APOSTILA DE CÁLCULOII

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
CELSO SUCKOW DA FONSECA
CÁLCULO II
ADM. IND.
Profª Cristiane Pinho Guedes
2010
http://sites.google.com/site/profcristianeguedes/
profcristianeguedes@terra.com.br
Profª Cristiane Pinho Guedes
CRONOGRAMA – CÁLCULO II - 2010 / 01
02/03 – Apresentação do Curso
04/03 – Aula 1 – Aplicações da Derivada
09/03 – Dúvidas – Lista 1
11/03 – Aula 2 – Integral Indefinida
16/03 – Aula 3 - Integração por substituição de variáveis
18/03 – Dúvidas – Lista 2
23/03 - Dúvidas – Lista 3
25/03 – Aula 4 – Integral Definida
30/03 – Dúvidas – Lista 4
06/04 – Aula 5 – Integração por Frações Parciais
08/04 – Exercícios Frações Parciais (Aula 5)
13/04 – Dúvidas – Lista 5
15/04 - Dúvidas – Lista 6
20/04 – X
27/04 – P1
29/04 - X
04/05 – X
06/05 – Entrega e Revisão da P1
11/05 – Aula 6 – Integração por Partes
13/05 - Dúvidas – Lista 7
18/05 - Aula 7 – Integrais Impróprias
20/05 – Aula 8 – Excedente do Consumidor e Excedente do Produtor
25/05 – Dúvidas – Lista 8
27/05 - Aula 9 – Funções de Várias Variáveis
01/06 – Aula 10 – Derivadas Parciais
08/06 – Dúvidas – Lista 9
10/06 - X
15/06 – P2
17/06 – X
22/06– X
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24/06 – Entrega e Revisão da P2
29/06 – P3
01/07 – Entrega e Revisão da P3
06/07 – PROVA FINAL
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Aula 1 – data:__________________
PRINCIPAIS DERIVADAS
1) (c)’ = 0 (a derivada de uma constante é zero)
2) (c . u)’ = c . u’ onde c é uma constante e u é uma função (a derivada de uma constante vezes uma
função é igual a constante vezes a derivada da função)
3) (u + v)’ = u’ + v’ ( a derivada da soma de duas funções é igual a soma das derivadas das funções)
4) (u . v)’ = u’ . v + v’ . u (a derivada do produto de duas funções é igual a derivada da primeira vezes
a segunda mais a derivada da segunda vezes a primeira)
5) (u / v )’ = (u’ . v – v’ . u)/ v2 ( a derivada do quociente de duas funções é igual a derivada da
primeira vezes a segunda, menos a derivada da segunda vezes a primeira, tudo isso dividido pela
segunda ao quadrado)
6) (f(g(x))’ = f’(g(x)).g’(x) (Regra da Cadeia)
7) (un)’= n . un-1 . u’
8) (lnu)’ = 1/u . u’
9) (eu)’ = eu . u’
APLICAÇÕES DA DERIVADA:
1) A função derivada de uma função Custo Total tem o nome de função Custo Marginal. Sabendo
que o custo total para certo produto é ܥ(ݍ) = ݍଶ + 20 , determine o custo marginal.
2) Seja a função ݕ= 3ݔ− ݔଶ. Determine os valores de x para os quais a curva tem inclinação
positiva.
3) Encontre a derivada das seguintes funções:
a) ݕ= 3ݔଷ− ହ
௫మ
+ ߨ+ √ݔ
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b) ݕ= ହ௫ାଷ
௫ିଵ
c) ݕ= (3ݔ− 5)ଷ
d) ݕ= (5ݔଶ + 3ݔ− 8)ହ
e) ݕ= (3− ݔଶ). (4ݔ− 1)
f) ݕ= √ݔ− ଵ
௫య
g) ݕ= ଷ௫ାସ
௫మିଷ
h) ݕ= (2ݔ+ 1)ସ
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i) ݕ= ݁ି௫మ
j) ݕ= ln (2ݔ+ 10)
l) ݕ= ௟௡௫
௫
m) ݕ= ln (3ݔଶ + 5ݔ)
4) Dadas as funções Receita e Custo: ܴ(ݍ) = −ݍଷ + 30ݍଶ e ܥ(ݍ) = 75ݍ+ 1250, determine as
funções Receita Marginal e Custo Marginal.
5) ܴ = ିଶ଴
௤ାଶ
+ 10 e ܥ = ௤
ଶ
+ 4 são as funções Receita e Custo de um certo produto. Determine as
funções Lucro e Lucro Marginal.
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6) Seja ܥ = 100 − ଽ଴଴
௬ାଵ଴
uma função consumo, onde y é a renda. Determine a Propensão Marginal a
Consumir e a Propensão Marginal a Poupar. Verifique que a soma de ambas é 1.
OBS: A relação entre a renda nacional total disponível e o consumo nacional total é conhecida fre-
qüentemente como função consumo. Nas formas simples de análise teórica da função consumo,
admite-se que à medida que a renda aumenta (ou diminui), o consumo aumenta (ou diminui),
embora com menos intensidade que a renda; isto é, a propensão marginal a consumir é igual à taxa
de variação no consumo, à medida que a renda disponível varia.
Se a função consumo é dada por c = f(x) onde c é o consumo nacional total e x a renda nacional
total (e c e x são medidas nas mesmas unidades), então, a propensão marginal a consumir é
)´(xf
dx
dc
 .
Nas análises teóricas elementares da renda nacional, assume-se freqüentemente que a renda
disponível equivale à soma do consumo mais a poupança. Isto é expresso como x = c + s. A
propensão marginal a consumir é )´(xf
dx
dc
 e a propensão marginal a poupar é
dx
dc
dx
ds
 1 .
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Aula 2 – data:__________________
INTEGRAL INDEFINIDA
Primitiva
Uma função F(x) é uma primitiva de uma função f(x) se F'(x) = f(x), para qualquer x do
domínio de f. O conjunto de todas as primitivas de f é a Integral Indefinida de f em relação à x,
denotada por ∫ (݂ݔ)݀ݔ.
න (݂ݔ)݀ݔ= ܨ(ݔ) + ܿ ⇒ (ܨ(ݔ) + )ܿ' = (݂ݔ)
Teorema 1: Se F1(x) e F2(x) são duas primitivas que diferem por uma constante, então F1(x) = F2(x)
+ c.
Ex: ∫ݔହ ݀ݔ= ௫ల
଺
+ ܿ
Teorema 2: Se F'(x) = 0, ∀ݔ, então F(x) = c.
Propriedades:1) න ݑ௡݀ݑ = ݑ௡ାଵ
݊+ 1 + ܿ,݊≠ −12) න 1
ݑ
݀ݑ = න ݀ݑ
ݑ
= ln|ݑ| + ܿ
3) න ݁௨݀ݑ = ݁௨ + ܿ
4) න .݇ݑ݀ݑ = .݇න ݑ݀ݑ ,݇ ∈ ܴ
5) න [ (݂ݔ) + ݃(ݔ)]݀ݔ= න (݂ݔ)݀ݔ+ න ݃(ݔ)݀ݔ
6) න ݀ݔ= ݔ+ ܿ
7) න ܽ௫݀ݔ= ܽ௫lnܽ+ ܿ
Exemplos:
a) ∫൫ݔଶ− √ݔ+ 4൯݀ݔ=
)ܾ න (ݔଶ− ݔ+ 1)݀ݔ=
)ܿ න (ݔଷ + 6ݔଶ− ݔ)݀ݔ=
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݀) න ൬2
√ݔ
− 3√ݔ൰݀ݔ=
OBS 1: Se o Custo Total para se produzir e comercializar x unidades de um artigo é dado pela
função y = f(x), então o Custo Marginal é a derivada de f(x). Portanto o Custo Total é a integral da
função Custo Marginal em relação à x.
OBS 2: Para qualquer função demanda y = f(x), onde y é o preço por unidade e x é o número de
unidades, a Receita Total R é igual ao produto de x por y, isto é, R = x . y. A Receita Marginal com
relação à demanda é a derivada da Receita Total, em relação à x. Portanto, a função Receita Total é
a integral da Receita Marginal com relação à x.
