DINAMICA-LUCIO

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Lucio Marassi (ECT-UFRN) 
FORÇA E MOVIMENTO 
Estudamos previamente a CINEMÁTICA, descrevendo os movimentos de 
objetos usando parâmetros como vetor posição, velocidade e aceleração. 
 
A cinemática DESCREVE o movimento, sem analisar o que CAUSA o 
movimento. A DINÂMICA é a parte da mecânica clássica que promove essa 
análise. 
Introduziremos para isso as três Leis de Newton do movimento, que são o 
coração da Mecânica Clássica. Elas descrevem os fenômenos físicos de modo 
extremamente abrangente: de um garoto em um skate até os movimentos de 
planetas e estrelas.planets. Elas falham, contudo: 
1. Quando a velocidade dos objetos se aproxima (em 1% ou mais) da 
velocidade da luz no vácuo (c = 300.000 km/s). Devemos usar a Teoria 
Especial da Relatividade, de Einstein (1905), neste caso. 
2. Quando os objetos em estudo se tornam muito pequenos (ex: elétrons, 
átomos, etc.) Neste caso devemos usar a Mecânica Quântica (1926). 
Lucio Marassi (ECT-UFRN) 
 1. Lei de Newton 
Cientistas antes de Newton pensavam que uma força (a palavra “influência” 
era usada) era requerida para manter os objetos movimentando-se em 
velocidade constante. Um objeto era tido como em seu “estado natural” 
quando ele estava parado. Este erro foi cometido até a fricção ser 
reconhecida como sendo uma força. Por exemplo, se deslizamos um objeto 
no chão com velocidade inicial vo , logo o objeto irá parar. Se, contudo, 
deslizamos o mesmo objeto em uma superfície muito escorregadia, como o 
gelo, o objeto viajará uma distância bem maior antes de parar. Newton 
checou essas conclusões no movimento da Lua e dos planetas. No espaço não 
há fricção, portanto ele foi capaz de determinar a forma correta do que foi 
desde então chamado de “Primeira Lei de Newton”. 
Primeira Lei de Newton - INCOMPLETA 
Se nenhuma força atuar em um objeto, a velocidade do objeto 
não poderá mudar, ou seja, o objeto não poderá acelerar. 
Lucio Marassi (ECT-UFRN) 
Força: O conceito de força era definido como um 
empurrão ou puxão exercido em um objeto. Podemos 
definir uma força agindo sobre um objeto, 
quantitativamente, medindo a aceleração que ela causa, 
usando o seguinte procedimento: 
Colocamos um objeto de massa m = 1 kg em uma superfície sem atrito, e 
medimos a aceleração a que resulta da aplicação de uma força F. A força é 
ajustada de modo que a = 1 m/s2. Dizemos então que F = 1 newton (N) 
Nota: Se várias forças atuam 
em um corpo (digamos FA, 
FB, e FC), a força resultante 
Fres é definida como 
Fres=FA+FB+FC (ou seja, Fres 
é o vetor soma das demais 
forças. 
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Primeira Lei de Newton - COMPLETA 
Se nenhuma força RESULTANTE atuar em um objeto, a 
velocidade do objeto não poderá mudar, ou seja, o objeto não 
poderá acelerar. 
Fres=FA+FB+FC 
Lucio Marassi (ECT-UFRN) 
F 
ao 
mo 
F 
aX 
mX 
Massa: Massa é uma característica intrínseca de um 
corpo, que vem automaticamente com a existência do 
corpo. Mas o que isso é exatamente? Acabamos por 
definir que a massa de um corpo é a característica que 
relaciona a força F aplicada sobre o corpo e a 
aceleração a resultante. 
Considere que temos um corpo de massa mo = 1 kg no qual aplicamos uma 
força F = 1 N. De acordo com a definição do newton , F causa uma aceleração 
ao = 1 m/s
2. Aplicamos agora F em um segundo corpo de massa desconhecida 
mX o que resulta em uma aceleração aX . A razão das acelerações é 
inversamente proporcional à razão entre as massas 
o oX
X o
o X X
a am
m m
m a a
  
