SINAIS DE TEMPO DISCRETOS

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EN2610 – Processamento Digital de Sinais – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – janeiro 2012 
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Aula 2 - Sinais de tempo discreto 
 Operações com sequências 
Bibliografia 
� OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas, 2a edição, Pearson, 2010. ISBN 9788576055044. 
Páginas 5-20. 
� HAYKIN, S. S.; VAN VEEN, B. Sinais e sistemas, Bookman, 2001. ISBN 8573077417. Páginas 40-46 e 
71-76. 
 
1.4 Sinais de tempo discreto 
� Um sinal de tempo discreto está definido apenas em instantes isolados de 
tempo. Consequentemente, um sinal de tempo discreto pode ser descrito por 
uma sequência de números. 
� Nesta aula, aprenderemos um pouco mais sobre a representação deste tipo de 
sinal e como realizar operações com eles. 
� Os sinais de tempo discreto são representados pela notação ][nx em que n só 
está definido para números inteiros. Cada um dos elementos do sinal x é 
chamado de amostra. Vejamos alguns exemplos: 
(a) 66 ,][ 2 ≤≤−= nnnx 
Este sinal é constituído das seguintes amostras 
{36,25,16, 9, 4,1, 0,1, 4, 9,16,25, 36}x n  =  . A figura a seguir mostra um gráfico des-
te sinal: 
stem(-6:6, (-6:6).^2); 
 
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A segunda amostra deste sinal é 25]5[ =−x . Este sinal tem 131)6(6 =+−− amos-
tras. 
(b) [ ] (0, 9) ,ny n n= ∈ ℕ 
As amostras deste sinal são [ ] {1;0, 9;0, 81;0, 729;0, 6561;...}y n = . A figura a seguir 
mostra as 50 primeiras amostras deste sinal. 
Repare que este é um sinal com infinitas amostras e, por exemplo, 1]0[ =y . 
stem (0:50, (0.9).^(0:50)) 
 
• Os exemplos acima mostram que um sinal de tempo discreto pode ser uma 
sequência de comprimento finito ou infinito. Além disso, um sinal de compri-
mento finito definido no intervalo 21 NnN ≤≤ tem comprimento ou duração: 
2 1 1N N N= − + . 
 
• Dentre as sequências de comprimento infinito, destacamos as sequências 
chamadas causais definidas somente para 0≥n e as sequências anticausais de-
finidas para 0<n . Por exemplo, a sequência do exemplo anterior é causal. 
 
Exercício 
1. (CARLSON, 1998; p. 44) Um sinal é chamado de simplesmente definido 
(“simply-defined”) se ele é representado por uma única equação e é chamado 
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de definido por partes (“piecewise defined”) se é representado por um con-
junto de equações cada uma válida num intervalo de tempo diferente. Sendo 
assim, esboce os sinais de tempo discreto definidos pelas seguintes equações. 
Indique também se eles são definidos por partes. 
(a) [ ] nenx 25,0= , ∞≤≤∞− n (b) [ ]







≥−
<≤−
<−
=
6,
3
5
63,3
3,1
n
n
n
nn
nx
 
(c) [ ] ( )
1
1
2 +
+
=
n
n
nx , ∞≤≤∞− n (d) [ ]



<
≥−
=
0,0
0,12
n
nn
nx 
 
(e) [ ] ( )( )

<−
≥+
=
0,11
0,11
nn
nn
nx 
 
1.5 Operações com sequências 
• Sistemas de tempo discreto são entidades que transformam uma ou mais se-
quências de entrada em uma ou mais sequências de saída. A figura a seguir 
mostra esquematicamente um sistema de tempo discreto cuja entrada é a se-
quência ][nx e a saída é a sequência ][ny . 
 
• O conceito de sistemas é um dos mais importantes nos cursos de Engenharia e 
é explorado em várias disciplinas. Aqui, nos preocuparemos principalmente 
com a parte operacional de sistemas de tempo discreto, ou, em outras palavras, 
em como eles operam. 
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• Quase todo sistema de tempo discreto pode ser decomposto em um conjunto 
de operações básicas entre sequências que serão estudadas a seguir. 
 
