CONSIDERACOES SOBRE A DINAMICA VERTICAL NO PROJETO DO MECANISMO DE SUSPENSAO DE UM VEICULO BAJA SAE - João L. M. Portela

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS 
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES SOBRE A DINÂMICA VERTICAL NO PROJETO 
DO MECANISMO DE SUSPENSÃO DE UM VEÍCULO BAJA SAE 
 
 
 
 
 
 
 
 
JOÃO LUIZ MOSS PORTELA 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS-AM 
 
2015
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS 
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
CONSIDERAÇÕES SOBRE A DINÂMICA VERTICAL NO PROJETO 
DO MECANISMO DE SUSPENSÃO DE UM VEÍCULO BAJA SAE 
JOÃO LUIZ MOSS PORTELA 
ORIENTADOR: Prof. Dr. HUGO MARIO TAVARES JUNIOR 
 
MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS-AM, 17 DE DEZEMBRO DE 2015 
 
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS 
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
CONSIDERAÇÕES SOBRE A DINÂMICA VERTICAL NO PROJETO 
DO MECANISMO DE SUSPENSÃO DE UM VEÍCULO BAJA SAE 
 
 
 
 
MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO SUBMETIDA A COORDENAÇÃO DE 
ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DA 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS; COMO PARTE DOS REQUISITOS 
NECESSÁRIOS PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE ENGENHEIRO MECÂNICO 
APROVADA POR: 
_____________________________________ 
Prof. HUGO MARIO TAVARES JUNIOR, Dr. (UEA) 
(ORIENTADOR) 
_____________________________________ 
Prof. ANTÔNIO CLAUDIO KIELING, Dr. (UEA) 
(EXAMINADOR) 
_____________________________________ 
Prof. RAIMUNDO NONATO ALVES DA SILVA, M.Sc,(UEA) 
(EXAMINADOR) 
MANAUS-AM, 17 DE DEZEMBRO DE 2015 
iii 
 
 
 
Dedico este trabalho aos meus pais, João Carlos 
Portela e Marcia Moss Portela, fonte de minha 
inspiração e força a alcançar meus objetivos, e aos 
meus colegas da equipe BAJA UEA. 
iv 
 
 
AGRADECIMENTOS 
Agradeço primeiramente aos meus pais e minha irmã que sempre estiveram ao meu lado 
nos momentos de dificuldades. 
Ao meu orientador, professor Dr. Hugo Tavares, pela paciência, pelo incentivo e por me 
guiar no processo de elaboração desta monografia. 
Aos meus amigos, Victor Acácio, Paulo Diógenes, Isaac Nogueira e aos amigos e 
colegas de equipe BAJA UEA, que fizeram parte da minha formação. 
À Jéssica Brazão por todo o apoio que me deu nas dificuldades enfrentadas na redação 
desta monografia. 
Ao Washington Santos e aos colegas de trabalho na Bertolini da Amazônia, pela 
compreensão e apoio. 
João Luiz Moss Portela 
 
 
v 
 
 
 
“Figuring the suspension of a car is almost 
entirely a matter of making useful 
 approximations. It is not an exact science. 
But neither is it a blind application 
 of rule-of-thumb principles.” 
 
Marice Olley 
Notes on Suspension, 1961 
vi 
 
 
 
RESUMO 
Na literatura pesquisada (Heißing, Ersoy & Gies (2013), Gillespie (1992), Reimpell, 
Stoll & Betzler (2001) e Milliken & Milliken (1995)) encontram-se diversos detalhes sobre os 
cálculos e estudos necessários para o projeto do mecanismo de suspensão, porém não é 
evidenciado por onde iniciá-lo, embora haja uma tácita menção de que deva ser iniciada pela 
dinâmica vertical. Corroborando com essa percepção, observa-se que, nesses textos, os dados 
das constantes equivalentes das molas e dos amortecedores são utilizados como parâmetros na 
dinâmica lateral e longitudinal, etapas subsequentes para o projeto do mecanismo de suspensão. 
Nesta monografia propõe-se que o projeto do mecanismo de suspensão deva ser iniciado pelo 
estudo da dinâmica vertical, a fim de se obter as constantes equivalentes das molas e dos 
amortecedores (calculados como se estivessem na vertical e em cima das rodas). Para tal adota-
se o modelo ¼ de veículo, com 1 grau de liberdade. Resolve-se analiticamente a equação 
diferencial ordinária proveniente deste modelo. A partir das recomendações técnicas (Gillespie 
(1992), Branco (2014), Prasad et al., (2013), Reimpell, Stoll & Betzler (2001) e Costa (2006)) 
para a frequência natural obtém-se a frequência angular natural. Analisa-se o comportamento 
da solução da equação na sua forma homogênea considerando um deslocamento inicial da 
massa do veículo sendo ocupado por um piloto de 93 kg, com velocidade inicial nula, para 
quatro coeficientes de amortecimento. Em seguida, simula-se o veículo percorrendo uma pista 
com perfil senoidal a 30 km/h. A partir dos gráficos da transmissibilidades de deslocamento e 
de força, para a faixa de velocidades consideradas na competição BAJA SAE, seleciona-se o 
coeficiente de amortecimento. E, em seguida, com este coeficiente de amortecimento, obtém-
se a constante equivalente de amortecimento, para o modelo, tanto para o eixo dianteiro quanto 
para o eixo traseiro do veículo. E também a constante equivalente das molas referentes ao eixo 
traseiro e dianteiro. Por fim, conclui-se calculando-se a frequência natural e o coeficiente de 
amortecimento com as constantes equivalentes de mola e de amortecimento para outros dois 
pilotos ocupantes do veículo, um com 45 kg e outro com 103 kg, para verificar os critérios de 
frequência natural recomendados. 
 
Palavras-chave: Dinâmica vertical, modelo ¼ de veículo, suspensão para veículo BAJA SAE. 
 
vii 
 
 
 
ABSTRACT 
In the researched literature, Heißing, Ersoy & Giles (2013), Gillespie (1992), Reimpell, 
Stoll & Betzler (2001) and Milliken & Milliken (1995), there are many details about the 
calculations and studies required for the design of the mechanism of the suspension, but it is 
not evident where to start it, although there is a tacit statement that it should be initiated by the 
vertical dynamics. Along with this perception, it is observed that, in these texts, the data of the 
equivalent spring stiffness and damping coefficient are used as parameters in the lateral and 
longitudinal dynamics, subsequent steps for the suspension mechanism design. This monograph 
proposes that the suspension mechanism design should be initiated by the vertical dynamics 
study, in order to obtain the equivalent spring stiffness and damping coefficient (calculated as 
if they were upright and over the wheels). To complete this study, it is adopted the ¼ vehicle 
model with one degree of freedom. The ordinary differential equation from this model is solved 
analytically. From technical recommendations (Gillespie (1992), White (2014), Prasad et al., 
(2013), Reimpell, Stoll & Betzler (2001) and Costa (2006)) of the natural frequency, it is 
calculated the natural angular frequency. It is analyzed the solution of the equation in their 
homogenous state, considering an initial displacement of the mass of the vehicle, with zero 
initial speed, the vehicle being occupied by a pilot weighing 93 kg, and with four different 
damping ratios. Then the vehicle is simulated crossing a road with sinusoidal profile at 30 km/h. 
From the graphs of displacement and strength transmissibility, for the range of speeds 
considered in a BAJA SAE competition, it is selected the damping ratio. With the selected 
damping ratio, it is obtained the equivalent damping coefficient for the model, for both front 
and rear axles of the vehicle. It is also obtained the equivalent spring stiffness for both rear and 
front axles. Finally, it is concluded with the calculation of the natural frequency and the 
damping ratio with the obtained equivalent spring stiffness and damping coefficient for two 
different drivers occupying the vehicle, one with 45 kg and other with 103 kg, to check the 
recommended natural frequency criteria. 
 
Keywords: Vertical dynamics, ¼ vehicle model, Suspension for BAJA SAE vehicle. 
 
viii 
 
 
 
SUMÁRIO 
ÍNDICEDE FIGURAS ......................................................................................................................................... IX 
LISTA DE TABELAS ........................................................................................................................................... X 
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................. 11 
1.1 A Suspensão Veicular .......................................................................................................................... 11 
1.2 Breve Histórico .................................................................................................................................... 12 
1.3 A Suspensão Veicular .......................................................................................................................... 15 
1.3.1 Localização no Veículo ................................................................................................................... 15 
1.3.2 Função da Suspensão ....................................................................................................................... 17 
1.3.3 Componentes Físicos ....................................................................................................................... 17 
1.3.4 Componentes Cinemáticos .............................................................................................................. 21 
1.4 A Dinâmica Veicular ........................................................................................................................... 27 
1.5 Problematização, Objetivos e Metodologia ......................................................................................... 27 
2 DINÂMICA VERTICAL .............................................................................................................................. 29 
2.1 Introdução ............................................................................................................................................ 29 
2.1.1 Modelo para análise ......................................................................................................................... 29 
2.2 Frequência Natural e Coeficiente de amortecimento ........................................................................... 40 
3 ANÁLISE DA DINÂMICA VERTICAL VEÍCULO BAJA SAE ............................................................... 41 
3.1 Solução Homogênea ............................................................................................................................ 41 
3.2 Solução Geral ....................................................................................................................................... 45 
3.3 Obtenção das Constantes Equivalentes da Mola e do Amortecedor .................................................... 50 
3.4 Análise dos Resultados ........................................................................................................................ 54 
4 CONCLUSÃO ............................................................................................................................................... 55 
5 REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................ 57 
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................................................... 58 
APÊNDICE A - ESTIMATIVA DE MASSAS DO VEÍCULO BAJA DA EQUIPE BAJA UEA ....................... 59 
 
 
ix 
 
 
 
