Provas 1 Condução Cap 1 a 3 Incropera

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Provas 1/2014-1 gabarito.pdf
 1
EMA094 - Profa. Adriana S. França – 1ª Avaliação – 13/03/2014 
 
Nome: GABARITO 
 
Um reator nuclear de alta temperatura com resfriamento a gás consiste de diversos 
elementos cilíndricos combustíveis de tório (H=1m; D=16mm; k=57 W/mK). Cada 
elemento está envolto em uma camada de aço de 2 mm de espessura (k=20 W/mK) e 
localizado no centro de um canal cilíndrico (D=32mm) no qual escoa hélio gasoso. 
Considere condições nas quais a temperatura do hélio é de 600K, o coeficiente de 
transferência de calor por convecção é 2000 W/m2K e o canal está isolado termicamente do 
ambiente. Sabendo que a energia térmica é uniformemente gerada no elemento combustível 
a uma taxa de 108 W/m3: 
 
1) (4 pontos) avalie a temperatura na superfície externa do envoltório de aço. 
 
aço
hélio
tório
r
3
r
2
r
1
r
1
 = 8 mm
r
2
 = 10 mm
r
3
 = 16 mm
T
2
isolamento térmico
 
 
 
 
Todo o calor gerado no tório é transferido para o hélio por convecção: 
 
( ) ( ) ∞∞∞∞ +=⇒+=⇒−=⇒−= T
Hr2h
Hrq
TT
hA
Vq
TTThAVqTThAq
2
2
1
2222 π
π&&
& 
( )
( ) K760600101022000
10810
T
3
238
2 =+×××
×
= −
−
 
 
 
2) (14 pontos) Para melhorar a transferência de calor por convecção, sugere-se a 
colocação de aletas na superfície da tubulação. Dispõe-se dos seguintes conjuntos: 
A) oito aletas longitudinais integrais de aço, com as seguintes dimensões: espessura 3 
mm, comprimento de 6 mm e altura de 1m 
B) vinte aletas anulares de aço, com as seguintes dimensões: espessura 3 mm, raios 
interno e externo de 10 e 14 mm, respectivamente. 
 2
Avalie qual o conjunto mais eficaz em termos de resfriamento, considerando que os 
valores de coeficiente convectivo são: 1900 W/m2K para o sistema de aletas 
longitudinais e 1700 W/m2K para o sistema de anulares 
 
O sistema mais eficaz será aquele que apresentar o menor valor de T2 
 
∞
∞∞ +=⇒
−
=⇒
−
= T
hA
Vq
T
hA
1
TT
Vq
R
TT
q
tg
2
tg
2
t
2
η
η
&
& 
 
 
CONFIGURAÇÃO A: 
 
r
1 r
2
r
3t
 
Avaliação dos parâmetros da aleta: 
 
t
L
T
b
w
x
T
oo
, h
 
( ) 23 003,01031
22
mwtA
mwP
sr =×==
==
−
(1,0) 
 
( ) ( )( ) 252003,020/21900kA/hPm 2/12/1sr =××== (1,0) 
 
NÃO SE DEVE efetuar correção do comprimento, uma vez que a aleta está em 
contato com a parede isolada!!!! 23
3 rrm106L −=×= − (1,0) 
 
 3
( )
59,0
mL
mLtanh
a ==η (0,5) 
 
23
a m012,010600,2PLA =××==
− (0,5) 
 
sr2at NAwr2NAA −+= π 
 
( ) 23t m135,0003,08110102012,08A =×−××+×= −π 
 
( ) 72,01
A
NA
1 a
t
a
g =−−= ηη (2,0) 
 
( )
600
135,0190072,0
10810
T
hA
Vq
T
238
tg
2 +××
×
=+=
−
∞
π
η
&
 
 
K710T2 = (1,0) 
 
CONFIGURAÇÃO B: 
r
i
 = 8 mm
r
1
= 10 mm
r
2
 = 14 mm
r
3
 = 16 mm
eixo de
simetria
aço
T
2
tório
hélio
 
 
Considerações: aleta adiabática com comprimento corrigido 
 
Cálculo dos parâmetros da aleta: (3,0) 
 
m104rrL 312
−×=−= 
m105,52/tLL
3
c
−×=+= 
 4
25
cp m1065,1tLA
−×== 
m105,152/trr 32c2
−×=+= 
55,110/5,15r/r 1c2 == 
( ) ( ) ( )( ) 926,01065,120/1700105,5kA/hL 2/152/332/1p2/3c =×××= −− 
 
 
Da figura: 65,0a ≈η (1,0) 
Cálculo da resistência do conjunto de aletas (considerando um metro de comprimento do cilindro) 
 
( ) ( )( ) 242323a m1081,81010105,152A −−− ×=×−×= π (0,5) 
3334
descoberta,bat 10310102021101021081,820ANAA
−−−− ×××××−×××+××=+= ππ 
2
t m077,0A = (1,0) (B) 
( ) ( ) 92,065,01
077,0
1081,820
11
A
NA
1
4
a
t
a
g =−
××
−=−−=
−
ηη (0,5) 
 
( )
K768600
077,0170092,0
10810
T
hA
Vq
T
238
tg
2 =+××
×
=+=
−
∞
π
η
&
 
 
CONFIGURAÇÃO A É A MAIS EFICIENTE 
 
3) (7 pontos) Para o conjunto selecionado, calcule a temperatura interna do envoltório 
de aço e o valor máximo da temperatura no tório. 
 5
 
 
Avaliação de T1 : (3,0) 
 
 
( )
( )
2
12
1
12
12
t
12 T
k2
r/rln
VqT
k2
r/rln
TT
Vq
R
TT
q +=⇒
−
=⇒
−
=
π
π
&& 
( ) ( ) 710
202
8/10ln
10810T
238
1 +×
×= −
π
π 
 
K746T1 = 
 
Avaliação da temperatura máxima (centro do combustível) 
 
Considerações 
 
(1) regime estacionário 
(2) unidimensional (variações somente ao longo do raio) 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas: 
q
z
T
k
z
T
k
r
1
r
T
kr
rr
1
t
T
c
2p
&+





∂
∂
∂
∂
+





φ∂
∂
φ∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ρ 
0 (consideração 1) 0(consideração 2) 
rq
r
T
kr
r
&−=





∂
∂
∂
∂
 
Integrando uma vez: 
r
C
k2
r
q
r
T
C
2
r
q
r
T
kr 1
2
+−=
∂
∂
⇒+−=
∂
∂
&& 
Integrando novamente: 21
2
CrlnC
k4
r
q)r(T ++−= & (1,0) 
Aplicação das condições de contorno: 
1) não há fluxo de calor em r=0 0C1 = (1,0) 
2) T=T1 em r1 1
t
2
1
22
t
2
1
1 T
k4
rq
CC
k4
r
qT +=⇒+−=
&
& 
Portanto: 
1
t
2
1
t
2
T
k4
rq
k4
r
q)r(T ++−=
&
& 
 
( )
K774746
574
10810
T
k4
rq
)0(T
238
1
t
2
1 =+
×
×
=+=
−
&
 (2,0) 
Provas 1/2014-1.pdf
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EMA094 - Profa. Adriana S. França – 1ª Avaliação – 13/03/2014 
 
Nome: 
 
Um reator nuclear de alta temperatura com resfriamento a gás consiste de diversos elementos cilíndricos 
combustíveis de tório (H=1m; D=16mm; k=57 W/mK). Cada elemento está envolto em uma camada de aço de 
2 mm de espessura (k=20 W/mK) e localizado no centro de um canal cilíndrico (D=32mm) no qual escoa hélio 
gasoso. Considere condições nas quais a temperatura do hélio é de 600K, o coeficiente de transferência de calor 
por convecção é 2000 W/m
2
K e o canal está isolado termicamente do ambiente. Sabendo que a energia térmica 
é uniformemente gerada no elemento combustível a uma taxa de 10
8 
W/m
3
: 
 
1) (4 pontos) avalie a temperatura na superfície externa do envoltório de aço. 
 
2) (14 pontos) Para melhorar a transferência de calor por convecção, sugere-se a colocação de aletas na 
superfície da tubulação. Dispõe-se dos seguintes conjuntos: 
A) oito aletas longitudinais integrais de aço, com as seguintes dimensões: espessura 3 mm, comprimento de 
6 mm e altura de 1m 
B) vinte aletas anulares de aço, com as seguintes dimensões: espessura 3 mm, raios interno e externo de 10 e 
14 mm, respectivamente. 
Avalie qual o conjunto mais eficaz em termos de resfriamento, considerando que os valores de coeficiente 
convectivo são: 1900 W/m
2
K para o sistema de aletas longitudinais e 1700 W/m
2
K para o sistema de 
anulares 
 
3) (7 pontos) Para o conjunto selecionado, calcule a temperatura interna do envoltório de aço e o valor 
máximo da temperatura no tório. 
 