OBS 3: Se o Custo Total y para se produzir e comercializar x unidades de uma mercadoria é dado
pela função y = f(x), então o Custo Médio para por unidade é CM = f(x)/x.
OBS 4: Para qualquer função demanda dada y = f(x) onde y é o preço por unidade e x é o número
de unidades; a receita total R é o produto de x por y, isto é R = x.y = x. f(x)
Exercícios:
1) O Custo Marginal de uma companhia é Cmg(x) = 0,015 x2 - 2x + 80 reais, onde x denota o número
de unidades produzidas em um dia. A companhia tem custo fixo de R$ 1000,00. Encontre o custo
para se produzir x unidades por dia.
2) Se a Receita Marginal é Rmg(x) = 15 + 9x + 3x2, ache as funções de Receita e Demanda.
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3) Seja P(t) a Produção Total de uma linha de montagem de uma fábrica após t horas de trabalho.
Suponha que a taxa de produção no instante t seja 60 + 2t - 0,25t2 unidades por hora. Encontre a
fórmula para P(t).
4) Resolva:)ܽ න ቆݔଷ− 2ݔଶ + 45 ቇ݀ݔ=
)ܾ න (ݔ଴,ଶ + ݔ଴,ଷ)݀ݔ=
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Aula 3 – data:__________________
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL:
Exercícios:)ܽ න ݁ଵ଴௫ ݀ݔ=
)ܾ න ݁ିଷ௫݀ݔ=
)ܿ න ݁ିହ௫݀ݔ=
݀) න ݔ.݁ିଶ௫మ݀ݔ=
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)݁ න (ݔ+ 1). (݁௫ାଵ)మ݀ݔ=
)݂ න (ݔ− 5). (݁௫ିହ)మ݀ݔ=
݃) න ݔଷ.݁ି௫ర݀ݔ=
ℎ) න 1
ݔଶ
.݁ଵ௫ ݀ݔ=
)݅ න 1
√ݔ
.݁√௫ ݀ݔ=
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Exercícios:)ܽ න ݔଷ. (ݔସ + 1)ହ݀ݔ=
)ܾ න (1− ݔଶ)ଷݔ݀ݔ=
)ܿ න 14 (ݔଷ− 1)ସ .ݔଶ݀ݔ=
݀) න 10(݁ି௫ + 5)ସ.݁ି௫݀ݔ=
)݁න (ݔଶ + 3ݔ) . (2ݔ+ 3)݀ݔ=
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)݂ න 3ݔ(1 − 2ݔଶ)ଶ ݀ݔ=
݃) න 3ݔ(1 − 2ݔଶ) ݀ݔ=
ℎ) න 7ݔ4ݔଶ− 16 ݀ݔ=
Problemas:
1) Um monopolista tem a seguinte curva de Rendimento Marginal Rm = 1000 – 10x. Determinar as
curvas de Rendimento Total e Médio.
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2) Se ܥ௠ = ௔
√௔௫ା௕
é a função de CustoMarginal e o Custo Fixo é CF = 2, determine o Custo Total
como função de x.
3) Se a Tendência Marginal a Poupar é estimada em 0,25, ache a Função de Consumo e a Função
de Poupança, sabendo que para renda nula, o consumo é estimado em 10 bilhões.
4) Se a Tendência Marginal ao Consumo é estimada em 0,8 + ଴,ଵ
௥
భ
యൗ
, determine o consumo e a
poupança, sabendo que o consumo é 25 bilhões quando a renda é zero.
5) A Tendência Marginal a Poupar é 0,6− 0,12 ݎ଴,଴ହ . Quando a renda é de 100 milhões, a poupança
é de 22 bilhões. Determinar as funções de Poupança e Consumo.
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Aula 4 – data:__________________
INTEGRAL DEFINIDA
Definição:
Seja f uma função contínua num intervalo
uma subdivisão do intervalo [ a, b]
cada um destes intervalos consideremos um ponto p
A soma ∑ (݂݌௜௡௜ୀଵ )∆ݔ௜ recebe o nome de soma de Riemann da função
relativamente a subdivisão adotada. O limite
função f sobre o intervalo [a, b] e será
Assim ∫ (݂ݔ)݀ݔ௕
௔
= lim ௡→ା
௠ ௔௫∆௫
Observemos que se f é uma função não negativa sobre [a,
representa um valor aproximado da área da figura limitada pelo gráfico de
pelas retas x = a e x= b. Neste caso a área

b
a
dxxf )( .
Cálculo da integral definida:
Na prática, a integral de f sobre
ser em casos particulares, a determinação do limite da soma de Riemann de
Felizmente, o cálculo da integral de
conhecemos uma primitiva P de
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uma função contínua num intervalo [a, b]. Os pontos a= x0 < x1
em intervalos parciais [xi-1, xi] de comprimento
cada um destes intervalos consideremos um ponto pi tal que x
recebe o nome de soma de Riemann da função
relativamente a subdivisão adotada. O limite lim ௡→ା∞
௠ ௔௫∆௫೔→଴
∑ (݂݌௜௡௜ୀଵ )∆ݔ௜ recebe o nome de integral da
e será indicado pela notação ∫ (݂ݔ)݀ݔ௕
௔
ା∞
௫೔→଴
∑ (݂݌௜௡௜ୀଵ )∆ݔ௜
uma função não negativa sobre [a, b] a soma de Riemann de
representa um valor aproximado da área da figura limitada pelo gráfico de
Neste caso a área da referida figura é definida como sendo o número
sobre [a, b] não é avaliada empregando-se a definição, pois, a não
ser em casos particulares, a determinação do limite da soma de Riemann de
Felizmente, o cálculo da integral de f sobre [a, b] pode ser facilmente realizado quando
f, pois, neste caso, o valor da integral é dado simplesmente por
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< x2 < ... < xn = b definem
] de comprimento 1 iii xxx . Em
tal que xi-1 < pi < xi.
recebe o nome de soma de Riemann da função f sobre [ a, b] ,
recebe o nome de integral da
a soma de Riemann de f
representa um valor aproximado da área da figura limitada pelo gráfico de f, pelo eixo OX e
definida como sendo o número
se a definição, pois, a não
ser em casos particulares, a determinação do limite da soma de Riemann de f é bastante difícil.
pode ser facilmente realizado quando
pois, neste caso, o valor da integral é dado simplesmente por
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P(b) - P(a).
Precisamente, é possível demonstrar o seguinte:
Teorema. Se f é uma função contínua em [ a, b] e se P é uma primitiva então
න (݂ݔ)݀ݔ= ܲ( )ܽ− ܲ( )ܾ௕
௔
Obs.: A diferença P(b) - P(a) poderá ser indicada pela notação b
a
xP )( , assim, nos exercícios
escreveremos
න (݂ݔ)݀ݔ= ܲ�(ݔ)]௔௕ = ܲ( )ܾ − ܲ( )ܽ௕
௔
Exemplos:)ܽන ݔ݀ݔ= �ݔଶ2 ቤ
ଶ
ସସ
ଶ
= 4ଶ2 − 2ଶ2 = 8− 2 = 6
)ܾන ݔଶ ݀ݔ= �ݔଷ3 ቤ
଴
ଶଶ
଴
= 2ଷ3 − 0ଷ3 = 83
)ܿ න ݔଷ ݀ݔ= �ݔସ4 ቤ
ିଶ
ଷଷ
ିଶ
= 3ସ4 − (−2)ସ4 = 814 − 164 = 654
Neste caso a integral não representa a área, pois a função é negativa num trecho do
intervalo de integração.
