PROVA 3 - Graça Luzia (2012.2)

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Instituto de Matemática. - Departamento de Matemática. 
MATA03 – Cálculo B Prova da 3a Unidade Data: 03/04/2013 
Semestre – 2012.2 Turma: 05 Profa: Graça Luzia Dominguez Santos 
Nome do Aluno___________________________________________________ 
Assinatura_______________________________________________________ 
 
Observações: Não é permitido o uso de calculadoras. Todas as respostas devem ser 
justificadas. 
 
1a QUESTÃO: Sejam g uma função real com uma variável real, diferenciável, tal que (
 
 
) e 
 (
 
 
) , e 







 

xy
yx
gyxf
23
),(
. 
(1,2) a) Calcule as derivadas parciais de f no ponto (9, 4). 
(0,8) b) Determine uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa xo = 9 e 
ordenada yo = 4. 
 
2a QUESTÃO: 
(1,0) a) Use o método dos multiplicadores de Lagrange, para determinar o ponto do plano 
 para o qual a função ( ) tenha um valor mínimo. 
(1,4) b) Suponha que a temperatura (em 0C) no ponto (x,y,z) seja dada por ( ) 
 , com x, y e z dados em metros. 
i) Determine a taxa instantânea de variação de T no ponto P(1,3,-2) na direção de P para o ponto 
Q(4, -1, 2). 
ii) Determine a taxa de variação máxima de T em P. 
 
(2,0) 3a QUESTÃO 
a) Calcule 
dydxye
y
x
 









4
0
2
)5( . 
b) Calcule 
drF
C
.

, sendo 
),3,(),,( 22 xyxzzyxF 
 e 






1
2
:
222
y
zyx
C
. 
4a QUESTÃO: 
(0,8) a) Mostre que o campo 
)3,2,2(),,( 222 zxxyyxzxyxF 
 é conservativo. 
(1,2) b) Use uma função potencial do campo 
F
 para determinar 
drF
C
.

, sendo C qualquer curva 
com origem em A(2,-1,0) e extremidade em B(3,1,2). 
 
(1,6) 5a QUESTÃO: Use o teorema de Green para calcular 
 
C
xydydxx2
, sendo C o círculo 
 , percorrido no sentido anti-horário.