TODAS AS QUESTÕES DEVEM SER RESOLVIDAS A PARTIR DAS EQUAÇÕES FORNECIDAS
A SEGUIR: 
 
Lei de Fourier: TkAq ∇−= Lei do Resfriamento de Newton: ThAq ∆= 
 
Cilindro: rL2ALrV s
2 π=π= 
Resistência térmica: 
x
2s1s
t
q
TT
R
−
= Coordenadas cartesianas: 
kA
L
cond,R t = 
Coord. cilíndricas: 
( )
kL2
r/rln
cond,R 12t π
= Coord. esféricas: 





−
π
=
ei
t
r
1
r
1
k4
1
cond,R 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cartesianas: 
q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xt
T
cp &+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ρ 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas: 
q
z
T
k
z
T
k
r
1
r
T
kr
rr
1
t
T
c
2p
&+





∂
∂
∂
∂
+





φ∂
∂
φ∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ρ 
 
Eficiência de uma aleta:
ba
a
max
a
a
hA
q
q
q
θ
==η Eficiência conj. de aletas: ( )a
t
a
bt
t
g 1
A
NA
1
hA
q
η−−=
θ
=η 
 
 
 
 2
Aleta plana de seção reta constante: 
t
L
T
b
w
x
T
oo
, h
 
( )
mLmL
mLmL
sr
sr
2
a
ee
ee
)mLtanh(
)retaseçãoárea,A;perímetro,P(
kA/hPm
mL
mLtanh
−
−
+
−
=
==η
 
 
Correção do comprimento: 2/tLLc += 
ca PLA = 
 
 
( )212c2a rr2A −= π 
 
Provas 1/2014-2 gabarito.pdf
 1
EMA094 - Profa. Adriana S. França – 1ª Avaliação – 09/09/2014 
 
Nome: GABARITO 
 
1. Um módulo de reator nuclear de alta temperatura com resfriamento a gás é formado por 
uma parede cilíndrica composta, na qual um elemento combustível de tório (k=57 
W/mK) encontra-se envolto em grafite (k=37 W/mK) e hélio gasoso escoa através de 
um canal anular de resfriamento. Considere condições nas quais a temperatura do hélio 
é de 600K e o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície externa 
do grafite é de 2500 W/m2K. Considere que a energia térmica é uniformemente gerada 
no elemento combustível a uma taxa de 3 x 108 W/m3, que o canal anular por onde o 
hélio escoa possui 6mm de espessura e o sistema tem 1m de altura 
 
 
 
 
 
1) (5 pontos) avalie a temperatura na superfície externa do envoltório de grafite 
 
 
 
 
 
Todo o calor gerado no tório é transferido para o hélio gasoso por convecção: 
 
 2
(((( )))) (((( )))) (((( )))) ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ++++ππππ
−−−−ππππ
====⇒⇒⇒⇒++++====⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−==== T
Hr2h
Hrrq
TT
hA
Vq
TTThAVqTThAq
3
2
1
2
2
2222
&&
&
 
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]
(((( )))) K844600101422500
1081011103
T
3
23238
2 ====++++
××××××××××××
××××−−−−××××××××
====
−−−−
−−−−−−−−
 
 
 
2) (13 pontos) Para melhorar a transferência de calor por convecção, sugere-se a 
colocação de aletas na superfície da tubulação. Dispõe-se dos seguintes conjuntos: 
A) oito aletas retangulares planas de grafite, com as seguintes dimensões: espessura 1 
mm, comprimento de 4 mm e altura de 1m 
B) oito aletas triangulares planas de grafite, com as seguintes dimensões: espessura 
base 1 mm, comprimento de 5 mm e altura de 1m 
Avalie qual o conjunto mais eficaz em termos de resfriamento, considerando que o 
coeficiente convectivo permanece inalterado após a instalação das aletas: 
 
O sistema mais eficaz será aquele que apresentar o menor valor de T2 (1,0) 
 
∞
∞∞ +=⇒
−
=⇒
−
= T
hA
Vq
T
hA
1
TT
Vq
R
TT
q
tg
2
tg
2
t
2
η
η
&
& 
 
 
CONFIGURAÇÃO A: 
 
 
 
Avaliação dos parâmetros da aleta: 
 
Correção do comprimento da aleta: m105,42/tLL 3c
−−−−××××====++++==== (1,0) 
 
2633
cp m105,4105,4101tLA
−−−−−−−−−−−− ××××====××××××××××××======== (0,5) 
 
 3
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) 17,1105,437/2500105,4kA/hL 2/162/332/1p2/3c ====××××××××××××==== −−−−−−−− (0,5) 
 
 
Da figura: 57,0a ≈≈≈≈ηηηη (1,0) 
 
 
23
ca m009,0105,400,2PLA ====××××××××========
−−−− (0,5) 
 
sr3at NAHr2NAA −−−−ππππ++++==== 
 
(((( )))) 23t m152,0001,08110142009,08A ====××××−−−−××××××××ππππ++++××××==== −−−− 
 
(((( )))) (((( )))) 796,057,01
152,0
009,08
11
A
NA
1 a
t
a
g ====−−−−
××××
−−−−====ηηηη−−−−−−−−====ηηηη (2,0) 
 
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]
600
152,02500796,0
1081011103
T
hA
Vq
T
23238
tg
2 ++++××××××××
××××−−−−××××××××
====++++
ηηηη
====
−−−−−−−−
∞∞∞∞
&
 
 
K657T2 ==== (0,5) 
 
 
 4
CONFIGURAÇÃO B: 
 
 
b 
 
 
Cálculo dos parâmetros da aleta: 
 
m105LL 3c
−−−−××××======== (1,0) 
 
2633
p m105,2105105,02/LtA
−−−−−−−−−−−− ××××====××××××××××××======== (0,5) 
 
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) 84,1105,237/2500105kA/hL 2/162/332/1p2/3c ====××××××××××××==== −−−−−−−− (0,5) 
 
 
 5
Da figura: 48,0a ≈≈≈≈ηηηη (1,0) 
Cálculo da resistência do conjunto de aletas (considerando um metro de comprimento do cilindro) 
 
223
a m1011052HL2A
−−−−−−−− ××××====××××××××====××××××××==== (0,5) 
 
sr3at NAHr2NAA −−−−ππππ++++==== 
332
t 1018110142108A
−−−−−−−−−−−− ××××××××−−−−××××××××××××ππππ++++××××==== 
2
t m16,0A ==== 
(((( )))) (((( )))) 74,048,01
16,0
01,08
11
A
NA
1 a
t
a
g ====−−−−
××××
−−−−====ηηηη−−−−−−−−====ηηηη (2,0) 
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]
600
16,0250074,0
1081011103
T
hA
Vq
T
23238
tg
2 ++++××××××××
××××−−−−××××××××
====++++
ηηηη
====
−−−−−−−−
∞∞∞∞
&
 
 
K659T2 ==== (0,5) 
 
CONFIGURAÇÃO A É A MAIS EFICIENTE 
 
3) (7 pontos) Para o conjunto selecionado, calcule a temperatura interna do envoltório 
de aço e o valor máximo da temperatura no tório. 
 
 
 
 
Avaliação de T1 : (3,0) 
 
 
(((( ))))
(((( ))))
2
12
1
g
23
12
t
12 T
k2
r/rln
VqT
k2
r/rln
TT
Vq
R
TT
q ++++
ππππ
====⇒⇒⇒⇒
ππππ
−−−−
====⇒⇒⇒⇒
−−−−
==== && 
 6
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) 669
372
11/14ln
1081011103T
23238
1 ++++××××ππππ
××××−−−−××××ππππ××××==== −−−−−−−− 
 
K713T1 ==== 
 
Avaliação da temperatura máxima (em r=r1) 
 
 
 
Considerações 
 
(1) regime estacionário 
(2) unidimensional (variações somente ao longo do raio) 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas: 
q
z
T
k
z
T
k
r
1
r
T
kr
rr
1
t
T
c
2p
&+





∂
∂
∂
∂
+





φ∂
∂
φ∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ρ 
0 (consideração 1) 0(consideração 2) 
rq
r
T
kr
r
&−=





∂
∂
∂
∂
 
Integrando uma vez: 
r
C
k2
r
q
r
T
C
2
r
q
r
T
kr 1
2
+−=
∂
∂
⇒+−=
∂
∂
&& 
Integrando novamente: 21
2
CrlnC
k4
r
q)r(T ++−= & (1,0) 
Aplicação das condições de contorno: 
 
1) não há fluxo de calor em r=r1 
k2
r
qC
r
C
k2
r
q0
r
T 21
1
1
11
&& ====⇒⇒⇒⇒++++−−−−========
∂∂∂∂
∂∂∂∂
 (1,5) 
2) T=T1 em r2 
 7
22
2
1
2
2
12
2
1
2
Crln
k2
r
q
k4
r
qTCrln
k2
r
q
k4
r
q)r(T ++++++++−−−−====⇒⇒⇒⇒++++++++−−−−==== &&&&
12
2
1
2
2
2 Trlnk2
r
q
k4
r
qC ++++−−−−==== && 
12
2
1
2
2
2
1
2
Trln
k2
r
q
k4
r
qrln
k2
r
q
k4
r
q)r(T ++++−−−−++++++++−−−−==== &&&& 
(((( )))) (((( )))) 12
2
122
2 Trlnrlnk2
r
qrr
k4
q
)r(T ++++−−−−++++−−−−==== &
&
(0,5) 
Portanto: 
 
(((( )))) (((( )))) 121
2
12
1
2
21 Trlnrlnk2
r
qrr
k4
q
)r(T ++++−−−−++++−−−−==== &
&
 
(((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) 7131011ln108ln108
572
103
1081011
574
103
)r(T
3323
8
2323
8
1
++++××××−−−−××××××××
××××
××××
++++
××××−−−−××××
××××
××××
====
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
 
K734)r(T 1 ==== 
(1,0) 
Provas 1/2015-1 gabarito.pdf
 1
EMA094 - Profa. Adriana S. França – 1ª Avaliação – 14/04/2015 
 
Nome: GABARITO 
 
1. (12 pontos) O ar no interior de uma câmara (Tooi = 50
oC, hi = 20 W/m
2K) está em 
contato com uma parede plana (k = 4 W/mK) de 200mm de espessura, a qual 
apresenta geração uniforme de calor a uma taxa de 1500 W/m3. O lado externo da 
parede também se encontra em contato com ar (Tooe = 25
oC, he = 5 W/m
2K). 
 
a) Partindo da equação geral de transmissão de calor, obtenha a distribuição de 
temperatura ao longo da parede T(x), considerando que não há perda de calor 
através da parede externa. Calcule as temperaturas das paredes interna e 
externa. 
b) Para evitar que o calor gerado seja perdido para o exterior da câmara, sugere-
se a colocação de um aquecedor de tira na superfície da parede exterior, 
fornecendo um fluxo de calor constante "eq . Calcule o valor de 
"
eq que deve ser 
fornecido para o aquecedor, para garantir a condição de isolamento térmico na 
superfície externa da parede. 
c) Se a geração de calor for interrompida, mantendo o fluxo de calor constante na 
superfície externa, qual será o novo valor da temperatura desta parede? 
 
 
a) Desenho esquemático (1,0) 
 
