Estatística Aplicada a Gestão_EAD

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Capítulo 4
Correlação e regressão linear
Correlação ƒ
Regressão linear e correlação ƒ
Análise de variância do modelo de regressão ƒ
linear
Intervalos de variação e predição ƒ
Correlação
Conteúdo programático
Correlação linear simples ƒ
Diagrama de dispersão ƒ
Cálculo prático do coeficiente de correlação linear ƒ
Objetivos
Perceber a relação entre duas variáveis. ƒ
Calcular o coeficiente de correlação. ƒ
Interpretar o resultado expresso pelo coeficiente de correlação. ƒ
Analisar o gráfico de dispersão correspondente, fazendo as devidas ƒ
associações.
184
Correlação linear simples
O estudo da correlação tem por objetivo medir e avaliar o grau de relação entre duas variáveis alea-
tórias. Podemos medir, por exemplo, se a relação entre o tempo de experiência de um funcionário da área 
de vendas e o volume de vendas realizado por ele é forte, fraca ou nula. É necessário entender, portanto, 
que a correlação tem aplicação em diversas áreas do conhecimento, sempre que se deseja estabelecer 
relações entre duas variáveis. 
A correlação linear simples envolve apenas duas variáveis (x e y), sendo que a amostra é formada por 
um conjunto de pares de valores (x, y) e sua disposição ocorre em torno de uma reta. O resultado da análise 
de correlação linear é expresso na forma de um coeficiente de correlação (r).
O coeficiente de correlação situa-se entre –1 e +1, ou seja, –1 r £ £ +1.
Quando ƒ x e y variam no mesmo sentido, dizemos que a correlação é positiva, assim o coeficiente 
tem sinal positivo. 
Quando ƒ x e y variam em sentidos contrários, dizemos que a correlação é negativa, assim o coefi-
ciente de correlação tem sinal negativo. 
Se r = +1, existe uma correlação perfeita positiva entre as variáveis. ƒ
Se r = –1, existe uma correlação perfeita negativa entre as variáveis. ƒ
Se r = 0, não há relação entre as variáveis. ƒ
O instrumento mais utilizado para medir a correlação linear é o coeficiente de correlação linear de 
Pearson:
r
x y
xy
2
2
2
2
 = 
xy 
x . y
n
 
x
n
 
y
n
–
– –
å( ) å( )
å
å( )
å
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
å( )
å
éé
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
n – número de observações
Diagrama de dispersão
O comportamento de duas variáveis é visualizado pela representação gráfica. A construção do dia-
grama de dispersão possibilita, pela simples observação, uma ideia bastante completa sobre como as 
variáveis se relacionam, ou seja, qual é a tendência de variação conjunta que apresentam. Observe os 
gráficos a seguir: 
0 < r < 1 r = 1
Figura 38 – Correlação positiva. Figura 39 – Correlação perfeita positiva.
185
Estatística Aplicada à Gestão – Capítulo 4
r = – 1 
Figura 41 – Correlação perfeita 
negativa.
– 1 < r < 0
Figura 40 – Correlação 
negativa.
r = 0
Figura 42 – Correlação nula. 
Cálculo prático do coeficiente de correlação linear 
Para o cálculo do coeficiente de correlação, é conveniente a construção de uma tabela, em que, a partir 
de x e y, são determinadas as somas necessárias.
y x x2 y2 xy
–
–
–
–
–
–
–
–
∑ y ∑ x ∑ x2 ∑ y2 ∑ xy
Seguem dois exemplos para melhor entendimento da correlação. 
Vamos calcular o coeficiente de correlação linear entre as variáveis 1. x e y, usando os dados abaixo:
y 8 10 5 9 11
x 3 4 5 6 9
 n = 5
y x x2 y2 xy
8
10
5
9
11
3
4
5
6
9
9
16
25
36
81
64
100
25
81
121
24
40
25
54
99
43 27 167 391 242
r = 
xy 
x . y
n
 
x
n
 
y
n
xy
2
2
2
2
–
– –
å( ) å( )
å
å( )
å
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
å( )
åx y
éé
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
é
ë
 = 
242 27 . 43
5
167 27
5
391 43
5
2 2
–
– –êêê
ù
û
úú
 = 9,8
21,2 . 21,2
 = 0,462
O resultado mostra que a correlação linear entre as variáveis x e y é positiva (quando x cresce line-
armente, y também cresce linearmente), porém, a correlação entre elas, nesse caso, é baixa, ou seja, as 
variáveis praticamente não se relacionam.
Fonte: Os autores.
186
Podemos perceber a fraca correlação positiva entre elas pelo diagrama de dispersão abaixo:
Figura 43 – Gráfico de dispersão.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 2 4 6 8 10 12
2. Os dados abaixo referem-se a uma pesquisa com 10 famílias de determinada cidade. Foram analisa-
dos, entre outros, os seguintes aspectos: renda familiar (em salários mínimos) e número de filhos.
FAmíliAs REnDA númERO DE FilhOs
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
10
6
4
12
16
7
6
8
10
5
2
3
4
2
1
3
3
2
1
4
Vamos calcular o coeficiente de correlação linear para as variáveis apresentadas a seguir:
REnDA (y) n.O DE FilhOs (x) x2 y2 xy
10
6
4
12
16
7
6
8
10
5
2
3
4
2
1
3
3
2
1
4
4
9
16
4
1
9
9
4
1
16
100
36
16
144
256
49
36
64
100
25
20
18
16
24
16
21
16
16
10
20
84 25 73 826 177
 n = 10
Fonte: Os autores.
Fonte: Os autores.
187
Estatística Aplicada à Gestão – Capítulo 4
r = 
xy 
 . y
n
 