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݀) න (ݔଶ + 4) ݀ݔ=ଶ
ଵ
)݁ න ݁௫ ݀ݔ=ଵ
଴
)݂න ݔ.݁ି௫మ ݀ݔ=ଵ
଴
݃) න 1
ݔ
݀ݔ=ହ
ଵ
ℎ) න 2ݔ
ݔଶ + 1 ݀ݔ=ଵ଴
ସ
)݅ න (4ݔଶ + 1)ଶ.ݔ݀ݔ=ଵ
଴
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)݆ න √ݔଽ
଴
݀ݔ=
Estoque Diário Médio
Se I(t) é a quantidade de um produto que uma empresa tem no dia t, então I(t) é chamado de
Função Estoque. O valor médio de I ao longo de um intervalo de tempo [ 0, t ] é chamado de
Estoque Diário Médio da empresa para o período. Temos:
௠ܸ (ܫ) = 1
ݐ
න ܫ(ݐ)݀ݐ௧
଴
Ex: Como atacadista, a empresa A recebe um carregamento de 1200 caixas de barras de
chocolate a cada 30 dias. A empresa vende o chocolate para varejistas a uma taxa fixa e t dias
depois que um carregamento chega, seu estoque de caixas disponíveis é ܫ(ݐ) = 1200 − 40ݐ. Qual é
o estoque diário médio da empresa para 30 dias? Qual será o custo diário de estocagem se o custo
de estocagem de uma caixa for de 0,03 centavos por dia?
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Aula 5 – data:__________________
INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS:
Funções Racionais são funções da forma ஺(௫)
஻(௫) , onde A(x) e B(x) são polinômios, com B(x) ≠ 0.
Queremos resolver integrais do tipo ∫ ஺(௫)
஻(௫)݀ݔ .
OBS: Se o grau de A(x) for maior ou igual ao grau de B(x), dividimos A(x) por B(x),
encontrando o quociente Q(x) e o resto R(x).
න
ܣ(ݔ)
ܤ(ݔ)݀ݔ= න ൬ܳ (ݔ) + ܴ(ݔ)ܤ(ݔ)൰݀ݔ
A técnica consiste em decompor a fração em uma soma de frações parciais, que são frações
mais simples.
Em primeiro lugar, é necessário expressar o denominador da fração como um produto de
fatores lineares e/ou quadráticos irredutíveis. Dependendo da natureza desses fatores, as frações
parciais serão de um tipo diferente:
 Fator linear distinto: ܽݔ+ ܾ → ܣ
ܽݔ+ ܾൗ onde A é uma constante a ser determinada.
 Fator linear repetido: (ܽݔ+ )ܾ௡ → ܣଵ
ܽݔ+ ܾൗ , ܣଶ (ܽݔ+ )ܾଶൗ , … , ܣ௡ (ܽݔ+ )ܾ௡ൗ , onde A1
, A2, ..., Na são constantes a serem determinadas.
 Fator quadrático distinto: ܽݔଶ + ܾݔ+ ܿ → (ܣݔ+ ܤ) (ܽݔଶ + ܾݔ+ )ܿ൘ , onde A e B são
constantes a serem determinadas.
 Fator quadrático repetido:(ܽݔଶ + ܾݔ+ )ܿ௡ → (ܣଵݔ+ ܤଵ) (ܽݔଶ + ܾݔ+ )ܿ൘ , … , (ܣ௡ݔ+ ܤ௡) (ܽݔଶ + ܾݔ+ )ܿ௡൘ , onde Ai
e Bi são constantes a serem determinadas.
Exemplos:)ܽන (ݔ+ 3)(ݔଶ + 3ݔ+ 2)݀ݔ=
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)ܾන 2(ݔଶ− 4)݀ݔ=
)ܿන 2ݔ(ݔଶ− 4)݀ݔ=
݀)න 4ݔ+ 2(ݔଶ− 1) ݀ݔ=
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)݁න ݔ3ݔ+ 2݀ݔ=
)݂න ݔ+ 1(ݔଶ + 5ݔ+ 6)݀ݔ=
݃)න ݔ− 2(ݔଷ− 3ݔଶ− ݔ+ 3)݀ݔ=
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ℎ)න 2ݔଷ(ݔଶ + ݔ)݀ݔ=
)݅න 2ݔ− 1(ݔଶ− 4ݔ+ 3)݀ݔ=
)݆න ݀ݔ(ݔଷ + 5ݔଶ + 4ݔ) =
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)݇න (4ݔ− 2)(ݔଷ− ݔଶ− 2ݔ)݀ݔ=
)݈න 4ݔଷ + 2ݔଶ + 1(4ݔଷ− ݔ) ݀ݔ=
݉ )න (4ݔଶ + 6)(ݔଶ + 3ݔ)݀ݔ=
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Aula 6 – data:__________________
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Quando uma expressão envolvendo produtos ou logaritmos não pode ser calculada diretamente
usando-se formas-padrões, uma das técnicas mais usadas para transformá-la numa forma-padrão é
a fórmula de integração por partes. Esta fórmula é baseada na inversa da fórmula para a derivação
de um produto.
Se u e v são funções de x, então com base na fórmula da derivação de um produto,
݀
݀ݔ
(ݑݒ) = ݑ ݀ݒ
݀ݔ
+ ݒ ݀ݑ
݀ݔ
݋ݑ ݑ
݀ݒ
݀ݔ
= ݀
݀ݔ
(ݑݒ) − ݒ ݀ݑ
݀ݔ
e integrando com relação a x, temos:
∫ݑ݀ݒ= ݑݒ− ∫ݒ݀ݑ
Esta é a fórmula da integração por partes. A utilidade desta fórmula depende da escolha
apropriada de u e dv, de modo que  duv e  dv possam ser calculadas, mesmo que  dvu não
possa ser.
Infelizmente, não existe regra geral para separar uma dada expressão em dois fatores u e dv, de
modo que a fórmula de integração por partes possa ser aplicada. Entretanto, observe que
1. dx é sempre parte de dv.
2. dv deve ser integrável.
3. Quando a expressão a ser integrada é igual ao produto de duas funções, usualmente é a-
conselhável escolher a que parece mais complicada, supondo-se que ela possa ser integrada como
partede dv, de modo a tornar  duv tão facilmente integrável quanto possível.
Pode ser necessário aplicar a fórmula de integração por partes mais de uma vez.
Exemplos:
Calcule as seguintes integrais:
a) ∫ݔ.݁ଶ௫ ݀ݔ=
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b) ∫ݔ.݁ି௫ ݀ݔ=
c) ∫ݔ.݁ିଶ௫ ݀ݔ=
d) ∫ݔ.݁ଷ௫ ݀ݔ=
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e) ∫ݔଶ.݁ଶ௫ ݀ݔ=
f) ∫ݔଶ.݁ିଶ௫ ݀ݔ=
g) ∫ݔଶ.݁ଷ௫ ݀ݔ=
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Aula 7 – data:__________________
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Integrais Imprórias são integrais do tipo ∫ (݂ݔ)݀ݔ௕
ି∞
, ∫ (݂ݔ)݀ݔା∞
௔
e ∫ (݂ݔ)݀ݔା∞
ି∞
. Para resolvê-
las, nós faremos:
න (݂ݔ)݀ݔ௕
ି∞
= lim
௔→ି∞
න (݂ݔ)݀ݔ௕
௔
න (݂ݔ)݀ݔା∞
௔
= lim
௕→ା∞
න (݂ݔ)݀ݔ௕
௔
න (݂ݔ)݀ݔା∞
ି∞
= lim
௔→∞
න (݂ݔ)݀ݔ௔
ି௔
Se os limites em questão tenderem a +∞ ݋ݑ− ∞, então a integral diverge, o que quer dizer
que a área representada pela integral tende a infinito. Caso contrário, a integral converge para o
valor encontrado como resultado do limite, valor esse que representa a área procurada.
Exercícios: Calcule os valores das integrais a seguir, verificando se convergem ou divergem.)ܽ න 1
ݔ
݀ݔ=ା∞
ଵ
)ܾ න 1
√ݔ
݀ݔ=ା∞
ଶ
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)ܿ න ݁ିଵ଴௫݀ݔ=ା∞
଴
݀) න 1
ݔ
య
మ
ା∞
ଵ
݀ݔ=
)݁ න 1
√ݔ+ 5݀ݔ=ା∞ଶ
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Aula 8 – data:__________________
INTEGRAL DEFINIDA APLICADA À ECONOMIA
A integral definida tem várias aplicações na Economia, tais como Excedente do Consumidor,
Excedente do Produtor e o cálculo de uma probabilidade como uma área sob o gráfico de uma
função.