L
x
h
i
, T
ooihe, Tooe
 
 
Considerações 
 
(1) regime estacionário 
(2) unidimensional (variações somente ao longo de x) 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cartesianas: 
q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xt
T
cp &+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ρ 
0 (consideração 1) 0(consideração 2) 
 2
1Cx
k
q
dx
dT
q
dx
dT
k
dx
d
+−=⇒−=




 &
& 
Integrando novamente: 21
2
CxC
k2
xq
)x(T ++−=
&
 (2,0) 
 
Aplicação das condições de contorno : 
1) (1,5) em x=0 (não há perda de calor) 0C0
x
T
1 =⇒=∂
∂
 
2) (1,5) em x=L (o calor que chega por condução sai por convecção) 
 
( ) )TLT(h
dx
dT
k iiLx ∞= −=− 
i
i
2
2
i
i2
2
i2
2
i Th
Lq
k2
Lq
C
h
Lq
TC
k2
Lq
TC
k2
Lq
hL
k
q
k ∞∞∞ ++=⇒=−+−⇒





−+−=


−×−
&&&&&&
 
 
i
i
22
T
h
Lq
k2
Lq
k2
xq
)x(T ∞+++−=
&&&
 
 
Avaliação das temperaturas (1,0): 
 
Temperatura da parede interna (x=L): 
 
C6550
20
102001500
T
h
Lq
T
h
Lq
k2
Lq
k2
Lq
)L(T o
3
i
i
i
i
22
=+
××
=+=+++−=
−
∞∞
&&&&
 
Temperatura da parede externa (x=0): 
 
( )
C5,7250
20
102001500
42
102001500
T
h
Lq
T
h
Lq
k2
Lq
)0(T o
323
ii
i
2
=+
××
+
×
××
−=+=++−=
−−
∞∞
&&&
 
b) "eq deve ser igual ao calor transmitido para o fluido externo, de forma que o fluxo 
líquido na parede seja zero.... 
 
( ) 2e1e"e m/W5,237255,725)TT(hq =−=−= ∞ (2,0) 
 
c) Como não há geração de calor, o problema pode ser resolvido via resistências: todo o 
calor produzido pela fita é transmitido para o interior e o exterior da câmara: 
 
C5,57T
h/1k/L
TT
h/1
TT
q o1
i
i1
e
e1"
e =⇒+
−
+
−
= ∞∞ (3,0) 
 
2. (13 pontos) Água em um tanque é aquecida pelo contato com um tubo de cobre (k=400 
W/mK) de 50mm de diâmetro interno e 3mm de espessura, submerso no tanque. Gases 
 3
quentes de combustão (T = 750K) escoam no interior do tubo. Para aumentar a 
transferência de calor para a água, quatro aletas planas de seção transversal uniforme são 
inseridas no interior do tubo, formando um cruzamento (vide figura). As aletas 
apresentam 6mm de espessura e também são feitas de cobre. Se a temperatura da 
superfície do tubo que está em contato com a água é 350K, e o coeficiente de transferência 
de calor por convecção do lado do gás é 30 W/m2K, qual a taxa de transferência de calor 
para a água por metro de tubo? Sabendo que a água se encontra a 340K, avalie o valor do 
coeficiente convectivo para a água. Dica: Considere que a parede do tubo pode ser aberta 
e aproximada por uma parede plana com 4 aletas conforme o desenho esquemático. 
 
água
gases D
i
/2
πD
e
 
 
Circuito térmico equivalente e definição das resistências (3,0) 
 
 
T
água
T
gases
T
e
L/kA1/η
g
hA
t
1/hA
ln(r
2
/r
1
)
(2πkL)
ou
 
 
Avaliação dos parâmetros da aleta: 
t
L
T
b
w
x
T
oo
, h
 
 
obs: a aleta tem um metro de largura (unidade de comprimento do tubo) 
( ) ( )
( ) 23sr
3
m006,01061wtA
m01,210612tw2P
=×==
=×+=+=
−
−
(1,0) 
( ) ( )( ) 49,5006,0400/01,230kA/hPm 2/12/1sr =××== (0,5) 
m1025L 3−×= (0,5) 
 
 4
NÃO SE DEVE efetuar correção do comprimento, pois pela simetria do problema não há fluxo de 
calor nas extremidades das aletas. A correção do comprimento somente é efetuada quando a 
extremidade da aleta está em contato com o fluido. (1,0) 
 
( )
99,0
mL
mLtanh
ηa == (1,0) 
 
23
a m0503,0102501,2PLA =××==
− (1,0) 
 
sreat NAwDπNAA −+= 
 
( ) 23t m338,0005,04110560503,04A =×−××π+×= − (1,0) 
 
( ) 999,01
A
NA
1 a
t
a
g =η−−=η (1,0) 
 
( ) 0987,0338,030999,0
1
11056400
103
hA
1
kA
L
R
3
3
tg
t =××
+
××π×
×
=
η
+= −
−
(1,0) 
 
W4049
09376,0
350750
R
TT
q
t
egases
t =
−
=
−
= (1,0) 
 
( ) Km/W2578hTTwDhW4049q 2aguaaguaeeaguat =⇒−π== (1,0) 
 
 
Provas 1/2015-1.pdf
 1
EMA094 - Profa. Adriana S. França – 1ª Avaliação – 14/04/2015 
 
Nome: 
 
1. (12 pontos) O ar no interior de uma câmara (Tooi = 50oC, hi = 20 W/m2K) está em 
contato com uma parede plana (k = 4 W/mK) de 200mm de espessura, a qual apresenta 
geração uniforme de calor a uma taxa de 1500 W/m3. O lado externo da parede também 
se encontra em contato com ar (Tooe = 25oC, he = 5 W/m2K). 
 
a) Partindo da equação geral de transmissão de calor, obtenha a distribuição de 
temperatura ao longo da parede T(x), considerando que não há perda
de calor 
através da parede externa. Calcule as temperaturas das paredes interna e externa. 
b) Para evitar que o calor gerado seja perdido para o exterior da câmara, sugere-se a 
colocação de um aquecedor de tira na superfície da parede exterior, fornecendo um 
fluxo de calor constante "eq . Calcule o valor de 
"
eq que deve ser fornecido para o 
aquecedor, para garantir a condição de isolamento térmico na superfície externa da 
parede. 
c) Se a geração de calor for interrompida, mantendo o fluxo de calor constante na 
superfície externa, qual será o novo valor da temperatura desta parede? 
 
2. (13 pontos) Água em um tanque é aquecida pelo contato com um tubo de cobre (k=400 
W/mK) de 50mm de diâmetro interno e 3mm de espessura, submerso no tanque. Gases 
quentes de combustão (T = 750K) escoam no interior do tubo. Para aumentar a 
transferência de calor para a água, quatro aletas planas de seção transversal uniforme 
são inseridas no interior do tubo, formando um cruzamento (vide figura). As aletas 
apresentam 6mm de espessura e também são feitas de cobre. Se a temperatura da 
superfície do tubo que está em contato com a água é 350K, e o coeficiente de 
transferência de calor por convecção do lado do gás é 30 W/m2K, qual a taxa de 
transferência de calor para a água por metro de tubo? Sabendo que a água se encontra a 
340K, avalie o valor do coeficiente convectivo para a água. Dica: Considere que a 
parede do tubo pode ser aberta e aproximada por uma parede plana com 4 aletas 
conforme o desenho esquemático. 
 
água
gases Di/2
piDe
 
 
 2
 
PARA TODAS AS QUESTÕES É NECESSÁRIO LISTAR TODAS AS 
CONSIDERAÇÕES UTILIZADAS NA RESOLUÇÃO, BEM COMO OS VALORES 
UTILIZADOS NO CÁLCULO DOS PARÂMETROS. 
 
Lei de Fourier: TkAq ∇−= Lei do Resfriamento de Newton: ThAq ∆= 
Cilindro: rL2ALrV s
2 pi=pi= Esfera: 2s
3 r4Ar
3
4V pi=pi= 
Resistência térmica (definição geral): 
x
2s1s
t q
TTR −= 
Resistências térmicas à transmissão de calor por condução: 
Coordenadas cartesianas: 
kA
L
cond,R t = 
Coord. cilíndricas: ( )
kL2
r/rln
cond,R 12t
pi
= 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cartesianas: 
q
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
xt
T
cp &+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ρ 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas: 
q
z
Tk
z
Tk
r
1
r
Tkr
rr
1
t
T
c 2p &+





∂
∂
∂
∂
+





φ∂
∂
φ∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ρ 
Eficiência aleta:
ba
a
max
a
a hA
q
q
q
θ
==η , 
∞
−=θ TTbb 
Eficiência conjunto de aletas: ( )a
t
a
bt
t
g 1A
NA1
hA
q η−−=
θ
=η 
 
t
L
Tb
w
x
Too, h
 
 
( )
mLmL
mLmL
srsr
2
a
ee
ee)mLtanh()retaseçãoárea,A;perímetro,P(kA/hPm
mL
mLtanh
−
−
+
−
===η
 
Correção do comprimento: 2/tLLc += 
 
Provas 1/2015-2 gabarito.pdf
 1
EMA094 - Profa. Adriana S. França – 1ª Avaliação – 24/09/2015 
 
Nome: GABARITO 
 
1. Um módulo de reator nuclear de alta temperatura com resfriamento a gás é formado por 
uma parede cilíndrica composta, na qual um elemento combustível de tório (k=60 
W/mK) encontra-se envolto em grafite (k=40 W/mK) e hélio gasoso escoa através de 
um canal anular de resfriamento. Considere condições nas quais a temperatura do hélio 
é de 500K e o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície externa 
do grafite é de 2000 W/m2K. Considere que a energia térmica é uniformemente gerada 
no elemento combustível a uma taxa de 2 x 108 W/m3, que o canal anular por onde o 
hélio escoa possui 6 mm de espessura e o sistema tem 1m de altura 
 
 
 
 
 
1) (5 pontos) avalie a temperatura na superfície externa do envoltório de grafite 
 
 
 
 
 
Todo o calor gerado no tório é transferido para o hélio gasoso por convecção: 
 