n
 
n
xy
2
2
2
2
–
– –
x
x
x
y
y
å( ) å( )
å
å( )
å
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
å( )
å
é
ë
êê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
é
ë
 = 
177 25 . 84
73 25 826 
2 2
–
– –
10
10
84
10
êêê
ù
û
úú
 = 
10,5 . 120,4
 = 93–33 – 0,
O resultado rxy = –0,93 aponta uma correlação forte e inversa (negativa), ou seja, as famílias com maio-
res rendas têm menor número de filhos, o que se pode perceber pelo gráfico:
A REntAbiliDADE nA AtiviDADE RuRAl
Pesquisando alguns dados no Agrianual* 2006, mais especificamente na pesquisa de preços de 
terras (em reais por hectare) realizada durante vários meses do ano, podem ser observadas algumas 
informações interessantes.
Primeiramente, numa análise em longo prazo, com dados de 1989–2005 para o estado de São 
Paulo, de 1998–2004 para os Estados Unidos, e mais especificamente para o Mato Grosso do Sul, de 
2002–2005, podemos enxergar algumas relações e correlações interessantes. A correlação** entre 
os preços de terra de lavoura em São Paulo e na região do Corn Belt americano é de 94,98%, o que 
demonstra que o comportamento de preço de ambas as regiões sofre influências parecidas. Ou seja, 
por se tratarem de commodities, a relação pode ser explicada pela variação do preço de venda das 
commodities.
Mas o que o preço das commodities tem a ver com o preço da terra? Em 1960, William Sharpe 
desenvolveu um modelo de precificação de ativos chamado CAPM***, que é um modelo de precifica-
ção de ativos (no caso deste texto, o preço da terra) que leva em consideração a geração de fluxo de 
caixa (quantos reais aquele ativo gera anualmente) e o nível de risco da operação (risco este sendo a 
variação do fluxo de caixa, numa análise ano a ano).
leitura complementar
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Renda familiar
N
úm
er
o
 d
e 
fil
ho
s
Figura 44 – Gráfico de dispersão: renda familiar e número de filhos.
188
Na análise da correlação dos preços de terra agrícola de alta produtividade no Mato Grosso do Sul 
com o preço médio da soja, de 2002 a 2005, verifica-se um índice de 87,91%, que indica que a variação 
do preço da terra tem alta relação com a geração de capital em uma propriedade rural. Este índice con-
firma a utilidade da aplicação do CAPM e a afirmação de que um ativo só tem valor se gerar renda.
[...]
* O Agrianual é o anuário agrícola da FNP. Mais informações em http://www.fnp.com.br. 
** A correlação é uma medida estatística que indica a força e a relação entre duas variáveis. 100% 
indica uma correlação perfeita e –100% indica uma correlação inversa.*** CAPM: Capital Asset Pricing Model, ou Modelo de Precificação de Ativos. É um modelo de 
finanças corporativas utilizado para valorar um ativo, de acordo com a capacidade deste de gerar fluxo 
de caixa positivo, associando este retorno a um nível de risco.
CORRÊA, Kenneth. A rentabilidade na atividade rural. Disponível em: <http://www.administracaoegestao.com.br/ 
administracao-rural/a-rentabilidade-na-atividade-rural/>. Acesso em: 15 set. 2009. 
Você estudou: 
A correlação ocorre entre duas variáveis quando uma delas está, de alguma forma, relacionada com a ƒ
outra.
O coeficiente de correlação linear (r) é determinado para medir o grau de relacionamento linear entre os ƒ
valores emparelhados x e y em uma amostra.
O coeficiente de correlação se situa entre –1 e +1, ou seja, ƒ –1 r £ £ +1. Se r = +1, existe uma corre-
lação perfeita positiva entre as variáveis; se r = –1, existe uma correlação perfeita negativa entre as 
variáveis; se r = 0, não há relação entre as variáveis.
síntese
CORRÊA, Kenneth. A rentabilidade na atividade rural. Disponível em: <http://www.administracaoegestao.com.br/ 
administracao-rural/a-rentabilidade-na-atividade-rural/>. Acesso em: 15 set. 2009. 
TOLEDO, Geraldo Luciano; OVALLE, Ivo Izidoro. Estatística básica. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1995. 
TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
Referências
Anotações
Regressão linear e correlação
Conteúdo programático
Regressão linear e correlação ƒ
Regressão linear simples ƒ
Interpretação dos parâmetros do modelo ƒ
Coeficiente de determinação ƒ
Pontos extremos ( ƒ outliers) e pontos de influência
Variação marginal ƒ
Objetivos
Entender a regressão linear, no sentido de estimar um modelo ƒ
matemático para entender as relações entre duas variáveis.
Representar graficamente o modelo de regressão linear. ƒ
Calcular os coeficientes de regressão e o coeficiente de determinação. ƒ
190
regressão linear e Correlação
A regressão, assim como a correlação, é uma técnica utilizada para entender as relações entre as 
variáveis do estudo de uma população.
As técnicas como medidas de tendência central e de dispersão (média, desvio padrão, variância, etc.) 
servem para estudar um único parâmetro populacional. Já o objetivo da análise de regressão é construir um 
modelo matemático que avalie a relação entre duas ou mais variáveis, considerando observações dessa(s) 
variável(is). 
Quando temos “variáveis quantitativas” e desejamos avaliar o efeito que algumas exercem (ou parecem 
exercer) sobre outras, podemos classificar as variáveis em dois tipos: variáveis independentes (ou predito-
ras) e variáveis dependentes (ou respostas).
No entanto, a distinção entre variáveis independentes e dependentes nem sempre é clara e algumas 
vezes leva em consideração o que se espera da análise. 
A variável (x), chamada variável independente ou variável explicativa, selecionada pelo experimentador, 
induz a ocorrência de outra variável (y), chamada de variável dependente, resposta ou variável explicada. 
O valor dessa última depende do valor escolhido da variável independente (x). Por exemplo, a demanda (y) 
em função do preço (x); o número de filhos (y) em função da renda familiar (x); o consumo (y) em função da 
potência (x); a produção (y) em função do uso de fertilizantes (x), etc.
O estudo da regressão considera apenas a variável y como aleatória e a variável x como supostamen-
te sem erro. Portanto, a relação entre x e y será expressa matematicamente como y = f(x) + e, em que a 
variável e refere-se ao “erro estatístico” e indica a falha do modelo em se ajustar exatamente aos dados. 
Quando há uma variável resposta (y) e uma variável explanatória (x), ocorre a regressão linear simples; 
no entanto, quando se tem uma variável resposta e mais de uma variável explanatória, a regressão é dita 
múltipla. 
A regressão é utilizada normalmente com duas finalidades: de previsão (prever o valor de y a partir de 
x) e estimar o quanto x influencia ou modifica y.
Em suma, dizemos que a correlação mede a força de relacionamento entre duas variáveis, enquanto a 
regressão equaciona esse relacionamento.
regressão linear simples 
A regressão linear simples mostra o relacionamento entre duas variáveis por meio de uma equação 
matemática linear, ou seja, uma linha reta.
Segundo Toledo (1995), dado um conjunto de valores observados de x e y, construir um modelo 
de equação linear de y sobre x consiste em obter, desses valores, uma reta que melhor represente a 
relação verdadeira entre essas variáveis. A determinação dos parâmetros dessa reta é denominada 
ajustamento. O processo de ajustamento deve partir da escolha da função através da qual os valores de 
x explicarão os de y. Para isso, utilizamos o diagrama de dispersão. Esse gráfico é construído anotando- 
-se, em um sistema de coordenadas retangulares, os pontos correspondentes aos pares de observações 
de x e y.
A função escolhida será aquela que for sugerida pelo conjunto de pontos dispostos no diagrama. No 
gráfico seguinte, o conjunto de pontos sugere uma função linear (reta).
191
Estatística Aplicada à Gestão – Capítulo 4
Observe, passo a passo, a construção desse gráfico no Excel. 
1.o) Digite os dados das variáveis x e y em colunas separadas.
2.o) Selecione as variáveis das colunas x e y.
3.o) Clique sobre o assistente de gráfico.
4.o) Selecione o gráfico do tipo “dispersão (xy)”.
5.o) Clique em “avançar”.
6.o) Na opção “título”, acrescente o título e os eixos dos valores x e y ; na opção “linhas de grade”, 
retire-as ou acrescente-as. Você pode, ainda, usar o recurso da opção “legenda”.
7.o) Clique em “avançar”.
8.o) Clique em “concluir”.
9.o) Com o gráfico pronto, clique com o botão direito do mouse sobre um dos pontos e selecione a 
opção “adicionar linha de tendência”, tipo “linear”; em “opções”, marque “exibir equação no gráfico” 
e “exibir valor de R-quadrado no gráfico”.
Agora, voltemos ao gráfico já pronto. De acordo com Toledo (1995), a reta ajustada é representada por 
yˆ = a + bx, em que a e b são os parâmetros do modelo: a é o ponto em que a reta ajustada corta o eixo da 
variável y; b é a tangente do ângulo que a reta forma com uma paralela ao eixo da variável x. 
A reta ajustada é a reta de mínimos quadrados, pois os valores de a e b são obtidos de tal forma que 
é mínima a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados de y e os obtidos da reta 
ajustada para os mesmos valores de x. 
O método dos mínimos quadrados determina que a e b devem ser obtidos de modo que:
Os parâmetros são os coeficientes angular e linear da equação da reta, 
em que a indica o ponto de interseção da reta com o eixo y e b indica o 
ângulo de inclinação da reta com o eixo x.
a = 
y
n
 b x
n
a = y bxå å Þ– –b = 
xy 
n
 
n
2
2
–
–
x y
x
x
å( ) å( )
å
å( )
å
Figura 45 – Gráfico de dispersão (modelo ajustado). 
a 
y
x
Em que: x = 
x
n
å e y = y
n
å
.
y = a + bx
192
Os dados, no entanto, não caem sobre a linha reta, ou seja, existe uma diferença entre o valor observa-
do e o valor da linha reta. A isso chamamos de “erro estatístico”, isto é, uma variável aleatória que quantifica 
a falha do modelo em se ajustar exatamente aos dados. O erro será representado por e. Considerando isso, 
um modelo matemático mais adequado é o chamado modelo de regressão linear:
y = a + bx + e
interpretação dos parâmetros do modelo
Os coeficientes a e b são interpretados do seguinte modo:
se a variação dos dados em ƒ x inclui x = 0, então a é a resposta esperada quando x = 0;
se a variação dos dados em ƒ x não inclui x = 0, então x não possui interpretação prática;
b ƒ é interpretado como a “mudança” na média da distribuição de y produzida por uma unidade de 
mudança em x.
Os parâmetros a e b são normalmentechamados de “coeficientes de 
regressão”.
O modelo proposto refere-se ao comportamento das médias da popu-
lação e não da amostra.
Em relação a uma amostra de 7 fazendas, considere a produção agrícola (em hectares) e o uso de 
fertilizantes (em toneladas) como as variáveis que nos interessam investigar.
FERtilizAntE (x) PRODuçãO (y)
100
200
300
400
500
600
700
40
45
50
65
70
70
80
x = 400 y = 60
x i
i=1
7
 = 2 800å y i
i=1
7
 = 420å
x i
2
i=1
7
 = 1 400 000å y i2
i=1
7
 = 26 500å 
x . y = 187 000
i=1
7
 å
r = 0,977
Fonte: MEllO, A.O.R.; SAntOS, t.t.C.
O texto seguinte traz um exemplo resolvido de um problema envolvendo a correlação:
193
Estatística Aplicada à Gestão – Capítulo 4
Há evidências de alta relação linear positiva entre o uso de fertilizantes e o resultado da produção 
agrícola. Podemos, então, usar o modelo de regressão linear simples necessitando, agora, estimar os 
parâmetros deste modelo, baseados na amostra observada.
b = 
xy 
n
 
n
 = 
187 000 2 800 . 420
7
1 2
2
–
–
–
x y
x
x
å( ) å( )
å
å( )
å 4400 000 
2 800
7
 = 19 000
280 000
 = 0,06786
2
–
( )
a = b = 60 0,06786 . 400 = 32,856y x– –
Desse modo, é possível obter o seguinte modelo de regressão linear ajustado:
yˆ = a + bx = 32,856 + 0,06786x
Fertilizantes
Pr
o
du
çã
o 
ag
ríc
ol
a
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Fonte: MEllO, A.O.R.; SAntOS, t.t.C.
Fonte: MEllO, A.O.R.; SAntOS, t.t.C.
Fertilizantes
y = 0,0679x + 32,857
Pr
o
du
çã
o 
ag
ríc
ol
a
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800
194
Como a variação dos dados não inclui x = 0, não há interpretação prática do coeficiente a = 32,856. 
Por outro lado, b = 0,06786 significa que a cada aumento de 1 tonelada de fertilizantes, a produção 
agrícola média (esperada) aumenta 0,06786 por hectare.
Se x = 250 toneladas, por exemplo, yˆ = 49,821.
Se x = 251 toneladas, yˆ = 49,889.
Se x = 252 toneladas, yˆ = 49,957.
MELLO, Adélia. Apostila de Estatística II. Curitiba, 2009. p. 26.
Coeficiente de determinação
Um modo de medir a qualidade do ajuste linear simples é pelo coeficiente de determinação. Seu valor 
fornece a proporção da variação total da variável y explicada pela variável x pela função ajustada. É repre-
sentado por R2.
R = 
b 
n
 
n
2
2 2
2
2
2
x
x
y
y
–
–
å( )
å
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
å( )
å
, sendo 0 12£ ³R .
Observe que quanto mais próximo o coeficiente de determinação estiver da unidade, melhor será o 
ajuste.
Assim, temos:
R = 
b 
n
 