1. Excedente do Consumidor
O preço p que o consumidor está disposto a pagar é uma função da quantidade q a ser
comprada, ou seja, p = f(q), e pela lei de demanda, quanto menor o preço, maior a quantidade a ser
comprada (demandada).
Se o preço de mercado é p0 e a correspondente demanda de mercado é q0, então os
consumidores que estariam dispostos a pagar mais do que este preço de mercado ganham pelo fato
de que o preço é apenas p0. A diferença entre o valor que os consumidores estariam dispostos a
pagar e o valor efetivamente pago é chamada Excedente do Consumidor.(ܧܿݔ ݁݀ ݁݊ ݁ݐ ݀݋ ݋ܿ݊ ݏݑ݉ ݅݀ ݋ݎ) = ൬ܽݒ ݋݈ݎݍݑ݁݋ݏ ݋ܿ݊ ݏݑ݉ ݅݀ ݋݁ݎ ݏ
݁ݏݐã݋݀ ݅ݏ݌݋ݏݐ݋ݏܽ݃ܽݏܽݐ ݎ ൰− ൬
ܽݒ ݋݈ݎ݁ݎ ݈ܽ݃ܽݏݐ݋
݌݈݁݋ݏ ݋ܿ݊ ݏݑ݉ ݅݀ ݋݁ݎ ݏ
൰
p
p0 p = f(q)
q0 q
O Excedente do Consumidor é representado pela área assinalada no gráfico, ou seja, pela
expressão:
ܧ.ܥ. = න ( (݂ݍ) − ݌଴)௤బ
଴
݀ݍ
Exemplo: Determine o Excedente do Consumidor de uma mercadoria cujo preço é R$ 10,00 e cuja
demanda é descrita pela função p = 40 - 2q
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2. Excedente do Produtor
A oferta depende do preço, e quanto maior o preço, maior o interesse do produtor em vender
seu produto. Entretanto, existe um preço praticado no mercado (p0) e, se o produtor estiver disposto
a vender seu produto a um preço inferior ao de mercado, obterá um excedente caso venda o produto
pelo preço de mercado. Tal excedente é conhecido como Excedente do Produtor.
(ܧܿݔ ݁݀ ݁݊ ݁ݐ ݀݋݌ݎ݋݀ ݑݐ݋ݎ) = ൬ ܽݒ ݋݈ݎ݁ݎ ܽ ݋݈ܾ ݅ݐ݀݋݊ܽ
݁ݒ ݊݀ܽ݌݈݁݋ݏ݌ݎ݋݀ ݑݐ݋݁ݎ ݏ
൰− ൮
ܽݒ ݋݈ݎ݉ í݊݅݉ ݋ݍݑ݁݋ݏ
݌ݎ݋݀ ݑݐ݋݁ݎ ݏ ݁ݏݐã݋
݀ ݅ݏ݌݋ݏݐ݋ݏܽ ݁ݎ ܿ݁ ܾ݁ ݎ
݊ܽ ݁ݒ ݊݀ܽ
൲
Supondo-se que a função de oferta é dada por p = f(q) e que o preço da mercadoria está
fixado em p0, o Excedente do Produtor é representado pela área hachurada do gráfico abaixo:
p p = f(q)
p0
qo q
ܧ.ܲ. = න (݌଴− (݂ݍ))௤బ
଴
݀ݍ
Exemplo: Determine o Excedente do Produtor sendo o preço atual de uma mercadoria R$ 50,00 e a
função de oferta p = 2q + 10.
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Exercício: A quantidade demandada e o preço correspondente, sob condições de concorrência
perfeita, são determinados pelas funções de demanda e de oferta ݕ= 36 − ݔଶ e ݕ= 6 + ݔଶ 4ൗ ,
respectivamente. Determine os correspondentes Excedente do Consumidor e Excedente do
Produtor.
3. Probabilidade
Pode-se calcular a probabilidade de um evento ocorrer pela determinação da área sob a
curva de uma função chamada Função Densidade de Probabilidade desse evento.
Seja y = f(x) a função Densidade de Probabilidade. Temos:
ܫ) (݂ݔ) ≥ 0
ܫܫ) න (݂ݔ)݀ݔ= 1ା∞
ି∞
ܫܫܫ)න (݂ݔ)݀ݔ= ܲ(ܽ< ݔ< )ܾ௕
௔
Exemplo: Uma montadora de máquinas determinou o prazo de durabilidade das máquinas a fim de
estabelecer uma garantia de fábrica. A probabilidade de uma máquina ter durabilidade x foi
determinada pela função de Densidade de Probabilidade ݕ= −12ݔଷ + 12ݔଶ. Determine a
probabilidade de uma máquina durar até 50% desse prazo e qual a probabilidade de durar mais de
50% desse prazo.
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Aula 9 – data:__________________
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Até agora, nosso estudo de cálculo se restringiu a funções de uma variável. Em várias
situações práticas, no entanto, a formulação de um problema resulta de um modelo matemático que
envolve uma função de duas ou mais variáveis. Por exemplo:
Ex1: Suponha uma firma que comercialize dois produtos A e B, em regime de competição pura.
Neste caso, os preços dos produtos são fixos e determinados pelo mercado. Se os preços dos
produtos A e B forem respectivamente iguais a R$ 12,00 e R$ 7,00, a receita da firma
correspondente à venda destes produtos será dada por:
ܴ = 12ݍଵ + 7ݍଶ
onde q1 e q2 são as quantidades vendidas dos referidos bens.
Por outro lado, o custo relativo à produção destes dois bens pode ser dado em função das
quantidades produzidas q1 e q2 , como, por exemplo, pela função de duas variáveis:
ܥ = ݍଵଶ + 0,25ݍଵݍଶ + 0,5ݍଶଶ + 10
Em conseqüência, o lucro da firma pode ser estabelecido com base nas quantidades q1 e q2,
produzidas e comercializadas.
ܮ= ܴ − ܿ
ܮ= 12ݍଵ + 7ݍଶ− (ݍଵଶ + 0,25ݍଵݍଶ + 0,5ݍଶଶ + 10)
ܮ= 12ݍଵ + 7ݍଶ− ݍଵଶ− 0,25ݍଵݍଶ− 0,5ݍଶଶ− 10
Ex2: Suponha agora que a firma comercialize os bens A e B em regime de monopólio. Neste caso,
as quantidades demandadas dependem dos preços estabelecidos. Suponhamos que as funções de
demanda dos produtos sejam dadas por:
ܣ: ݍଵ = 50 − 0,2݌ଵ + 0,6݌ଶ
ܤ: ݍଶ = 100 + ݌ଵ− 0,5݌ଶ
A receita pela venda dos produtos é dada por:
ܴ = ݌ଵ.ݍଵ + ݌ଶ.ݍଶ
Resolvendo o sistema ൜ݍଵ− 50 = −0,2݌ଵ + 0,6݌ଶ
ݍଶ− 100 = ݌ଵ− 0,5݌ଶ �, obtemos:
݌ଵ = ݍଵ + 1,2ݍଶ− 170 ݁݌ଶ = 2ݍଵ + 0,4ݍଶ− 140
Portanto: ܴ = (ݍଵ + 1,2ݍଶ− 170)ݍଵ + (2ݍଵ + 0,4ݍଶ− 140)ݍଶ
ܴ = ݍଵଶ + 3,2ݍଶݍଵ− 170ݍଵ + 0,4ݍଶଶ− 140ݍଶ
Seja o custo: ܥ = ݍଵଶ + 0,25ݍଵݍଶ + 0,52ݍଶଶ + 10
O lucro, então, será: ܮ= ܴ − ܥ = −0,1ݍଶଶ + 2,95ݍଵݍଶ− 170ݍଵ− 140ݍଶ− 10
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Ex3: Sejam pv e pf os preços por kg respectivamente das carnes de vaca e de frango. A quantidade
de carne de vaca procurada por uma família em determinado período pode ser expressa como
função das variáveis pv e pf.
ݍ௩ = 20 − 0,5݌௩ + 0,2݌௙
Essa função de demanda nos permite observar que , quando cresce o preço pv da carne de
vaca, diminui o consumo correspondente. Entretanto, um aumento no preço pf da carne de frango
provoca aumento no consumo da carne de vaca, por substituição.