( ) ( ) ( ) ∞∞∞∞ +−=⇒+=⇒−=⇒−= T
Hrh
Hrrq
TT
hA
Vq
TTThAVqTThAq
3
2
1
2
2
2222
2π
π&&
& 
 2
( ) ( )[ ]
( ) KT 703500101422000
1081011102
3
23238
2 =+×××
×−××
=
−
−−
 
 
 
2) (13 pontos) Para melhorar a transferência de calor por convecção, sugere-se a 
colocação de aletas na superfície da tubulação. Dispõe-se dos seguintes conjuntos: 
A) oito aletas retangulares planas de grafite, com as seguintes dimensões: espessura 1 
mm, comprimento de 4 mm e altura de 1m 
B) vinte aletas anulares de grafite, com as seguintes dimensões: espessura base 1 mm, 
comprimento de 5 mm 
Avalie qual o conjunto mais eficaz em termos de resfriamento, considerando que o 
coeficiente convectivo permanece inalterado após a instalação das aletas: 
 
O sistema mais eficaz será aquele que apresentar o menor valor de T2 (1,0) 
 
∞
∞∞ +=⇒
−
=⇒
−
= T
hA
Vq
T
hA
1
TT
Vq
R
TT
q
tg
2
tg
2
t
2
η
η
&
& 
 
 
CONFIGURAÇÃO A: 
 
 
 
Avaliação dos parâmetros da aleta: 
 
Correção do comprimento da aleta: mtLLc
3105,42/ −×=+= (1,0) 
( ) ( ) 233 1012101122 mwtAmtwP sr −− ×===×+=+= (1,0) 
( ) ( ) ( )( ) 27,31610140/22000/ 2/132/1 =×××== −srkAhPm 
( ) == cca mLmLtgh /η 0,6255 (1,0) 
 
23 009,0105,400,2 mPLA ca =××==
− (0,5) 
 
 3
srat NAHrNAA −+= 32π 
 
( ) 23 152,0001,08110142009,08 mAt =×−××+×= −π 
 
( ) ( ) 8226,06255,01
152,0
009,08
111 =−
×
−=−−= a
t
a
g
A
NA
ηη (2,0) 
 
( ) ( )[ ]
500
152,020008226,0
1081011102
23238
2 +××
×−××
=+=
−−
∞T
hA
Vq
T
tgη
&
 
 
KT 5432 = (0,5) 
 
 
CONFIGURAÇÃO B: 
 
 
hélio
gasoso
grafite
tório
r
3
r
2
r
1
r
1
 = 8 mm
r
2
 = 11 mm
r
3
 = 14 mm
T
2
T
1
isolamento térmico
aleta
 
 
 
Cálculo dos parâmetros da aleta: 
 
( ) mtLrr c 332 105,192/ −×=++= (1,0) 
mrr 331 1014
−×== 
4,1/ 12 =rr c 
mtLLc
3105,52/ −×=+= 
2633 105,5101105,5 mtLA Cp
−−− ×=×××== (0,5) 
 
( ) ( ) ( )( ) 23,1105,540/2000105,5/ 2/162/332/12/3 =×××= −−pc kAhL (0,5) 
 
 4
 
Da figura: 52,0≈aη (1,0) 
Cálculo da resistência do conjunto de aletas (considerando um metro de comprimento do cilindro) 
 
( ) ( ) ( )( ) 223232322 01157,01014105,1922 mrrA Ca =×−×=−= −−ππ (0,5) 
 
srat NAHrNAA −+= 32π 
( )33 1012011014201157,020 −− ××−×××+×= πtA 
1093,0=tA 
( ) ( ) 898,052,01
1093,0
01157,020
111 =−
×
−=−−= a
t
a
g
A
NA
ηη (2,0) 
( ) ( )[ ]
500
1052,02000898,0
1081011102
23238
2 +××
×−××
=+=
−−
∞T
hA
Vq
T
tgη
&
 
 
KT 5602 = (0,5) 
 
CONFIGURAÇÃO A É A MAIS EFICIENTE 
 
3) (7 pontos) Para o conjunto selecionado, calcule a temperatura interna do envoltório 
de aço e o valor máximo da temperatura no tório. 
 
 
 5
 
 
Avaliação de T1 : (3,0) 
 
 
( )
( )
2
23
1
23
1212
2
/ln
2
/ln
T
k
rr
VqT
k
rr
TT
Vq
R
TT
q
g
t
+=⇒
−
=⇒
−
=
π
π
&& 
( ) ( )[ ] ( ) 543
402
11/14ln
1081011102
23238
1 +×
×−××= −−
π
πT
 
 
KT 5771 = 
 
Avaliação da temperatura
máxima (em r=r1) 
 
 
 
Considerações 
 
(1) regime estacionário 
(2) unidimensional (variações somente ao longo do raio) 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas: 
 6
q
z
T
k
z
T
k
r
1
r
T
kr
rr
1
t
T
c
2p
&+





∂
∂
∂
∂
+





φ∂
∂
φ∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ρ 
0 (consideração 1) 0(consideração 2) 
rq
r
T
kr
r
&−=





∂
∂
∂
∂
 
Integrando uma vez: 
r
C
k2
r
q
r
T
C
2
r
q
r
T
kr 1
2
+−=
∂
∂
⇒+−=
∂
∂
&& 
Integrando novamente: 21
2
CrlnC
k4
r
q)r(T ++−= & (1,0) 
Aplicação das condições de contorno: 
 
1) não há fluxo de calor em r=r1 
k
r
qC
r
C
k
r
q
r
T
22
0
2
1
1
1
11 && =⇒+−==
∂
∂
 (1,5) 
2) T=T1 em r2 
22
2
1
2
2
12
2
1
2
ln
24
ln
24
)( Cr
k
r
q
k
r
qTCr
k
r
q
k
r
qrT ++−=⇒++−= &&&&
12
2
1
2
2
2 ln
24
Tr
k
r
q
k
r
qC +−= && 
12
2
1
2
2
2
1
2
ln
24
ln
24
)( Tr
k
r
q
k
r
qr
k
r
q
k
r
qrT +−++−= &&&& 
( ) ( ) 12
2
122
2 lnln
24
)( Trr
k
r
qrr
k
q
rT +−+−= &
&
(0,5) 
Portanto: 
 
( ) ( ) 121
2
12
1
2
21 lnln
24
)( Trr
k
r
qrr
k
q
rT +−+−= &
&
 
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) 5771011ln108ln108
602
102
1081011
604
102
)(
3323
8
2323
8
1
+×−××
×
×
+
×−×
×
×
=
−−−
−−rT
 
KrT 738)( 1 = 
(1,0) 
Provas 1/2016-1 gabarito.pdf
 
EMA094N - Profa. Adriana S. França – 1ª Avaliação – 1o Sem. 2016 
 
Nome: GABARITO 
 
1. (7 pontos) Vapor escoando no interior de um tubo longo com paredes finas mantem a sua 
parede a uma temperatura uniforme de 500K. O tubo é coberto por uma manta de isolamento 
térmico composta por dois materiais diferentes, A e B. 
 
Suponha que existe na interface entre os dois materiais uma resistência térmica de contato 
infinita. A superfície externa está exposta ao ar, onde T∞ = 300K e h=25W/m2K. 
 
a. Esboce o circuito térmico para o sistema. Identifique (usando os símbolos da figura) 
todos os nós e resistências pertinentes. 
T
S1
T
OO
R
A,cond
T
S2,B
T
S2,A
R
B,cond
R
A,conv
R
B,conv
(2,0) 
 
b. Para as condições fornecidas, qual é a perda de calor total do tubo? Quais são as 
temperaturas na superfícies externas A e B? 
 
Considerando o comprimento do tubo (L) =1m 
 
c.  
k
r/rln
cond,R 12t


 (a resistência foi multiplicada por 2 por que a área foi reduzida 
pela metade) 
 
d. 
Dh
2
hA
1
conv,R t


 
 
 
   
W/K10103,1
2
50/100ln
k
r/rln
cond,R 1
A
12
A





 
   
W/K10826,8
25,0
50/100ln
k
r/rln
cond,R 1
B
12
B





 
 
W/K102732,1
1020025
2
Dh
2
conv,Rconv,R 1
3BA







 
 
   
W
K
10924,1RRRRR 1
1
conv,Bcond,B
1
conv,Acond,Aeq
 
 (2,0) 
 
Cálculo do calor (3,0) 
 
W1039
R
300500
Q
eq



 por metro de tubulação 
 
K4076,84110103,1500T
R
TT
W6,841
RR
TT
Q 1A,2s
cond,A
A,2s1S
conv,Acond,A
1S
A 




 
 
 
K32519810826,8500T
R
TT
W198
RR
TT
Q 1A,2s
cond,B
A,2s1S
conv,Bcond,B
1S
B 




 
 
 
2. (18 pontos) Uma barra longa cilíndrica (k=0,5 W/m K, 200 mm de diâmetro) está sujeita a 
geração de calor volumétrica uniforme a uma taxa de 25000 W/m3. A barra é envolta por uma 
camisa circular (k=4 W/m K) com diâmetro externo de 300 mm, cuja superfície externa está 
exposta a ar a 27oC (h=25 W/m2K). 
 
a) Avalie as temperaturas das superfícies interna (T1) e externa (T2) da camisa, considerando a 
colocação de 8 aletas retas (comprimento = 75 mm, espessura = 5 mm) no exterior da 
camisa. As aletas apresentam largura equivalente ao comprimento da barra e são 
constituídas do mesmo material da camisa. 
b) Sabendo que o material da barra se funde a 250 oC, verifique se existe necessidade de se 
trocar o fluido de resfriamento (Avalie o valor máximo de temperatura que será alcançado 
na barra). 
 
