APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 1 
 
 
EMENTA 
 
1 – Introdução à Matemática Financeira 
1.1 - Porcentagem. 
1.2 – Conceitos básicos de capital, juro, taxa, prazo, montante. 
 
2– Capitalização Simples 
2.1- Juros simples utilizando o prazo exato e o prazo comercial. 
2.2– Desconto Simples 
 
3– Capitalização Composta 
3.1 – Juro e Montante compostos 
3.2 – Desconto composto 
3.3 – Taxas equivalentes, efetivas, nominais e proporcionais. 
3.4 – Equivalência composta de capitais 
 
4- Rendas 
4.1- Financiamento 
4.2- Capitalização 
 
5- Empréstimos 
5.1- SAC 
5.2- Sistema Francês (Price) 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 2 
 
1 – Introdução à Matemática Financeira 
 
1.1 Porcentagem 
 
 É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, 
sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: 
 
 A gasolina teve um aumento de 15% 
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 
 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. 
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 
 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. 
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. 
 
 Razão centesimal 
 Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: 
 
 Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: 
 
 As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. 
 Considere o seguinte problema: 
 João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? 
 Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. 
 
 Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. 
 Portanto, chegamos a seguinte definição: 
 
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. 
 
Exemplos: 
 Calcular 10% de 300. 
 
 
 Calcular 25% de 200kg. 
 
 
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. 
 
 EXERCÍCIOS: 
 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. 
Quantos gols de falta esse jogador fez? 
 
 Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 
 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro 
obtida? 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 3 
 
 Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a 
esses R$250,00, resulte nos R$300,00. 
 
 Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. 
 
 Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. 
 Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas 
multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, 
e assim por diante. Veja a tabela abaixo: 
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 
10% 1,10 
15% 1,15 
20% 1,20 
47% 1,47 
67% 1,67 
 
 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 
 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: 
 Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) 
 Veja a tabela abaixo: 
Desconto Fator de Multiplicação 
10% 0,90 
25% 0,75 
34% 0,66 
60% 0,40 
90% 0,10 
 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 4 
 
1.2 – Conceitos básicos de capital, juro, taxa, prazo, montante. 
 
A Matemática Financeira é uma área da matemática que aplica seus conceitos no estudo da variação do dinheiro ao 
longo do tempo. A origem da Matemática Financeira está intimamente ligada a dos regimes econômicos, o 
surgimento do crédito e do sistema financeiro. 
Todo o desenvolvimento da Matemática Financeira está ligado a utilidade do dinheiro, que gera dinheiro, ao contrario 
de sua simples propriedade, que por si só não apresenta rendimento. 
Conceitos, Símbolos e Convenções 
Um dos principais problemas no estudo da Matemática Financeira advem da Babilônia de termos, símbolos e 
conceitos desenvolvidos até hoje. Neste livro buscaremos utilizar os nomes e símbolos de conceitos na língua 
portuguesa. 
Capital 
Capital ou Principal é valor de uma quantia em dinheiro "na data zero", ou seja, no inicio de uma aplicação. Capital 
poder ser o dinheiro investido em uma atividade econômica, o valor financiado de um bem, ou de um empréstimo 
tomado. 
Para evitar problemas com mudanças de unidades monetárias, e para tornar este livro mais amigável a leitores 
lusófonos, utilizaremos sempre uma unidade fictícia, chamada de unidade monetária, abreviada por u.m. ou 
representada por $, junto ao valor. 
Capital pode ser apresentado sob várias siglas e sinônimos: C (de Capital); P (de Principal); VP (de Valor Presente); 
PV (de Present Value); C (Capital Inicial). 
Neste livro iremos representar capital por: 
 
Juros 
Os juros são a remuneração paga pelo uso do dinheiro. Pode ser tanto o rendimento de uma aplicação quanto o juro 
a ser pago em um financiamento. Diferencia-se do capital por que resulta da aplicação financeira, enquanto o capital 
é o motivo da aplicação financeira. Os Juros sempre são expressos em unidades monetárias, e representam o 
montante financeiro referente a uma aplicação. 
Neste livro, o juro será representado por: 
 
