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CÁLCULO III 
 
SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS 
 
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 
 
 
Maj Reinaldo Teixeira DELFINO 
Sequências Numéricas 
• Considere que, para cada inteiro positivo n, esteja 
associado um número (real ou complexo) an. Diz-
se que o conjunto ordenado a1, a2, a3, ... , an, ... 
define uma sequência infinita. Observe que cada 
membro do conjunto possui como subscrito um 
número inteiro, de modo que podemos falar 
sobre o primeiro termo da sequência, o segundo 
termo, o n-ésimo termo, etc. Cada termo an 
possui um sucessor an+1, e não existe um último 
termo. 
• Algumas sequências podem ser construídas 
por intermédio de uma fórmula que descreve 
o termo an. 
 Exemplo: an = 1/n define a sequência 1, 1/2, 
1/3, 1/4, ... 
 
• Também é possível empregar duas ou mais 
fórmulas para definir uma sequência. 
 Exemplo: a2n-1 = 1 e a2n = 2n
2 definem a 
sequência 1, 2, 1, 8, 1, 18, 1, 32, ... 
• É possível ainda definir uma sequência por um 
conjunto de instruções que determina como 
ela deve prosseguir após um certo número de 
termos iniciais especificados. 
 
 Exemplo: a1 = a2 = 1, an+1 = an + an-1 se n  2 
 
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... 
(números de Fibonacci) 
• Formalmente, podemos definir uma 
sequência infinita como sendo uma função f 
cujo domínio é o conjunto de inteiros 
positivos. 
 
• O valor f(n) é denominado n-ésimo termo da 
sequência. 
 
• A imagem da função f é usualmente 
explicitada escrevendo-se os termos em 
ordem: f(1), f(2), f(3), ..., f(n), ... 
• É usual o emprego da notação {f(n)} para 
representar a sequência cujo n-ésimo termo é 
f(n). É mais comum o uso de subscritos para 
denotar a dependência de n (como an) do que 
escrever-se f(n). 
 
• Definição: Diz-se que a sequência {f(n)} tende 
a um limite L se: 
  > 0,  N() > 0 tal que |f(n) – L| < ,  n  N 
• Neste caso, diz-se que a sequência {f(n)} 
converge para L, o que é representado pela 
notação 
 
• Uma sequência que não converge é chamada 
divergente. 
 
• Exercício: Ex.: Prove que, se {f(n)} é uma 
sequência de termos complexos, ou seja, se 
f(n) = u(n) + i.v(n), então = L = a + ib, se 
e somente se 
Lnf
n


)(lim
)(lim nf
n 
)(lim.)(lim)(lim nvinunf
nnn 

• Resolução: 
 i) O módulo de um número complexo é 
sempre maior ou igual do que os valores 
absolutos da sua parte real e da sua parte 
imaginária. Logo: 
 |u(n) – a|  |f(n) – L| e |v(n) – b|  |f(n) – L| 
 Pelo teorema do confronto: f(n)  L  
 u(n)  a e v(n)  b quando n  . 
 ii)|f(n) – L|  |u(n) – a| + |v(n) – b|  se 
u(n)  a e v(n)  b, então f(n)  L quando 
n  . 
• De modo análogo ao feito com funções em 
Cálculo I, é possível definir limites infinitos 
para sequências, representados por: 
e 
 
• Se f é complexa, diz-se que “f(n)   quando 
n  ” se |f(n)|  . 
 


)(lim nf
n


)(lim nf
n
• A expressão “sequência convergente” é usada 
apenas para uma sequência cujo limite é 
finito. Sequências com limites infinitos 
divergem. Ressalte-se, porém, que há 
sequências divergentes que não possuem 
limites infinitos. 
 
 Exemplo: {(-1)n} ; {sen n/2}. 
Sequências Monótonas de 
Números Reais 
• Diz-se que uma sequência {f(n)} é crescente se 
f(n)  f(n+1) para todo n  1. 
 
