ANPEC AULA 6. Incerteza I- Loterias e a Utilidade Esperada

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AULA 6: INCERTEZA I - Loterias e 
 Atitudes diante do Risco 
 
 
 
 1. Motivação 
 2. Preferências sobre Loterias; 
 3. Utilidade Von Neumann-Morgenstern; 
 4. Atitudes face ao Risco; 
 5. Medidas de Aversão ao Risco; 
 6. Exercícios sugeridos e Bibliografia 
 
 
 
 
 
1. Motivaçao 
 
 
 
 Em inúmeras situações reais, o resultado das 
decisões de um agente é incerto: na compra de um 
ativo real ou financeiro, na decisão de mudar ou não 
de emprego, na escolha da futura esposa (ou 
esposo)...etc. 
 
Nas situações concretas em que o resultado da 
escolha não depende substancialmente da interação 
de outros agentes, o problema pode ser representado, 
de forma estilizada, como um problema de escolha 
entre diferentes loterias. 
 
O caso em que o resultado da escolha individual 
depende da ação de outros agentes identificados será 
estudado mais à frente na teoria dos jogos. 
 
Uma loteria é um jogo que paga um premio em cada 
resultado possível do experimento. 
 
Por exemplo, se o jogo consiste no lance de uma 
moeda equilibrada pagando 1 real se o resultado for 
“cara” e -1 real se o resultado for “coroa”, podemos 
formalizar o jogo da seguinte maneira: 
 
 2
{ coroacara ,=Ω } :conjunto dos resultados possíveis; 
coroacaraP ,;2/1)( == ωω : probabilidade dos eventos 
 aleatórios; 
⎩⎨
⎧
=−
=+=
coroa
cara
X ω
ωω
;1
;1
)( : prêmios associados aos 
resultados. 
 
É natural que o decisor considere o premio esperado 
da loteria. 
 
Asssim, se g designa a loteria acima, o premio 
esperado desta loteria é: 
 
 )().()().()()( coroaXcoroaPcaraXcaraPEXgE +== ω 
 0)1(
2
1)1(
2
1 =−++= 
 
Dize-se que uma loteria é justa se ela tem valor 
esperado igual à 0. 
 
Se uma loteria não é justa, sempre é possível torná-a 
justa cobrando-se uma taxa de entrada igual ao seu 
premio esperado. 
 
Assim, se no exemplo acima o premio de “cara” fosse 
igual à 10 reais, teríamos 5.42/15)( =−=gE . 
 
Neste caso, cobrando 4.5 reais como entrada no jogo, 
os prêmios seriam: 
⎩⎨
⎧
=−=−−
==−+=
coroa
cara
X ω
ωω
;5.55.41
;5.55.410
)( de 
modo que teremos assim uma loteria justa. 
 
Em princípio, o agente estaria disposto a pagar até o 
valor do premio esperado para ter acesso à loteria. 
 
Se o custo do acesso for menor que o premio 
esperado, o premio líquido é positivo de modo que o 
agente estaria disposto a comprar a loteria. 
 
Entretanto, o uso do premio esperado para se definir 
o custo de acesso à loteria nem sempre faz sentido. 
 3
 
Com efeito, a maioria dos agentes é avessa ao risco e 
reluta em comprar uma loteria cujo preço é muito 
alto, ainda que esta tenha um premio liquido positivo. 
 
Tal fato é ilustrado pelo famoso paradoxo de São 
Petersburgo, do século XVIII (D.Bernoulli). 
 
Suponha que uma moeda equilibrada seja lançada 
indefinidamente até que a primeira “cara” apareça. 
 
Sendo N o número de lances até a obtenção de uma 
cara, sabemos do Curso de Probabilidade que N é 
uma v.a. geométrica com parâmetro 2/1 e funçao de 
probabilidade ,....2,1;)2/1()( === nnNP n 
 
Se g designa a loteria que paga se o 
resultado “cara” é obtido no 
NNX 2)( =
moN lance, o premio 
esperado da loteria será: 
 
 . ∞+===== ∑ ∑∑ ∞= ∞=∞= 1 11 1)2/1(2)()()( n nnnn nNPnXgE
 
Estaria alguém disposto a pagar uma soma infinita 
para participar desta loteria ? 
 
A resposta obviamente é negativa, donde a 
necessidade de se buscar um critério distinto do 
premio esperado para se definir o custo de acesso à 
esta loteria. 
 
A solução do paradoxo de São Petersburgo passa 
pelo uso de uma função de utilidade que, à cada 
premio possível da loteria, associa a utilidade 
extraída pelo agente daquela renda monetária. 
 
