108635 Maquinas Eletricas I R5 20 02 2008

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NOTAS DE AULA DE 
MÁQUINAS ELÉTRICAS I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.: José Geraldo Lanna 
Monitora: Flávia Marcelle M. Brito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte/MG 
2008 
 
Notas de Aula de Máquinas Elétricas I 
Pág. 2 
Sumário 
 
CAPÍTULO I - CONCEITOS BÁSICOS.............................................................................. 3 
 
CAPÍTULO II - CIRCUITO MAGNÉTICO ........................................................................... 6 
 
CAPÍTULO III - A BOBINA (SOLENÓIDE) ....................................................................... 16 
 
CAPÍTULO IV - INDUTANCIA MÚTUA ............................................................................ 24 
 
CAPITULO V - ENERGIA DO CIRCUITO MAGNÉTICO.................................................. 26 
 
CAPITULO VI - PERDAS MAGNÉTICAS NOS MATERIAIS FERROMAGNETICOS....... 35 
 
CAPITULO VII - TRANSFORMADOR IDEAL................................................................... 39 
 
CAPITULO VIII - TRANSFORMADOR REAL .................................................................. 43 
 
CAPÍTULO IX - ENSAIOS DE CARACTERÍSTICAS........................................................ 48 
 
CAPITULO X - AUTOTRANSFORMADOR...................................................................... 58 
 
CAPITULO XI – SISTEMA PERCENTUAL E POR UNIDADE ......................................... 62 
 
CAPITULO XII – TRANSFORMADOR TRIFÁSICO ......................................................... 68 
 
CAPITULO XIII – TRANSFORMADOR INSERIDO NO SISTEMA TRIFÁSICO ............... 80 
 
CAPITULO XIV - RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS UTILIZANDO ¨PU¨ ........ 88 
 
 
Capítulo I – Conceitos Básicos 
Pág. 3 
CAPÍTULO I - CONCEITOS BÁSICOS 
Na natureza existem perturbações de origens diversas, caracterizadas por 
manifestações variadas, tais como: calor, força, luz. Essas manifestações ocorrem 
em uma região do espaço chamada campo. Portanto, campo é um parâmetro 
geométrico, representando onde uma dessas manifestações está ocorrendo. 
Assim, onde o calor de uma fogueira é sentido, diz-se que se está no campo da 
mesma. Do mesmo modo, todo corpo está dentro do campo gravitacional 
terrestre. Baseado nesse conceito, o campo luminotécnico de uma lâmpada é a 
região até onde chegam os raios luminosos da lâmpada. A entidade característica 
da luz é o raio luminoso (lúmen), da gravidade é uma força (Newton) e do calor é 
um raio calorífico. 
O fluxo representa a somatória das entidades unitárias indicadas. Assim, temos 
que o fluxo luminoso de uma lâmpada é a soma de todos os raios luminosos que 
dela emanam. Por exemplo, uma lâmpada fluorescente de 40 W tem fluxo 
luminoso de 2300 lúmens. 
Fluxo magnético(φ) é o número total de linhas de força existente num determinado 
circuito magnético: 
 
A densidade de fluxo relaciona o fluxo e a área em que o mesmo incide 
perpendicularmente. Assim dizemos que o iluminamento sobre o plano de uma 
mesa de trabalho é a relação entre o fluxo luminoso da lâmpada e a área da 
mesa, ou seja: 
A
B φ= ⇒ lux
m
lúmen
=2 
 
Densidade de fluxo magnético (B) se refere à concentração de linhas de força em 
uma dada seção (área): 
A
B φ=
 
 
A intensidade de campo mede onde a manifestação é maior ou menor. No caso 
da iluminação, onde tem mais luz ou menos luz. Normalmente, a intensidade é 
maior nas proximidades da perturbação, por isto, existe mais luz perto da 
lâmpada, assim como, existe mais calor perto da fogueira. Quando afastamos da 
perturbação a intensidade diminui. 
Intensidade de campo magnético (H) é a razão entre a fmm e o comprimento 
médio do circuito magnético, isto é: 
 
l
fmmH =
 
Capítulo I – Conceitos Básicos 
Pág. 4 
Magnetismo é uma perturbação caracterizada por uma manifestação de uma 
força, que pode ser de atração ou repulsão. Por exemplo, corpos de material 
ferroso são atraídos ou repelidos na proximidade de um imã ou de um circuito 
elétrico com corrente circulante. O magnetismo é oriundo de uma ordenação dos 
diversos dipolos existentes em um material. Esta ordenação é obtida na prática, 
atritando-se o material com um imã ou por eletromagnetismo que é a produção de 
magnetismo em um circuito quando uma corrente elétrica circula pelo mesmo. 
Após estes procedimentos aparece a manifestação de força. 
Eletromagnetismo: a corrente elétrica percorrendo um condutor gera na região 
do espaço próxima ao mesmo a manifestação de uma força, ou seja, magnetismo. 
A força é uma grandeza fasorial que apresenta módulo, direção e sentido, 
conforme fig. 1. 
• Módulo: depende do valor da corrente em Ampères e do meio onde se 
instala o circuito; 
• Direção: as forças elementares são mostradas como linhas circulares 
concêntricas em relação ao condutor chamadas de linhas de fluxo; 
• Sentido: segundo a regra da mão direita de Fleming, temos o dedo polegar 
no sentido da corrente, o sentido das linhas de fluxo será indicado pelos 
demais dedo da mão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
corrente I 
(entrando no papel) 
Φ 
Fig. 1 – Linhas de força em um condutor percorrido por uma corrente elétrica 
I (A) 
A 
a 
 C 
Seção AA do condutor 
Capítulo I – Conceitos Básicos 
Pág. 5 
Consideremos agora, um circuito conforme fig. 2. Observando as forças geradas 
pelos condutores 1 e 2, verificamos que na região do espaço entre os dois 
condutores as forças produzidas por ambos se somam, aumentando a intensidade 
magnética nesta região. Nas regiões acima do condutor 1 e abaixo do condutor 2 
a concentração de força é menor do que na região central. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na natureza as perturbações tendem a se propagar partindo das regiões de alta 
concentração (intensidade mais alta) para regiões de baixa concentração 
(intensidade mais baixa). O calor flui do corpo mais quente para o corpo mais frio. 
Deste modo, no condutor 1 aparece uma força para cima e no condutor 2 aparece 
uma força para baixo ficando demonstrado a existência de uma repulsão entre os 
condutores. 
I condutor: 1 
condutor: 2 
I 
F1 
I 
F2 
Fig. 2 – Forças geradas pelos condutores 1 e 2 
1 
2 
Capítulo II – Circuito Magnético 
Pág. 6 
CAPÍTULO II - CIRCUITO MAGNÉTICO 
 
Este circuito é composto de duas partes: 
• dispositivo produtor de fluxo magnético; 
• caminho destinado à passagem do fluxo magnético produzido. 
 
O dispositivo produtor de fluxo magnético é conhecido como bobina ou solenóide, 
sendo de construção simples, é obtido enrolando-se um fio isolado formando 
várias espiras. É essencial que o fio seja isolado para evitar curto-circuito entre as 
espiras. O material que servirá de suporte para o enrolamento pode ser madeira, 
papelão, etc., conforme fig. 3. 
Para se obter fluxo é necessário fazer circular uma corrente elétrica, pois, como 
vimos anteriormente, para produção de magnetismo deve haver corrente elétrica 
percorrendo um condutor. 
Deste modo, o nosso dispositivo produtor de fluxo passa a ser um circuito elétrico 
composto de um fio enrolado (bobina) e uma fonte de tensão que poderá ser 
contínua ou alternada. Essa é a condição para que circule uma corrente elétrica I 
nas N espiras da bobina. Então, aparecem linhas de força concêntricas em torno 
dos condutores das diversas espiras. 
Observando os condutores superiores e inferiores, conforme fig. 3, verifica-se que 
o fluxo magnético resultante na região central é aditivo e tem sentido da direita 
para esquerda. O retorno do fluxo se dá por cima e por baixo, partindo do ponto N 
até o ponto S. O ponto N é chamado de Norte e o ponto S é chamado de Sul. Na 
parte central, o fluxo é φ e nas partes superior einferior é φ/2. 
 
 
 
 
 
 
V 
Fig. 3 – Linhas de força em um enrolamento de N espiras 
N S Φ 
Φ/2 
Φ/2 
Capítulo II – Circuito Magnético 
Pág. 7 
O meio físico no qual se dá o trajeto do fluxo para esse caso (fig. 3) é o ar. Mas, 
poderíamos instalar um material ferroso, como por exemplo, um arame de aço de 
seção circular, conforme fig. 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como o material ferroso conduz melhor do que o ar, a tendência do fluxo é ficar 
confinado nesse material (arame de aço), não havendo condução através do ar, 
correspondente a parte inferior do carretel. Entretanto, na prática, algum fluxo 
retorna pela parte inferior sendo chamado de fluxo de dispersão (φd). 
Portanto, o caminho destinado à passagem do fluxo magnético é chamado de 
núcleo magnético sendo um item importante a ser considerado. Existem diversos 
materiais para construção do núcleo magnético, alguns oferecem um caminho de 
fácil passagem para o fluxo (núcleo de material ferroso), enquanto outros 
apresentam dificuldade a passagem do fluxo (núcleo de ar, madeira, vácuo, etc.). 
Esse grau de dificuldade representa a oposição do meio à passagem de fluxo é 
chamado de relutância. A relutância depende de: 
a) comprimento do trajeto do fluxo (l); 
b) área da seção transversal do material onde o fluxo transita (A); 
c) natureza do material, chamada de permeabilidade do meio (µ). 
 
Temos a expressão matemática que quantifica a relutância: 
 
A
lR
µ
=
 
 
Concluímos que para obtenção de magnetismo a partir de energia elétrica, 
devemos montar um circuito elétrico composto de uma bobina e uma fonte de 
tensão, fazendo circular uma corrente elétrica (I) nas espiras da bobina. Nesse 
circuito elétrico, carregado, surge uma grandeza chamada força magnetomotriz 
(fmm). Esta grandeza vale: 
NIfmm =
 
Fig. 4 – Linhas de fluxo em um enrolamento de N espiras e circuito magnético 
Φ 
Φd 
Arame 
de aço 
Capítulo II – Circuito Magnético 
Pág. 8 
Aparecendo força magnetomotriz, finalmente surge o fluxo magnético (φ), 
caracterizado por um conjunto de forças elementares, representadas por linhas. O 
fluxo é uma grandeza fasorial, cujo módulo é expresso por: 
 
R
NI
R
fmm
==φ
 
 
A permeabilidade dos diversos materiais é relativa a permeabilidade do vácuo, 
cujo valor é: 
Ae
Tm7
0 104
−
= piµ
 
 
Nas aplicações práticas será informada a permeabilidade absoluta, assim todo 
valor dado deverá ser multiplicado por µ0 para relativizá-lo ao vácuo: 
 
0µµµ xr= . 
 