1.5.1 Produto 
• A operação produto entre duas sequências ][nx e ][ny , representada por 
[ ] ][][1 nynxnw ⋅= , consiste em multiplicar, para cada valor de n as amostras das 
sequências ][nx e ][ny . 
• Esquematicamente, esta operação é representada pelo símbolo mostrado a se-
guir. Esta operação também chamada de modulação na área de telecomunica-
ções. 
 
 
1.5.2 Soma 
• A operação soma entre duas sequências ][nx e ][ny , representada por 
[ ] ][][2 nynxnw += , consiste em somar, para cada valor de n as amostras das se-
quências ][nx e ][ny . 
• Esquematicamente, esta operação é representada pelo símbolo mostrado a se-
guir que é chamado de somador. 
 
 
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1.5.3 Multiplicação por escalar 
• Nesta operação, um novo sinal é gerado multiplicando-se cada amostra da 
sequência [ ]nx pelo escalar A : [ ]nAxnw =][3 . 
• Esquematicamente temos: 
 
• Esta operação também é chamada de ganho. 
 
Exercício 
2. (MITRA, 2001; p. 106) Considere as seguintes sequências de comprimento 7 
definidas para 33 ≤≤− n : 
[ ] { }
[ ] { }
[ ] { }1;0;5;6;3;4;5
2;9;4;3;1;7;0
2;5;4;1;0;2;3
−−=
−−=
−=
nw
ny
nx
. 
Determine as seguintes sequências: 
(a) [ ] [ ] [ ]nynxnu += (b) [ ] [ ] [ ]nwnxnv += (c) [ ] [ ] [ ]nwnyns −= 
(d) [ ] [ ]nynr 5,4= . 
 
1.5.4 Deslocamento no tempo 
• A última operação de que trataremos por enquanto é o deslocamento no tem-
po (“time-shifting”). A relação entre a saída e a entrada nesta operação é 
[ ] ][4 Nnxnw −= 
em que N é um inteiro. Se 0>N esta é uma operação de atraso e se 0<N esta 
é uma operação de avanço. O dispositivo que implementa a operação de atraso 
de uma amostra é chamado de atraso unitário e seu símbolo é mostrado a se-
guir. 
 
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• A explicação do por que deste símbolo será dada mais tarde quando for estu-
dado Transformadas z. 
 
Exercícios 
3. Um sinal de tempo discreto ][nx , definido para todo n inteiro é dado por 
[ ] 12 += nnx . Ele é passado por um atrasador, obtendo-se o sinal [ ] ]1[ −= nxnw . 
 
Descreva as amostras para 100 ≤≤ n dos sinais ][nx e ][nw e escreva uma fórmu-
la fechada para as amostras do sinal ][nw . 
 
4. Desenhe um diagrama de blocos que programe a seguinte operação sobre o 
sinal [ ]nx : 
]2[75,0]1[5,0][][ −+−+= nxnxnxny 
 
5. (MITRA, 2001; p. 47) Descreva uma formula para o sinal ][ny obtido do fil-
tro mostrado em diagrama de blocos na figura a seguir: 
 
 
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L1 - Introdução à Geração de Sinais no Matlab® 
L1.1 Introdução 
 Em Processamento Digital de Sinais (PDS) será estudado uma série de técnicas como 
amostragem, transformadas discretas (TFTD, TFD, Transformada Z) e algoritmos que imple-
mentam essas transformadas (FFT). 
 Estas técnicas de PDS estão presentes hoje em dia no desenvolvimento de qualquer 
aplicação que envolva transmissão ou processamento digital de dados e, portanto seu conhe-
cimento é crucial a um Engenheiro. 
 As figuras a seguir ilustram aplicações dessas técnicas em recepção de áudio digital. 
Digital Audio Broadcast 
 
 
 
 O Matlab® é uma ferramenta muito útil no estudo de problemas e no desenvolvimento 
de projetos em Engenharia sendo utilizado em universidades e empresas ao redor do mundo. 
 O principal motivo deste sucesso é a utilização maciça de vetores e matrizes para re-
presentar dados de uma forma simples (Matlab® = Matrix Laboratory). Esta forma de repre-
sentação praticamente elimina a necessidade de utilização de laços FOR ou WHILE simplifi-
cando e acelerando muito os programas. 
 O objetivo desta atividade é rever alguns conceitos básicos de programação em Ma-
tlab®. Durante o curso veremos muitosoutros detalhes técnicos. 
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 Lembre-se: sempre que você ficar na dúvida sobre a utilização de um comando, a fun-
ção <help comando> pode lhe ajudar. 
 
