Livro: Estatistica e Probabilidade Unidade II (1)

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6 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
Quando estudamos algum fenômeno a partir do método 
estatístico, na maior parte das vezes é preciso estabelecer uma 
distinção entre o modelo matemático que construímos para 
tentar explicar tal fenômeno e o fenômeno em si.
A maioria dos fatos estudados pela estatística apresenta 
resultados de difícil previsibilidade, dados que variam de 
uma observação para outra, mesmo em condições normais 
de experimentação. Para analisar, interpretar e explicar tais 
fenômenos é preciso utilizar a probabilidade.
Derivado do latim probare (provar ou testar), o termo 
“probabilidade” também tem ligação com a palavra “provável”, 
que informalmente é utilizada em eventos incertos ou conhecidos 
e também substituída por “sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza” ou 
“duvidoso”, dependendo do contexto.
A teoria das probabilidades, assim como a teoria da mecânica, que 
atribui definições precisas a termos de uso diário, como “trabalho” e 
“força”, também tenta quantificar a noção de provável.
Podemos dizer que a probabilidade é uma técnica estatística 
empregada na para encontrar a chance de ocorrência de um 
determinado evento. O evento, por sua vez, é o resultado que se 
espera de um determinado experimento.
Como eventos, temos cara (no caso do lançamento de 
uma moeda), um número compreendido de 1 a 6 (no caso do 
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lançamento de um dado), chuva (no caso da observação do 
tempo), entre muitos outros.
A probabilidade de ocorrer determinado evento será sempre 
um número entre 0 e 1, que indica aproximadamente a chance de 
ocorrência. Quanto mais próxima de 1, maior é a probabilidade 
de ocorrer este evento; quanto mais próxima de zero, menor a 
chance. Quando a probabilidade de determinado evento é zero, 
diz-se que este é um evento impossível.
Sendo assim, temos:
0<P(A)<1
6.1 Teoria dos conjuntos, espaço amostral e 
eventos
Um conjunto é definido como um grupo de objetos ou 
itens que apresentam características comuns. São exemplos de 
conjuntos os habitantes de São Paulo, os estudantes de Ciência 
da Computação da UNIP, o número de consoantes do alfabeto, 
o número de vogais do alfabeto etc.
Podemos descrever os elementos de um conjunto de duas 
formas: enumerando cada um deles entre chaves ou indicando 
suas características comuns, também entre chaves.
conjuntoA={a,e,i,o,u}
ou
conjuntoA={conjunto das vogais do alfabeto};
conjuntoB={todos os números inteiros maiores que 23}.
Em um conjunto finito, podemos identificar todos os seus 
subconjuntos. O número de subconjuntos de um conjunto finito 
será obtido por meio da seguinte fórmula:
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Nsubconjunto=2
n, em que “n” corresponde ao número de 
elementos do conjunto.
Por exemplo, dado o conjunto a seguir, calcule a quantidade 
de subconjuntos e faça a sua apresentação:
A={2,4,6,8}
A quantidade de subconjuntos de A será:
NsubconjuntoA=2
n=24=16
Os subconjuntos do conjunto A serão, portanto:
A={{2},{4},{6},{8},{2,4},{2,6},{2,8},{4,6},{4,8},{6,8}, 
{2,4,6},{2,6,8},{2,4,8},{4,6,8},{2,4,6,8},{ }}
Ora, se trazemos estes conceitos para a probabilidade, podemos 
definir então o que seria espaço amostral e evento. Na teoria das 
probabilidades, temos o chamado experimento, uma experiência que 
poderá ser repetida sob as mesmas condições indefinidamente.
Para cada experimento existe um conjunto S formado por 
todos os possíveis resultados deste experimento. Este conjunto 
é denominado de espaço amostral.
Por exemplo, ao lançar um dado e observar o número da face que 
fica para cima, teríamos o seguinte conjunto de resultados possíveis 
deste experimento e, portanto, o seguinte espaço amostral:
S = Ω {1,2,3,4,5,6}, em que Ω é o espaço amostral.
O espaço amostral poderá ser representado pela letra ômega. 
Sendo o espaço amostral o conjunto de todos os resultados 
possíveis de uma dada experiência, a probabilidade do espaço 
amostral deverá ser igual a 1 ou 100%, pois ao menos um dos 
resultados deve ocorrer.
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P(evento qualquer espaço amostral Ω)=1,00
Os eventos são os resultados de um experimento. No caso do 
exemplo, de lançar um dado, seriam exemplos de eventos:
A: Ocorrer face igual a 6;
B: Ocorrer face igual a 5.
O evento é geralmente simbolizado por meio de uma letra 
maiúscula.
Poderíamos simbolizar graficamente o espaço amostral e 
o evento por meio do diagrama de Venn para que possamos 
visualizar melhor a diferença entre estes dois importantes 
conceitos da Teoria das probabilidades.
Evento
Espaço amostral
O que significa então este gráfico? Para entendermos melhor, 
vamos relembrar algumas relações que se estabelecem entre 
dois ou mais conjuntos e que tipo de classificação didática isto 
gera, de modo a entender que implicações isto pode ter para a 
teoria das probabilidades.
Dois ou mais conjuntos que não possuam elementos em 
comum são chamados conjuntos disjuntos. Por exemplo, 
consideremos os conjuntos a seguir:
A={3,5,7}
B={9,11}
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Ambos são conjuntos que claramente não apresentam 
qualquer elemento em comum e podem ser representados pelo 
diagrama de Venn, como segue:
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A B
Como A e B não possuem elementos em comum, o resultado 
da união destes conjuntos irá gerar um novo conjunto cujo 
número de elementos será dado pela soma dos elementos de A 
e dos elementos de B.