ÍNDICE DE FIGURAS 
Figura 1-Exemplo de suspensão Trailing Arms em eixo traseiro de veículo BAJA SAE. ...... 11 
Figura 2 - Carruagem dos Sumérios 2700 a.C.. ....................................................................... 12 
Figura 3 - Carruagem dotada de suspensão, molas, freios e direção. ....................................... 13 
Figura 4 - Ilustração do princípio de Ackerman, através do qual a roda interna da curva possui 
um angulo de inclinação maior e relação a roda exterior. ........................................................ 14 
Figura 5 - Grupos principais dos componentes de um veículo................................................. 15 
Figura 6 - Componentes de um Chassis moderno. ................................................................... 16 
Figura 7 – Molas helicoidais utilizadas em sistemas de suspensão veicular. ........................... 17 
Figura 8 - Amortecedores. ........................................................................................................ 18 
Figura 9 - Braço de suspensão. Este em particular, utilizado em suspensões Double Wishbone.
 .................................................................................................................................................. 18 
Figura 10 - Diversos tipos de buchas utilizados em veículos automotores. ............................. 19 
Figura 11 - Juntas Rotuladas. ................................................................................................... 19 
Figura 12 – Cubo de roda montado com rolamento e sensor de ABS. .................................... 20 
Figura 13 - Manga de Eixo. ...................................................................................................... 20 
Figura 14 - Sistema de coordenadas segundo as normas ISO 8855:2011. ............................... 21 
Figura 15 - Representação do centro de gravidade................................................................... 21 
Figura 16 - Representação do ângulo de convergência no plano x-y. ...................................... 22 
Figura 17 - Representação de diversos componentes cinemáticos de uma suspensão veicular.
 .................................................................................................................................................. 22 
Figura 18 – Entre eixos l de um veículo. .................................................................................. 24 
Figura 19 - Representação do centro de rolamento. Adaptado................................................. 25 
Figura 20 - Representação do eixo de rolamento, o eixo que conecta os centros de rolagem do 
eixo traseiro e dianteiro. ........................................................................................................... 25 
Figura 21 - Slip angle α e Ângulo de direção δ ........................................................................ 26 
Figura 22- Representação da divisão do veículo para o modelo ¼ .......................................... 30 
Figura 23 - Modelo 1/4 de veículo ........................................................................................... 30 
Figura 24 – Dimensões da instalação dos componentes........................................................... 31 
Figura 25 - Diagramas para cálculo das forças e deslocamentos equivalentes – mola vertical 32 
Figura 26 – Diagramas para cálculo das forças e deslocamentos equivalentes ........................ 32 
Figura 27 - Modelo 1/4 de veículo com 2 graus de liberdade .................................................. 34 
Figura 28 - Modelo 1/4 de veículo com 1 grau de liberdade .................................................... 35 
Figura 29 - Diagrama de corpo livre do modelo ¼ de veículo com 1 grau de liberdade ......... 35 
Figura 30 - Representação da pesagem do veículo................................................................... 60 
 
x 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 1 - Dados da massa do veículo ..................................................................................... 41 
Tabela 2 - Dados de entrada da solução homogênea ................................................................42 
Tabela 3 - Dados para resolução da solução particular do modelo 1/4 de veículo................... 46 
Tabela 4 - Resultados obtidos variando o coeficiente de amortecimento ................................ 51 
Tabela 5 - Resultados das constantes da mola e de amortecimento para os eixos dianteiro e 
traseiro ...................................................................................................................................... 52 
Tabela 6 - Resultados de frequência natural e coeficiente de amortecimento para pilotos 
diferentes .................................................................................................................................. 53 
Tabela 7 - Dados obtidos da pesagem do veículo baja atual da equipe BAJA UEA ............... 61 
Tabela 8 - Dados das massas a serem utilizadas no projeto do novo veículo .......................... 62 
 
 
11 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
1.1 A Suspensão Veicular 
O primeiro sistema de suspensão veicular surgiu ainda no império romano, quando 
construtores de carruagens separaram o corpo da carruagem (a carroceria) do chassi, realizando 
a união destas partes por meio de correntes ou tiras de couro, visto que anteriormente eram fixos 
um ao outro, assim reduzindo os choques gerados pelas estradas da época. 
Os sistemas de suspensão dos veículos atuais compartilham a mesma função primitiva 
das carruagens romanas, ou seja, absorver as vibrações geradas pelas irregularidades da pista 
de rolagem, contribuindo desta forma com o conforto do motorista e dos passageiros. Além do 
conforto, os sistemas de suspensão atuais possuem outros papéis importantes no funcionamento 
do veículo. Dentre eles a estabilidade e o auxílio na aderência entre os pneus e a pista de 
rolamento contribuindo, desta forma, para o aumento da segurança do veículo. 
Os sistemas de suspensão comumente utilizados em veículos BAJA SAE (Society of 
Automotive Engineers) para competição universitária são: Double Wishbone (também 
conhecido como duplo A), Semi-trailing Arms e Trailing Arms (braços semi-arrastados e 
arrastados, respectivamente). A Figura 1 mostra um exemplo de suspensão Trailing Arms em 
um veículo BAJA SAE. 
As equipes normalmente selecionam o tipo de suspensão levando em consideração a 
adaptabilidade ao veículo como um todo, além é claro de custos, facilidade de construção e as 
vantagens geradas na operação do veículo. 
 
Figura 1-Exemplo de suspensão Trailing Arms em eixo traseiro de veículo BAJA SAE. 
Fonte: Dal Baja-Chassis. Disponível em: <http://poisson.me.dal.ca/~dp_12_04/design.html>. Acesso em: 10 dez. 
2014 
 
12 
 
 
1.2 Breve Histórico 
A história da suspensão veicular e dos automóveis teve início há mais de 6000 anos, 
com o advento da roda. A roda foi um dos adventos de maior importância para humanidade. 
Carruagens dos sumérios ( 2700 a.C.), mostradas na Figura 2, possuiam 4 rodas com “pneus” 
de metal, os quais giravam em 2 eixos fixos a carruagem. Os dois eixos tinham por tarefa manter 
a estabilidade e carregar o peso do veículo e sua carga, enquanto os “pneus” de metal deveriam 
aumentar a durabilidade das rodas. A junção entre as rodas e os eixos eram lubrificadas por 
óleos de origem animal. 
 
Figura 2 - Carruagem dos Sumérios 2700 a.C.. 
Fonte: HEIßING, Bernd; ERSOY, Metin; GIES, Stefan (Org.). Fahrwerkhandbuch: grundlagen, fahrdynamik, 
komponenten, systeme, mechatronik, perspektiven. 4a ed., Wiesbaden: Springer Vieweg, 2013. 
Os primeiros sistemas de direção nos eixos dianteiros surgiram entre 1800 e 800 a.C.; o 
eixo não era mais fixo, mas sim preso em seu centro ao corpo da carruagem por um pivô 
podendo assim girar em torno deste. 
Os romanos separaram o corpo da carruagem do “chassis”, para aumentar o conforto. 
Eles fixaram o corpo da carruagem, mais tarde conhecido como carroceria, com correntes ou 
tiras de couro ao “chassis”, para reduzir os choques gerados pela pista de rolagem. Resultando 
assim na primeira suspensão. 
As primeiras carruagens com suspensão, direção e freios surgiram no século 10 na 
Europa central, um exemplo destas carruagens é mostrado na Figura 3. Estas carruagens 
possuiam um feixe de molas, um eixo direcionável e um sistema de freios que consistia de uma 
sapata de freio suspensa por uma corrente. A massa do veículo foi então dividida em uma parte 
suspensa e uma não suspensa, em primeira suposição, isto foi feito para aumentar a velocidade 
do veículo para mais de 30km/h. 
 
13 
 
 
 
Figura 3 - Carruagem dotada de suspensão, molas, freios e direção. 
Fonte: HEIßING, Bernd; ERSOY, Metin; GIES, Stefan (Org.). Fahrwerkhandbuch: grundlagen, fahrdynamik, 
komponenten, systeme, mechatronik, perspektiven. 4a ed., Wiesbaden: Springer Vieweg, 2013. 
O Conforto dos veículos pôde ser melhorado no século 18 através do amortecimento 
próprio dos feixes de molas elípticas; o atrito entre as molas agia como um amortecedor. Os 
feixes de mola também tinham a função de manter a estabilidade longitudinal, assim pesadas 
barras de suporte entre os eixos e a carroceria não eram mais necessárias. 
No início do século 19, veículos operados por pesadas máquinas à vapor só eram 
economicamente viáveis quando operadas sobre trilhos, devido as péssimas condições das 
estradas da época. Posteriormente com a construção de uma rede de estradas pavimentadas, na 
Inglaterra, por McAdam, com a utilização de rodas com raios, por Walter Hancock (1830), e a 
introdução dos pneumáticos, por John Boyd Dunlop (1888), após a sua descoberda de Robert 
William Thomson (1845), todos os requesitos para uma condução de veículos mais confortáveis 
e rápidos foram atigidos. 
Uma outra descoberta feita em 1816, conhecida como direção Ackermann, patenteada 
por Georg Lankensperger, construtor de carruagens de Munique, e licenciada para Rudolph 
Ackermann em Londres. Com a qual foi possível que somente as rodas, através de pivôs, se 
movessem e não mais o eixo por inteiro. Através da união das rodas com uma barra, cada roda, 
consequentemente, possuia um ângulo de direção próprio, o que permite a interseção dos eixos 
rotacionais de cada roda. A Figura 4 ilustra este princípio, que é conhecido como “ Princípio de 
Ackermann” e ainda é uma consideração importante no projeto de sistemas de direção atuais. 
 
14 
 
 
 
Figura 4 - Ilustração do princípio de Ackerman, através do qual a roda interna da curva possui um angulo de 
inclinação maior e relação a roda exterior. 
Fonte: Geometria de Ackermann. Disponível em: 
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_de_Ackermann#mediaviewer/File:Ackermann.svg>. Acesso em: 10 
dez. 2014 
Muitos outros fatos históricos foram importantes para o desenvolvimento da suspensão 
veícular. Dentre eles, podem ser citados as separações entre: 
 Carroceria e chassis; 
 Massa suspensa e não suspensa; 
 Molas e amortecedores; 
 das rodas e eixos (resultando em suspensões independentes); 
 das rodas e pneus; 
 dos braçoes de suporte (multi-link); 
 e da conexão Suspensão-Carroceria, através de um subchassi 
Além destas separações, também podem ser citadas como grandes invenções dos 
primeiros 100 anos do estudo de sistemas de suspensão veícular: pneus radiais, molas 
helicoidais e pneumáticas, buchas hidraúlicas, juntas rotuladas, buchas de borracha, caixas de 
direção com pinhão e cremalheira assistida hidraúlicamente, freios hidraúlicos nas 4 rodas, 
freios a disco, tração integral (nas quatro rodas, permanente), suspensões multi-link e sistemas 
eletrônicos ( por exemplo: ABS, ASR, EBV, ESP, ACC...). 
 
15 
 
 
1.3 A Suspensão Veicular 
Segundo Matschinsky (1998), a suspensão é o conjunto de peças que estabelece a 
conexãoentre a carroceria do veículo e as rodas com os pneus e, essencialmente, possibilita o 
movimento vertical da roda para compensar as irregularidades da pista de rolamento. 
1.3.1 Localização no Veículo 
Dos conjuntos de sistemas que compõe um veículo, estes podem ser divididos em três 
grandes grupos, em seguida subdivididos conforme mostra a Figura 5, apresentado por Heißing, 
Ersoy & Gies (2013): 
 
Figura 5 - Grupos principais dos componentes de um veículo. 
Fonte: HEIßING, Bernd; ERSOY, Metin; GIES, Stefan (Org.). Fahrwerkhandbuch: grundlagen, fahrdynamik, 
komponenten, systeme, mechatronik, perspektiven. 4a ed., Wiesbaden: Springer Vieweg, 2013. 
Automóvel
Trem de Força
Motor
Eixos
Transmissão
Semi-Eixos
Sistemas de Chassis
Sistema de Combustível
Sistemas de Exaustão
Front-/Rearend
Chassis
Suporte de Agregados
Eixos
Rodas/extremida-des
Pneus/Rodas
Eletrônica do Chassis
Carroceria
Lataria
Interior
Elétrico/eletrônicos
Painel de Instrumentos
16 
 
 
O sistema de suspensão é um subsistema do sistema de chassis, sua ‘localização’ dentre 
os diversos sistemas de um veículo pode ser observada na Figura 6. 
 
