Lista Calculo 2 para A2 - Prof Rômulo Brito

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1. A os valores de máximo, mínimo e pontos de sela das funções:
(a) f(x, y) = x2 + xy + y2 + y
(b) f(x, y) = (x− y)(1− xy)
(c) f(x, y) = y3 + 3x2y − 6x2 − 6y2 + 2
(d) f(x, y) = x3 − 12xy + 8y3.
(e) f(x, y) = ex cos(y)
(f) f(x, y) = (x2 + y2)ey2−x2
2. Ache o volume do sólido dado:
(a) Limitado pelos planos coordenados e o plano x = 0, y = 1, y = x, z = 0.
(b) Fechado pelos cilindros z = x2, y = x2 e o plano z = 0, y = 4.
(c) Limitado pelo cilindros x2 + y2 = 1 e os planos y = z, x = 0, z = 1 no
primeiro octante.
(d) Limitado pelos planos y = 0, z = 0, y = 4 e pelo cilindro parabólico
z = 4− x2
3. Calcular as integrais múltiplas usando a mudança de variável adequada.
(a)
∫∫
D
x−y
x+ydA, D é a região compreendida pelas retas x− y = 0, x− y =
1, x+ y = 1 e x+ y = 3. Dica: ∂(x,y)∂(u,v) .
(b)
∫∫
R xy
3dA, D é a região do primeiro quadrante limitada por y = x, y =
3x, xy = 1, xy = 4. Dica: use a transformação u = yx e v = xy e calcule
a Matriz Jacobiana J−1 = ∂(u,v)∂(x,y) .
(c)
∫∫
D
(x+y)6
y−x dxdy, D a região limitada pelas retas y + x = 3, y + x =
5, y − x = 1, y − x = 3.
4. Esboce a Região cuja a área é dada pela integral e calcule a integral∫ 3pi
4
pi
4
∫ 2
1 rdrdθ.
1
5. Avalie a integral pela mudança de variáveis em coordenada polar.
(a)
∫∫
D x
2ydA, D é a metade superior do disco com centro na origem e raio
r igual a 5.
(b)
∫∫
R sin(x
2 + y2)dA, R é a região no primeiro quadrante fechada pelo
círculo x2 + y2 = 4 e as linhas x = 0, y = x.
(c)
∫∫
D e
−x2−y2dA, D é a região limitada pelo semicírculo x =
√
4− y2 e
o eixo y.
(d)
∫∫
R arctan(
y
x)dA, R = {(x, y)|1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x}.
6. Determine a área da superfície.
(a) A parte do plano z = 2+ 3x+ 4y que está acima do retângulo [0, 5]×
[1, 4].
(b) A parte do plano 3x+ 2y + z = 6 que está no primeiro octante.
(c) A parte do cilindro y2+z2 = 9 que está acima do retângulo com vértices
(0, 0); (4, 0); (0, 2); (4, 2).
(d) A parte do parabolóide hiperbólico z = y2−x2 que está entre o cilindro
x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
(e) A parte da superfície z = xy que está contida no cilindro x2 + y2 = 1.
2
Respostas:
1) a)(1/3,−2/3) mínimo local . b) (1, 1); (−1,−1) pontos de sela.
c){(0, 0); (0, 4); (+2, 2)} (0, 0)- máximo local. (0, 4)- mínimo local. (+2, 2)-
pontos de sela. d){(0, 0); (2, 1)}, (0, 0) - ponto de sela. (2, 1)- mínimo lo-
cal. e) não há pontos críticos. f) {(0, 0); (1, 0); (−1, 0)} (0, 0) - mínimo local.
(1, 0); (−1, 0)-pontos de sela.
2) a)6, b)12815 , c)
1
3 , d)
128
3
3) a) ln(3)4 , b)21, c)(5
7 − 37) ln(3)14
4) a)3pi4
5) a)12503 , b)
pi
4 (cos(1)− cos(9)), c)pi2 (1− e−4), d)3pi
2
64
6) a)15
√
26, b)3
√
14, c)12 sin−1(23), d)
pi
6 (17
√
17− 5√5), e)2pi3 (2
√
2− 1)
3