Com efeito, não é razoável supor que o agente seja 
neutro ao risco, isto é, que atribua ao 10 Real o 
mesmo peso que a 1000 Real, se estes valores são 
incertos, isto é, ocorrem com uma certa 
probabilidade. 
 
 4
Assim, adotando a hipótese que sua utilidade 
marginal da renda seja decrescente, a funçao de 
utilidade do indivíduo será côncava. 
 
 
Com utilidades côncavas, em muitos casos o 
paradoxo de São Petersburgo pode ser resolvido, se o 
agente está disposto a pagar a utilidade esperada da 
loteria. 
 
Tal é o caso, no exemplo acima, se a utilidade da 
renda for, por exemplo: 
 
 XXu ln)( = 
 
Neste caso, a utilidade cresce menos rapidamente que 
o valor monetário dos prêmios ( 0;ln >< XXX ), de 
modo que a utilidade esperada da loteria é finita: 
 
∑ ∑∑ ∞= ∞=∞= ===≡ 1 11 )2/1(2ln)2/1(2ln)())(()( n n nnnn nnNPnXugu 
 
Ora, 
2/12/111 2/11 2/1
1
1 |)1
(
2
1|)(
2
1|
2
1|
2
1)2/1( ==== == =
−∞
= −∂
∂=∂
∂=∂
∂== ∑∑∑∑ xxni nni x
n
n
i x
n
n
n
x
x
x
x
xx
xnxn
 
Ou: 2|
)1(
1
2
1)2/1( 2/121 =−= =
∞
=∑ xn n xn . 
 
 (Obs.: na terceira desigualdade, escrevemos a soma das 
derivadas como a derivada da soma infinita porque esta é 
convergente na vizinhança de 2/1=x . Voce pode obter esta 
soma diretamente se lembrar que ela não é outra que o valor 
esperado da v.a. geométrica: 2)2/1/(1)/1/(1 === pEN ). 
 
Logo, 39.12ln2)( ==gu . 
 
Este é o valor moral da loteria, representando o que 
ela vale para o agente com esta funçao de utilidade. 
 
Este também é o valor máximo que ele estaria 
disposto a pagar para participar da loteria. 
 
 5
O exemplo do paradoxo de São Petersburgo mostra 
que uma teoria adequada para a escolha dos agentes 
decisores entre loterias precisa levar em 
consideração suas atitudes em face do risco. 
 
Como veremos nas seções seguintes, assim como no 
caso da teoria do consumidor, as atitudes dos agentes 
diante da incerteza também admitem uma 
caracterização fundamentada nas suas preferencias 
entre loterias e na funçao de utilidade que representa 
estas preferencias. 
 
 
 
2. Preferências entre loterias 
 
 
Na teoria do consumidor, assumia-se que o 
consumidor tinha preferências sobre diferentes cestas 
de bens, disponíveis certamente à apreciação e, 
eventualmente, escolha dele. 
 
Para esta escolha, ele dispunha de uma funçao de 
utilidade que lhe permitia ordenar as diferentes 
cestas, de acordo com a utilidade associada a cada 
uma delas. 
 
O consumidor escolhia então a cesta ótima, que lhe 
proporcionava o maior valor de utilidade, dentro do 
seu conjunto de consumo factível. 
 
Para tratarmos da escolha sob incerteza, vamos supor 
nesta aula que o consumidor tem preferências entre 
diferentes loterias, cada uma delas apresentando uma 
seqüencia finita de resultados possíveis , o 
resultado ocorrendo com probabilidade . 
naa ,...,1
ia ip
 
Um resultado (outcome, em inglês) ou prêmio 
(prize em inglês), pode ser uma cesta de bens, um 
montante em dinheiro positivo ou negativo, ou 
qualquer outra coisa. 
ia
 
 6
A diferença é que este deve ser visto como o 
resultado de um jogo, de um experimento aleatório: o 
resultado ocorre com probabilidade . 
ia ip
 
Loterias 
 
Seja o conjunto finito de resultados de uma 
experimento aleatório qualquer. 
},...,{ 1 naaA =
 
Definição: Uma loteria simples g sobre A , é 
definida por uma funçao de probabilidade 
npp ,...,1 
associada a cada ev ento de A . 
 
Esta será notada pela n-upla: ),...,( 11 nn apapg oo≡ . 
 
Uma outra loteria sobre h A difere de g por atribuir 
uma outra funçao de probabilidade aos resultados de 
A , por exemplo: . ),...,11 naaqh oo(≡ nq
 
O conjunto de todas as loterias simples sobre A é 
definido por: 
 
 ∑ = =≥≡ ni iinn ppapapG 111 }1,0:),...,{( oo
 
 
onde seimpõe que as probabilidades sejam não 
negativas e somem 1. 
 