Figura 6 - Componentes de um Chassis moderno. 
Fonte: HEIßING, Bernd; ERSOY, Metin; GIES, Stefan (Org.). Fahrwerkhandbuch: grundlagen, fahrdynamik, 
komponenten, systeme, mechatronik, perspektiven. 4a ed., Wiesbaden: Springer Vieweg, 2013. 
Chassi
Suporte de Agregados
Eixos
Eixos de acionamento/ 
propulsão
Semi-eixos
Diferencial
Power/take off
Estabilizadores
Barra Estabilizadora
Bieletas
BuchasSubchassi
Direção
Caixa de direção
Barra de direção
Coluna de direção
Volante
Roda/extremi-dades
Suspensão
Molas/amorte-cedores
Controle de Roda
Ponta de Eixo
Rolamentos/ Cubo de 
roda
Sensores
Braços da suspensão
Juntas/ articulações
Buchas
Freios
Freios
Atuadores do freio
Pedais
Pneus/Rodas
Eletrônicos
17 
 
 
1.3.2 Função da Suspensão 
Segundo Heißing, Ersoy & Gies (2013), a suspensão veicular tem como principal 
objetivo guiar o conjunto Pneu roda em relação a carroceria do veículo de forma que o 
movimento, que é essencialmente vertical, seja possível e que as forças e os momentos 
exercidos no ponto de contato entre o pneu e a pista de rolagem, no eixo horizontal, possam ser 
transferidos para a carroceria do veículo. Além de possibilitar a mudança de direção no eixo 
dianteiro e no caso de eixos traseiros equipados com sistema de direção. Contudo é esperado 
que um sistema de suspensão proporcione ao motorista e aos passageiros conforto, estabilidade 
e segurança. 
1.3.3 Componentes Físicos 
Os componentes físicos de uma suspensão veicular, segundo Heißing, Ersoy & Gies 
(2013), são: molas, amortecedores, barras/braços da suspensão, buchas, junta rotulada, cubo de 
roda, pontas de eixo (também conhecido como manga de eixo), rolamentos. A seguir são 
apresentadas as definições triviais destes componentes. 
Molas: As molas da suspensão veicular são responsáveis por absorver os choques 
gerados quando o veículo passa por irregularidades na pista. São também responsáveis por 
suportar a massa do veículo, e são cruciais, em conjunto com os amortecedores e os outros 
componentes da suspensão, em manter a estabilidade do veículo, no conforto, na dinâmica da 
transferência de cargas em curvas, arrancadas e frenagens. Dentre as principais molas utilizadas 
em suspensões veiculares estão: mola de lâmina (popularmente chamadas de feixe de molas), 
mola helicoidais, barra de torção e molas pneumáticas. A Figura 7 mostra um dos tipos mais 
comuns de molas utilizados em suspensões veiculares, as molas helicoidais. 
 
Figura 7 – Molas helicoidais utilizadas em sistemas de suspensão veicular. 
Fonte: Performance Springs. Disponível em: <http://eibach.com/america/en/performance-
suspension/performance-springs>. Acesso em 19 nov. 2015. 
18 
 
 
Amortecedores: A principal função de um amortecedor é absorver as oscilações da 
mola geradas pelas igerrularidades da pista e visando manter sempre o contato dos pneus com 
o solo, a fim de proporcionar conforto, estabilidade e segurança ao veículo. Os primeiros 
amortecedores utilizados em veículos, eram amortecedores de fricção, hoje em dia dispomos 
de amortecedores Monotubo, Twintube (Tubo-duplo), pressurizados ou não-pressurizados. A 
Figura 8 mostra 4 modelos diferentes de amortecedores utilizados em suspensões veiculares. 
 
Figura 8 - Amortecedores. 
Fonte: Troca de Amortecedor. Disponível em: < http://fortaleza.tudotemos.com/!upload/d6bc9b33-3367-4bc8-
97ef-dd8464dd401e_rez_med.jpg>. Acesso em: 19 nov. 2015. 
Barras/Braços da suspensão: Os braços da suspensão tem por finalidade fazer a 
ligação entre as pontas de eixo e o chassis, dependendo do tipo de suspensão em questão podem 
suportar as molas e amortecedores. Em suspensões como a McPherson e Double-Wishbone 
podem ser chamados de bandeijas (inferior/superior). A Figura 9 apresenta um estilo de braço 
de suspensão comumente utilizado em suspensões Double Wishbone. 
 
Figura 9 - Braço de suspensão. Este em particular, utilizado em suspensões Double Wishbone. 
Fonte: Suspension Arms/Track Control Arms. Disponível em: 
<http://images.gasgoo.com/attachment/Approved/000/005/400_400/000005559.jpg>. Acesso em: 19 nov. 2015. 
19 
 
 
Buchas: As buchas são montadas nos veículos em todos os pontos onde o chassi do 
veículo é unido a um componente da suspensão. São utilizadas para prover uma barreira de 
absorção de ruído e vibração entre as irregularidades da pista e o motorista. A Figura 10 mostra 
diversos tipos de buchas utilizadas em veículos automotores. 
 
 
Figura 10 - Diversos tipos de buchas utilizados em veículos automotores. 
Fonte: Rubber Bushing. Disponível em: 
<http://img.diytrade.com/cdimg/848910/7793051/0/1231047205/rubber_bushing.jpg>. Acesso em: 19 nov. 
2015. 
Juntas Rotuladas (terminais): São mancais esféricos que conectam as barras ou os 
braços da suspensão à ponta de eixo. A Figura 11 mostra alguns tipos mais comuns de juntas 
rotuladas. São utilizados em praticamente todos os automóveis e tem funcionamento similar ao 
das juntas do corpo humano (como joelhos, cotovelos...). 
 
Figura 11 - Juntas Rotuladas. 
Fonte: Terminais rotulados. Disponível em: 
<http://www.thk.com/sites/default/files/thkcom/images/ja/products/class/rodend/rodend_00.jpg>. Acesso em: 19 
nov. 2015. 
20 
 
 
Cubo de roda: Tem por função fazer o acoplamento, parafusado, das rodas+pneus com 
a ponta de ixo. O cubo de roda é suportado por um rolamento na ponta de eixo, assim permitindo 
a rolagem das rodas. A Figura 12 mostra um cubo de roda motado com rolamento e sensor de 
ABS. 
 
Figura 12 – Cubo de roda montado com rolamento e sensor de ABS. 
Fonte: Wheel Hub. Disponível em: <http://seinumero.net/wp-content/uploads/2015/01/Wheel-Hub-Unit-513137-
.jpg>. Acesso em: 19 nov. 2015. 
Manga de eixo: A Manga de eixo suporta o cubo de roda por meio dos rolamentos e os 
conecta aos braços da suspensão. A Figura 13 ilustra uma manga de eixo, o conjunto do cubo 
de roda com rolamento é fixado no furo central da manga de eixo. 
 
Figura 13 - Manga de Eixo. 
Fonte: Steering Knuckle. Disponível em: 
<http://i.ebayimg.com/00/s/NTAwWDUwMA==/z/rLEAAOxycD9TVi02/$_35.JPG?set_id=2>. Acesso em: 19 
nov. 2015. 
21 
 
 
1.3.4 Componentes Cinemáticos 
O sistema de coordenada utilizado nesta manografia é representado na Figura 14, é o 
mesmo sistema de coordenadas recomendado pela norma ISO 8855:2011. 
 
Figura 14 - Sistema de coordenadas segundo as normas ISO 8855:2011. 
Fonte: HEIßING, Bernd; ERSOY, Metin; GIES, Stefan(Org.). Fahrwerkhandbuch: grundlagen, fahrdynamik, 
komponenten, systeme, mechatronik, perspektiven. 4a ed., Wiesbaden: Springer Vieweg, 2013. Adaptado 
Os parâmetros cinemáticos apresentados a seguir têm grande importância paras as 
respostas das rodas aos comandos da direção e na transferência das forças entre os pneus e a 
superfície da pista para a barra de direção. As definições apresentadas são triviais ao estudo da 
dinâmica veicular. 
Centro de gravidade cg: Ponto fictício onde considera-se o peso total do veículo 
concentrado. A Figura 15 mostra a representação do centro de gravidade de um veículo 
genérico. 
 
Figura 15 - Representação do centro de gravidade. 
Fonte: HEIßING, Bernd; ERSOY, Metin; GIES, Stefan (Org.). Fahrwerkhandbuch: grundlagen, fahrdynamik, 
komponenten, systeme, mechatronik, perspektiven. 4a ed., Wiesbaden: Springer Vieweg, 2013. Adaptado 
22 
 
 
Convergência δvs: Convergência por roda, mostrada na Figura 16, é o ângulo entre o 
eixo longitudinal do veículo e o plano médio dos pneus ou metade da diferença da distância 
entre frente e traseira do aro da roda. A convergência afeta a estabilidade direcional e o 
compartamento em curvas; e nos veículos com tração dianteira compensa as variações elasto-
cinemáticas de bitola. 
 
Figura 16 - Representação do ângulo de convergência no plano x-y. 
Bosch, Robert. Manual de tecnologia automotiva. 25a ed., São Paulo: Edgard Blücher, 2005. 
Braço de força de deflexão rst: Braço de força de deflexão, na Figura 17, é a distância 
mais curta entre o centro da roda e o pino mestre. Nos veículos com tração dianteira seu 
comprimento é um índice do efeito contrário das forças desiguais de tração da roda dianteira 
dianteira ou esquerda e sobre a direção. 
 
