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Varia´veis Aleato´rias
1 Varia´vel Aleato´ria
Definic¸a˜o: Considere o espac¸o amostral Ω associado ao experimento aleato´rio �. Define-se a
varia´vel aleato´ria X como uma func¸a˜o que associa um nu´mero real X(w) a cada elemento do
espac¸o amostral, w ∈ Ω.
X : Ω→ R
Representamos as varia´veis aleato´rias por letras maiu´sculas e suas ocorreˆncias por letras
minu´sculas.
Exemplo 1: Suponha o experimento: lanc¸ar treˆs moedas. Seja X: nu´mero de ocorreˆncias
da face cara. O espac¸o amostral do experimento e´:
Ω = {(ccc), (cck), (ckc), (ckk), (kcc), (kck), (kkc), (kkk)}. Se X e´ o nu´mero de caras, X assume
os valores 0, 1, 2, 3. Podemos associar a esses nu´meros eventos que correspondem a nenhuma,
uma, duas ou treˆs caras respectivamente, como segue:
X Evento correspondente
0 A1 = {(kkk)}
1 A2 = {(ckk), (kck), (kkc)}
2 A3 = {(cck), (ckc), (kcc)}
3 A4 = {(ccc)}
As varia´veis aleato´rias podem ser discretas e continuas.
Discretas: Se o nu´mero de valores poss´ıveis de X (isto e´ seu contradomı´nio), for finito ou
infinito enumera´vel, isto e´, existe um conjunto finito ou enumera´vel {x1, x2, . . . , } ⊂ R tal que
X(w) ⊂ {x1, x2, . . . , }∀w ⊂ Ω
Cont´ınuas: X e´ uma varia´vel aleato´ria cont´ınua, se o contradominio de X for um intervalo
ou uma colec¸a˜o de intervalos.
1.1 Func¸a˜o de Probabilidade
Seja X uma varia´vel aleato´ria discreta. Defini-se Func¸a˜o de Probabilidade a func¸a˜o que associa
a cada valor assumido pela varia´vel aleato´ria X a probabilidade do evento correspondente, isto e´:
p(xi) = P (X = xi) = P (Ai), i = 1, 2, . . . .
Os nu´meros p(xi) devem satisfazer as seguintes condic¸o˜es:
• 0 ≤ p(xi) ≤ 1;
• ∑∞i=1 p(xi) = 1.
1
Ao conjunto {(xi, p(xi)), i = 1, 2, . . .}, e´ denominado distribuic¸a˜o de probabilidade deX.
Exerc´ıcio: Considere o lanc¸amento de dois dados equilibradas. Defina a seguinte v.a
X =”soma das 2 faces”. Determinar a distribuic¸a˜o de probabilidade de X.
1.2 Func¸a˜o densidade de Probabilidade (f.d.p)
Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua. A func¸a˜o densidade de probabilidade fX(x)
indicada por f.d.p e´ uma func¸a˜o que satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
• fX(x) ≥ 0;
• ∫RX fX(x)dx = 1
Ale´m disso, definimos, para qualquer c (em RX)
P (c < x < d) =
∫ d
c
fX(x)dx,
observac¸a˜o:
• P (c < x < d) representa a a´rea sob a curva da f.d.p, entre x = c e x = d;
• Constitue uma consequeˆncia da descric¸a˜o probabil´ıstica de X que, para qualquer valor
especificado de X, digamos x0, teremos P (X = x0) =
∫ x0
x0
fX(x)dx = 0.
Exemplo 3: Suponhamos que a varia´vel aleato´ria X seja cont´ınua. Seja a func¸a˜o fX(x)
definida por:
fX(x) =
{
2x, se 0 < x < 1
0, caso contra´rio .
(1)
Verifique se fX(x) e´ uma func¸a˜o densidade de probabilidade.
Exemplo 4: Suponhamos que a varia´vel aleato´ria X seja cont´ınua. Seja a func¸a˜o fX(x)
definida por:
fX(x) =
{
cx2, se 0 < x < 2
0, caso contra´rio .
(2)
Qual o valor da contante c para que fX(x) seja uma func¸a˜o densidade de probabilidade?
Exemplo 5: Considere a func¸a˜o fX(x) apresentada na Figura abaixo:
a) Encontre o valor de k para que fX(x) seja uma func¸a˜o de densidade de probabilidade de
uma varia´vel aleato´ria X.
b) Determine a equac¸a˜o que define fX(x);
c) Calcule P (2 ≤ X ≤ 3).