Apresentamos a seguir as grandezas definidas anteriormente e sua respectiva 
unidade no sistema internacional (SI): 
 
 
Grandeza Unidade 
φ : fluxo magnético Wb : Weber 
β : densidade de campo Wb/m2 = T : Tesla 
H : intensidade de campo Ae/m : Ampère espira por metro 
fmm : força magnetomotriz Ae : Ampère x espira 
R : relutância Ae/Wb : Ampère espira por Weber 
µ : permeabilidade Tm/Ae : 
ou Wb/Ae.m 
Tesla x metro por Ampère espira 
Weber por Ampère espira x metro 
 
 
2.1 Analogia entre os circuitos elétrico e magnético: 
 
No circuito elétrico, temos as grandezas fundamentais: tensão, resistência e 
corrente ligadas entre si pela Lei de Ohm. Há circulação de corrente, quando 
uma força eletromotriz é aplicada sobre uma resistência inserida em um 
circuito, conforme fig. 5ª). 
No circuito magnético podemos dizer que há circulação de fluxo magnético, 
quando uma força magnetomotriz, produzida por uma bobina é aplicada sobre 
um núcleo com uma relutância inserida, conforme fig. 5b). 
Capítulo II – Circuito Magnético 
Pág. 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circuito Elétrico Circuito Magnético 
fem (força eletromotriz) fmm (força magneto motriz) 
R (resistência) R (relutância) 
I (corrente) Φ (fluxo) 
σ (condutividade) µ (permeabilidade) 
 
A relutância é um parâmetro que só depende do material, da sua natureza e da 
sua geometria, do mesmo modo que se observa para resistência no circuito 
elétrico. Com efeito, 
A
l
A
lR
σ
ρ == . O parâmetro σ é chamado de condutividade. 
No circuito magnético 
A
lR
µ
= , onde: 
ρ - resistividade; 
σ – condutividade; 
µ - permeabilidade; 
l - comprimento do fio para o circuito elétrico e comprimento do núcleo para o 
circuito magnético; 
A - seção transversal do fio para o circuito elétrico e seção transversal do 
núcleo para o circuito magnético. 
 
2.2 Características dos materiais magnéticos: 
 
Como vimos anteriormente, a permeabilidade é o parâmetro que mede o grau 
intrínseco de oposição que um material oferece à passagem das linhas de 
força. 
Existem os materiais não magnéticos, chamados de diamagnéticos e 
paramagnéticos, cujas permeabilidades são próximas do vácuo 70 104 −= piµ 
Tm/Ae. 
Os materiais ferrosos, entretanto, apresentam permeabilidade elevada em 
relação ao vácuo. Esses materiais são chamados de ferromagnéticos. Para 
fabricação de núcleos magnéticos de transformadores e motores são 
especificados materiais ferrosos aos quais é adicionado silício no percentual de 
até 6% conseguindo uma liga de ótima permeabilidade. 
Fig. 5a) Circuito Elétrico Fig. 5b) Circuito Magnético 
Capítulo II – Circuito Magnético 
Pág. 10 
Os materiais diamagnéticos e paramagnéticos, com permeabilidade próxima a 
do vácuo, obedecem à Lei de Ohm do circuito magnético, havendo uma 
proporcionalidade entre o fluxo magnético (φ) produzido e a força 
magnetomotriz (fmm) produtora do fluxo, conforme mostrado na fig. 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os materiais ferromagnéticos apresentam proporcionalidade entre fluxo e fmm 
para baixos valores de fmm. Para valores elevados de fmm, o fluxo não aumenta 
na mesma proporção do aumento do Ampère-espira. A variação apresenta uma 
reta inicial, enquanto para valores maiores de fmm aparece um patamar horizontal 
chamado de saturação, conforme fig. 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A curva completa, composta da reta e do patamar é chamada curva de 
magnetização. A curva tem no eixo horizontal a intensidade de campo (H) e no 
eixo vertical a densidade de fluxo (B). As unidades são respectivamente Ae/m 
(Ampère-espira por metro2) T (Tesla). 
fmm (Ae) 
φ (Wb) 
Fig. 6 – Curva de magnetização (materiais não magnéticos) 
H
m
fmm
= 
B
A
=
φ
 
proporcionalidade 
saturação 
Bp 
Hp 
Fig. 7 – Curva de magnetização (materiais ferromagnéticos) 
Capítulo II – Circuito Magnético 
Pág. 11 
Para um determinado ponto da curva, conhecendo o valor de B, é possível 
determinar a fmm (Ae) necessária para impelir o fluxo em 1(um) metro linear do 
núcleo considerado. Através da curva também se pode determinar a 
permeabilidade do material, já que: 
H
B
=µ
 
 
2.3 Resolução de circuitos magnéticos: 
 
Os circuitos magnéticos podem ser constituídos por um único material, por dois 
ou mais materiais, ou seja, podem conter trechos de núcleo com diferentes 
permeabilidades, comprimentos e seções. Quando um dos trechos é o ar, 
intercalado entre dois materiais sólidos, o mesmo recebe o nome de entreferro. 
Na fig. 8ª), temos um núcleo com 3 materiais diferentes, formando três trechos 
em série, todos com a mesma seção transversal, porém com diferentes 
comprimentos e permeabilidades. Sendo assim, esse circuito magnético é 
composto por três relutâncias distintas colocadas em série: R1, R2 e R3. A fmm 
será produzida por uma bobina de N espiras, instalada sobre o montante da 
esquerda, na qual circula uma corrente I. A fig. 8b) representa o circuito 
magnético simplificado. 
 
 
 
 
 
 
 
Supondo que sejam conhecidas a fmm, as dimensões (comprimento e seção 
transversal) do núcleo e as permeabilidadesdos materiais, é possível calcular o 
fluxo, aplicando-se a Lei de Ohm. Analogamente, o fluxo magnético que 
corresponde à corrente no circuito elétrico será calculado através da expressão: 
321 RRR
NI
++
=φ 
Fig. 8a) – Circuito magnético Fig. 8b) – Circuito magnético simplificado 
Capítulo II – Circuito Magnético 
Pág. 12 
Para os circuitos com relutâncias em paralelo calculamos a relutância equivalente: 
321
1111
RRRReq
++= , a fmm é a mesma sobre os ramos em paralelo, do mesmo 
modo que a tensão é a mesma nos terminais das resistências em paralelo. O fluxo 
será calculado por: 
eqR
NI
=φ . 
Para os circuitos mistos, calcula-se a relutância equivalente em paralelo, 
simplificando o circuito para relutâncias em série. Ver circuito magnético na fig. 9ª 
e circuito magnético simplificado na fig. 9b. 
 
 
Fig 9ª) Fig 9b) 
 
fmm
R0+Req
Ø
Req=
(2xR1+R2)+(2xR1+R3)
(2xR1+R2)x(2xR1+R3)
Ø
R0
fmm
Ø
Ø
Ø1 Ø2
Ø2Ø1
2xR1+R22xR1+R3
fmm
R0
2xR1+R2R02xR1+R3
fmm
 
 Fig 9a) Circuito magnético 
 Fig 9b) Circuito magnético simplificado
Φ1 Φ2 
Φ1 Φ2 
R0 
Capítulo II – Circuito Magnético 
Pág. 13 
2.4 Exercício Resolvido: 
 
Questão 1: 
 
 
 
 
O circuito magnético acima possui µr aço = 2000 e as dimensões do núcleo são 
constantes para todo o circuito, sendo 2,5cm de espessura e 2,5cm de 
profundidade, exceto a perna central do núcleo que possui 5cm de profundidade. 
Pede-se: 
a) Os fluxos magnéticos; 
b) As densidades de fluxo. 
 
 
Solução letra a): 
 
NIfmm = Aexfmm 2001200 == 
 
A
lR
µ
= 0µµµ xr= 
mAe
Wb
.
104 70
−
= piµ 
 
( )
( ) Wb
Ae
xxxx
R direitoaço 7,598.158105,25,21042000
10.5,79,95,7
47
2
=
++
=
−−
−
−
pi
 
 ( )
( ) Wb
Ae
xxx
xRefd 4,885.273.1105,25,2104
1010,0
47
2
==
−−
−
pi
 
 
( )
( ) Wb
Ae
xxxx
R esquerdoaço 2,917.158105,25,21042000
10.5,795,95,7
47
2
=
++
=
−−
−
−
pi
 
 ( )
( ) Wb
Ae
xxx
xRefe 7,942.636105,25,2104
1005,0
47
2
==
−−
−
pi
 
Capítulo II – Circuito Magnético 
Pág. 14 
Calculando o circuito elétrico equivalente: 
 
 
Wb
AeRRRD efddireitoaço 1,484.432.14,885.273.17,598.158 =+=+= − 
 ( )
( ) Wb
Ae
xxxx
xRC 1,847.31
1055,21042000
1010
47
2
==
−−
−
pi
 
 
Wb
AeRRRE efeesquerdoaço 9,859.7957,942.6362,917.158 =+=+= − 
 
Wb
Aex
RERD
RDxREReq 1,616.5119,859.7951,484.432.1
9,859.7951,484.432.1
=
+
=
+
= 
 
R
fmm
=φ 
 
Wb
RcR
NI
eq
c 00037,01,847.311,616.511
200
=
+
=
+
=φ 
 
Sabemos que ED fmmfmm = , logo ED RExRDx φφ = 
 
555,0
1,484.432.1
9,859.795
===
RD
RE
E
D
φ
φ
 
 
Temos que CED φφφ =+ , ou CEEx φφφ =+555,0 
 
WbE 00024,0555,1
00037,0
==φ 
Capítulo II – Circuito Magnético 
Pág. 15 
WbD 00013,000024,000037,0 =−=φ 
 
Contra prova: 
- A fmm na perna central vale: AexxRcfmm CC 78,111,847.3100037,0 === φ 
- A fmm disponível nas relutâncias em paralelo será: == ED fmmfmm 
Aefmmfmm C 22,18878,11200 =−=−= 
 
Wb
RD
fmmD
D 00013,01,484.432.1
22,188
===φ 
 
Wb
RE
fmmE
E 00024,09,859.795
22,188
===φ 
 
Resumo: WbC 00037,0=φ 
 
WbD 00013,0=φ 
WbE 00024,0=φ 
 
Solução letra b): 
 
A
B φ= 
 
T
xxA
B CC 296,01055,2
00037,0
4 === −
φ
 
 
T
xxA
B DD 208,0105,25,2
00013,0
4 === −
φ
 
 
T
xxA
B EE 384,0105,25,2
00024,0
4 === −
φ
 
 
 
Capítulo III – A Bobina (Solenóide) 
Pág. 16 
CAPÍTULO III - A BOBINA (SOLENÓIDE) 
Trata-se de um dispositivo, constituído de um fio isolado que é enrolado em 
torno de um núcleo feito de um determinado material. Anteriormente, foi 
explicado como este dispositivo transforma energia elétrica em energia 
magnética. 
O comportamento da bobina depende da natureza da fem ou tensão aplicada 
ao circuito elétrico, que pode ser proveniente de uma fonte de tensão contínua 
ou alternada. 
Sob tensão contínua, a corrente terá sentido único consequentemente o fluxo 
também apresentará um sentido único, determinado pela “regra da mão 
direita”. Temos então numa seqüência o aparecimento das seguintes 
grandezas: tensão aplicada (V) ⇒ corrente (I) ⇒ força magnetomotriz (fmm) ⇒ 
fluxo magnético (φ). 
Sob tensão alternada, a corrente não será unidirecional, produzindo um fluxo 
cujo sentido muda em função do tempo, conforme indicado nas figs. 10ª) e 
10b)
. 
 