Temos, então:
n(A∪B)=n(A)+n(B)
n(A∪B)=5
Se dois ou mais conjuntos apresentam elementos em 
comum, teremos o caso de conjuntos não disjuntos. Neste caso, 
o número de elementos da união dos dois conjuntos será dado 
pela soma dos elementos de cada conjunto, subtraindo-se os 
elementos que estes possuem em comum.
A={2,4,6,8,10} e B{8,10,12}
n(A∪B)=n(A)+n(B)–n(A∩B);
(A∪B)=5+3-2=6
 
Podemos verificar este resultado comparando-o ao diagrama 
de Venn, que apresentará claramente os elementos da união dos 
dois conjuntos A e B.
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A B
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Estes conceitos de conjuntos são importantes porque nos 
permitem, por exemplo, definir novos eventos utilizando estas 
operações de união e interseção.
Assim:
a. (A∪B) → Quando A ou B ocorre, ou ambos ocorrem, 
temos este evento;
b. (A∩B) → Evento só ocorre se A e B ocorrerem 
simultaneamente;
c. A → Evento quando A não ocorre.
A partir disso, podemos definir os eventos como 
complementares, mutuamente exclusivos, não mutuamente 
exclusivos e coletivamente exaustivos.
Diz-se que dois eventos são complementares quando 
completam um determinado espaço amostral. É importante 
ressaltar que os eventos complementares não devem apresentar 
elementos em comum. A soma das probabilidades de eventos 
complementares é sempre igual a 1. Podemos representar dois 
eventos complementares com o diagrama que segue:
Espaço amostral
A
Espaço amostral
A
Por exemplo: podemos considerar como eventos 
complementares ocorrer cara ou coroa no lançamento de uma 
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moeda, ou então atender ou não à porta. O espaço amostral dos 
dois experimentos respectivamente será:
Ω={cara, coroa}
onde:
A: ocorrer cara;
B: ocorrer coroa.
Ω2={atender, não atender}
onde:
C: atender à porta;
D: não atender à porta.
Em ambos os experimentos, podemos observar que a soma 
das probabilidades será igual a 1, porque os eventos completam 
o espaço amostral. Assim, no caso dos dois exemplos acima, 
teremos:
P A
P B P A P B
( )
( ) ( ) ( )
=
= ⇒ + =
1
2
1
2
1
P C
P D P C P D
( )
( ) ( ) ( )
=
= ⇒ + =
1
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1
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Dois ou mais eventos que não possuem elementos comuns 
ou que não podem ocorrer simultaneamente são ditos eventos 
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mutuamente excludentes. Diferentemente dos eventos 
complementares, eles não necessariamente completam o espaço 
amostral. Sendo assim, podemos dizer que todos os eventos 
complementares são mutuamente exclusivos, mas nem todos os 
eventos mutuamente exclusivos são complementares.
Também é importante ressaltar que na teoria dos conjuntos, 
os eventos mutuamente exclusivos são os chamados conjuntos 
disjuntos.
Isso significa que:
(A∩B)=∅
Para ilustrar graficamente dois eventos mutuamente 
exclusivos, podemos mais uma vez nos valer de um diagrama 
de Venn.
A
Ω: Espaço amostral
B
Por exemplo: no lançamento de um dado, podem ocorrer as 
faces 1, 2, 3, 4, 5, 6. São seis eventos mutuamente excludentes, 
já que dois não podem ocorrer simultaneamente, portanto a 
ocorrência de um exclui a ocorrência do outro.
Se restringirmos este experimento a apenas duas faces, 
temos:
Experimento: lançamento de um dado
Ω={1,2,3,4,5,6}; (espaço amostral)
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A: ocorrer à face 2;
B: ocorrer à face 4.
Temos aqui dois eventos mutuamente exclusivos e que não 
são complementares.
Quando dois eventos apresentam elementos em comum ou 
podem ocorrer simultaneamente, diz-se que eles são eventos 
não mutuamente excludentes. Estes eventos podem ser 
representados por meio de um diagrama de Venn, como segue:
Ω: Espaço Amostral
Ω: Espaço amostral
BA
Podemos nos valer da distribuição de frequências do 
quadro a seguir para exemplificar dois eventos que sejam não 
mutuamente excludentes. Vejamos então a distribuição de 
frequência das idades dos alunos formandos do curso de Gestão 
de uma Universidade AB:
Distribuição de frequência das idades
Classe Frequência absoluta simples
20 |– 22 5
22 |– 24 12
24 |– 26 11
26 |– 28 16
28 |– 30 20
30 |– 32 14
32 |– 34 8
34 |– 36 8
36 |– 38 4
38 |– 40 2
∑ 100
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Tomando-se esta distribuição de frequência, podemos dar 
exemplo de dois eventos não mutuamente exclusivos:
A: apresentar idade entre 20 e 26 anos no momento da 
formatura;
B: apresentar idade entre 22 e 30 anos no momento da 
formatura.
Como entre estes dois eventos existem elementos em 
comum, ou seja, os intervalos de 22 a 26 anos, esses eventos são 
não mutuamente excludentes.
Os eventos podem ser ainda coletivamente exaustivos. Isto 
acontece quando os eventos em questão ocuparem todo o 
espaço amostral, tornando impossível qualquer outro resultado 
além daqueles eventos dados.
São considerados eventos coletivamente exaustivos 
os eventos complementares, mas nem sempre os eventos 
coletivamente exaustivos serão complementares. Além disso, 
os eventos coletivamente exaustivos serão, em alguns casos, 
mutuamente excludentes.
Podemos então representar graficamente eventos 
coletivamente exaustivos com o diagrama a seguir:
Ω: Espaço amostral
A B C
Assim, são exemplos de eventos coletivamente exaustivos, 
no caso de um experimento de lançar uma moeda:
A: ocorrer cara;
B: ocorrer coroa.
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Outro exemplo seria, ao se fazer a experiência de retirar 
cartas de um baralho, definir como eventos:
A: carta de copas;
B: carta de paus;
C: carta de ouros;
D: carta de espadas.