Desenho esquemático: (1,0) 
 
ar, 27oC
r
2
r
1
r
1
 = 100 mm
r
2
 = 150 mm
T
2
T
1
T
água
 
 
 
 
 
Os cálculos serão efetuados por unidade de comprimento da barra (L=1m) 
 
Avaliação de T2: 
 
Todo o calor produzido pela barra cilíndrica é transferido para o ar por convecção 
 
     TThALrqTThAVqq tgtg 2
2
12   
 
 
Avaliação dos parâmetros da aleta: (7,0) 
 t
L
T
b
w
x
T
oo
, h
 
 
obs: a aleta tem um metro de largura (unidade de comprimento da barra) 
 
   
  23
3
005,01051
01,2105122
mwtA
mtwP
sr 


 
     1,50005,04/275/ 2/12/1  srkAhPm
 
mtLLc
333 105,77105,210752/  
 
 
 
257,0
tanh

c
c
a
mL
mL
 
 
23 155,0105,772 mPLA ca 

 
 
sreat NAwDπNAA 
 
 
  23 149,2005,08110300155,08 mAt   
  4308,011  a
t
a
g
A
NA 
 
 
Cálculo de T2 e T1: (4,0) 
 
 
tg
tg
hA
Lr
qTTTThALrq 
 212221   
 
 
CT o9,60
149,2254308,0
10100
2500027
23
2 



 
 
 
 
 
 
tghAkL
rr
TT
kL
rr
TT
Lrqq


1
2
/ln
2
/ln 12
1
12
212
1




 
 
 
 
 
 
CT
T o6,73
42
1,0/15,0ln
9,60
1,025000 1
12 



 
 
 
 
Avaliação da temperatura máxima da barra (6,0) 
 
Considerações 
 
(1) regime estacionário 
(2) unidimensional (variações somente ao longo do raio) 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas: 
q
z
T
k
z
T
k
r
1
r
T
kr
rr
1
t
T
c
2p


































 
0 (consideração 1) 0(consideração 2) 
rq
r
T
kr
r










 
Integrando uma vez: 
r
C
k2
r
q
r
T
C
2
r
q
r
T
kr 1
2







 
Integrando novamente:
21
2
CrlnC
k4
r
q)r(T  
 
 
Aplicação das condições de contorno: 
1) não há fluxo de calor em r=0 (simetria) 
0C0
r
T
1 


 
2) T=T1 em r1 
1
2
1
22
2
1
1 T
k4
rq
CC
k4
rq
T 
 
Portanto: 
  1221 Trr
k4
q
)r(T 

 
 
 
CTTTr
k
q
TT o6,1986,73
5,04
1,025000
4
)0( max
2
max1
2
1max 



 
 
 
O sistema de resfriamento está adequado, visto que a temperatura máxima é inferior a 
temperatura de fusão do material. 
 
 
 
 
Provas 1/2016-1.pdf
 
EMA094N - Profa. Adriana S. França – 1ª Avaliação – 1o Sem. 2016 
 
Nome: 
 
1. (7 pontos) Vapor escoando no interior de um tubo longo com paredes finas mantem a sua 
parede a uma temperatura uniforme de 500K. O tubo é coberto por uma manta de isolamento 
térmico composta por dois materiais diferentes, A e B. 
 
Suponha que existe na interface entre os dois materiais uma resistência térmica de contato 
infinita. A superfície externa está exposta ao ar, onde T∞ = 300K e h=25W/m2K. 
 
a. Esboce o circuito térmico para o sistema. Identifique (usando os símbolos da figura) 
todos os nós e resistências pertinentes. 
 
b. Para as condições fornecidas, qual é a perda de calor total do tubo? Quais são as 
temperaturas na superfícies externas A e B? 
 
2. (18 pontos) Uma barra longa cilíndrica (k=0,5 W/m K, 200 mm de diâmetro) está sujeita a 
geração de calor volumétrica uniforme a uma taxa de 25000 W/m3. A barra é envolta por uma 
camisa circular (k=4 W/m K) com diâmetro externo de 300 mm, cuja superfície externa está 
exposta a ar a 27oC (h=25 W/m2K). 
 
a) Avalie as temperaturas das superfícies interna (T1) e externa (T2) da camisa, considerando a 
colocação de 8 aletas retas (comprimento = 75 mm, espessura = 5 mm) no exterior da 
camisa. As aletas apresentam largura equivalente ao comprimento da barra e são 
constituídas do mesmo material da camisa. 
b) Sabendo que o material da barra se funde a 250 oC, verifique se existe necessidade de se 
trocar o fluido de resfriamento (Avalie o valor máximo de temperatura que será alcançado 
na barra). 
 
 
TODAS AS QUESTÕES DEVEM SER RESOLVIDAS A PARTIR DAS EQUAÇÕES 
FORNECIDAS A SEGUIR: 
 
Lei de Fourier: 
TkAq 
 Lei do Resfriamento de Newton: 
ThAq 
 
 
Cilindro: 
rL2ALrV s
2 
 
 
Resistência térmica: 
x
2s1s
t
q
TT
R


 Coordenadas cartesianas: 
kA
L
cond,R t 
 
Coord. cilíndricas: 
 
kL2
r/rln
cond,R 12t


 Coord. esféricas: 









ei
t
r
1
r
1
k4
1
cond,R
 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cartesianas: 
q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xt
T
cp 

































 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas: 
q
z
T
k
z
T
k
r
1
r
T
kr
rr
1
t
T
c
2p


































 
 
Eficiência de uma aleta:
ba
a
max
a
a
hA
q
q
q


 Eficiência conj. de aletas: 
 a
t
a
bt
t
g 1
A
NA
1
hA
q



 
 
 
 t
L
T
b
w
x
T
oo
, h
 
 
 
mLmL
mLmL
srsr
2
a
ee
ee
)mLtanh()retaseçãoárea,A;perímetro,P(kA/hPm
mL
mLtanh





 
Correção do comprimento: 
2/tLLc 
 
 
Provas 1/Enunciado1aAvaliacaoAntiga_2016_1.pdf
 
EMA094N - Profa. Adriana S. França – 1ª Avaliação – 1o Sem. 2016 
 
Nome: 
 
1. (7 pontos) Vapor escoando no interior de um tubo longo com paredes finas mantem a sua 
parede a uma temperatura uniforme de 500K. O tubo é coberto por uma manta de isolamento 
térmico composta por dois materiais diferentes, A e B. 
 
Suponha que existe na interface entre os dois materiais uma resistência térmica de contato 
infinita. A superfície externa está exposta ao ar, onde T∞ = 300K e h=25W/m2K. 
 
a. Esboce o circuito térmico para o sistema. Identifique (usando os símbolos da figura) 
todos os nós e resistências pertinentes. 
 
b. Para as condições fornecidas, qual é a perda de calor total do tubo? Quais são as 
temperaturas na superfícies externas A e B? 
 
2. (18 pontos) Uma barra longa cilíndrica (k=0,5 W/m K, 200 mm de diâmetro) está sujeita a 
geração de calor volumétrica uniforme a uma taxa de 25000 W/m3. A barra é envolta por uma 
camisa circular (k=4 W/m K) com diâmetro externo de 300 mm, cuja superfície externa está 
exposta a ar a 27oC (h=25 W/m2K). 
 
a) Avalie as temperaturas das superfícies interna (T1) e externa (T2) da camisa, considerando a 
colocação de 8 aletas retas (comprimento = 75 mm, espessura = 5 mm) no exterior da 
camisa. As aletas apresentam largura equivalente ao comprimento da barra e são 
constituídas do mesmo material da camisa. 
b) Sabendo que o material da barra se funde a 250 oC, verifique se existe necessidade de se 
trocar o fluido de resfriamento (Avalie o valor máximo de temperatura que será alcançado 
na barra). 
 
 
TODAS AS QUESTÕES DEVEM SER RESOLVIDAS A PARTIR DAS EQUAÇÕES 
FORNECIDAS A SEGUIR: 
 
Lei de Fourier: 
TkAq 
 Lei do Resfriamento de Newton: 
ThAq 
 
 
Cilindro: 
rL2ALrV s
2 
 
 
Resistência térmica: 
x
2s1s
t
q
TT
R


 Coordenadas cartesianas: 
kA
L
cond,R t 
 
Coord. cilíndricas: 
 
kL2
r/rln
cond,R 12t


 Coord. esféricas: 









ei
t
r
1
r
1
k4
1
cond,R
 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cartesianas: 
q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xt
T
cp 

































 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas: 
q
z
T
k
z
T
k
r
1
r
T
kr
rr
1
t
T
c
2p


































 
 
Eficiência de uma aleta:
ba
a
max
a
a
hA
q
q
q


 Eficiência conj. de aletas: 
 a
t
a
bt
t
g 1
A
NA
1
hA
q



 
 
 
 t
L
T
b
w
x
T
oo
, h
 
 
 
mLmL
mLmL
srsr
2
a
ee
ee
)mLtanh()retaseçãoárea,A;perímetro,P(kA/hPm
mL
mLtanh





 
Correção do comprimento: 
2/tLLc 
 
 
Provas 1/Gabarito1aAvaliacaoAntiga_2016.pdf
 
EMA094N - Profa. Adriana S. França – 1ª Avaliação – 1o Sem. 2016 
 
Nome: GABARITO 
 
1. (7 pontos) Vapor escoando no interior de um tubo longo com paredes
finas mantem a sua 
parede a uma temperatura uniforme de 500K. O tubo é coberto por uma manta de isolamento 
térmico composta por dois materiais diferentes, A e B. 
 
Suponha que existe na interface entre os dois materiais uma resistência térmica de contato 
infinita. A superfície externa está exposta ao ar, onde T∞ = 300K e h=25W/m2K. 
 
a. Esboce o circuito térmico para o sistema. Identifique (usando os símbolos da figura) 
todos os nós e resistências pertinentes. 
T
S1
T
OO
R
A,cond
T
S2,B
T
S2,A
R
B,cond
R
A,conv
R
B,conv
(2,0) 
 
b. Para as condições fornecidas, qual é a perda de calor total do tubo? Quais são as 
temperaturas na superfícies externas A e B? 
 