 
 
 
 
 
Além disso, surge nos terminais da bobina (H1 e H2) uma grandeza adicional, 
denominada tensão induzida (e). Temos então numa seqüência o 
aparecimento das seguintes grandezas: tensão aplicada (V) ⇒ corrente (I) ⇒ 
força magnetomotriz (fmm) ⇒ fluxo magnético (φ) ⇒ tensão induzida (e). 
A produção de tensão induzida é baseada na Lei de Faraday que diz: “Quando 
existe um movimento relativo entre um condutor elétrico e um fluxo magnético, 
aparece no condutor uma força eletromotriz (tensão elétrica)”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 10a) – Circuito magnético Fig. 10b) – Circuito magnético 
N 
Φ 
S 
movimento 
Fig. 11a) – Produção de tensão induzida a partir de fluxo 
Tensão alternada (+V) Tensão alternada (-V) 
Capítulo III – A Bobina (Solenóide) 
Pág. 17 
A produção de tensão induzida pode ocorrer de duas maneiras: 
• Seja um fluxo magnético invariável no tempo, produzido por uma 
corrente contínua (DC), instala-se um condutor elétrico conforme 
mostrado na fig. 11ª). Fornecendo energia mecânica ao condutor de 
modo a movimenta-lo para cima aparece então uma fem no condutor. 
Esta fem é uma grandeza fasorial sendo sua direção e sentido, dados 
pela “regra da mão direita” - o dedo indicador no sentido do fluxo, o 
polegar no sentido do movimento do condutor, o dedo médio indicará o 
sentido da fem induzida. Vê-se aí a conversão de energia mecânica em 
energia elétrica, conforme ocorre nas centrais elétricas. Nesse caso, o 
fluxo é constante e o condutor varia de posição. 
 
 
• Agora, seja um fluxo magnético variável no tempo produzido por uma 
corrente alternada (AC) de valor eficaz (I). Instala-se o condutor 
conforme fig. 11b). Mesmo sem movimento do condutor irá surgir uma 
fem induzida no condutor. Esse é o princípio básico de funcionamento 
dos transformadores. Nesse caso, o fluxo é variável e o condutor é 
estacionário dentro do fluxo (em posição fixa). 
 
I
Ne−~
+
V
Ø
 
O módulo da tensão induzida (e) depende da quantidade de condutores 
enlaçados pelo fluxo. Se a bobina possui N espiras enlaçadas pelo fluxo o valor 
da tensão induzida será dado pela expressão abaixo, onde fica indicada a 
variação do fluxo no tempo: 
dt
dNe φ−=
 
N 
Φ 
S 
Fig. 11b) Produção de tensão induzida a partir de fluxo 
I 
V 
Capítulo III – A Bobina (Solenóide) 
Pág. 18 
O sinal (-) menos dessa expressão indica que essa tensão induzida (e) é 
contrária à tensão aplicada (V) já que o fluxo Φ é função da corrente I e esta 
por sua vez é função de V. Trata-se, portanto de uma força contra-eletromotriz. 
 
Para o nosso estudo, vamos considerar φ o fluxo total produzido pela bobina e 
λ o fluxo concatenado ou enlaçante que pode ser calculado pela expressão 
abaixo: 
φλ N=
 
 
É importante saber diferenciar uma tensão aplicada (V) de uma fem induzida 
(e). A primeira é oriunda de uma fonte de tensão, enquanto a segunda “nasce” 
no condutor, nas entranhas do mesmo e situa-se nos terminais de entrada da 
bobina. 
Cálculo da tensão induzida: 
dt
dNe φ−= como: wtsenmaxφφ = 
temos: ( ) wtNwsenwtdt
dNe cosmaxmax φφ −=−= 
Vemos que a tensão de auto indução é uma cosenoide estando portanto em 
atraso de 90º relativamente ao fluxo.Na figura 11d vemos a onda de tensão V 
adiantada de 90º em relação ao fluxo. A tensão e esta atrasada de.90º em 
relação ao fluxo. Conclue-se que e está defasado de 180º em relação a V. 
Portanto e é uma onda oposta à V( tensão da fonte). 
 
 
 
 
Também podemos explicitar a expressão acima em função da corrente. Para 
isto, vamos conceituar uma grandeza chamada auto indutância (L) ou 
coeficiente de auto indução, que mede a relação entre um fluxo produzido 
por uma corrente e o valor da corrente elétrica que o produz. 
Temos então que 
i
L λλλλ==== iL ••••====λλλλ e e
dt
diL
dt
d
====−−−−====
λλλλ
 onde wtIi senmax= 
A unidade da indutância (L) é o “Henry” e o símbolo é H. O sinal negativo 
refere-se ao enunciado pela Lei de Lenz abaixo. 
Lei de Lenz: Esta lei complementou a Lei de Faraday dizendo que “a tensão 
induzida (e) é contrária à corrente (i)” que lhe deu origem. Se a corrente (i) é 
Fig. 11d) 
Capítulo III – A Bobina (Solenóide) 
Pág. 19 
produzida pela tensão aplicada (V), segue-se que a tensão induzida (e) opõe-
se a tensão aplicada (V), conforme visto linhas atrás. 
Conforme a expressão 





−−=−=
2
cos maxmax
piφφ wtsenNwwtNwe , o valor 
máximo da tensão induzida ocorre para 1
2
=





−
pi
wtsen e será dado pela 
expressão: maxmaxmax 2 φpiφ fNNwe == . 
O valor eficaz será: 
rmsrms fNfNe φφ .244,444.4 max == 
 
Analisando a expressão acima, verifica-se que a tensão induzida depende do 
fluxo que enlaça (fluxo máximo multiplicado pelo número de espiras), da 
quantidade de espiras enlaçadas e da freqüência de variação do fluxo. Sendo a 
curva do fluxo uma senóide e a curva da tensão induzida uma cosenóide 
verifica-se um defaseamento de pi/2 entre elas. Como se trata de um circuito 
puramente indutivo, a corrente (i) e o fluxo (φ) estão atrasados de pi/2 em 
relação à tensão aplicada (V) da fonte. 
Podemos fazer a representação fasorial conforme indicado no diagrama da fig. 
12a e comparar com o diagrama senoidal da fig. 11d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão aplicada (V) está representada formando um ângulo 00 com a 
horizontal. A corrente wtIi senmax= com valor eficaz (I) está atrasada de 900 
em relação à tensão, por se tratar de um circuito puramente indutivo. A tensão 
induzida (e) está atrasada de 900 em relação a corrente e ao fluxo. Com 
relação à V, e está deslocada de 180º e portanto oposta. 
Fisicamente, pode-se dizer que, a tensão induzida (e) se opõe a tensão 
aplicada (V), sendo, portanto uma força contraeletromotriz. As grandezas 
acima descritas estão indicadas na fig 12a. 
Vê-se que, a tensão induzida na bobina é produzida pela corrente que circula 
na mesma bobina, daí chamá-la de tensão de auto indução ou self indução. 
Cálculo da auto indutância (L) de uma bobina: 
Para uma corrente I circulando nas N espiras da bobina, o fluxo concatenado 
será: 
φ 
I 
e (tensão de 
auto indução) 
V (tensão 
aplicada) 
Fig. 12a – Diagrama fasorial 
w 
Capítulo III – A Bobina (Solenóide) 
Pág. 20 
φλ N= como 
i
L λ= temos 
i
NL φ= vimos anteriormente que 
R
Ni
=φ então 
R
NL
2
= substituindo o valor da relutância 
A
lR
µ
= 
teremos: 
l
ANL µ
2
=
 
 
Analisando a expressão acima, verifica-se que a auto indutância depende da 
quantidade de espiras (N) da bobina, da permeabilidade (µ), do comprimento (l) 
e da seção (A) do núcleo. Todos são parâmetros construtivos da bobina e do 
núcleo, portanto a auto indutância é uma grandeza que depende apenas da 
construção da bobina e respectivo núcleo. Para excitação DC, temos 0=
dt
dφ
, 
logo a tensão de auto indução será nula. A corrente DC produz fluxo 
magnético, porem não produz tensão de auto indução. 
Reatância indutiva: 
Do mesmo modo que uma resistência, a bobina oferece oposição à passagem 
da corrente elétrica, oposição esta, cujo nome é reatância, cuja unidade de 
medida é ohm (Ω). O valor da reatância pode ser deduzido como segue: 
φpiφpiφφ fNfNfNfNerms 222244.444.4 max ==== . Dividindo ambos os 
membros da expressão por i temos 
i
fN
i
erms φpi2
= como 
i
NL φ= 
substituindo iLN =φ 
encontramos 
i
fiL
i
erms pi2
= logo: fLX L pi2= 
 
Após as considerações anteriores podemos afirmar que uma bobina real, de 
resistência não desprezível, pode ser apresentada conforme figura 12b abaixo, 
considerando alimentação em AC. 
0I
CV
N Le = 0I X
RI 0=RE
VF ~
XL
R
 Fig. 12b) 
Capítulo III – A Bobina (Solenóide) 
Pág. 21 
Teremos 2(duas) quedas de tensão: ER na resistência e e tensão de auto 
indução na reatância XL A tensão na fonte será: 
 
eEVV RCF
vvvv
+==
 
A energia na resistência produz calor por efeito joule 2OR RI=Ξ 
A reatância produz energia magnética a ser gasta para produzir o fluxo. 
Conforme vamos deduzir mais adiante o seu valor é: 
2
2
1
OL LI=Ξ 
O diagrama fasorial correspondente está indicado na figura 12c abaixo 
−e e
VC
0I
E R
ØFV
 
A tensão ER está em fase com Io. A soma fasorial de ER com (-e ) dá o valor da 
tensão da fonte( VF), que agora está adiantada de um ângulo α menor que pi/2 
devido a introdução da resistência. 
Se a resistência é desprezível, R=0, ER=O. Temos então VF=e O circuito passa 
a ser conforme figura 12d: 
c
j X L
Vc=I 0ee=V
Ø24,44 N f=
0I
N Le = 0I XVF ~
 
 
Neste caso não existe energia térmica (Joule) e apenas energia magnética 
destinada à produção de fluxo. Considerando a excitação em DC, temos que a 
indutância 
R
NL
2
= sempre existe já que depende do número de espiras e da 
relutância do núcleo; portanto apenas da construção da bobina. 
Fig. 12c) 
Fig. 12d) 
Capítulo III – A Bobina (Solenóide) 
Pág. 22 
Entretanto, a reatância indutiva deixa de existir, já que, mesmo sendo 0≠L , 
em DC, a freqüência é nula e vamos ter: 02 == fLX L pi 
Consequentemente, 0== LO XIe e portanto não há tensão de auto indução. 
O circuito apresenta-se conforme mostrado na figura. 
R
I 0 =
V
e = 0
0=LX
L 0
R
0I
V
 
 
 
Existem energia térmica (Joule),e energia magnética para produção de fluxo. 
Se analisarmos sob a equação de Faraday, temos: 0244,4 == φNfe uma vez 
que f=0 comprovando, mais uma vez, que a tensão de auto indução é nula 
quando a excitação for em DC. O circuito fica mais simples conforme mostrado 
na figura 12e acima. 
 