Assim, temos aqui dois exemplos de eventos coletivamente 
exaustivos.
Vamos a alguns exemplos:
Exemplo 1
Em um grupo de 100 pessoas, 70 têm sangue com RH positivo 
e 45 têm sangue tipo O. Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa 
desse grupo, qual é a probabilidade de o sangue dessa pessoa ser 
de tipo diferente de O?
Solução: 
Seja x o número de pessoas que têm sangue RH positivo e 
têm também sangue tipo O. Representando os conjuntos por 
meios de diagramas de Euler-Venn:
70 – x + x + 45 – x = 100.
RH+
70 – x 45 – xx
O
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Daí vem que 70 + 45 – x = 100.
Então, x = 115 – 100 = 15.
Assim, o número de pessoas que têm sangue do tipo diferente 
de O é: 70 – 15 = 55.
Logo, num total de 100 pessoas, temos 55 possibilidades 
(chances) de escolha.
Então, podemos dizer que a probabilidade de o sangue dessa 
pessoa ser de tipo diferente de O é 55/100 = 55%.
De outra maneira, mais rápida: como 45 têm sangue tipo O, 
o número de pessoas que têm sangue do tipo diferente de O é: 
100 – 45 = 55. Logo, a probabilidade é de 55 possibilidades num 
total de 100, isto é, 55%.
Exemplo 2
Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que 
usará, separou duas saias e quatro blusas. De quantas maneiras 
ela pode se arrumar?
Solução
O chamado Princípio Fundamental da Contagem (PFC) diz: se 
alguma escolha pode ser feita de M diferentes maneiras e alguma 
escolha subsequente pode ser feita de N diferentes maneiras, há 
M×N diferentes maneiras pelas quais essas escolhas podem ser 
feitas sucessivamente.
Observe a tabela:
Blusa 1 Blusa 2 Blusa 3 Blusa 4
Saia 1 Saia 1 e blusa 1 Saia 1 e blusa 2 Saia 1 e blusa 3 Saia 1 e blusa 4
Saia 2 Saia 2 e blusa 1 Saia 2 e blusa 2 Saia 2 e blusa 3 Saia 2 e blusa 4
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Contando as possibilidades, vemos que Maria pode se arrumar 
de oito maneiras distintas. De fato, a ação é constituída de duas 
etapas sucessivas: a primeira (vestir a saia) pode ser realizada de duas 
maneiras diferentes, sendo que, para cada uma dessas possibilidades, 
a segunda (vestir a blusa) pode ser realizada de quatro maneiras 
distintas. Assim, pelo princípio fundamental da contagem (PFC), o 
número de efetuar a ação completa é 2 × 4 = 8.
Exemplo 3
Há quatro estradas ligando as cidades A e B e três estradas 
ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se 
ir de A a C passando por B?
Solução:
A ação é constituída de duas etapas sucessivas. A primeira (ir 
de A até B) pode ser realizada de três maneiras. Para cada uma 
dessas possibilidades, a segunda (ir de B até C) pode ser realizada 
de quatro maneiras. Então, pelo PFC, o número de maneiras de ir 
de A até C é: 3 × 4 = 12.
Exemplo 4
Uma prova de matemática tem dez questões do tipo V ou F. 
Se todas as questões forem respondidas ao acaso, qual o número 
de maneiras de preencher a folha de resposta?
Solução:
O PFC é também conhecido como princípio multiplicativo e 
pode ser generalizado para ações constituídas de mais de duas 
etapas sucessivas.
Resolveruma prova de dez questões do tipo V ou F 
representa uma ação constituída de dez etapas sucessivas, que 
correspondem à resolução das dez questões propostas. Para 
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cada questão, há duas possibilidades de escolha de resposta: V 
ou F. Logo, pelo PFC, o resultado procurado é: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 
× 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 210 = 1024.
Exemplo 5
De quantas maneiras podemos arrumar cinco pessoas em 
fila indiana?
Solução:
Ao escolher uma pessoa para ocupar a primeira posição na 
fila, temos cinco possibilidades; para o segundo lugar, como 
uma pessoa já foi escolhida, temos quatro possibilidades; para 
o terceiro lugar sobram três pessoas a serem escolhidas; para o 
quarto lugar, duas pessoas, e para o último lugar na fila sobra 
apenas a pessoa ainda não escolhida.
Então, pelo PFC, temos: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Assim, calculamos o número de modos de ordenar 
(“embaralhar”) cinco elementos distintos. Em outras palavras, 
calculamos o número de permutações simples de cinco 
elementos, ou seja, P5 = 120.
Exemplo 6
(UFJF) Ao lançarmos dois dados, a probabilidade de obtermos 
resultados cuja soma é sete é:
1+1 1+2 1+3 1+4 1+5 1+6
2+1 2+2 2+3 2+4 2+5 2+6
3+1 3+2 3+3 3+4 3+5 3+6
4+1 4+2 4+3 4+4 4+5 4+6
5+1 5+2 5+3 5+4 5+5 5+6
6+1 6+2 6+3 6+4 6+5 6+6
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Solução:
Para cada dado lançado ao acaso, temos seis possibilidades 
de resultado. Então, pelo PFC, o número de casos possíveis 
é 6 × 6 = 36. O número de casos favoráveis é o número de 
elementos dos conjuntos de pares ordenados {(1,6), (2,5), (3,4), 
(4,3), (5,2), (6,1)}, ou seja, é seis.
Assim, a probabilidade é P = 6/36 = 1/6.
6.2 Conceito de Probabilidade em espaços 
amostrais equiprováveis
Espaços amostrais equiprováveis são aqueles cujos elementos 
amostrais têm a mesma probabilidade de ocorrer.