Taxa de juros 
A taxa de juros representa a razão entre o juro e o capital (J/C). O cálculo da taxa de juros é responsável pelo 
observação da rentabilidade de uma operação financeira, sendo indispensável para a tomada de decisão de 
investimentos. 
Normalmente é representada em forma percentual. Um valor percentual é um valor que representa a taxa de juros 
para um capital de 100 u.m. Para efeito de cálculo sempre é utilizado a taxa unitária, que é aquela que resulta 
diretamente no juro de um período, quando multiplicada pelo capital. Por exemplo: 0,05 = 5% 
Neste livro, a taxa de juros será representada por: 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 5 
 
Outro item importante a considerar nas taxas de juro, é que elas sempre devem estar de acordo com o período de 
capitalização. Pode-se ter taxas mensais, bimestrais, trimestrais, quadrimestrais, semestrais, anuais. 
Observações: Perceba que se a taxa de juros for mensal o tempo deverá ser descrito em meses, e assim por diante, 
os dois devem estar na mesma unidade de tempo. 
Além disso outra informação muito importante e que as vezes passa por despercebido é o a taxa de juros (i) deve 
estar em forma decimal durante o cálculo e não em percentual. 
Taxa exata e comercial 
A taxa exata é como chama-se a taxa de juros que considera os dias conforme o calendário anual, ou seja, 365 ou 
366 dias no ano, 28, 29, 30 ou 31 dias no mês. 
A taxa comercial é a convenção usada nos mercados, onde se considera meses de 30 dias, e anos de 360 dias (12 
meses de 30 dias). 
Taxa efetiva e nominal 
A taxa efetiva é a taxa que está sendo referenciada ao período de capitalização. 
A taxa nominal é a taxa dada em desconformidade com o período de capitalização. 
Usualmente utiliza-se para conversão, a convenção comercial. Assim, uma taxa anual capitalizada mensalmente 
deve ser dividida pelo número de meses do ano para obter a taxa efetiva. 
Prazo 
O prazo ou período de capitalização é o tempo pelo qual o capital éaplicado. 
Neste livro, o prazo será representada por: 
 
Outras representações: t. 
Montante 
Montante (também conhecido como valor acumulado) é a soma do Capital Inicial com o juro produzido em 
determinado tempo. Matematicamente: 
 (considerando-se a representação de Montante) 
Como é o resultado da soma do capital com o juro, decorre que o montante é calculado apenas no fim da 
capitalização. 
Outras representações: S (de Saldo); VF (de Valor Futuro); FV (de Future Value); C . 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 6 
 
2– Capitalização Simples 
 
2.1- Juros simples utilizando o prazo exato e o prazo comercial 
É comum nas operações de curto prazo, onde predominam as aplicações com taxas referenciais em juros simples, 
ter-se o prazo definido em número dias. Nestes casos, o número de dias pode ser calculado de duas maneiras: 
a) Pelo tempo exato, utilizando -se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O Juro apurado desta 
maneira denomina-se juro exato. 
 
b) Pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Tem-se, por este critério, a 
apuração do denominado juro comercial ou ordinário. 
 
Por exemplo, 12% ao ano equivale, pelos critérios enunciados, à taxa diária de: 
 
a) Juro Exato: 
 
 
b) Juro Comercial: 
 
 
 
Fórmula Juros Simples 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 7 
 
2.2– Desconto Simples 
DESCONTO SIMPLES COMERCIAL 
No sistema financeiro, as operações de empréstimo são muito utilizadas pelas pessoas, tais movimentações geram 
ao credor um título de crédito, que é a justificativa da dívida. Esses títulos possuem datas de vencimento pré-
determinadas, mas o devedor tem o direito de antecipar o pagamento; caso isto aconteça, um abatimento chamado 
de desconto é efetuado. Existem vários produtos utilizados nas operações financeiras, como principais temos: 
Duplicata: papel emitido por pessoas jurídicas contra clientes físicos ou jurídicos, especificando vendas de 
mercadorias com prazo ou prestação de serviços a serem pagos mediante contrato firmado entre as partes. 
 
Nota promissória: título que comprova uma aplicação com vencimento determinado. Este produto é muito utilizado 
entre pessoas físicas e ou pessoas físicas e instituições financeiras credenciadas. 
Letra de câmbio: como a promissória, é um título que comprova uma aplicação com estabelecimento prévio do 
vencimento. No caso da letra, o título ao portador somente é emitido por uma instituição financeira credenciada. 
 