Figura 17 - Representação de diversos componentes cinemáticos de uma suspensão veicular. 
Bosch, Robert. Manual de tecnologia automotiva. 25a ed., São Paulo: Edgard Blücher, 2005. 
Curso de caster nτ: O curso de caster, representado na Figura 17, é a distância entre o 
ponto de contato da roda e o ponto de interseção do ângulo de inclinação do pino mestre com a 
23 
 
 
superfície da pista na projeção lateral. Ele afeta o retorno das rodas à posição central e influencia 
o momento do volante na curva e a estabilidade direcional. 
Caster τ: Caster é o ângulo entre a perpendicular e a inclinação do pino mestre na 
projeção lateral. Em conjunto com o ângulo de inclinação do pino mestre na projeção frontal, 
ele influencia a alteração do camber em função do ângulo de direção, assim como as 
características de retorno à posição central da direção. É mostrado na Figura 17. 
Deslocamento do pino mestre rs: O deslocamento do pino mestre, visto na Figura 17, 
é a dintância do ponto médio de contato da roda com a superfície da pista e o ponto de interseção 
do eixo do pino mestre com a superfície da pista. Ele é negativo se o ponto de interseção do 
eixo do pino mestre estiver entre o ponto médio de contato da roda e a lateral externa do veículo. 
O deslocamento do pino mestre interage com o efeito da força de frenagem para gerar 
movimentos direcionais e efeito de autocentralização. Deslocamento negativo do pino mestre 
resulta em ângulo de direção auto-estabilizante. 
Camber γ: Camber, visto também, na Figura 17,é a inclinação do eixo da roda em 
relação à superfície da pista no plano vertical. Ele é negativo se a parte superior da roda é 
inclinada em direção ao centro do veículo. 
Ângulo do pino mestre σ: O ângulo do pino mestre é o ângulo entre o eixo do pino 
mestre e o plano longitudinal do veículo, medido no plano transversal. Ele influencia a força da 
direção (sensibilidade do volante), juntamente com o ângulo e o deslocamento do caster e o 
deslocamento do pino mestre. É mostrado na Figura 17 
Distância entre eixos l (Wheelbase): É a distância entre os centro do eixo traseiro e do 
eixo dianteiro. A Figura 18 mostra a distância l entre os eixos dianteiro e traseiro. Maiores 
distância entre eixos significam, segundo Heißing: mais espaço para passageiros, maior 
conforto para os passageiros, maior segurança; enquanto um entre eixos mais curto: melhor 
dirigibilidade ( em curvas e ao estacionar), menos custos e menor massa. Ainda segundo 
Heißing, Ersoy & Gies (2013) a relação entre distância entre eixos/comprimento total do 
veiculo é normalmente de: 0,6±0,07 e para veículos pequenos deve ser o mais próximo possível 
de 0,7. 
24 
 
 
 
Figura 18 – Entre eixos l de um veículo. 
Fonte: HEIßING, Bernd; ERSOY, Metin; GIES, Stefan (Org.). Fahrwerkhandbuch: grundlagen, fahrdynamik, 
komponenten, systeme, mechatronik, perspektiven. 4a ed., Wiesbaden: Springer Vieweg, 2013. 
Bitola (Track) b: É a distância entre os centros das rodas de um mesmo eixo. Uma 
bitola mais larga traz as seguintes vantagens, segundo Heißing: melhor estabilidade, conforto e 
design; e desvantagens como: largura total do veículo maior consequentemente maior massa, 
maior arrasto aerodinâmico e no caso de forças de frenagem desiguais, pode causar uma maior 
mudança de direção do veículo. Relação comum entre a bitola/largura total do veículo: 0,80 até 
0,86. A bitola dianteira pode ser diferente da traseira. 
Curso da suspensão (Wheel travel): Tamanho do deslocamento vertical do ponto de 
contato dos pneus com a pista em relação a carroceria. É positivo quando a roda é deslocada 
para cima (Bump/Jounce) e negativo quando a roda é deslocada para baixo (Rebound). 
Centros instantâneos da suspensão: Existem dois centros instantâneos que descrevem 
o movimento espacial de uma suspensão veicular, são eles, o centro instantâneo da suspensão 
visto pela lateral (plano xz), e o centro instantâneo da suspensão visto pelo plano fronta ou 
traseiro (plano yz – interceptando o centro do eixo, dianteiro ou traseiro). Segundo Heißing, 
Ersoy & Gies (2013) é conveniente conhecer os polos instantâneos do sistema de suspensão 
vistos frontal e lateralmente, visto que estes não se movem em relação a carroceria, podendo 
ser considerados os pontos de conexão da suspensão com a carroceria, isto é, a carroceria é 
apoiada nestes pontos sobre as rodas, e então a pista de rolagem. 
Centro de rolamento (Roll Center): É o centro instântaneo de rolamento em um eixo 
(seja o traseiro ou dianteiro), é o centro onde a carroceria se inclina durante a rolagem. A Figura 
19 mostra a representação do centro de rolamento. Um centro de rolamento mais alto faz com 
que a carroceria se encline menos, já que a alavanca entre o centro de rolagem e o centro de 
25 
 
 
gravidade é menor. Já se o centro de rolamento estiver na altura da pista ou abaixo da linha da 
mesma há uma menor variação na bitola e no ângulo de camber. 
 
Figura 19 - Representação do centro de rolamento. Adaptado 
Fonte: HEIßING, Bernd; ERSOY, Metin; GIES, Stefan (Org.). Fahrwerkhandbuch: grundlagen, fahrdynamik, 
komponenten, systeme, mechatronik, perspektiven. 4a ed., Wiesbaden: Springer Vieweg, 2013.Adaptado. 
Eixo de rolamento (Roll Axis): Na Figura 20 é visto o eixo de rolamento que é o eixo 
que une o centro de rolamento da suspensão traseira com a dianteira. Quando há influencia de 
forças laterais a carrocerria rotaciona em torno deste eixo. 
 
Figura 20 - Representação do eixo de rolamento, o eixo que conecta os centros de rolagem do eixo traseiro e 
dianteiro. 
Fonte: HEIßING, Bernd; ERSOY, Metin; GIES, Stefan (Org.). Fahrwerkhandbuch: grundlagen, fahrdynamik, 
komponenten, systeme, mechatronik, perspektiven. 4a ed., Wiesbaden: Springer Vieweg, 2013. Adaptado. 
Ângulo de deslizamento (Slip Angle): O ângulo de deslizamento (α), mostrado na 
Figura 21, pode ser definido como o deslocamento angular entre o plano de rotação da roda( 
direção para a qual a roda está apontando) e o caminho que o pneu descreve na superfície da 
pista. É importante notar que, o slip angle só existe quando o veículo está em movimento. 
Ângulo de direção: É o ângulo (δ) entre o eixo x do sistema de coordenadas do veículo 
e a linha que aponta a direção da roda. A Figura 21 mostra o ângulo de direção (δ) da roda. 
26 
 
 
 
Figura 21 - Slip angle α e Ângulo de direção δ 
Fonte: HEIßING, Bernd; ERSOY, Metin; GIES, Stefan (Org.). Fahrwerkhandbuch: grundlagen, fahrdynamik, 
komponenten, systeme, mechatronik, perspektiven. 4a ed., Wiesbaden: Springer Vieweg, 2013. 
Compensação de arfagem na desaceleração (Anti-dive): A geometria de 
compensação de arfagem na desaceleração em um sistema suspensão veicular é responsável 
por compensar parcial ou totalmente o peso do veículo transferido do eixo traseiro para o 
dianteiro quando o veículo está freando, dessa forma reduzindo ou evitando a arfagem da 
carroceria do veículo. Quando a compensação é parcial, o peso transferido remanescente é 
absorvido pelas molas (comprimindo as dianteiras e esticando as traseiras), o que gera a 
arfagem. 
Compensação de arfagem na aceleração (Anti-squat): A geometria de compensação 
de arfagem na aceleração em um sistema suspensão veicular é responsável por compensar 
parcial ou totalmente o peso do veículo transferido do eixo dianteiro para o traseiro quando o 
veículo está aceleranco, dessa forma reduzindo ou evitando a arfagem da carroceria do veículo. 
Quando a compensação é parcial, o peso transferido remanescente é absorvido pelas molas 
(esticando as dianteiras e comprimindo as traseiras), o que gera a arfagem. 
Massa suspensa 𝒎𝒔: É o somatório das masssas da carroceria e dos ocupantes. 
Massa não suspensa 𝒎𝑵𝒔: É o somatório das massas da roda, do pneu, cubo de roda, 
manga de eixo, juntas rotulares, buchas da suspensão, componentes do freio que estejam no 
conjunto cubo de roda mais manga de eixo e parte da massa dos braços da suspensão, da mola, 
do amortecedor. Contudo nesta monografia a massa dos braços da suspensão, da mola e do 
amortecedor, serão considerados integralmente na massa não suspensa. É dividida entre a massa 
não suspensa dianteira 𝑚𝑁𝑠𝑑, que é o somatório dos componentes citados anteriormente do eixo 
dianteiro e a massa não suspensa traseira 𝑚𝑁𝑠𝑡, que é o somatório dos componentes citados 
anteriormente do eixo traseiro. 
27 
 
 
Massa do veículo 𝐦: é a massa total do veículo, que é a somatório da massa suspensa 
e das massas não suspensas. 
1.4 A Dinâmica Veicular 
A dinâmica veicular estuda os movimentos, de translação e rotação nos eixos x, y e z, e 
as forças causadoras destes movimentos. Segundo Heißing, Ersoy & Gies (2013), a dinâmica 
veicular é dividida em três partes, vertical, longitudinal e lateral. 
Heißing, Ersoy & Gies (2013) afirma que a dinâmica vertical trata das forças e 
movimentos de translação no eixo z. Aqui é estudado o comportamento vibratório do veículo, 
busca-se o conforto e a segurança do ocupantes, reduzindo o deslocamento da massa suspensa 
devido a irregularidades na pista. 
Já a dinâmica longitudinal, segundo Heißing, Ersoy & Gies (2013), trata das forças e 
movimentos de translação no eixo x e rotação no eixo y (arfagem). É estudado: o 
comportamento do veículo duratne a aceleração e a frenagem; a transferência de forças entre 
pneu e pista; a potência necessária para sobrepor a resistência ao rolamento do pneu, resistência 
aerodinâmica, à subida de rampas e etc, ou seja, a necessidade de potência do veículo para se 
movimentar; e a potência oferecida pelo motor. 
Por fim, a dinâmica lateral, também segundo Heißing, Ersoy & Gies (2013), trata das 
forças e movimentos de translação no eixo y e rotação nos eixos x (rolamento) e y (guinada), 
ou seja, estuda o comportamento do veículo sobre a influência de forças laterais. 
1.5 Problematização, Objetivos e Metodologia 
Conhecendo-se os componentes físicos e cinemáticos, e o papel da suspensão de um 
veículo, vem à tona a questão de como projetar esse mecanismo. Particularmente, de como 
projetar o mecanismo da suspensão para o veículo baja da equipe Baja UEA. 
Na literatura pesquisada (Heißing, Ersoy & Gies (2013), Gillespie (1992), Reimpell, 
Stoll & Betzler (2001) e Milliken & Milliken (1995)) encontram-se diversos detalhes sobre os 
cálculos e estudos necessários para o projeto do mecanismo de suspensão, porém não é 
evidenciado por onde iniciá-lo, embora haja uma tácita menção de que deva ser iniciada pela 
dinâmica vertical. Corroborando com essa percepção, observa-se que, nesses textos, os dados 
28 
 
 
das constantes equivalentes das molas e dos amortecedores são utilizados como parâmetros na 
dinâmica lateral e longitudinal, etapas subsequentes para o projeto do mecanismo de suspensão. 
Nesta monografia propõe-se que o projeto do mecanismo de suspensão deva ser iniciado 
pelo estudo da dinâmica vertical, a fim de se obter as constantes equivalentes das molas e dos 
amortecedores (calculados como se estivessem na vertical e em cima das rodas). Para tal adota-
se o modelo ¼ de veículo, com 1 grau de liberdade. Resolve-se analiticamente a equação 
diferencial ordinária proveniente deste modelo. A partir das recomendações técnicas (Gillespie 
(1992), Branco (2014), Prasad et al., (2013), Reimpell, Stoll & Betzler (2001) e Costa (2006)) 
para a frequência natural obtém-se a frequência angular natural. Analisa-se o comportamento 
da solução da equação na sua forma homogênea considerando um deslocamento inicial da 
massa do veículo sendo ocupado por um piloto de 93 kg, com velocidade inicial nula, para 
quatro coeficientes de amortecimento. Em seguida, simula-se o veículo percorrendo uma pista 
com perfil senoidal a 30 km/h. A partir dos gráficos da transmissibilidades de deslocamento e 
de força, para a faixa de velocidades consideradas na competição BAJA SAE, seleciona-se o 
coeficiente de amortecimento. E, em seguida, com este coeficiente de amortecimento, obtém-
se a constante equivalente de amortecimento, para o modelo, tanto para o eixo dianteiro quanto 
para o eixo traseiro do veículo. E também a constante equivalente das molas referentes ao eixo 
traseiro e dianteiro. 
Por fim calcula-se a frequência natural e o coeficiente de amortecimento com as 
constantes equivalentes de mola e de amortecimento para outros dois pilotos ocupantes do 
veículo, um com 45 kg e outro com 103 kg, para verificar os critérios de frequencia natural 
recomendados. 
 