Definimos a probabilidade de ocorrência de um evento E 
como sendo:
p E
elementos E
elementos S
( )
( )
( )
=
isto é, o número de elementos de E dividido pelo número de 
elementos de S.
Como E⊂S e n(E)<n(S), temos que
p E
n E
n S
( )
( )
( )
= , de modo que 0<p(E)<1
6.3 Propriedades da Probabilidade
0 = P(E) = 1
P(S) = 1 (evento certo)
P(Ø) = 0 (evento impossível)
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Se E é o evento complementar de E, então P(E) = 1 – P(E)
Se E e F são dois eventos de um espaço amostral S, finito e 
não vazio, então:
P(E ∪ F) = P(E) + P(F) – P(E ∩ F)
Se E ∩ F = ∅, então E e F são chamados eventos mutuamente 
exclusivos e:
P(E ∪ F) = P(E) + P(F)
Se os eventos E, F, G,..., R de S forem dois a dois, sempre 
mutuamente exclusivos, são chamados exaustivos, e 
E ∪ F ∪ G ∪ ... ∪ R= S.
Assim sendo, temos
P(E) + P(F) + P(G) +... + P(R) = 1
6.4 Probabilidade Condicionada
Sendo E e F dois eventos de um espaço amostral S, finito e não 
vazio, a probabilidade F de condicionada a E é a probabilidade de 
ocorrer F sabendo que já ocorreu E:
P F E
n E F
n E
( / )
( )
( )
= ∩
Exemplo:
Retira-se uma carta de um baralho de 52 cartas. Qual é a 
probabilidade de retirar-se um rei, sabendo que a carta é de 
espada?
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Resolução
E: evento sair carta de espadas n(E) = 13
F: evento sair rei n(F) = 4
E ∩ F: sair rei de espadas n(E ∩ F) = 1
P(F / E) = 1
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6.5 Eventos Independentes
Dois eventos E e F são independentes se, e somente se:
P(E / F) = P(E)
P(F / E) = P(F)
Se E e F são independentes, então:
P(E ∩ F) = P(E) . P(F)
Exemplo:
Sendo P(E) = 0,3 e P(E ∪ F) = 0,8, determine P(F) sabendo 
que E e F são independentes.
Resolução:
P(F) = x
Se E e F são independentes, então P(E ∩ F) = P(E) . P(F) = 0,3 . x
Sabendo que P(E ∪ F) = P(E) + P(F) – P(E ∩ F),
0,8 = 0,3 + x – 0,3x
x = 5
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7 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
É comum encontrarmos problemas em estatística com dois 
resultados possíveis e repetitivos por várias vezes nas mesmas 
condições. Nessas condições, chamamos-os de experimento 
binomial.
Exemplos:
• nascimento de crianças (masculino ou feminino);
• Processo de fabricação de um componente eletrônico 
(com defeito ou sem defeito).
Para termos um experimento binomial, são necessários os 
seguintes requisitos:
• Ter um número de repetições determinadas;
• As repetições devem ser independentes;
• Cada repetição só poderá ter um resultado definido por 
duas possibilidades;
• A probabilidade de ocorrer cada repetição deve ser 
constante.
Suponhamos que n repetições independentes sejam 
realizadas e que a probabilidade de sucesso em qualquer 
repetição seja p. Seja ainda x o número total de sucessos 
dentre as n repetições. Nestas condições, podemos 
calcular a distribuição de probabilidade na variável x pela 
fórmula:
p x p p onde
n
x n xx
n x n x
x
n( ) ( ). .( ) , ( )
!
!( )!
= − =
−
−1
n!=n.(n–1).(n–2). ... . 3 . 2 . 1
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Exemplo:
Um estudo de uma companhia telefônica em uma cidade 
mostrou que a duração média de uma chamada telefônica 
residencial é de 3,8 minutos e que a probabilidade que uma 
chamada aconteça, selecionada aleatoriamente, com duração 
de 3,8 minutos, é de 0,25. Qual é probabilidade de que em três 
chamadas aleatoriamente selecionadas,
• exatamente duas (x=2) durem mais que 3,8 minutos?
• nenhuma (x=0) dure mais que 3,8 minutos?
Resolução:
Seja x o número de chamadas, dentre as três selecionadas, que 
duram mais que 3,8 minutos. Para encontrar as probabilidades 
pedidas aplicaremos o seguinte procedimento:
• Identificar um sucesso: um sucesso é uma chamada que 
dure mais que 3,8 minutos;
• Determinar p,a probabilidade do sucesso: a probabilidade 
da chamada durar mais que 3,8 minutos é igual a 
0,25;
• Determinar n, o número de repetições: o número de 
chamadas é 3 (repetições);
• Aplicar os dados na fórmula e encontrar a probabilidade 
para x sucessos.
a) P( ) ( ). , .( , ) ,2 0 25 1 0 25 0 1412
3 2 3 2= − =−
A probabilidade que duas das três chamadas durem mais 
que 3,8 minutos é de 14,1%.
b) P( ) ( ). , .( , ) ,0 0 25 1 0 25 0 4220
3 0 3 0= − =−
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A probabilidade que nenhuma das três chamadas dure mais 
do que 3,8 minutos é de 42,2%.
8 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Trata-se de uma distribuição semelhante à binomial, porém 
os eventos ocorrem em intervalos de tempo ou espaço e em 
tentativas fixadas.
Exemplo:
Quantidade de informações que chegam por hora no servidor 
de uma rede de computadores.
Se o número médio de contagem no intervalo for λ > 0, 
a variável aleatória x, que é igual ao número de contagem no 
intervalo, terá um distribuição de Poisson, com parâmetro λ1, e 
poderá ser calculado pela fórmula:
P x
e
x
x
( )
.
!
=
−λ λ
na qual λ é o número médio de sucesso para um específica 
dimensão de tempo ou de espaço, e e é o número de Néper, 
aproximadamente 2,7183.