Exercícios:
1) Determine a função Receita de uma firma, em cada um dos seguintes casos:
a) A firma vende três produtos de quantidades x, y e w pelos preços fixos de 10, 15 e 20,
respectivamente.
b) A firma vende dois produtos de quantidades x e y, cujas funções de Demanda são ݌௫ = −ݔ− ݕ++30 ݁݌௬ = −ݔ− 2ݕ+ 40
c) A firma vende dois produtos de quantidades q1 e q2, cujas funções de Demanda são ݍଵ = −2݌ଵ +
݌ଶ + +20 ݁ݍଶ = 2݌ଵ− 3݌ଶ + +20
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2) Uma empresa compra dois insumos de quantidades x e y pelos preços de 10 e 8,
respectivamente.
a) Determine a função Custo Total dessa empresa, sabendo que o Custo Fixo é 10.
b) Sabendo que a funçãoProdução dessa empresa é ݖ= 2ݔ+ 5ݕ− ௫మାଷ௬మ
ଵ଴
, onde z é a quantidade
do produto acabado, que é vendido por 10, determine a função Receita da empresa, na forma R =
f(x, y).
c) Determine a função Lucro da empresa.
3) Sejam ݌ଵ = 10 − 2ݔ݁݌ଶ = 20 − 4ݕ as funções Demanda para dois produtos, de quantidades x e
y, que são comercializados pela mesma empresa.
a) Determine a função Receita da empresa.
b) Determine a receita para x = 3 e y = 2.
c) Determine a receita quando os preços são p1= 8 e p2= 4.
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Aula 10 – data:__________________
DIFERENCIAÇÃO PARCIAL
Considere a função z de duas variáveis independentes x e y, ݖ= (݂ݔ,ݕ). Se y é mantida
constante, z é uma função somente de x e a derivada de z com relação à x pode ser calculada. A
derivada obtida desta forma é a derivada parcial de z em relação à x e é denotada por డ௭
డ௫
݋ݑ
డ௙
డ௫
.
Analogamente, se x é mantida constante, a derivada parcial com relação a y pode ser
calculada e é denotada por డ௭
డ௬
݋ݑ
డ௙
డ௬
.
Ex1: Para cada uma das funções abaixo, determine డ௭
డ௫
e డ௭
డ௬
a) ݖ= 2ݔଶ + 3ݔݕ− 6ݕଶ
b) ݖ= ݔݕ+ ݈݊ ݔ
c) ݖ= ݔଷ− ݕଷ
ݔݕ
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݀) ݖ= (4ݔ+ 3ݕ− 5)଼
)݁ ݖ= ݁௫௬మ
)݂ ݖ= 3ݔଶ + 2ݔݕ+ 5ݕ
APLICAÇÕES ECONÔMICAS
Funções Marginais
Assim como nas funções de uma variável, as funções marginais podem ser obtidas por derivação
(parcial) das funções de mais de uma variável. Se, por exemplo, ܥ = (݂ݔ,ݕ) é uma função que descreve o
custo conjunto para dois produtos de quantidades x e y, as funções Custo Marginal são dadas pelas
derivadas డ஼
డ௫
݁
డ஼
డ௬
, respectivamente em relação a x e a y.
Sem muito rigor, pode-se afirmar que o Custo Marginal em relação a x proporciona aproximadamente
a variação do custo quando x varia de uma unidade, e analogamente o Custo Marginal em relação a y
proporciona aproximadamente a variação do custo quando y varia de uma unidade.
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Demandas Marginais
Se as funções de demanda para dois bens relacionados são ݔ= (݂݌,ݍ) ݁ ݕ= ݃(݌,ݍ) então as
derivadas parciais de x e y são as funções de demanda marginal:
డ௫
డ௣
é a demanda marginal de x com relação a p.
డ௫
డ௤
é a demanda marginal de x com relação a q.
డ௬
డ௣
é a demanda marginal de y com relação a p.
డ௬
డ௤
é a demanda marginal de y com relação a q.
Para as funções de demanda usuais, x cresce se o seu preço correspondente diminuir, e y cresce se o
seu preço correspondente diminuir. Portanto, డ௫
డ௣
e డ௬
డ௤
são negativos para todos os valores economicamente
significativos de p e q.
Se డ௫
డ௤
e డ௬
డ௣
são ambas negativas para um dado (p, q), os bens são complementares, pois um
decréscimo em qualquer um dos preços corresponde a acréscimos em ambas as demandas. Se డ௫
డ௤
e డ௬
డ௣
são
ambas positivas para um dado (p, q), os bens são concorrentes, pois um decréscimo em qualquer um dos
preços corresponde a um acréscimo em uma demanda e a um decréscimo na outra.
Exercícios:
1) Seja ݕ= 30− 0,2݌ଵ− 0,3݌ଶ, a demanda de um produto A em função do seu preço p1 e do preço p2 de outro
produto B.
a) Calcular a demanda marginal do produto A em relação a seu preço e interpretar o resultado.
b) Calcular a demanda marginal do produto A em relação ao preço de B e interpretar o resultado.
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2) Calcular as demandas parciais de x em relação a p e q e de y em relação a p e q nos casos seguintes, em
que x e y representam as quantidades demandadas de dois bens de preços p e q.)ܽ ݔ= 40− 5݌− 2ݍ ݁ ݕ= 14− 3݌− 4ݍ
)ܾ ݔ= 12− 2݌+ ݍ ݁ݕ= 6 + 3݌− 3ݍ
3) Seja ܥ = ݔଶ + ݕଶ + 20 a função Custo conjunto para dois bens de quantidades x e y. Determine os custos
marginais em relação a x e a y.
4) Sejam ݌௫ = 27− ݔ− 2ݕ ݁ ݌௬ = 22− 3ݔ− ݕ as funções Demanda para dois produtos de quantidades x e y.
a) Determine a função Receita e as funções Receita Marginal em relação a x e em relação a y.
b) Se ܥ = 2ݔଶ + ݕଶ é a função Custo associada, determine a função Lucro e as funções Lucro Marginal.
5) Se ݖ= (ݔଶ + ݕଶ)ଷ ଶൗ , calcule:
)ܽ ߲ݖ
߲ݔ
=
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)ܾ ߲ݖ
߲ݕ
=
)ܿ ߲ݖ
߲߲ݔ ݕ
=
݀) ߲ݖ
߲߲ݕ ݔ
=
6) Para cada um dos seguintes pares de funções de demanda, determine as quatro demandas marginais e a
natureza da relação entre os dois bens. As quantidades são denotadas por x e y e os preços correspondentes
por p e q.)ܽ ݔ= 20− 2݌− 2ݍ ݁ ݕ= 9− ݌− 2ݍ
)ܾ ݔ= 15− 2݌+ ݍ ݁ ݕ= 16 + ݌− ݍ
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LISTAS
DE
EXERCÍCIOS
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Lista 1 - Revisão
1) Um supermercado determina que seu volume diário de negócios V (em milhares de dólares) e
o número de horas t que a loja permanece aberta em cada dia estão, de forma aproximada,
relacionados pela fórmula 






 2100
100120
t
V , 240  t . Encontre
10tdt
dV .
2) Suponha que uma companhia considere que o faturamento gerado, quando são gastos x
dólares em propaganda, seja dado por 202,0801000 xxR  , para 20000  x . Encontre
1500xdx
dR .
3) Um fabricante estima que a cada hora o custo para produzir x unidades de um produto em
uma linha de montagem é 20013661,0)( 23  xxxxC dólares. Encontre o custo marginal
quando o nível de produção atinge 20 unidades.
4) A equação de demanda de um certo produto é p = 6 – 0,5x dólares, onde p é o preço e x é a
quantidade. Encontre o nível de produção que resulta no faturamento máximo.
5) Suponha que a equação de demanda de um monopolista seja p = 100 – 0,01x e que a função
custo seja C(x) = 50x + 10000. Encontre o valor de x que maximiza o lucro e determine o
preço correspondente e o lucro total para este nível de produção.