Ao descontar um dos títulos citados ou qualquer outro produto do mercado financeiro, são levadas em conta algumas 
condições: 
Dia do vencimento: o dia estabelecido para vencimento do título. 
Tempo ou prazo: diferença entre o dia do vencimento e o dia da negociação. Essa diferença costuma ser definida 
em dias. 
Valor nominal: valor mostrado no título e que deve ser pago no dia do vencimento. 
 
Valor atual: valor a ser pago ou recebido em data anterior ao vencimento. Comumente efetuado com desconto. 
 
O desconto simples comercial pode ser calculado aplicando a seguinte expressão matemática: 
d = N * i * n 
Na expressão para cálculo do desconto simples temos: 
d = valor do desconto 
N = valor nominal do título 
i = taxa de desconto 
n = tempo (antecipação do desconto) 
A = Valor Atual (descontado) 
Com base na expressão para o cálculo do desconto, podemos estabelecer outra expressão matemática capaz de 
determinar o valor atual comercial, que é dado por: 
A = N – d, 
 A = N*(1 – i * n) 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 8 
 
É importante ressaltar que as operações de desconto comercial devem ser efetuadas em períodos de curto prazo, já 
que em períodos longos o valor do desconto pode ser maior que o valor nominal do título. 
 
Exemplo 1 
 
Um título de R$ 10 000,00 é descontado à taxa de 1,5% ao mês, faltando 25 dias para o vencimento. Determine: 
 
a) o valor do desconto simples comercial. 
b) o valor atual comercial do título. 
 
Temos: 
N = 10 000 
n = 25 
i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015 ao mês = 0,0005 ao dia 
 
a) d = N * i * n 
 d = 10 000 * 0,0005 * 25 
 d = 125 
 
Desconto comercial de R$ 125,00. 
 
b) A = 10 000 – 125 
 A = 9875 
 
Valor atual, o desconto simples comercial será de R$ 9 875, 00. 
 
Exemplo 2 
 
Um título no valor de R$ 4 800,00 foi resgatado anterior ao seu vencimento por R$ 4 476,00 e a taxa de desconto 
comercial utilizada foi de 32,4% ao ano. Determine o tempo de antecipação do resgate. 
 
N = 4 800 
A = 4 476 
i = 32,4% a.a. = 32,4/100 = 0,324 a.a. = 0,324/12 = 0,027 a.m. 
 
A = N*(1 – i *n) 
4476 = 4800*(1 – 0,027 * n) 
4476/4800 = 1 – 0,027n 
0,9325 = 1 – 0,027n 
0,9325 – 1 = – 0,027n 
– 0,0675 = – 0,027n (multiplicar por –1) 
0,0675 = 0,027n 
0,0675/0,027 = n 
n = 2,5 
 
O tempo de resgate do título foi o correspondente a 2,5 meses ou 2 meses e 15 dias. 
3– Capitalização Composta 
 
3.1 – Juro e Montante compostos 
Juros compostos são os juros de um determinado período somados ao capital para o cálculo de novos 
juros nos períodos seguintes. Juros compostos fazem parte de disciplinas e conceitos de matemática 
financeira, e esses juros são representados através de um percentual. 
 
A fórmula de juros compostos pode ser escrita através da remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro. 
O valor da dívida é sempre corrigido e a taxa de juros é calculada sobre esse valor. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 9 
 
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e o mais útil para cálculos de 
problemas do dia-a-dia. 
O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior 
rentabilidade quando comparado ao regime de juros simples, uma vez que juros compostos incidem 
mês a mês, de acordo com o somatório acumulativo do capital com o rendimento mensal. 
Juros compostos são muito usados no comércio, como em bancos. Os juros compostos são 
utilizados na remuneração das cadernetas de poupança, e é conhecido como “juro sobre juro”. 
Os juros compostos em disciplinas de matemática financeira, geralmente são calculados e 
aprendidos com a utilização da calculadora HP 12C, mas também é possível resolver seus cálculos 
e a fórmula no Excel. 
 