• Analogamente, uma sequência {f(n)} é 
decrescente se f(n)  f(n+1) para todo n  1. 
 
• As sequências crescentes e decrescentes são 
denominadas monótonas. 
• Diz-se que uma sequência {f(n)} é limitada se 
 M > 0 tal que |f(n)|  M para todo n. Uma 
sequência que não é limitada é dita ilimitada. 
 
• NÃO CONFUNDIR OS CONCEITOS DE 
SEQUÊNCIA LIMITADA COM SEQUÊNCIA QUE 
POSSUI LIMITE FINITO (isto é, convergente)!!!! 
 
 Exemplo: {(-1)n} é uma sequência limitada, 
mas não possui limite (ou seja, é divergente). 
• TEOREMA: uma sequência monótona 
converge se e somente se for limitada. 
 Demonstração: 
 i) pela própria definição de convergência, 
torna-se claro que uma sequência ilimitada 
não pode convergir. De fato, se f(n) converge: 
  > 0,  N() > 0 tal que |f(n) – L| < ,  n  N 
 Assim, para n  N, é limitada por L +  e, para 
n < N, o conjunto é finito e limitado. Logo, 
toda sequência convergente é limitada. 
 
 ii) Vamos provar que uma sequência monótona 
limitada deve convergir. Seja {f(n)} uma sequência 
crescente e seja L o supremo do conjunto de 
valores de f(n). Então, f(n)  L para todo n. 
 
 Seja um número positivo . Como L -  não pode 
ser um limite superior para todos os f(n) (pois 
neste caso L não seria o supremo), então nós 
temos L -  < f(N) para algum valor de N (o qual 
pode depender de ). Como a sequência é 
crescente, temos que para n  N, f(N)  f(n). 
Logo, L -  < f(n)  L,  n  N. Assim, temos: 
 L -  < f(n)  L – f(n) <  
 f(n)  L  0  L – f(n) 
 
 Unindo os dois resultados: 
 0  L – f(n) <   |f(n) – L| <  para todo n  N 
 de modo que a sequência converge para L. 
 
 Se {f(n)} for uma sequência decrescente, o raciocínio 
é análogo, sendo que neste caso o limite será o 
ínfimo do conjunto de valores de f(n). 
Séries Infinitas 
• A partir de uma dada sequência de números reais ou 
complexos, é possível obter-se uma nova sequência 
pela adição de termos sucessivos. Assim, se uma 
sequência possui os termos a1, a2, a3, ..., an,..., é 
possível formar uma nova sequência de somas 
parciais: 
s1 = a1 
s2 = a1 + a2 
s3 = a1 +a2 + a3 
................................ 
sn = a1 + a2 + ... + an = 

n
k
ka
1
• A sequência de somas parciais {sn} é 
denominada série infinita, ou simplesmente 
série, e pode ser representada também por 
a1 + a2 + ... ou por . 
 
• Se existe um número real ou complexo S tal 
que , diz-se que a série é conver- 
 gente e possui soma S, o que é representado 
pela simbologia . 


1k
ka
Ssn
n


lim


1k
ka
Sa
k
k 

1
• Se {sn} diverge, diz-se que a série diverge e 
não possui soma. 
• A palavra “soma” não possui aqui o significado 
usual. A soma de uma série convergente não 
é uma adição comum, mas sim um limite de 
uma sequência de somas parciais. 
• Observe que o símbolo é usado para 
representar tanto a série quanto a sua soma, 
embora ambas sejam conceitualmente 
diferentes. 


1k
ka


1k
ka
• Note que a série pode começar a partir de 
k = 0, k = 2 ou qualquer outro valor inteiro de 
k, como por exemplo . 
 
• Exemplo: A série é denominada série 
harmônica. 
 
 Da Figura 10.2 do Volume 1 do Apostol, 
constatamos que 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n  
 ln(n+1). Como ln(n+1)   quando n  , 
concluímos que a série harmônica diverge. 