n
 = 
0,06786 . 1 
2 
2 2
2
2
2
2x
x
y
y
–
–
å( )
å
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
å( )
å
( ) 4400 000 2 800
7
26 500 420
7
 = 1 289,3943
1 300
2
2
–
–
é
ë
êê
ù
û
úú = 0,99
Como o coeficiente está próximo da unidade, temos um bom ajuste, ou seja, o uso de fertilizantes 
influencia a produção. 
Acompanhe a resolução passo a passo do exercício seguinte. 
Uma empresa está analisando a variação da demanda de certo produto em função de seu preço de 
venda. Abaixo, constam as unidades vendidas e o preço da venda por mês. 
mEsEs uniDADEs vEnDiDAs (y) PREçO DE vEnDA (x) POR uniDADE
J
F
M
A
M
J
J
A
S
O
147
140
134
126
110
103
97
89
81
73
132,00
137,00
142,00
148,00
150,00
156,00
160,00
164,00
170,00
178,00
Fonte: Os autores.
195
Estatística Aplicada à Gestão – Capítulo 4
Com base nesses dados, observe como a demanda do produto decresce linearmente com o acréscimo 
de preço.
y x xy x2 y2
147
140
134
126
110
103
97
89
81
73
132,00
137,00
142,00
148,00
150,00
156,00
160,00
164,00
170,00
178,00
19 404
19 180
19 028
18 648
16 500
16 068
15 520
14 596
13 770
12 994
17 424
18 769
20 164
21 904
22 500
24 336
25 600
26 896
28 900
31 684
21 609
19 600
17 956
15 876
12 100
10 609
9 409
7 921
6 561
5 329
1100 1 537 165 708 238 177 126 970
y = 110 x = 153,7
1.o) Calculando a correlação entre as variáveis, percebemos a forte correlação entre elas:
r = 
xy 
 . 
n
 
n
 
y
n
2
2
2
2
xy
x y
x
x
y
–
– –
å( ) å( )
å
å( )
å
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
å( )
å
éé
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
é
 = 
165 708 1537 . 1100
10
238177 1537
10
2
 – 
 – 
ëë
ê
ê
ù
û
ú
ú
é
ë
êê
ù
û
úú
126 970 1100
10
 = 3 362
1940,1 . 5 970
 