L1.2 Gerando vetores 
L1.2.1 O operador : 
O operador : é utilizado para gerar e acessar elementos de um vetor. 
Vetor = valor inicial: passo: valor final 
Quando o passo é unitário, ele pode ser omitido. 
• Exemplos de utilização 
A. gerar um vetor x com os números inteiros de zero a cinco 
>> x = 0:5 
x = 
0 1 2 3 4 5 
 
b. gerar um vetor y indo de 0 a 1 com passo de 0.1. 
>> y = 0:0.1:1 
y = 
 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 
0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 
 
c. mostrar o segundo elemento do vetor x 
>> x(2) 
ans = 
 1 
 
Exercício 
1. Gerar um vetor x de números pares de 0 a 50. 
Comandos: 
 
 
 
L1.2.2 A função linspace 
 A função linspace é uma forma prática de se gerar vetores quando sabemos quan-
tos pontos ele deve ter. 
Vetor = linspace (valor inicial, valor final, no. de pontos) 
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• Exemplos de utilização 
A. Gere um vetor de 1000 pontos com valores entre zero e 1 igualmente espaçados. 
>> v = linspace(0,1,1000); 
b. Repita o exercício anterior, mas com os valores em ordem decrescente. 
>> v = linspace(1,0,1000); 
 
Repare que quando usamos “;” ao final do comando o resultado não é apresentado na tela. 
Porém, a operação de atribuição é executada da mesma forma. 
 
 Exercício 
2. Gere um vetor x de 5000 pontos com valores entre 0 e 2*pi. 
Comandos: 
 
 
 
L1.2.3 Vetores especiais 
 Existem vetores pré-definidos pelo Matlab® e que são muito úteis. Dois deles são o 
ones(num.linhas, num.colunas) e o zeros(num.linhas, num.colunas) 
que geram, como os nomes dizem, vetores constituídos de uns e de zeros respectivamente. 
• Exemplos de aplicação 
A. Gere um vetor constituído de 10 zeros. 
>> x = zeros(1,10) 
x = 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 
b. Gere um vetor constituído por 5000 uns. 
>> y = ones(1,5000); 
 
Exercício 
3. Gere uma matriz 2x2 constituída por zeros. 
Comandos: 
 
 
 
 
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L1.2.4 Concatenação de vetores 
 Uma ferramenta muito interessante do Matlab® é a possibilidade de combinar vetores 
para formar outros (concatenar vetores). Veja os seguintes exemplos. 
• Exemplos de aplicação: 
A. Gere um vetor de cinco zeros seguidos por cinco uns. 
>> vector = [zeros(1,5) ones(1,5)] 
vector = 
 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 
B. Gere um vetor contendo os números inteiros entre zero e 10 em ordem crescente seguidos 
pelos mesmos em ordem decrescente. 
>> x = [0:10 10:-1:0] 
x = 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 
 
Exercício 
4. Construa um vetor constituído pelos números pares de 0 a 10 seguido pelos números ím-
pares de 0 a 10. 
Comandos: 
 
 
 
 
L1.2.5 Operações entre vetores 
 O Matlab® permite somar (+), subtrair (-), multiplicar (.*) , dividir (./) vetores. Essas 
operações são realizadas elemento a elemento e só podem ser aplicadas entre vetores de mes-
mo comprimento. 
 Além disso, quase todas as suas funções (trigonométricas, exponenciais e outras) po-
dem ser aplicadas a um vetor sendo que elas operam também elemento a elemento. 
• Exemplos de aplicação 
a. Sendo x = [2 3 7] e y = [0 -1 3] escreva a resposta de cada um desses coman-
dos executados no Matlab®. 
I) x + y [2 2 10] 
ii) x – y [2 4 4] 
iii) x.*y [0 -3 21] 
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b. Como gerar a partir do vetor x = 0:0.001:1 um vetor com números de 1 a 11? 
V = 10*x+1 
Exercício 
5. Sendo x = [2.1 -2 3] e y = [0 -1 3], escreva o vetor resultante das seguintes 
operações: 
i) x+y ii) 3*x iii) x.*y 
 
iv) x./y v) y.^2 vi) x.^y 
Respostas: 
 