Exemplo:
Uma equipe de manutenção de computadores atende em 
média cinco chamadas por hora. Determine a probabilidadede 
que, em uma hora selecionada aleatoriamente, sejam recebidas 
exatamente quatro chamadas.
Para resolver, usaremos o seguinte procedimento:
Identificar a variável aleatória. x=4
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Determinar o número médio λ de sucessos para uma 
específica dimensão de tempo ou espaço: λ=5
Aplicar a fórmula:
P x
e
x
x
( )
.
!
=
−λ λ
P
ex
( )
.
!
,4
5
4
0 1755
5
= =
−
A probabilidade de que em uma hora sejam recebidas 
exatamente quatro chamadas é de 17,55%.
9 CORRELAÇÃO LINEAR E REGRESSÃO LINEAR
9.1 Correlação Linear
Trata-se de um parâmetro que indica com qual grau duas 
variáveis estão relacionadas. Por exemplo, podemos afirmar que 
o número de livros lidos por uma pessoa está relacionado com 
sua idade?
O grau de correlação pode ser perfeita, em que os valores 
das variáveis se comportam perfeitamente como uma reta.
Exemplo: vamos supor duas grandezas relacionadas conforme 
a tabela a seguir:
xi 1 2 3 4 5 6 7
yi 2 4 6 8 10 12 14
Perceba que ao representarmos graficamente os pares de 
variáveis da tabela, construiremos exatamente um reta. Nessas 
condições, podemos dizer que as variáveis estão perfeitamente 
correlacionadas.
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Adotaremos a letra “r” para representar o coeficiente de 
correlação de Pearson (conhecido como coeficiente de correlação 
linear), que poderá ser calculado pela fórmula:
r
n x y x y
n x x n y y
i i i i
i i i i
=
−
−( ) −( )
∑ ∑∑∑
∑ ∑ ∑ ∑
. . ( ).( )
. ( ) . . ( )2 2 2 2
Neste caso, i representa o número de pares de dados em 
estudo (no caso do exemplo anterior, temos i=7).
Como o coeficiente de correlação é uma razão, seus valores 
poderão variar no intervalo [–1, +1], sendo classificado pelo 
seguinte critério:
r = – 1,00: correlação negativa perfeita
r = – 0,75: correlação negativa forte
r = – 0,50: correlação negativa média
r = – 0,25: correlação negativa fraca
r = 0,00: ausência de correlação
r = + 0,25: correlação positiva fraca
r = + 0,50: correlação positiva média
r = + 0,75: correlação positiva forte
r = + 1,00: correlação positiva perfeita
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9.2 Regressão Linear
Chamamos de regressão o processo de traduzir o 
comportamento do conjunto de duas variáveis na forma de uma 
curva que deverá ser expressa por uma função matemática, que 
chamaremos de “equação da regressão”. Usaremos um critério 
chamado “Método dos Mínimos Quadrados”, cuja finalidade 
é estabelecer a melhor reta que se ajusta os todos pontos 
definidos pelas duas variáveis. Essa reta será chamada de “Reta 
Interpoladora”.
Como a equação de uma reta, de maneira geral pode ser 
expressa pela lei:
Y = A X + B
Por analogia, tiramos a equação geral na forma
y k x y K xy i y= + −. ( . )
onde:
x
x
n
S
x x
n
i
x
i
n
i= =
−
−
∑ ∑ =1 2
1
( )
y
y
n
S
y y
n
i
y
i
n
i= =
−
−
∑ ∑ =1 2
1
( )
; 
K r
S
Sy
y
x
=
Exemplo:
Um estudante levantou o seguinte conjunto de dados em 
laboratório.
xi 5 15 20 25 30 35
yi 48 43 34 19 11 6
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Querendo saber como se comportavam as variáveis, solicitou 
ajuda a um professor de estatística que o orientou a determinar 
o coeficiente de correlação linear e em seguida encontrar a reta 
de regressão linear. O seu desenho mostrará o comportamento 
das variáveis.
Resolução:
Note que o número de pares das variáveis n = 6.
Construiremos inicialmente uma tabela com 9 colunas e 8 
linhas.
i xi yi xi
2 yi
2 xiyi xi– x (xi– x)
2 yi– y (yi– y)
2
1 5 48 25 2304 240 -16,667 277,7889 21,167 448,0419
2 15 43 225 1849 645 -6,667 44,4489 16,167 261,3719
3 20 34 400 1156 680 -1,667 2,7789 7,167 51,3659
4 25 19 625 361 475 3,333 11,1089 -7,833 61,3559
5 30 11 900 121 330 8,333 69,4389 -15,833 250,6839
6 35 6 1225 36 210 13,333 177,7689 -20,833 434,0139
� 130 161 3400 5827 2580 583,3334 1506,8334
x Sx= = −
=130
6
583 333
6 1
10 8012
,
,
y Sy= =
−
=161
6
15 8334
6 1
17 3599
,
, ;
Ky = − = −0 969 17 3599
10 8012
1557, .
,
,
,
Substituindo na equação da regressão:
y=–1,557xi+(26,883-(-1,557).21,667)
y=–1,557xi+60,568
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A figura a seguir ilustra o diagrama de dispersão e a reta 
traçada pela equação da regressão linear.
60
50
40
30
20
10
0
y
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40
10 ESTIMATIVA DE PARÂMETROS
10.1 Definições
Podemos definir em estatística os parâmetros de média e 
desvio padrão para amostra (x, S) e também para população 
(µ, σ), sendo que a média da população é a média das médias das 
amostras e o desvio padrão da população pode ser considerado 
como igual ao desvio padrão da amostra multiplicado pela raiz 
quadrada do número de dados amostrais n, σ = S n. .
O desvio padrão da distribuição amostral das médias das 
amostras é denominado erro padrão da média (E).