6) Suponha que a função custo total seja 1001206,00001,0)( 23  xxxxC . O custo marginal
está aumentando, diminuindo ou não está variando quando x = 100? Encontre o custo
marginal mínimo.
7) A função faturamento de um produto particular é R(x) = x (4 – 0,0001x). Encontre o maior
faturamento possível.
8) Uma firma que produz um único produto estima que sua função custo diário (em unidades
apropriadas) é 15136)( 23  xxxxC , e a sua função faturamento é R(x)= 28x. Encontre o
valor de x que maximiza o lucro diário.
Respostas:
1) 1 2) 20 3) $16,00 4) x = 6
5) 2500 unidades a $75,00 por unidade. Lucro de $52500,00.
6) Diminuindo. Custo marginal mínimo = 0.
7) $40000,00
8) 5
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Lista 2 - Integral.
1) Calcular as seguintes integrais:
 
  
 
 
 
   






































dx
x
xq
dxxp
dxxxxo
dxxn
dx
xx
xm
dx
x
l
dxeej
dxei
dx
x
xxh
dxxg
dxxxf
dxxxe
dxxxd
dx
xx
xc
dxxxb
dxa
xx
x
1
2)
1)
323)
2)
3
32)
1
1)
2)
)
143)
43)
1223)
)()
)
)1011()
)1064()
2)
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
23
2) Seja 40163 2  qqCm a função Custo Marginal para certo produto. Determine a função
Custo Total para esse produto, sabendo que o custo fixo é 50.
3) Determine a primitiva F(x) da função  22)( xxxf  , sabendo que F(1) = 1.
4) Determine a função cujo gráfico passa no ponto (1, 2) e cuja derivada é 42´  xy .
5) Determine a equação da curva que passa pelos pontos (0, 9) e (-1, 8), sabendo que sua
derivada de segunda ordem é 212´´ xy .
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Respostas:
1) a) 2x + k
b) ݔସ− 2ݔଷ + 10ݔ+ ݇
c) −݁ି௫ + 2݁௫ + ݇
d) ௘
మೣ
ଶ
+ ݇
e) ௫
య
ଷ
+ ݈݊ |ݔ|− ଵ
௫
+ 10ݔ+ ݇
f) ଶ௫√௫
ଷ
+ ଷ௫ √௫య
ସ
+ ݇
g) ଶ௫
మ
√௫
ହ
+ ݇
h) 2ݔଷ + ௫మ
ଶ
− 2ݔ+ ݇
i) 3ݔଷ + 12ݔଶ + 16ݔ+ ݇
j) ଷ௫
మ
ଶ
+ 4ݔ− ݈݊ |ݔ| + ݇
l) ݈݊ |ݔ+ 1| + ݇
m) ݈݊ ݔଶ + 3ݔ+ ݇
n) (௫ାଶ)ర
ସ
+ ݇
o) ൫௫
మାଷ௫൯
మ
ଶ
+ ݇
p) ଶ(௫ାଵ)√௫ାଵା௞
ଷ
q) 2√ݔଶ + 1 + ݇
2) ܥ் = ݍଷ− 8ݍଶ + 40ݍ+ 50
3) ܨ(ݔ) = ௫ఱ
ହ
+ ௫ర
ଶ
+ ௫య
ଷ
−
ଵ
ଷ଴
4) ݕ= ݔଶ− 4ݔ+ 5
5) ݕ= ݔସ + 2ݔ+ 9
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Lista 3 – Integral1) න 10݀ݔ=
2) න ݀ݔ=
3) න 49݀ݔ=4) න √2 ݀ݔ ݔ=
5) න (3ݔ+ 0,4)݀ݔ=
6) න (1− ݔ)݀ݔ=
7) න (ݔସ− ݔଷ + 1)݀ݔ=
8) න ൬13ݔଷ− 25ݔଶ + 4ݔ+ 1൰݀ݔ=9) න ݔଽହ݀ݔ=
10) න ݔିଷ଼݀ݔ=
11)න ݔ଴,଻݀ݔ=
12) න √ݔఱ ݀ݔ=
13) න ൬12√ݔ+ 38ݔ଴,ଵ൰݀ݔ=14) න ݁ିଵ଴௫݀ݔ=
15) න (ݔ+ ݁ିଶ௫)݀ݔ=
16)න (݁௫ + ݁ିସ௫)݀ݔ=
17) න 4
݁ିଷ௫
݀ݔ=
18) න ݁ି(௫ି )଼య. (ݔ− 8)ଶ ݀ݔ=
19) න 2ݔ
ݔଶ− 10݀ݔ=20) න 2ݔ15 − 0,3ݔଶ݀ݔ=
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21) න (4ݔଶ− 10)ଽ݀ݔ=
22) න ቀݔඥ1− 3ݔଶ ቁ݀ݔ=
23) න൫√ݔయ + 5ݔ(1− ݔଶ)଺൯݀ݔ=
24) න (ݔଵ଴− ݔହ + 4)ଷ (2ݔଽ− ݔସ)݀ݔ=
GABARITO:
1) 10x + c
2) x + c
3) ଶ
ଽ
ݔଶ + ܿ
4) √ଶ
ଶ
ݔଶ + ܿ
5) ଷ
ଶ
ݔଶ + +0,4ݔ+ ܿ
6) ݔ− ௫
మ
ଶ
+ ܿ
7) ௫
ఱ
ହ
−
௫ర
ସ
+ ݔ+ ܿ
8) ଵ
ଵଶ
ݔସ−
ଶ
ଵହ
ݔଷ + 2ݔଶ + ݔ+ ܿ
9) ହ
ଵସ
ݔଵସ/ହ + ܿ
10) ଼
ହ
ݔ
ఱ
ఴ + ܿ
11) ଵ଴
ଵ଻
ݔଵ,଻ + ܿ
12) ହ
଺
ݔ√ݔ
ఱ + ܿ
13) ଵ
ଷ
ݔ√ݔ+ ଵହ
ସସ
ݔଵ,ଵ + ܿ
14) − ଵ
ଵ଴
݁ିଵ଴௫ + ܿ
15) ௫
మ
ଶ
−
ଵ
ଶ
݁ିଶ௫ + ܿ
16) − ଵ
ସ
݁ିସ௫ + ݁௫ + ܿ
17) ସ
ଷ
݁ଷ௫ + ܿ
18) − ଵ
ଷ
݁ି
(௫ି )଼య + ܿ
19) ݈݊ |ݔଶ− 10| + ܿ
20) − ଵ଴
ଷ
݈݊ |15 − 0,3ݔଶ| + ܿ
21) ଵ
଼଴
(4ݔଶ− 10)ଵ଴ + ܿ
22) − ଵ
ଽ
(1− 3ݔଶ)√1− 3ݔଶ + ܿ
23) ଷ
ସ
ݔ√ݔ
య
−
ହ
ଵସ
(1− ݔଶ)଻ + ܿ
24) ଵ
ଶ଴
(ݔଵ଴− ݔହ + 4)ସ + ܿ
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Lista 4 – Integral Definida.