29 
 
 
2 DINÂMICA VERTICAL 
2.1 Introdução 
Através de irregularidades presentes na pista de rolamento, forças verticais agem sobre 
o veículo e, por conseguinte, sobre os seus ocupantes. A dinâmica vertical tem por objetivo 
estudar essas forças e também o deslocamento vertical oriundo dessas irregularidades. 
O estudo da dinâmica vertical também é conhecido como Ride – passeio. Gillespie 
(1992) define o termo Ride como uma referência às vibrações táteis aos ocupantes. 
Complementa ainda dizendo que o espectro de vibrações pertinentes ao estudo do Ride varia de 
0 a 25 Hz, onde 25 Hz é o limite superior das vibrações táteis comuns presente nos veículos 
automotores. 
Nesta monografia será desenvolvido o modelo ¼ de veículo para análise da dinâmica 
vertical. O modelo ¼ de veículo, segundo Gillespie (1992), fornece bons resultados para uma 
análise preliminar da suspensão. 
2.1.1 Modelo para análise 
O modelo ¼ de veículo consiste em dividir o veículo em quatro partes, sendo duas 
traseiras e duas dianteiras. 
Considera-se que cada parte traseira é constituída de metade da massa não suspensa 
traseira colocada sobre o eixo do pneu e metade da massasuspensa traseira colocada sobre a 
mola e o amortecedor da suspensão. A Figura 22 mostra a divisão do veículo para adequá-lo ao 
modelo, em evidência está a parte traseira esquerda do veículo. Considera-se, por sua vez, se 
que cada parte dianteira é constituída de metade da massa não suspensa dianteira colocada sobre 
o eixo do pneu e metade da massa suspensa dianteira colocada sobre a mola e o amortecedor 
da suspensão. A Figura 23 mostra o modelo ¼ de veículo. 
30 
 
 
 
Figura 22- Representação da divisão do veículo para o modelo ¼ 
Fonte: Autor (2015). 
 
Figura 23 - Modelo 1/4 de veículo 
Fonte: Autor (2015). 
A fim de simplificar a análise do sistema o pneu será modelado como uma mola de 
constante 𝑘𝑝 tendo a massa não suspensa colocada sobre ela. Agora, a mola e o amortecedor da 
suspensão são considerados como se estivessem instalados em cima da massa não suspensa, 
para isto primeiro é calculada a mola equivalente vertical e em seguida a mola equivalente em 
cima da massa não suspensa. A Figura 24 mostra as dimensões para o equacionamento das 
molas equivalentes. 
31 
 
 
 
Figura 24 – Dimensões da instalação dos componentes 
Fonte: Autor (2015). 
Têm-se então o equacionamento da mola equivalente vertical: 
 
𝐹𝑚 = 𝑘𝑚 ∗ 𝑧𝑚 (1) 
 
𝐹𝑧´ = 𝑘𝑧´ ∗ 𝑧´ (2) 
Do triangulo da Figura 25 (a), que mostra o triângulo das forças atuantes na mola, tem-se: 
 
cos 𝛼 =
𝐹𝑧´
𝐹𝑚
 (3) 
 
𝐹𝑚 =
𝐹𝑧´
cos 𝛼
 (4) 
Do triangulo Figura 25 (b), que mostra o deslocamento ocasionado pela ação da força 
da mola, considerando que para pequenos deslocamentos a alteração é mínima no ângulo α e 
por isso desconsiderada, têm-se: 
 cos 𝛼 =
𝑧𝑚
𝑧´
 (5) 
 𝑧´ =
𝑧𝑚
cos 𝛼
 (6) 
32 
 
 
 
Figura 25 - Diagramas para cálculo das forças e deslocamentos equivalentes – mola vertical 
Fonte: Autor (2015). 
Substituindo (1) e (2) em (4), vem: 
 
𝑘𝑚 ∗ 𝑧𝑚 =
𝑘𝑧´ ∗ 𝑧´
cos 𝛼
 (7) 
Substituindo (6) em (7), e resolvendo para 𝑘𝑧´ obtém-se: 
 
𝑘𝑚 ∗ 𝑧𝑚 =
𝑘𝑧´ ∗
𝑧𝑚
cos 𝛼
cos 𝛼
 (8) 
 
𝑘𝑚 =
𝑘𝑧´
cos2 𝛼
 (9) 
 𝑘𝑧´ = 𝑘𝑚 ∗ cos
2 𝛼 (10) 
E, para a mola equivalente em cima da roda: 
 
Figura 26 – Diagramas para cálculo das forças e deslocamentos equivalentes 
Fonte: Autor (2015). 
33 
 
 
 𝐹𝑧´ = 𝑘𝑧´ ∗ 𝑧´ (11) 
 𝐹𝑧 = 𝑘𝑧 ∗ 𝑧 (12) 
Da Figura 26 (a), que mostra as forças equivalentes atuantes no modelo, somam-se os 
momentos, no ponto O, gerados por estas forças e obtém-se: 
 ∑ 𝑀𝑜 = 0 (13) 
 𝐹𝑧 ∗ 𝑡 − 𝐹𝑧´ ∗ 𝑢 = 0 (14) 
 𝐹𝑧 = 𝐹𝑧´ ∗
𝑢
𝑡
 (15) 
E, relacionando os deslocamentos mostrados na Figura 26 (b), obtém-se: 
 𝑧
𝑡
=
𝑧´
𝑢
 (16) 
 𝑧´ = 𝑧 ∗
𝑢
𝑡
 (17) 
Substituindo (11) e (12) em (15), vem: 
 𝑘𝑧 ∗ 𝑧 = 𝑘𝑧´ ∗ 𝑧´ ∗
𝑢
𝑡
 (18) 
Substituindo (17) em (18), e resolvendo para 𝑘𝑧 têm-se: 
 𝑘𝑧 ∗ 𝑧 = 𝑘𝑧´ ∗ 𝑧 ∗
𝑢
𝑡
∗
𝑢
𝑡
 (19) 
 
𝑘𝑧 = 𝑘𝑧´ ∗
𝑢2
𝑡2
 (20) 
 
 
34 
 
 
Substituindo (10) em (20), obtém-se: 
 
𝑘𝑧 = 𝑘𝑚 ∗
𝑢2
𝑡2
∗ cos2 𝛼 (21) 
Onde: 
 𝑘𝑧
𝑘𝑚
= 𝑖𝑖𝑛𝑠𝑡 =
𝑢2
𝑡2
∗ cos2 𝛼 (22) 
A razão entre 𝑘𝑧 e 𝑘𝑚é chamada de razão de instalação 𝑖𝑖𝑛𝑠𝑡, que é a razão entre a mola 
instalada na suspensão e a mola equivalente em cima da massa não suspensa. A mesma razão 
𝑖𝑖𝑛𝑠𝑡 é válida para os amortecedores da suspensão e o amortecedor equivalente 𝑐𝑧. 
O modelo ¼ de veículo pode ser agora representado pela Figura 27, que mostra o modelo 
¼ com 2 graus de liberdade. 
 
Figura 27 - Modelo 1/4 de veículo com 2 graus de liberdade 
Fonte: Autor (2015). 
O modelo ¼ de veículo com 2 graus de liberdade será simplificado para 1 grau de 
liberdade, considerando 𝑚𝑁𝑠 ≪ 𝑚𝑠. Nesse caso, a mola equivalente passará a ser 𝑘𝑟 =
𝑘𝑧+𝑘𝑝
𝑘𝑧∗𝑘𝑝
, 
uma vez que as molas 𝑘𝑝 e 𝑘𝑧 estão em série. 
A Figura 28 mostra o modelo resultante das simplificações. Ainda na Figura 28 é 
mostrado o perfil da pista que gera a excitação 𝑧𝑒, podendo ser pedras ou buracos na pista. 
35 
 
 
Nesta monografia a excitação é modelada por uma função senoidal, com amplitude 𝐴𝑒 e 
comprimento de onda 𝐿. Sua frequência angular é dada por: 𝜔 =
2𝜋𝑉𝑣
𝐿
, onde 𝑉𝑣 é a velocidade 
do veículo. 
 
Figura 28 - Modelo 1/4 de veículo com 1 grau de liberdade 
Fonte: Autor (2015). 
A partir do diagrama de corpo livre do modelo ¼ de veículo com 1 grau de liberdade, 
que é mostrado na Figura 29, obtém-se a equação do movimento. 
 
Figura 29 - Diagrama de corpo livre do modelo ¼ de veículo com 1 grau de liberdade 
Fonte: Autor (2015). 
 𝑚𝑠�̈�𝑚𝑠 = ∑ 𝐹𝑧 (23) 
Assim, somando as forças no eixo z, têm-se: 
 𝑚𝑠�̈�𝑚𝑠 = −𝑐𝑧(�̇�𝑚𝑠 − �̇�𝑒) − 𝑘𝑟(𝑧𝑚𝑠 − 𝑧𝑒) (24) 
 𝑚𝑠�̈�𝑚𝑠 + 𝑐𝑧(�̇�𝑚𝑠 − �̇�𝑒) + 𝑘𝑟(𝑧𝑚𝑠 − 𝑧𝑒) = 0 (25) 
36 
 
 
 𝑚𝑠�̈�𝑚𝑠 + 𝑐𝑧�̇�𝑚𝑠 − 𝑐𝑧�̇�𝑒 + 𝑘𝑟𝑧𝑚𝑠 − 𝑘𝑟𝑧𝑒 = 0 (26) 
 𝑚𝑠�̈�𝑚𝑠 + 𝑐𝑧�̇�𝑚𝑠 + 𝑘𝑟𝑧𝑚𝑠 = 𝑐𝑧�̇�𝑒 + 𝑘𝑟𝑧𝑒 (27) 
Dividindo ambos os termos por 𝑚𝑠 da equação (27), têm-se: 
 
�̈�𝑚𝑠 +
𝑐𝑧
𝑚𝑠
�̇�𝑚𝑠 +
𝑘𝑟
𝑚𝑠
𝑧𝑚𝑠 =
𝑐𝑧
𝑚𝑠
�̇�𝑒 +
𝑘𝑟
𝑚𝑠
𝑧𝑒 (28) 
Sabendo que, RAO (2008): 
 
