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Aula 3 : Número de elementos de um conjunto 3.1 Conteúdo: Conceitos iniciais Introdução ao princípio aditivo Introdução ao princípio da inclusão e exclusão Faz sentido saber quantos elementos tem um conjunto? É sempre possível contar os elementos de um conjunto? Tem uma fórmula para calcular o número de elementos de A ∪ B ? Conceitos iniciais: 3.2Conjuntos: Número de elementos Questão 1: O vaqueiro João cuida das vacas da fazenda "Três Irmãos". Ele leva as vacas para pastar nos campos fora da fazenda. Ele não pode perder nenhuma vaca. Então o que ele faz ? Conta as vacas que formam o gado antes e depois do pastoreio. Faz sentido saber quantos elementos tem um conjunto ? Exemplo 1: 3.3Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais Conjunto de vacas depois do pastoreio. =>Conjunto de vacas antes do pastoreio. => Você deu dez notas de R$ 1,00 para um amigo fazer compras. No retorno, você contou o dinheiro que sobrou (3 notas de R$ 1,00 ). Questão 1: Exemplo 2: 3.4Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais Faz sentido saber quantos elementos tem um conjunto ? Resposta: SIM n(A) : é o número de elementos do conjunto A (ou cardinalidade de A). n(A) = 7 Exemplo 1: 3.5Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais Notação: = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } A = { x ∈ | |x| ≤ 3 } = Z { x ∈ | -3 ≤ x ≤ 3 } Z Questão 2: É sempre possível contar os elementos de um conjunto ? A = { x ∈ | |x| ≤ 3 } = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } Z - Como contamos os elementos de A ? Exemplo 1: 3.6Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais => Enumerando seus elementos: 1 é o número -3 2 é o número -2 7 é o número 3 ...... => Acabamos a enumeração em 7 Questão 2: Exemplo 2: = { 2, 4, 6, ... } Podemos ir enumerando seus elementos mas nunca acabaremos a enumeração. B = { x ∈ | x é par } N 3.7Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais É sempre possível contar os elementos de um conjunto ? Resposta: NEM sempre Definição: Um conjunto é finito se é possível contar o número de seus elementos. Um conjunto é infinito se não é possível contar o número de seus elementos. 3.8Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais Exemplo 1: , , , , são conjuntos infinitos.N Z Q IR A = { x ∈ ||x| ≤ 3 } é finito Z B = { x ∈ | x é par } é infinito N - n(C) é um número que não conhecemos 3.9Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais Conclusão: Embora tenhamos um conjunto finito, pode ser impraticável contá-lo. É sempre possível contar os elementos de um conjunto finito. então: C = { x | x é uma pessoa que nasceu antes de 2000 } - C está bem definido - C é finito Exemplo: Mas, será que sempre conseguimos contar ? Assumimos, nesta aula: A é um conjunto finito; É possível determinar o número de elementos de A, n(A). Questão 3: Tem uma fórmula para calcular o número de elementos de A ∪ B ? 3.10Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais Dados os conjuntos A e B, calcular n(A ∪ B) Problema inicial: { Introdução ao princípio aditivo: Encontrar uma fórmula para calcular n(A ∪ B). Objetivo: 3.11Conjuntos: Número de elementos então n(A ∪ B) = n(A) + n(B) Princípio aditivo (para dois conjuntos) Se A e B são disjuntos, A ∩ B = ∅, Α ΒU Dados n(U) = 300, n(A) = 150, n(B)= 40 Determinar o número de alunos do IL que está no 1o ou no 4o ano do curso de inglês. U = { x | x é aluno do Instituto de Línguas IL } A = { x ∈ U | x está no 4o ano do curso de inglês } B = { x ∈ U | x está no 1o ano do curso de inglês } A ∩ B = ∅ => n(A ∪ B) = n(A) + n(B) = 190 Problema: Exemplo 1: 3.12Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio aditivo 3.13Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio aditivo Problema: Dados os conjuntos A, B e C, calcular n(A ∪ B ∪ C){ Prova: n(A ∪ B ∪ C) = n((A ∪ B) ∪ C) = n(A ∪ B) + n(C) (A ∪ B) ∩ C = ∅ A ∩ B = ∅ = n(A) + n(B) + n(C) então n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) Se A, B e C são disjuntos dois a dois: Princípio aditivo (para três conjuntos) A ∩ B = ∅, A ∩ C = ∅, B ∩ C = ∅ U Α Β C Princípio aditivo (para quatro conjuntos) Se A, B, C e D são conjuntos disjuntos dois a dois ( A ∩ B = A ∩ C = A ∩ D = B ∩ C = B ∩ D = C ∩ D = ∅ ) então n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) Tente fazer a prova aplicando o raciocínio anterior. 3.14Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio aditivo Prova Prova: n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n((A ∪ B) ∪ C ∪ D) Voltar 3.15Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio aditivo isto é, (A ∪ B), C e D são disjuntos dois a dois. Logo, estamos nas condições do problema anterior, portanto temos: n((A ∪ B) ∪ C ∪ D ) = n(A ∪ B) + n(C) + n(D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) pois, A ∩ B = ∅ Quer dizer, provamos que n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) como A ∩ B = A ∩ C = A ∩ D = B ∩ C = B ∩ D = C ∩ D = ∅ resulta (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = ∅ (A ∪ B) ∩ D = (A ∩ D) ∪ (B ∩ D) = ∅ C ∩ D = ∅ Encontrar uma fórmula para n(A ∪ B). Objetivo: Problema inicial: A e B podem não ser disjuntos A ∩ B ≠ ∅ Introdução ao princípio da inclusão e exclusão: 3.16Conjuntos: Número de elementos Dados os conjuntos A e B, calcular n(A ∪ B){ Reescrever A ∪ B como conjuntos disjuntos. Estratégia: n(A ∪ B) = ? U Α Β Como reescrever A ∪ B como união de conjuntos disjuntos? U U Α Β Dados A, B, A ∩ B ≠ ∅ Disjuntos Voltar 3.17Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio da inclusão e exclusão U União U União ΒΑ U ∩ Β Α Α − Β Β − Α Α − Β Β − Α A ∩ B A - B = A ∩ B _ B - A = B ∩ A _ Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio da inclusão e exclusão A = (A - B) ∪ (A ∩ B) B = (B - A) ∪ (A ∩ B) Voltar Voltar Voltar 3.18 n(A ∪ B) = n(A - B) + n(A ∩ B) + n(B - A) Conclusão: A ∪ B = (A - B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B - A) n(A ∪ B) = n( (A − B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A) ) = n(A − B) + n(A ∩ B) + n(B − A) U Α U A ∩ B U => => A = (A − B) ∪ (A ∩ B) B = (A ∩ B) ∪ (B − A) Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio da inclusão e exclusão A - B B - A A ∩ B 3.19 n(B) = n(B − A) + n(A ∩ B) n(A) = n(A − B) + n(A ∩ B) U Β Resumindo: Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 3.20 n(A ∪ B) = n(A − B) + n(A ∩ B) + n(B − A) n(A) = n(A − B) + n(A ∩ B) n(B) = n(B − A) + n(A ∩ B) => => n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B) n(B − A) = n(B) − n(A ∩ B) n(A ∪ B) = [ n(A) − n(A ∩ B) ] + n(A ∩ B) + [ n(B) − n(A ∩ B) ] = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) Princípio da inclusão e exclusão (para dois conjuntos) n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) n(A) + n(B) - n(A ∩ B) Interpretação visual U Α Β Observação: estamos contando 2 vezes os elementos da interseção, então devemos subtrair um deles. Dados A e B, então Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio da inclusão e exclusão ∩ Voltar 3.21 U = { x | x é aluno do Instituto de Línguas IL } A = { x ∈ U | x está no 4o ano do curso de inglês } B = { x ∈ U | x está no 2o ano do curso de francês } Exemplo 2: Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 3.22 então o número de alunos do IL que cursam o 4o ano de inglês ou o 2oano de francês é: = 40 + 20- 2 = 58 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) n(B) = 20 dados: n(U) = 300 n(A) = 40 n(A ∩ B) = 2 Questão: Como calcular n(A ∪ B ∪ C) usando o Princípio da inclusão e exclusão para dois conjuntos ? Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio da inclusão e exclusão n(A ∪ B ∪ C) = n( (A ∪ B) ∪ C ) { 3.23 = [ n(A) + n(B) - n(A ∩ B) ] + n(C) - n((A ∩ C) ∪ (B ∩ C)) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - [ n(A ∩ C) + n(B ∩ C)) - n((A ∩ C) ∩ B ∩ C) ] A ∩ B ∩ C { { = n(A ∪ B) + n(C) - n( (A ∪ B) ∩ C ) { = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) Princípio da inclusão e exclusão (para três conjuntos) Interpretação gráfica: Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 3.24 U n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) Dados A, B e C, então U = { x | x é aluno do Instituto de Línguas IL } A = { x ∈ U | x está no 4o ano do curso de inglês } B = { x ∈ U | x está no 2o ano do curso de francês } C = { x ∈ U | x está no 1o ano do curso de italiano } Exemplo 3: Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 3.25 Dados: n(U) = 300 , n(A) = 40 , n(B) = 20 , n(C) = 30 n(A ∩ B) = 2 n(A ∩ C) = 5 n(B ∩ C) = 3 n(A ∩ B ∩ C) = 1 então o número de alunos do IL que estão cursando o 4o ano de inglês ou o 2oano de francês ou o 1o ano de italiano é: Exemplo 3 (continuação): Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 3.26 n(A ∪ B ∪ C) = 40 + 20 + 30 - 2 - 5 - 3 + 1 = 81 n(A ∪ B ∪ C) = = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) = ∑ 4 i=1 n(Ai) - ∑ 4 i, j=1 i < j n(Ai ∩ Aj) + ∑ 4 i, j, l = 1 i < j j < l i < j < l n(Ai ∩ Aj ∩ Al) - n(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4) Prove o princípio da inclusão e exclusão no seguinte caso: Dados A1 , A2 , A3 e A4 , então n( A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ) = Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 3.27 n(A1) + n(A2) + n(A3) + n(A4) − − n(A1 ∩ A2) − n(A1 ∩ A3) − n(A1 ∩ A4) − n(A2 ∩ A3) − n(A2 ∩ A4) − − n(A3 ∩ A4) + n(A1 ∩ A2 ∩ A3) + n(A1 ∩ A2 ∩ A4) + n(A2 ∩ A3 ∩ A4) − − n(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4) = Fórmula Voltar Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 3.28 Prova: n(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4) = n((A1 ∪ A2) ∪ A3 ∪ A4) Voltar Prova n( A1 ∪ A2 ) = n(A1) + n(A2) − n(A1 ∩ A2) − n((A1 ∪ A2) ∩ A3) − n((A1 ∪ A2 ) ∩ A4) − n(A3 ∪ A4 ) + n((A1 ∪ A2) ∩ A3 ∩ A4) n( A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ) = n((A1 ∪ A2 ) ∪ A3 ∪ A4 )) = n(A1 ∪ A2 ) + n(A3 ) + n(A4 ) −{ { {n((A1 ∪ A2) ∩ A3) = n((A1 ∩ A3) ∪ (A2 ∩ A3)) = = n((A1 ∩ A3) + (A2 ∩ A3) − n((A1 ∩ A3) ∩ (A2 ∩ A3)) A1 ∩ A2 ∩ A3 A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 n((A1 ∪ A2) ∩ A3 ∩ A4) = n( [(A1 ∪ A2) ∩ Α3 ] ∩ A4) = = n( [(A1 ∩ A3) ∪ (A2 ∩ A3) ] ∩ A4) = n[(A1 ∩ A3 ∩ A4) ∪ (A2 ∩ A3 ∩ A4)] = = n(A1 ∩ A3 ∩ A4) + n(A2 ∩ A3 ∩ A4) − n((A1 ∩ A3 ∩ A4) ∩ (A2 ∩ A3 ∩ A4)) { { A1 ∩ A2 ∩ A4 n((A1 ∪ A2) ∩ A4) = n((A1 ∩ A4) ∪ (A2 ∩ A4)) = = n(A1 ∩ A4) + n(A2 ∩ A4) − n((A1 ∩ A4) ∩ (A2 ∩ A4)) Observação: A partir de n(A ∪ B) podemos obter outras relações. Determine a quantidade de números naturais que existe entre 1 e 100 e não são divisíveis por 2 nem por 5. Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio da inclusão e exclusão Exemplo: { x ∈ | x ∈ C, x ∉ A e x ∉ B } N 3.29 C = { x ∈ | 1 ≤ x ≤ 100 } N = {2, 4, 6, ... ,100}A = { x ∈ | x ∈ C, x = 2k, k ∈ } N N = {5, 10, 15, ... ,100}B = { x ∈ | x ∈ C, x = 5k, k ∈ } N N { x ∈ | x ∈ C e x ∉ A e x ∉ B } N Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio da inclusão e exclusão = C - (A ∪ B) = { x ∈ | x ∈ C e x ∉ (A ∪ B) } N = { x ∈ | x ∈ C e ( x ∈ A _ ∩ B _ ) } N = { x ∈ | x ∈ C e ( x ∈ A _ e x ∈ B _ ) } N 3.30 N = { x ∈ | x ∈ C e x ∈ (A ∪ B) } _____ Determine a quantidade de números naturais que existe entre 1 e 100 e não são divisíveis por 2 nem por 5. Lembremos o enunciado do exemplo: Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio da inclusão e exclusão C A B N Pede-se n( C - (A ∪ B) ) Conclusão: 3.31 Observe que: ( C - (A ∪ B) ) ∪ (A ∪ B) = C e ( C - (A ∪ B) ) ∩ (A ∪ B) = ∅ Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio da inclusão e exclusão n(C - (A ∪ B)) = n(C) - n(A ∪ B) => 3.32 =>n((C - (A ∪ B)) ∪ (A ∪ B)) = n(C - (A ∪ B)) + n(A ∪ B) princípio aditivo n(C) Conjuntos: Número de elementos / Introdução ao princípio de inclusão e exclusão Devemos calcular n(C - (A ∪ B)) = n(C) - n(A ∪ B) n(C) = 100 Resumindo: 3.33 C = { x ∈ | 1 ≤ x ≤ 100 } N = 50 + 20 - 10 = 60 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) princípio inclusão e exclusão logo, n(C - (A ∪ B)) = 100 - 60 = 40 Resposta: A quantidade de números naturais que existe entre 1 e 100 e não são divisíveis por 2 nem por 5 é 40. A = { x ∈ | x ∈ C , x = 2k , k ∈ } N N = {2, 4, 6, ... , 100} B = { x ∈ | x ∈ C , x = 5k , k ∈ } N N = {5, 10, 15, ... , 100} 3.34Conjuntos: Número de elementos Resumo: Conceitos: - Número de elementos de um conjunto, n(A) - (cardinalidade) - Conjunto finito - Conjunto infinito - Introdução ao princípio aditivo: (Número de elementos da união de conjuntos disjuntos dois a dois) • A1 e A2 disjuntos => n(A1 ∪ A2) = n(A1) + n(A2) = ∑ 2 i=1 n(Ai) • A1, A2 e A3 disjuntos => n(A1 ∪ A2 ∪ A3) = = n(A1) + n(A2) + n(A3) = ∑ 3 i=1 n(Ai) • Ai disjuntos dois a dois => n(∪ 4 i=1 Ai) = ∑ 4 i=1 n(Ai) Resumo: Conceitos: - Introdução ao princípio da inclusão e exclusão: (Número de elementos da união de conjuntos não necessariamente disjuntos) • n(A1 ∪ A2) = n(A1) + n(A2) - n(A1 ∩ A2) = ∑ 2 i=1 n(Ai) - n(A1 ∩ A2) • n(A1 ∪ A2 ∪ A3) = n(A1) + n(A2) + n(A3) - n(A1 ∩ A2) - n(A1 ∩ A3) - - n(A2 ∩ A3) + n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = ∑ 3 i=1 n(Ai) - ∑ 3 i , j=1 i < j n(Ai ∩ A2) + n(∩ 3 i=1 Ai) • n(∪ 4 i=1 Ai) = ∑ 4 i=1 n(Ai) - ∑ 4 i, j=1 i < j n(Ai ∩ Aj) + ∑ 4 i, j, l = 1 i < j j < l i < j < l n(Ai ∩ Aj ∩ Al) - n(∩ 4 i=1 Ai) 3.35Conjuntos: Número de elementos 1. Sejam A e B dois subconjuntos de um conjunto universo U tais que B ⊆ A. Usando o princípio aditivo prove que n(A − B) = n(A) − n(B). Exercícios 2. Quantos números inteiros entre 1 e 100 são divisíveis por 3 ou por 7. 3.36Conjuntos: Número de elementos Dica: Considere A = { x ∈ | 1 ≤ x ≤ 100 e x =3k para algum k ∈ } B = { x ∈ | 1 ≤ x ≤ 100 e x =7k para algum k ∈ } e use o princípio de inclusão e exclusão. Z N Z N 3. Use os princípios aditivo ou de inclusão e exclusão para determinar, em cada caso, a quantidade de números naturais entre 1 e 60 que verificam: (i) são divisíveis por 2 e por 3 (ii) são divisíveis por 2 ou por 3 (iii) não são divisíveis nem por 2 nem por 3 (iv) são ímpares divisíveis por 3 ou são divisíveis por 2 (v) são divisíveis por 2 ou por 3 ou por 5 3.37Conjuntos: Número de elementos 4. Foram consultadas 200 pessoas que estavam pesquisando preços de televisores em lojas de eletrodomésticos. As respostas foram as seguintes: - 40% perguntaram pela marca A; - 35% pela marca B; - 10% pelas marcas A e B; - 25% somente perguntaram por outras marcas. Use o princípio de adição ou o princípio da inclusão e exclusão para determinar: 3.38Conjuntos Número de elementos (i) quantidade de pessoas que perguntarampelos preços das televisões de marcas A ou B. (ii) número de pessoas que perguntaram pela marca A e não pela marca B (lembre-se do exercício 1). 4. (continuação) 3.39Conjuntos: Número de elementos
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