 
 
 
L1.3 Gráficos 
 Outra característica muito interessante do Matlab® para um engenheiro é a facilidade 
de se construir gráficos complicados com ele de uma maneira muito simples. Dois comandos 
muito utilizados são: 
plot(vetor.abscissa, vetor.ordenada, ‘modo’); 
stem(vetor.abscissa, vetor.ordenada); 
 O comando plot traça um gráfico colocando seu primeiro argumento no eixo hori-
zontal e seu segundo argumento no eixo vertical. A “string” ‘modo’ indica a forma como o 
gráfico será traçado. Veja help plot para mais detalhes. 
 Stem traça um gráfico da sequência em seu segundo argumento como palitos com 
círculos no valor dos dados usando seu primeiro argumento como abscissa. Veja os exemplos. 
• Exemplos de aplicação 
a. Faça um gráfico da função ( ) sin( )y t t= para 0,4t π ∈   
>> t = linspace(0,4*pi,5000); 
>> y = sin(t); 
>> plot(t,y) 
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b. Faça um gráfico da função 2y n n  =  para 5 5n− ≤ ≤ . 
>> n = -5:5; 
>> y = n.^2; 
>> stem(n,y) 
 
Alguns comandos interessantes: 
I) grid – coloca linhas de grade no gráfico 
ii) title – permite acrescentar um título ao gráfico 
iii) xlabel - permite acrescentar um título no eixo das abscissas 
iv) ylabel - permite acrescentar um título no eixo das ordenadas 
v) hold on – não apaga o gráfico atual antes de fazer o seguinte 
 
Exercícios 
6. Faça um gráfico de [ ] ( )
2
sin
12
y n n
π
= e [ ] ( )
2
cos
12
z n n
π
= para 30 30n− ≤ ≤ na 
mesma figura. O gráfico de [ ]y n deverá ficar em azul e o de [ ]z n em vermelho. 
Comandos: 
 
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L1.4 Scripts 
� Até este ponto, todas as nossas interações com o Matlab® têm sido através da linha de 
comando. Entramos comandos ou funções na linha de comando e o Matlab® interpreta 
nossa entrada e toma a ação apropriada. Este é o modo de operação preferencial quando 
nossa sessão de trabalho é curta e não repetitiva. 
� No entanto, o real poder do Matlab® para análise e projeto de sistemas vêm da sua habili-
dade de executar uma longa sequência de comandos armazenados num arquivo. Estes ar-
quivos são chamados de arquivos-M porque seus nomes têm a forma nomearq.m. 
� Um script é um tipo de arquivo-M. Scripts são arquivos-textos comuns e podem ser cria-
dos usando um editor de texto. 
� Um script é uma sequência de comandos e funções comuns usados na linha de comando. 
Um script é invocado na linha de comando digitando-se o nome do arquivo. Scripts po-
dem invocar outros scripts. Quando um script é invocado, o Matlab® executa os comandos 
e funções no arquivo como se eles tivessem sido digitados diretamente na linha de co-
mando. 
� O script opera sobre as variáveis do espaço de trabalho. 
� Suponha por exemplo que desejemos fazer um gráfico da função ( ) tty αsin= em que α 
é uma variável que queremos variar. 
� Usando o editor de texto do Matlab® (basta ditar edit na linha de comando), podemos 
escrever um script chamado plotdata.m como mostrado a seguir. 
% Este e um script para fazer um grafico da funcao y = sin(alfa*t) 
% O valor de alfa precisa existir no espaco de trabalho antes 
% de se chamar este script 
t = 0:0.01:1; 
y = sin(alfa*t); 
plot(t,y); 
xlabel ('tempo(s)'); 
ylabel('y(t) = sin(\alpha t)'); 
grid on; 
� É importante salvar o scritpt no mesmo diretórioem que se está trabalhando na linha de 
comando. Caso contrário, ao tentar executar o script, o Matlab® não encontrará o arquivo 
e exibirá uma mensagem de erro. Este erro é muito comum quando estamos começando a 
trabalhar com scripts. 
� Uma vez digitado e salvo é muito fácil utilizar o script. Veja os exemplos a seguir: 
>> alfa = 50; 
>> plotdata 
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>> alfa = 10; 
>> plotdata 
 
