0
     A linha inferior nos dará o resultado, logo, 144 base 10, em números binários é igual a 10010000
     Nesse sistema de divisão, para obter a prova real somamos os múltiplos utilizados e teremos o numero em sistema decimal novamente, então:
128 + 16 = 144.
     EXEMPLO 02
    Método Matemático
     Um outro método - matemático - implica em dividir o numero por dois até que não sejam mais possíveis divisões por números inteiros, temos então:
144 / 2 = 72 resto 0
  72 / 2 = 36 resto 0
  36 / 2 = 18 resto 0
 18 / 2   = 9   resto 0
   9 / 2   = 4   resto 1
   4 / 2   = 2   resto 0
    2 / 2  = 1  resto 0
     O número binário será sempre a composição do ultimo divisor seguido do resto das divisões anteriores assim temos 10010000
     Para obter a prova real pelo método matemático faremos o seguinte:
     Sabemos que  o numero binário 10010000 na base 10 é 144, como provar isso?
    Se você contar a quantidade de algarismos ( números) que temos chegaremos a 8, certo?
numero: 1  0  0  1  0  0  0  0
casas:    1  2  3  4  5  6  7  8
     Então vamos utilizar o exemplo abaixo para facilitar o entendimento
	binário                    
	   1
	   0
	   0
	   1
	   0
	   0
	   0
	   0
	nº de casas
	casa 8
	casa 7
	casa 6
	casa 5
	casa 4
	casa 3
	casa 2
	casa 1
	potência
	     7
	     6
	     5
	      4
	     3
	     2
	     1
	    0
	equação
	  1 x 27 
	  0 x 26
	  0 x 25
	  1 x 24
	  0 x 23
	  0 x 22
	  0 x 21
	  0 x 20
	desenvolvimento
	  1x128
	   0x64
	   0x32
	   1x16
	   0x8
	   0x4
	   0x2
	   0x1
	soma
	    128
	     0
	     0
	    16
	     0
	     0
	     0
	     0
     Para a resolução contamos as casas da direita para a esquerda iniciando do numero 0, então.
oito casas, potencia 7 conforme abaixo:
1 x 27 + 0 x 26 + 0 x 25 + 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20
 1x128 + 0 + 0 + 16 + 0 + 0 + 0 + 0 = 144
Mas como funciona quando temos mais que 10 casas (base > 10)?
- em sua leitura (acima) você deve ter percebido a tabela e se perguntado, e como faço com as letras? vamos responder sua pergunta, acompanhe.
Temos:
    Se tentamos converter um número para a base doze temos que assumir algumas regras, a final teremos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11 onde:
    Vamos aos cálculos?
Transformando 1579 na base 10, para a base 12.
1579 / 12 = 131 resto 07
131 / 12 = 10 resto 11
Seguindo a regra de composição temos então AB7, será? vamos à prova real:
AB7 na base 12 para a base 10 ficaria:
A x 122 + B x 121 + 7 x 120 então
10 x 122 + 11 x 121 + 7 x 120 logo
1440 + 132 + 7 = 1579 na base 10.
Para a aplicação na regra para o cálculo de base 2 (binário) podemos utilizar nossa tabela.
 
múltiplos de 2 a partir do número 1. Preenchemos as casas vazias com o 0 e temos 
11010100011 base 2
1579  -  1024  =  555
555    -    512  =   43
43      -      32  =   11
11       -       8  =     3
3         -       2  =     1
1        -        1  =     0
resultado: 11000101011
obtemos a prova somando: 1024 + 512 + 32 + 8 + 2 + 1 = 1579.
ou pelo processo de cálculo matemático
1579 / 2 = 789 resto 1
789 / 2 = 394 resto 1
394 / 2 = 197 resto 0
197 / 2 = 98 resto 1
98 / 2 = 49 resto 0
49 / 2 = 24 resto 1
24 / 2 = 12 resto 0
12 / 2 = 6 resto 0
6 / 2 = 3 resto 0
3 / 2 = 1 resto 1
Muito simples certo. Então Agora que tal praticar um pouco com alguns exercícios?
A - Transforme para a base binária (base 2)
1. (29)           2. (47)          3. (123)
B - Transforme para a base ternária (base 3)
1. (34)          2. (69)          3. (158)
C. Transforme para a base 12 onde: 10 = A e 11 = B 
1. (1143)      2. (18993)
D. transforme os numeros binários para a base decimal
1. (1011)     2. (110101)     3. (1010111)