Considerando o comprimento do tubo (L) =1m 
 
c.  
k
r/rln
cond,R 12t


 (a resistência foi multiplicada por 2 por que a área foi reduzida 
pela metade) 
 
d. 
Dh
2
hA
1
conv,R t


 
 
 
   
W/K10103,1
2
50/100ln
k
r/rln
cond,R 1
A
12
A





 
   
W/K10826,8
25,0
50/100ln
k
r/rln
cond,R 1
B
12
B





 
 
W/K102732,1
1020025
2
Dh
2
conv,Rconv,R 1
3BA







 
 
   
W
K
10924,1RRRRR 1
1
conv,Bcond,B
1
conv,Acond,Aeq
 
 (2,0) 
 
Cálculo do calor (3,0) 
 
W1039
R
300500
Q
eq



 por metro de tubulação 
 
K4076,84110103,1500T
R
TT
W6,841
RR
TT
Q 1A,2s
cond,A
A,2s1S
conv,Acond,A
1S
A 




 
 
 
K32519810826,8500T
R
TT
W198
RR
TT
Q 1A,2s
cond,B
A,2s1S
conv,Bcond,B
1S
B 




 
 
 
2. (18 pontos) Uma barra longa cilíndrica (k=0,5 W/m K, 200 mm de diâmetro) está sujeita a 
geração de calor volumétrica uniforme a uma taxa de 25000 W/m3. A barra é envolta por uma 
camisa circular (k=4 W/m K) com diâmetro externo de 300 mm, cuja superfície externa está 
exposta a ar a 27oC (h=25 W/m2K). 
 
a) Avalie as temperaturas das superfícies interna (T1) e externa (T2) da camisa, considerando a 
colocação de 8 aletas retas (comprimento = 75 mm, espessura = 5 mm) no exterior da 
camisa. As aletas apresentam largura equivalente ao comprimento da barra e são 
constituídas do mesmo material da camisa. 
b) Sabendo que o material da barra se funde a 250 oC, verifique se existe necessidade de se 
trocar o fluido de resfriamento (Avalie o valor máximo de temperatura que será alcançado 
na barra). 
 
Desenho esquemático: (1,0) 
 
ar, 27oC
r
2
r
1
r
1
 = 100 mm
r
2
 = 150 mm
T
2
T
1
T
água
 
 
 
 
 
Os cálculos serão efetuados por unidade de comprimento da barra (L=1m) 
 
Avaliação de T2: 
 
Todo o calor produzido pela barra cilíndrica é transferido para o ar por convecção 
 
     TThALrqTThAVqq tgtg 2
2
12   
 
 
Avaliação dos parâmetros da aleta: (7,0) 
 t
L
T
b
w
x
T
oo
, h
 
 
obs: a aleta tem um metro de largura (unidade de comprimento da barra) 
 
   
  23
3
005,01051
01,2105122
mwtA
mtwP
sr 


 
     1,50005,04/275/ 2/12/1  srkAhPm
 
mtLLc
333 105,77105,210752/  
 
 
 
257,0
tanh

c
c
a
mL
mL
 
 
23 155,0105,772 mPLA ca 

 
 
sreat NAwDπNAA 
 
 
  23 149,2005,08110300155,08 mAt   
  4308,011  a
t
a
g
A
NA 
 
 
Cálculo de T2 e T1: (4,0) 
 
 
tg
tg
hA
Lr
qTTTThALrq 
 212221   
 
 
CT o9,60
149,2254308,0
10100
2500027
23
2 



 
 
 
 
 
 
tghAkL
rr
TT
kL
rr
TT
Lrqq


1
2
/ln
2
/ln 12
1
12
212
1




 
 
 
 
 
 
CT
T o6,73
42
1,0/15,0ln
9,60
1,025000 1
12 



 
 
 
 
Avaliação da temperatura máxima da barra (6,0) 
 
Considerações 
 
(1) regime estacionário 
(2) unidimensional (variações somente ao longo do raio) 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas: 
q
z
T
k
z
T
k
r
1
r
T
kr
rr
1
t
T
c
2p


































 
0 (consideração 1) 0(consideração 2) 
rq
r
T
kr
r










 
Integrando uma vez: 
r
C
k2
r
q
r
T
C
2
r
q
r
T
kr 1
2







 
Integrando novamente:
21
2
CrlnC
k4
r
q)r(T  
 
 
Aplicação das condições de contorno: 
1) não há fluxo de calor em r=0 (simetria) 
0C0
r
T
1 


 
2) T=T1 em r1 
1
2
1
22
2
1
1 T
k4
rq
CC
k4
rq
T 
 
Portanto: 
  1221 Trr
k4
q
)r(T 

 
 
 
CTTTr
k
q
TT o6,1986,73
5,04
1,025000
4
)0( max
2
max1
2
1max 



 
 
 
O sistema de resfriamento está adequado, visto que a temperatura máxima é inferior a 
temperatura de fusão do material. 
 
 
 
 
Provas 1/gabarito_prova1_s2_2016.pdf
 
EMA094N - Profa. Adriana S. França – 1ª Avaliação – 2o Sem. 2016 
 
Nome: GABARITO 
 
1. (10 pontos) Uma forma de medir o coeficiente de transferência de calor por convecção 
de sistemas aletados envolve a adesão de uma das superfícies de uma folha metálica 
delgada a um material isolante e a exposição da superfície aletada ao fluido escoando 
nas condições de interesse, conforme detalhado na figura abaixo. 
 
 isolamento (k)
T
b
L
folha metálica
(T
sup
)
h,T
oo
 
h, T∞
2mm
 
2mm
1mm
5mm
Ao passar uma corrente elétrica através da folha metálica (espessura desprezível), calor é 
dissipado uniformemente e o fluxo correspondente, P”, pode ser deduzido a partir da 
medida da voltagem e da corrente elétrica. Considere condições para as quais T = Tb 
=25oC, P” = 3000 W/m2, L = 10 mm e kisol = 0,040 W/mK. O sistema aletado é composto 
de aletas piniformes com as dimensões detalhadas na figura. Cada aleta apresenta eficiência 
de 0,85 e o sistema aletado é composto de 50000 aletas/m2. As aletas e sua base são de 
cobre (k=350 W/m). Determine o coeficiente convectivo referente a escoamento de ar, 
sabendo que a temperatura da folha metálica e’ 100oC 
 
Considerações – aletas adiabáticas (somente a área lateral dissipa calor) 
 Área da base = 1m2 
 
Montagem do circuito térmico – todo o calor dissipado na folha metálica é transferido 
para o isolamento e para o ar (3,0) 
 
3
sup
21
sup
R
TT
RR
TT
q
b





 
bis
is
bb
b
tg Ak
L
R
Ak
L
R
hA
R  321
1

 
 
Avaliação dos parâmetros geométricos da aleta (4,0) 
 
 
L=h=5x10-3 m 
R=D/2= 1x10-3 m 
r=d/2= 0,5x10-3 m 
 
        32/123232/122 1002,5105,0105   rRhg 
  2510368,2 mgrRAa
  
  223522 144,24/10150000110368,2500004/1 mDNmNAA at   
 
      9171,085,01
144,2
10368,250000
11111
5




a
t
a
a
t
a
g
A
NA
A
NA  
 
25,0
104,0
1010
10714,5
1350
102
/508,0
144,29171,0
1 3
3
6
3
21 











RRh
h
R
 
 
KmWh
h
hR
TT
RR
TT
q
b
2
6
6
3
sup
21
sup
/3,18
10714,5/508,0
75
2700
25,0
25100
10714,5/508,0
25100
3000

















(3,0) 
 
2. (20 pontos) Uma barra retangular de combustível sólido nuclear de 30 mm de 
espessura (2L) é recoberta por uma camada de aço de 3mm de espessura (de cada 
lado). A camada interna de aço é isolada, e a camada externa está em contato com um 
revestimento de 5mm de espessura (k=10 W/mK) que está exposto a um fluido de 
resfriamento a 150oC (h=25000 W/m2K). O combustível apresenta geração uniforme 
de calor, a uma taxa de 2x107 W/m3. As condutividades térmicas do combustível e do 
aço são iguais a 60 e 18 W/mK, respectivamente. Avalie as temperaturas internas (Taii e 
Taei) e externas (Taei e Taee) de cada uma das camadas de aço. Caso fosse colocado na 
parte externa do revestimento um sistema aletado de eficiência global = 90%, em 
quantos graus a temperatura interna da camada de aço (Taii) seria reduzida? Considere 
que o sistema aletado duplica a area de contato com o fluido. 
 
 
 
aço
combustível
 
2L
fluido
re
ve
st
im
en
to
Tse
TaeeTaei
Taii Taie
 
 
Avaliação das paredes internas da parede de aço em contato com o revestimento (5,0) 
 
Como a parede interna de aço é isolada, todo o calor produzido no combustível é 
transferido para o fluido de resfriamento 
 
  CTT
h
Lq
TTThLq oseese 174150
25000
10301022
2
37







 
Considerando a resistência à condução de calor através da parede de revestimento : 
 
CTT
k
L
LqT
kL
TT
Lq oaeese
rev
rev
aee
revrev
seaee 474174
10
1051030102
2
/
2
337







 
Considerando a resistência à condução de calor através da parede de aço: 
CTT
k
L
LqT
kL
TT
Lq oaeiaee
a
a
aei
aa
aeeaei 574474
18
1031030102
2
/
2
337







 
 
Calculo das temperaturas interna e externa da outra camada de aço (8,0) 
 
Como não há transferência de calor através do aço, estas temperaturas são iguais e correspondem ao 
valor máximo de temperatura obtido no combustível 
 
 
x
aço
combustível
 
2L
fluido
re
ve
st
im
en
to
Tse
TaeeTaei
Taii Taie
 
 
Distribuição de temperatura no combustível em função de x. 
 
