CONCRETO 1 ROTEIRO AS DUPLA r01

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ESTRUTURAS DE CONCRETO I 
PROF.º ÉDER M. P. SABINO 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE SEÇÃO RETANGULAR A 
FLEXÃO SIMPLES 
COM ARMADURA DUPLA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jundiaí, abril de 2015 
 
 
 
 
 
Prof.º Eder Sabino 
18/03/2016 
 
 
Sumário 
1 DADOS DE ENTRADA ....................................................................................................................... 3 
1.1 Materiais: ........................................................................................................................................ 3 
1.2 Dados geométricos .......................................................................................................................... 3 
1.3 Esforço característico ...................................................................................................................... 3 
1.4 Profundidade da Linha Neutra adotada �� ....................................................................................... 3 
2 VALORES DE CÁLCULO ................................................................................................................... 3 
2.1 Resistências ..................................................................................................................................... 3 
2.1.1 Concreto ................................................................................................................................... 3 
2.1.2 Aço ........................................................................................................................................... 3 
2.2 Esforços ........................................................................................................................................... 3 
3 VALORES DE REFERÊNCIA ............................................................................................................. 4 
3.1 Deformação do aço no início do patamar de escoamento ............................................................... 4 
3.2 Verificação do domínio de deformação .......................................................................................... 4 
4 DETERMINAÇÃO DA TENSÃO NA ARMADURA COMPRIMIDA (σ’s) ..................................... 4 
4.1 Deformação na armadura comprimida (�′�)	para o Domínio 3 ...................................................... 4 
4.2 Deformação da armadura comprimida (�′�)	para o Domínio 2 ...................................................... 4 
4.3 Determinação da tensão na armadura comprimida ......................................................................... 5 
5 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO ............................................................................................................ 5 
5.1 Resultante no concreto Rc ............................................................................................................... 5 
5.2 Equilíbrio de Forças (Equação 1) .................................................................................................... 5 
5.3 Equilíbrio de Momento (Equação 2) ............................................................................................... 5 
5.4 Calculo de �’
 ................................................................................................................................. 5 
5.4.1 Definições: ............................................................................................................................... 5 
6 CÁLCULO DE �′� ............................................................................................................................... 6 
7 CÁLCULO DA TENSÃO NA ARMADURA TRACIONADA 
� ..................................................... 6 
8 CÁLCULO DE As ................................................................................................................................. 6 
 
 
 
 
 
 
 
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1 DADOS DE ENTRADA 
1.1 Materiais: 
�ç�	�� − 50	 → 	��� = 50	��/���	���	��	 !�	 →		÷ 10	$%&%	��'(�&)�&	$%&%	��/��² 	
1.2 Dados geométricos 
+, − +%��	-%	(./%; ℎ − %2)3&%	-%	(./%; - − %2)3&%	ú).2	-%	(./%; -5 −��-.-�	�')&�	%	�%��	���$&.�.-%	-%	(./%	�	�	��')&�	-%	%&�%-3&%	���$&.�.-%; 
 
1.3 Esforço característico 
 � − ���')�	�2�)�&	���	��3	(%2�&	�%&%�)�&í�).��; 
 
1.4 Profundidade da Linha Neutra adotada � 
 
A NBR 6118:2015 estabelece que a relação 78 = 89 deve ser inferior a 0,45 (78 ≤ 0,45), ou seja, = ≤ 0,45-. Quando com o dimensionamento a flexão simples com armadura simples origina em 78 ≥0,45-,	deve-se contar com a contribuição de uma armadura a compressão de modo a diminuir o valor de =. Geralmente adota-se =̅ = 0,45-. 
 
2 VALORES DE CÁLCULO 
 
2.1 Resistências 
Utilizar as unidades ��/��². 
 
2.1.1 Concreto 
��- = ���1,4 
O valor de	��� é fornecido em Mpa, para converter para ��/��²deve-se dividir o valor em Mpa por 10. 
Por exemplo: 
��� = 30	 !% = 3010 = 3��/��² 
��- = ���1,4 =
3
1,4 = 2,14��/��² 
 
2.1.2 Aço 
��- = ���1,15 
 
2.2 Esforços 
Utilizar a unidade ��. �� - = 1,4	 × � 
 
 
 
 
 
 
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3 VALORES DE REFERÊNCIA 
3.1 Deformação do aço no início do patamar de escoamento 
 
�D9 = ��-EF =
��-
21000 
 
3.2 Verificação do domínio de deformação 
 
Como é adotado =̅ ≤ 0,45- a peça estará no Domínio 3 ou no Domínio2. 
Para que a peça esteja no domínio 2 é necessário que =̅ < 0,259-. 
 
4 DETERMINAÇÃO DA TENSÃO NA ARMADURA COMPRIMIDA (σ’s) 
 
A tensão na armadura comprimida ( I′F) está associada com o valor da deformação na armadura 
comprimida �′F, que por sua vez pode ser determinado em função de =̅ de acordo com o domínio da peça. 
 
 
4.1 Deformação na armadura comprimida (J′
)	para o Domínio 3 
 
 
 
4.2 Deformação da armadura comprimida (J′
)	para o Domínio 2 
 
 
 
�K=̅ =
�′FL=̅ − -′) 
�′F = ML=̅ − -′)=̅ N 0,35% 
�F- − =̅ =
�′FL=̅ − -′) 
�′F = ML=̅ − -′)L- − =̅)N 1,0% 
 
 
 
 
 
 
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4.3 Determinação da tensão na armadura comprimida 
 
Conhecendo-se (�′F) basta compará-lo com �D9 para determinar a tensão I’�. 
Se �′F ≥ ��- então I’� = ��-; 
Se �′F < ��- então I’� = �′�	21000; 
 
5 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
 
 
 
5.1 Resultante no concreto Rc 
PK = 0,68+S�K9=̅ 
 
5.2 Equilíbrio de Forças (Equação 1) 
 
Equilíbrio de forças horizontais: PF = PK + P′F 
 
5.3 Equilíbrio de Momento (Equação 2) 
Em relação a um ponto sobre a linha da resultante das armaduras tracionadas. 9 = PKL- − 04=̅) + P5FL- − -5) 
 
5.4 Calculo de �’
 
 
A partir da equação 2 pode-se determinar �′�. 
 
5.4.1 Definições: -UUUUU = P�L-− 04=�) ∆ - = - − -UUUUU 
Reescrevendo a equação 2: 
P′� = - −P�L-− 04=�)L- − -′) 
Aplicando as definições de -UUUUU e ∆ -: 
P′� = ∆ -L- − -′) 
Mas por definição de tensão, sabe-se que: 
 
 
 
 
 
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P′� = �′�	I’� 
Igualando-se as duas equações: 
�5�	I’� = ∆ -L- − -5) 
Então: 
�5� = ∆ -I’�L- − -5) 
 
6 CÁLCULO DE X′
 
Conhecendo-se �5� e I’�,	pode-se determinar o valor de P′� pela equação: P′�= �′�	I’� 
 
7 CÁLCULO DA TENSÃO NA ARMADURA TRACIONADA Y
 
 
Como adotamos =̅ ≤ 0,45-, que para os aços usuais, é sempre menor que o limite entre os domínios 3 e 
4, então temos sempre domínio 2 ou domínio 3, e com isso, IF = �D9. 
 
8 CÁLCULO DE As 
 
Da equação de equilíbrio 1: PF = PK + P′F 
Mas, sabe-se que: 	 PF = �FIF 
Então: �FIF = PK + P′F 
�F = PK + P′FIF 
Mas, como visto na seção 7, IF = �D9 então: 
�F = PK + P′F�D9