2
 – 
– 
 
== 0,98–
2.o) Calculando os parâmetros:
b = 
xy 
n
 
n
 = 
165 708 1 537 . 1 100
1
2
2
–
–
–
x y
x
x
å( ) å( )
å
å( )
å
00
238 177 
1 537
10
 = 3 362
1 940,1
 = 1,7329
2
–
– –
( )
Figura 46 – Gráfico unidades vendidas e preço por unidade.
Preço por unidade
Un
id
ad
es
 v
en
di
da
s
200
150
100
50
0
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Fonte: Os autores.
196
a = b = 110 ( 1,7329) . 153,7 = 376,35y y– – –
3.o) Montando a equação de regressão:
yˆ = a + bx = 376,35 1,7329x– 
O resultado b = –1,7329 significa que para cada unidade de variação positiva de preço (x), a quantidade 
procurada (y) decresce em 1,7329 unidade.
Pontos extremos (outliers) e pontos de influência
Em um diagrama de dispersão, um ponto extremo (outlier) é aquele que está muito afastado dos de-
mais. Isso acontece quando as variáveis não estão fortemente relacionadas. 
Os dados amostrais emparelhados podem conter um ou mais pontos de influência, aqueles que afetam 
fortemente o gráfico da reta de regressão (TRIOLA, 1999). Perceba, no exemplo anterior, que há vários 
pontos de influência.
variação marginal
Ao trabalharmos com duas variáveis relacionadas por uma equação de regressão, a variação mar-
ginal em uma delas é o quanto ela varia quando a outra variável sofre uma variação de exatamente uma 
unidade.
texto i
O métODO DE CORRElAçãO E REGREssãO APliCADO nA áREA DE tRAnsPORtEs
A pesquisa de campo realizada sobre o desempenho da empresa de transportes Costeira 
Transportes e Serviços Ltda. detectou constantes atrasos na entrega das mercadorias das re-
despachadoras, assim como no retorno dos conhecimentos de entrega. Tal fenômeno motivou a 
criação de um modelo para análise de indicadores que possa ajudar a identificar a solução para 
esse problema. O modelo está baseado na análise estatística de correlação e regressão linear. 
Os resultados mostram, através de gráficos, uma relação funcional que representa esse fenôme-
no, efetuando assim um diagnóstico mais específico da situação. A pesquisa ilustra o papel que 
conceitos e técnicas estatísticas têm na formação do administrador na área de logística e gestão 
de operações, na sua prática profissional e, de modo especial, no avanço do conhecimento nessa 
área específica. O objetivo será alcançado principalmente através da apresentação e discussão 
dos resultados de estudos relevantes. Através destes exemplos, argumenta-se que conceitos es-
tatísticos têm papel importante a desempenhar, tanto no estudo da logística, como no processo 
de administração em geral.
COSTA, Denis Carlos Lima; CRUz, Edson Costa; LAUNÈE, Erycka; LIMA, Waldemiro. 
O método de correlação e regressão aplicado na área de transportes. 
Disponível em: <http://www.administradores.com.br/producao_academica/o_metodo_de_correlacao_e_regressao_aplicado_na_area_de_
transportes/1852/>. Acesso em: 15 set. 2009. 
leituras complementares
197
Estatística Aplicada à Gestão – Capítulo 4
texto ii
um EstuDO DE CORRElAçãO EntRE O ClimA ORGAnizACiOnAlE A 
PRODutiviDADE Em umA EmPREsA
introdução
O clima organizacional é o elo conceitual de ligação entre o nível individual e o nível organizacional, 
no sentido de expressar a compatibilidade ou congruência das expectativas, valores e interesses indivi-
duais com as necessidades, valores e diretrizes formais da organização [1]. O objetivo geral do estudo 
visa demonstrar a correlação entre o clima organizacional, qualificação da mão de obra dentro da organi-
zação e os índices de produtividade atingidos como resultado. Observaram-se os aspectos que denotam 
o grau de relação existente entre a gestão de recursos humanos e a produção global da organização, 
assim como os reflexos existentes nas tomadas de decisão em ambas as áreas. Três fatores importantes 
afetam a produtividade da mão de obra: desempenho do empregado no trabalho; tecnologia, máquinas, 
ferramentas e métodos do trabalho que sustentam e auxiliam o trabalho deles; e a qualidade de produto. 
Aumentar a produtividade através de desenvolvimentos tecnológicos é, no mínimo, tão importante quan-
to o desempenho do empregado no trabalho para aumentar a produtividade [2]. Buscou-se: estabelecer 
o grau de satisfação dos colaboradores e o quanto isso se reflete favorável ou desfavoravelmente no 
clima organizacional; e identificar os métodos e/ou instrumentos que a empresa adota para promover o 
desenvolvimento intelectual dos colaboradores, assim como as formas de enriquecimento das tarefas 
propostas de forma variada e não repetitiva, as condições básicas das instalações e se estas estão 
adequadas com o trabalho, proporcionando bem-estar e conforto.
metodologia
Para a efetivação da pesquisa, buscou-se uma empresa do setor de indústria e comércio para fazer 
a aplicação do estudo, sendo uma pesquisa de campo, descritiva e quantitativa.
Determinaram-se, como população, os 36 funcionários da Empresa Reflexo, sendo selecionada 
uma amostra por quotas de 26 funcionários, representando 72% dos mesmos.
Resultados
Com base na pesquisa, identificou-se que todos os colaboradores têm interesse de aperfeiçoar o 
conhecimento, sendo que 77% dos entrevistados não estão estudando. 69% trabalham no setor de fer-
ro/alumínio/vidro; os benefícios citados como mais importantes pelos funcionários foram a assistência 
médica/hospitalar/odontológica, com 37%, enquanto 24% elegeram o auxílio alimentação. Dentre os 
entrevistados, 54% acreditam que o relacionamento é muito bom; 46% dizem ser bom, quanto ao grau 
de motivação; 50% dos colaboradores estão muito motivados; e 46% se encontram motivados com as 
atividades que realizam. Com relação ao desempenho das atividades, 58% responderam estar bom; 
100% dos entrevistados afirmam que a empresa estimula a solução de problemas; 61% responderam 
que há uma relação contínua entre a qualidade do trabalho executado com os resultados da empresa. 
Os funcionários elencaram alguns aspectos positivos que afetam a produtividade, como os equipa-
mentos, limpeza, organização e benefícios oferecidos; e, como fatores negativos, citam os problemas 
pessoais, ruídos e iluminação.
Discussões e conclusões
O estudo mostrou que há uma correlação entre o clima organizacional e a produtividade no tra-
balho, pois aspectos como instalações e equipamentos interferem na qualidade e produtividade do 
198
trabalho. [...] Percebeu-se também que a maioria dos pesquisados pretende continuar na empresa, 
indicando que há um nível de aceitação bastante grande por parte destes às práticas da empresa. 
Destaca-se uma pequena contradição quando os mesmos foram questionados com relação à vontade 
de aperfeiçoar-se, sendo que a maioria dos entrevistados manifestou esse desejo, mas, no entanto, 
grande parte dos mesmos não está estudando e possui como formação o primeiro grau incompleto.
[1] PAYNE, R.L.; MANSFIEL, S. Clima organizacional e a satisfação. São Paulo: Human Performance, 1983.
[2] GAITHER, N.; FRAzIER, G. Administração da produção e operações. São Paulo: Pioneira, 1999.
BISOGNIN, M.; RüDELL, J. A.; RADDATz, M.; OLIVEIRA, C.; BIANCHI, R. C. 
Um estudo de correlação entre o clima organizacional e produtividade em uma empresa. 
Disponível em: <http://www.unifra.br/cursos/administracao/publicacoes/Marcelo%20Bisognin%20-%20317.pdf>. 
Acesso em: 15 set. 2009. 
Você estudou: 
Quando temos algumas variáveis quantitativas e desejamos examinar o efeito que algumas exercem, ou ƒ
parecem exercer, sobre as outras, classificamos essas variáveis em dois tipos: variáveis independentes 
(explicativas) e variáveis dependentes (explicadas). Denota-se x para a variável independente e y para 
a variável dependente.
A regressão é uma técnica usada para avaliar as relações que possam existir entre tais variáveis, cole- ƒ
tadas no estudo de uma população, através da utilização de um modelo matemático.
síntese
BISOGNIN, M.; RüDELL, J. A.; RADDATz, M.; OLIVEIRA, C.; BIANCHI, R. C. Um estudo de correlação entre o 
clima organizacional e produtividade em uma empresa. Disponível em: <http://www.unifra.br/cursos/administracao/
publicacoes/Marcelo%20Bisognin%20-%20317.pdf>. Acesso em: 15 set. 2009.
COSTA, Denis Carlos Lima; CRUz, Edson Costa; LAUNÈE, Erycka; LIMA, Waldemiro. O método de correlação 
e regressão aplicado na área de transportes. Disponível em: <http://www.administradores.com.br/producao_
academica/o_metodo_de_correlacao_e_regressao_aplicado_na_area_de_transportes/1852/. Acesso em: 15 set. 
2009.
MELLO, Adélia. Apostila de estatística II. Curitiba, 2009.
TOLEDO, Geraldo Luciano; OVALLE, Ivo Izidoro. Estatística básica. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1995. 
TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
Referências
Anotações
Análise de variância do modelo 
de regressão linear
Conteúdo programático
Predições ƒ
Resíduos ƒ
Modelos não lineares – transformações ƒ
Objetivos
Entender a importância da projeção na estatística e a sua relação com a ƒ
regressão linear.
Apreender o conceito de “resíduos”. ƒ
Compreender a propriedade dos mínimos quadrados considerando a ƒ
definição dos resíduos.
200
predições
Quando as equações de regressão se ajustam bem aos dados, podem ser feitas previsões para o valor 
de uma variável, desde que se conheça a outra variável.
Essas previsões implicam estabelecer relações entre duas ou mais variáveis que tenham a possibilida-
de de prever uma ou mais delas em função das restantes.
Fazer previsões ou projeções é um recurso estatístico bastante utilizado, principalmente nas empresas, 
pois é necessário prever vendas, estoques, custos, fluxo de caixa, entre outros.
As previsões dependem da obtenção de dados referentes a uma população. No caso da empresa, por 
exemplo, são necessárias amostras da quantidade de produtos produzidos, do seu preço, do valor gasto 
com publicidade, etc. 
Ao predizer um valor de y com base em determinado valor de x, se não houver correlação linear, o 
melhor valor predito de y é y ; se houver correlação linear significativa, obtemos o melhor valor predito de 
y substituindo o valor de x na equação de regressão, sendo que devemos estar atentos aos limites dos 
valores disponíveis.
Portanto, só utilizamos a equação da reta de regressão se r (coeficiente de correlação) indicar a 
existência de uma correlação linear significativa. Quando não há uma correlação linear, não utilizamos a 
equação de regressão para projetar ou predizer; em vez disso, a melhor estimativa da segunda variável é 
simplesmente a sua média.
Então, se r está próximo de –1 ou +1, existe um bom ajuste e podemos, então, fazer predições; porém, 
se r é vizinho de 0, o ajuste é fraco (e não deve ser usado para fazer predições).
Verifique, pelo exemplo seguinte, como utilizar a correlação. 
Em uma empresa que analisa a variação da demanda em relação ao preço do produto, constatamos 
uma correlação linear significativa entreas unidades vendidas (y) e o preço de venda (x) de determinado 
produto. 
A equação de regressão é:
yˆ = a + bx = 375,9 – 1,73x
Portanto, se o preço de venda for R$ 120,00, podemos projetar o número de unidades vendidas. As-
sim:
ˆ ˆ ˆy y y = 375,9 1,73x = 375,9 1,73 . 120 = 375,9 2– – –Þ Þ 007,6Þ yˆ ~= 168
Então, se o preço for R$ 120,00, projetamos que o número de unidades vendidas será 168.
resíduos 
Após realizar a regressão, é importante verificar se o modelo encontrado é apropriado para os dados. 
Isso é feito com a análise dos resíduos.