Quando um ou mais premios forem improváveis, 
isto é, tem probabilidade 0 de ocorrer, estes serão 
excluídos da notação. 
ia
 
Por exemplo, a loteria ))1(,0,...,0,( 121 nn aaaa oooo αα −−
))1(,1 naa oo
 será 
notada simplesmente: ( αα − . 
 
Note que o conjunto G também contém A , pois se o 
resultado ocorrer certamente, podemos caracterizá-
lo pela loteria: . 
ia
)1( iao
 
 7
 
 
Loterias Compostas 
 
Uma loteria composta é uma loteria seqüencial na 
qual um dos prêmios é um ticket de acesso à uma 
outra loteria. 
 
Por exemplo, a loteria ))1(,( 1 hag oo αα −= onde 
))1(,( 21 aah oo ββ −= { }21 ,aaA =
, é uma loteria composta sobre 
, porque a loteria simples é um dos 
prêmios de 
h
g . 
 
Note agora que as probabilidades efetivas dos 
prêmios e são, respectivamente, 
1a 2a )1( αβα −+ e 
)1)(1( βα −− , de modo que o agente estará indiferente 
entre a loteria composta g e a loteria simples 
)))1)(1(()) o ,1a1(((*g hoβααβα −−−+= , isto é: *gg ≈ . 
 
Na verdade, dizemos que *g é a loteria simples 
induzida pela loteria composta g . 
 
O agente leva em conta únicamente as probabilidades 
efetivas dos prêmios. 
 
Assim, para escolher entre duas loterias quaisquer, 
ele fará a comparação entre as loterias simples que 
são induzidas por elas. 
 
Da mesma maneira como na teoria do consumidor os 
objetos de escolha são as cestas de bens, na teoria da 
escolha sob incerteza os objetos de escolha são as 
loterias. 
 
Na sequencia definiremos a relação de preferências 
sobre o conjunto das loterias e os axiomas 
associados à ela, muitos dos quais já nos são 
familiares. 
G
 
 
 
 8
 
 
Axiomas da Escolha sob Incerteza 
 
 
(A1) Completude 
 
 Para quaisquer loterias Ghg ∈, , temos ou hg ≥ 
ou gh ≥ onde o sinal ≥ designa aqui a preferência 
fraca; 
 
(A2) Transitividade 
 
 Para quaisquer loterias Gmhg ∈,, , se hg ≥ e 
então teremos também 
mh ≥
mg ≥ . 
 
Acima mencionamos que cada premio pode ser 
visto como um jogo degenerado pertecendo à . 
ia
G
 
Assim sendo, os axiomas (A1) e (A2) permitem 
hierarquizar os prêmios . 
ia
 
Suporemos entao, sem perda de generalidade, que os 
prêmios são indexados do melhor para o pior, isto é: 
. 
naaa ≥≥≥ ...21
 
Deste modo, não há loteria melhor que ))1(,( 1 naa αα −o 
se 1=α ou pior que ))1(,( 1 naa αα −o se 0=α . 
 
Isto sugere que, haverá um valor intermediário α que 
torna, para o agente decisor, a loteria acima 
indiferente a qualquer loteria Gg ∈ : )1(,( 1 nag )aαα −≈ o . 
 
Temos entao o seguinte axioma: 
 
 
(A3) Continuidade 
 
 Para qualquer loteria Gg ∈ , existe uma 
probabilidade [ 1,0∈ ]α tal que ))1( nag ,( 1a αα −≈ o . 
 9
 
O próximo axioma exprime a idéia de que, entre duas 
loterias envolvendo o melhor e o pior prëmio, o 
agente decisor preferirá aquela que atribui ao melhor 
premio a probabilidade mais elevada. 
 
 
(A4) Monotonicidade 
 
 Para quaisquer probabilidades [ 1,0, ]∈βα , temos 
tal que ))1(,())1(,( 11 nn aaaa oooo ββαα −≥− se e sòmente se 
βα ≥ . 
 
Obs.: Na primeira expressão, designa a preferência 
fraca; na segunda, ≥ designa a desigualdade fraca. 
≥
 
O axioma seguinte estabelece a equivalencia entre 
loterias cujos prêmios o agente considera como 
equivalentes. 
 
 
(A5) Substituição 
 
Se e ),...,( 11
n
n gpgpg oo≡ ),...,( 11 nn hphph oo≡ são duas 
loterias de G , e se ihig ≈ para todo i , entao hg ≈ . 
 
