Gabarito de Calculo Numerico P3 2o 2007 (1)

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P3- 2º SEMESTRE 2007- CÁLCULO NUMÉRICO- GABARITO 
 
TURMA A 
 
Questão 1 1 Resolver o sistema abaixo pelo método iterativo de Gauss-Seidel. 
 



=++
−=+−
=++
3z2yx10
4zyx
8zy10x
 
Em primeiro lugar é preciso reordenar as equações do sistema. 
 
 



−=+−
=++
=++
⇒



−=+−
=++
=++
4zyx
8,0z1,0yx1,0
3,0z2,0y1,0x
4zyx
8zy10x
3z2yx10
 
 



−+++−=+
+−+−=+
+−−=+
41ky1kx1kz
8,0kz1,01kx1,01ky
3,0kz2,0ky1,01kx
 
 



−=
=
=



−=
=
=



−=
=
=



−=
=
=
88,33z
09,13y
97,03x
88,32z
09,12y
97,02x
92,31z
10,11y
02,11x
40z
8,00y
3,00x
 
 
Solução 
 
88,3z
09,1y
97,0x
−≅
≅
≅
 
 
 
Questão 2 
 Ajustar os dados da tabela por uma curva da família xb.ay = . 
 
 
 
 
 
x y = f(x) 
1 0,33 
2 0,25 
3 0,2 
 
B.XAY
bln.xalnyln
+=
+=
 
 
 
 
 
1 X Y 
1 1 -1,11 
1 2 -1,39 
1 3 1,61 
3 6 -4,11 
6 14 -8,72 
 


=
=⇒

=−=
=−=⇒

−=+
−=+
78,0b
42,0a
bln25,0B
aln87,0A
72,8B14A6
11,4B6A3
 
 
 x)78,0.(42,0y = 
 
 
 
Questão 3 Delimitar o erro de truncamento máximo ao se calcular ln(t), com 1 < t <1,2, 
utilizando um polinômio de Lagrange de 1º grau. 
 
 
2,1c1
2c
1
.
2
2,1t.2,22t
)c("f.
!2
)2,1t).(1t(
trE
<<
−+−=−−=
 
 
 
2
2,1t.2,22t
21.2
2,1t.2,22t
trE
+−≤+−≤ 
 
Derivando essa função de t e igualando a zero obtemos as abcissas dos possíveis pontos de 
mínimo ou de máximo. 
 
1,1t,totanpor,e02,2t.2 ==− 
 
Substituindo na expressão do trE vem que o erro máximo será 
X Y 
1 -1,11 
2 -1,39 
3 -1,61 
 005,0trE ≤ 
 
 
Questão 4 
 Calcular a área limitada pelas curvas 3x32xyexy +−== , pela fórmula de Simpson, co
truncamento. 
2xc0xonde)c(
)IV(f.
90
5h
trE <<−= . 
 


=
==+−⇒=+−
3x
1x
03x.42xx3x.32x 
3x.42x)x(f +−= . Como a parábola encontra-se abaixo da reta y = x, o resultado da integral dessa funç
calculando uma área, consideramos em módulo. 
 
Tabelando com passo 0,5 
 
x 1 1,5 2 2,5 3 
f(x) 0 -0,75 -1 -0,75 0 
 
( )[ ]
trE...333,1Área
trE3333,1trE0)1.(275,075,0.40.3
5,0
3
1
dx)x(f
+=
+−=++−+−−+=∫ 
 
0trEo,totanpor,e0.12
35,0
trE =−= 
 
0trEoe333,1Área == 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (A) 
TURMA B 
Questão 1 Resolver o sistema abaixo pelo método iterativo de Gauss-Seidel. 
 



=++
−=+−
=++
2z2yx10
3zyx
6zy10x
 
Em primeiro lugar é preciso reordenar as equações do sistema. 
 
 



−=+−
=++
=++
⇒



−=+−
=++
=++
3zyx
6,0z1,0yx1,0
2,0z2,0y1,0x
3zyx
6zy10x
2z2yx10
 
 



−+++−=+
+−+−=+
+−−=+
31ky1kx1kz
6,0kz1,01kx1,01ky
2,0kz2,0ky1,01kx
 
 



−=
=
=



−=
=
=



−=
=
=



−=
=
=



−=
=
=
87,24z
82,04y
69,04x
87,23z
82,03y
69,03x
88,22z
82,02y
70,02x
91,21z
83,01y
74,01x
30z
6,00y
2,00x
 
 
Solução 
 
87,2z
82,0y
69,0x
−≅
≅
≅
 
Questão 2 
 Ajustar os dados da tabela por uma curva da família xb.ay = . 
 
 
 
 
 
 
B.XAY
bln.xalnyln
+=
+=
 
 
 
 
 
x y = f(x) 
1 0,33 
2 0,20 
3 0,14 X Y 
1 -1,11 
2 -1,61 
3 -1,97 
1 X Y 
1 1 -1,11 
1 2 -1,61 
1 3 1,97 
3 6 -4,69 
6 14 -10,24 
 


=
=⇒

=−=
=−=⇒

−=+
−=+
65,0b
50,0a
bln43,0B
aln70,0A
24,10B14A6
69,4B6A3
 
 
 x)65,0.(50,0y = 
 
Questão 3 Delimitar o erro de truncamento máximo ao se calcular 
t
1 , com 1 < t <1,2, utilizando um polinômio de
 
 
2,1c1
3c
2
.
2
2,1t.2,22t
)c("f.
!2
)2,1t).(1t(
trE
<<
+−=−−=
 
 
 
2,1t.2,22t
31.2
2).2,1t.2,22t(
trE +−≤+−≤ 
 
Derivando essa função de t e igualando a zero obtemos as abcissas dos possíveis pontos de mínimo ou de máximo. 
 
1,1t,totanpor,e02,2t.2 ==− 
 
Substituindo na expressão do trE vem que o erro máximo será 
 
 01,0trE ≤ 
Questão 4 
 Calcular a área limitada pelas curvas 4x32xye1xy +−=+= , 
pela fórmula de Simpson, com passo 0,5. Delimitar o erro de truncamento. 
1xc0xonde)c(''f.12
3h
trE <<−= . 
 


=
==+−⇒+=+−
3x
1x
03x.42x1x4x.32x 
3x.42x)x(f +−= . Como a parábola encontra-se abaixo da reta y = x, o resultado 
da integral dessa função será negativo. Como estamos calculando uma área, 
consideramos em módulo. 
 
Tabelando com passo 0,5 
 
x 1 1,5 2 2,5 3 
f(x) 0 -0,75 -1 -0,75 0 
 
( )[ ]
trE...333,1Área
trE3333,1trE0)1.(275,075,0.40.3
5,0
3
1
dx)x(f
+=
+−=++−+−−+=∫ 
 
0trEo,totanpor,e0.12
35,0
trE =−= 
 
 
0trEoe333,1Área ==