IEF991 Unidade 2 2013 1

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Unidade 2 Cinemática da partícula 
2.1 Deslocamento 
 A análise do movimento é um 
problema fundamental em física, e a 
forma mais simples de abordá-la é 
considerar primeiro os conceitos que 
intervêm na descrição do movimento, 
sem considerar suas causas. A 
cinemática (da palavra grega kinematos, 
que significa movimento) tem por objeto 
de estudo as descrições dos movimentos, 
fornecendo a linguagem necessária para 
descrever como os objetos se movem, 
sem considerar ainda o problema de 
como determinar o movimento que se 
produz numa dada situação física, o qual 
é objeto de estudo da dinâmica. 
Um corpo pode mover-se de duas 
maneiras basicamente diferentes: pode 
mudar apenas sua orientação, ou pode 
mudar apenas sua localização. No 
primeiro tipo do movimento, o corpo 
modifica sua orientação girando em 
tomo de seu centro (movimento de 
rotação pura), enquanto mantém fixa a 
posição deste ponto. No segundo tipo do 
movimento, o corpo muda sua 
localização variando a posição do seu 
centro e, enquanto isso, não gira em 
tomo deste ponto (movimento de 
translação pura). Naturalmente, um 
objeto também pode experimentar 
ambos os tipos de movimento 
simultaneamente. Mas num primeiro 
momento será descrita apenas em 
mudança de localização, ou seja, apenas 
o movimento de translação. 
De início será descrito apenas o 
movimento de um corpo ideal, que será 
denominado partícula, evitando-se 
complicações na descrição do 
movimento. Matematicamente, uma 
partícula é tratada como um ponto, um 
objeto sem dimensões, de tal maneira 
que rotações e vibrações não estejam 
envolvidas em seu movimento. 
Realmente, um objeto sem 
dimensões não existe na Natureza. 
Entretanto, o conceito de “partícula” é 
muito útil porque os objetos reais, com 
boa aproximação, muitas vezes se 
comportam como partículas. Para ser 
tratado como partícula, um corpo não 
precisa ser “pequeno”, no sentido 
comum que se atribui a esta palavra. Por 
exemplo, a Terra e o Sol, em relação à 
distância que separa estes dois astros, 
podem ser considerados como partículas 
e pode-se, sem erro apreciável, 
descobrir muita coisa sobre o movimento 
do Sol e dos planetas, tratando estes 
corpos como partículas. 
Para descrever o movimento é 
necessário haver um referencial. No 
caso do movimento em uma única 
direção (movimento unidimensional), um 
referencial adequado é uma reta 
orientada em que se escolhe um ponto 
tomado como origem (o ponto O na 
Figura 2.1). A posição da partícula em 
movimento no instante 
t
 é descrita pela 
função correspondente 
 .tx
 Logo, com 
um referencial podemos saber quando a 
posição de um objeto varia. O 
deslocamento indica uma mudança de 
posição. Assim, o deslocamento de uma 
partícula da posição A (
Ax
) para a 
posição B (
Bx
) pode ser determinado 
pela diferença 
AB xx 
. 
 
Figura 2.1 – O deslocamento em relação ao referencial é dado pela diferença entre a posição final e a 
posição inicial. Neste caso, o deslocamento é 
mxx AB 15520 
. 
 2 
2.2 Velocidade e aceleração 
O movimento em uma única 
direção mais simples é o movimento 
uniforme, que tem como característica 
principal o fato de a velocidade ser 
constante e o gráfico da evolução 
temporal do movimento ser uma reta, 
conforme indicado na Figura 2.2. A 
velocidade 
v
 do movimento uniforme é 
definida por: 
,
)()(
12
12
tt
txtx
t
x
v






 
 
(2.1) 
ou seja, é a razão do deslocamento 
x
 
em relação ao intervalo de tempo 
.t
 
Tomando o metro como unidade 
de distância e o segundo como unidade 
de tempo, a velocidade é dada em 
metros por segundo (
sm
). Outra 
unidade de velocidade é o quilômetro 
por hora (
hkm
). 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 – Exemplo de gráfico 
)(tfx 
 para o movimento uniforme. 
 Qualquer movimento retilíneo no 
qual a velocidade varie com o tempo é 
denominado não-uniforme. Neste caso, o 
movimento é “acelerado”, e o gráfico 
)(tfx 
 não é mais uma reta (Figura 
2.3). Pode-se estender (2.1) a um 
movimento acelerado definindo a 
velocidade média: 
,
)()(
12
12
21 t
x
tt
txtx
v tt






 
 
(2.2) 
onde 
21 tt
v 
 representa a velocidade 
média entre os instantes 
1t
 e 
,
2
t
 
conforme indicado na Figura 2.3. 
A velocidade média não dá 
detalhes sobre o movimento. A 
trajetória pode ser curvilínea ou 
retilínea e o movimento pode ter sido 
uniforme ou variado. A velocidade média 
envolve, apenas, o deslocamento total e 
o intervalo de tempo total. Este conceito 
é útil em viagens onde se pode fazer o 
cálculo da velocidade média em um 
trecho e, com base no valor obtido, 
estimar se mantendo este valor da 
velocidade média é possível completar o 
percurso no tempo previsto. 
 