3.2 – Desconto composto Racional 
Ao estudarmos o sistema financeiro notamos que o mecanismo atualmente utilizado nas operações é o juro 
composto, o qual entendemos como juros sobre juros. Aplicações financeiras e empréstimos são efetuados por 
inúmeras pessoas no dia a dia, as quais utilizam os produtos oferecidos pelo mercado financeiro, como: 
promissórias, letras de câmbio, ações de empresas, títulos do tesouro nacional, financiamentos, leasing, consórcios 
entre outros. 
Uma operação bastante utilizada no meio financeiro são os descontos, eles se referem ao abatimento que 
recebemos no pagamento de um título antes do vencimento estabelecido. Os descontos podem ser simples ou 
compostos, enfatizaremos nosso estudo nos descontos compostos racionais. 
Ao realizarmos uma aplicação, nosso dinheiro é submetido a um fator de capitalização, que depende do valor 
da taxa de juros e do tempo da aplicação. Já nas situações de desconto, utiliza-se um fator de descapitalização, 
conhecido pela expressão (1 + i)–n. Para determinarmos o valor atual de um título utilizamos a seguinte expressão 
matemática: 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 10 
 
A = N * (1 + i)
–n
 
Onde temos: 
A = valor atual (descontado)N = valor nominal 
i = taxa de desconto n = tempo (antecipação do desconto) 
Exemplo 1 
 
Deseja-se resgatar um título com valor nominal de R$ 8 000,00, faltando 2 meses para o seu vencimento. Determine 
o valor atual, sabendo que a taxa de desconto é igual a 3% ao mês. 
 
N = 8000 
i = 3% = 3/100 = 0,03 
n = 2 
A = ? 
 
 
 
O valor atual do título será de R$ 7 540,80. 
 
Exemplo 2 
 
O valor nominal de um título é de R$ 190 000,00. Seu portador deseja descontá-lo 1 ano e 3 meses antes de seu 
vencimento. Calcule o valor de resgate sabendo que a taxa de desconto composto é de 28% ao ano, capitalizados 
trimestralmente. 
 
N = 190 000 
n = 1 ano e 3 meses = 15 meses = 5 trimestres 
i = 28% ao ano = 7% ao trimestre = 7/100 = 0,07 
A = ? 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 11 
 
 
 
 
O valor atual do título é de R$ 135 467, 37. 
3.3 – Taxas equivalentes, efetivas, nominais e proporcionais. 
Taxas Equivalentes 
Por definição, duas taxas são ditas equivalentes quando produzem um mesmo montante, tendo por base o 
mesmo principal e o mesmo prazo. 
Por exemplo, considerando regime de juros simples, a taxa de 1% ao mês é equivalente à taxa de 3% ao 
trimestre, pois: 
 
exemplificação de taxas equivalentes 
Vemos acima que aplicamos o mesmo principal (R$ 400,00) e o mesmo prazo (6 meses) nos 2 casos, e o 
montante produzido (R$ 424,00) foi o mesmo. 
É preciso ter em mente que o conceito de taxas equivalentes depende do regime de capitalização. As taxas 
de 1% ao mês e 3% ao trimestre são equivalentes em regime de juros simples, mas não são equivalentes em regime 
de juros compostos. Para tirar a prova: 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 12 
 
 
taxas equivalentes em juros simples não o são em juros compostos 
Vemos acima que o montante produzido em juros compostos não é o mesmo. Utilizei aqui o principal de R$ 
400.000,00 para que as diferenças em cada caso ficassem mais claras. Isso mostra como 2 taxas equivalentes em 
juros simples não são equivalentes em juros compostos. O contrário também vale, ou seja, 2 taxas equivalentes no 
regime de juros compostos não são equivalentes em juros simples. 
Encontrar taxas equivalentes no regime de juros simples é fácil, pois nesse regime há uma linearidade que 
permite a conversão com simples regra de 3. 
Por exemplo, qual a taxa semestral equivalente à taxa de 1,5% ao mês? Segue abaixo a resolução. 
 
cálculo de taxa equivalente em juros simples 
Portanto, a taxa semestral equivalente à taxa de 1,5% ao mês é 9% ao semestre. 
Outro exemplo: qual a taxa bimestral equivalente a 6% ao trimestre, em regime de juro simples? 
 