0 2
1
k
k


1
1
k k
• Exemplo: Seja a série 1 + 1/2 + 1/4 + ... 
Verifica-se por indução que . 
Quando n tende a infinito, o segundo membro 
desta expressão tende a 2, de modo que a 
série converge e tem soma 2. 
• Exercício: Prove que, dadas duas séries e 
 , ou ambas convergem ou ambas 
divergem. Logo, a adição ou subtração de um 
número finito de termos a uma série não 
altera a sua condição de convergente ou 
divergente. 




n
k
nk
1
11 2
1
2
2
1


1k
ka


 pk
ka
• TEOREMA: sejam e séries infinitas 
convergentes de termos complexos, e sejam  
e  constantes complexas quaisquer. Então, a 
série também converge, e sua soma é 
dada por: 
 
 
 Esta propriedadeé conhecida como 
linearidade das séries convergentes. 


1n
na 

1n
nb
)(
1




n
nn ba 








111
)(
n
n
n
n
n
nn baba 
• Demonstração: sabe-se que 
 
 Quando k tende a infinito, o primeiro termo 
do segundo membro tende a , e o 
segundo termo tende a . Logo, o primeiro 
membro tende à soma destes termos, e o 
teorema fica provado. 



k
n
n
k
n
n
k
n
nn baba
111
)( 


1n
na


1n
nb
• TEOREMA: Se converge e diverge, 
então diverge. 
• Demonstração: bn = (an + bn) – an 
 Se fosse convergente, então, pelo 
teorema anterior, também seria conver- 
 gente, o que seria absurdo. Logo, é 
divergente. 
• Obs.: Observe que, se e divergem, 
então a série pode convergir ou 
divergir. 


1n
na 

1n
nb
)(
1




n
nn ba
)(
1




n
nn ba


1n
nb
)(
1




n
nn ba


1n
na 

1n
nb
)(
1




n
nn ba
• TEOREMA: Sejam {an} e {bn} duas sequências 
de números complexos tais que an = bn – bn+1 
para n = 1, 2, 3, ... Então a série converge 
se e somente se a sequência {bn} converge; 
neste caso, = b1 – L, onde . Uma 
série construída desta forma é conhecida 
como série telescópica. 
• Demonstração: seja 
 Logo, ou as sequências {sn} e {bn} convergem, 
ou ambas divergem. Se ambas convergirem, 
então bn  L quando n  , e sn  b1 – L. 


1n
na


1n
na
n
n
bL

 lim
11
1
1
1
)( 



  n
n
k
kk
n
k
kn bbbbas
• TEOREMA: Seja x um número complexo. A 
série é denominada série geométrica. Se 
|x| < 1, esta série converge e tem soma 
1/(1 – x). Se |x|  1, a série diverge. 
 
• Demonstração: Seja sn a n-ésima soma parcial 
desta série: sn = 1 + x + x
2 + ... + xn-1. Se x = 1, 
sn = n, e a série diverge, pois sn   quando 
n  . Se x  1: 
 (1 – x)sn = (1 – x) = = 1 – x
n  


0n
nx



1
0
n
k
kx 



1
0
1
)(
n
k
kk xx
  
 
 Quando |x| < 1, xn  0 quando n  , e a 
série converge para 1/(1 – x). Por outro lado, 
como sn+1 – sn = x
n, a convergência de {sn} 
implica que xn  0 quando n  . 
 
 Quando |x|  1, xn não tende a zero quando n 
tende a infinito, de modo que {sn} neste caso 
diverge. 
x
x
x
s
n
n




11
1
Testes de Convergência 
• Em princípio, a convergência ou divergência 
de uma série é determinada pelo exame de 
sua sequência de somas parciais {sn}, 
verificando-se se esta possui um limite finito 
quando n  . 
• Na prática, porém, apenas em alguns casos 
especiais (como na série geométrica) é 
possível achar uma expressão para o termo sn 
e encontrar o seu limite quando n  . 
• Por esta razão, foram desenvolvidos vários 
testes de convergência que eliminam a 
necessidade de obter-se uma expressão para 
sn. O teste mais simples é descrito pelo 
teorema abaixo. 
• TEOREMA: se a série converge, então 
 Demonstração: 
 Seja sn = a1 + a2 + ... + an  an = sn – sn-1 
 Quando n  , tanto sn quanto sn-1 tendem 
ao mesmo limite, de modo que an  0. 