Calcular as integrais:1) න 4 ݀ݔ=ଵ଴
ଵ2) න 12݀ݔ=ଵ
଴3) න ݔଶ݀ݔ=ଵ
ିଵ4) න ݔଷ݀ݔ=଴
ିଵ5)න (ݔଶ + 3)݀ݔ=ଶ
଴6) න ݔଶ݀ݔ=ଵ
ିଵ7)න ݁ି௫݀ݔ=ଵ଴
଴8) න ݁ସ௫݀ݔ=ଶ
ଵ9) න 4
ݔ+ 4݀ݔ=ହ
଴10) න 4
ݔଶ + 4݀ݔ=ଵ
଴11) න ݔ.݁ି௫݀ݔ=ଵ
଴12) න √ݔ݀ݔ=ଵ଺
ଵ13) න ݈݊ ݔ݀ݔ=ଵ଴
ଵ14) න 1
ݔ
݀ݔ=଼
ଵ15)න (ݔସ− 1)ଷ.ݔଷ݀ݔ=ଶ
଴16)න ݔଶ.݁ି௫య݀ݔ=ଵ
଴17)න ݔඥݔଶ + 1 ݀ݔ=ଵ
ିଵ
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18) න ݈݊ ݔ2ݔଶ
ଵ
݀ݔ=
19) න ݔ.݁ି௫మ/ଶ݀ݔ=ଵ
଴
GABARITO:
1) 36
2) ¼
3) 2/3
4) -1/4
5) 26/3
6) 43/12
7) 1− ݁ିଵ଴
8) ଵ
ସ
(଼݁− ݁ସ)
9) 4 lnቀଽ
ସ
ቁ
10) ଵ
ଶ
lnቀହ
ସ
ቁ
11) −2݁ିଵ + 1
12) 42
13) 10 ln 10 – 9
14) ln 8
15) ଵ
ଵ଺
( 15ସ− 1)
16) ଵ
ଷ
ቀ1 − ଵ
௘
ቁ
17) 0
18) 7/(3ln2)
19) ଵ
ସ
(݈݊ 2)ଶ
20) 1 − ଵ
√௘
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Lista 5
Calcule a área sombreada das figuras seguintes:
1)
2)
3)
4) Se a curva de rendimento marginal é dada por
rendimento total e médio.
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Calcule a área sombreada das figuras seguintes:
Se a curva de rendimento marginal é dada por RM= 50 – 0,2x, determi
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0,2x, determinar as curvas de
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5) Se a curva de custo marginal é dada por CM= 3x2 – 5x+ 10, determinar o custo total e o custo
médio sabendo que o custo fixo associado é 20.
6) Determinar y(x) sabendo que
dx
dy = x3 + 4x e que y (0) = 1.
7) Determinar a solução geral da equação
dx
dy + x = ex + 5.
8) Um monopolista tem a seguinte curva de rendimento marginal: RM= 1000 – 10x. Determinar
as curvas de rendimento total e médio.
9) Se CM =
bax
a

é a função de custo marginal e o custo fixo é 2, determinar o custo total
como função de x.
RESPOSTAS:
1. 5ln
2
1
A
2. 3
2ln
7
A
3. A = 18
4. 21,050 xxRT  e xRM 1,050 
5. 20105,2 23  xxxCT e x
xxCM
20105,22 
6. 12
4
)( 2
4
 xxxy
7. cxxey x  5
2
2
8. R = 1000x – 5x2 Rm= 1000 -5x 9. bbaxtC 222)( 
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Lista 6 .
1) Calcule as seguintes integrais definidas:
 










dx
x
xd
dx
e
ec
dxxxb
dxxxa
x
x
1
0
2
1
0
2
0
334
4
1
1
)
1)
.1)
)
2) Calcule as áreas das regiões assinaladas:
Respostas: 1) a) 12,4 b) 50624/16
2) a) 12 b) 6 c) e – 1
f) 36 g) 12 h) ln3
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Calcule as seguintes integrais definidas:
es assinaladas:
b) 50624/16 c) 1/e d) (ln2)/2
d) e – 2 e) 128/3
i) 1
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Lista 7.
1. Calcule as integrais seguintes, pelo método de substituição de variáveis:)ܽ න (ݔସ + 1)ହݔଷ݀ݔ=
)ܾ න ݀ݔ ݔ
ݔ+ 5 =)ܿන ݔ
ݔଶ + 1ଵ
଴
݀ݔ=
݀) න ݔඥ1 − ݔଶ ݀ݔ=
)݁ න 3݀ݔ ݔ(ݔ− 4)ଶ =)݂ න 3ݔ
√ݔଶ− 3ଷଶ ݀ݔ=
݃) න (݁௫ + 1)ଶ݁௫݀ݔ=
ℎ) න ݁௫݀ݔ1− ݁௫ =)݅ න 3ݔଶ + 2ݔ
ݔଷ + ݔଶ ݀ݔଶ
ଵ
=
2. Calcule as integrais seguintes pelo método de integração por partes:)ܽ න (ݔ+ 1) ݈݊ ݔ݀ݔ=
)ܾන ݈݊ ݔ√ݔ݀ݔ=
)ܿ න ݔ√1 + ݔ݀ݔ=
݀) න ݁௫(ݔ+ 1) =
)݁ න ݔ݁ି௫ ݀ݔ=ଵ
଴)݂ න ݈݊ ݔ
√ݔ
݀ݔ=
݃)න ݔ݈݊ ݔ݀ݔ=ଶ
ଵ
ℎ) න ݈݊ ݔ2ݔ ݀ݔ=)݅ න ݔ(݁௫ + 1)݀ݔ=
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3. Calcule as integrais das funções Racionais seguintes, decompondo-as em frações parciais:)ܽ න (ݔ+ 3)݀ݔ
ݔଶ + 3ݔ+ 2 =)ܾ න 2 ݀ݔ
ݔଶ− 1 =)ܿ න (ݔଶ + ݔ)݀ݔ
ݔ− 1 =
݀) න ݀ݔ
ݔ(ݔ− 1)ଶ =)݁න ݔଷ− 1
ݔ− 1ଷ
ଶ
݀ݔ=
)݂ න 4 ݀ݔ
ݔଶ− 4 =
4. Calcule as áreas das regiões assinaladas limitadas pelas curvas das funções dadas a seguir:)ܽ ݕ= ݔ
ݔଶ + 1
)ܾ ݕ= ݔ݁௫
RESPOSTAS:)ܽ 124 (ݔସ + 1)଺ + ݇)ܾ ݔ+ 5 − 5݈݊ |ݔ+ 5| + ݇)ܿ ݈݊ 22
݀) − ඥ(1− ݔଶ)ଷ3 + ݇
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)݁ 3݈݊ |ݔ− 4| − 12
ݔ− 4 + ݇)݂ 3√6− 3
݃) (݁௫ + 1)ଷ3 + ݇
ℎ) − ݈݊ |1− ݁௫| + ݇)݅ ݈݊ 12− ݈݊ 2 ≅ 1,792. )ܽ ቆݔଶ2 + ݔቇ ݈݊ ݔ− ݔଶ4 − ݔ+ ݇)ܾ 2√ݔଷ3 ݈݊ ݔ− 4√ݔଷ9 + ݇)ܿ 2ݔඥ(1 + ݔ)ଷ3 − 4ඥ(1 + ݔ)ହ15 + ݇
݀) (1 + ݔ)݁௫ − ݁௫ + ݇)݁ − 2݁ + 1 ≅ 0,3)݂ 2√ݔ݈݊ ݔ− 4√ݔ+ ݇
݃) 4 ݈݊ 2− 1,5 ≅ 1,27
ℎ) 14 ݈݊ ଶݔ+ ݇)݅ ݔ.݁௫ + ݔଶ2 − ݁௫ + ݇3. )ܽ 2݈݊ |ݔ+ 1| − ݈݊ |ݔ+ 2| + ݇)ܾ ݈݊ |ݔ− 1| − ݈݊ |ݔ+ 1| + ݇)ܿ ݔଶ2 + 2ݔ+ 2 ݈݊ |ݔ− 1| + ݇
݀) ݈݊ |ݔ|− ݈݊ |ݔ− 1|− 1
ݔ− 1 + ݇)݁ 596)݂ ݈݊ |ݔ− 2|− ݈݊ |ݔ+ 2| + ݇4. )ܽ ݈݊ 2 )ܾ 1
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Lista 8.
PROBLEMAS
1. Se a função de demanda é y = 39 - x2, ache o excedente do consumidor se: a) x0 = 5/2 . b) se o
bem é gratuito, isto é, se y0 = 0.
2. Se a função de demanda é y = 16 - x2 e a função de oferta é y = 2x + 1, ache o excedente do
consumidor e o excedente do produtor sob condições de concorrência perfeita.
3. Se a função de oferta é 9 xy e x0 = 7, ache o excedente do produtor.
4. Se a função de oferta é y = 4ex/3 e x0 = 3, ache o excedente do produtor.
5. No monopólio, a quantidade vendida e o preço correspondente são determinados pela função de
demanda y = 1/4 . (10 - x)2 e pela função de custo total y = (x3/4) + 5x, de modo que o lucro seja
maximizado. Determine o excedente do consumidor correspondente.