Considerações 
 
(1) regime estacionário 
(2) unidimensional (variações somente ao longo de x) 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cartesianas: 
q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xt
T
cp 

































 
0 (consideração 1) 0(consideração 2) 
1
c
c Cx
k
q
dx
dT
q
dx
dT
k
dx
d





 
 
Integrando novamente: 
21
c
2
CxC
k2
xq
)x(T 
 
 
Aplicação das condições de contorno: 
1) em x=0 
00 1 


C
x
T
 
efetuando-se um balanço de energia para a parede interna do aço, o calor que entra deve ser 
igual ao que sai, logo o fluxo de calor é zero através daquela parede 
 
2) T=Taei em x=2L    
c
aei
c
i
k
L
qTCC
k
L
qT
2
2
2
2
2
22
2
 
 
 
aei
cc
T
k
L
q
k
xq
xT 
2
2
2
)(
22

 
 
O ponto de maior temperatura corresponde à posição x = 0 
 
 
   
aieaii
o
c
i
TTCT
k
L
qTT





724
724
120
1030102
574
2
2
)0(
max
2372
 
 
Para avaliar o efeito do sistema aletado nas temperaturas basta recalcular Tse, pois a variação 
de T será a mesma para todas as temperaturas... (8,0) 
 
  CTT
A
LAq
TTThALAq ose
tg
sesetg 3,163150
2250009,0
10301022
2
37










 
A colocação do sistema aletado causaria uma redução de 10,7oC em todas as temperaturas: 
CT
o
aii 3,713
 
 
 
 
 
Provas 1/[1.1] (prova1)_antiga_transcal_2013.pdf
 1
EMA094 - Profa. Adriana S. França – 1ª Avaliação – 02/09/2013 
 
Nome: 
 
1. (10 pontos) Um sistema para resfriamento de água consiste em um tubo de aço (k=20 W/mK), com raios interno e 
externo de 60 e 70 mm, respectivamente, revestido por um conjunto de aletas anulares de alumínio (k=220 W/mK) 
em sua parede externa, conforme apresentado na figura. Água a 90oC escoa através do tubo interno (hi = 5000 
W/m2K), enquanto ar a 25oC (he = 200 W/m
2K) escoa no exterior. Avalie a taxa de calor transferida por unidade de 
comprimento (considere que o cilindro tem 1m de altura; o número de aletas representado na figura não corresponde 
ao número total de aletas). 
 
r
i
 = 60 mm
r
e
= 70 mm
r
1
 = 75 mm
r
2
 = 100 mm
eixo de
simetria
parede do cilindro caixa de alumínio
t = 2 mm
e = 2
mm
T
b
água, 90oC ar, 25oC
 
 
2. (15 pontos) Uma barra retangular de combustível sólido nuclear de 30 mm de espessura, com 200mm de largura e 
200mm de altura, é recoberta em suas laterais por um revestimento de aço de 3mm de espessura, conforme mostrado 
na figura abaixo. O combustível apresenta geração uniforme de calor, a uma taxa de 2x106 W/m3. As condutividades 
térmicas do combustível e do aço são iguais a 60 e 400 W/mK, respectivamente. O revestimento interno de aço é 
isolado, e o revestimento externo está em contato com uma chapa fina aletada, exposta a um fluido de resfriamento a 
150oC (h=2000 W/m2K). A chapa, com 400 aletas quadradas de aço (largura da aleta: 0,5 mm; comprimento da 
aleta: 10mm), apresenta uma resistência de contato de 5x10-6 m2K/W com a parede de aço. Sabendo que não existe 
troca de calor nas direções y e z, avalie as temperaturas interna (Ti) e externa (Te) do revestimento de aço em contato 
com o fluido. Obtenha uma expressão para a variação da temperatura ao longo de x no interior do combustível. Qual o 
ponto de temperatura mais elevada no combustível e qual o valor desta temperatura? 
 
fluido de
resfriamento
combustível
x
y
x
T
i
T
e
 
TODAS AS QUESTÕES DEVEM SER RESOLVIDAS
A PARTIR DAS EQUAÇÕES FORNECIDAS A SEGUIR: 
 
Lei de Fourier: TkAq ∇−= Lei do Resfriamento de Newton: ThAq ∆= 
 2
Cilindro: rL2ALrV s
2 π=π= 
Resistência térmica: 
x
2s1s
t q
TT
R
−
= Coordenadas cartesianas: 
kA
L
cond,R t = 
Coord. cilíndricas: 
( )
kL2
r/rln
cond,R 12t π
= Coord. esféricas: 





−
π
=
ei
t r
1
r
1
k4
1
cond,R 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cartesianas: 
q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xt
T
cp &+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ρ 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas: 
q
z
T
k
z
T
k
r
1
r
T
kr
rr
1
t
T
c
2p
&+





∂
∂
∂
∂
+





φ∂
∂
φ∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ρ 
Eficiência de uma aleta:
ba
a
max
a
a hA
q
q
q
θ
==η Eficiência conj. de aletas: ( )a
t
a
bt
t
g 1A
NA
1
hA
q
η−−=
θ
=η 
 
Aleta plana de seção reta constante: 
t
L
T
b
w
x
T
oo
, h
 
( )
mLmL
mLmL
sr
sr
2
a
ee
ee
)mLtanh(
)retaseçãoárea,A;perímetro,P(
kA/hPm
mL
mLtanh
−
−
+
−
=
==η
 
Correção do comprimento: 2/tLLc += 
ca PLA = 
 
( )212c2a rr2A −= π 
Provas 1/[1.1] gabarito_(prova1)_antiga_2013.pdf
 1
EMA094 - Profa. Adriana S. França – 1ª Avaliação – 02/09/2013 
 
Nome: GABARITO 
 
 
1. (10 pontos) Um sistema para resfriamento de água consiste em um tubo de aço (k=20 W/mK), 
com raios interno e externo de 60 e 70 mm, respectivamente, revestido por um conjunto de 
aletas anulares de alumínio (k=220 W/mK) em sua parede externa, conforme apresentado na 
figura. Água a 90oC escoa através do tubo interno (hi = 5000 W/m2K), enquanto ar a 25oC (he = 
200 W/m2K) escoa no exterior. Avalie a taxa de calor transferida por unidade de comprimento 
(considere que o cilindro tem 1m de altura). 
 
r
i
 = 60 mm
r
e
= 70 mm
r
1
 = 75 mm
r
2
 = 100 mm
eixo de
simetria
parede do cilindro caixa de alumínio
t = 2 mm
e = 2
mm
T
b
água, 90oC ar, 25oC
 
 
Montagem do circuito e definição das resistências (3,0) 
 
T=25oCT=90oC R1 R2 R3 R4 
 
( ) ( )
teg
4
al
e1
3
aço
ie
2
ii
1 Ah
1
R
k2
r/rln
R
k2
r/rln
R
r2h
1
R
η
=
π
=
π
=
π
= 
 
Considerações: aleta adiabática com comprimento corrigido 
 
Cálculo dos parâmetros da aleta: (2,0) 
 
m1025rrL 312
−×=−= 
m10262/tLL 3c
−×=+= 
25
cp m102,5tLA
−×== 
m101012/trr
3
2c2
−×=+= 
 2
35,175/101r/r 1c2 == 
( ) ( ) ( )( ) 554,0102,5220/2001026kA/hL 2/152/332/1p2/3c =×××= −− 
 
 
 
 
Da figura: 80,0a ≈η (1,0) 
Cálculo da resistência do conjunto de aletas (considerando um metro de comprimento do cilindro) 
250
104
1
N
3
=
×
= − 
( ) ( )( ) 222323a m1088,21075101012A −−− ×=×−×= π (0,5) 
2332
descoberta,bat m4,7102107522501088,2250ANAA =×××××+××=+=
−−− π (1,0) 
( ) 806,01
A
NA
1 a
t
a
g =−−= ηη (0,5) 
 
 
 
 
 3
( ) ( )
( )
( ) ( )
1,7220806,0
1
2202
70/75ln
202
60/70ln
106050002
1
2590
Ah
1
k2
r/rln
k2
r/rln
r2h
1
2590
q
3
tegal
e1
aço
ie
ii
××
+
×
+
×
+
×
−
=
+++
−
=
− πππ
ηπππ
 (2,0) 
 
W24980q = 
 
 
2. (15 pontos) Uma barra retangular de combustível sólido nuclear de 30 mm de espessura, com 
200mm de largura e 200mm de altura, é recoberta em suas laterais por um revestimento de aço 
de 3mm de espessura, conforme mostrado na figura abaixo. O combustível apresenta geração 
uniforme de calor, a uma taxa de 2x106 W/m3. As condutividades térmicas do combustível e do 
aço são iguais a 60 e 400 W/mK, respectivamente. O revestimento interno de aço é isolado, e o 
revestimento externo está em contato com uma chapa fina aletada, exposta a um fluido de 
resfriamento a 150oC (h=2000 W/m2K). A chapa, com 400 aletas quadradas de aço (largura da 
aleta: 0,5 mm; comprimento da aleta: 10mm), apresenta uma resistência de contato de 5x10-6 
m2K/W com a parede de aço. Sabendo que não existe troca de calor nas direções y e z, avalie as 
temperaturas interna (Ti) e externa (Te) do revestimento de aço em contato com o fluido. 
Obtenha uma expressão para a variação da temperatura ao longo de x no interior do 
combustível. Qual o ponto de temperatura mais elevada no combustível e qual o valor desta 
temperatura? 
 
fluido de
resfriamento
combustível
x
y
x
T
i
T
e
 
 
 
Avaliação de Te: 
 
∞
∞∞ +








+=⇒
+
−
=⇒
−
= T
A
R
hA
1
VqT
A
R
hA
1
TT
Vq
R
TT
q
c,t
tg
e
c,t
tg
e
t
e
η
η
&& 
 
 
 4
 
Cálculo de Rt (resistência global do conjunto de aletas) 
 
 
m1025,102/tLL
3
c
−×=+= (0,5) 
( ) 27232sr
3
m105,2105,0wA
m102w4P
−−
−
×=×==
×==
(1,0) 
 
( ) ( )( ) 200105,2400/1022000kA/hPm 2/1732/1sr =××××== −− (1,0) 
 
( )
47,0
mL
mLtanh
c
c
a ==η (1,0) 
 
25
ca m1005,2PLA
−×== (0,5) 
 
( ) sr23at NA10200NAA −×+= − (1,0) 
 
( ) 227235t m108,4105,2400102001005,2400A −−−− ×=××−×+××= 
 
( ) 91,01
A
NA
1 a
t
a
g =−−= ηη (1,0) 
 
( )
( )
150
10200
105
108,4200091,0
1
102001030102T
T
A
R
hA
1
VqT
23
5
2
2336
e
c,t
tg
e
+








×
×
+
×××
××××=
+








+=
−
−
−
−−
∞η
&
 
 
 
C4,180T
o
e = (2,0) 
 
 
Avaliação de Ti : (2,0) 
 
 
ei
ei
t
ei T
kA
VLq
T
kA/L
TT
Vq
R
TT
q +=⇒
−
=⇒
−
=
&
& 
 
C9,1804,180
400
1031030102
T o
336
i =+
×××××
=
−−
 
 
 5
 
Avaliação da temperatura máxima (extremidade em contato com a parede interna de aço) 
 
Distribuição de temperatura no combustível em função de x. 
 