Os resíduos apresentam a diferença entre o valor observado de y e o que foi predito pelo modelo de 
regressão:
e = y – y
201
Estatística Aplicada à Gestão – Capítulo 4
Para avaliar os resíduos, podemos construir um gráfico em que: 
no eixo vertical (y) são colocados os resíduos ( ƒ y y– ˆˆy); 
no eixo horizontal (x) são colocados os valores esperados de ƒ y ( yˆ ). 
Então, pode ser observada a distância entre os pontos que representam os dados originais e a reta de 
regressão. Tais distâncias são chamadas de resíduos.
Analisando os resíduos, percebemos: se a distribuição dos dados apresenta uma normalidade; se a 
variância dos resíduos é constante (nesse caso, a dispersão em torno da reta de regressão é uniforme); se 
os resíduos não estão correlacionados; e, ainda, se há uma variável não identificada que deva ser incluída 
no modelo.
Neste exemplo, inicialmente, vamos analisar os seguintes dados:
x 1 2 4 5
y 4 24 8 32
y x x2 y2 xy
4
24
8
32
1
2
4
5
1
4
16
25
16
576
64
1024
4
48
32
160
68 12 21 1680 244
No gráfico, os resíduos são as distâncias dos pontos até a reta.
Como exemplo específico, observe o ponto de abscissa x = 5. Levando o valor x = 5 na equação de 
regressão yˆ = 4x + 5, obtemos o valor predito yˆ = 25, mas o valor amostral efetivamente observado é 
y = 32. A diferença y y = 7– ˆ é um resíduo.
A equação de regressão representa a reta que melhor se ajusta aos pontos de acordo com a proprie-
dade dos mínimos quadrados. É importante entender que uma reta verifica a propriedade dos mínimos 
quadrados se a soma dos quadrados dos resíduos é a menor possível.
Calculando os outros resíduos do exemplo dado, obtemos:
Para ƒ x = 1 y = 4 . 1 + 5 = 9 y y = 4 9 = 5Þ \ˆ ˆ– – –
Para ƒ x = 2 y = 4 . 2 + 5 = 13 y y = 24 13 = 11Þ \ˆ ˆ– –
Fonte: Os autores.
y = 4x + 5
35
30
25
20
15
10
5
0
0 1 2 3 4 5 6
Figura 47 – Reta de regressão e resíduos – modelo ajustado. 
Fonte: Os autores.
202
P ƒ ara x = 4 y = 4 . 4 + 5 = 21 y y = 8 21 = 13Þ \ˆ ˆ– – –
A soma dos quadrados dos resíduos é: – –5 + 11 + 13 + 7 = 364
2 2 2 2( ) ( ) .
Qualquer outra reta distinta de yˆ = 4x + 5 dará resíduos cuja soma dos quadrados é maior do que 
364.
modelos não lineares – 
transformações
Em muitos casos, a relação entre duas variáveis não é linear. Observe o exemplo:
x 3 4 5 6 7
y 9 16 25 36 49
Perceba que cada valor de y é o quadrado do valor de x correspondente, de forma que as duas variá-
veis estão relacionadas pela equação y = x2 e não por uma equação linear, que teria a forma y = ax + b.
Podemos encontrar a melhor equação de ajuste com o auxílio de diagramas de dispersão e uma 
calculadora ou de um computador cujas apresentações incluam os valores de r ou outras estatísticas que 
permitam avaliar quão bem a equação se ajusta aos dados amostrais.
A função potência, apresentada no exemplo acima, embora não linear, pode se tornar linear através de 
uma transformação com logaritmos naturais: aplicando logaritmos nos dois membros da função potência, 
obtemos a expressão linear ln yˆ = ln a + bln x.
Para realizar essa transformação, os valores da amostra y devem ser transformados em ln y, formando 
a nova amostra com valores ln y, e os valores da amostra x devem ser transformados em ln x, formando a 
nova amostra com valores ln x.
O quadro a seguir mostra alguns modelos não lineares que se tornam lineares depois de uma transfor-
mação com logaritmos naturais (ln):
tiPO EquAçãO tRAnsFORmAçãO vARiávEl x vARiávEl y
linear yˆ = a + bx yˆ = a + bx x y
Exponencial yˆ = a. ebx ln y = ln a + ln xˆ x ln y
logarítmica yˆ = a + b . ln x yˆ = a + b . ln x ln x y
Potência yˆ = a . xb ln y = ln a + b . ln x ln x ln y
Na primeira linha, consta a equação da regressão linear simples conhecida.
Nas outras três linhas, estão registradas três funções não lineares e as transformações das variáveis x 
e y para torná-las funções lineares semelhantes à da primeira linha.
As transformações das variáveis relacionadas de forma não linear criam novas variáveis relacionadas 
de forma linear que podem ser analisadas dentro do modelo de regressão linear.
Além disso, perceba que a transformação das funções exponencial, logarítmica e potência permite 
utilizar o modelo de regressão linear simples, apesar de não ser linear a relação entre as variáveis ori-
ginais.
203
Estatística Aplicada à Gestão – Capítulo 4
texto i
PROjEçãO DAs quAntiDADEs DE REsíDuOs sóliDOs uRbAnOs
Para se avaliar corretamente a projeção da geração de lixo per capita é necessário conhecer o 
tamanho da população residente, bem como o da flutuante, principalmente nas cidades turísticas, 
quando esta última gera cerca de 70% a mais de lixo do que a população local.
População flutuante é um dado significativo a ser considerado na projeção da quantidade de lixo 
gerado em cidades turísticas.
Na inexistência de dados demográficos detalhados podem-se utilizar as projeções populacionais 
disponíveis para determinação da produção do lixo com o auxílio da tabela abaixo, na qual é estimada 
uma geração per capita em função do tamanho da população.
O exemplo a seguir esclarece os procedimentos a serem adotados.
Suponha que se queira projetar um sistema de limpeza urbana para uma cidade sem vocação 
turística, com uma população urbana atual de 50 mil habitantes, que cresce a uma taxa de 3% ao ano, 
na qual foi medida uma geração per capita de 530g/hab./dia.
Adotando-se um horizonte de 20 anos para a projeção, os valores de população serão os forneci-
dos pela tabela.
Projeção populacional
AnO
POP. uRbAnA
 (hAb.)
AnO
POP. uRbAnA 
(hAb.)
2001 50.000 2012 69.211
2002 51.500 2013 71.287
2003 53.045 2014 73.426
2004 54.636 2015 75.629
2005 56.275 2016 77.898
2006 57.963 2017 80.235
2007 59.702 2018 82.642
2008 61.493 2019 85.121
2009 63.338 2020 87.675
2010 65.238 2021 90.305
2011 67.195
Quando a cidade atingir os 90 mil habitantes, a geração per capita deverá ser da ordem de 
550g/hab./dia. Assim, pode-se estimar a evolução da produção per capita conforme os valores da 
tabela seguinte.
EvOluçãO PER CAPitA
Período Per capita (g/hab./dia)
2001 a 2007 530
2008 a 2014 540
2015 a 2021 550
Dessa forma, calcula-se a projeção da quantidade de resíduos sólidos produzida ano a ano, con-
forme a próxima tabela.
leituras complementares
204
PROjEçãO DA quAntiDADE DE lixO GERADA
AnO
PROjEçãO POPulACiOnAl
(hAb.)
PER CAPitA
(kg/hAb./DiA)
quAntiDADE DE lixO
 (t)
2001 50.000 0,53 26,5
2002 51.500 0,53 27,3
2003 53.045 0,53 28,1
2004 54.636 0,53 29,0
2005 56.275 0,53 29,8
2006 57.963 0,53 30,7
2007 59.702 0,53 31,6
2008 61.493 0,54 33,2
2009 63.338 0,54 34,2
2010 65.238 0,54 35,2
2011 67.195 0,54 36,3
2012 69.211 0,54 37,4
2013 71.287 0,54 38,5
2014 73.426 0,54 39,7
2015 75.629 0,55 41,6
2016 77.898 0,55 42,8
2017 80.235 0,55 44,1
2018 82.642 0,55 45,5
2019 85.121 0,55 46,8
2020 87.675 0,55 48,2
2021 90.305 0,55 49,7
BIBLIOTECA VIRTUAL DE DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL E SAÚDE AMBIENTAL. 
Projeção das quantidades de resíduos sólidos urbanos. Disponível em: <www.bvsde.paho.org/ 
bvsacd/cd29/manualrs/cap6-6.pdf>. Acesso em: 16 set. 2009. 
texto ii
EstuDO sObRE REsíDuOs ElEtROElEtRôniCOsEstimativas feitas a partir do “Diagnóstico da Geração de Resíduos Eletroeletrônicos no Estado de 
Minas Gerais”, divulgado pela Fundação Estadual do Meio Ambiente (Feam), constataram que em Mi-
nas Gerais são descartadas, por ano, cerca de 40 mil toneladas de materiais metálicos integrantes dos 
resíduos eletroeletrônicos (REEs) provenientes de telefones celulares e fixos, aparelhos de televisão, 
computadores, rádios, máquinas de lavar roupa, geladeiras e freezers. 
Compostos por ferro, alumínio, cobre, chumbo, cádmio, mercúrio, ouro, prata, paládio e índio, es-
ses resíduos têm cerca de 30% do seu total gerado na região metropolitana de Belo Horizonte (RMBH). 
Em se tratando de plásticos, são geradas cerca de 17 mil toneladas. Já no caso de vidros, a geração é 
de, aproximadamente, 6 mil toneladas.
Já o Brasil gera em torno de 680 mil toneladas desse mesmo tipo de resíduo. Além de conter 
materiais que podem vir a ser reciclados e recuperados, estes equipamentos apresentam várias subs-
tâncias tóxicas e poluentes, como os metais pesados. O manuseio ou descarte incorreto dos REEs 
tem potencial de causar problemas à saúde humana e ao meio ambiente, por meio da contaminação, 
principalmente, do solo e das águas subterrâneas.
205
Estatística Aplicada à Gestão – Capítulo 4
Além das estimativas de geração de REEs, o diagnóstico faz uma análise do fluxo de geração 
de resíduos eletroeletrônicos, incluindo discussões sobre os diversos atores envolvidos desde a ge-
ração até a destinação final. Embora aponte as curvas de geração deste tipo de resíduos em t/ano 
e kg/hab. para Minas Gerais, o diagnóstico apresenta, sempre que possível, resultados relativos ao 
Brasil e à região metropolitana de Belo Horizonte até o ano de 2030. O presidente da Feam, José 
Cláudio Junqueira, afirma que o objetivo do levantamento é fazer uma gestão efetiva dos REEs. “Com 
base nesses dados, precisamos estabelecer normas para atuar junto à cadeia de produção desses 
equipamentos e fazer dos fabricantes, distribuidores e revendedores corresponsáveis pelos resíduos 
gerados”, revelou.
De acordo com o diagnóstico, entre 2001 e 2030, cada brasileiro deve gerar em média, a cada ano, 
em torno de 3,4 kg de REEs. “Este estudo foi realizado para estimar, preliminarmente, a geração atual 
e futura dos resíduos eletroeletrônicos e auxiliar decisões na busca pela solução dos consequentes 
problemas ambientais advindos do gerenciamento inadequado”, afirmou Junqueira que é, também, 
membro do Conselho Nacional do Meio Ambiente (Conama).
Com a progressão de descartes de resíduos provenientes de telefones (celular e fixo), televisores, 
computadores, rádios, máquinas de lavar roupa, geladeiras e freezers, o diagnóstico aponta que o 
Brasil terá acumulado, aproximadamente, 22 milhões de toneladas de resíduos eletroeletrônicos para 
disposição, no período de 2001 a 2030, sendo que Minas Gerais representa em torno de 10% desse 
total. Segundo Gustavo Tetzl Rocha, consultor da Feam e do Swiss Federal Laboratories for Materials 
Testing and Research (EMPA), centro de pesquisa sediado na Suíça que, ao longo dos últimos anos, 
tem desenvolvido trabalhos de quantificação e gerenciamento de resíduos eletroeletrônicos em diver-
sos países do mundo, os números podem ser ainda maiores. “No diagnóstico consideramos que cada 
domicílio tem apenas um equipamento eletroeletrônico de cada tipo”, explicou.
Para o cálculo da estimativa de geração, foi utilizada a metodologia de Consumo e Uso, estabe-
lecida pelo EMPA. O estudo recorreu a indicadores do IBGE e Programa das Nações Unidas para o 
Desenvolvimento (PNUD), além de fazer projeções na geração destes resíduos a partir do crescimento 
populacional, com base no último período intercensitário (1991–2000).
A partir da identificação dos potenciais problemas ambientais provocados pelos REEs, a Feam 
pretende iniciar discussões que envolvam a elaboração de normativas para implementação de políticas 
públicas relativas à gestão deste tipo de resíduos no estado de Minas Gerais, além de apresentar ao 
Conama sugestões de âmbito nacional. Junqueira ressaltou, por exemplo, que a fabricação de produ-
tos que geram resíduos eletroeletrônicos pode estar condicionada ao recolhimento de equipamentos 