Assim, medindo aX somos capazes de determinar a massa mX de qualquer 
objeto. Lucio Marassi (ECT-UFRN) 
Fres 
a 
m 
 A segunda Lei de Newton 
Os resultados das discussões sobre as relações entre a força resultante Fres 
aplicada em um objeto de massa m e a aceleração resultante a podem ser 
resumidas no segundo postulado conhecido como “Segunda Lei de Newton” 
A força resultante em um corpo é igual ao 
produto da massa do corpo com sua aceleração 
A equação da Segunda Lei de Newton pode ser escrita como 
A equação acima é um modo compacto de resumirmos três equações 
separadas, uma para cada eixo de coordenada: 
,net x xF ma ,net y yF ma ,net z zF ma
netF ma
res 
Obs: o jargão “resultante” (res) = “network” (net) 
Lucio Marassi (ECT-UFRN) 
Fg 
Descreveremos agora algumas características de forças que iremos encontrar 
comumente em problemas de mecânica clássica. 
A Força Gravitacional: É a força que a Terra exerce em 
qualquer objeto. É direcionada para o centro da Terra. 
Sua magnitude é dada pela Segunda Lei de Newton. 
y 
ˆ g gF ma mgj F mg   
y g W 
mg 
Peso: O peso de um corpo é definido como a magnitude 
da força requerida para impedir o corpo de cair 
livremente. 
, 0net y yF ma W mg W mg     
Nota: O peso de um objeto não é sua massa. Se um objeto for movido para 
um local onde a aceleração da gravidade seja diferente (ex: a Lua, onde gm = 
1.7 m/s2) , a massa não muda, mas o peso sim. 
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Pesar um corpo = medir seu peso. 
Peso do corpo a ser Medido Peso de referência (massas conhecidas) 
Equilíbrio: FgL=FgR 
mL=mR Lucio Marassi (ECT-UFRN) 
Forças de Contato: Seu nome implica que tais forças ajem entre dois 
objetos que estão em contato. As forças de contato tem dois componentes: 
um que aje ao longo da normal à superfície de contato (força normal) e um 
segundo componente que aje paralelo à superfície de contato (força de 
atrito). Força Normal: Quando um corpo pressiona 
contra uma superfície, a superfície se deforma e 
empurra o corpo com uma força perpendicular 
(normal) à superfície de contato. Um exemplo é 
mostrado na figura à esquerda. Um bloco de 
massa m descansa sobre a mesa. 
 
Nota: Neste caso FN = mg. Esse não é sempre o 
caso. 
, 0net y y N NF ma F mg F mg     
Atrito:Se deslizamos ou tentamos deslizar um 
objeto sobre uma superfície, o movimento sofre 
resistência das ligações entre o objeto e a 
superfície. Essa força é conhecida como “atrito”. 
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Tração: É a força exercida por uma corda ou um cabo ligado a um objeto. A 
tração tem as seguintes características: 
1. Está sempre direcionada ao longo da corda. 
2. Está sempre puxando o objeto 
3. Tem o mesmo valor ao longo da corda (entre os pontos A e B, por exemplo). 
São feitas ainda as seguintes suposições: 
1. A corda tem massa desprezível, quando comparada à massa do objeto que ela puxa. 
2. A corda é inextensível (não se alonga nunca).. 
3. As roldanas possuem massa desprezível, e não possuem atrito. 
A B 
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A Terceira Lei de Newton: 
Quando dois corpos interagem, exercendo 
forças entre si, as forças são iguais em 
magnitude, mas com direções opostas. 
 Ex: considere um livro B recostado a uma caixa C. Denotamos FBC à força 
exercida sobre o livro pela caixa. Usando a mesma convenção, denotamos 
FCB à força exercida sobre a caixa pelo livro. A terceira Lei de Newton pode 
então ser escrita como: 
FBC = - FCB. 
Um segundo exemplo é mostrado na figura à esquerda. O 
par de forças da Terceira Lei consiste no sistema Terra (E) 
– bola (C). Usando a mesma convenção acima podemos 
expressar a Terceira Lei de Newton como: 
FCE = - FEC. 
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 Referenciais Inerciais: 
Definimos um referencial como “inercial” se as três Leis de Newton do 
movimento são respeitadas. Em contraste, referenciais onde as Leis de 
Newton não são obedecidas são rotulados dereferenciais “não-inerciais”. 
 
Newton acreditava que ao menos um referencial inercial R deveria existir. 
Qualquer outro referencial R' que se mova com velocidade constante em 
relação a R é também um referencial inercial. Contudo, um referencial R" que 
acelera em relação a R é um referencial não-inercial. 
A Terra gira em torno de seu eixo uma vez a cada 24 
horas, e portanto está acelerando em relação a um 
referencial inercial. Assim, fazemos uma aproximação 
quando consideramos a Terra como um referencial 
inercial. Esta aproximação é excelente para a maioria 
dos fenômenos em pequena escala. Contudo, para 
fenômenos em grande escala, como o sistema global de 
correntes de vento, este não é o caso, e correções das 
Leis de Newton precisam ser usadas. 
Lucio Marassi (ECT-UFRN) 
 Aplicando as Leis de Newton / Diagramas de corpo livre 
Parte do procedimento de resolução de um problema de mecânica, envolvendo as 
Leis de Newton, consiste em desenharmos um diagrama de corpo livre. Isso significa 
que, entre as muitas partes de um dado problema, escolhemos uma que chamamos de 
“sistema”. Então escolhemos os eixos, e colocamos all as forças que estão atuando 
no sistema, omitindo aquelas que ajem em objetos que não estavam incluidos no 
sistema considerado. 
Um exemplo é dado na figura abaixo. Este é um problema que envolve 
dois blocos, A e B, nos quais uma força externa Fapp é aplicada. Temos 
assim a seguinte escolha de sistemas: 
 