cálculo de taxa equivalente em juros simples 
Portanto, a taxa bimestral equivalente à taxa de 6% ao trimestre é 4% ao bimestre. 
Calcular taxas equivalentes no regime de juros compostos não é tão direto e fácil como em juros simples, 
pois não há proporcionalidade nos cálculos. Vimos que, em juros simples, 1% ao mês é equivalente a 3% ao 
trimestre (o prazo é 3 vezes maior, então a taxa equivalente é 3 vezes maior). Da mesma forma, a taxa anual 
equivalente a 1% ao mês é 12% ao ano (12 vezes maior). 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 13 
 
Em juros compostos, a taxa trimestral equivalente a 1% ao mês é um pouco maior que 3% ao trimestre, 
assim como a taxa anual equivalente é um pouco maior que 12% ao ano. 
As taxas equivalentes em juros compostos podem ser encontradas pela fórmula de conversão ou por uma 
programação simples na HP 12C. Vou explicar os dois métodos (você pode também ver o item 11 da seção dicas 
para a calculadora HP 12C. 
A fórmula para taxas equivalentes pode ser escrita da seguinta forma: 
 
fórmula para taxas equivalentes em juros compostos 
Para encontrar a taxa equivalente (iquero), preciso da taxa de referência (itenho) e dos prazos associados a 
essas taxas (q e t). 
Vou fazer 3 exemplos para ilustrar como inserir os prazos na fórmula, pois é no que as pessoas mais se 
confundem e cometem erros. 
EXEMPLO 1: Qual a taxa semestral equivalente a 2,5% ao mês? 
Vemos facilmente que itenho = 2,5% ou 0,025 na forma decimal. Essa taxa é mensal, portanto t = 1 (prazo 
associado à taxa que tenho). Queremos a taxa semestral, portanto q = 6 (prazo associado à taxa que quero). 
Substituindo esses valores na fórmula: 
 
Portanto, a taxa semestral equivalente a 2,5% ao mês é 15,97% ao semestre. Em juros simples, teríamos 6 x 
2,5 = 15% ao semestre. Vemos que, quando o prazo que quero (q) é maior que o prazo que tenho (t), a taxa 
equivalente em juros compostos é sempre superior à taxa equivalente em juros simples. 
EXEMPLO 2: Qual a taxa trimestral equivalente a 22,5% ao quadrimestre? 
Vemos que itenho = 22,5% ou 0,225 na forma decimal. Essa taxa é quadrimestral, portanto t = 4 (prazo 
associado à taxa que tenho). Queremos a taxa trimestral, portanto q = 3 (prazo associado à taxa que quero). 
Substituindo esses valores na fórmula: 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 14 
 
 
Portanto, a taxa trimestral equivalente a 22,5% ao quadrimestre é 16,44% ao trimestre. Em juros simples, 
teríamos 3/4 x 22,5 = 16,87% ao trimestre. Vemos que, quando o prazo que quero (q) é menor que o prazo que tenho 
(t), a taxa equivalente em juros compostos é sempre inferior à taxa equivalente em juros simples 
. 
EXEMPLO 3: Qual a taxa diária equivalente a 4,5% ao bimestre? 
Vemos que itenho = 4,5% ou 0,045 na forma decimal. Neste caso, como queremos uma taxa diária, é melhor 
trabalhar com o prazo em dias. Assim, a taxa que tenho é bimestral, portanto t = 60 (prazo associado à taxa que 
tenho, em dias). Queremos a taxa diária, portanto q = 1 (prazo associado à taxa que quero, em dias). Substituindo 
esses valores na fórmula: 
 
Portanto, a taxa diária equivalente à taxa de 4,5% ao bimestre é 0,0735% ao dia. Quando trabalhamos com 
taxas diárias, é fundamental trabalhar com várias casas decimais, preferencialmente 6, para não perder precisão nos 
cálculos. 
Para fazer cálculos de taxas equivalentes utilizando programação na HP 12C, veja a dica 13 da seção dicas 
para a calculadora HP 12C. 
 