𝜔𝑛 = √
𝑘𝑟
𝑚𝑠
 (29) 
 
𝜔𝑛
2 =
𝑘𝑟
𝑚𝑠
 (30) 
e, 
 𝜁 =
𝑐𝑧
𝑐𝑐
 (31) 
Onde o amortecimento crítico é 𝑐𝑐 = 2 ∗ 𝑚𝑠 ∗ 𝜔𝑛, então, a equação (31), passa a ser: 
 𝜁 =
𝑐𝑧
2𝑚𝑠𝜔𝑛
 (32) 
 2𝜁𝜔𝑛 =
𝑐𝑧
𝑚𝑠
 (33) 
Substituindo (30) e (33) na equação (28), têm-se: 
 �̈�𝑚𝑠 + 2𝜁𝜔𝑛�̇�𝑚𝑠 + 𝜔𝑛
2𝑧𝑚𝑠 = 2𝜁𝜔𝑛�̇�𝑒 + 𝜔𝑛
2𝑧𝑒 (34) 
Onde, 
�̈�𝑚𝑠 – Aceleração no eixo Z da massa suspensa; 
�̇�𝑚𝑠 – Velocidade da massa suspensa; 
𝑧𝑚𝑠 – Deslocamento da massa suspensa; 
37 
 
 
�̇�𝑒 – Velocidade da excitação; 
𝑧𝑒 – Deslocamento gerado pela excitação; 
𝜁 – Coeficiente de amortecimento; 
𝜔𝑛 – Frequência natural não-amortecida. 
A solução da equação diferencial de 2ª ordem com coeficientes constantes do 
movimento (34), RAO (2008), para sistemas de 1 grau de liberdade amortecido e sofrendo 
movimento harmônico na base, é composta pela solução homogênea e pela solução particular, 
e pode ser escrita como: 
 𝑧(𝑡) = 𝑧ℎ(𝑡) + 𝑧𝑝(𝑡) (35) 
Existem 3 possibilidades para a solução homogênea, estas dependendo do coeficiente 
de amortecimento que pode ser: 
 Subcrítico 𝜁 < 1; 
 Crítico 𝜁 = 1, ou 
 Supercrítico 𝜁 > 1. 
Conforme RAO (2008), tem-se a solução homogênea para amortecimento subcrítico: 
 
𝑧ℎ(𝑡) = 𝑒
−𝜁𝜔𝑛𝑡 [𝑧0 cos (𝜔𝑛𝑡√1 − 𝜁2) +
�̇�0 + 𝜁𝜔𝑛𝑧0
𝜔𝑛√1 − 𝜁2
𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑛𝑡√1 − 𝜁2)] (36) 
A solução para o amortecimento crítico: 
 𝑧ℎ(𝑡) = 𝑒
−𝜔𝑛𝑡[𝑧0 + (�̇�0 + 𝜔𝑛𝑧0)𝑡] (37) 
E para o supercrítico: 
 
𝑧ℎ(𝑡) =
𝑧0𝜔𝑛(𝜁+√𝜁2−1)+�̇�0
2𝜔𝑛√𝜁2−1
𝑒(−𝜁+
√𝜁2−1)𝜔𝑛𝑡 +
−𝑧0𝜔𝑛(𝜁−√𝜁2−1)−�̇�0
2𝜔𝑛√𝜁2−1
𝑒(−𝜁−
√𝜁2−1)𝜔𝑛𝑡 (38) 
Onde, 
𝑡 – Tempo; 
𝑧0 – Posição inicial da massa; 
�̇�0 – Velocidade inicial da massa. 
 
38 
 
 
E a solução particular: 
 𝑧𝑝(𝑡) = 𝑍 sin(𝜔𝑡 − 𝛽) (39) 
𝑍 e 𝛽 são dados por 
 
𝑍 = 𝐴𝑒 ∗ [
1 + (2𝜁𝑟)2
(1 − 𝑟2)2 + (2𝜁𝑟)2
]
1/2
 (40) 
e 
 
𝛽 = tan−1 [
2𝜁𝑟3
1 + (4𝜁2 − 1)𝑟2
] (41) 
Onde, 
𝑍 – Amplitude da resposta a excitação; 
𝐴𝑒 – Deslocamento do movimento da base; 
𝑟– A razão entre a frequência da excitação e a frequência natural do sistema 𝑟 =
𝜔
𝜔𝑛
 ; 
𝛽 –O ângulo de fase; 
𝜔 – Frequência angular da excitação. 
A partir da equação (40) pode ser escrito ainda: 
 𝑍
𝐴𝑒
= [
1 + (2𝜁𝑟)2
(1− 𝑟2)2 + (2𝜁𝑟)2
]
1/2
 (42) 
Onde 
𝑍
𝐴𝑒
= 𝑇𝑑, 𝑇𝑑 sendo a transmissibilidade de deslocamento. 
Variando os valores de r, e calculando a 𝑇𝑑, é possível traçar um gráfico de 𝑇𝑑 x 𝑟, onde 
é possível avaliar se para determinado valor de ζ e r, há uma ampliação ou redução do 
deslocamento transmitido a massa, ou seja, se o veículo ao passar por cima de uma pedra, o 
deslocamento causado será ampliado ou reduzido para o(s) ocupante(s) do veículo. O Gráfico 
1 - Variação de Td com apresenta a variação da transmissibilidade de deslocamento versus a 
razão de frequência para diversos valores do coeficiente de amortecimento. Nota-se que quanto 
menor o coeficiente de amortecimento, para razões de frequência menores que √2, maior é o 
valor da transmissibilidade de deslocamento. Já para valores maiores que √2 da razão de 
frequência, e pequenos coeficientes de amortecimento, a transmissibilidade de deslocamentos 
é diminuída. 
39 
 
 
Gráfico 1 - Variação de 𝑇𝑑 com 𝑟 
 
Fonte: RAO, S. S.. Vibrações mecânicas. 4a ed., São Paulo: Pearson, 2009. 
RAO (2008) ainda define uma razão entre a força transmitida à base devido as reações 
da mola e do amortecedor, esta sendo a transmissibilidade de força dada por: 
 
𝑇𝑓 = 𝑟
2 [
1 + (2𝜁𝑟)2
(1 − 𝑟2)2 + (2𝜁𝑟)2
]
1/2
 (43) 
O Gráfico 2 mostra a variação da transmissibilidade de força versus a razão de 
frequência para diversos valores do coeficiente de amortecimento. Nota-se que quanto maior o 
coeficiente de amortecimento, para razões de frequência menores que √2, menor é o valor da 
transmissibilidade de força. Já para valores maiores que √2 da razão de frequência, e valores 
maiores do coeficientes de amortecimento, a transmissibilidade de força é mais amplificada que 
para um valor menor do mesmo. 
Gráfico 2 - Variação de 𝑇𝑓 com 𝑟 
 
Fonte: RAO, S. S.. Vibrações mecânicas. 4a ed., São Paulo: Pearson, 2009. 
40 
 
 
2.2 Frequência Natural e Coeficiente de amortecimento 
Dois fatores são fundamentais ao descrever o comportamento da dinâmica vertical de 
um veículo, a frequência natural (𝑓𝑛) e o coeficiente de amortecimento 𝜁. 
Na literatura são encontrados valores, segundo Gillespie (1992), para a frequência 
natural que variam entre 1,0 e 1,5 Hz para veículos de passeio, e de 2,0 a 2,5 Hz para veículos 
de competição. Já Milliken & Milliken (1995) sugere para valores entre 1,6 e 2,0 Hz para 
veículos sedans de competição sem auxílio aerodinâmico. Porém nenhum destes é específico 
para veículos BAJA SAE. 
Verificando monografias, teses e relatórios relacionados ao projeto da suspensão de 
veículos BAJA SAE, foram encontrados valores entre 1,5 Hz (Branco (2014)) e 2,33 Hz (Prasad 
et al., (2013)) para as frequências naturais, tanto para traseira quanto para a dianteira do veículo. 
Reimpell, Stoll & Betzler (2001) recomendam ainda que a frequência natural traseira 
seja de 10 a 20% maior que na dianteira do veículo, isto para que o eixo traseiro, vibrando a 
uma frequência maior possa “absorver” a vibração do eixo dianteiro, deste modo fazendo o 
veículo vibrar verticalmente, e não no sentido da arfagem que geraria desconforto aos 
ocupantes. 
Para o coeficiente de amortecimento, foram encontrados valores entre 0,45 Costa (2006) 
e 0,7 Branco (2014). 
 
41 
 
 
3 ANÁLISE DA DINÂMICA VERTICAL VEÍCULO BAJA SAE 
Neste capítulo serão realizados os cálculos analíticos da dinâmica vertical, conforme 
apresentado no capítulo 2, para o veículo BAJA SAE da equipe BAJA UEA. 
Primeiramente será avaliado somente a solução homogênea da equação característica 
do movimento do modelo ¼ de veículo. Em seguida será avaliado a solução geral do modelo, 
e será comentado sobre diferentes coeficientes de amortecimento e suas influências na 
transmissibilidade de deslocamentos e de força. 
Por fim serão apresentados os valores das constantes de mola equivalente para o eixo 
dianteiro e para o traseiro, assim como a constante de amortecimento equivalente para ambos 
os eixos. 
3.1 Solução Homogênea 
De posse dos dados das massas do veículo BAJA SAE da equipe BAJA UEA, descritos 
no Apêndice A, na Tabela 1 mostra-se as massas suspensa e não suspensa dianteira e traseira, 
considerando um piloto com massa de 93kg ocupando o veículo. 
Tabela 1 - Dados da massa do veículo 
Massa suspensa dianteira (𝑚𝑠𝑑) 47,15kg 
Massa suspensa traseira (𝑚𝑠𝑡) 69,51kg 
Massa não suspensa dianteira (𝑚𝑁𝑠𝑑) 17,33kg 
Massa não suspensa traseira (𝑚𝑁𝑠𝑡) 21,41kg 
Fonte: Autor (2015). 
Como visto no referencial teórico, a solução da equação diferencial de 2ª ordem com 
coeficientes constantes do modelo ¼ de veículo dá-se pela equação (35) 
 𝑧(𝑡) = 𝑧ℎ(𝑡) + 𝑧𝑝(𝑡) (35) 
Em uma primeira abordagem, considera-se somente a solução homogênea da equação 
(35), a qual varia conforme o coeficiente de amortecimento. As equações (36), (37) e (38) 
representam respectivamente a solução homogênea para um coeficiente de amortecimento 
subcrítico, crítico e supercrítico, e são relembradas em seguida: 
42 
 
 
 
𝑧ℎ(𝑡) = 𝑒
−𝜁𝜔𝑛𝑡 [𝑧0 cos (𝜔𝑛𝑡√1 − 𝜁2) +
�̇�0 + 𝜁𝜔𝑛𝑧0
𝜔𝑛√1 − 𝜁2
𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑛𝑡√1 − 𝜁2)] (36) 
 𝑧ℎ(𝑡) = 𝑒
−𝜔𝑛𝑡[𝑧0 + (�̇�0 + 𝜔𝑛𝑧0)𝑡] (37) 
 