a. Sistema = Bloco A + Bloco B. A única força horizontal é Fapp . 
b. Sistema = Bloco A. Temos agora duas forças horizontais: Fapp e FAB . 
c. Sistema = Bloco B. A única força horizontal é FBA . 
Lucio Marassi (ECT-UFRN) 
Receita para a aplicação das Leis 
de Newton do movimento 
1. Escolha o sistema a ser estudado 
2. Faça um diagrama simples do sistema 
3. Escolha um sistema de coordenadas conveniente 
4. Identifique todas as forças agindo no sistema no diagrama 
5. Aplique as Leis de Newton no sistema 
Lucio Marassi (ECT-UFRN) 
Temos uma caixa de massa m=0,20 kg deslizando em uma mesa, sob ação de forças diversas. 
Considere F1=4,0 N / F2=2,0 N / F3=1,0 N (aplicada com θ=30
o em relação à horizontal. 
Qual é a aceleração do disco em cada caso abaixo? 
Exercício 1 
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Exercício 2 
No sistema abaixo, o Bloco Pendurado (P) cai quando o Bloco Deslizante (D) 
acelera para a direita, deslizando sobre a superfície sem atrito. 
Superfície sem 
atrito 
 
Bloco deslizante (D) 
 
Bloco Pendurado (P) 
Sendo M = 3,3 kg e m = 2,1 kg: 
 
A. Ache a aceleração do bloco D. 
B. Ache a aceleração do bloco P. 
C. Ache a tração T no fio. 
 
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Exercício 1 – RESPOSTA: 
A) a = 20 m/s2. 
B) a = 10 m/s2. 
C) a = -5,7 m/s2. 
Exercício 2 – RESPOSTA: 
A) a = 3,81 m/s2. 
B) a = 3,81 m/s2. 
C) T = 12,58 N. 
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 Força e Movimento II 
 
Iremos a partir de agora: 
1. Descrever as forças de atrito entre dois objetos. 
2. Estudar a diferença entre atrito estático e cinético. 
3. Estudar as propriedades do atrito. 
4. Introduzir os coeficientes de atrito estático e cinético. 
5. Estudar as forças de arrasto exercidas por um fluido. 
6. Calcular a velocidade terminal de um objeto. 
7. Revisitar o movimento circular uniforme (MCU). 
8. Aplicar a força centrípeta e a 2. Lei de Newton no MCU. 
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Atrito: Propriedades 
a) Caixa no chão. 
b) Puxamos para a esquerda, caixa parada. fs=F. 
c) Puxamos mais forte. fs=F. 
d) Ainda mais forte. fs=F. 
e) Puxamos mais, e a caixa se move. fk<F e fk<fs. 
f) Para v=cte, abaixamos F tal que F=fk. 
g) Gráfico de f versus t. 
 F= Força externa. 
 fs= Força de atrito estático. 
 fk= Força de atrito cinético. 
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F 
FN 
mg 
,maxs s Nf F k k Nf F0 s s Nf F 
Propriedades do Atrito: 
1) f sempre age paralelo à superfícies em contato, com direção oposta 
ao movimento (se fk), ou à tentativa de movimento (se fs). 
2) Se duas superfícies de contato não se movem entre si, então fs 
sempre iguala F. 
3) fs varia de 0 até o valor máximo fs,max = μsFN.. Se F > fs,max , a caixa 
começa a se mover. 
4) Quando a caixa se move, o atrito chama-se cinético. Sua magnitude 
é constante e dada pela equação fk = μkFN (onde fk < fs,max). 
5) Da propriedade acima, deduz-se que μk não depende da velocidade 
do objeto deslizante. 
μs = Coeficiente de atrito estático. 
μk = Coeficiente de atrito cinético. 
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Força de Arrasto e Velocidade Terminal 
 Objeto que move-se em um fluido (gás ou líquido) experimenta uma 
força de oposição, conhecida como “arrasto”. 
 Sob certas condições (o objeto em movimento deve ser obtuso e deve 
mover-se rápido, de modo que o fluxo do fluido seja turbulento), a magnitude 
da Força de Arrasto será dada pela expressão abaixo: 
21
2
D C Av
Ex: gato no ar. Inicialmente D = 0. À medida que o 
gato cai e acelera, D aumenta. Em certa velocidade 
vt temos D = mg; neste ponto a força resultante (e 
portanto a aceleração) torna-se nula, e o gato move-
se com velocidade constante vt , conhecida como 
velocidade terminal. 
21
2
tD C Av mg 
2
t
mg
v
C A

