Lista de Exercícios - Limites de Funções c/ gabarito

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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ - Caˆmpus Pato Branco
Lista 3 - Limites de Func¸o˜es - Ca´lculo Diferencial e Integral I - CD21NB 1EL
Prof. Mateus Eduardo Saloma˜o, 17/03/2016.
1. Explique com suas palavras o que significa
a definic¸a˜o de limite.
2. Use o gra´fico dado de f(x) =
1
x
para encon-
trar um δ tal que
se |x− 2| < δ enta˜o |1
x
− 0, 5| < 0, 2.
3. Use o gra´fico dado de f para encontrar um
δ tal que
se |x− 5| < δ enta˜o |f(x)− 3| < 0, 6.
4. Use o gra´fico dado de f(x) =
√
x para en-
contrar um δ tal que
se |x− 4| < δ enta˜o |√x− 2| < 0, 4.
5. Use o gra´fico dado de f(x) = x2 para en-
contrar um δ tal que
se |x− 1| < δ enta˜o |x2 − 1| < 1
2
.
6. Use um gra´fico para encontrar um δ tal que
se |x− pi
4
| < δ enta˜o |tg(x)− 1| < 0, 2.
7. E´ dado lim
x−→a
f(x) = L, determine um nu´mero
δ para o � dado tal que 0 < |x − a| < δ ⇒
|f(x)− L| < �. Deˆ exemplos de outros dois
nu´meros positivos para δ, que tambe´m sa-
tisfazem a implicac¸a˜o dada:
(a) lim
x−→2
(2x+ 4) = 8, � = 0, 01.
(b) lim
x−→−1
(−3x+ 7) = 10. � = 0, 5.
(c) lim
x−→−2
x2 − 4
x+ 2
= −4. � = 0, 1.
(d) lim
x−→5
1
2− x = −
1
3
. � = 0, 25.
(e) lim
x−→1
x2 − 1
x− 1 = 2. � = 0, 75.
8. Prove os seguintes limites pela definic¸a˜o:
(a) lim
x−→2
3x− 1 = 5
(b) lim
x−→−2
7− 2x = 11
(c) lim
x−→1
x2 = 1
(d) lim
x−→−3
x2 = 9
(e) lim
x−→3
x2 − 9
x− 3 = 6
1
(f) lim
x−→1
√
x = 1
(g) lim
x−→1
1
x
= 1
9. Descrever anal´ıtica e graficamente uma func¸a˜o
y = f(x) tal que lim
x−→3
f(x) na˜o existe e
lim
x−→6
f(x) existe.
10. Definir uma func¸a˜o y = g(x) tal que
lim
x−→2
g(x) = 4, mas g(x) na˜o e´ definida em
x = 2.
11. Definir e fazer o gra´fico de uma func¸a˜o y =
h(x) tal que lim
x−→0+
h(x) = 1 e lim
x−→0−
h(x) =
2.
12. Se a func¸a˜o f for definida por
f(x) =
{
0, se x ∈ Q
1, se x ∈ R \Q
demonstre que lim
x−→0
f(x) na˜o existe.
13. Fazer o gra´fico das func¸o˜es f dadas (usando
software), explorando diversas escalas para
visualizar melhor o gra´fico numa vizinhanc¸a
da origem. Observando o gra´fico, o que se
pode dizer sobre o lim
x−→0
f(x)?
(a) f(x) = sen( 1
x
)
(b) f(x) = xsen( 1
x
)
(c) f(x) = x2sen( 1
x
)
(d) f(x) = x3sen( 1
x
)
Nos pro´ximos exerc´ıcios, calcule o limite:
14. lim
x−→0
(3− 7x− 5x2).
15. lim
x−→3
(3x2 − 7x+ 2).
16. lim
x−→−1
(−x5 + 6x4 + 2).
17. lim
x−→ 1
2
(2x+ 7).
18. lim
x−→−1
(x+ 4)3
(x+ 2)
.
19. lim
x−→0
(x− 2)10(x+ 4).
20. lim
x−→2
x+ 4
3x− 1.
21. lim
x−→2
x+ 3
x+ 2
.
22. lim
x−→1
x2 − 1
x− 1 .
23. lim
x−→2
x2 + 5x+ 6
x+ 2
.
24. lim
x−→4
3
√
2x+ 3.
25. lim
x−→7
(3x+ 2)2/3.
26. lim
x−→√2
2x2 − x
3x
.
27. lim
x−→2
x
√
x−√2
3x− 4 .
28. lim
x−→pi
2
(2sen(x)− cos(x) + cotg(x)).
29. lim
x−→4
(ex + 4x).
30. lim
x−→− 1
3
(2x+ 3)1/4.
31. lim
x−→2
senh(x)
4
.
32. Para cada uma das seguintes func¸o˜es ache
lim
x−→2
f(x)− f(2)
x− 2 .
(a) f(x) = 3x2
(b) f(x) =
1
x
, x 6= 0
(c) f(x) =
2
3x2
(d) f(x) = 3x2 + 5x− 1
(e) f(x) =
1
x+ 1
, x 6= 1
(f) f(x) = x3.
33. Ca´lcule os limites:
(a) lim
x−→−1
x3 + 1
x− 1 .
(b) lim
x−→−2
x3 + 4x2 + 4x
(x+ 2)(x− 3).
(c) lim
x−→2
x2 + 3x− 10
3x2 − 5x− 2.
(d) lim
x−→ 5
2
2x2 − 3x− 5
2x− 5 .
2
(e) lim
x−→a
x2 + (1− a)x− a
x− a .
(f) lim
x−→4
3x2 − 17x+ 20
4x2 − 25x+ 36.
(g) lim
x−→−1
x2 + 6x+ 5
x2 − 3x− 4.
(h) lim
x−→−1
x2 − 1
x2 + 3x+ 2
.
(i) lim
x−→2
x2 − 4
x− 2 .
(j) lim
x−→2
x2 − 5x+ 6
x2 − 12x+ 20.
(k) lim
x−→0
(2 + x)4 − 16
x
.
(l) lim
x−→0
(4 + x)2 − 16
x
.
(m) lim
x−→0
√
25 + 3x− 5
x
.
(n) lim
x−→1
√
x− 1
x− 1 .
(o) lim
x−→−4
√
2(x2 − 8) + x
x+ 4
.
(p) lim
x−→0
3
√
8 + x− 2
x
.
(q) lim
x−→0
√
1 + x− 1
x+ 4
.
(r) lim
x−→a
3
√
x− 3√a
x− a , a 6= 0.
(s) lim
x−→1
3
√
x− 1
4
√
x− 1.
(t) lim
x−→1
3
√
x2 − 2 3√x+ 1
(x− 1)2 .
(u) lim
x−→4
3−√5 + x
1−√5− x .
(v) lim
x−→0
√
1 + x−√1− x
x
.
(w) lim
x−→2
4
√
x− 4√2
x− 2 .
(x) lim
x−→1
√
x− 1√
2x+ 3−√5.
34. Esboce o gra´fico de um exemplo de uma
func¸a˜o f que satisfac¸a todas as condic¸o˜es
dadas:
(a) lim
x−→1−
f(x) = 2, lim
x−→1+
f(x) = −2 e
f(1) = 2.
(b) lim
x−→0−
f(x) = 1, lim
x−→0+
f(x) = −1,
lim
x−→2−
f(x) = 0, lim
x−→2+
f(x) = 1, f(2) =
1 e f(0) na˜o esta´ definida.
(c) lim
x−→3+
f(x) = 4, lim
x−→3−
f(x) = 2,
lim
x−→−2
f(x) = 2, f(3) = 3 e f(−2) = 1.
35. Se lim
x−→1
f(x)− 8
x− 1 = 10, encontre limx−→1 f(x).
36. Se lim
x−→0
f(x)
x2
= 5, encontre lim
x−→0
f(x) e lim
x−→0
f(x)
x
.
37. Seja f(x) =
{
x− 1, se x ≤ 3
3x− 7, se x > 3 . Cal-
cule:
(a) lim
x−→3−
f(x).
(b) lim
x−→3+
f(x).
(c) lim
x−→3
f(x).
(d) lim
x−→5−
f(x).
(e) lim
x−→5+
f(x).
(f) lim
x−→5
f(x).
38. Seja h(x) =
{
x2 − 2x+ 1, se x 6= 3
7, se x = 3
. Cal-
cule lim
x−→3
h(x). Esboce o gra´fico de h(x).
39. Seja F (x) = |x − 4|. Calcule os limites in-
dicados se existirem:
(a) lim
x−→4+
F (x).
(b) lim
x−→4−
F (x).
(c) lim
x−→4
F (x).
Esboce o gra´fico de F (x).
40. Seja f(x) = 2 + |5x− 1|. Calcule se existir:
(a) lim
x−→ 1
5
+
f(x).
(b) lim
x−→ 1
5
−
f(x).
(c) lim
x−→ 1
5
f(x).
Esboce o gra´fico de f(x).
41. Seja g(x) =
{ |x−3|
x−3 , se x 6= 3
0, se x = 3
.
3
(a) Esboce o gra´fico de g(x).
(b) Achar, se existirem lim
x−→3+
g(x), lim
x−→3−
g(x)
e lim
x−→3
g(x).
42. Seja h(x) =
{ x
|x| , se x 6= 0
0, se x = 0
. Mostrar que
h(x) na˜o tem limite no ponto 0.
43. Determine lim
x−→0+
arctg(
1
x
) e lim
x−→0−
arctg(
1
x
).
44. Verifique se lim
x−→1
1
x− 1 existe.
45. Seja f(x) =

1
x
, se x < 0
x2, se 0 ≤ x < 1
2, se x = 1
2− x, se x > 1
. Es-
boce o gra´fico e calcule os limites indicados
se existirem:
(a) lim
x−→−1
f(x).
(b) lim
x−→1
f(x).
(c) lim
x−→0+
f(x).
(d) lim
x−→0−
f(x).
(e) lim
x−→0
f(x).
(f) lim
x−→2+
f(x).
(g) lim
x−→2−
f(x).
(h) lim
x−→2
f(x).
46. Seja f(x) =
x2 − 25
x− 5 . Calcule os limites in-
dicados se existirem:
(a) lim
x−→0
f(x).
(b) lim
x−→5+
f(x).
(c) lim
x−→−5−
f(x).
(d) lim
x−→5
f(x).
(e) lim
x−→−5
f(x).
47. Calcule os seguintes limites: (Guidorizzi pg
84)
(a) lim
x−→1+
|x− 1|
x− 1 .
(b) lim
x−→1−
|x− 1|
x− 1 .
(c) lim
x−→1
|x− 1|
x− 1 .
(d) lim
x−→0
√
x.
Refereˆncias
[1] GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de
Ca´lculo, vol.1. Rio de Janeiro: LTC,
2008.
[2] FLEMMING, D. M e GONC¸ALVES,
M. B. Ca´lculo A: func¸o˜es, limite,
derivac¸a˜o, integrac¸a˜o. Sa˜o Paulo:
Pearson Prentice Hall, 2006.
[3] STEWART, J. Ca´lculo, vol.1. Sa˜o
Paulo: Cengage Learning, 2010.
4
Respostas:
2) 4
7
ou qualquer positivo menor.
4) 1,44 ou qualquer positivo menor.
6) 0,0906 ou qualquer positivo menor.
7) a) 0,005 b) 0,166... c)0,1 d) 1 e) 0,75.
13) a) @ b) 0 c) 0 d) 0.
14) 3
15) 8
16) 9
17) 8
18) 27
19) 4096
20) 6
5
21) 5
4
22) 2
23) 5
24) 3
√
11
25) 3
√
(23)2
26) 2
√
2−1
3
27)
√
2
2
28) 2
29) e4 + 16
30) 4
√
7
3
31) senh2
4
32) a)12 b) −1
4
c) 8
3
d)17 e) −1
9
f) 12
33) a)−3
2
b) 0
c) 1
d) 7
2
e) a+ 1
f) 1
g) −4
5
h) -2
i) 4
j) 1
8
k) 32
l) 8
m) 3
10
n) 1
2
o) -1
p) 1
12
q) −1
2
r) 1
3
3√
a2
s) 4
3
t) 1
9
u) −1
3
v) 1
w) 1
44
√
8
x)
√
5
2
35) 8
37) a) 2 b) 2 c) 2 d) 8 e) 8 f) 8
38) 4
39) a) 0 b) 0 c) 0
40) a) 2 b) 2 c) 2
41) b) 1, -1, @
42) pi
2
e −pi
2
45) a) -1 b) 1 c) 0 d) −∞ e) 0
f) 0 g) 0 h) 0
46) a) 5 b) 10 c) 0 d) 10 e) 0
47) a) 1 b) -1 c) @.
5