Exp e Log Resumo

Prévia do material em texto

1 
Funções Exponenciais e Logarítmicas 
Ion Moutinho Gonçalves 
 
 Na natureza – do mundo físico e do mundo humano, individual e social, é comum a relação 
entre grandezas onde a taxa de variação é proporcional a quantidade. Por exemplo, um determinado 
capital investido a juros compostos continuamente em função do tempo (variação crescente), o valor 
de um equipamento que sofre depreciação contínua com o tempo, ou então uma quantidade de 
massa que sofre desintegração radioativa de acordo com o tempo decorrido (variação decrescente). 
 O modelo matemático para estudar estes tipos de comportamento é dado pela função 
exponencial, que veremos a seguir. 
 Mas, esta função também aparece útil no estudo de outros fenômenos, como aprendizagem 
de determinada tarefa, ou propagação de doença. 
 Para ilustrarmos estas aplicações, devemos desenvolver as propriedades da função 
exponencial e sua inversa, a função logaritmo. 
 
 
Funções Exponenciais 
 
 Seja aR, a > 0 e a  1. A função exponencial de base a é dada por 
 f(x) = ax, xR. 
 
Observação: Para xQ, isto é, para x = m/n, com m, nZ, n  0, a expressão ax deve ter o 
significado claro dado por 
 ax = 
n mnm aa /
, onde am = a.a. ... .a (m vezes). 
O problema é interpretar a expressão ax quando x é um número irracional. Por exemplo, 2a ou a
. 
Normalmente, usamos o fato de que os números irracionais podem ser aproximados por números 
racionais e admitimos que a exponencial do irracional é a aproximação das exponenciais de 
racionais. 
 
Propriedades: Para quaisquer x, yR: 
1) ax.ay = ax + y; 
2) a1 = a; 
3) x < y  ax < ay, quando a > 1, e x < y  ax > ay, quando 0 < a < 1. 
 
Observação: Prova-se que as propriedades acima são suficientes para caracterizar uma função 
exponencial. Este comentário pode ser útil na verificação de outras propriedades (por exemplo, a 
propriedade v), a seguir). 
 
Outras Propriedades: 
i) a0 = 1; 
ii) ax > 0, xR; 
iii) 
x
x
a
a

1
; 
 2 
iv) 
yx
y
x
a
a
a 
; 
v) 
xyyx aa )(
; 
vi) 
xxx baab )(
; 
vii) 
x
xx
b
a
b
a






; 
viii) f(x) = ax é uma função monótona (crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1); 
ix) f(x) = ax é uma função injetiva; 
x) f(x) = ax é uma função ilimitada superiormente, pois 


x
x
alim
, se a > 1, e 


x
x
alim
, se 
0 < a < 1. 
xi) A reta y = 0 é uma assíntota, pois 
0lim 

x
x
a
, se a > 1, e 
0lim 

x
x
a
, se 0 < a < 1. 
xii) f(x) = ax é uma função limitada inferiormente 
 
Aspecto do gráfico da função exponencial de base a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: O conhecimento do aspecto gráfico da função exponencial pode ser usado para deduzir 
várias das propriedades mencionadas acima. 
 
 
 
O Número e 
 
Juros Compostos Continuamente 
 Um capital c, empregado a uma taxa de k por cento ao ano, rende, no fim de um ano, juros 
no valor de 
100
kc
. Façamos  = 
100
k
. Então, decorrido um ano, o capital torna-se igual a c1 = c + c 
= c(1 + ). Entretanto, se o investidor decide antecipar o resgate do seu capital para o fim do 
primeiro semestre, ele deve ter direito a metade do juro anual, donde receberá c(1 + 
2

). Se decidir 
reinvestir o capital no início do segundo semestre então no final do ano irá resgatar c(1 + 
2

)2. Note 
 
 
a > 1 
 
 
0 < a < 1 
 3 
que esta quantia é maior que c(1 + ), o capital final caso o capital inicial ficasse investido 
continuamente durante todo o ano. 
 Observando isto, o investidor pode pensar em resgatar e reinvestir seu capital mensalmente 
recebendo, no final de um ano, o total de c(1 + 
12

)12. Pode-se verificar, inclusive com uma 
calculadora, que c(1 + 
2

)2 < c(1 + 
12

)12. Seguindo esta linha, resgatando e reaplicando o dinheiro 
num número n cada vez maior de intervalos de tempos iguais, o investidor terá seu capital final com 
valor cada vez maior. 
 Assim, numa situação ideal, o investidor pode receber, no final de um ano, o capital 
acumulado igual a 
 c
n
lim
(1 + 
n

)n. 
 Se usamos o mesmo raciocínio de resgatar e reinvestir n vezes em subintervalos de tempo 
para o capital aplicado agora durante t anos, com tR, temos no final um capital aplicado a juros 
compostos igual a 
 c (1 + 
n
t
)n. 
Fazendo n crescer indefinidamente, chega-se ao capital ideal 
 c
n
lim
(1 + 
n
t
)n. 
 Neste caso, dizemos que o capital foi aplicado a juros compostos continuamente. 
 