6. No monopólio, a quantidade vendida e o preço correspondente são determinados pela função de
demanda y = 20 - 4x2 e pela função de custo marginal y' = 2x + 6, de modo que o lucro seja
maximizado. Determine o excedente do consumidor correspondente.
7. Se a função de demanda é a parteda hipérbole equilátera y = [8/(x + 1)] - 2, no primeiro
quadrante, e se a curva de oferta é y =1/2. (x + 3), ache o excedente do consumidor e o
excedente do produtor, sob condições de concorrência perfeita.
8. No monopólio, a quantidade vendida e o preço correspondente são determinados pela função de
demanda y = 45 - x2 e a função de custo marginal y' = 6 + (x2/4), de modo que o lucro seja
maximizado. Determine o excedente do consumidor correspondente.
9. As funções de demanda e oferta sob condições de concorrência perfeita são, respectivamente, y
= 14 – x2 e y = 2x2 + 2. Ache o excedente do consumidor e o excedente do produtor.
10.A função de demanda é y = 20 - 3x2 e a função de oferta é y = 2x2. Ache o excedente do
consumidor e o excedente do produtor sob condições de concorrência perfeita.
11.As funções de demanda e oferta, sob condições de concorrência perfeita são, respectivamente,
y = 32 - 2x2 e y =1/ 3 x2 + 2x + 5. Ache o excedente do consumidor e o excedente do produtor.
12. Ache a quantidade produzida que maximiza o lucro e o lucro total correspondente, admitindo
concorrência perfeita, se Rmg = 20 - 2x e Cmg = 4 + (x - 4)2.
13.A função de receita marginal é Rmg = 25 - 3x e a função de custo marginal é Cmg = 25 - 7x + x2.
Ache a quantidade produzida que maximiza o lucro e o lucro total correspondente, sob condições
de concorrência perfeita.
14.Se Rmg = 44 - 9x e Cmg = 20 - 7x + 2x2, ache a quantidade produzida que maximiza o lucro e o
lucro total correspondente, sob condições de concorrência perfeita.
15.Supondo concorrência perfeita, ache a quantidade produzida que maximiza o lucro e o lucro total
correspondente, se Rmg = 24 - 6x - x2 e Cmg = 4 - 2x – x2.
16.Se Rmg = 15 - 5x e Cmg = 10 - 3x + 3x2, ache a quantidade produzida que maximiza o lucro e o
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lucro total correspondente, supondo concorrência perfeita.
GABARITO:
1. a) 10,41 b) 26√39
2. EC = 18, EP = 9
3. 10/3
4. 12
5. 26/3
6. 8/3
7. EC = 1,55, EP = 0,25
8. 16√3
9. 32/3
10. EC = 16, EP = 32/3
11. EC = 36, EP = 15
12. 36
13. 32/3
14. 45
15. 50
16. 3
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Lista 9.
Determinar as derivadas parciais das funções dadas por z =f(x, y), num ponto (x, y).1) ݖ= ݇ (݇= ݋ܿ݊ ݏܽݐ ݊݁ݐ )2) ݖ= ݔ3) ݖ= ݕ4) ݖ= 5ݔ+ 2ݕ5) ݖ= ݔଶ + ݕଶ6) ݖ= 3ݔଶ− 6ݕଶ7) ݖ= ݔଶ + +2ݔݕ+ ݕଶ
8) ݖ= 14ݔସ−25ݕ+ 13ݔଷ
9) ݖ= 25ݔଷ−27ݔଷݕସ + 54ݔସݕଷ10)ݖ= ݔݕ11) ݖ= ݇ݔݕ ( ݇= ݋ܿ݊ ݏܽݐ ݊݁ݐ )12) ݖ= ݔ଴,ହݕି଴,ଶ
13) ݖ= 12ݔ଴,ହݕି଴,ହ
14) ݖ= 14ݔି଴,ସݕ଴,଺15) ݖ= 0,2ݔ଴,଺ݕ଴,ସ16) ݖ= 5ݔଶݕଶ
17) ݖ= ݔ2ݕ
18) ݖ= ݕ
ݔ
19) ݖ= 1
ݔݕ
20) ݖ= 1
ݔଶݕଶ
21) ݖ= ݔଶ
ݕ
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ଶݕ =ݖ )22
ݔ
1 −4 =ݖ )32
ݔ
−
1
)ଶݕ3 −ଶݔ −ݕݔ4(4 =ݖ )42ݕ
ଶଵݕଶଵݔ4 =ݖ )52
ସଷݕସଷݔ2 =ݖ )62
1 +ݔ =ݖ)72
1 +ݕ
ݕ +ݔ =ݖ)82
ݕ −ݔ
ݕ2 + ଶݔ =ݖ )92
ଶݕ + ଶݔ
ݕݔ4 −31 −ݕݔ2 =ݖ)03
ݕ2 + ଶݕଷݔ3 −ݕଶݔ4 =ݖ )23ଶݕݔ2 −ݕ4ݔ2 −ݕݔ3 =ݖ )13
ݕݔ2ݕ +ݔ =ݖ )33
5/2 − ݁ ଶݔ + ଷݔ )8ݕ2 +ݔ2݁ݕ2 +ݔ2 )7ݕ21 −݁ݔ6 )6ݕ2݁ݔ2 )52݁ 5 )41݁ 0 )30݁ 1 )20݁ 0 )1:OTIRABAG
݇ݔ ݁݇ݕ )11ݔ݁ݕ )01ଷݕଷݔ78 −ଶݕସݔ 451 ݁ ଷݕଷݔ5 + ସݕଶݔ76 −ଶݔ56 )9
sedeuG ohniP enaitsirC ªforP
ݕଶݔ01 ݁ ଶݕݔ01 )61଺,଴ିݕ଺,଴ݔ80,0 ݁ସ,଴ݕସ,଴ିݔ21,0 )51ସ,଴ିݕସ,଴ିݔ51,0 ݁ ଺,଴ݕସ,ଵିݔ1,0 −)41ହ,ଵିݕହ,଴ିݔ52,0 − ݁ ହ,଴ିݕହ,଴ିݔ52,0 )31ଶ,ଵିݕହ,଴ݔ2,0 − ݁ ଶ,଴ିݕହ,଴ିݔ21 )21
ଶݕ2ݔ −݁ ݕ21 )71
ݕ −)81
ଶݔ
݁
1
ݔ
1 −)91
ݕଶݔ
−݁
1
ଶݕݔ
2 −)02
ଶݕଷݔ
−݁
2
ଷݕଶݔ
ݔ2 )12
ݕ
ଶݔ–݁
ଶݕ
ଶݕ )22
ଶݔ
݁
ݕ2
ݔ
1 −)32
ଶݔ
݁
1
ଶ/ଵିݕ ଶ/ଵݔ2 ݁ ଶ/ଵݕଶ/ଵିݔ2 )52ݕ42 −ݔ61 ݁ ݔ8 −ݕ61 )42ଶݕ
ସ/ଵିݕସ/ଷݔ23 ݁ସ/ଷݕ ସ/ଵିݔ23 )62
1 )72
ଶ)1 +ݕ(1 +ݔ −݁ 1 +ݕ
ଶ)ݕ −ݔ(ݔ2 ݁ ଶ)ݕ −ݔ(ݕ2 − )82
ଶ)ݕݔ4 −3(/ݔ2 ݁ ଶ)ݕݔ4 −3(/ݕ2 )03ଶ)ଶݕ + ଶݔ(ଶݕ2 −ଶݔݕ2 −ଶݔ2 ݁ ଶ)ଶݕ + ଶݔ(ݕݔ4 −ଶݕݔ2 )92
ଶݕ21 − ݁ ଶݔ21 −)332 +ݕଷݔ6 −ଶݔ4 ݁ ଶݕଶݔ9 −ݕݔ8 )23ଶ)ଶݕݔ2 −ݕ4(ݕଶݔ8 −ݔ8 + ଶݕଶݔ6 ݁ ଶ)ଶݕݔ2 −ݕ4(ݕ8 −ଶݕ21 )13
sedeuG ohniP enaitsirC ªforP