𝑧ℎ(𝑡) =
𝑧0𝜔𝑛(𝜁+√𝜁2−1)+�̇�0
2𝜔𝑛√𝜁2−1
𝑒(−𝜁+
√𝜁2−1)𝜔𝑛𝑡 +
−𝑧0𝜔𝑛(𝜁−√𝜁2−1)−�̇�0
2𝜔𝑛√𝜁2−1
𝑒(−𝜁−
√𝜁2−1)𝜔𝑛𝑡 (38) 
Onde, 
𝜔𝑛 – Frequência natural angular; 
𝜁 – Coeficiente de amortecimento; 
𝑡 – Tempo; 
𝑧0 – Posição inicial da massa; 
�̇�0 – Velocidade inicial da massa. 
Calcula-se a frequência natural angular a partir da frequência natural, que para a 
dianteira foi escolhida com um valor de 1,5Hz, segundo Branco (2014), e para traseira, seguindo 
a recomendação de Reimpell, Stoll & Betzler (2001), foi de 1,8Hz. Sabendo que, obtém-se para 
a dianteira um 𝜔𝑛𝑑 = 9,42 𝑟𝑎𝑑/𝑠 e para a traseira 𝜔𝑛𝑡 = 11,31 𝑟𝑎𝑑/𝑠. 
Para comparação consideram-se 4 coeficientes de amortecimento, tanto para dianteira 
quanto para a traseira, 𝜁1 = 0,45, 𝜁2 = 0,70 𝜁3 = 1,00 𝜁4 = 1,30. 
A velocidade inicial da massa suspensa, �̇�0, é nula, tanto para o eixo dianteiro quanto 
para o traseiro. E para a posição inicial da massa suspensa, 𝑧0, considerou-se o valor de 0,05m, 
que seria o equivalente ao veículo passar por cima de uma pequena pedra. Os valores de 𝑧0d, 
𝑧0t, �̇�0d, �̇�0t, 𝜔𝑛𝑑 , 𝜔𝑛𝑡, são entabulados na Tabela 2 : 
Tabela 2 - Dados de entrada da solução homogênea 
𝑧0d 0,05 m 
𝑧0t 0,05 m 
�̇�0d 0 m/s 
�̇�0t 0 m/s 
𝜔𝑛𝑑 9,42 rad/s 
𝜔𝑛𝑡 11,31 rad/s 
Fonte: Autor (2015). 
43 
 
 
Com os dados da Tabela 2, dos coeficientes de amortecimento já citados e, variando o 
valor do tempo de 0 a 1,5s, foi possível traçar o Gráfico 3 que representa a solução homogênea 
da equação do movimento para a dianteira do veículo e o Gráfico 4 que representa a solução 
homogênea da equação do movimento para a traseira. 
Gráfico 3 - Solução homogênea para o eixo dianteiro do veículo 
 
Fonte: Autor (2015). 
 
-0,01
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
A
m
p
li
tu
d
e 
z 
(m
)
Tempo (s)
Solução homogênea - eixo dianteiro
ζ=0,45 ζ=0,7 ζ=1 ζ=1,3
44 
 
 
Gráfico 4 - Solução homogênea para o eixo traseiro do veículo 
 
Fonte: Autor (2015). 
Analisando o Gráfico 3 nota-se que o tempo de estabilização para os coeficientes de 
amortecimento de 0,70 e 1,00 são muito próximos, para efeitos práticos, considerou-se o 
sistema como estabilizado após a amplitude variar menos que 1 mm para ambos os gráficos, 
desta forma para 𝜁2 = 0,70 obteve-se o tempode 0,64 s e para 𝜁3 = 1,00 o tempo foi de 0,62 
s. A diferença notável, neste gráfico, entre um coeficiente de amortecimento de 0,7 e o 
amortecimento crítico, é o fato do coeficiente de 0,7 passar pela posição de equilíbrio. 
Ainda no Gráfico 3, nota-se que para um coeficiente de amortecimento de 0,45, o tempo 
de estabilização foi de 0,73 s com passagem pela posição de equilíbrio, e para o coeficiente de 
amortecimento de 1,3, o tempo de estabilização foi de 0,95 s todavia, sem passagem pela 
posição de equilíbrio. 
Analisando agora o Gráfico 4 nota-se que o tempo de estabilização para os coeficientes 
de amortecimento de 0,7 e 1 também são muito próximos, para o coeficiente de 0,70 obteve-se 
o tempo de 0,53 s e para o amortecimento crítico o tempo foi de 0,52 s. A diferença notável, 
neste gráfico, entre um coeficiente de amortecimento de 0,7 e o amortecimento crítico, é o fato 
do coeficiente de 0,7 passar pela posição de equilíbrio. 
-0,02
-0,01
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
A
m
p
li
tu
d
e 
z 
(m
)
Tempo (s)
Solução homogênea - eixo traseiro
ζ=0,45 ζ=0,7 ζ=1 ζ=1,3
45 
 
 
Ainda no Gráfico 4, nota-se que, para um coeficiente de amortecimento de 0,45, o tempo 
de estabilização é de 0,61 s com passagem pela posição de equilíbrio, e para o coeficiente de 
amortecimento de 1,3, o tempo de estabilização é de 0,79 s todavia, sem passagem pela posição 
de equilíbrio. 
3.2 Solução Geral 
Feitas as considerações sobre a solução homogênea para o eixo dianteiro e para o 
traseiro, introduziu-se o perfil da pista, conforme a Figura 28. 
 
Figura 28 - Modelo 1/4 de carro com 1 grau de liberdade 
Fonte: Autor (2015). 
Nesta monografia, considera-se que, o perfil da pista possui um comprimento de onda 𝐿 
de 0,75 m e uma amplitude 𝐴𝑒. O veículo foi considerado passando por esta pista a uma 
velocidade constante de 30 km/h, ou seja, 8,33 m/s. Nestas condições, obtém-se a frequência 
angular da pista: 
𝜔 =
2𝜋𝑉𝑣
𝐿
=
2𝜋 ∗ 8,33
0,75
= 69,81 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Com a frequência angular de excitação, ou seja, da pista, calcula-se a razão de 
frequência 𝑟 =
𝜔
𝜔𝑛
, por conseguinte a amplitude da resposta a excitação 𝑍 e o ângulo de fase 𝛽, 
para os eixos dianteiro e traseiro. A Tabela 3 mostra os resultados para a razão de frequências, 
a amplitude da resposta à excitação e o ângulo de fase, dependendo do coeficiente de 
amortecimento. 
 
46 
 
 
Tabela 3 - Dados para resolução da solução particular do modelo 1/4 de veículo 
 𝜁1 = 0,45 𝜁2 = 0,70 𝜁3 = 1,00 𝜁4 = 1,30 
𝑟d 7,40 7,40 7,40 7,40 
𝑟t 6,17 6,17 6,17 6,17 
𝑍d 0,012m 0,018m 0,026m 0,033m 
𝑍t 0,015m 0,022m 0,031m 0,039m 
𝛽d -1,545rad 1,476rad 1,369rad 1,279rad 
𝛽t -1,541rad 1,457rad 1,330rad 1,224rad 
Fonte: Autor (2015). 
Aplicando-se os valores da Tabela 3 na equação (39), solução particular, 
 𝑧𝑝(𝑡) = 𝑍 sin(𝜔𝑡 − 𝛽) (39) 
e adicionando o resultado da solução particular ao da solução homogênea, obteve-se o 
gráfico para a solução geral do modelo ¼ de veículo. O Gráfico 5 mostra a solução geral para 
o eixo dianteiro e o Gráfico 6 para o eixo traseiro. 
Gráfico 5 - Solução geral do modelo 1/4 de veículo para o eixo dianteiro 
 
Fonte: Autor (2015). 
 
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
A
m
p
li
tu
d
e 
z 
(m
)
Tempo (s)
Resposta em amplitude do modelo 1/4 de veículo para 
o eixo dianteiro
ζ=0,45 ζ=0,7 ζ=1 ζ=1,3
47 
 
 
Gráfico 6 - Solução geral do modelo 1/4 de veículo para o eixo traseiro 
 
Fonte: Autor (2015). 
A partir do Gráfico 5 e do Gráfico 6 observa-se que, dependendo do coeficiente de 
amortecimento, a amplitude da resposta no regime permanente é menor para um valor baixo do 
coeficiente de amortecimento e maior para um valor alto desse coeficiente. 
O efeito de redução na amplitude para um coeficiente de amortecimento baixo, é melhor 
entendido quando se analisa o gráfico da transmissibilidade de deslocamento versus razão de 
frequências. 
O Gráfico 7 mostra a transmissibilidade de deslocamento versus razão de frequências 
para os 4 coeficientes de amortecimento considerados nesta monografia. Vale ressaltar que este 
gráfico é igual tanto para o eixo dianteiro quanto para o eixo traseiro, visto que aborda a razão 
de frequências 𝑟, haja vista o tratamento adimensional dada à equação do movimento que 
descreve o modelo ¼ de veículo. 
 
-0,05
-0,03
-0,01
0,01
0,03
0,05
0,07
0,09
0,11
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
A
m
p
li
tu
d
e 
z 
(m
)
Tempo (s)
Resposta em amplitude do modelo 1/4 de veículo para o 
eixo traseiro
ζ=0,45 ζ=0,7 ζ=1 ζ=1,3
48 
 
 
Gráfico 7 - Transmissibilidade de deslocamento x razão de frequências 
 
Fonte: Autor (2015). 
Do Gráfico 7 nota-se que, para a velocidade de 30 km/h, tanto no eixo dianteiro, 𝑟d =
7,40, quanto no traseiro 𝑟t = 6,17, está havendo redução na amplitude transmitida para a massa 
suspensa. Isto é um sinal de que a suspensão está trazendo conforto aos ocupantes do veículo. 
No Gráfico 8 assinala-se o intervalo da razão de frequências correspondente a faixa de 
velocidades de operação do veículo BAJA SAE, a qual está compreendida entre 15 e 45 km/h, 
ou seja, entre 4,16 e 12,5 m/s. 
 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0T
ra
n
sm
is
si
b
il
id
a
d
e 
d
e 
d
es
lo
ca
m
en
to
 
Razão de frequência
Variação da transmissibilidade de deslocamento x razão de 
frequência
ζ=0,45 ζ=0,7 ζ=1 ζ=1,3
2
49 
 
 
Gráfico 8 - Transmissibilidade de deslocamento x razão de frequências – faixa de velocidade 
 
Fonte: Autor (2015). 
O Gráfico 8 mostra que, para as velocidades consideradas na faixa de operação do 
veículo, há redução de deslocamento para todos os coeficientes de amortecimento plotados. 
Para complemento do estudo, e para auxiliar a tomada de decisão de qual coeficiente de 
amortecimento deve ser utilizado no projeto, traçou-se o gráfico de transmissibilidade de força 
versus razão de frequências e nele foi assinalado o intervalo da razão de frequências 
correspondente à faixa de velocidades de operação do veículo BAJA SAE, já considerada. 
 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0
T
ra
n
sm
is
si
b
il
id
a
d
e 
d
e 
d
es
lo
ca
m
en
to
 