2
1.3 Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Acumulada
Definic¸a˜o: A func¸a˜o de distribuic¸a˜o ou func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de X, representada
por FX ou simplesmente por F , e´ definida por:
FX(x) = P (X ≤ x)∀x ∈ R
Propriedades
• 0 ≤ FX(x) ≤ 1;
• FX(−∞) = 0;
• FX(∞) = 1;
• P (a < X ≤ b) = FX(b)− FX(a);
• A func¸a˜o FX(x) e´ na˜o-decrescente, isto e´, x1 ≤ x2 temos FX(x1) ≤ FX(x2)
Tendo em mente que FX(x) = P (X ≤ x), podemos observar que:
1. P (X > a) = 1− P (X ≤ a) = 1− FX(a)
2. P (a < X ≤ b) = FX(b)− FX(a)
3. P (X = a) = P (X ≤ a)− P (X < a) = FX(a)− FX(a−). Ou seja, P (X = a) e´ o tamanho
do salto da func¸a˜o de distribuic¸a˜o em x = a. Se a func¸a˜o for cont´ınua no ponto x = a
enta˜o P (X = a) = 0
4. P (a < X < b) = FX(b
−)− FX(a)
5. P (a ≤ X < b) = FX(b−)− FX(a−)
6. P (a ≤ X ≤ b) = FX(b)− FX(a−)
Teorema 1: Se X for uma varia´vel aleato´ria discreta,
FX(x) =
∑
i
p(xi),
onde o somato´rio e´ estendido a todos os ı´ndices i que satisfac¸am a` condic¸a˜o xi ≤ x.
Exemplo 6: Considerando o exemplo 1. Calcule a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de X.
3
Teorema 2 Se X for uma varia´vel aleato´ria cont´ınua com f.d.p fX(x),
FX(x) =
∫ x
−∞
fX(s)ds.
Exemplo 7: Considerando o exemplo 3 . Calcule a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de
X.
1.4 Esperanc¸a Matema´tica ou Valor Me´dio de uma varia´vel aleato´ria
Definic¸a˜o 1: Dada uma varia´vel aleato´ria discretaX, assumindo os valores x1, . . . , xn, chamamos
valor me´dio ou Esperanc¸a matema´tica de X ao valor:
E(X) =
n∑
i=1
xip(xi) =
n∑
i=1
xiP (X = xi).
Definic¸a˜o 2: Seja X uma v.a cont´ınua. O valor me´dio ou esperanc¸a matema´tica de X e´
definido por:
E(X) =
∫ ∞
−∞
xfX(x)dx
Algumas Propriedades da Esperanc¸a
Sejam a, b 6= 0 constantes reais quaisquer.
• E(a) = a
• E(X ± a) = E(X)± a;
• E(bX) = bE(X);
• E(a+ bX) = a+ bE(X);
• Se X1, . . . , Xn sa˜o n varia´veis aleato´rias tais que E(Xi) existe (i = 1, . . . , n), enta˜o
E(X1 + . . .+Xn) = E(X1) + . . .+ E(Xn)
• SeX1, . . . , Xn sa˜o n varia´veis aleato´rias independentes, tais que E(Xi) existe (i = 1, . . . , n),
enta˜o
E(
n∏
i=1
Xi) =
n∏
i=1
E(Xi)
1.5 Variaˆncia de uma varia´vel aleato´ria
Definic¸a˜o: Suponha que X e´ uma varia´vel aleato´ria com me´dia µ = E(X). A variaˆncia de X,
representada por V ar(X) e´ definida por:
V ar(X) = E[(x− µ)2], onde µ = E(X)
Definic¸a˜o Dada uma varia´vel aleato´ria discreta X, cuja func¸a˜o de distribuic¸a˜o e´ p(x).
Enta˜o, a variaˆncia de X e´ definida por:
V ar(X) =
∑
x
(x− µ)2p(x).
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Definic¸a˜o: Dada uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X, cuja func¸a˜o densidade de probabili-
dade e´ fX(x). Enta˜o, a variaˆncia de X e´ definida por:
V ar(X) =
∫ ∞
−∞
(x− µ)2fX(x)dx =
∫ ∞
−∞
x2fX(x)dx− µ2.
Algumas Propriedades da Variaˆncia
Sejam a, b 6= 0 constantes reais quaisquer.
• V ar(a) = 0;
• V ar(X ± a) = V ar(X);
• V ar(bX) = b2V ar(X);
• V ar(a+ bX) = b2V ar(X);
• Se X1, . . . , Xn sa˜o n varia´veis aleato´rias independentes, enta˜o
V ar(X1 ± . . .±Xn) = V ar(X1) + . . .+ V ar(Xn)
1.6 Desvio Padra˜o
A unidade de medida da variaˆncia e´ o quadrado da unidade de medida da varia´vel em estudo,
sendo assim, uma unidade sem significado f´ısico. Para se ter uma medida de dispersa˜o na
mesma unidade dos dados, define-se o desvio padra˜o como a raiz quadrada da variaˆncia.
DP (X) =
√
V ar(X)
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