pós-consumo, como ocorre com os fabricantes de pneus. Nacionalmente, podem-se ainda estabelecer 
metas progressivas para que um produto seja constituído de material reciclável.
Para o estado, que passou a contar neste ano com uma legislação específica (Lei n. 18.031/09) 
para a gestão de resíduos sólidos, o diagnóstico vai permitir avanços na busca de soluções para redu-
zir o impacto provocado por estes resíduos, que se avolumam em aterros sanitários, quando não são 
descartados de forma inadequada, como geralmente ocorre. O presidente da Feam não descarta, por 
exemplo, a criação de uma proposição para redução de ICMS ou a criação de outro tipo de incentivo 
para fabricantes, importadores e comerciantes que recolham produtos que esgotaram o seu tempo de 
vida útil, vendam produtos ecológicos ou desenvolvam tecnologias para segregação de componentes, 
principalmente placas, que contêm metais pesados. “Temos que planejar uma gestão adequada para 
evitar que as pessoas acabem se contaminando no momento em que separam as peças a fim de apro-
veitar o plástico e o metal nelas contidos”, destacou.
206
Alguns números do diagnóstico:
Geração de resíduos eletroeletrônicos:
Brasil: 680.000 toneladas/ano
MG: 69.000 toneladas/ano
RMBH: 21.000 toneladas/ano
Geração média per capita anual de resíduos eletroeletrônicos (2001 a 2030), considerando resí-
duos provenientes de telefones celulares e fixos, televisores, computadores, rádios, máquinas de lavar 
roupa, geladeiras e freezers:
Brasil: 3,4 kg/habitante
MG: 3,3 kg/habitante
RMBH: 3,7 kg/habitante
Geração média per capita anual de resíduos eletroeletrônicos (2001 a 2030), considerando resí-
duos provenientes de telefones celulares e fixos, televisores e computadores:
Brasil: 1,0 kg/habitante
MG: 1,0 kg/habitante
RMBH: 1,1 kg/habitante
Projeção de acúmulo de resíduos eletroeletrônicos gerados entre 2001 e 2030, considerando resí-
duos provenientes de telefones celulares e fixos, televisores, computadores, rádios, máquinas de lavar 
roupa, geladeiras e freezers:
Brasil: 22 milhões de toneladas
MG: 2,2 milhões de toneladas
RMBH: 625 mil toneladas
Projeção de acúmulo de resíduos eletroeletrônicos gerados entre 2001 e 2030, considerando resí-
duos provenientes de telefones celulares e fixos, televisores e computadores:
Brasil: 7 milhões de toneladas
MG: 680 mil toneladas
RMBH: 200 mil toneladas 
FAROL COMUNITÁRIO. Estudo sobre resíduos eletroeletrônicos. 
Disponível em: <http://www.setorreciclagem.com.br/modules.php?name=News&file=article&sid=823>. Acesso em: 16 set. 2009. 
Sugerimos duas obras para você consultar e aprofundar seus estudos. 
Ambas tratam do tópico “regressão”. 
Estatística aplicada, dos autores Douglas Downing e Jeffrey Clark, é 
uma importante obra de referência. Ela apresenta aplicações práticas 
e estudos de casos reais. Há respostas explicativas dos exercícios pro-
postos, o que facilita o estudo. 
Já a obra Estatística para administração e economia, de James McCla-
ve, também é referência para estudantes de graduação, em especial, 
os da área de administração e contabilidade. Além dos conceitos pró-
prios da estatística básica, traz demonstrações de coleta de dados e de 
análises que contribuem para a tomada de decisões. 
207
Estatística Aplicada à Gestão – Capítulo 4
BIBLIOTECA VIRTUAL DE DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL E SAÚDE AMBIENTAL. Projeção das quantidades 
de resíduos sólidos urbanos. Disponível em: <www.bvsde.paho.org/bvsacd/cd29/manualrs/cap6-6.pdf>. Acesso em: 
16 set. 2009. 
FAROL COMUNITÁRIO. Estudo sobre resíduos eletroeletrônicos. Disponível em: <http://www.setorreciclagem.com.br/modules.php?name=News&file=article&sid=823>. Acesso em: 16 set. 2009. 
TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 7. ed. Rio de Janeiro. LTC, 1999.
Referências
Anotações
Você estudou: 
Existem condições necessárias para poder fazer previsões do valor de uma variável. ƒ
A análise de resíduos permite percebermos se o modelo encontrado é apropriado para os dados. Os ƒ
resíduos são estimados pela diferença entre o valor observado de y e o valor predito pelo modelo de 
regressão.
A propriedade dos mínimos quadrados é verificada por uma reta quando a soma dos quadrados dos ƒ
resíduos é a menor possível.
É possível ajustarmos equações não lineares ao modelo de regressão linear por meio de transforma- ƒ
ções.
síntese
208
intervalos de variação e predição
Conteúdo programático
Análise do modelo ajustado ƒ
Intervalos de predição ƒ
Objetivos
Elaborar uma análise gráfica detalhada dos conceitos de desvio total, ƒ
desvio explicado e desvio não explicado, considerando a reta de 
regressão.
Compreender o conceito de “resíduo” nesse contexto. ƒ
Estimar os intervalos de predição, compreendendo que são medidas ƒ
mais precisas do que estimativas pontuais.
210
análise do modelo ajustado
O coeficiente de correlação pode oferecer informações adicionais sobre a variação dos pontos da 
amostra em torno da reta de regressão.
O exemplo a seguir possui informações importantes. Observe. 
Os resultados de uma grande coleção de dados são os seguintes:
Há uma correlação linear significativa. ƒ
A equação da reta de regressão é ƒ yˆ = 3 + 2x.
y = 9 ƒ
Um dos pares de dados da amostra é x = 5 e y = 19. ƒ
O ponto (5, 13) é um dos pontos da reta de regressão, pois, fazendo x = 5 na equação de regressão, 
obtemos: yˆ = 3 + 2x = 3 + 2 . 5 = 13 .
O ponto (5, 13) está sobre a reta de regressão, mas o ponto (5, 19) pertence ao conjunto original de 
dados e não pertence à reta de regressão, porque não satisfaz a equação de regressão. Veja o gráfico:
Você já estudou como aplicar o coeficiente de correlação linear r para 
avaliar se havia correlação linear significativa entre duas variáveis.
Desvio 
não explicado
Desvio explicado
(5,19)
(5,13)
(5, 9)
y = 2x + 3
0 1 2 3 4 75 86 9
Figura 48 – Representação gráfica dos desvios.
Segundo Triola (1999), para uma coleção de dados emparelhados que contenha o ponto (x, y), sendo 
yˆ o valor predito de y (dado através da equação de regressão), e y a média dos valores amostrais de y, 
temos que: 
O ƒ desvio total (em relação à média) do ponto (x, y) é a distância vertical y – y, que é a distância 
entre o ponto (x, y) e a reta horizontal que passa pela média amostral y.
O ƒ desvio explicado é a distância vertical yˆ – y , que é a distância entre o valor predito yˆ e a reta 
horizontal que passa pela média amostral.
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
211
Estatística Aplicada à Gestão – Capítulo 4
r2 = 
variação explicada
variação total
O ƒ desvio não explicado é a distância vertical y – yˆ, ou seja, a distância vertical entre o ponto 
(x, y) e a reta de regressão. (A distância y – yˆ também é chamada de resíduo.)
Para os dados considerados, obtemos os seguintes resultados:
desvio t ƒ otal de (5, 19) = y – y = 19 – 9 = 10;
desvio explicado de (5, 19) = ƒ yˆ – y = 13 – 9 = 4;
desvio não e ƒ xplicado de (5, 19) = 19 – 13 = 6.
Para predizer um valor de y, dado um valor de x e uma coleção de dados (x, y), é necessária uma 
correlação linear significativa, caso contrário, a melhor estimativa seria y . 
Para predizer o valor de y, quando x = 5, aplicamos a equação de regressão, que resulta yˆ = 13, cal-
culado anteriormente. Para explicar a discrepância entre y = 9 e yˆ = 13, é preciso notar que existe uma 
correlação linear significativa cuja melhor descrição é a reta de regressão. Consequentemente, quando 
x = 5, y deveria ser 13 e não 9. Contudo, quando deveria ser 13, y é realmente 19. A discrepância entre 13 
e 19 não pode ser explicada pela reta de regressão e é chamada de desvio não explicado ou resíduo:
(desvio total) = (desvio explicado) + (desvio não explicado)
ou
(y – y) = (yˆ – y) + (y – yˆ )
Essa expressão é aplicada em um ponto particular (x, y), mas pode ser generalizada e modificada de 
modo a incluir todos os pares de dados da amostra, conforme a fórmula abaixo:
(variação total) = (variação explicada) + (variação não explicada)
ou
y = y + y y
2 2 2
– – –( ) ( ) ( )ååå ˆ ˆ
Nesse caso: 
a ƒ variação total é expressa como a soma dos quadrados dos desvios totais;
a ƒ variação explicada é a soma dos quadrados dos desvios explicados;
a ƒ variação não explicada é a soma dos quadrados dos desvios não explicados.
O coeficiente de determinação também pode ser calculado em função das variáveis já citadas. Lem-
brando que se trata de um coeficiente que explica a variação de y pela reta de regressão e é dado por:
intervalos de predição
Uma empresa está analisando a variação da demanda de certo produto em função de seu preço de 
venda e obteve a equação de regressão yˆ = 375,9 1,73x– , em que yˆ representa o número de unidades 
vendidas. Com essa equação podemos estimar o valor de y para qualquer valor de x. Por exemplo, se x = 
R$ 120,00, y seria aproximadamente 168 unidades.
y y
212
Como 168 é um valor único, é chamado de estimativa pontual. Sabemos, no entanto, que estimativas 
pontuais têm a desvantagem de não dar qualquer ideia de sua precisão. No exemplo citado, temos que o 
melhor valor predito é 168, mas não sabemos quão preciso ele é.
Um intervalo de predição é uma estimativa em torno de um intervalo para um valor predito de y.
Nesse caso, podemos utilizar, então, um intervalo de predição, que consiste numa estimativa intervalar 
de confiança em relação a um valor predito de y. 
O estabelecimento de um intervalo de predição exige uma medida de dispersão dos pontos amostrais 
em torno da reta de regressão.
Devemos diferenciar desvio não explicado (resíduo) e erro padrão: 
desvio não explicado: distância vertical entre um ponto amostral e a ƒ
reta de regressão;
erro padrão: medida coletiva da dispersão dos pontos amostrais em ƒ
torno da reta de regressão. 
O erro padrão da estimativa (se) é a medida das diferenças entre os valores dos dados coletados y e os 
valores estimados yˆ obtidos através da reta de regressão. O erro padrão é dado por: 
s = 
y y
n 2e
2
–
–
ˆ( )å
, em que yˆ é o valor predito de y.
O desenvolvimento do erro padrão da estimativa (se) acompanha o do desvio padrão ordinário. Assim 
como o desvio padrão mede o quanto os dados se desviam de sua média, o erro padrão de estimativa é 
uma medida de quanto os pontos amostrais se afastam da reta de regressão.
Quanto menores forem os valores de se, mais próximos da reta de regressão estarão os pontos; valores 
maiores de se correspondem a valores mais afastados da reta.
Devido à praticidade, uma fórmula bastante utilizada para o cálculo do erro padrão da estimativa é a 
seguinte:
s = 
y a y b xy
n 2e
2 – –
–
ååå
Neste caso, a e b são os coeficientes de regressão.
Aplique a fórmula anterior para calcular o erro padrão da estimativa dos exemplos seguintes. 
Vamos retomar um exemplo e ampliar a sua resolução. Uma empresa está analisando a variação da 1. 
demanda de certo produto em função de seu preço de venda. Na tabela seguinte constam as informa-
ções quanto aos meses, as unidades vendidas e o preço da venda. 
mEsEs uniDADEs vEnDiDAs (y) PREçO DE vEnDA (x) POR uniDADE
Janeiro 147 132,00
Fevereiro 140 137,00
Março 134 142,00
Abril 126 148,00
Maio 110 150,00
213
Estatística Aplicada à Gestão – Capítulo 4
Junho 103 156,00
Julho 97 160,00
Agosto 89 164,00
Setembro 81 170,00
Outubro 73 178,00
∑ 1 100 1 537,00
n = 10 ∑ y2 = 12 6970 ∑ x2 = 238 177∑ xy = 165 708
y = 110 x = 153,7
Fonte: Os autores.
1.o) Cálculo dos parâmetros:
b = 
xy 
n
 