1n
na 0lim 

n
n
a
Testes para Séries de Termos Não-
negativos 
• TEOREMA: Considere uma série tal que 
an  0. Esta série converge se e somente se a 
sequência de suas somas parciais for 
superiormente limitada. 
• Dem.: Neste caso, a sequência de somas parciais 
é crescente. Logo, ela converge se e somente se 
for limitada, como anteriormente demonstrado. 
É evidente que, se as somas parciais são 
superiormente limitadas por um número M, 
então a soma da série não pode ser superior a M. 


1n
na
• Exemplo: Seja a série . É facilmente 
demonstrado que para k > 0. Assim: 
 
 
 
 
 Logo, a série é convergente e possui soma 
igual ou menor a 2. 


1 !
1
n n
1
2
1
!
1


kk
 







01
1
0
1
1
2)
2
1
()
2
1
(
2
1
!
1
k
kk
n
k
n
k
k
n
k k


1 !
1
n n
• TESTE DA COMPARAÇÃO: Sejam an  0 e bn  
0 para todo n  1. Se existe uma constante 
positiva c tal que an  c.bn para todo n, então a 
convergência de implica a convergência 
de . 
 
• Demonstração: Sejam as somas parciais 
sn = a1 + ... + an e tn = b1 + ... + bn. 
 an  cbn  n  sn  c.tn 
 converge  tn  M  sn  c.M  é 
convergente. 


1n
nb


1n
na


1n
nb


1n
na
• OBS.: Note que, uma vez que a adição ou 
eliminação de um número finito de termos no 
começo da série não altera a sua condição de 
convergente ou divergente, este teorema é 
válido mesmo que a desigualdade an  cbn só 
seja válida para todo n  N para um dado N. 
 
• TESTE DO LIMITE: Sejam an > 0 e bn > 0 para 
todo n  1, e suponha que . Então, 
 converge se e somente se converge. 
1lim 

n
n
n b
a 

1n
na


1n
nb
• Demonstração: 
   > 0,  N() > 0 tal que | – 1| < ,  n  N 
 
 Em particular, para  = 1/2: 
  N tal que, para todo n  N, 1/2 < an/bn < 3/2 
 Logo, bn < 2an e an < 3bn/2. A aplicação do 
teste da comparação prova o teorema em 
questão. 
 
n
n
b
a
• Exercício: prove que o teste do limite ainda é 
válido se . Além disso, prove que, 
se , a convergência de implica a 
convergência de , e se , a diver- 
 gência de implica a divergência de . 
• Diz-se que duas sequências {an} e {bn} de 
números complexos são assintoticamente 
iguais se , o que é representado por 
an  bn quando n  . Duas séries de termos 
positivos assintoticamente iguais convergem 
juntas ou divergem juntas. 
0lim 

c
b
a
n
n
n
0lim 

n
n
n b
a


1n
nb


1n
na 

n
n
n b
a
lim


1n
nb 

1n
na
1lim 

n
n
n b
a
• TESTE DA INTEGRAL: Seja f uma função 
positiva decrescente, definida para todos os 
reais maiores ou iguais a 1. Para cada n  1, 
sejam sn = e tn = . Então as 
sequências {sn} e {tn} ou convergem juntas ou 
divergem juntas. 
 