Vamos agora estudar a variação da relutância do núcleo e a sua influencia nas 
demais grandezas. Para tanto vamos elaborar um quadro para DC e outro para 
AC. 
 
Em DC: 
 
R L XL IO fmm Φ ΣR Σm 
(l/µA ) (
R
N 2 ) (2pif L) ( R
V
 ) ( ONI ) (
R
NIO ) RI0
2 2
2
1
LT
 
⇑ ⇓ 0 constante constante ⇓ constante ⇓ 
⇓ ⇑ 0 constante constante ⇑ constante ⇑ 
 
Em AC: 
 
R L XL IO fmm Φ ΣR Σm 
⇑ ⇓ ⇓ ⇑ ⇑ * ⇑ ⇑ 
⇓ ⇑ ⇑ ⇓ ⇓ * ⇓ ⇓ 
 
* Se a bobina tiver uma resistência desprezível em relação à reatância, 
temos o seguinte entendimento: se a relutancia aumentar, a consequente 
Fig. 12e) 
Capítulo III – A Bobina (Solenóide) 
Pág. 23 
redução de L e XL aumentará o valor de Io Analisando a expressão do fluxo 
R
NIO
=Φ podemos dizer que a corrente Io e a relutancia ( R ) aumentam na 
mesma proporção mantendo o fluxo constante. 
 
Capítulo IV – Indutância Mútua 
Pág. 24 
CAPÍTULO IV - INDUTANCIA MÚTUA 
 
Vamos estudar agora a influência que uma bobina (1) exerce sobre uma outra 
bobina (2), ambas instaladas sobre o mesmo núcleo magnético. 
A bobina (1) tem N1 espiras enquanto a bobina (2) tem N2espiras. Excita-se a 
bobina (1) com uma fonte AC. A bobina (1) vai produzir um fluxo φ1 variável 
com o tempo. Esse fluxo, por sua vez, gera uma tensão de auto-indução (e1) 
na própria bobina (1), contrária à tensão aplicada V1 pela fonte AC. Por outro 
lado, este fluxo também enlaça as N2 espiras da bobina (2) conforme fig. 13ª). 
Na fig. 13b) é apresentado o diagrama fasorial, indicando a posição relativa das 
grandezas. 
 
 
Como esse fluxo é variável no tempo, será induzida uma tensão de mútua (e12) 
nos terminais da bobina (2). Trata-se de uma tensão induzida em uma bobina 
por um fluxo gerado por outra bobina. Esse fenômeno é chamado de mútua 
indução e a tensão induzida chama-se tensão de mútua indução. 
Por convenção indica-se a polaridade instantânea considerando como positivo 
o terminal onde a corrente deixa a bobina para o circuito externo. 
O valor de (e12) será conforme lei de Faraday: max.121212 44,4 φφ fNdt
d
Ne == . 
Analisando essa expressão, verifica-se que as espiras são da bobina 2 (N2) e o 
fluxo φ1 é produzido pela bobina (1). A bobina (1) que foi excitada por uma 
fonte externa, chama-se primário e a bobina (2), onde a tensão foi 
mutuamente induzida, tem o nome de secundário. No primário temos: tensão 
aplicada (V1), corrente primaria (I1), fluxo produzido (φ1), e tensão de auto 
indução (e1). Na bobina secundaria, temos apenas a tensão de mútua indução 
(e12) produzida pelo fluxo (φ1) originado no primário. 
 
Aqui também temos o coeficiente de mútua indução ou indutância mútua, cujo 
símbolo é (M). 
Cálculo da indutância mútua (M): 
Temos que 
1
1
212 I
NM
φ
= como 
R
IN 11
1 =φ teremos: R
NN
M 2112 = 
Fig. 13a) Circuito magnético Fig. 13b) Diagrama fasorial 
φ1 
I1 
e12 V1 e1 
w 
Capítulo IV – Indutância Mútua 
Pág. 25 
Podemos também considerar a excitação da bobina (2) e tensão de mútua 
indução na bobina (1). Assim temos: 
2
2
121 I
NM
φ
= onde o fluxo (φ2) será produzido pela corrente I2 
R
IN 22
2 =φ teremos: R
NN
M 2121 = 
 
Como se vê: 
R
NN
MMM 212112 === 
 
É também uma grandeza que depende, exclusivamente, da construção das 
bobinas e do núcleo sobre o qual ela está montada. A unidade da indutância 
mútua é o “Henry”. 
Vamos deduzir uma expressão relacionando as indutâncias de auto e de 
mútua. 
Temos que 
R
N
L
2
1
1 = e R
N
L
2
2
2 = logo: 2
2
2
2
1
21 R
NN
xLL = 
 
M
R
NN
LL == 2121 
 
A indução mútua é à base da transferencia da energia de um enrolamento 
para outro enrolamento, desde que acoplados magneticamente. Inicialmente, a 
energia do circuito elétrico da bobina (1) foi transformada em energia 
magnética com a produção do fluxo (φ1). Posteriormente, a energia magnética 
deste fluxo (φ1) foi armazenada na bobina (2) disponibilizando nessa, 
novamente uma tensão elétrica. 
Capítulo V – Energia do Circuito Magnético 
Pág. 26 
CAPITULO V - ENERGIA DO CIRCUITO MAGNÉTICO 
A energia elétrica na entrada de uma bobina é transformada em fluxo magnético, 
no núcleo, gerando uma energia magnética (Ξ) que fica disponibilizada no 
núcleo. O nosso objetivo, neste momento, é calcular esta energia. Podemos 
explicitá-la em função da auto indutância, ou do fluxo magnético, ou do volume do 
núcleo. 
Considerações: 
dt
dNe φ= ; 
i
NL φ= ; BA=φ ; 
R
NL
2
= 
 
a) Em função da auto indutância: 
 
diiLdti
dt
diLdti
dt
dNdtied ...... ====Ξ φ 
 
∫∫ ==Ξ diiLdiiL ... , temos que: [ ]JLi 22
1
=Ξ
 
b) Em função do fluxo magnético: 
 
2
2
22
.
2
1
2
1
L
NLLi φ==Ξ , temos que: [ ]J
L
2
2
1 λ
=Ξ . [ ]J
L
N 22
2
1 Φ
=Ξ [ ]JR 2
2
1 φ=Ξ
 
 
c) Em função do volume do núcleo: 
 
ABlAB
A
lARB
L
ABN
L
N 22222
22
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
µµ
φ
=====Ξ 
Chamando “v” o volume do núcleo, temos que : [ ]JBv 2
2
1
µ
=Ξ
 
Enfatizamos que, uma bobina com resistência desprezível, converte a energia 
elétrica que lhe é entregue para energia magnética. Entretanto, não há conversão 
desta última em trabalho mecânico ou em calor; ou seja, a energia não é ativa. No 
primeiro semiciclo da corrente, a energia elétrica flui da fonte para bobina sendo 
convertida em energia magnética e fica armazenada na bobina nesta forma. No 
semiciclo negativo da corrente, a energia armazenada anteriormente, flui da 
bobina para fonte de tensão. Esta energia cíclica, que vai e volta chama-se 
energia reativa. Para ser possível a conversão desta energia magnética na forma 
de energia ativa, mecânica, por exemplo, que é a mais comum, esta energia 
magnética deve ser variada. Para isto, pode-se manter constante a amplitude da 
corrente no circuito elétrico DC, variando-se a relutância do núcleo. Teríamos 
então dois estados de funcionamento, caracterizados por duas relutâncias 
diferentes R1 e R2. Na fig. 14ª, a relutância R1 é representada pela curva de 
magnetização do núcleo oa. Quando se varia o estado do núcleo, por exemplo, 
variando um entreferro, a relutância muda para R2, representada pela curva de 
Capítulo V – Energia do Circuito Magnético 
Pág. 27 
magnetização ob. Vê-se que, o fluxo magnético variou de φ1 para φ2. Houve, 
portanto, uma variação da energia magnética, correspondendo aos dois estados 
0a e 0b. A área hachurada, representa a variação de energia magnética e a 
conversão em energia mecânica gasta para mover o núcleo e variar a relutância. 
 
O trabalho gasto para movimentar a parte superior (parte móvel) do núcleo, vale: 
 
FdxdWmec ==== 
 
A variação da energia magnética entre oa correspondente a relutância R1 e ob 
correspondente a relutância R2 vale dWm . 
A energia elétrica para suprir a variação da energia magnética vale: 
eidtdWl ==== onde dt é o tempo gasto na variação. 
Temos então: 
 
dWmecdWmdWl ++++==== 
 
FdxdWmeidt −−−−==== 
 
como 
dt
d
e
λλλλ
==== vem dWmecdWmdti
dt
d
++++====••••••••
λλλλ
 então: 
FdxiddWm −−−−==== λλλλ (equação 1) 
 
Se o entreferro for mantido constante, X= constante, 0====dx 
 
λλλλiddWm ==== 
 
nessa condição a energia magnética é igual a energia elétrica fornecida e não há 
conversão em energia mecânica, apenas armazenamento no núcleo magnético. 
Chamamos a atenção que a energia magnética dWm é função do fluxo magnético 
do núcleo e da posição relativa do núcleo (fig.14b). 
Capítulo V – Energia do Circuito Magnético 
Pág. 28 
Portanto temos: 
 
),( xfWm λλλλ==== 
 
dx
x
WmdWmdWm
∂∂∂∂
∂∂∂∂
++++∂∂∂∂
∂∂∂∂
==== λλλλλλλλ
 
 
comparando com a equação 1 temos: 
 
λλλλλλλλ
λλλλλλλλ dxWmid ∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
),(
 
 
dx
x
xWmFdx
∂∂∂∂
∂∂∂∂
−−−−====
),(λλλλ
 ou 
 
λλλλ
λλλλ
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
),( xWmi 
 
x
xWmF
∂∂∂∂
∂∂∂∂
−−−−====
),(λλλλ
 
 
∫∫∫∫====
λλλλ
λλλλλλλλ
0
)( diWm 
Assim, conhecendo-se a variação de energia magnética, pode-se determinar o 
valor da corrente no circuito elétrico e a força produzida no dispositivo conversor. 
 