n
 = 
165 708 1 537 . 1 100
10
2
2
–
–
–
x y
x
x
å( ) å( )
å
å( )
å 2238 177 
1537
10
 = 3 362
1 940,1
 = 1,7329
2
–
– –
( )
a = b = 110 ( 1,7329) . 153,7 = 376,35y x– – –
2.o) Equação de regressão:
yˆ = a + bx = 376,35 1,7329x–
O resultado b = –1,7329 significa que, para cada unidade de variação positiva de preço (x), a quantida-
de procurada (y) decresce 1,7329 unidades.
Podemos, então, achar o erro padrão da estimativa se:
s = 
y a y b xy
n 2
 = 
126 970 376,3468 . 1 100 
e
2 – –
–
– –ååå (( 1,7329) . 165 708
10 2
 = 143,91
8
 = 4,24
s = 4,24e
–
–
Avaliamos, então, a dispersão dos pontos amostrais em torno da reta de regressão com o erro padrão 
de estimativa s = 4,24e .
Figura 49 – Unidades vendidas e preço por unidade.
200
150
100
50
0
0 20
Un
id
ad
es
 v
en
di
da
s
Preço por unidade
40 60 80 100 120 160140
214
Com a ajuda do erro padrão de estimativa se, podemos construir estimativas intervalares para avaliar 
quão confiáveis são as estimativas pontuais obtidas. Suponha que, para cada valor fixo de x, os valores 
amostrais correspondentes de y se distribuam normalmente em torno da reta de regressão, e que essas 
distribuições normais tenham a mesma variância. A estimativa intervalar seguinte se aplica a um y indivi-
dual.
Dado um valor fixo x0, o intervalo de predição para um determinado y é:
yˆ – ε < y < yˆ – ε
A margem de erro ε é dada por:
ε = t s 1 + 1
n
 + 
n x x
n x x2
e
0
2
2 2a
–
– 
( )
å( ) å( )
em que: 
x0 representa o valor dado de x;
ta
2
 tem n – 2 graus de liberdade;
se é o erro padrão da estimativa.
A distribuição t de Student, conhecida como distribuição t, é utilizada na 
determinação de valores críticos denotados por ta
2
.
A tabela a seguir apresenta dados referentes a aluguel (em reais) de 10 casas e os anos de construção 
do imóvel:
AluGuEl (y) AnOs DE COnstRuçãO (x)
450
200
180
500
320
265
320
580
150
290
2
6
10
4
6
8
5
3
12
9
A partir dos dados iremos construir um intervalo de predição de 95% para o valor do aluguel de um 
imóvel com 7 anos de construção.
É necessário revisar os procedimentos para a obtenção da reta de regressão e das demais informa-
ções pertinentes.
Fonte: Os autores.
215
Estatística Aplicada à Gestão – Capítulo 4
1.o) Construímos a tabela auxiliar:
y x xy x2 y2
450
200
180
500
320
265
320
580
150
290
2
6
10
4
6
8
5
3
12
9
900
1 200
1 800
2 000
1 920
2 120
1 600
1 740
1 800
2 610
4
36
100
16
36
64
25
9
144
81
202 500
40 000
32 400
250 000
102 400
133 225
102 400
336 400
22 500
84 100
3 255 65 17 690 515 1 305 925
2.o) Determinamos o coeficiente de correlação:
rxy 
2
2
2
2
= 
xy 
x . y
n
x 
x
n
y 
y
n
–
– –
å( ) å( )
å
å( )
å
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
å( )
å
éé
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
 = 0,842
3.o) Obtemos os parâmetros de regressão:
b = 
xy 
n
 