TAXAS EFETIVAS 
Uma distinção importante nas variações dos tipos de taxas de juros é aquela entre taxas nominais e taxas 
efetivas. Em princípio, de modo básico, as taxas efetivas mantém correspondência com o período de capitalização, 
enquanto as nominais não mantêm essa correspondência (se houver dúvidas quanto ao período de capitalização, 
veja o item 3 da seção "Alguns esclarecimentos básicos sobre taxas de juros", neste mesmo artigo). 
As taxas nominais são expressas normalmente em termos anuais, mas as operações a que se referem têm 
um período de capitalização diferente. Por exemplo, um gerente de banco diz que determinado empréstimo tem taxa 
nominal de 25% ao ano, com capitalização trimestral. Para fazermos os cálculos de juros e montantes, precisamos 
trabalhar com a taxa efetiva, no caso, trimestral. Este é o ponto chave ao lidar com taxas nominais: a conversao da 
taxa nominal para a taxa efetiva é feita usando proporcionalidade (como é feito em juros simples), mas uma vez que 
se encontra a taxa efetiva, os cálculos de juros e montantes são feitos em regime de juros compostos. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 15 
 
Seguindo com o exemplo sugerido, se a taxa nominal é 25% ao ano, com capitalização trimestral, então a 
taxa efetiva é 25/4 = 6,25% ao trimestre. Essa é a taxa efetiva, a ser usada nos cálculos dejuros e montantes, em 
regime de juros compostos. Repare que a conversão da taxa nominal para a taxa efetiva foi feita de modo 
proporcional. Vamos supor que se tome emprestado R$ 2.500,00 e se queira saber o saldo da dívida após 9 meses. 
Nesse caso: 
 
 
A diferença entre os resultados acima ocorre em função de arredondamento na resolução pela fórmula. O 
cálculo pela calculadora financeira é o mais preciso. 
Vemos que a conversão da taxa nominal para efetiva é feita de modo linear, e então, com a taxa efetiva, 
fazemos os cálculos em regime de juros compostos. Uma consequência interessante das taxas nominais é que a 
taxa efetiva, quando considerada no mesmo prazo da nominal, é maior que essa. 
Ilustrando, vimos que no exemplo dado, a taxa nominal é 25% ao ano e a taxa efetiva é 6,25% ao trimestre. 
Se calcularmos a taxa anual equivalente à taxa efetiva trimestral, teremos: 
 
Vemos que a taxa efetiva anual (27,44% ao ano) é maior que a taxa nominal (25% ao ano). Isso acontece 
sempre que o período de capitalização for inferior ao prazo associado à taxa nominal. 
Uma pergunta pertinente com relação à ideia de taxa nominal é: por que usar essa taxa, se devemos 
convertê-la para a efetiva, e não corresponde à realidade dos cálculos? 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 16 
 
Eu sinceramente acredito que é simplesmente uma forma de enganar pessoas desavisadas, "suavizando" o 
valor efetivo das taxas de empréstimos. 
TAXA EFETIVA DO FLUXO DE CAIXA LÍQUIDO 
O conceito de taxa efetiva pode ser considerado como a taxa que reflete o fluxo de caixa líquido, do ponto de 
vista daquele que faz uma aplicação ou toma um empréstimo. 
Por exemplo, suponha que uma pessoa vá fazer uma aplicação em um banco e o gerente do banco informa 
que a taxa da aplicação é pré-fixada em 1,15% ao mês. O aplicador vai fazer um depósito de R$ 7.500,00, esperando 
resgatar em 8 meses. 
O gerente do banco informa que o banco cobrará uma taxa de R$ 85,00 a ser paga no início da operação 
(fora o principal aplicado). Além disso, no resgate haverá cobrança de IR sobre os juros da aplicação, com alíquota 
de 15%. Vamos calcular a taxa efetiva desse fluxo de caixa, supondo que o aplicador fará o resgate daqui a 8 
meses. OBS: essa operação é totalmente fictícia. A taxa cobrada e o IR são dados apenas para ilustrar o conceito de 
taxa efetiva do fluxo de caixa. 
Vamos primeiramente calcular o montante da operação após 8 meses: 
 
Com o montante, calculamos o valor dos juros da operação (montante - principal), que servirá de base para o 
IR: 
 
