Exercício 7 com gabarito

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7o exerc´ıcio a ser feito no LATEX
Caio Henrique de Paula Rodrigues 165443
Enunciado
Prove o seguinte teorema:
Teorema. Sejam f, g func¸o˜es reais definidas em [a, b] e diferencia´veis em
(a, b). Enta˜o, existe x ∈ (a, b) tal que
(f(b)− f(a)) · g′(x) = (g(b)− g(a)) · f ′(x)
Quando ∃t ∈ (a, b) tal que h(t) < h(a).
Demonstrac¸a˜o. Tome h(t) = (f(b)− f(a)) · g(t)− (g(b)− g(a)) · f(t).
Sabemos que h(a) = h(b), temos ainda que existe t ∈ (a, b) tal que h(t) <
h(a) = h(b), enta˜o podemos concluir que h tem mı´nimo em (a, b).
Seja x ∈ (a, b) tal que h(x) e´ mı´nimo. Enta˜o:
0 = h′(x) = (f(b)− f(a)) · g′(x)− (g(b)− g(a)) · f ′(x)
Ou seja
(f(b)− f(a)) · g′(x) = (g(b)− g(a)) · f ′(x)
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