• Exercício: demonstre o Teste da Integral. 
• Exercício: utilize o Teste da Integral para 
analisar a convergência de (série p), onde 
p é uma constante real. 


n
k
kf
1
)( 
n
dxxf
1
)(


1
1
n
pn
• TESTE DA RAIZ: Seja uma série de termos 
não-negativos tal que . Então: a) se 
R < 1, a série converge; b) se R > 1, a série 
diverge; c) se R = 1, nada pode ser afirmado. 
• Demonstração: 
 i) Considere R < 1. Seja x tal que R < x < 1. 
Assim,  N tal que, para n  N, an
1/n  x, ou 
seja, an  x
n. Porém, converge (série 
geométrica com razão menor do que 1). Logo, 
pelo teste da comparação, converge. 


1n
na
Ran n
n


lim


1n
nx


1n
na
 ii) Considere R > 1. Então,  N tal que an > 1 
para n > N, de modo que an não pode tender a 
zero quando n tende a infinito. Portanto, a 
sériediverge. 
 
 iii) Para o caso R = 1, considere as séries 
 (divergente) e (convergente). 


1n
na


1
1
n n


1
2
1
n n
• TESTE DA RAZÃO: Seja uma série de 
termos positivos tal que . Então: a) se 
L < 1, a série converge; b) se L > 1, a série 
diverge; c) se L = 1, nada pode ser afirmado. 
 
• Demonstração: 
 i) Considere L < 1. Seja x tal que L < x < 1. 
Assim,  N tal que, para n  N, an+1/an < x. 
Portanto, para n  N, an+1/x
n+1 < an/x
n. 
Conclui-se que a sequência {an/x
n} é 
decrescente para n  N. 


1n
na
L
a
a
n
n
n


1lim
 Em particular, para n  N: an/x
n  aN/x
N, ou 
seja, an  (aN/x
N).xn. 
 é uma série geométrica convergente. 
Logo, pelo teste da comparação, também 
é convergente. 
 ii) Seja L > 1. Então, existe um N tal que, para 
n  N, an+1 > an. Portanto, an não pode tender 
a zero quando n tende a infinito, e a série 
diverge. 
 iii) Para L = 1, considere os mesmos dois 
exemplos do teste da raiz. 
 


1n
nx


1n
na
SÉRIES ALTERNADAS 
• São denominadas séries alternadas aquelas 
que possuem a forma = a1 – a2 + a3 – 
– a4 + ... + (-1)
n-1 .an + ..., onde an > 0 para 
todo n inteiro positivo. 
• REGRA DE LEIBNIZ: se {an} é uma sequência 
monótona decrescente com limite 0, então a 
série alternada converge. Se S é o valor 
da sua soma e sn é o n-ésimo termo da 
sequência de somas parciais, então: 
 0 < (-1)n(S – sn) < an+1, n  1 




1
1
)1(
n
n
n a




1
1
)1(
n
n
n a
• Demonstração: i) considere as sequências {s2n} 
e {s2n-1}: 
 
 
 
 
 
 
Fonte: http://planetmath.org/LeibnizEstimateForAlternatingSeries.html 
(a figura original usa a letra “p” no lugar de “a”) 
• {s2n} é crescente (s2n+2 – s2n = a2n+1 – a2n+2 > 0), 
enquanto que {s2n-1} é decrescente (pois 
s2n+1 – s2n-1 = a2n+1 – a2n < 0). As duas 
sequências são limitadas acima por s1 e abaixo 
por s2. Logo, ambas são monótonas e 
limitadas, sendo portanto convergentes. 
Suponhamos que e : 
 S1 – S2 = 
 
 Ou seja, S1 = S2 = S. Logo, a série alternada 
converge e tem soma S. 
12lim Ss n
n

 212
lim Ss n
n


0)(lim)(limlimlim 2122122 





n
n
nn
n
n
n
n
n
assss
• ii) Para provar as desigualdades, observe que, 
como {s2n} é crescente e {s2n-1} é decrescente, 
então s2n < s2n+2 < S e S < s2n+1 < s2n-1, para todo 
n  1. Assim: 
 0 < S – s2n  s2n+1 – s2n = a2n+1 
 0 < s2n-1 – S  s2n-1 – s2n = a2n 
 
 Considerando as duas expressões, conclui-se 
que 0 < (-1)n(S – sn) < an+1, n  1. 
CONVERGÊNCIA CONDICIONAL E 
CONVERGÊNCIA ABSOLUTA 
• Diz-se que a série é absolutamente 
convergente se converge. A série é dita 
condicionalmente convergente quando 
 converge, mas diverge. 
 