O Limite 
n
lim
(1 + 
n
t
)n. 
 Na situação ideal discutida acima, a fórmula do capital resultante da aplicação a juros 
compostos continuamente não diz como efetivamente calcula-lo. Antes de abordarmos esta questão 
note que temos considerado a taxa de juros  = 
100
k
 fixa. Quando avaliarmos o limite 
n
lim
(1 + 
n
t
)n, devemos levar em consideração que o  pode ser fixado com valores distintos. É, portanto, 
interessante isolar . Assim, vejamos as contas: 
 
n
lim
(1 + 
n
t
)n = t
t
n
n n
t


 






 
 )1(lim
 = t
t
n
n n
t


 






 
 )1(lim
. 
Agora, façamos z = 
n
t
. Então, 
zt
n 1


 e n  + é equivalente a z  0. Daí, 
 
t
n
n n
t



 )1(lim
 = 
n
lim
(1 + z)1/z. 
 
Este último limite é independente de . 
 4 
 É possível provar que o limite 
n
lim
(1 + z)1/z existe, isto é, os valores de (1 + z)1/z convergem 
para um determinado número real quando z se aproxima de zero. (Mas não o faremos aqui.) Usamos 
a letra e para representar o limite. 
 
Definição: eR é o número dado pelo limite 
 e = 
n
lim
(1 + z)1/z. 
 
 Com o auxílio de uma calculadora ou um computador, pode-se escolher um número z 
arbitrariamente próximo de zero e obter um valor aproximado para o limite em questão, isto é, para 
o número e. (Experimente!) Assim, verifica-se que 
 e  2,7182818. 
 
 Resumindo as últimas contas, concluímos que 
 
n
lim
(1 + 
n
t
)n = t
t
n
n n
t


 






 
 )1(lim
= (
n
lim
(1 + z)1/z )t = et. 
Isto é, 
 
n
lim
(1 + 
n
t
)n = et. 
 
Assim, a quantia c investida durante t anos a uma taxa 100% compostos continuamente é resgatada 
com o valor de c(t) dado por 
 c(t) = cet. 
 
Exercício: Considere um capital inicial c = 1000 reais e uma taxa anual de 12%. 
a) Calcule o capital resgatado se ele foi aplicado a juros compostos semestralmente ao longo de 3 
anos. 
b) Calcule o capital resgatado se ele foi aplicado a juros compostos continuamente ao longo de 3 
anos. 
 
 função exponencial na base e é mais conhecida como a função exponencial, simplesmente. 
Também é comum usar a notação exp(x) = ex. 
 
 
 
 
Funções Logarítmicas 
 
 Considere a equação x = by, onde b e x são números dados, com b > 0 e b  1. Neste caso, 
suponha que y seja a incógnita. A determinação de y é expressa dizendo que y = logbx. Por exemplo, 
2 = log39, uma vez que é solução da equação 9 = 3
y. 
 Assim, se b > 0 e b  1, definimos a função logaritmo de base b, f(x) = logbx, por 
 y = logbx  x = by. 
 5 
 
Observe que logbx está definido se, e somente se, x é o valor de alguma exponencial. Isto é, logbx 
está definido se, e somente se, x > 0. Assim, o domínio de definição da função logaritmo de base b é 
dom(logb) = R+
*. 
 
Propriedades:Para quaisquer x, yR: 
1) logb(x.y) = logbx + logby; 
2) logbb = 1; 
3) x < y  logbx < logby quando b > 1 e 
x < y  logbx > logby quando 0 < b < 1. 
 