• C é uma constante 
• A é a seção da área transversal do objeto 
• ρ é a densidade do fluido 
• v é a velocidade do objeto. 
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C 
Movimento Circular Uniforme, Força Centrípeta 
Um objeto que move-se em uma trajetória circular de raio 
r com velocidade constante v tem uma aceleração a. A 
direção do vetor aceleração sempre aponta para o centro 
do círculo, no ponto C da figura (daí o nome „aceleração 
centrípeta‟); sua magnitude será constante e dada pela 
equação: 
2v
a
r

Aplicando a 2. Lei de Newton no movimento circular, concluimos que a força 
resultante na direção do centro C, denominada de Força Centrípeta, terá magnitude 
igual a 
2mv
F
r

A força centrípeta NÃO é um novo tipo de força. Ela é simplesmente a 
força resultante de um corpo em rotação, no sentido do centro de sua 
trajetória circular C. Dependendo da situação, ela poderá ser o atrito, a 
força normal ou a gravidade. 
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Receita para problemas que involvem 
MCU de um objeto de massa m em uma 
órbita circular de raio r com velocidade v: 
m 
v 
x 
y 
. C r 
• Desenhe o diagrama de forças para o objeto. 
• Escolha um dos eixos coordenados (o eixo y no diagrama) para 
apontar para o centro C da órbita. 
• Determine a força resultante, fazendo: 
2
ynet
mv
F
r

A seguir alguns exemplos: 
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C 
y 
Um disco move-se em torno de um círculo com velocidade constante v em uma 
superfície horizontal de gelo. O disco está amarrado a uma corda, que está presa no 
ponto C. Neste caso a força resultante ao longo do eixo y é a tensão T da corda. 
Assim, a tensão T será a força centrípeta, e consequentemente: 
2
ynet
mv
F T
r
 
Tensão como Força Centrípeta 
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C 
C 
x 
Um carro de corrida de massa m percorre uma pista circular de raio R com 
velocidade v. Devido à forma do carro, o ar que passa exerce uma força FL 
dirigida para baixo no carro. Calcule a força de atrito em relação a m, R e v. 
Se desenharmos o diagrama de corpo livre para o carro, veremos que a força 
resultante ao longo do eixo x é a força de atrito estáticofs. Assim, a força fs será a 
força centrípeta: 
2
xnet s
mv
F f
R
 
Força de Atrito como Força Centrípeta 
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C 
y 
x 
O Rotor é um cilindro grande e oco de raio R, que 
gira rapidamente em torno de seu eixo central com 
velocidade v. Uma pessoa de massa m sfica de pé no 
chão do Rotor, com suas costas contra a parede 
interna. O Rotor começa a girar. Quando uma certa 
velocidade vmin é atingida, o chão do Rotor é retirado 
bruscamente. A pessoa não irá cair, pois ficará 
„colada‟ à parede do Rotor. O coeficiente de atrito 
estático μs entre a parede do Rotor e a pessoa é dado. 
Calcule a magnitude de vmin. 
Desenhado o diagrama de corpo livre para a pessoa, vemos que a força normal FN será 
a força centrípeta. 
2
,
,
2
2
min
 = (eqs.1) , 
0 , (eqs.2)
If we combine eqs.1 and eqs.2 we get: 
x net N
y net s s s N s N
s
s s
mv
F F ma
R
F f mg f F mg F
mv Rg Rg
mg v v
R
 
  
 
     
    Se combinarmos as eqs. 1 e eqs. 2, teremos: 
Força Normal como Força Centrípeta 
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C 
y 
 Em 1901 Allo Diavolo, em um circo, 
percorreu um looop vertical, perfazendo um 
círculo de raio R, com uma bicicleta. Calcule a 
velocidade mínima v que Diavolo deveria ter 
alcançado no topo do loop, para não cair. 
 Desenhamos um diagrama de corpo livre 
para Diavolo, no topo do loop. Duas forças agem 
ao longo do eixo y: a força gravitacioal Fg e a força 
normal FN do loop. Quando Diavolo tem a 
velocidade mínima v ele está praticamente sem 
contato com o loop e então FN = 0. A única força 
atuante em Diavolo é Fg . Portanto a força 
gravitacional Fg é a força centrípeta. Assim: 
2
min
minynet
mv
F mg v Rg
R
   
Força Gravitacional como Força Centrípeta 
Lucio Marassi (ECT-UFRN) 
Boa semana a todos! 
Lucio Marassi (ECT-UFRN)