Se o montante da aplicação é R$ 8.218,42 e será pago IR no valor de R$ 107,76, a entrada de caixa líquida 
para o aplicador será a diferença entre esses dois valores: 
 
Resumindo, no início da operação o aplicador desembolsou R$ 7.500,00 (principal) + R$ 85,00 (taxa) = R$ 
7.585,00. Supondo que fará o resgate em 8 meses, vimos que o resgate líquido (descontado o imposto de renda) é 
de R$ 8.110,66. Logo, o fluxo de caixa do aplicador na operação pode ser expresso da seguinte forma: 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 17 
 
 
A taxa associada a esse fluxo de caixa é a taxa efetiva relativa ao fluxo de caixa da operação. Resolvendo na 
calculadora financeira: 
 
Vemos que a taxa efetiva sobre o fluxo de caixa líquido é menor que a taxa da operação. Para o aplicador 
essa taxa é mais valiosa que a taxa da operação fornecida pelo gerente do banco (1,15% ao mês), pois leva em 
conta a tarifa cobrada pelo banco e o imposto de renda que deverá ser pago no resgate. Ela reflete com mais 
precisão o rendimento que terá com a aplicação. 
Essa aplicação da taxa efetiva sobre o fluxo de caixa líquido é importante e muito usada na rotina de 
investidores e tomadores de empréstimos. 
Taxas proporcionais 
São taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo 
principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de 
juros simples. 
 12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre; 
 1% ao mês é proporcional a 12% ao ano. 
 
Taxa nominal 
é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de 
capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser 
semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais: 
 12% ao ano, capitalizados mensalmente; 
 24% ao ano, capitalizados semestralmente; 
 10% ao ano, capitalizados trimestralmente; 
 18% ao ano, capitalizados diariamente. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 18 
 
A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não representa uma taxa efetiva e, por isso, não deve ser 
usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos. 
Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada 
período de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros 
simples. 
Conforme podemos observar, a taxa efetiva implícita de uma taxa nominal anual é sempre obtida o regime de juros 
simples. A taxa anual equivalente a essa taxa efetiva implícita é sempre maior que a taxa nominal que lhe deu 
origem, pois essa equivalência é sempre feita no regime de juros compostos. Essa taxa anual equivalente será tanto 
maior quanto maior for o número de períodos de capitalização da taxa nominal. 
 
3.4 – Equivalência composta de capitais 
O conceito de equivalência permite transformar formas de pagamentos ou recebimentos em outras 
equivalentes e, conseqüentemente, efetuar comparações entre elas. 
 Consideremos o seguinte exemplo: um prédio é vendido por R$ 5.000.000,00 à vista ou então à prazo, em 3 
parcelas mensais de R$ 1.700.000,00 cada uma, sem entrada. Qual a melhor alternativa para o comprador se ele 
pode aplicar seu dinheiro a juros compostos à taxa de 2% ao mês e tem fundos suficientes para pagar à vista? 
 Uma forma de resolver essa questão é a seguinte: se ele pagar a prazo, após um mês de aplicação ele terá 
R$ 5.100.000,00. Pagando R$ 1.700.000,00 de prestação, sobram-lhe R$ 3.400.000,00. Aplicando R$ 3.400.000,00 
por mais um mês, ele terá no final R$ 3.468.000,00; pagando a 2ª prestação, sobram-lhe R$ 1.768.000,00. Aplicando 
finalmente R$ 1.768.000,00 por mais um mês, ele terá ao final R$ 1.803.360,00, o que dá para pagar a última 
prestação e ainda lhe sobram R$ 103.360,00. Vê-se que é melhor pagar a prazo. 
 Problemas dessa natureza podem ser resolvidos desta forma. Contudo, situações em que o número de 
prestações seja 36, 48 ou mais, seria muito trabalhoso. 
 Veremos a seguir formas mais simples de resolver questões desse tipo. 
 
3.4.1 Equivalência de dois capitais 
 
Consideremos dois capitais, x e y, separados por n períodos de tempo, por exemplo, o primeiro na 
data 0 e o segundo na data n. Dizemos que x e y são equivalentes a uma taxa de juros compostos i, se: 
 
 
n
n
i)(1
y
 x :seja ou y)i1(x


 
 
Exemplo: A uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, R$ 1.500.000,00, daqui a 3 meses equivalem 
quanto hoje? 
 