n
 = 
17 690 65 . 3 255
10
5152
2
–
–
–
x y
x
x
å( ) å( )
å
å( )
å 
65
10
 = 3 467,5
92,5
 = 37,486
2
–
– –
( )
a = b = 325,5 ( 37,486) . 6,5 = 569,16y x– – –
4.o) Chegamos à reta de regressão (modelo ajustado):
yˆ = 569,16 37,486x–
O valor predito para x = 7 é ˆ ˆy = 569,16 37,486x y = 569,16 37,486 . 7 = 306,76– –Þ
5.o) Calculamos a média x dos dados:
x = x
n
 = 65
10
 = 6,5å
6.o) Calculamos a média y dos dados:
y = 
y
n
 = 3 255
10
 = 325,5å
(Percebemos que 
as variáveis têm 
correlação.)
.
216
7.o) Calculamos o erro padrão da estimativa:
s = 
y a y b xy
n 2
=
1 305 925 569,16 . 3 255 (
e
2 – –
–
– – –ååå 337,486) . 17 690
10 2
 = 12 937,39
8
 = 40,214
–
8.o) Calculamos a margem de erro:
Um grau de confiança de 95% que corresponda a a = 0,05 é a escolha mais comum porque propor-
ciona bom equilíbrio entre a precisão e a confiabilidade. Pela tabela, temos que ta
2
= 2,262 (interseção 
da coluna 0,05 bilateral com a linha correspondente a n – 1 = 10 – 1 = 9 graus de liberdade) (ver tabela de 
distribuição t na página 219).
Fazemos, então, x0 = 13 (porque queremos o intervalo de predição de y para x = 13).
ε = t s 1 + 1
n
 + 
n x x
n x x
 = 2,262 . 40,214 a
2
e
0
2
2 2
–
–
( )
å( ) å( )
11 + 1
10
 + 
10 . 7 6,5
10 . 515 65
2
2
–
–
( )
( )
ε = 2,262 . 40,214 . 1,05 = 95,52
Com ˆ ,y = 306 76 e ε = 95,52, obtemos o seguinte intervalo de predição:
yˆ – ε < y < yˆ + ε
306,76 95,52 < y < 306,76 + 95,52
211,24 < y < 402,28
–
Então, para um imóvel de 7 anos de construção, temos 95% de confiança de que o verdadeiro valor 
do aluguel esteja entre R$ 211,24 e R$ 402,28. O intervalo é grande porque o tamanho da amostra é pe-
queno.
leia o artigo “Desvio padrão ou erro padrão: qual utilizar?”, publicado 
no site http://apps.einstein.br/revista/arquivos/PDF/971-EC%20v6n3%20
p107-8.pdf. A autora do texto, Ângela tavares Paes, buscou esclarecer 
conceitos da estatística que aparecem comumente em artigos científi-
cos. Pela leitura do texto, é possível verificar a diferença entre os ter-
mos “desvio padrão” e “erro padrão” e sua importância no momento da 
análise de dados. 
texto i
APliCAbiliDADE DOs mODElOs DE REGREssãO
Fazendo música com regressão múltipla 
A Sony fabrica milhões de discos compactados em Terre Haute, Indiana. Em um estágio do pro-
cesso de fabricação, um laser expõe uma chapa fotográfica de modo que um sinal musical seja trans-
leituras complementares
217
Estatística Aplicada à Gestão – Capítulo 4
ferido para um sinal digital codificado com 0 e 1s. Este processo foi analisado estatisticamente, para 
identificar os efeitos de diferentes variáveis, como o tempo de exposição e a consistência da emulsão 
fotográfica. Os métodos de regressão múltipla mostraram que, entre todas as variáveis consideradas, 
quatro eram altamente significativas. O processo fotográfico foi ajustado para otimizar resultados com 
base nas quatro variáveis críticas. Como resultado, a percentagem de discos defeituosos diminuiu, 
mantendo-se a qualidade do som. O emprego de métodos de regressão múltipla levou a custos mais 
baixos de produção e melhor controle do processo de fabricação.
A estatística no tribunal 
Os proprietários de um complexo de cinco edifícios de apartamentos na cidade de Nova York 
moveram uma ação em virtude de danos causados aos tijolos. O dano ocorreu quando a água foi 
absorvida pela parede de tijolos, seguindo-se ciclos de congelamento e descongelamento, o que 
fez com que a parede rachasse. Com cerca de 750.000 tijolos, não seria possível inspecionar um a 
um, o que levou à adoção de métodos de amostragem. Estatísticos aplicaram métodos de regressão 
para predizer o número total de tijolos danificados. As variáveis independentes incluíram qual dos 
cinco edifícios foi utilizado, a orientação da parede, a altura, e se a parede se voltava para o pátio 
interno ou era uma parede externa. A estimativa do dano total parece ter influenciado fortemente os 
acordos [judiciais] finais. 
TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
texto ii
umA mEtODOlOGiA DE PREDiçãO EstAtístiCA DE PROjEtOs bAsEADA Em simulAçãO
Segundo Pressman [2002], a imprecisão de estimativas é um dos problemas cruciais enfrentados 
pela indústria de software. A baixa qualidade e produtividade, o atraso significativo na entrega de pro-
dutos (mais de 200%) e a extrapolação de custos previamentedefinidos (mais de 90%) representam a 
realidade atual do desenvolvimento de software [Standish, 1995].
Paula [2003] afirma que muitos gerentes não sabem de fato estimar e realizam “previsões” com 
base em sua experiência, muitas vezes insuficiente, com relação à equipe de desenvolvimento. Isso 
pode ocasionar prejuízos financeiros à organização, além da insatisfação dos seus clientes.
Uma das maneiras de resolver este problema é dar condições para que a organização possa predi-
zer, de maneira confiável, as chances de um projeto futuro atingir seus objetivos dentro do prazo, custo 
e qualidade definidos. A partir da percepção da execução do projeto, a negociação de prazo pode ser 
feita com maior segurança, diminuindo o risco de atrasos.
Visando uma maior aproximação à realidade da organização, uma predição pode combinar a es-
timativa definida pelo gerente, com a natureza e disponibilidade atual de recursos da organização. 
Isso pode ser feito através de simulação, que prediz a execução de um dado projeto de maneira mais 
realista, através da utilização dos recursos humanos e financeiros disponíveis para o projeto, durante a 
execução do cronograma previsto pelo gerente.
Além disso, devido à natureza dinâmica e estocástica de um ambiente de desenvolvimento de 
software, a predição de um projeto deve considerar ainda o possível aumento no custo e tempo de 
execução de tarefas, causado pela ocorrência de eventos, associados aos riscos de projeto.
218
Caso não seja considerado na simulação, esse aumento de tempo pode ser tratado estatisticamen-
te, pela utilização do histórico de projetos da organização. Neste caso, a predição é realizada com base 
na capacidade e maturidade da organização com relação ao atraso, identificados durante a análise de 
seu histórico de projetos. A partir daí, as organizações são incentivadas a aumentar a capacidade e 
maturidade do processo de estimativas, já identificadas, fornecendo maior confiabilidade na predição 
de seus projetos.
Segundo Oliveira [2006], a aplicação de práticas, definidas em modelos de qualidade como o 
CMMI [Paulk et al., 1993], que visam aumentar continuamente a qualidade dos processos de uma 
organização, acarreta as seguintes melhorias [...]:
Previsibilidade: o amadurecimento da organização ocasiona uma maior previsibilidade, ou seja, ƒ
menor será a diferença entre resultados esperados e realizados dos projetos, aumentando a 
validade e eficácia de predições. Tal característica é comum em organizações no nível de ma-
turidade 2 do modelo CMMI.
Controle: organizações maduras conseguem um maior controle sobre seus projetos, resultando ƒ
em uma menor variabilidade dos resultados observados ao redor dos resultados estimados, 
aumentando a confiabilidade das estimativas e a eficiência do processo. Tal característica co-
meça a se tornar comum em organizações no nível de maturidade 3 e prossegue no nível 4 do 
CMMI.
Efetividade: o amadurecimento da organização aumenta ainda sua efetividade, ou seja, o au- ƒ
mento na qualidade dos resultados estimados dos projetos, o que está ligado ao aumento da 
capacidade do processo.
SOUzA, Mariane Moreira de. Uma metodologia de predição estatística de projetos baseada em 
simulação. Dissertação, Universidade Federal de Pernambuco, Recife, 2007. 
Disponível em: <http://www.cin.ufpe.br/~imppros/Publicacoes.html>. Acesso em: 17 set. 2009. 
Você estudou:
Desvio total é a distância entre o ponto (x, y) e a reta horizontal que passa pela média amostral. ƒ
Desvio explicado é a distância entre o valor previsto de y e a reta horizontal que passa pela média 
amostral. Desvio não explicado (ou resíduo) é a distância entre o ponto (x, y) e a reta de regres-
são.
O coeficiente de determinação é o valor da variação de ƒ y que é explicado pela reta de regressão. 
O erro padrão da estimativa (s ƒ e) é uma medida das diferenças entre os valores amostrais observados e 
os valores estimados através da reta de regressão. 
síntese
SOUzA, Mariane Moreira de. Uma metodologia de predição estatística de projetos baseada em simulação. Dissertação, 
Universidade Federal de Pernambuco, Recife, 2007. Disponível em: <http://www.cin.ufpe.br/~imppros/Publicacoes.
html>. Acesso em: 17 set. 2009.
TOLEDO, Geraldo Luciano; OVALLE, Ivo Izidoro. Estatística básica. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1995. 
TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
Referências
219
Estatística Aplicada à Gestão – Capítulo 4
tAbElA DE DistRibuiçãO t DE stuDEnt
Critical values of Student's t-distribution
Fonte: http://www.umanitoba.ca/statistics/faculty/johnson/tables/t-Dist.pdf. 
v 0,9 0,5 0,4 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,001 v
1 .158 1.000 1.376 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 636.619 1
2 .142 .816 1.061 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 31.598 2
3 .137 .765 .978 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 12.924 3
4 .134 .741 .941 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 8.610 4
5 .132 .727 .920 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6.869 5
6 .131 .718 .906 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.959 6
7 .130 .711 .896 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 5.408 7
8 .130 .706 .889 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 5.041 8
9 .129 .703 .883 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.781 9
10 .129 .700 .879 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.587 10
11 .129 .697 .876 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.437 11
12 .128 .695 .873 1.356 1.782 2.179 2.681 3.005 4.318 12
13 .128 .694 .870 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 4.221 13
14 .128 .692 .868 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 4.140 14
15 .128 .691 .866 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 4.073 15
16 .128 .690 .865 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 4.015 16
17 .128 .689 .863 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.965 17
18 .127 .688 .862 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.922 18
19 .127 .688 .861 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.883 19
20 .127 .688 .860 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.850 20
21 .127 .686 .859 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.819 21
22 .127 .686 .858 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.792 22
23 .127 .685 .858 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.767 23
24 .127 .685 .857 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.745 24
25 .127 .684 .856 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.725 25
26 .127 .684 .856 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.707 26
27 .127 .684 .855 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.690 27
28 .127 .683 .855 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.674 28
29 .127 .683 .854 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.659 29
30 .127 .683 .854 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.646 30
40 .126 .681 .851 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.551 40
60 .126 .679 .848 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.460 60
120 .126 .677 .845 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 3.373 120
∞ .126 .674 .842 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 3.291 ∞
α α
–4
–3
–2
–1
0
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
ƒ
ƒ
a
2
a
21
2 2
– a 1
2 2
– a
220
Atividades do capítulo
As notas de Português e Matemática de 12 estudantes selecionados aleatoriamente entre os alunos do 1. 
3.o ano de um colégio estão na tabela abaixo.
Calcule o coeficiente de correlação entre a) x e y.
Faça o diagrama de dispersão.b) 
AlunO PORtuGuês mAtEmátiCA
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
65
80
65
43
55
40
71
65
60
68
49
92
65
82
78
90
75
78
85
83
91
80
Colete dados sobre a altura (cm) e o peso (kg) de alguns indivíduos. Determine o coeficiente de corre-2. 
lação entre as variáveis pesquisadas.
Os dados da tabela abaixo mostram as vendas de determinado produto (em unidades) e os gastos com 3. 
propaganda na TV (em R$).
mEsEs vEnDAs (y) GAstOs COm PROPAGAnDA
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
novembro
Dezembro
550
230
378
427
173
397
538
298
469
285
493
512
1273
785
869
1005
584
905
1173
740
998
698
973
1305
Elabore um diagrama de dispersão.a) 
Obtenha o coeficiente de correlação e interprete o resultado.b) 
Uma empresa analisou os gastos com publicidade nos últimosanos e sua relação com o volume de 4. 
vendas. Os resultados estão apontados na tabela a seguir, ambos expressos em mil reais.
Fonte: Os autores.
Fonte: Os autores.
221
Estatística Aplicada à Gestão – Capítulo 4
AnOs GAstOs COm PubliCiDADE (x) vEnDAs (y)
2008
2007
2006
2005
2004
2003
2002
2001
2
3
4
7
10
12
17
23
5
8
10
15
23
28
37
49
Organize uma tabela que facilite as somas.a) 
Estime os parâmetros b) a e b.
Dê a equação de ajuste (equação de regressão).c) 
Monte o diagrama de dispersão.d) 
Determine o coeficiente de determinação, comentando sobre o resultado observado.e) 
Uma empresa analisou a relação entre o número de horas (em milhões) de trabalho (x) e o número de 5. 
acidentes ocorridos (y).
númERO DE hORAs (x) númERO DE ACiDEntEs (y) x2 y2 xy
4
6
10
13
17
20
11
13
17
18
22
24
Complete o quadro.a) 
Determine os parâmetros b) a e b e monte a reta de regressão.
Determine e interprete o coeficiente de determinação.c) 
De acordo com a propriedade dos mínimos quadrados, a reta de regressão minimiza a soma dos 6. 
quadrados dos resíduos. Vimos que, com os dados emparelhados a seguir, a equação de regressão é 
yˆ = 5 + 4x , e que a soma dos quadrados dos resíduos é 364. 
Mostre que a equação yˆ = 8 + 3x resulta em uma soma de quadrados maior do que 364.
x 1 2 4 5
y 4 24 8 32
Os dados expressos na tabela referem-se às vendas (em milhares de unidades) e ao preço médio por 7. 
unidade (em mil reais) de veículos 1.0 das concessionárias Fiat, Ford, GM, Volkswagen e Renault no 
mês de setembro de 2008.
mARCA PREçO (x) vEnDAs (y)
Fiat 27,21 31,16
Ford 29,63 14,50
GM 27,33 29,70
Volkswagen 28,29 24,52
Renault 30,01 4,68
Fonte: Os autores.
Fonte: www.fundap.sp.gov.br/...workshop/Apresentação%20de%20Aurélio%20Santana.pdf.
222
Considerando esses dados, construa um intervalo de predição de 95% para um veículo cujo valor seja 
R$ 29.0000,00. Complete a tabela para facilitar seus cálculos e siga os procedimentos descritos neste 
capítulo.
x y xy x2 y2
27,21 31,16
29,63 14,50
27,33 29,70
28,29 24,52
30,01 4,68
Figura 50 – Venda de veículos 1.0 em função do preço. 
Anotações
Preço
35
30
25
20
15
10
5
0
Ve
n
da
s
27 27,5 28 28,5 29 29,5 30 30,5
223
Estatística Aplicada à Gestão – Capítulo 4
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