exame_metodos_1S05_gabarito

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MS650A - Exame Final - 03/01/05
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RA:
(1) Resolva, usando transformada de Fourier, a equac¸a˜o
y′′ − y = e−α|x|, −∞ < x <∞,
onde α > 0, α 6= 1, e satisfazendo as condic¸o˜es y(x) = y′(x) = 0 para x→ ±∞.
(2) Resolva, usando transformada de Laplace, o problema{
ux + xut = 0, −∞ < x <∞, t > 0,
u(0, t) = t+ 1, u(x, 0) = 1.
(3) Classifique e encontre a forma canoˆnica da EDP
uxx + (1 + y)
2uyy = 0.
(4) Resolva, usando o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, o problema
utt + 2ut = uxx, 0 < x < pi, t > 0,
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = x,
u(0, t) = 0, u(pi, t) = 0.
i Valor das questo˜es: (1) 2,5 (2) 2,5 (3) 2,5 (4) 2,5
K Algumas fo´rmulas eventualmente u´teis:
F [f(x)] = 1√
2pi
∫ ∞
−∞
f(x)eikx dx, F [f ′(x)] = −ikF [f(x)],
(F [f(x)])′ = iF(xf(x)), F [(f ∗ g)(x)] = F [f(x)]F [g(x)]
L[f(t)] =
∫ ∞
−∞
f(t)e−st dt, L[eatf(t)] = F (s− a),
L[f(t− a)H(t− a)] = e−asF (s), L[f ′(t)] = sF (s)− f(0),
L[tf(t)] = −F ′(s), L−1[F (s)] = 1
2pii
∫ γ+i∞
γ−i∞
F (s)est ds.