 
 
 0 3 
1.500.000 
 y 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 19 
 
 
 
Sendo x o capital hoje, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
50,483.413.1$Rx
02,01
1500000
x
i)(1
y
x
3n





 
 
3.4.2 Valor Presente ou Valor Atual deum Conjunto de Capitais 
 
Considerando os capitais 
,y,.......,y,y,y n210
 nas datas 0, 1, 2, 3,......,n, respectivamente. 
Chamamos Valor Presente (PV) ou valor atual (VA) na data 0 desse conjunto, a uma taxa de juros i, à 
soma dos valores equivalentes desses capitais na data 0. 
 
Chamando de PV, o valor presente, teremos: 
 
     n
n
2
2
1
1
0
i1
y
......
i1
y
i1
y
yPV






 
Exemplo: Uma empresa prevê o pagamento de R$ 200.000,00 daqui a um mês e R$ 500.000,00 daqui a 
três meses. Quanto deverá aplicar hoje, a juros compostos, á taxa de 1,5% ao mês para fazer frente a 
essas despesas? 
 0 1 2.........................................n 
 
0y
 
1y
 
2y
...........................................
ny
 
 0 3 
 x 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 20 
 
 
 
       
675.202,83 $RPV
015,01
500000
015,01
200000
 PV
i1
y
i1
y
PV
313
3
1
1 








 
 
RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
0 (g) (CF0) 0,00 Introduz o pagamento no instante 0 
200000 (g) (CFj) 200.000,00 Introduz o pagamento no instante 1 
0 (g) (CFj) 0,00 Introduz o pagamento no instante 2 
500000 (g) (CFj) 500.000,00 Introduz o pagamento no instante 3 
1,5 (i) 1,50 Introduz a taxa 
(f) (NPV) 675.202,83 Calcula o Valor Presente 
 
3.4.3 Conjunto de Capitais Equivalentes 
Consideremos os conjuntos de capitais: 
y0, y1, y2,..........,yn, nas datas 0, 1, 2, 3,.........,n, respectivamente. 
 
 
y’0, y’1, y’2,..........,y’m, nas datas 0, 1, 2, 3,........,m, respectivamente. 
 
Dizemos que esses conjuntos são equivalentes a uma taxa de juros compostos i, se seus valores 
atuais forem iguais. 
 0 1 2.........................................m 
 
0'y
 
1'y
 
2'y
...........................................
m'y
 
 0 1 2.........................................n 
 
0y
 
1y
 
2y
...........................................
ny
 
 
 0 1 2 3 
 200.000 500.000 
 
1y
 y3 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 21 
 
Assim chamando de PV1 e PV2 os valores atuais desses dois conjuntos, devemos ter: 
 PV1 = PV2 
Exemplo: Uma loja vende uma geladeira nas seguintes condições: entrada de R$ 1.000,00 mais uma 
parcela de R$ 1.200,00 após um mês. Um cliente propõe pagar uma entrada de R$ 600,00, mais duas 
prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de 
juros de 3% a.m. , qual o valor de cada parcela, de modo que as duas formas de pagamentos sejam 
equivalentes? 
1ª Forma: 
 
 
   111
1
01
03,01
1200
1000PV
i1
y
yPV




 
2ª Forma: 
 
 
       2122
2
1
1
02
03,01
y
03,01
y
600PV
i1
y
i1
y
yPV








 
como PV1=PV2; 
 
03,1
1200
1000
=
y94259,0y97087,06000485,11651000
03,1
y
03,1
y
600
2

 
 
1565,0485=1,91346y
817,91 $Ry
91346,1
0485,1565
y 
 
 
 
 
 
 
 0 1 
 
000.1
 
200.1
 
 
0y
 
1y
 
 0 1 2 
 
600
 y y 
 
0y
 
1y
 
2y
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira – UNIP - Prof Mário Pina Página 22 
 
4- Rendas 
 
4.1- Financiamento 
4.2- Capitalização 
 
 
5- Empréstimos 
 
5.1- SAC 
5.2- Sistema Francês (Price)