Razão de frequência
Variação da transmissibilidade de deslocamento x razão 
de frequência
ζ=0,45 ζ=0,7 ζ=1 ζ=1,3
4,16 < 𝑉𝑣 < 12,50 
2
50 
 
 
Gráfico 9 – Transmissibilidade de força x razão de frequências 
 
Fonte: Autor (2015). 
Analisando o Gráfico 9 verifica-se que para a faixa de velocidade considerada, 
independente do coeficiente de amortecimento, há uma amplificação crescente da força 
transmitida em relação a razão de frequências. 
3.3 Obtenção das Constantes Equivalentes da Mola e do Amortecedor 
Antes de proceder para o cálculo das constantes equivalentes das molas e dos 
amortecedores, ainda é preciso selecionar o coeficiente de amortecimento. Para isto analisa-se 
os Gráficos Gráfico 3, Gráfico 4, Gráfico 8 e Gráfico 9, e verifica-se que: 
 O menor tempo de estabilização do modelo, de ambos os eixos, é obtido quando 
o coeficiente de amortecimento é igual a 1, ou seja, crítico. 
 A variação entre o tempo de estabilização para um coeficiente de 
amortecimento de 1 e de 0,7 é pequena, no caso, 0,02 s para a dianteira e 0,01 s 
para a traseira. Jápara os coeficientes de 0,45 e 1,3 são maiores, acima de 0,09 
s. Ressalta-se que, os coeficientes menores que 1, passam pelo menos uma vez 
pelo ponto de equilíbrio do modelo antes de atingirem novamente o equilíbrio, 
já os coeficientes de 1 e de 1,3 não passam pelo ponto de equilíbrio. 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0
T
ra
n
sm
is
si
b
il
id
a
d
e 
d
e 
fo
rç
a
Razão de frequência
Variação da transmissibilidade de força x razão de frequência
ζ=0,45 ζ=0,7 ζ=1 ζ=1,3
4,16 < 𝑉𝑣 < 12,50 
2
51 
 
 
 Para as razões de frequência compreendidas na faixa de velocidade de operação 
do veículo, o valor da transmissibilidade de deslocamento é maior quanto maior 
for o valor do coeficiente de amortecimento, ou seja, tomando como exemplo 
uma razão de frequência igual a 4, e observando os resultados da 
transmissibilidade de deslocamento para os coeficientes de 0,45 e 1,3, é nítida 
a diferença, obtém-se para um coeficiente de 0,45 uma transmissibilidade de 
0,23, e para um coeficiente de 1,3, uma transmissibilidade de 0,58. 
 Para as razões de frequência compreendidas na faixa de velocidade de operação 
do veículo, o valor da transmissibilidade de força é maior quanto maior for o 
valor do coeficiente de amortecimento, ou seja, tomando como exemplo uma 
razão de frequência igual a 8, e observando os resultados da transmissibilidade 
de força para os coeficientes de 0,45 e 1,3, percebe-se que a diferença na 
transmissibilidade de forças é nítida, obtém-se para um coeficiente de 0,45 uma 
transmissibilidade de 7,4, e para um coeficiente de 1,3, uma transmissibilidade 
de 20. 
A partir das verificações acima construiu-se a Tabela 4 onde são mostrados os resultados 
do tempo de estabilização, das transmissibilidades de deslocamentos e de força para a faixa de 
velocidade de operação do veículo. 
Tabela 4 - Resultados obtidos variando o coeficiente de amortecimento 
 ζ=0,45 ζ=0,7 ζ=1 ζ=1,3 
Tempo de 
estabilização (s) 
dianteira 0,73 0,64 0,62 0,95 
traseira 0,61 0,53 0,52 0,79 
Faixa de Trans. de 
desloc. conforme a 
faixa de 
velocidade 
dianteira 0,08<𝑇𝑑<0,26 0,12<𝑇𝑑<0,38 0,18<𝑇𝑑<0,51 0,23<𝑇𝑑<0,61 
traseira 0,10<𝑇𝑑<0,33 0,15<𝑇𝑑<0,46 0,21<𝑇𝑑<0,59 0,27<𝑇𝑑<0,69 
Faixa de Trans. de 
força conforme a 
faixa de 
velocidade 
dianteira 3,63<𝑇𝑓<10,10 5,27<𝑇𝑓<15,59 6,97<𝑇𝑓<22,07 8,33<𝑇𝑓<28,36 
traseira 3,14<𝑇𝑓<8,45 4,42<𝑇𝑓<13,00 5,66<𝑇𝑓<18,33 6,58<𝑇𝑓<23,45 
Fonte: Autor (2015). 
52 
 
 
Agora de posse da Tabela 4, onde têm-se todos os resultados condensados para uma 
melhor avaliação dos coeficientes de amortecimento, seleciona-se o coeficiente de 
amortecimento igual a 0,7 para os eixos dianteiro e traseiro, visto que este apresenta tempos de 
estabilização muito próximos aos do amortecimento crítico (𝜁 = 1), e que os valores das 
transmissibilidades de deslocamento e de força são menores que os do amortecimento crítico. 
Escolhido o coeficiente de amortecimento e de posse das frequências naturais, calcula-
se a constante equivalente da mola, resolvendo a equação (30) para 𝑘𝑟 , têm-se 
 
𝜔𝑛
2 =
𝑘𝑟
𝑚𝑠
 (30) 
 𝜔𝑛
2𝑚𝑠 = 𝑘𝑟 
e calcula-se a constante equivalente de amortecimento, resolvendo a equação (32) para 𝑐𝑧, têm-
se: 
 𝜁 =
𝑐𝑧
2𝑚𝑠𝜔𝑛
 (32) 
 
 2𝑚𝑠𝜁𝜔𝑛 = 𝑐𝑧 (44) 
Os valores dos resultados são mostrados na Tabela 5. 
Tabela 5 - Resultados das constantes da mola e de amortecimento para os eixos dianteiro e traseiro 
𝑘𝑟𝑑 (N/m) 4188,40 
𝑐𝑧𝑑 (N.s/m) 622,16 
𝑘𝑟𝑡 (N/m) 8890,86 
𝑐𝑧𝑡 (N.s/m) 1100,57 
Fonte: Autor (2015). 
Todavia, o veículo poderá ser operado por outros pilotos, mais leve ou mais pesados. 
Do Apêndice A, retira-se os valores das massas suspensas para um piloto de 45 kg e um de 103 
kg ocupando o veículo. Calcula-se a frequência natural, onde substituindo 𝜔𝑛 = 2𝜋𝑓𝑛, na 
equação (30), obtém-se: 
53 
 
 
𝜔𝑛
2 =
𝑘𝑟
𝑚𝑠
 (30) 
(2𝜋𝑓𝑛)
2 =
𝑘𝑟
𝑚𝑠
 (45) 
Resolvendo para 𝑓𝑛, têm-se: 
 
𝑓𝑛 = √
𝑘𝑟
𝑚𝑠 ∗ (2𝜋)2
 
(46) 
Então calcula-se o coeficiente de amortecimento, que é dado pela equação (32). 
 𝜁 =
𝑐𝑧
2𝑚𝑠𝜔𝑛
 (32) 
Substituindo 𝜔𝑛 = 2𝜋𝑓𝑛 na equação (32), têm-se: 
 𝜁 =
𝑐𝑧
4𝑚𝑠𝜋𝑓𝑛
 (47) 
Os resultados são mostrados na Tabela 6. 
Tabela 6 - Resultados de frequência natural e coeficiente de amortecimento para pilotos diferentes 
 
Veículo com 
Piloto 1 (93kg) 
Veículo com 
Piloto 2 (45kg) 
Veículo com 
Piloto 3 (103kg) 
𝑓𝑛𝑑 (hz) 1,5 1,71 1,45 
𝑓𝑛𝑡 (hz) 1,8 2,00 1,78 
𝜁𝑑 0,70 0,80 0,68 
𝜁𝑡 0,70 0,78 0,69 
Fonte: Autor (2015). 
 
54 
 
 
3.4 Análise dos Resultados 
Com os resultados da Tabela 6 e considerados os gráficos já apresentados, da solução 
homogênea, da transmissibilidade de deslocamento e de força versus razão de frequências, 
verifica-se que: 
 O piloto de 45kg sentirá o veículo mais rígido, comparado ao piloto de 93 kg, 
visto que a frequência natural e o coeficiente de amortecimento em ambos os 
eixos é maior, desta forma o tempo de estabilização será menor e a transmissão 
de deslocamentos e a de forças, para a mesma faixa de razão de frequências, 
será maior, isto pode ser observado claramente nos Gráfico 8 e Gráfico 9. 
 Já para o piloto de 103 kg será exatamente o contrário, este sentirá o veículo 
mais macio, quando comparado ao piloto de 93 kg, visto que a frequência 
natural e o coeficiente de amortecimento em ambos os eixos é menor, desta 
forma o tempo de estabilização será maior e a transmissão de deslocamentos e 
a de forças, para a mesma faixa de razão de frequências, será menor, novamente 
isto pode ser observado claramente nos Gráfico 8 e Gráfico 9. 
 Para uma baixa razão de frequências, menor que √2, a transmissão de 
deslocamento é amplificada, e a transmissão de força, é amplificada também 
porém ainda apresenta valores baixos (𝑇𝑓 < 3), para todos os coeficientes de 
amortecimento analisados, isto é traduzido como um menor conforto para os 
ocupantes do veículo, todavia não haverá grandes solicitações no mecanismo 
de suspensão. 
 Já para razões de frequência, maiores que √2, a transmissão de deslocamento é 
reduzida, e a transmissão de força, é amplificada agora a valores maiores (𝑇𝑓 >
3) chegando ao extremo de, com um coeficiente de amortecimento de 1,3, 38, 
isto é traduzido como um maior conforto para os ocupantes do veículo, todavia 
haverá grandes solicitações no mecanismo de suspensão podendo reduzir a vida 
útil dos componentes. 
 
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4 CONCLUSÃO 
Nesta monografia modelou-se o mecanismo de suspensão do veículo BAJA SAE da 
equipe Baja UEA através do modelo conhecido como ¼ de veículo com 1 grau de liberdade. 
Resolveu-se analiticamente a equação diferencial ordinária proveniente deste modelo. 
Observou-se as recomendações técnicas dos autores Gillespie (1992), Branco (2014), Prasad et 
al., (2013), Reimpell, Stoll & Betzler (2001) e Costa (2006) para a frequência natural e obteve-
se a frequência angular natural. 
Em seguida, analisou-se o comportamento da solução da equação na sua forma 
homogênea, considerando-se um deslocamento inicial da massa do veículo sendo ocupado por 
um piloto de 93 kg, com velocidade inicial nula, para quatro coeficientes de amortecimento. 
Então simulou-se o veículo percorrendo uma pista com perfil senoidal a 30 km/h. 
Geraram-se os gráficos da transmissibilidades de deslocamento e de força, para a faixa de 
velocidades consideradas na competição BAJA SAE, e selecionou-se o coeficiente de 
amortecimento