Observe que este axioma, junto com (A1), implica 
que quando o agente é indiferente entre duas loterias, 
ele também o é entre qualquer combinação convexa 
destas loterias. 
 
O último axioma estabelece que, ao considerar uma 
loteria em particular, só as probabilidades efetivas 
dos diferentes prêmios importam para o agente 
decisor. 
 
 
(A6) Redução à loteria simples 
 
 Se é a loteria simples induzida 
por 
),...,(* 11 nn apapg oo≡
Gg ∈ , entao gg ≈* . 
 
 10
 
Observe que por este último axioma e pela 
transitividade (A2), as preferencias do agente 
decisor sobre quaisquer loterias compostas serão 
completamente determinadas pelas suas preferências 
sobre as loterias simples induzidas por elas. 
 
Vamos agora considerar a representação das 
preferências sobre loterias através de uma funçao de 
utilidade. 
 
 
 
 
3. Utilidade Von Neumann-Morgenstern 
 
 
Na teoria do consumidor das aulas anteriores, na qual 
a escolha entre as cestas é feita sem incerteza, vimos 
que os axiomas da completude e da transitividade, 
acrescido de uma condiçao de continuidade das 
preferências, garantia a existência de uma funçao de 
utilidade contínua. 
 
No caso presente, além dos axiomas (A1), (A2) e 
(A3), foram acrescentados três outros axiomas. 
 
Assim, espera-se que a utilidade que representa as 
preferências do agente decisor entre as loterias, 
venha a ter outras propriedades adicionais, além da 
continuidade. 
 
Tal é efetivamente o caso. 
 
Veremos que se as preferências entre loterias 
atendem aos axiomas (A1)-(A6), então ela poderá ser 
representada por uma funçao de utilidade que exibirá, 
além da continuidade, uma importante propriedade: a 
da linearidade com relação às probabilidades 
efetivas de cada prêmio. 
 
Tal função de utilidade é dita ter a propriedade da 
utilidade esperada. 
 
 
 11
 
Propriedade da Utilidade Esperada 
 
A utilidade sobre loterias: )(:: gugRGu →→ tem a 
propriedade da utilidade esperada se: 
 
 ∑ == ni ii aupgu 1 )()(
 
onde é a utilidade do prêmio na loteria 
degenerada e é a probabilidade efetiva do 
prêmio na loteria simples , induzida 
por 
)( iau
ia
ia
ao
)1( iao ip
),...,( 11 nnpap o
g . 
 
As funçoes de utilidade que possuem a propriedade 
da utilidade esperada são chamadas de funçoes de 
utilidade von Neumann-Morgenstern (VNM), em 
razão do teorema seguinte, fundamental na teoria da 
escolha sob incerteza: 
 
 
Teorema 1: Existência de uma Utilidade VNM 
sobre G 
 
Seja uma relação de preferências sobre o )(≥
conjunto das loterias com prêmios em G A, a qual 
satisfaz os axiomas (A1) à (A6). 
 
Entao, existe uma funçao de utilidade 
)(:: gugRGu →→ representando , tal que u tem a )(≥
propriedade da utilidade esperada. 
 
 
Este teorema foi demonstrado por J. Von Neumann e 
O.Morgenstern (1944) no livro The Theory of Games 
and Economic Behavior. 
 
A prova do teorema é construtiva: Para cada loteria 
Gg ∈ , o número )(gu é definido como a probabilidade 
do melhor premio de A que deixa indiferente o 
 12
agente decisor entre a loteria g e o jogo melhor-
pior, isto é: 
 )n))(1(,)(( 1 aguagug oo −≈ . 
 
Observe que pelo axioma (A3) este número )(gu existe 
e, por (A4), é único. 
 
Isto define uma funçao de utilidade . [ ]1,0: →Gu
 
É fácil de ver que u assim definida representa a 
preferência ( )≥ : 
 
Com efeito, por (A3) temos a equivalência: 
 
)))(1(,()))(1(,)(( 11 nn ahuauaguaguhg oooo )(h −≥−⇔≥ 
 
e, por (A4), a equivalência desta última relação com 
a desigualdade fraca: )()( hugu ≥ . 
 
Logo, )()( huguhg ≥⇔≥
≥
, de modo que a utilidade 
assim definida representa a preferência. (Obs.: à 
esquerda, indica a preferência fraca; à direita, a 
desigualdade fraca). 
 
Finalmente, usando os axiomas (A5) e (A6) é 
possível mostrar que a utilidade definida acima tem a 
propriedade da utilidade esperada: 
 
Se é a loteria simples induzida por ),...,(* 11 nn apapg oo=
g , teremos: 
 
 ∑ == ni ii aupgu 1 )(*)(
 
A prova desta última parte será omitida (Veja Jehele 
e Reny, pp.98-99.) 
 
 
Exemplo 1: Suponha uma loteria quepaga 3 premios 
possíveis: { }000.10$,000.20$,000.50$ −=A . 
 13
Sabemos que o agente é indiferente entre ganhar 
 com certeza e participar de uma loteria que 
paga com probabilidade e 
000.20$
000.50$ 6.0 000.10$− com 
probabilidade . 4.0
 
(a) Construir a utilidade VNM; 
 
(b) Entre as loterias: )000.50$8.0,000.20$2.0( oo=g
)000.50$9.0, o
 e 
 qual delas o 
agente preferirá ? 
000.20$03.0,000.10$07.0( oo −=h
 
 Solução: 
 
(a) Visto que )000.10$0,000.50$1(000.50$ −≈ oo
)000.10
 e 
$1,000.50$0(000.10$ −≈− oo
.0)000.10( =−u
, colocamos: e 
 
1=)000.50(u
 
Visto que )000.10$4.0,000.50$6.0(000.20$ −≈ oo colocamos 
, de modo que a utilidade VNM está 
completamente definida sobre 
6.0)000.20( =u
A . 
 
(b) Como a utilidade acima tem a propriedade da 
utilidade esperada, temos entao: 
 
92.0)1(8.0)6.0(2.0)000.50(8.0)000.20(2.0)( =+=+= uugu e 
 
++=++−= )6.0(03.0)0(07.0)000.50(9.0000.20(03.0)000.10(07.0)( uuuhu 
 . 918.0)1(9.0 =
Assim, como )()( hugu > o agente preferirá a loteria g . 
 
 
Multiplicidade da representaçao VNM 
 
 Na teoria do consumidor, onde a escolha entre 
cestas de bens é feita sem incerteza, vimos que a 
funçao de utilidade é única a menos de uma 
transformação crescente desta utilidade. 
 
 14
Isto é, qualquer transformaçao crescente de uma dada 
funçao de utilidade representa as mesmas 
preferências que esta funçao. 
 
No caso da utilidade VNM, que representa as 
preferências entre loterias, os valores de utilidade 
também tem funçao ordinal, mas o significado destes 
valores vai um pouco além. 
 
Veremos que, de um modo geral, só uma classe 
menor de transformações crescentes da utilidade não 
alteram a representaçao das preferências: a classe das 
transformações crescentes afim. 
 
Com efeito, suponha uma loteria sobre 
onde e suponha que a relação de preferências 
 atenda os axiomas (A1)-(A6). 
{ }cbaA ,,=
cba ff
)( ≥
 
Por (A3) e (A4) existe um número )1,0(∈α tal que 
 ))1(,( cab oo αα −≈ . 
 
Este número α está diretamente relacionado com as 
preferencias do agente decisor: qualquer alteração no 
seu valor significa alteração na sua preferência. 
 
Pelo teorema 1 existe uma funçao de utilidade VNM 
 tal que u )()1()()( cuaubu αα −+= de modo que: 
 
 
)()(
)()(1
cubu
buau
−
−=−α
α 
 
Vemos que qualquer transformação da utilidade u que 
preserva a razão das diferenças à direita da igualdade 
acima, não altera o valor da razão αα /)1( − do lado 
esquerdo e, consequentemente, não altera a 
representaçao das preferências. 
 
Por exemplo, uma transformação crescente afim de 
u , do tipo 0>: ;+= δδγ uv serve, pois: 
 
 15
 α
α
δγδγ
δγδγ
−=−
−=−−+
−−+=−
−
1)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
cubu
buau
cubu
buau
cvbv
bvav 
 
 
O teorema seguinte estabelece não apenas a 
suficiência deste resultado, mas também a sua 
necessidade. 
 
Teorema 2: A utilidade VNM é única a menos de 
uma trasformaçao positiva afim. 
 
Suponha que a funçao de utilidade u represente as 
preferências . Entao, a funçao de utilidade )( ≥ v 
representa as mesmas preferências se e sòmente se, 
para alguma constante γ e algum escalar 0>δ , 
 
 )()( gugv δγ += 
 
Para qualquer loteria Gg ∈ . 
 
A demonstração da necessidade deste resultado, isto 
é, de que nenhuma outra transformação além da afim 
é capaz de preservar a mesma representaçao, se 
encontra no livro de Jehle e Reny, pp.102-104. 
 
 
4. Atitudes face ao Risco 
 
 
 Vamos agora supor que os prêmios da loteria são 
números reais não negativos, na forma de renda 
monetária. 
 
Assim é um conjunto contínuo. Todavia, 
continuaremos a considerar loterias com um número 
finito de prêmios : . 
+= RA
n nxxx ,...,, 21
 
Uma loteria simples g é notada: ),...,( 11 nn xpxpg oo= . 
 
Vamos agora caracterizar as atitudes do agente face 
ao risco através da utilidade VNM. 
 16
 
O premio esperado da loteria g é: . ∑ == ni ii xpgE 1)(
 
Suponhamos que o agente tenha de escolher entre 
uma loteria g e uma renda certa igual à )(gE . 
 
Qual delas ele preferirá ? 
 
Se suas preferências entre loterias atendem os 
axiomas (A1)-(A6) da seção 2 sabemos que ele 
poderá usar sua utilidade VNM u , para comparar 
estas duas alternativas: 
 
Loteria :g ∑ == ni ii xupgu 1 )()(
 
Renda certa )(gE : ∑ == ni ii xpugEu 1 )())((
 
Se o agente prefere a renda certa )(gE à renda 
aleatória da loteria g , dizemos que ele é avesso ao 
risco em g. 
 
Se ele é indiferente entre a renda certa e a renda 
aleatória de g , dizemos que ele é neutro ao risco em 
g . 
Se ele prefere a loteria g à renda certa )(gE , dizemos 
que ele é propenso ao risco de g. 
 
Como a preferência do agente é representada pela 
utilidade VNM u , temos então as seguintes 
definições: 
 
Definições: 
 
Seja a utilidade VNM do agente, definida para u
loterias cujos prêmios monetários são não negativos. 
Seja uma loteria simples ),...,( 11 nn xpxpg oo= não 
degenerada. O agente é dito: 
 
(i) Avesso ao risco se: GggugEu ∈∀> ,)())(( 
 
 17
(ii) Neutro ao risco se: GggugEu ∈∀= ,)())(( 
 
(iii) Propenso ao risco se: GggugEu ∈∀< ,)())(( 
 
 
 
A cada uma destas atitudes em face do risco 
corresponde uma propriedade específica da utlidade 
VNM u . 
 
Se o agente é avesso ao risco, sua utilidade VNM é 
estritamente côncava; 
 
Se o agente é neutro ao risco, sua utilidade VNM é 
linear; 
 
Se o agente é propenso ao risco, sua utilidade VNM é 
estritamente convexa; 
 
Para vermos a relaçao entre a concavidade da 
utilidade VN e a aversão ao risco do agente, 
considere que u é estritamente côncava se e sòmente 
se a reta secante passando por dois pontos quaisquer 
 e ( é estritamente menor que os 
valores da funçao entre estes dois pontos. 
))(,( nn xux ))( 11 xx , u
 
Isto é, supondo sem perda de generalidade, que 
, no caso de concavidade estrita devemos ter: 
nxx >1
 
 )()( xSxu > para todo ),( 1xxx n∈ 
 
 
onde )()()()()(
1
1
n
n
n
n xxxx
xuxuxuxS −−
−+= é a reta secante 
passando pelos pontos acima. 
 
 
Considere agora que seja oferecido ao agente a 
escolha entre a loteria ))1(,( 1xpxpg n oo −= e a renda 
certa . 
1)1()( xppxgE n −+=
 
 18
Avaliando a desigualdade acima no ponto )(gEx = 
teremos: 
 
 ))1(()()()())(())(( 1
1
1
nn
n
n
n xxppxxx
xuxuxugESgEu −−+−
−+=> 
 
 )()1()())()()(1()( 11 xupxpuxuxupxu nnn −+=−−+= 
 
 )(gu= (aversão ao risco). 
 
 
Vemos entao que a concavidade estrita de u implicará 
que o agente seja avesso ao risco. 
 
 
Fig.1: Utilidade VNM côncava e Aversão ao Risco 
 
 
x1xn
u(x1)
u(xn)
u(x)
S(x)
E(g)
u(E(g))
u(g)
EC
P
Aversao ao Risco 
renda0
 
 
 
 19
Na Figura acima, o indivíduo prefere a renda certa 
)(gE à renda incerta da loteria g . 
 
 
 
Equivalente Certeza 
 
 
Mas existe um montante de renda positivo )(EC que, 
se lhe fosse oferecido, o agente avesso ao risco 
estaria indiferente entre aceitar este valor ou aceitar 
a loteria g . 
 
Este montante é a renda EC ilustrada no gráfico, 
chamada equivalente certeza. 
 
Vemos que: 
 
 gEC ≈ , pois ).()( guECu = 
 
É possível facilmente provar que, se o agente é 
avesso ao risco e sempre prefere mais renda a menos 
renda, o equivalente certeza é um montante menor 
que a renda esperada da loteria: )(gEEC < . 
 
 
Premio de Risco 
 
 
O premio de risco P associado à uma loteria g é o 
montante de renda adicional máximo que o agente 
estádisposto a renunciar, ou “pagar”, para evitar 
o risco inerente de g . 
 
Formalmente, P é um valor tal que )())(( guPgEu =− . 
 
Sendo u estritamente monotonica, temos entao: 
 
 
 ECgEP −= )( 
 
 20
 
como indicado na Figura 1. 
 
 
 
Exemplo 2: O agente tem utilidade sobre a renda 
0>R igual à . Esta funçao é estritamente 
côncava, de modo que o agente é avesso ao risco. 
10/)( ReRu −−=
 
O agente tem uma renda inicial igual à 100 il reais e 
faz face à uma loteria 
 m
g que lhe permite ganhar ou 
perder mil reais com idêntica probabilidade: 10
)90
2
1,110
2
1( oo=g . 
 
Vamos calcular o equivalente certeza e o premio de 
risco desta loteria, para este agente. 
 
1002/902/110)( =+=gE e temos: 10/)( CEeCEu −−= e 
)1(
2
1)(
2
1)(
2
1)( 21110/9010/110 eeeegu +−=−+−= −−− . 
 
Igualando estes duas últimas expressões e tomando o 
logaritmo Neperiano dos dois lados vem, após 
multiplicação da equaçao por 1− : 
 
)433.1(10110)2/)1ln((10110)1ln(11)2ln(
10
1 22 −=+−=⇒+−+= eCEeCE
 
Ou, ainda: 67.9533.4100 =−=CE 
 
O premio de risco é, portanto: 
33.467.95100)( =−=−= CEgEP mil reais, o que 
corresponde à 4.33% do capital inicial. 
 
Este é o valor máximo que o agente estaria disposto a 
pagar, para evitar o risco inerente da loteria. 
 
A identificação das atitudes dos agentes em face do 
risco com a curvatura da funçao de utilidade é a 
aplicação à utilidade VNM de um resultado geral, 
 21
encontrado no curso de Estatística, a desigualdade de 
Jensen. 
 
 
Desigualdade de Jensen 
 
Considere uma variável aleatória , com suporte X
RX ⊆Ω e valor esperado EX finito e a funçao , Rg X →Ω:
que suporemos seja diferenciável em uma vizinhança 
de EX . 
Entao, g é côncava (convexa) em uma vizinhança de 
EX se e somente se )()( XEgEXg ≥ ))()(( XEgEXg ≤ . 
 
A prova da desigualdade de Jensen é simples: 
 
Temos g côncava em uma vizinhança de EX se e 
sòmente a reta tangente à g em EXX = , )(XT não ficar 
abaixo da funçao, nesta vizinhança, isto é: 
 
 )())(()()( XgEXXEXgEXgXT ≥−′+= 
 
Tomando então o valor esperado de ambos os lados 
da desigualdade e usando o fato que E é um operador 
monotonico, obtemos )()( XEgEXg ≥ . ⊕ 
 
 
 
 
5. Medidas de Aversão ao Risco 
 
 
 Em muitas situações reais, não basta saber se o 
agente é ou não avesso ao risco; é necessário saber 
também o quanto avesso ele é. 
 
Além disso, ao analista de risco, é importante ter em 
mãos alguma medida de risco sumária que permita 
efetuar comparações interpessoais ou avaliar como 
esta medida varia de acordo com diferentes níveis de 
riqueza do agente. 
 
 22
Pratt (1964) e Arrow (1970) propuseram o seguinte 
indicador, chamado Aversao Absoluta ao Risco: 
 
 
)(
)()(
Ru
RuRA ′
′′−= 
 
Nesta fórmula, o numerador identifica a atitude face 
ao risco: se a derivada segunda )(Ru ′′ for negativa 
(nula, positiva), o indicador )(RA é positivo (nulo, 
negativo), a utilidade VNM é côncava (linear, 
convexa), o que permite caracterizar a aversão 
(neutralidade, propensão) ao risco, como vimos 
anteriormente. 
 
Por outro lado, a divisão pela utilidade marginal da 
renda , na fórmula de )(Ru′ )(RA , permite padronizar as 
variações da curvatura da utilidade causadas por 
mudanças no nível da riqueza, o que torna a medida 
invariante a transformações afins da utilidade. 
 
Isto é muito importante, pois a representaçao das 
preferências só é invariante a transformações 
crescentes afins da utilidade VNM. 
 
 
Já a magnitude do indicador )(RA é uma medida da 
intensidade da aversao ou propensão ao risco. 
 
Quanto maior seu valor (em módulo) maior é a 
curvatura da utilidade e, em conseqüência, maior a 
aversao ou propensão ao risco. 
 
Pode-se provar, com efeito, que elevados valores de 
)(RA estão associados à baixos valores do equivalente 
certeza )(EC e elevados prêmios de risco )(P . 
 
Exemplo 3: No caso das seguintes funções de 
utilidade: (a) RRu ln)( = ; (b) 0,1;)( ≠<= ρρρ
ρRRv , 
(c) , (d) ReRw α−−=)( 0;0;2 <>)( ++= cbcRbRaRω obtemos 
os seguintes coeficientes de aversao absoluta: 
 23
(a)
R
RA 1)( = ; (b) 
R
RA ρ−= 1)( ; (c) α=)(RA ; (d)
cRb
cRA
2
2)( +
−= 
 
Nos casos (a) e (b) a intensidade da aversao ao risco 
decresce com o aumento da renda (riqueza) do 
agente. Para caracterizar esta atitude, a literatura usa 
a sigla DARA (Decreasing Absolute Risk Aversion) 
 
No caso (c) ela é constante. Esta atitude recebe o a 
sigla CARA (Constant Absolute Risk Aversion). 
 
No caso (d) ela aumenta com o aumento da riqueza, 
nos níveis compatíveis com utilidade crescente. 
 
 
Aversao Absoluta e Riqueza 
 
 
A intuição econômica e a evidencia empírica sugerem 
que, na maioria das vezes, a aversao absoluta ao risco 
é decrescente com relação ao nível da riqueza. 
 
Isto é, pessoas mais ricas seriam mais tomadoras de 
risco, suas medidas de aversao ao risco )(RA 
decresceriam com aumentos de R , como nos casos (a) 
e (b) sugeridos acima. 
 
Isto ocorreria porque a propensão a pagar para evitar 
o risco de uma loteria justa deveria diminuir com o 
aumento da riqueza, pois o decrescimento da 
utilidade marginal da renda tornaria as perdas 
potencias da loteria menos graves para pessoas mais 
abastadas. 
 
Entretanto, deve-se considerar, em contrário, que o 
decrescimento da utilidade, na margem, também 
tornaria os ganhos potenciais da loteria menos 
atrativos, de modo que pessoas mais abastadas 
poderiam demandar menos loterias, isto é, apresentar 
maior aversao ao risco, justamente por causa da 
menor atratividade da renda lotérica. 
 
 24
A ação destes dois efeitos opostos torna de fato, 
indeterminada a relação entre a aversao ao risco e o 
nível da riqueza. 
 
Apesar da intuição econômica e a evidencia empírica, 
ambas apontarem para a dominância do primeiro 
efeito, tudo depende na verdade das preferências de 
cada agente, isto é, da forma da sua funçao de 
utilidade, como sugerem os quatro casos apresentados 
acima. 
 
 
Aversao Relativa ao Risco 
 
 
Entretanto, é pouco provável que a propensão a pagar 
para evitar o risco associado à uma dada loteria seja 
independente da renda da pessoa. 
 
Como mencionado acima, uma hipótese plausível é 
que a aversao absoluta ao risco decresça com a renda 
e o faça de modo inversamente proporcional à ela, 
como nos casos (a) e (b) de Exemplo 3 acima. 
 
Seguindo esta ordem de raciocínio, Pratt (1964) 
argumentou que a expressão )(RRA deveria ser 
aproximadamente constante. 
 
Isto o levou a definir a Aversao Relativa ao Risco: 
 
 
 
)(
)()(
Ru
RuRRa ′
′′−= 
 
Observe que a aversao relativa ao risco não é outra 
coisa que o negativo da elasticidade da utilidade 
marginal da renda: 
R
RuRa
ln
)(ln)( ∂
′∂−= . 
 
Assim, no Exemplo 3, teremos, no caso (a) : 1)( =Ra e, 
e no caso (b): ρ−= 1)(Ra ambos constantes. 
 
 
 25
 
6. Bibliografia e Exercícios sugeridos 
 
 
 
Bibliografia: 
 
[SN] Cap.7 
[N] Cap.18 
[JR] Sec.2.4 
 
 
 
Exercícios Sugeridos. 
 
Anpec: 
 2012/ Q05 
 2011/ Q05 
 2010/ Q04, Q05 
 2009/ Q08 
 2008/ Q03, Q04 
 
[SN]: 7.1 - 7.5, 7.7 e 7.9-7.10 (Analytical) 
 
[JR] : 2.23 - 2.28