• TEOREMA: Considere que converge. 
Então também converge, e . 


1n
na


1
||
n
na


1n
na


1
||
n
na


1
||
n
na


1n
na 





11 n
n
n
n aa
• Demonstração: 
 i) Inicialmente, consideremos que os termos 
an sejam reais. Seja bn = an + |an|. Logo: 
 
 bn = 0 ou bn = 2.|an|  0  bn  2.|an| 
 
 Pelo Teste da Comparação, converge, pois 
 é convergente. Porém, an = bn - |an|, o 
que nos leva à conclusão de que também 
é convergente. 


1n
nb


1
||
n
na


1n
na
• ii) Vamos supor agora que os termos an sejam 
complexos, ou seja, an = un + ivn, onde un e vn 
são reais. Como |un|  |an|, e como é 
convergente, conclui-se que converge. 
Isto permite concluir que é convergente, 
já que os termos un são reais. Analogamente, 
 é convergente. Por linearidade, conclui-se 
que converge. 
 
• iii) quando n  . 


1
||
n
na


1
||
n
nu


1n
nu


1n
nv




1
)(
n
nn ivu






1111 n
n
n
n
n
k
k
n
k
k aaaa
OS TESTES DE DIRICHLET E DE ABEL 
• TEOREMA: sejam {an} e {bn} duas sequências 
de números complexos, e seja An = . Então 
a seguinte identidade, conhecida como 
fórmula das somas parciais de Abel, é válida: 
 
• Demonstração: Seja A0 = 0, de modo que 
temos ak = Ak – Ak-1, k = 1, 2, ..., n. Logo: 
 


n
k
ka
1
 
 
 
n
k
n
k
kkknnkk bbAbAba
1 1
11 )(
     
 

    
 
n
k
n
k
kkknn
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
nnkkkkkkkkkkkkk bbAbAbAbAbAbAbAbAAba
1 1
11
1 1 1 1 1
1111 )()(
• TESTE DE DIRICHLET: seja uma série de 
termos complexos cujas somas parciais 
formam uma sequência limitada. Seja {bn} 
uma sequência decrescente que converge 
para zero. Então a série converge. 
 
• Demonstração: seja {An} a sequência das 
somas parcias de . Então,  M > 0 tal que 
|An|  M para todo n. Logo, . 
Devemos agora mostrar que é 
convergente. 


1n
na
n
n
nba

1


1n
na
0lim 1 

nn
n
bA




1
1)(
k
kkk bbA
• Uma vez que {bn} é decrescente, temos que 
|Ak(bk – bk+1)|  M(bk – bk+1). Porém, a série 
 é telescópica e, portanto, converge 
(pois a sequência {bn} é convergente). Assim, 
pelo teste da comparação, podemos concluir 
que converge absolutamente. 




1
1 )(
k
kk bb




1
1)(
k
kkk bbA
• TESTE DE ABEL: sejam uma série 
convergente de termos complexos e {bn} uma 
sequência monótona convergente de termos 
reais. Então a série converge. 
 
• Exercício: demonstre o Teste de Abel. 