5.1 Exercício Resolvido 
 
Questão 1: 
 
Determinar a energia e a força gerada no entreferro de um circuito magnético 
onde a variação abaixo deve ser verificada: 
 
2
2
2
x
N
fmm λ= 
 
Solução: 
 
2
2
2
x
N
Ni λ= ∴∴∴∴ 23
2
x
N
i λ= 
 
∫∫∫∫∫∫∫∫ ============
λλλλλλλλ λλλλ
0
2
3
2
0
dxx
N
idiWm 
Capítulo V – Energia do Circuito Magnético 
Pág. 29 
23
3
3
2
0
2
3
2
3
1
3
x
N
xdx
N
x φλλ
λ
=•== ∫ 
 
x
x
NF δδδδ
λλλλδδδδ )
3
( 23
3
••••
==== 
 
x
N
F 2
3 3
3
••••====
λλλλ
 
 
x
N
F ••••••••====3
3
33
2 λλλλ
 
 
x
N
NF ••••••••==== 3
33
3
2 φφφφ
 
 
xF ••••••••==== 3
3
2 φφφφ 
 
Escolhendo 2 valores quaisquer; como x=0,20m wb035,0=φ 
NF 0000057,020,0035,0
3
2 3
====••••••••==== 
 
Os entreferros apresentam grande valor de relutância e de energia armazenada. 
Quando se varia o entreferro, altera-se a relutância, obtem-se, portanto variação 
da energia magnética. 
Esta energia, na prática, manifesta-se através de ação de uma força F de tração 
entre as faces do entreferro conforme figura 14c. 
 
 
Capítulo V – Energia do Circuito Magnético 
Pág. 30 
Se Eef é a energia armazenada no entreferro e lef é o comprimento do entreferro, 
podemos escrever: 
 
eflFEef ••••==== 
7
2
7
2
22
2
1081042
1
2
11
2
12
1
−−−−−−−−
••••
••••
====
••••••••
••••••••
====••••••••====••••••••••••••••====
••••••••
========
pipipipipipipipiµµµµµµµµ
µµµµ ABBABA
l
BlA
l
Bv
l
E
F
ef
ef
efef
ef
 
 
7
2
108 −−−−••••
••••
====
pipipipi
ABF 
 
F – Newton 
B – Tesla 
A – m2 
 
 
Questão 2: 
Calcular a corrente no eletroímã da figura a seguir, de modo a permitir o 
levantamento da peça inferior, de ferro fundido, que pesa 65Kg. 
 
 
 
Cada entreferro lenvantará 32,5kgf = 324N 
 
7
2
108 −−−−••••
••••
====
pipipipi
ABF 
Capítulo V – Energia do Circuito Magnético 
Pág. 31 
 
02.1
108
324 27
2
=∴
•
•
=
−
BAB
pi
 
 
00.1====B T 
0008,042101 4 ====••••••••••••====••••==== −−−−ABθθθθ wb 
 
wb
AeRaço 248805
10421042000
1050
47
2
====
••••••••••••••••••••
••••
====
−−−−−−−−
−−−−
pipipipi
 
 
wb
AeRff o 254.426
1042104700
1030
47
2
====
••••••••••••••••••••
••••
====
−−−−−−−−
−−−−
pipipipi
 
 
 
wb
Ae
ntreferro 229.952.9114.976.42
1042104
105,02Re 47
2
====••••====
••••••••••••••••
••••••••
====
−−−−−−−−
−−−−
pipipipi
 
 
wb
Aeq 558.627.10Re ==== 
 
Aefmm 85020008,0558.627.10 ====••••==== 
 
Ai 17
500
8502
======== 
 
 
No entreferro aberto ( curva Oa fig. ...) 
 
Aia 17==== Aefmm 502.8==== 
HLa 0235,0
558.627.10
5002
======== 
 
No entreferro fechado ( curva Ob fig. ..) 
 
wb
Ae329.675524.426805.248Re ====++++==== 
HLb 37,0
329.675
5002
======== 
 
ΩΩΩΩ====••••••••======== 85,80235,06028,62 fLaX La pipipipi 
 
VV 45,1501785,8 ====••••==== (tensão necessária para o atracamento) 
Capítulo V – Energia do Circuito Magnético 
Pág. 32 
ΩΩΩΩ====••••••••======== 13937,06028,62 fLbX Lb pipipipi 
 
Aib 079,1
139
150
======== 
 
A redução no valor da corrente foi de 17-1,079=15,92ª 
Não há variação do fluxo conforme se comprova abaixo. 
 
wbaberto 000799,010627558
8502
==φ 
 
wbxfechado 0007988,0675329
500079,1
==φ 
 
 
 
 
 
Fig. Xx - Variação de fluxo 
 
 
Variação da energia magnética. 
Podemos variar a energia do circuito magnético, variando a relutância e 
conseqüentemente a indutancia 
Pode-se também variar a corrente no circuito elétrico(Ver expressões de pág.26) 
No caso de excitação e DC, podemos variar a energia, mantendo a corrente 
constante e variando a relutância do núcleo de Rb para Ra. O fluxo no núcleo ira 
variar de θb para .θa.. Se N for o numero de espiras da bobina, os fluxos 
concatenados serão: 
aa NΦ=λ e bb NΦ=λ 
Genericamente, a energia toma a forma da expressão: 
wb
Ae
 
wb
Ae
 
Capítulo V – Energia do Circuito Magnético 
Pág. 33 
λdId o=Ξ e ∫=Ξ
λ λ
0
dIO 
No caso de excitação em AC, com uma bobina de resistência desprezível, que 
.contem uma indutância pura, temos a variação conforme figura: 
 
 
 
A variação da relutância de Ra para Rb acarretará a variação di da corrente, 
mantendo o fluxo constante. De uma maneira geral, a energia toma a forma da 
expressão: 
did λ=Ξ e ∫=Ξ
i
di
0
λ 
Em DC a indutância do circuito será 
R
NL
2
==== . Para o entreferro aberto a relutância 
será máxima = (Rmax.) então L será mínimo. A reatância XL=0 já que f=0. A 
corrente i será então definida por 
r
Vi DC==== onde r é a resistência ôhmica da 
bobina. 
Para o entreferro fechado a relutância será mínima = (Rmin.) e a indutância 
R
NL
2
==== será máxima 
Apesar da indutância aumentar, a reatância permanecerá nula já que f=0 
Teremos então 
R
Vi DC==== o que demonstra que a corrente não altera com a 
variação do entreferro quando a excitação é em DC. 
No caso de excitação em AC teremos: 
Capítulo V – Energia do Circuito Magnético 
Pág. 34 
 
 
Entreferro aberto, relutância máxima, indutância mínima, reatância mínima e 
corrente máxima. 
Entreferro fechado, relutância mínima, indutância máxima, reatância máxima e 
corrente mínima. 
Portanto, variando-se o entreferro sob corrente alternada, a corrente de 
alimentação é máxima com entreferro aberto e mínima com entreferro fechado. 
 
 
Questão 3: 
 
Calcular a energia nos entreferros para o circuito do exercício resolvido no item 
2.4 da apostila. 
 
Solução: 
 
2
2
1 Bv
µ
=Ξ 
 ( ) 2
7
24
2 208,0
104
101,0105,25,2
2
1
2
1
×
××××
×==Ξ
−
−−
piµ Do
efd
efd B
v
 
Jefd 01076,0=Ξ 
 ( ) 2
7
24
2 384,0
104
1005,0105,25,2
2
1
2
1
×
××××
×==Ξ
−
−−
piµ Eo
efe
efe B
v
 
Jefe 01834,0=Ξ 
 
Capítulo VI – Perdas Magnéticas nos Materiais Ferromagnéticos 
Pág. 35 
CAPITULO VI - PERDAS MAGNÉTICAS NOS MATERIAIS 
FERROMAGNETICOS 
Estas perdas são devidas a dois fatores: 
a) Perdas por histerese: na fig. 15 está representada a variação do fluxo 
magnético com a corrente de excitação que circula na bobina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Partindo da origem, ponto para o qual, o material está desmagnetizado, já 
que a fmm e o fluxo são nulos, vai se aumentando a corrente para o lado 
positivo e o material se magnetiza conforme a curva de magnetização oa 
atingindo a saturação no ponto a. Em seguida a corrente é reduzida, o fluxo 
reduz, porém não cai à zero, mantendo um valor residual correspondente à 
ordenada ob. Este fluxo residual é conhecido também como remanente ou 
remanescente. Invertendo-se o sentido da corrente, será produzida fmm de 
sentido contrário à anterior. Será necessário gastar uma quota de fmm para 
retirar o magnetismo residual, operação representada pelo trecho bc. Vê-se 
que, no ponto c, o fluxo é nulo e a abscissa oc, representa a quantidade de fmm 
gasta para desmagnetizar o núcleo em análise. Esta abscissa oc chama-se 
força coercitiva. Em seguida, aumentando-se a fmm para o lado negativo, 
temos uma nova curva de magnetização correspondente ao trecho cd. Um 
acréscimo de fmm obedecendo ao trecho de resultará no magnetismo residual 
oe e força coercitiva of. Continuando o processo, aumentando a fmm para o 
lado positivo, atingimos novamente o ponto a através do trecho fa fechando o 
ciclo. A área interna deste ciclo representa uma perda de energia e pode ser 
medida por integração. Verifica-se que a quantidade de ciclos produzidos 
depende da freqüência de onde se deduz que as perdas por histerese 
dependem da freqüência. 
Fig. 15 – Curva de histerese 
Capítulo VI – Perdas Magnéticas nos Materiais Ferromagnéticos 
Pág. 36 
As perdas podem ser empiricamente determinadas pela formula de 
Steinmetz: 
 
2
100
B
fkpH = 
 
onde k é uma constante para cada material (coeficiente de perdas por 
histerese). Para chapa magnética de aço silício de baixa liga, k ≈ 4.5 e para aço 
de alta liga k ≈ 2,70. 
Unidades:





kg
WpH : ; 



2:
m
WbB ; [ ]Hzf : . 
Fisicamente, estas perdas representam a energia gasta pelos dipolos para 
mudar de direção dentro do material. 
b) Perdas por correntes de Foulcaut: na fig. 16, está representado um 
núcleo ferromagnético e seção AA da culatra superior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vê-se que, o núcleo sendo metálico, pode ser um condutor elétrico, e mais, 
está estacionado dentro de um fluxo magnético variável com o tempo. Aplica-se 
então a Lei de Faraday, e uma tensão elétrica é induzida no núcleo. O material 
do núcleo forma um circuito elétrico fechado e esta tensão induzida faz circular 
corrente no sentido indicado pela regra da mão direita. A função precípua do 
núcleo é conduzir fluxo e não corrente elétrica. Estas correntes irão aquecer o 
núcleo devido ao efeito Joule e são, portanto indesejáveis. 
Fig. 16 – Núcleo ferromagnético de seção AA 
i 
i 
Ф 
seção AA 
Capítulo VI – Perdas Magnéticas nos Materiais Ferromagnéticos 
Pág. 37 
A determinação quantitativa destas perdas pode ser feita pela fórmula a 
seguir: 
 
2
2
100
BfkpF 





=
 
 
onde as unidades são as mesmas da expressão anterior. Nota-se que, as 
perdas por Foulcaut aumetam com o quadrado da freqüência, portanto são 
mais acentuadas do que as perdas por histerese que aumentam com a primeira 
potência da freqüência. O valor de k é função da espessura da chapa e do 
material do núcleo. Assim temos: 
 
 
Descrição Espessura K 
Chapa de baixa liga 1mm 22,40 
Chapa de baixa liga 0,5mm 5,60 
Chapa de baixa liga 0,35mm 3,20 
Chapa de alta liga 0,5mm 1,20 
Chapa de alta liga 0,35mm 0,60 
 
 
 
 
Capítulo VI – Perdas Magnéticas nos Materiais Ferromagnéticos 
Pág. 38 
Nota: os valores de 
H
B
 já estão multiplicados por µo = 4pi10-7. 
CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
1,000
1,100
1,200
1,300
1,400
1,500
1,600
1,700
1,800
0 80 160 240 320 400 480 560 640 720 800 880 960 1040 1120 1200
AÇO SILÍCIO
AÇO FUNDIDO
FERRO FUNDIDO
T== 2
m
Wb
B
m
Ae
H
Capítulo VII – Transformador Ideal 
Pág. 39 
CAPITULO VII - TRANSFORMADOR IDEAL 
O transformador é uma máquina constituída de um núcleo de material 
ferromagnético, normalmente aço silício para freqüência industrial até 100 Hz, e 
de material magnetodielétrico para freqüências elevadas. O núcleo é constituído 
de dois montantes (pernas esquerda e direita) e duas culatras (inferior e superior). 
Sobre os montantes do núcleo são enroladas duas bobinas, sendo bobina 1 com 
N1 espiras e bobina 2 com N2 espiras, (conforme mostrado na fig 17ª). O conjunto 
acima descrito (núcleo + bobinas) é conhecido como parte ativa e pode ser 
colocado dentro de um tanque contendo óleo isolante cujas finalidades são isolar 
e resfriar o transformador. Esse transformador é do tipo imerso em óleo. O 
transformador que não possui tanque, apenas a parte ativa é chamado de tipo 
seco. 
 
 
 
 
 
 
Funcionamento em vazio (no load): 
Chamando a bobina 1 (N1) de primária e a bobina 2 (N2) de secundária, vamos 
excitar a bobina primária N1, aplicando uma fonte senoidal de tensão, cujo valor 
eficaz é V1, conforme indicado na fig. 17ª). Vimos no capítulo III que surgem na 
seqüência: corrente I0, fluxo φm e tensão de auto indução e1 que também 
aparecem indicadas na fig. 17ª). A tensão e1 é uma força contraeletromotriz, 
contrária à V1. As grandezas mencionadas estão situadas na bobina primária, 
exceto o fluxo que é produzido no primário, mas transita no núcleo. Esse por sua 
vez, pertence às duas bobinas, já que é comum a ambas. Pode-se dizer então que 
o núcleo promove o acoplamento magnético entre as bobinas N1 e N2 permitindo 
que o fluxo φm transfira energia da bobina N1 para bobina N2. O acoplamento 
magnético é um efeito de indução mútua, quantificado pelo coeficiente de mútua 
indução 
R
NN
M 21= e o resultado da transferência é o aparecimento de uma 
tensão elétrica de mútua indução e12 nos terminais da bobina N2. Salientamos que 
as bobinas são isoladas eletricamente entre si, o que comprova que a geração de 
tensão no secundário é por via magnética, através do fluxo φm. As tensões e1 e e12 
são geradas pelo mesmo fluxo φm, portanto, ambas estão em fase e possuem o 
mesmo sentido, conforme diagrama fasorial da fig 17b). Observa-se, também que 
a tensão e12 fica disponível no secundário, porém não há corrente no secundário 
I0 
V1 
φm 
e1 e12 
Fig. 17a) Transformador a vazio Fig. 17b) Diagrama fasorial 
w 
Capítulo VII – Transformador Ideal 
Pág. 40 
já que o circuito do mesmo está aberto. Portanto, não há potência, nem energia 
sendo entregue pelo secundário à carga. A energia que entra pelo primário é 
gasta para: 
• produzir o fluxo (φm); 
• suprir as perdas por histerese e Foulcaut (PHF) situadas no núcleo. 
 
Funcionamento com carga no secundário (on load): 
Neste caso, fecha-se à chave S e uma corrente I2 flui conforme indicado na fig. 18, 
observando a Lei de Lenz. “O sentido da corrente é tal que tende a contrariar a 
tensão que lhe deu origem”. Como a tensão e12, tende impelir corrente saindo para 
carga pelo terminal X2, pela Lei de Lenz a corrente I2 sai para carga pelo terminal 
X1. A corrente I2 gera um fluxo φ2 contrário à φm cujo sentido é determinado 
aplicado-se a regra da mão direita. Por sua vez, o fluxo φ2 gera duas tensões 
induzidas: e2 e e21, uma de auto indução no secundário 
max22
2
2
2
22 44.4 φφ fNdt
di
L
dt
d
Ne =−=−= , e outra de mútua indução no primário 
max21
22
121 44.4 φφ fNdt
di
M
dt
d
Ne =−=−= . Como os fluxos φm e φ2 são contrários, 
conseqüentemente as tensões primárias (e1) e (e21) também o são. Portanto, 
haverá uma redução transitória da tensão nos terminais H1 e H2 da bobina N1. 
Como V1 é constante aumenta a diferença de potencial entre a tensão aplicada V1 
e a tensão nos terminais da bobina H1 e H2. Conseqüentemente a corrente do 
primário poderá aumentar. Chamando o acréscimo de corrente de I1a, a corrente 
do primário passa a ser aIII 101 += . Agora no primário temos o fluxo am 11 φφφ += , 
onde 
R
INm
0
1=φ e R
I
N aa
1
11 =φ . No núcleo o fluxo φ1a surgiu para neutralizar o 
fluxo φ2 oriundo da carga. Segue-se que o transformador em carga passa a manter 
o fluxo φm, suprir as perdas e atender a carga adicional do secundário. 
 
Resumindo temos que, em vazio, existe o fluxo φm e em carga φt=φm+φ1a+(-φ2). 
Como φ1a= -φ2 segue-se que o fluxo total no núcleo com o trafo em carga continua 
sendo φm. 
Capítulo VII – Transformador Ideal 
Pág. 41 
Vemos que no circuito magneticamente acoplado, a corrente secundária produz 
um fluxo contrário ao fluxo produzido pelo primário, tentando reduzi-lo. O primário 
nesta situação, aumenta a corrente para restabelecer o fluxo mútuo no núcleo. Há, 
portanto, uma variação de energia magnética do núcleo. Deste modo, instalando-
se uma potência ativa no secundário, seja uma resistência ou um motor, a energia 
magnética do núcleo irá variar desde a condição sem carga até a condição de 
plena carga, propiciando no secundário a conversão em energia térmica se a 
carga for resistiva ou energia mecânica se a carga for um motor. 
 
O circuito magnético funciona como um reservatório de energia intermediário 
conforme mostrado na figura acima. 
Na ausência de carga no secundário, a energia é simplesmente armazenada no 
circuito magnético (reservatório), e não produz trabalho. Quando a carga é ligada, 
ela solicita mais energia do circuito magnético e o nível do mesmo tende a 
diminuir. 
O circuito elétrico da esquerda, automaticamente, repõe energiano reservatório 
do circuito magnético (intermediário) fazendo com que o mesmo volte ao nível 
anterior. 
Para o transformador ideal podemos estabelecer algumas condições que são: 
• Todo fluxo produzido pelo primário enlaça a bobina secundária. Portanto, 
não há fluxo de dispersão. 
• A potência do primário é igual a potência do secundário (S1 = S2). Portanto, 
não existem perdas nos enrolamentos, nem no núcleo. 
 
Temos que: 
a) 
dt
d
Ne 111
φ
−= e 
dt
d
Ne 1212
φ
−= . A relação entre as tensões será: 
a
N
N
e
e
==
2
1
12
1
 que representa a relação de transformação do transformador. 
b) 21 SS = então 21211 IeIe ×=× . Vem então: 
aN
N
e
e
I
I 1
1
2
1
12
2
1
===
 
c) Do item b) tiramos: 212211 fmmfmmININ === 
Capítulo VII – Transformador Ideal 
Pág. 42 
d) Chamando 
1
1
1 I
e
Z = e 
2
12
2 I
e
Z = vem 2
1
2
12
1
2
1 aaa
I
I
e
e
Z
Z
=×=×= . Podemos 
escrever então: 221 ZaZ = . 
 
 
Capítulo VIII – Transformador Real 
Pág. 43 
CAPITULO VIII - TRANSFORMADOR REAL 
Neste caso vamos considerar as seguintes condições: 
a) Existe fluxo de dispersão φd1 cujo trajeto é mostrado na fig. 19, fechando no 
ar que envolve o primário. A maior parte do fluxo (φm) (produzido pelo 
primário) irá enlaçar a bobina secundária e produzir nela uma tensão 
induzida e12. Esse fluxo φm chama-se fluxo mútuo. O fluxo total produzido 
no primário, para o transformador em vazio, será md φφφ += 11 . Existem, 
então, dois fluxos concatenados como segue: no primário, mN φλ ×= 11 e no 
secundário, mN φλ ×= 22 . 
b) Para o transformador em carga, existe a corrente I2, o fluxo produzido por 
ela no secundário terá uma parte que se dispersa, fechando através do ar 
conforme mostrado na fig. 19. Vamos denomina-lo de fluxo de dispersão 
φd2. 
c) As bobinas, tanto do primário quanto do secundário, apesar de serem 
enroladas em cobre ou alumínio, apresentam sempre alguma resistência 
ôhmica. Vamos então considerar R1 para o primário e R2 para o secundário. 
d) O fluxo de dispersão φd1 produzido por I1, representa uma indutância de 
dispersão 
1
1
11 I
NL dd
φ
= e, portanto uma reatância de dispersão 11 2 dd fLX pi= . 
e) O fluxo de dispersão φd2, produzido por I2 quando o secundário estiver 
fechado sobre a carga, representa uma indutância de dispersão 
2
2
22 I
NL dd
φ
= e, portanto uma reatância de dispersão 22 2 dd fLX pi= . 
f) Vamos considerar que o transformador apresenta perdas por histerese e 
Focault no núcleo e perdas por Joule nos enrolamentos. 
g) 
 
 
 
 
 
 
Considerando o explanado acima vemos que em uma bobina real existem dois 
fluxos, um principal que caminha no circuito magnético e outro que extravia 
lateralmente à bobina. Estes fluxos são produzidos na mesma bobina e seus 
Fig. 19 – Transformador real 
Capítulo VIII – Transformador Real 
Pág. 44 
módulos valem 
m
m R
NI
=φ e 
d
d R
NI
=φ , onde Rm e Rd possuem valores diferentes. As 
indutâncias correspondentes são 
m
m R
NL
2
= e 
d
2
d R
NL = , sendo Rm a relutância 
correspondente ao circuito magnético (ferro) e Rd a relutância correspondente ao 
circuito de dispersão (meio circundante da bobina). 
O circuito equivalente do transformador real é apresentado nas fig. 20ª) e 20b). Na 
fig.20ª) estão representados os dois enrolamentos isoladamente, enquanto na 
fig.20b) está representado o primário e o secundário com todas as suas grandezas 
refletidas (referidas) para o primário. 
 