Considerações 
 
(1) regime estacionário 
(2) unidimensional (variações somente ao longo de x) 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cartesianas: 
q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xt
T
cp &+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ρ 
0 (consideração 1) 0(consideração 2) 
1
c
c Cxk
q
dx
dT
q
dx
dT
k
dx
d
+−=⇒−=




 &
& 
Integrando novamente: 21
c
2
CxC
k2
xq
)x(T ++−=
&
 (2,0) 
 
Aplicação das condições de contorno: 
1) em x=0 0C0
x
T
1 =⇒=∂
∂
 
efetuando-se um balanço de energia para a parede interna do aço, o calor
que entra deve ser 
igual ao que sai, logo o fluxo de calor é zero através daquela parede 
 
2) T=Ti em x=L 
c
2
i22
c
2
i
k2
L
qTCC
k2
L
qT && +=⇒+−= 
i
c
2
c
2
T
k2
L
q
k2
xq
)x(T ++−= &
&
 (2,0) 
 
O ponto de maior temperatura corresponde à posição x = 0 
 
( )
C9,195
602
1030102
9,180
k2
L
qT)0(T o
236
c
2
i =×
×××
+=+=
−
&
(1,0) 
Provas 1/[1.2] (prova1) _s2_2010.pdf
 
EMA094N - Profa. Adriana S. França – 1ª Avaliação – 01/09/2010 
Nome: 
 
1. (12 pontos) Uma barra longa cilíndrica (k=0,5 W/m K, 200 mm de diâmetro) está sujeita a geração de 
calor volumétrica uniforme a uma taxa de 25000 W/m3. A barra é envolta por uma camisa circular (k=4 
W/m K) com diâmetro externo de 350 mm, cuja superfície externa está exposta a ar a 27oC (h=25 
W/m2K). Avalie as temperaturas das superfícies interna (T1) e externa (T2) da camisa. Sabendo que o 
material da barra se funde a 250 oC, verifique se existe necessidade de se trocar o fluido de resfriamento 
(Avalie o valor máximo de temperatura que será alcançado na barra). 
 
2. (13 pontos) Água em um tanque é aquecida pelo contato com um tubo de cobre (k=400 W/mK) de 
50mm de diâmetro interno e 3mm de espessura, submerso no tanque. Gases quentes de combustão (T = 
750K) escoam no interior do tubo. Para aumentar a transferência de calor para a água, quatro aletas 
planas de seção transversal uniforme são inseridas no interior do tubo, formando um cruzamento (vide 
figura). As aletas apresentam 5mm de espessura e também são feitas de cobre. Se a temperatura da 
superfície do tubo que está em contato com a água é 350K, e o coeficiente de transferência de calor por 
convecção do lado do gás é 30 W/m2K, qual a taxa de transferência de calor para a água por metro de 
tubo? Sabendo que a água se encontra a 340K, avalie o valor do coeficiente convectivo para a água. 
Dica: Considere que a parede do tubo pode ser aberta e aproximada por uma parede plana com 4 aletas 
conforme o desenho esquemático. 
 
água
gases Di/2
πDe
 
 
PARA TODAS AS QUESTÕES É NECESSÁRIO LISTAR TODAS AS CONSIDERAÇÕES 
UTILIZADAS NA RESOLUÇÃO, BEM COMO OS VALORES UTILIZADOS NO CÁLCULO DOS 
PARÂMETROS. 
 
 
Lei de Fourier: TkAq ∇−= Lei do Resfriamento de Newton: ThAq Δ= 
Cilindro: rL2ALrV s
2 π=π= Esfera: 2s3 r4Ar3
4V π=π= 
 
Resistência térmica (definição geral): 
x
2s1s
t q
TTR −= 
Resistências térmicas à transmissão de calor por condução: 
Coordenadas cartesianas: 
kA
Lcond,R t = 
Coord. cilíndricas: ( )
kL2
r/rlncond,R 12t π= 
Coord. esféricas: ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
ei
t r
1
r
1
kπ4
1cond,R 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cartesianas: 
q
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
xt
Tcp &+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=∂
∂ρ 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas: 
q
z
Tk
z
Tk
r
1
r
Tkr
rr
1
t
Tc 2p &+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ∂
∂
φ∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=∂
∂ρ 
Equação geral de condução de calor em coordenadas esféricas: 
qTsenk
senr
1Tk
senr
1
r
Tkr
rr
1
t
Tc 222
2
2p
&+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
θ∂
∂θθ∂
∂
θ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ∂
∂
φ∂
∂
θ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=∂
∂ρ 
Eficiência aleta:
ba
a
max
a
a hA
q
q
q
θ==η , ∞−=θ TTbb 
Eficiência conjunto de aletas: ( )a
t
a
bt
t
g 1A
NA
1
hA
q η−−=θ=η 
 
t
L
Tb
w
x
Too, h
 
( )
mLmL
mLmL
srsr
2
a ee
ee)mLtanh()retaseçãoárea,A;perímetro,P(kA/hPm
mL
mLtanh
−
−
+
−===η 
Correção do comprimento: 2/tLLc += 
 
 
Provas 1/[1.2] gabarito_(prova1)_s2_2010.pdf
 
EMA094N - Profa. Adriana S. França – 1ª Avaliação – 2o Sem.2010 
 
Nome: GABARITO 
 
1. (12 pontos) Uma barra longa cilíndrica (k=0,5 W/m K, 200 mm de diâmetro) está sujeita a 
geração de calor volumétrica uniforme a uma taxa de 25000 W/m3. A barra é envolta por uma 
camisa circular (k=4 W/m K) com diâmetro externo de 350 mm, cuja superfície externa está 
exposta a ar a 27oC (h=25 W/m2K). Avalie as temperaturas das superfícies interna (T1) e 
externa (T2) da camisa. Sabendo que o material da barra se funde a 250 oC, verifique se existe 
necessidade de se trocar o fluido de resfriamento (Avalie o valor máximo de temperatura que 
será alcançado na barra). 
 
Desenho esquemático: (1,0) 
 
ar, 27oC
r2
r1
r1 = 100 mm
r2 = 175 mm
T2
T1
Tágua 
 
 
Avaliação de T2: (3,0) 
 
Todo o calor produzido pela barra cilíndrica é transferido para o ar por convecção 
 ( ) ( )∞∞ −××=×⇒−== TTLrπ2hLrπqTThAVqq 22212 && ( ) ( )27T175,02251,025000 22 −×××=× ( )K6,328C6,55T o2 = 
 
Avaliação de T1: (3,0) 
 ( )( ) ( )( )
Lrπ2h
1
kLπ2
r/rln
TT
kLπ2
r/rln
TTLrπqq
2
12
1
12
212
1
+
−=−=×= ∞& 
 
( ) ( )( ) )K346(C73T
42
1,0/175,0ln
6,55T1,025000 o11
2 =⇒
×
−=× 
 
 
 
 
 
 
Avaliação da temperatura máxima da barra (5,0) 
 
Considerações 
 
(1) regime estacionário 
(2) unidimensional (variações somente ao longo do raio) 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas: 
q
z
Tk
z
Tk
r
1
r
Tkr
rr
1
t
Tc 2p &+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ∂
∂
φ∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=∂
∂ρ 
0 (consideração 1) 0(consideração 2) 
rq
r
Tkr
r
&−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
 
Integrando uma vez: 
r
C
k2
rq
r
TC
2
rq
r
Tkr 1
2
+−=∂
∂⇒+−=∂
∂ && 
Integrando novamente: 21
2
CrlnC
k4
rq)r(T ++−= & 
Aplicação das condições de contorno: 
1) não há fluxo de calor em r=0 (simetria) 0C0
r
T
1 =⇒=∂
∂ 
2) T=T1 em r1 1
2
1
22
2
1
1 Tk4
rqCC
k4
rqT +=⇒+−= && 
Portanto: 
( ) 1221 Trrk4q)r(T +−= & 
 
( ) ( )K471C198T73
5,04
1,025000TTr
k4
q)0(TT omax
2
max1
2
1max =⇒+×
×=⇒+== & 
 
 
O sistema de resfriamento está adequado, visto que a temperatura máxima é inferior a 
temperatura de fusão do material. 
 
 
 
 
2. (13 pontos) Água em um tanque é aquecida pelo contato com um tubo de cobre (k=400 W/mK) 
de 50mm de diâmetro interno e 3mm de espessura, submerso no tanque. Gases quentes de 
combustão (T = 750K) escoam no interior do tubo. Para aumentar a transferência de calor para 
a água, quatro aletas planas de seção transversal uniforme são inseridas no interior do tubo, 
formando um cruzamento (vide figura). As aletas apresentam 5mm de espessura e também são 
feitas de cobre. Se a temperatura da superfície do tubo que está em contato com a água é 350K, 
e o coeficiente de transferência de calor por convecção do lado do gás é 30 W/m2K, qual a taxa 
de transferência de calor para a água por metro de tubo? Sabendo que a água se encontra a 
340K, avalie o valor do coeficiente convectivo para a água. Dica: Considere que a parede do 
tubo pode ser aberta e aproximada por uma parede plana com 4 aletas conforme o desenho 
esquemático. 
 
água
gases Di/2
πDe
 
 
Circuito térmico equivalente e definição das resistências (3,0) 
 
 
TáguaTgases
Te
L/kA1/ηghAt 1/hA
ln(r2/r1)
(2πkL)