1n
na
n
n
nba

1
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 
• Durante a cadeira Cálculo I, foi realizado o 
estudo da integral , com a restrição de 
que a função f(x) fosse definida e limitada em 
todo o intervalo [a,b]. Vamos generalizar o 
estudo de integrais, relaxando esta restrição. 
• É possível, por exemplo, estudar o 
comportamento da integral quando b   ou 
quando a  –   integral infinita (ou 
integral imprópria de primeira espécie). 

b
a
dxxf )(
• Também é possível que a função f seja 
ilimitada em um ou mais pontos do intervalo 
[a,b], obtendo-se a chamada integral 
imprópria de segunda espécie. 
• Uma integral imprópria que seja 
simultaneamente de primeira e segunda 
espécies é dita uma integral imprópria de 
terceira espécie. 
• As integrais estudadas no Cálculo I são 
denominadas integrais próprias. 
• DEFINIÇÃO: considere que a integral própria 
 exista para todo b  a, e definamos 
uma função I(b) tal que I(b) = , b  a. 
Esta função I(b) é denominada integral 
imprópria de primeira espécie, e é 
representada por . 
 
• Diz-se que esta integral converge quando o 
limite existe e é finito; caso 
contrário, diz-se que a integral diverge. 

b
a
dxxf )(

b
a
dxxf )(


a
dxxf )(
 
b
abb
dxxfbI )(lim)(lim
• A definição das integrais impróprias da forma 
 é análoga. Se as integrais 
 esão ambas convergentes, diz-se que 
a integral é convergente, sendo o seu 
valor dado pela soma: 
 
 
 Se pelo menos uma das integrais do membro 
direito divergir, então é divergente. 
 
b
dxxf )(  
c
dxxf )(


c
dxxf )(



dxxf )(






c
c
dxxfdxxfdxxf )()()(



dxxf )(
• Exemplos: 
 a) Integral Geométrica (ou Exponencial): 
onde k é uma constante. 
 Converge para k > 0, diverge para k  0. 
 
 b) Integral em p de primeira espécie: , 
onde p é uma constante e a > 0. 
 Converge para p > 1, diverge para p  1. 



a
kx
dxe


a px
dx
• TEOREMA: Considere que a integral própria 
 exista para todo b  a, e suponha que 
f(x)  0 para todo x  a. Então, converge 
se e somente se existir uma constante M > 0 
tal que  M para todo b  a. 
 
• TEOREMA: Considere que a integral própria 
 exista para todo b  a, e suponha que 
0  f(x)  g(x) para todo x  a, sendo 
 convergente. Então, também converge, 
e . 

b
a
dxxf )(


a
dxxf )(

b
a
dxxf )(

b
a
dxxf )(


a
dxxg )(


a
dxxf )(



aa
dxxgdxxf )()(
• TEOREMA: Considere que as integrais próprias 
 e existam para todo b  a, 
sendo f(x)  0 e g(x) > 0 para todo x  a. Se 
 , então ou as integrais e 
 convergem ou ambas divergem. Se o 
valor de c for igual a zero, então pode ser 
afirmado que a convergência de impli-
ca a convergência de . 

b
a
dxxf )( 
b
a
dxxg )(
0
)(
)(
lim 

c
xg
xf
x


a
dxxf )(


a
dxxg )(


a
dxxg )(


a
dxxf )(
Integrais Impróprias de Segunda 
Espécie 
• Suponha que f seja uma função definida no 
intervalo (a,b], e considere que a integral 
 exista  x  (a,b]. Define-se uma nova função 
I(x) = , a < x  b. Esta função I é 
denominada integral imprópria de segunda 
espécie, e é representada pelo símbolo . 
• Diz-se que esta integral converge se o 
limite existe e é finito; caso 
contrário, a integral diverge. 

b
x
dttf )(

b
x
dttf )(
 
b
a
dttf )(
 
b
xaxax
dttfxI )(lim)(lim
• As integrais impróprias da forma são 
definidas de forma análoga. Se as integrais 
 e convergem, então: 
 
 
 
• Os testes de convergência das integrais de 
segunda espécie são similares aos das de 
primeira espécie. 

b
a
dttf )(
 
c
a
dttf )(

b
c
dttf )(






b
c
c
a
b
a
dttfdttfdttf )()()(
• As integrais de terceira espécie podem ser 
expressas em termos de integrais de primeira 
e segunda espécies, e o seu estudo se reduz a 
estes casos.