10.2 Teorema do Limite Central
Quando são retiradas amostras com 30 ou mais elementos 
de uma população qualquer, a distribuição amostral das 
médias das amostras se comportam aproximadamente a uma 
distribuição Normal, mesmo que os dados da amostra não sejam 
normalmente distribuídos.
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10.3 Estimação Pontual
É uma estimativa de um único valor para um parâmetro 
populacional, como a média da amostra, por exemplo.
10.4 Estimativa por Intervalos
É uma estimativa em que um parâmetro populacional 
possa variar de um valor z para mais ou para menos. Por 
exemplo:
média – z < média < média + z
10.5 Intervalo de Confiança para Médias 
(amostras grandes, n>30)
Um intervalo de confiança c para uma média populacional 
µ é dado por
x E x E− < < +µ
onde E pode ser calculado pela fórmula E Z
nc
= . σ
Nota: quando temos amostras grandes (n>30), o desvio 
padrão amostral S pode ser usado no lugar do desvio padrão 
populacional, ao passo que zc pode ser retirado da tabela de 
Distribuição Normal a seguir.
10.6 Tabela Normal
Área sob a curva Normal Padrão
0 z
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Segunda casa decimal de Z
Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441
1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545
1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633
1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890
2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916
2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974
2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981
2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986
3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990
3.1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993
3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995
3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997
3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998
3.5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998
3.6 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999
3.7 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999
3.8 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999
3.9 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000
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Exemplo:
Uma amostra aleatória de 49 resistores retirados de uma 
população aproximadamente normal forneceu uma resistência 
média de 20Ω e um desvio padrão de 1,5Ω. Construa um 
intervalo de 90% de confiança para a média dessa população.
Resolução:
C=95% = 0,95 Ω 
c
2
 = 0,475 (corresponde na curva normal 
à região escura)
n = 49
S = 1,5
x = 20
Da tabela, encontramos zc= 1,96.
Substituindo na fórmula do erro, teremos: 
E = = =196 15
49
0 4199 0 42, .
,
, ,
20 – 0,42 < µ <20 + 0,42
19,58 < µ <20,42
Resposta: Com 95% de confiança, podemos dizer que a 
média populacional dos resistores escolhidos está entre 19,58Ω 
e 20,42Ω.
10.7 Intervalos de Confiança para Médias 
(amostras pequenas, n<30)
O erro pode ser calculado da mesma forma, com a diferença 
apenas que o desvio padrão Σ deve ser conhecido.
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Se a população for normalmente distribuída e a amostra 
tiver menos de 30 elementos, construímos um intervalo de 
confiança para a média e utilizamos a distribuição t de Student, 
sendo que:
t
x
s
n
= − µ
Propriedades da Curva t de Student:
• A curva tem a forma de um sino;
• A área total ob a curva é igual a 1;
• A curva é simétrica em relação à média;
• A distribuição t é uma família de curvas e cada uma 
delas depende de um parâmetro denominado Grau 
de Liberdade. Quando usamos a distribuição t para 
estimar a média populacional, o número de grau de 
liberdade é igual ao tamanho da amostra menos 1 
(gl = n – 1).
Exemplo: em uma amostra de 20 elementos temos gl = 19.
Para encontrarmos um intervalo de confiança para a 
média populacional de amostras pequenas devemos encontrar 
primeiramente o erro máximo, que é calculado pela fórmula: 
E t
S
nc
= . , onde tc pode ser retirado da tabela t-Studet a seguir:
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10.8 Tabela t-Student
“�”Unilateral 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005
“�”Bilateral 0,50 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01
C -> 0,50 0,80 0,90 0,95 0,98 0,99
g.l.
1 1,000 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657
2 0,816 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925
3 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841
4 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604
5 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032
6 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707
7 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499
8 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355
9 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250
10 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169
11 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106
12 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055
13 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012
14 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977
15 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947
16 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921
17 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898
18 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878
19 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861
20 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845
21 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831
22 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819
23 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807
24 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797
25 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787
26 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779
27 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771
28 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763
∞ 0,674 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576
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Exemplo:
Encontrar o valor de tc na tabela para uma amostra de 15 
elementos, com nível de confiança de 90%.
Resolução:
N=15 . gl=14
c = 90% = 0,90
Da tabela tiramos o valor 1,761
10.9 Intervalo de Confiança para Variância e 
Desvio Padrão
Podemos controlar o tamanho da variabilidade de um 
processo, para o qual usamos a distribuição “qui quadrado” 
(X2).
Se uma variável aleatória tiver uma distribuição normal, 
então formará uma distribuição qui quadrado para qualquer 
n>1, sendo que
X
n S2
2
2
1= −( )
σ
Propriedades:
• A distribuição qui-quadrado é uma família de curvas 
definidas, cada uma pelo grau de liberdade.
• Ao estimarmos a variância populacional com o teste do 
qui-quadado, sempre usaremos o grau de liberdade sendo 
o tamanho da amostra menos um (gl = n – 1).
• A área sob cada curva sempre será igual a um.
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Unidade II
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Para encontrarmos o intervalo de confiança para variância, 
iniciaremos determinando os parâmetros α1 e α2, ou seja:
α1
1
2
= − c e α2
1
2
= + c ;
Daí, com o gl calculado, encontramos Xα1
2
 e Xα2
2
Exemplo:
Encontrar Xα1
2
 e Xα2
2 para um amostra de 30 elementos 
com 80% de confiança.
Resolução:
n = 30 → gl = 30 – 1 = 29
α1
1 0 8
2
0 1= − =, ,
α2
1 0 8
2
0 9= + =, ,
Na tabela a seguir encontraremos os valores
Xα1
2 39 087= ,
Xα2
2 19 768= ,
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10.10 Tabela da distribuição qui-quadrado
g.l.