Outras Propriedades: 
i) logb1 = 0; 
ii) 
xbb
log
 = x; 
iii) logbbx = x; 
iv) logb
y
x
 = logbx – logby; 
v) logbxr = rlogbx; 
vi) logbx = 
b
x
a
a
log
log
, onde a > 0 e a  1; 
vii) f(x) = logbx é uma função monótona (crescente se b > 1 e decrescente se 0 < b < 1); 
viii) f(x) = logbx é uma função injetiva; 
ix) f(x) = logbx é uma função ilimitada superiormente e inferiormente, pois 
0
lim
x
logbx = – e 
x
lim
logbx = +, se b > 1, e 
0
lim
x
logbx = + e 
x
lim
logbx = –, se 0 < b < 1; 
 
Aspecto do gráfico da função logaritmo de base b: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logaritmo Natural 
 Um caso especial de função logaritmo acontece quando escolhemos o número e como base. 
A função logaritmo de base e é conhecida como logaritmo natural. Usa-se a notação 
 lnx = logex. 
 
 
b > 1 
 
0 < b < 1 
 6 
Exercício: 
1) Verifique que ax = exlna. 
2) Dê o sinal de log1/2(3). 
3) Sejam a, b e c números positivos. Mostre que logab.logbc.logca = 1 
 
Derivadas 
 
Propriedade: (ln x)' = 
x
1
, x > 0. 
 
Propriedades: 
1) (logbx)' = 
bx ln.
1
; 
2) (ex)' = ex; 
3) (ax)' = ax.ln a. 
 
Propriedade: A regra da cadeia para as funções exponencial e logaritmo fica: 
 (e f(x))' = ef(x).f '(x); 
 (ln f(x))' = 
)(
1
xf
.f '(x). 
 
Exercício: Calcule as derivadas a seguir baseando-se nas propriedades acima. 
1) f(x) = e4x 2) f(x) = e4x 3) f(x) = 
xxe 
2 
4) f(x) = ln x3 5) f(x) = ln 5x 6) f(x) = ln (5x4  x) 
7) f(x) = 
xx
x
3
ln
 8) f(x) = et + 7x 9) f(x) = ln (3x + 1)2 
10) f(x) = ln x + 4x3 11) f(x) = ln (e6x  5x) 12) f(x) = 4ex + ln x 
13) f(x) = ex.ln (x3  
x
) 14) f(x) = (ex + 7
x
)5 15) f(x) = 
xx 4ln 
 
16) f(x) = cos (
xx ln
) 17) f(x) = 
xe
xln
 18) f(x) = xln x 
19) f(x) = xex 20) f(x) = exlnx 21) f(x) = (ln x + x5)4
241 x
 
22) f(x) = log2 x 23) f(x) = log4 x
2 24) f(x) = 2x 
25) f(x) = 45x 26) f(x) = ln (ln x) 27) f(x) = xee 
28) f(x) = 
x
e x
ln
1
 29) f(x) = (x+e2x)
1ln x
 30) f(x) = 







 
3
32 )1)(1(
ln
x
xx 
 
 
Exercício: Encontre a derivada por diferenciação logarítmica. 
 7 
1) f(x) = x2(x2  1)3(x + 1)4 2) f(x) = 
3
)2(5


x
xx
 3) f(x) = 
3 1
1


x
xx
 
 
Exercício: Calcule as derivadas. 
1) f(x) = x4x 2) f(x) = 2xx 3) f(x) = xx 4) f(x) = xex 
 
Exercício: Use aproximação linear para calcular um valor aproximado da expressão: 
1) ln 1,01 2) e0,2 3) 22 4) 3 
 
 
Exercício: Faça um esboço do gráfico da função dada. 
 
1) f(x) = xex 2) f(x) = xe -x 3) f(x) = Be-kt, t  0 e B, k > 0 
 
4) f(t) = A(1 - e-kt), t  0 e B, k > 0 5) f(t) = A(1 - e-kt), t  0 e A, B, k > 0 
6) 
AktBe
A
tf


1
)(
, t  0 e A, B, k > 0 7) f(x) = 
)ln( x
x
 8) f(x) = 2xe 
9) f(x) = 
2
xx ee 
 
 
Exercício: Calcule a equação da reta tangente à curva: 
a) y = ex, em x = 2; 
b) y = ln x, em x = e2. 
 
Exercício: Mostre que ex  1 + x. Sugestão: Seja f(x) = ex – 1 – x e verifique, justificando, que 0 é 
um ponto de mínimo. Conclua o pedido. 
 
 
 
Derivação implícita 
 
Ache a equação da reta tangente à curva x3 + y3 = 9 no ponto (1,2) (use derivação implícita). 
 16x4 + y4 = 32, (1,2) 
x2 + y2 = 16 4x2  9y2 = 1 x3 + y3 = 8xy x2 + y2 = 7xy 
1
11

yx
 
 
2x3y + 3xy3 = 5 x2y2 = x2 + y2 (2x + y)4 = 3y4