 
 
 
 
 
Na fig. 20ª) temos: 
R1 = resistência ôhmica do enrolamento primário 
Xd1 = reatância de dispersão do enrolamento primário 
Rhf = resistência ôhmica do núcleo 
Xm = reatância de magnetização do núcleo 
R2 = resistência ôhmica do enrolamento secundário 
Xd2 = reatância de dispersão do enrolamento secundário 
A reatância do primário compõe-se de 2(duas) reatâncias: Xm que ao ser 
percorrida por Im produz o fluxo Øm e Xd1 que corresponde ao fluxo Φd1 de 
dispersão no primário 
 
Fig. 20a) Circuito equivalente do transformador real 
Fig. 20b) Circuito equivalente do transformador real com o secundário referido 
Capítulo VIII – Transformador Real 
Pág. 45 
Zc é a impedância da carga 
Considerando a fig. 20b) vemos que a corrente do primário I1 circula pela 
resistência R1 e pela reatância de dispersão Xd1 provocando uma queda de tensão 
∆V1 = I1 (R1 + jXd1). A tensão e1 nos terminais H1 e H2 será 111 VVe ∆+= . Vê-se, 
portanto, que para o transformador ideal não existe a queda de tensão já que são 
nulas a resistência R1 e a reatância de dispersão Xd1. No ponto H1, temos o 
desmembramento da corrente I1 em duas componentes: 
a) I0 é denominada corrente de excitação. Esta corrente alimenta dois trechos 
em paralelo, formados pela resistência RHF e pela reatância pura Xm. A 
resistência RHF, percorrida pela corrente IHF denominada corrente de 
perdas, representa a conversão em calor das perdas por histerese e 
Foulcaut no núcleo. A reatância Xm ao ser percorrida pela corrente Im 
denominada corrente de magnetização produz o fluxo φm do primário. 
b) I21 é a corrente refletida do secundário em carga, que vale: 
a
I
I 221 = , onde 
2
1
N
N
a = é a relação de transformação. Para o transformador em vazio, I21 é 
nula. 
c) No lado direito do circuito temos: a2R2 que é a resistência do secundário 
refletida para o primário, a2Xd2 que é a reatância de dispersão do 
secundário refletida para o primário, a2Zc que é a impedância da carga 
refletida para o primário. 
d) A diferença de potencial nos terminais X1 e X2 do secundário refletida para 
o primário, pode ser assim calculada: 
(((( )))) (((( ))))cd Za
a
IXaRa
a
I
aeVaaeaV 222
2
2
22
122122 ====





++++−−−−====∆∆∆∆−−−−==== . Enfatizamos que 
essas grandezas são fasoriais e devem ser tratadas e operacionalizadas como 
tal. 
Nas figs. 21ª) e 21b) apresentamos o diagrama fasorial do transformador. 
Consideremos uma reta horizontal e um ponto de referencia o. Todas grandezas 
do primário serão indicadas à esquerda do ponto o e as do secundário à direita do 
mesmo. 
 
Para o funcionamento em vazio (conforme diagrama fasorial da fig. 21ª), aplicando 
uma tensão senoidal ao primário (V1) esta vai fazer circular, no primário, uma 
corrente (I0), de pequeno valor, suficiente apenas para produzir o fluxo φm e suprir 
as perdas no núcleo PHF por histerese e Foulcaut. Esta corrente (I0) é denominada 
corrente de excitação. Como vimos no circuito equivalente, o suprimento das 
perdas é representado pela circulação da componente IHF na resistência RHF. Esta 
componente é ativa (wattada) já que responde pela transformação de energia 
elétrica em calor no núcleo e está desenhada em fase com V1. A componente Im 
denominada corrente de magnetização, é a produtora do fluxo φm, quando percorre 
a reatância pura Xm, estando, portanto, atrasada em relação à V1 de 90º (pi/2). 
Capítulo VIII – Transformador Real 
Pág. 46 
O fluxo φm está em fase com Im. A soma fasorial das componentes 0III mHF ====++++ 
representa a corrente de excitação. A corrente I0 faz um ângulo α com a horizontal 
e o cósα é o fator de potência do transformador em vazio. A tensão induzida e1, 
como vimos, é contrária à V1 estando desenhada a 1800 em relação à V1. A 
tensão de mútua no secundário e12 é produzida por φm e, portanto está em fase 
com e1. O módulo desta tensão pode ser maior ou menor do que e1. Se N1 for 
maior que N2, o transformador será abaixador então, e1 será maior que e12, e se 
N1 for menor que N2, o transformador será elevador então, e1 será menor que e12.Agora, vamos carregar o secundário, fechando a chave S (conforme diagrama 
fasorial apresentado na fig. 21b). Uma corrente I2 vai circular em um sentido tal de 
modo a se opor à tensão e12, produzindo o fluxo φ2 contrário ao fluxo φm do 
primário. A corrente I2 ao percorrer a resistência R2 e a reatância Xd2 provoca a 
queda de tensão ∆V2 = I2 (R2 + jXd2). A diferença de potencial, disponível nos 
terminais X1 e X2 que será 222122 ZIVeV =∆−= . No diagrama fasorial, a corrente 
I2 forma um ângulo ϕ2 com a tensão V2 cujo valor depende da natureza de Zc: se 
for resistiva ϕ2=0º, se for indutiva ou capacitiva pura ϕ2=90º. 
Vamos assumir um caso geral de carga mista, contendo resistência e reatância, 
com ângulo ϕ2 entre 00 e 900 indutivo. A queda de tensão na resistência R2 está 
em fase com I2 e vale I2R2. A queda de tensão na reatância Xd2 está adiantada em 
relação à I2 em 900. Estamos considerando sentido de rotação fasorial anti-horário. 
A tensão e12 vale a soma fasorial: e12 = V2 + I2R2 + I2jXd2 = V2 + I2 (R2 + jXd2). 
Para compensar a corrente I2 do secundário, a corrente do primário terá de 
aumentar de um valor correspondente. Temos então, no primário, o adicional de 
corrente 
a
I
I 221 = que nada mais é que a corrente do secundário refletida para o 
primário. Agora, a corrente total do primário I1 será a soma fasorial da corrente de 
excitação I0 mais I21, conforme representado no diagrama fasorial da fig. 21b). A 
queda de tensão no primário ∆V1 pode ser assim calculada: ∆V1= I1R1 + I1jXd1, 
salientando que se trata de soma fasorial. A tensão na resistência está em fase 
com a corrente I1, enquanto na reatância Xd1 está 900 adiantada em relação à 
φm 
Im 
Io 
IHF 
e1 V1 
Fig. 21a) Diagrama fasorial do transformador real a vazio 
w 
o 
α e12 
Capítulo VIII – Transformador Real 
Pág. 47 
corrente I1. A tensão aplicada no primário V1 = -e1 + I1R1 + I1jXd1 também é uma 
soma fasorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regulação de tensão: 
 
Como vimos, a tensão nos terminais do secundário depende da amplitude e do 
ângulo ϕ2 da corrente I2. Quando I2 aumenta, ∆V2 também aumenta. Então V2 
diminui. 
Quando I2=0 → ∆V2=0, resultando em V2 = (e12). Define-se a regulação como 
segue: 
100%
12
212 ×
−
=
e
Ve
R
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Im 
Io 
IHF e12 
V1 
Fig. 21b) Diagrama fasorial do transformador real com carga 
w 
o 
α 
I1 
I1Xd1 
I1R1 
I1Z1 
-e1 
I2 
I2R2 
I2Xd2 
I2Z2 
φ2 
I2 
a 
Capítulo IX – Ensaios de Características 
Pág. 48 
CAPÍTULO IX - ENSAIOS DE CARACTERÍSTICAS 
A partir da realização destes ensaios é possível levantar o circuito elétrico 
equivalente do transformador, o que traz grandes simplificações nos cálculos de 
sistema com transformadores inseridos. 
Ensaio em vazio: 
Excita-se o transformador em um dos enrolamentos, deixando o outro 
enrolamento em aberto sem carga. Aplica-se tensão nominal no enrolamento 
excitado, medida pelo voltímetro, conforme fig. 22ª). No amperímetro será lida a 
corrente de excitação I0, e no wattímetro será lido o valor relativo às perdas por 
histerese e Foulcaut PHF no núcleo. As componentes da corrente de excitação I0 
podem ser determinadas conforme diagrama fasorial da fig. 22c). Estamos 
desconsiderando as perdas Jaúlicas no enrolamento excitado (primário), tendo em 
vista o pequeno valor da corrente de excitação, conforme apresentado no circuito 
elétrico equivalente da fig. 22b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 22c) Diagrama fasorial do ensaio a vazio 
IHF 
φm 
Im 
Io 
e1 V1 
w 
α0 PHF 
S 
Qm 
α0 
Fig. 22d) Triângulo de potência 
Fig. 22b) Circuito elétrico equivalente 
Fig. 22a) Ensaio a vazio 
Capítulo IX – Ensaios de Características 
Pág. 49 
Sendo: 00 cosαII HF = 



=
VA
W
S
PHF
0cosα 00 senαII m = 
onde as grandezas tem o significado visto anteriormente. 
A resistência RHF vale: 2
1
HF
HF
HF
HF I
P
I
V
R ==
 
 
A reatância: 
m
m I
V
X 1=
 
 
 
Ensaio em carga (curto circuito): 
 
Excita-se o transformador em um dos enrolamentos, fechando o outro 
enrolamento em curto circuito, conforme fig 23ª). Aplica-se tensão reduzida, o 
suficiente para fazer circular a corrente nominal do transformador. Devido a isto, 
as perdas por histerese e Foulcaut, ficam desprezíveis neste ensaio, já que a 
tensão aplicada no ramo paralelo é bastante reduzida (conforme circuito elétrico 
equivalente da fig. 23b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 23a) Ensaio a vazio 
Fig. 23b) Circuito equivalente 
Capítulo IX – Ensaios de Características 
Pág. 50 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo assim o wattímetro vai registrar apenas as perdas por Joule nos 
enrolamentos: 
2
2
2
22
11 





+==
a
I
RaIRPW CC 
A tensão reduzida lida pelo voltímetro nada mais é do que a queda de tensão na 
impedância do transformador, ou seja, podemos considerar que I1 é 
aproximadamente 
a
I2
, já que a corrente no ramo paralelo (núcleo) é desprezível: 
 ( ) ( ) ( )221122112211 ZaZIXdaXdIRaRIV +=+++= 
 
onde: a2R2, a2Xd2 e a2Z2 são valores da resistência, da reatância de dispersão e 
da impedância do secundário refletidas para o lado primário. Denominam-se 
grandezas equivalentes. Temos as seguintes relações básicas: 
 
 
1I
V
Z CCeq = e 2
1I
P
R CCeq = então: 
22
eqeqeq RZX −= 
 
 
Rendimento: 
Rendimento de um transformador é a relação entre a potência ativa de saída e a 
potência ativa de entrada, pois conforme detalhado anteriormente, no 
transformador real a potência de entrada é maior que a potência de saída devido 
às perdas internas. A potência de entrada é a soma da potência de saída mais as 
perdas nos ensaios a vazio e em curto circuito. Para o cálculo do rendimento, 
procede-se como segue: 
a) Determina-se a potência ativa de saída para a carga PS; 
b) Determinam-se as perdas totais, somando as perdas dos ensaios a vazio e 
em curto circuito: Perdas = PHF + Pcc; 
c) Determina-se a potência ativa de entrada PE.= PS + (PHF + Pcc). 
 