Α
0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005
1 0,001 0,004 0,016 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879
2 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597
3 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 6,251 7,815 9,348 11,34512,838
4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860
5 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 9,236 11,071 12,833 15,086 16,750
6 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548
7 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278
8 1,344 1,646 2,180 2,733 3,490 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955
9 1,735 2,088 2,700 3 325 4,168 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589
10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188
11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757
12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 18,549 21,026 23,337 26,217 28,299
13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,042 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819
14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 21,064 23,685 26,119 29,141 31,139
15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 22,307 24,996 27,448 30,578 32,801
16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267
17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718
18 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156
19 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582
20 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997
21 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401
22 8,643 9,542 10,982 12,338 14,042 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796
23 9,262 10,196 11,689 13,091 14,848 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181
24 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 33,196 36,415 39,364 42,980 45,559
25 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928
26 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290
27 11,808 12,879 14,573 16,151 18,114 36,741 40,113 43,194 46,963 49,645
28 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 37,916 41,337 44,461 48,278 50,993
29 13,121 14,257 16,047 17,708 19,768 39,087 42,557 45,722 49,588 52,336
30 13,787 14,954 16,791 18,493 20,599 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672
40 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766
50 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 63,167 67,505 71,420 76,154 79,490
60 35,534 37,485 40,482 43,188 46,459 74,397 79,082 83,298 88,379 91,952
70 43,275 45,442 48,758 51,739 55,329 85,527 90,531 95,023 100,425 104,215
80 51,172 53,540 57,153 60,391 64,278 96,578 101,879 106,629 112,329 116,321
90 59,196 61,754 65,647 69,126 73,291 107,565 113,145 118,136 124,116 128,299
100 67,328 70,065 74,222 77,929 82,358 118,498 124,342 129,561 135,807 140,169
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Uma vez encontrado os valores de Xα1
2
 e Xα2
2 , podemos 
determinar:
O intervalo de confiança para a variância populacional σ2:
( ). ( ).n S
X
n S
X
− < < −1 1
2
1
2
2
2
2
2
α α
α
e o intervalo de confiança para o desvio padrão populacional σ:
( ). ( ).n S
X
n S
X
− < < −1 1
2
1
2
2
2
2
α α
α
Exemplo:
Uma amostra de 20 elemento, extraídos de uma população 
com distribuição normal, forneceu variância = 8,01. 
Determinar o intervalo de confiança para variância e para desvio 
padrão com 90% de confiança.
Resolução:
Xα2
2 10 117= ,
O intervalo com 90% de confiança para variância 
populacional
( ). ,
,
( ). ,
,
20 1 8 01
30 144
20 1 8 01
10 117
2− < < −α
5 0487 15 04292, ,< <α
O intervalo com 90% de confiança para desvio padrão 
populacional
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( ). ,
,
( ). ,
,
20 1 8 01
30 144
20 1 8 01
10 117
− < < −α
2,2469 < α < 3,8785
11 TESTE DE HIPÓTESE
11.1 Conceitos
O teste de hipótese é usado para resolver problemas 
estatísticos em que possamos aceitar ou rejeitar uma determinada 
afirmação sobre um determinado parâmetro.
Podemos usar o teste de hipótese para comprovar se a autonomia 
da bateria de um computador tem a duração determinada pelo 
fabricante, ou se o consumidor está sendo prejudicado.
O teste consiste em analisar duas hipóteses; hipótese nula, 
representada por Ho, e hipótese alternativa Ha.
Definiremos hipótese nula Ho como a hipótese a ser testada, 
e hipótese alternativa Ha como a hipótese alternativa à hipótese 
nula, caso seja rejeitada.
Exemplo:
As garrafas de água mineral têm em média o volume de 500 
ml. Podemos usar esse dado como um hipótese nula, ao passo 
que a hipótese alternativa poderia ser que o volume de cada 
garrafa é diferente de 500 ml. Podemos indicar por:
Ho: µ=500 (nessa situação, o volume está correto)
Ha: µ≠500 (nessa situação, o volume não está correto)
Daí, H0: µ= µ0
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11.2 Definições
Para a hipótese alternativa, ficamos com três possibilidades:
Ha : µ≠µ0 → nestas condições podemos entender que a 
média da população poderá ser maior ou menor que a média 
µ0. Chamaremos de teste bilateral.
Ha : µ < µ0 → nestas condições podemos entender que a 
média da população é menor que o valor pré-determinado µ0. 
Chamaremos de teste unilateral à esquerda.
Ha : µ > µ0 → nestas condições podemos entender que a 
média da população é maior que o valor pré-determinado µ0. 
Chamaremos de teste unilateral à direita.
Uma vez definidas as duas hipóteses, nula ou alternativa, 
escolheremos se aceitamos H0 ou rejeitamos Ho e aceitamos Ha 
como verdadeira.
Para entender melhor, tomemos o exemplo das garrafas 
de água. Peguemos uma amostra aleatória da população e 
façamos uma comparação com a hipótese nula. Se a média 
da amostra for consistente com µ0, não rejeitaremos H0. Por 
outro lado, se os dados a amostra não forem consistentes, 
rejeitamos a hipótese nula e aceitamos a hipótese alternativa 
como verdadeira.
É fácil perceber que existe a possibilidade de fazermos 
a escolha errada, o que pode acontecer de duas maneiras: 
chamaremos de erro tipo I e erro tipo II.
O erro tipo I ocorre quando rejeitamos a hipótese nula e 
aceitamos erradamente a hipótese alternativa, pois a nula é que 
era verdadeira.
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11.3 Nível de Significância
É a probabilidade máxima de ocorrer um erro tipo I. 
Geralmente é representada pela letra α e especificada antes 
de retirarmos uma amostra, de modo que os resultados não 
influenciem a escolha.
Na prática, é mais comum a escolha do nível de significância 
5% ou 1%, porém que possam ser usados outros valores.
