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Matemática II exercícios - gabarito com pequenos erros

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Lista de exercícios - Matemática II
Professor: Lucas Cavalcanti
1. Calcule:
(a) ˆ1
pz3
z3d z =1
2z2+3
z+C
(b) ˆ3pu1
pud u =2u3/2+2u1/2+C
(c) ˆ8x5
3
pxd x =24
5x5/315
2x2/3+C
(d) ˆx31
x1d x x 6=1=1
3x3+1
2x2+x+C
(e) ˆx3+3x29x2
x2d x x 6=2=x3
3+5x2
2+x+C
(f) ˆ3v5v5/3d v =v6
23v8/3
8+C
(g) ˆ2v5/4+6v1/4+3v4d v =8v9/4
924 v5/4
51
v3+C
(h) ˆd
d x px2+4d x =px2+4
(i) d
d x ˆx3px4d x =x3px4
2. Resolva a equação diferencial sujeita as condições dadas:
(a) f(x) = 12 x26x+1f(1) = 5R: 4 x33x2+x+3
(b) f(x) = 9x2+x8f(1) = 1R: 3 x31
2x28x9
(c) d y
d x =4x1/2y=21 se x=4R:8x3/2
343
3.
Calcule a integral usando o método de substituição, expresse a resposta
em termos de x.
1

(a) ˆx23
p3x3+7d x =1
12 3x3+74/3+C
(b) ˆ 1+px3
px!d x =2x3/2+x2
2+3x+2px+C
(c) ˆv2pv31d v =2
9v313/2+C
(d) ˆx
3
p12x2d x =3
812x22/3+C
(e) ˆ px+34
px!d x =2
5x5/2+36 x3/2+6x2+108 x+162px+C
4. Escreva como uma integral definida
(a) lim
|| P||→0
n
X
i=13c2
i2ci+5xiR:ˆ(3x22x+5)d x
(b) lim
|| P||→0
n
X
i=13
pci4cixiR:ˆ(3
px4x)d x
5.
Calcule a integral definida, considerando a mesma como sendo a área
abaixo do gráfico da função (esboce o gráfico):
(a) ˆ5
1
6d x =6.(5(1)) = 36
(b) ˆa
0pa2x2d x =πa2
2
(c) ˆ3
0|x1|d x =5
2
6. Calcule sem usar o teorema fundamental do cálculo:
(a) ˆ4
2
5d x =5.(4(2)) = 30
(b) ˆ10
1
p10 d x =9p10
2

(c) ˆ2
2
100 d x =0
7. Expresse com uma única integral:
(a) ˆ1
5
f(x)d x +ˆ5
3
f(x)d x R :ˆ1
3
f(x)d x
(b) ˆd
c
f(x)d x +ˆc
e
f(x)d x R :ˆd
e
f(x)d x
(c) ˆc+h
c
f(x)d x ˆh
c
f(x)d x R :ˆc+h
h
f(x)d x
8. verifique a desigualdade sem calcular as integrais:
(a) ˆ4
1
(2x+2)d x ˆ4
1
(3x+1)d x
i.
(b) ˆ4
2x26x+8d x 0
i.
3