Figura 2.3 – Exemplo de gráfico 
)(tfx 
 para um movimento retilíneo não-uniforme. 
Fonte: Nussenzveig, 2002, p. 25. 
 
 
A velocidade instantânea 
)(tv
 
num instante 
t
 qualquer num movimento 
descrito por 
)(tx
 é dada por: 
.)(
0 dt
dx
t
x
imtv
t











 
 
(2.3) 
 A equação (2.3) mostra que a 
velocidade instantânea representa o 
coeficiente angular da tangente ao 
gráfico no ponto considerado (Figura 
2.4). A velocidade instantânea é positiva 
(
0dtdx
) num ponto onde 
x
 está 
crescendo com 
,t
 negativa (
0dtdx
) 
num ponto onde 
x
 está decrescendo 
com 
t
 (marcha-a-ré, por exemplo), e 
nula (
0dtdx
) quando a curva tem 
tangente horizontal no ponto 
considerado (neste caso, a partícula 
estará momentaneamente em repouso). 
 
 
Figura 2.4 – A velocidade instantânea no ponto 
.P
 Fonte: Nussenzveig, 2002, p.27. 
A grandeza física que mede a rapidez de 
variação da velocidade com o tempo é a 
aceleração. Define-se a aceleração 
média no intervalo 
 21, tt
 através da 
relação: 
t
v
tt
tvtv
a tt






12
12 )()(
21
 
 
(2.4) 
Adotando o metro como unidade de 
comprimento e o segundo como unidade 
de tempo, a unidade de aceleração é o 
metro por segundo ao quadrado (
2sm
). 
Tomando sempre 
,12 tt 
 tem-se que a 
aceleração média é positiva quando 
v
 
cresce de 
1t
 para 
,2t
 e negativa quando 
decresce. Se a velocidade é positiva (a 
 4 
partícula move-se no sentido positivo do 
referencial), 
v
 cresce ou decresce 
conforme 
v
 cresça ou decresça, mas se 
0v
 é o contrário: 
v
 cresce quando 
v
 
decresce. Assim, para um carro em 
marcha-a-frente, a aceleração é 
negativa quando o carro está freando, 
mas em marcha-a-ré é o contrário: frear 
em marcha-a-ré corresponde a uma 
aceleração positiva. 
 A aceleração média pode 
geralmente ser variável durante o 
movimento, de maneira que a 
aceleração instantânea é definida como 
a derivada em relação ao tempo da 
velocidade instantânea: 
,)(
2
2
dt
xd
dt
dx
dt
d
dt
dv
ta 






 
 
(2.5) 
onde foi introduzida a definição de 
derivada segunda de 
x
 em relação a 
,t
 
indicada pela notação 
.22 dtxd 
 Sendo a derivada da velocidade, a 
aceleração instantânea representa a 
inclinação da reta tangente num ponto 
no gráfico 
),(tfv 
 ou seja, 
)(ta
 é o 
coeficiente angular da tangente à curva 
no ponto correspondente ao instante 
t
. 
2.3 Movimento retilíneo uniformemente acelerado 
Um movimento retilíneo chama-se 
uniformemente acelerado quando a 
aceleração instantânea é constante 
(independente do tempo). Neste caso: 
.
2
2
consta
dt
xd
dtdv

 
 
(2.6) 
Sendo a aceleração constante, então a 
aceleração instantânea é igual à 
aceleração média, de modo que: 
,
0
0
tt
vv
t
v
aa






 
ou: 
),()( 00 ttavtv 
 (2.7) 
mostrando que a velocidade é uma 
função linear do tempo no movimento 
uniformemente acelerado, ou seja, o 
gráfico 
)(tfv 
 é uma reta, cujo 
coeficiente angular é a aceleração. 
 Quando a velocidade varia 
uniformemente com o tempo, seu valor 
médio em qualquer intervalo de tempo é 
igual à média dos valores da velocidade 
no início e no fim do intervalo. Isto é, a 
velocidade média 
,v
 entre 
00 t
 e 
,tt 
 
é: 
.
2
0 vvv


 
 
(2.8) 
Lembrando que a equação horária do 
movimento uniforme é dada por: 
,0 tvxx 
 
que combinada com (2.8) fornece: 
.
2
0
0 t
vv
xx


 
 
(2.9) 
 Substituindo (2.8) em (2.9), obtém-
se a equação horária do movimento: 
.
2
1
)( 200 tatvxtx 
 
 
(2.10) 
 Eliminando o tempo entre (2.7) e 
(2.10), obtém-se: 
 .2 0
2
0
2 xxavv 
 (2.11) 
As equações (2.7), (2.9), (2.10) e 
(2.11) formam um conjunto completo 
para descrever qualquer movimento ao 
longo de uma linha reta com aceleração 
constante. 
Na natureza, o exemplo mais 
familiar de movimento retilíneo 
uniformemente acelerado é a queda 
livre de um corpo a partir do repouso. 
Galileu foi o primeiro a observar que, 
desprezando a resistência do ar, todos os 
corpos caem com a mesma aceleração, 
não importando seu tamanho, seu peso 
ou sua constituição. Se a altura de queda 
 5 
não for muito grande, a aceleração de 
queda livre permanecerá constante 
durante todo o movimento. Este 
movimento ideal, no qual são 
desprezadas a resistência do ar e alguma 
variação da aceleração com a altitude, é 
chamado de “queda livre”. 
A aceleração de um corpo em 
queda livre é conhecida como 
aceleração da gravidade e é 
representado pelo símbolo 
.g
 Próximo à 
superfície da Terra seu valor é 
aproximadamente igual a 
;8,9 2sm
 sua 
direção é normal à superfície terrestre e 
seu sentido para o centro dela. 
2.4 Movimento no plano 
Para especificar a posição de uma 
partícula a qual se move num plano são 
necessários dois parâmetros que são suas 
coordenadas. No caso das coordenadas 
cartesianas, a posição de uma partícula 
em movimento no plano será descrita 
pelo par de funções 
    ,, tytx
onde 
 tx
 
é a abscissa e 
 ty
 a ordenada da 
partícula no instante 
.t
 Reduz-se, assim, 
a descrição de um movimento 
bidimensional à de dois movimentos 
unidimensionais simultâneos, cuja 
composição leva ao movimento no plano, 
conforme indicado na Figura 2.5. 
Para o caso do movimento numa 
trajetória curvilínea num plano, a 
posição, ou deslocamento a partir da 
origem, é especificado pelo vetor 
;r

 sua 
velocidade é representada pelo vetor 
v
 
e a aceleração por 
.a
 Estes vetores 
estão inter-relacionados da seguinte 
maneira: 
,ˆˆ jyixr 
 (2.12) 
,ˆˆ jviv
dt
rd
v yx 


 
 
(2.13) 
,ˆˆ jaia
dt
vd
a yx 


 
 
(2.14) 
onde 
iˆ
 e 
jˆ
 representam os vetores 
unitários (vetores de módulo igual a 1) 
nas direções 
x
 e 
,y
 respectivamente. 
Um caso particular de movimento 
em um plano é aquele com aceleração 
constante. Neste caso, enquanto a 
partícula se move a aceleração 
a
 
permanece constante em módulo, 
direção e sentido. Portanto, os 
componentes de 
,a

 em qualquer sistema 
de referência, também não variarão, isto 
é, 
.constax 
 e 
.constay 
 Nesta 
situação, o movimento da partícula pode 
ser descrito como a superposição de dois 
movimentos componentes que ocorrem 
simultaneamente, com acelerações 
constantes, ao longo de duas direções 
perpendiculares. A partícula descreverá, 
em geral, uma trajetória curvilínea no 
plano. 
As equações que dão a posição e a 
velocidade da partícula, movendo-se em 
um plano e sujeita a uma aceleração 
constante, são respectivamente: 
.
2
1 2
00 tatvrr


 
 
(2.15) 
.0 tavv


 
(2.16) 
Um caso importante de 
movimento num plano com aceleração 
constante é o movimento dos projéteis 
na vizinhança da superfície da Terra. 
Numa situação típica, pode-se considerar 
a Terra como plana e a aceleração da 
gravidade como constante. Adotando o 
eixo 
Oy
 na direção vertical com 
orientação para cima, segue que 
.constga 
 Assim: 
.jˆga 

 
(2.17) 
 
Figura 2.5 – À medida que o ponto P, que dá a localização da partícula se move, descrevendo a trajetória 
da partícula no plano, suas projeções sobre os eixos 
Ox
 e 
Oy
 se movem correspondentemente, 
descrevendo movimentos unidimensionais. 
 
 
Tomando a posição inicial de 
lançamento na origem, segue que 
.000  yx
 Considerando que o instante 
inicial seja 
,00 t
 e sendo 

 o ângulo 
entre o vetor velocidade inicial 
0v

 e o 
eixo horizontal, temos que: 
.
,cos
00
00


senvv
vv
y
x

 
 
(2.18) 
As equações (2.16) e (2.17) ficam 
então: 
,cos0 vvx 
 
(2.19) 
.0 tgsenvvy   
(2.20) 
,cos0 tvx  
(2.21) 
.
2
1 2
0 tgtsenvy   
 
(2.22) 
As equações (2.21) e (2.22) nos 
fornecem 
x
 e 
y
 em função do tempo 
decorrido desde o lançamento. 
Combinando-as, e eliminando 
t
 entre 
elas, obtém-se: 
,
)cos(2
)( 2
2
0
x
v
g
xtgy  
 
 
(2.23) 
que é uma equação do tipo 
 ,xfy 
 
conhecida como equação da trajetória 
do projétil. Como 
,
0
v
 e 
g
 são 
constantes, a equação (2.23) é da forma 
,2cxbxy 
 que é a equação de uma 
parábola. Portanto, a trajetória de um 
projétil é parabólica. 
 
 
 
 
 
 7 
Exercício 2.1 
Imagine a seguinte situação: Você vai até a padaria comprar pão e na volta 
encontra um conhecido e fica conversando por 5 minutos e depois retorna ao ponto de 
partida, demorando 20 minutos no total. Nesta situação, qual sua velocidade média? 
Exercício 2.2 
A velocidade indicada no velocímetro de um carro ou moto representa a 
velocidade média ou a velocidade instantânea? Explique. 
Exercício 2.3 
A castanheira é uma árvore nativa da Amazônia, podendo alcançar 
m50
 de 
altura, e seu fruto, conhecido como “ouriço”, possui formato esférico, achatado nas 
pontas, podendo chegar a dois quilogramas de massa. Quando maduro, o ouriço 
“despenca”, indicando que suas sementes estão prontas para consumo ou plantio. 
Calcule a velocidade que um ouriço com um quilograma de massa (
kgm 0,1
), 
despencando de uma altura de 
m30
 atinge o solo. Considere que durante toda queda, o 
movimento do ouriço é uma “queda livre”, de modo que a equação (2.11) possa ser 
aplicada. Adote o valor 
210 smg 
 para a aceleração de queda livre do ouriço. 
Exercício 2.4 
(a) A partir da equação (2.23) mostre que o alcance de um lançamento é dado pela 
equação: 
,2
2
0 sen
g
v
A 
 
Onde 
0
v
 é o módulo do vetor velocidade inicial e 

 o ângulo que esse vetor forma 
com a direção horizontal. Adote a origem do sistema de eixos no ponto de 
lançamento. 
(b) Na prova olímpica do salto em distância tem importância a altura que o atleta 
pula? Que fatores determinam o alcance do salto? Responda com base no 
resultado do item (a). 
Exercício 2.5 
Enquanto pensava em Isaac Newton, uma pessoa em pé sobre uma passarela 
inadvertidamente deixa cair uma maçã por cima do parapeito justamente quando a 
frente de um caminhão passa exatamente por baixo dele.O veículo move-se a 
hkm55
 e 
tem 
m12
 de comprimento. A que altura, acima do caminhão, está o parapeito, se a 
maçã passa exatamente rente à traseira do caminhão? 
Exercício 2.6 
Um balão sobe com velocidade de 
sm12
 e está a 
m80
 acima do solo quando dele 
se deixa cair um objeto. Quanto tempo decorrerá até que o objeto atinja o solo? 
 
 
 
 8 
Exercício 2.6 
Um paraquedista, após saltar de um avião, cai 
,50m
 sem atrito. Quando o 
paraquedas se abre, o paraquedista recebe um retardamento de 
.0,2 2sm
 Atinge o solo 
com a velocidade de 
.0,3 sm
 (a) Quanto tempo o paraquedista se mantém no ar? (b) De 
que altura saltou? 
Exercício 2.7 
(a) Prove que, para um projétil lançado num ângulo 
0
 acima da horizontal, em 
relação a um terreno plano, a razão da altura máxima 
H
para o alcance 
A
 é dada 
por 
  .41 0tgAH 
 
(b) Encontre o ângulo de lançamento para o qual a altura máxima e o alcance 
horizontal são iguais. 
Exercício 2.8 
Uma bola cai do topo de uma escada com velocidade horizontal de 
.5,1 sm
 Os 
degraus têm 
cm20
 de altura e 
cm20
 de largura. Que degrau a bola atingirá primeiro?