Ao usarmos um nível de significância α=5%=0,05, por 
exemplo, devemos entender que essa é a probabilidade de 
rejeitarmos a hipótese nula, quando deveria ser aceita. Em 
outras palavras, temos uma confiança de 95% de que a decisão 
foi tomada corretamente.
A tabela a seguir indica alguns valores mais usuais do nível 
de significância.
α 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005
zα z0,10 z0,50 z0,025 z0,010 z0,005
Valores críticos de zα 1,280 1,645 1,960 2,333 2,575
11.4 Teste de Hipótese para Média de População
11.4.1 Grandes Amostras (n>30)
Roteiro para efetuar o teste de hipótese:
1. Escrever as hipóteses nula e alternativa;
2. Definir o nível de significância α (geralmente fornecido);
3. Determinar o(s) valor (res) crítico (s) zα;
3.1 Teste bilateral, usar ±tα2 ;
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3.2 Teste unilateral à esquerda, usar –zα;
3.3 Teste unilateral à direita, usar +zα;
3.4 Usar a tabela de distribuição z, normal padrão;
4. Calcular o valor estatístico do teste, usando a fórmula 
z
x
S
n
= − µ0
;
5.Se o valor de  encontrado no item anterior cair na região 
de rejeição, então rejeita-se Ho; caso contrário, não 
rejeita-se H0;
6. Dê a sua conclusão.
Exemplo:
Supondo uma amostra aleatória de 50 garrafas de água 
mineral de 500 ml, obtivemos uma média de volume de 498,42ml 
e um desvio padrão de 2.55ml. Podemos afirmar com nível de 
significância 1% que a máquina que produz as garrafas está 
desregulada?
Resolução:
As hipóteses para o teste podem ser definidas como um teste 
bilateral:
H0: µ=500
Ha: µ≠500
Para realizarmos o teste, basta verificarmos se a média é 500 
ml, o que nos faz aceitar Ho. Porém a média das 50 garrafas 
difere de 500ml, o que é normal, porém o que precisamos decidir 
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é se a diferença µ – x = 500 – 498,42 = 1,58ml é um erro de 
amostragem ou se a diferença é grande o suficiente para indicar 
que a média da população não é 500 ml.
O nível de significância é 1%, logo temos que α = 0,01.
Os valores críticos para o teste são ± = ± = ±zα2 0 05 2 575, ,
Cálculo estatístico z = − = −498 42 500 00
158
50
7 071
, ,
,
,
α/2 α/2
rejeite HO não rejeite HO rejeite HO
f(z)
0 Z
O valor estatístico z=–7,071 cai dentro da região de rejeição 
de H0, à esquerda de −zα
2
.
Conclusão: os dados são suficientes para concluirmos que a 
máquina está desregulada.
11.4.2 Pequenas Amostras (n<30)
Como já estudamos anteriormente, se uma amostra de uma 
população for considerada pequena, ou seja, se n < 30, porém 
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essa população se comporta normalmente distribuída, com 
média µ, as probabilidades para as vaiáveis aleatórias são iguais 
às áreas sob a curva.
Roteiro para efetuar o teste de hipótese:
1. Escrever as hipóteses nula e alternativa;
2. Definir o nível de significância α (geralmente fornecido);
3. Determinar o(s) valor (res) crítico (s) tα;
3.1 Teste bilateral, usar ±tα2 ;
3.2 Teste unilateral à esquerda, usar –tα;
3.3 Teste unilateral à direita, usar +tα;
3.4 Usar a tabela de distribuição t, com GL = n – 1;
4. Calcular o valor estatístico do teste, usando a fórmula 
t
x
S
n
= − µ0 ;
5. Se o valor de t encontrado no item anterior cair na região 
de rejeição, então rejeita-se Ho; caso contrário, não 
rejeita-se H0;
6. Dê a sua conclusão.
Exemplo:
Suponhamos que no ano de 2009 tenha sido feito um estudo 
sobre o consumo de suprimentos de informática e chegado à 
conclusão de que o gasto médio de todas as famílias de uma 
cidade de porte médio foi de R$ 1300,00.
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Na mesma pesquisa, foram selecionadas 15 famílias de 
classe média, obtendo os valores de gastos como mostra a 
tabela a seguir. Podemos dizer, com um nível de significância 
de 5%, que as famílias de classe média gastam, em média, mais 
do que a média da região? Considere que a distribuição de 
consumo de suprimentos de informática seja normalmente 
distribuída.
1254 1615 1711 1350 1521
1293 1227 908 1205 1154
1231 1351 1790 1369 1185
Desta tabela encontramos a média x=1344,27 e o desvio 
padrão S=231.
Solução:
1. H0: µ <1200 (as famílias não gastam mais que a média da 
cidade);
 Ha: µ > 1200 (as famílias gastam mais que a média da 
cidade);
2. Nível de significância α=5%=0,05;
3. Como o Teste é unilateral à direita, encontraremos tα=t0,05, 
com GL=20 – 1 = 19. Da tabela t-Student, encontramos 
t0,05=1,729;
4. Cálculo do valor estatístico do teste 
t = − = =1344 27 1300
231
15
44 27
59 655
0 7421
, ,
,
, ;
5. Comparando os valores, notamos que t<t0,05, logo o teste 
cai dentro da região H0;
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Unidade II
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6. Podemos concluir que, pelos dados da amostras, as 
famílias de classe média gastam menos que a média da 
cidade. Aceitamos H0 como verdadeiro.
Referências bibliográficas
CRESPO, Antonio Arnot. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 
2007.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática – contexto e aplicação 
volume único. São Paulo: Ática, 2007.
IEZZI, Gelson; HASSAN, Samuel; DEGENSZAJN, David. 
Fundamentos de matemática elementar volume 11 - 
matemática comercial, matemática financeira e estatística 
descritiva. São Paulo: Atual, 2005.
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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
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