O rendimento será: 
( ) 100% ×++= CCHFS
S
PPP
Pη
 
 
 
Req 
Zeq 
Xeq 
α 
Fig. 23c) Triângulo de impedância 
Capítulo IX – Ensaios de Características 
Pág. 51 
Correção das grandezas para 75º no ensaio de curto circuito: 
Os enrolamentos dos transformadores não trabalham a temperatura ambiente e 
sim na faixa de 75ºC. As normas então exigem que os valores da impedência e 
perdas nos enrolamentos sejam referenciadas para esta temperatura.Como a 
componente resistiva do ensaio de curto circuito varia com a temperatura, faz-se 
necessário a correção dos valores para 75ºC, através da expressão: 
 
θθθθ
θθθθ
++++
++++
====
5,234
755,234
º75 RRCC onde θθθθ é a temperatura na qual o transformador foi 
ensaiado. 
Uma vez calculado o valor de RCC75ºC, calcula-se a impedância: 
CCCCCC XRZ
22 7575 ++++==== e 275 NCCCC IRW ••••==== 
 
9.1 Exercício Resolvido: 
 
Questão 1: 
 
Um transformador apresentou no ensaio em vazio uma perda de 200W e no 
ensaio em curto 500W. Este transformador alimenta uma carga de 5KVA com um 
fator de potência de 0,80. O rendimento será: 
 
( ) ( ) %1,8510050020080,0105
80,0105100% 3
3
=×
++××
××
=×
++
=
CCHFS
S
PPP
Pη 
 
 
Questão 2: 
 
Um transformador de 50KVA, 2400/240 (relação em vazio) foi ensaiado em vazio 
e curto circuito, com os seguintes resultados: 
Vazio: PHF= 186WI0=5,4 A V0=240 V 
Curto: Pcc= 617W Icc= 20,8 A Vcc=48 V 
 
Determinar: 
a) O lado no qual foi realizado cada ensaio no transformador 
b) Circuito equivalente do transformador 
c) A regulação e o rendimento do transformador na baixa tensão quando o 
transformador alimenta uma carga com fator de potência de 0,8 
 
Solução da letra a): 
O ensaio a vazio foi realizado no lado de BT (baixa tensão), pois a tensão aplicada 
no transformador foi 240V que corresponde à tensão no lado de BT, conforme 
relação de transformação a vazio apresentada no enunciado do exercício. 
 
Capítulo IX – Ensaios de Características 
Pág. 52 
Para identificar em qual lado foi realizado o ensaio de curto circuito precisamos 
dividir a potência aparente do transformador pela corrente aplicada no mesmo 
durante o ensaio. 
V
I
SV 2400
8,20
1050 3
=
×
== 
Portanto, concluímos que o transformador foi ensaiado pelo lado de AT (alta 
tensão). 
 
Solução da letra b): 
 
Primeiramente, vamos determinar o circuito equivalente do transformador a partir 
do ensaio a vazio. 
Temos: 2
1
HF
HF
HF
HF I
P
I
V
R == e 
m
m I
V
X 1= 
Sendo : 00 cosαII HF = e 00 senαII m = 14,04,5240
186
cos
0
0 =
×
==
S
PHFα 
 AI HF 76,014,04,5 =×= ( ) AarI m 35,514,0cossen4,5 =×= 
Logo: Ω==== 322
76,0
186
22
1
HF
HF
HF
HF I
P
I
V
R 
Ω=== 86,44
35,5
2400
m
m I
V
X 
 
Agora, vamos determinar o circuito equivalente dos enrolamentos do 
transformador a partir do ensaio de curto circuito. 
 
Ω=== 42,1
8,20
617
22)(
cc
CC
ATeq I
P
R
 
 
Ω=== 31,2
8,20
48
)(
cc
CC
ATeq I
V
Z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Req 
Zeq 
Xeq 
α 
Fig. 24 – Triângulo de impedância 
Ω=−=−= 82,142,131,2 2222)( eqeqATeq RZX
Capítulo IX – Ensaios de Características 
Pág. 53 
Tendo em vista o valor reduzido de Vcc, a corrente no ramo paralelo será 
desprezível podendo o ramo paralelo ser eliminado. O circuito poderá ser 
simplificado conforme fig. 25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução da letra c): 
Como queremos calcular o rendimento e a regulação pelo lado de BT (baixa 
tensão), deveremos referir as grandezas para o lado de BT. Não será necessário 
referir as grandezas do núcleo, pois o ensaio a vazio foi realizado do lado de BT. 
Referindo a resistência, reatância e impedância calculadas anteriormente para BT 
temos: 
 
Ω=






== 0142,0
240
2400
42,1
22
)(
)(
a
R
R ATeqBTeq 
 
Ω=






== 0231,0
240
2400
31,2
22
)(
)(
a
Z
Z ATeqBTeq 
 
Ω=






== 0182,0
240
2400
82,1
22
)(
)(
a
X
X ATeqBTeq 
 
Estamos considerando 
2
1
N
N
a = ou 
2
1
e
e
a = . Caso o transformador seja elevador 
essa relação é fracionária (a < 1), e no caso de ser abaixador: a >1. 
A corrente I2(BT) será: 
A
V
SI
BT
BT 208240
1050 3
)(2 =
×
== . Esta corrente será o fasor básico para o traçado 
do diagrama da fig. 26. 
 
 
 
 
Fig. 25 – Circuito elétrico equivalente 
Capítulo IX – Ensaios de Características 
Pág. 54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em seguida vamos lançar o fasor V2 adiantado de α=370 em relação à I2, cujo 
módulo não conhecemos. Pois, fator de potência da carga é 
( ) º378,0cos8,0cos 22 ==∴= arϕϕ . 
 
A partir da extremidade de V2, em uma paralela à I2, lançamos o fasor que 
representa a queda de tensão na resistência que vale: 
VRIV q 9536,20142,020822Re =×=×= . 
 
A queda de tensão na reatância, cujo módulo é 
VXIV BTeqBTXeq 7856,30182,0208)()(2 =×=×= , está adiantada de 900 em relação à I2 
e cujo fasor tem a extremidade coincidindo com a extremidade do fasor (e12) = 
240V. 
 
Temos agora um problema trigonométrico para resolver. Para tanto, vamos adotar 
dois eixos ortogonais, sendo que um deles coincide com o fasor V2. Vamos 
projetar os vetores nos dois eixos e somá-los conforme Teorema de Carnot. Vem: 
 
X =proj. V2 + proj. VReq + proj. VXeq 
64,4º37sen7856,3º37cos9536,2 22 +=×+×+= VVX 
 
Y =proj. V2 + proj. VReq + proj. VXeq 
25,1022,377,10º37cos7856,3º37sen9536,20 =+−=×+×−=Y 
 
 
240V 
w 
o 
I2 
I2R2 
I2Xd2 
V2 
φ2 
X 
X 
Y 
Y 
Fig. 26) Diagrama fasorial do transformador real em carga 
Capítulo IX – Ensaios de Características 
Pág. 55 
Pelo Teorema de Carnot o módulo da resultante é a raiz quadrada da soma dos 
quadrados das projeções das componentes. 
( ) 222222 25,164,4240 ++=+= VYX Temos então VV 2352 = . 
 
A regulação será: %08,2100
240
235240% ====××××−−−−====R 
 
O rendimento será: ( ) %9810098,01006171868,050000
8,050000% =×=×
++×
×
=η 
 
 
Polaridade: 
 
Consideremos o circuito magnético da fig. 27ª), onde estão montadas no mesmo 
núcleo as bobinas 1, 2 e 3. A bobina 1 ao ser excitada gera uma tensão de mútua 
nas outras duas, conforme detalhado a seguir. O fluxo φ1 produzido na bobina 1 é 
horário e, ao enlaçar a bobina 2 induz tensão no sentido indicado na fig. 27ª), 
tendendo a impelir corrente para o circuito externo saindo por X2. Entretanto, pela 
Lei de Lenz, caso essa bobina seja ligada à carga Z2 como indicado na fig. 27b), o 
sentido da corrente será exatamente o inverso, saindo por X1. Raciocínio análogo 
pode ser aplicado à bobina 3. A tensão de mútua induzida por φ1 na bobina 3 
tende a impelir corrente para o circuito externo saindo por X4, porém a corrente 
real sairá por X3 quando essa bobina estiver ligada a carga Z3. 
Fig. 27a) Tendência de circulação de corrente 
(circuito aberto) 
Fig. 27b) Sentido real das correntes nos 
enrolamentos carregados 
Capítulo IX – Ensaios de Características 
Pág. 56 
Convenções: Os fabricantes dos transformadores indicam as polaridades dos 
enrolamentos através de ponto (•) ou de letra+número (X1) desenhados junto 
aos terminais, conforme fig. 27b). 
Convenção do ponto: Marca-se um ponto, aleatoriamente, em um dos terminais 
da bobina indutora (para o nosso caso bobina 1). Escolhemos o terminal H1 
desta bobina e marcamos o ponto neste terminal. Conforme se observa, a 
corrente I1 está entrando na bobina por este terminal. Diz a convenção: 
 
• Se a corrente entra na bobina 1 (indutora) no terminal com ponto (H1) a 
tensão será positiva (+) nesse ponto, e a tensão também será positiva 
(+) nos terminais marcados com ponto nas bobinas 2 e 3. Também por 
convenção, sabemos que a tensão é positiva no terminal onde a 
corrente deixa a bobina e vai para a carga. Sendo assim, teremos 
tensões positivas (+) nos terminais X1 e X3 da fig. 27b) e estes terminais 
serão marcados os pontos. 
 
• Se a corrente sai na bobina 1 (indutora) pelo terminal marcado com 
ponto, as tensões nas bobinas 2 e 3 serão negativas (-) nos terminais 
marcados com ponto. 
 
Essas notações de ponto e letra+número considera os sentidos das correntes 
induzidas, portanto, pressupõe o fechamento da bobina na carga. 
 
Convenção da letra+número: Os terminais das bobinas de alta tensão são 
marcadas com a letra H, e os terminais de baixa tensão são marcados com a 
letra X. O número ímpar é marcado no terminal onde a tensão é positiva que 
corresponde onde está marcado o ponto pela outra convenção. 
 
Ligação de bobinas: Na fig 27c) e 27d), podemos considerar para um instante 
de tempo que as tensões induzidas são baterias com as polaridades indicadas. 
Se ligarmos duas baterias em série conforme fig. 27c) e medirmos a tensão 
resultante nessa associação com um voltímetro, este indicará a soma das 
tensões induzidas, o que é chamado de ligação com polaridade aditiva. Por 
outro lado, se ligarmos