� Ao escrever scripts é sempre interessante utilizar comentários, linhas que começam com 
%. Se você escrever linhas de comentário antes do começo das instruções do script, ao uti-
lizar o comando help nomearq o Matlab® apresenta estas linhas na tela. Por exemplo, 
>> help plotdata 
 Este e um script para fazer um grafico da funcao y = sin(alfa*t) 
 O valor de alfa precisa existir no espaco de trabalho antes 
 de se chamar este script 
 
L1.5 Funções 
� Assim como os scripts, as funções definidas pelo usuário estão entre os recursos mais im-
portantes e utilizados do Matlab®. Uma função é um script que recebe um ou mais parâ-
metros do teclado e pode devolver um ou mais parâmetros ou executar uma tarefa. 
� O formato de uma função no Matlab® é o seguinte 
function [outarg1, outarg2,...] = fname(inarg1, inarg2,...) 
% Um comentário 
% Mais um comentário 
.... 
(código executável) 
.... 
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� fname é o nome da função criada e deve ser o nome do arquivo m em que foram grava-
das as instruções. inarg1, inarg2,... são os argumentos de entrada e ou-
targ1, outarg2,... são os argumentos de saída. 
� A seguir damos um exemplo bastante simples de função. A função somateste recebe 
dois argumentos a, b e retorna a soma deles. 
function res = somateste(a,b); 
%Funcao para somar dois numeros a e b 
res = a+b; 
� Uma vez que você tenha salvado este arquivo como somateste no diretório corrente, 
você pode usá-lo como nos exemplos a seguir: 
>> somateste(2, 4) 
ans = 
 6 
>> a = 5; 
>> b = -3; 
>> res = somateste(a,b) 
res = 
 2 
 
Exercícios 
7. (a) Digite o script plotdata da Seção L1.4 e gere os gráficos dos exemplos daquela 
seção. 
(b) Reescreva o script plotdata visto acima de forma que ele seja uma função que re-
cebe a variável alfa. Ou seja, escreva uma função que faça um gráfico da função 
( ) tty αsin= no intervalo 10 ≤≤ t e α é um parâmetro escolhido pelo usuário. Por 
exemplo, o comando: 
>> plotdada(50) 
deve gerar o gráfico 
 
Resposta (listagem): 
 
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8. Gere um vetor de 100 valores aleatórios com distribuição uniforme no intervalo [ ]1,0 . 
Dica: use a função rand (não sabe como usar? Para que serve o help?). 
Comandos: 
 
 
 
9. Escreva uma sequência de comandos do Matlab® que forneça um vetor contendo 100 va-
lores aleatórios uniformemente distribuídos no intervalo -1 a 1 e que faça um gráfico deste 
sinal. 
Comandos: 
 
 
10. Escreva uma sequência de comandos Matlab® que gere um gráfico do sinal 
[ ] [ ]nrnnx 2,0
8
cos +





=
pi
 onde [ ]nr é um vetor de números aleatórios com distribuição 
uniforme entre -1 e 1. Faça 990 ≤≤ n . (Dica: use o comando rand). 
Comandos: 
 
 
 
11. Escreva uma função Matlab® chamada pulso2graf cujas entradas sejam dois números 
inteiros a e b com ba < . A função deverá fazer o gráfico de um pulso com amplitude 2 
no intervalo bna ≤≤ . O gráfico deve começar em 2−a e terminar em 2+b . 
Por exemplo, ao digitarmos: 
>> pulso2graf(2,8); 
devemos obter a figura 
 
Comandos: