lista 02 Taxa de variação

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MATEMÁTICA II. LISTA 02.
1. TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA TVM = 
 EXEMPLOS: 
O custo de produção C(x) (em dólares ) que uma companhia tem ao fabricar x pranchas de surfe por dia é 
C(x) = -10x2 + 300x + 130.
 
a) Qual a taxa de variação média do custo de produção quando o número de pranchas passa de 10 
 para 12 por dia ? Qual é o seu significado? 
b) Qual a taxa de variação média do custo de produção quando o número de pranchas passa de 15 para 20 por dia ? Qual é o seu significado? 
 Solução a) TVM = 
 = 
 C(x2) = C(12) = -10(12)2+300(12) +130= -1440 +3600 +130 = 2290
 C(x1) = C(10) = -10(10)2 +300(10) + 130 = -1000 +3000 +130 = 2130
 TVM = 
= 
b) C(x2) = C(20) = -10(20)2 +300(20) + 130 = -4000 +6000 +130 = 2130
 C(x1) = C(15) = -10(15)2+300(15) +130= -2250 +4500 +130 = 2380
 TVM = 
= 
2. Em uma indústria química, considerou-se a produção de detergente como uma função do capital investido em equipamento e estabeleceu-se que P(x) = (1/2)x2, onde P é dada em milhares de litros e o capital investido x é dado em milhares de reais. Determine a taxa de variação média da produção para o intervalo 1( x (3. Qual é o seu significado?
 TVM = 
 onde 
 e 
- x1. Continue ....
 
3. Exercício 7. O valor em reais, de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos dias de pregão é dado pela equação V = 0,5t2-8t + 45. Considere t = 0, o momento inicial; t =1 ,após 1 dia; t = 2, após 2 dias.
Calcule a taxa de variação média do valor da ação no intervalo t = 2 e t = 4.
Calcule a taxa de variação média valor da ação no intervalo t = 4 e t = 8.
4. Estima-se que, se o preço de certo tipo de relógio for x reais, o lucro semanal obtido será L(x) = -x2 +140x -1875 reais. Calcule a taxa de variação média do lucro quando o preço varia de x = 50 a x = 60.
5. Suponhamos que o custo total de produção de x brinquedos seja C(x) = 110 + 4x + 0,02x2 reais. Calcule a taxa de variação média do custo quando o número de brinquedos varia de x = 10 a x = 14.
6. Considere a curva y = x2 + 1 e dois de seus pontos: P(0,1) e Q(2, 5). Ache a equação da reta secante que passa por P e Q. Faça os gráficos da curva e da secante.
 
7. Considere a curva y = -2x2 + 1 e dois de seus pontos: P(1, -1) e Q(0, 1). Ache a equação da reta secante que passa por P e Q. Faça os gráficos da curva e da secante.
 
8. Calcule a TVM do montante M resultante do capital inicial R$ 50.000 aplicado juros compostos a taxa de 8% a.a quando o número de anos passa a) de x = 0 a x = 4 b) de x = 4 a x = 10. Faça o gráfico de M e das respectivas retas secantes. M = 50.000(1,08)x
 
2. TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA = TVI
 
 y RT 
 RS 
f(x+h) 
 
 
 f(x)
 
= h
 
 x x+ h x
RS = reta secante TVM = 
 Taxa de Variação Média
RT = reta tangente TVI = limh(0
 Taxa de Variação Instantânea
Método dos três passos para o cálculo da taxa de variação instantânea: 
 Passo 1: Pontos P(x, f(x) ) e Q(x +h, f(x+h))
 Passo 2: Taxa de Variação Média: TVM = 
 Passo 3: Taxa de Variação Instantânea: TVI= limh(0(TVM)
Exemplo 1. O custo C para se beneficiar uma quantidade x de trigo é dado por C(x) = x2 + 400, onde C é dado em reais e x é a quantidade de trigo dado em toneladas. Determine a taxa de variação instantânea do custo para 
x = 2.
 Passo 1 : P( 2, C(2)) = ( 2, 404) pois C(2) = 22 + 400 = 404
 Q( 2 + h , C(2+h)) = (2+h, 404 + 4h + h2), 
 pois C(2+h) = (2+h)2 + 400 = 4 + 4h + h2 + 400 = 404 + 4h + h2.
Passo 2: TVM = 
Passo 3: TVI = limh(0(4+h) = 4 reais/ton
	h =
	0,5
	0,1
	0,01
	0,001
	0,0001
	0,00001
	h( 0
	TVM = 4 + h
	4,5
	4,1
	4,01
	4,001
	4,0001
	4,00001
	TVM( 4 = TVI
Exemplo 2. Para um produto, a receita R, em reais, ao se comercializar a quantidade x, em unidades, é dada por R(x) = -2x2 + 1000x.
Calcule a taxa de variação instantânea da receita R no instante em que a quantidade comercializada é x = 100 unidades.
Passo 1: P(100, R(100)) = (100, 80.000) pois R(100) = -2(100)2 + 1000(100) = -20.000 + 100.000 = 
 80.000
 Q( 100 + h, R(110+h)) = (100 + h, -2h2 + 600h + 80.000)
 Pois R(100 + h) = -2(100+h)2 + 1000(100+h) =-2(10000 +200h + h2) + 100.000 + 1.000h
 = -200.00 - 400h -2h2 + 100.000 + 1.000h = -2h2 + 600h + 80.000
Passo 2: TVM = 
Passo 3: TVI = limh(0(-2h + 600) = 600 reais/unidade
	h =
	1
	0,5
	0,1
	0,01
	0,001
	0,0001
	0,00001
	h( 0
	TVM=-2h + 600
	598
	599
	599,8
	599,98
	599,998
	599,9998
	599,99998
	TVM(600 = TVI
Exercício 1. Calcule a taxa de variação instantânea da função f(x ) = 5x2 – 4x no instante que x = 3.
 Resp. TVI= 26
Exercício 2. Calcule a taxa de variação instantânea da função f( x) = -2x2 + 4x + 128 no instante x =2 
 Resp .TVI = -4
Exercício 3. Calcule a taxa de variação instantânea da função f( x) = -2x2 + 4x + 128 no instante x 
 Resp .TVI = -4x + 4
Exercício 4. Calcule a taxa de variação instantânea da função f( x) = 3x2 - 4x -2 no instante x 
 Resp .TVI = 6x – 4
Exercício 5. Calcule a taxa de variação instantânea da função f( x) = x3 no instante x 
 Resp .TVI = 3x2
Exercício 6. Calcule a taxa de variação instantânea da função f( x) = 2x3 + 4x2 no instante x 
 Resp .TVI = 6x2+ 8x
Exercício 7. O valor em reais, de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos dias de pregão é dado pela equação V = 0,5t2-8t + 45. Considere t = 0, o momento inicial; t =1 ,após 1 dia; t = 2, após 2 dias.
a) Calcule a taxa de variação instantânea do valor da ação no instante t = 2.
b) Calcule a taxa de variação instantânea do valor da ação no instante t = 4.
Calcule a taxa de variação instantânea do valor da ação no instante t = 8.
Exercício8. O lucro L obtido com a venda de x camisetas, era dado por L( x ) = . Use os conhecimentos adquiridos até aqui para encontrar a taxa de variação do lucro quando x = 1.400 camisetas.
Exercício 9. Um psicólogo constatou que a capacidade de aprendizagem depende da idade e pode ser medida por 
, onde t se refere à idade da pessoa em anos. Calcule a taxa de variação da capacidade de aprendizagem no intervalo de idade entre 10 e 12 anos.
Faça aqui
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