Cálculo I

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Capítulo 1 – Função
Capítulo 1
Funções
	O mundo atual experimenta a cada dia inovações tecnológicas importantes graças às relações funcionais entre variáveis. Podemos destacar vários exemplos tais como: a função que relaciona voltagem e corrente numa placa de computador ou a relação funcional entre o saldo devedor e a taxa num financiamento de um carro ou até uma função que, a partir de um exame de sangue seu, pode dizer se você tem um tipo específico de doença.
	Uma função ou relação funcional se estabelece quando existe uma relação de dependência entre incógnitas. Formalmente, uma função se define através de uma equação matemática relacionando as variáveis de interesse.
	Para o curso de cálculo diferencial e integral, o conhecimento de funções tem vital importância. Portanto, esse capítulo se dedica a analisar detalhadamente os mais variados tipos de funções.
VARIÁVEIS DEPENDENTES E INDEPENDENTES
	Uma função se estabelece quando descrevemos quais são as suas variáveis independentes e qual é a variável dependente. Por exemplo, a aceleração de um carro depende da intensidade com que você pisa no pedal do acelerador. Nesse caso, a aceleração é a variável dependente e a intensidade com que você pisa no pedal é a variável independente.
	Note que você controla uma das variáveis (controla a sua intensidade) enquanto a outra é conseqüência da primeira.
	Uma função pode conter mais de uma variável independente mas apenas uma variável dependente. Na prática, isso significa que podem existir várias causas com apenas uma conseqüência. A função se encarrega de relacionar a contribuição de cada causa com a conseqüência final.
	Por exemplo, a temperatura média de uma cidade pode depender da umidade, da distância do equador e da altitude em que ela se encontra.
REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO
	Uma função, com apenas uma variável independente, pode ser representada de duas formas equivalentes:
		y = equação da variável x ou f(x) = equação da variável x
Exemplo
	Representar uma função em que a variável dependente é igual ao quadrado da variável independente.
Solução
	A função pode ser representada das seguintes formas:
		
 ou 
	
		As variáveis que aparecem na função não precisam ser, necessariamente, iguais a y e x. Por 
exemplo, a área de uma circunferência depende do raio segundo a equação:
		
 ou 
	Se quisermos conhecer o valor da variável dependente, basta substituirmos um valor onde aparece a variável independente. Por exemplo, se quisermos saber a área da circunferência de raio igual a 2 m, basta fazer:
		
		
 m2
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
	O gráfico de uma função é uma curva que expressa a relação entre a variável dependente e as independentes. Estudaremos nesse capítulo somente funções com uma variável independente.
		Podemos construir o gráfico de uma função usando um sistema de duas coordenadas posicionadas no plano cartesiano.
	Primeiro, atribuímos valores para a variável x e calculamos os valores correspondentes da variável y através da equação da função. Em seguida, posicionamos essas duas coordenadas no plano cartesiano.
	Atualmente, existem vários recursos computacionais que possibilitam a construção rápida de gráficos.
	
DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE FUNÇÃO
	Definimos uma função como uma regra (equação) que permite associar cada elemento x, de um conjunto A, a um único elemento y de um conjunto B. O conjunto A é chamado domínio da função. Já o conjunto B é denominado imagem da função se cada elemento seu está relacionado a, pelo menos, um elemento do conjunto A.
	Podemos entender melhor essa definição usando o diagrama de Venn:
	Pela definição dada, é natural pensar que um único um valor de x se associa a um único valor de y, porém, não é tão óbvio que dois valores diferentes de x possam ser associados ao mesmo valor de y. Um exemplo prático disso é que uma cidade pode ter a mesma temperatura em dois horários diferentes durante o dia.
	Vejamos essa situação no diagrama de Venn:
	Conforme a definição, a única situação que não pode acontecer é um valor de x ser associado a mais de um valor de y. Por exemplo, uma cidade não pode ter duas temperaturas diferentes ao meio-dia não é mesmo ?
	A conseqüência imediata das afirmações anteriores é a seguinte regra:
Uma curva no plano cartesiano é gráfico de uma função se qualquer reta vertical não intercepta essa curva mais de uma vez dentro do seu domínio.
	Vejamos dois exemplos:
	
	
	É gráfico de uma função
	Não é gráfico de uma função
FUNÇÕES DISCRETAS E FUNÇÕES CONTÍNUAS
	Estamos freqüentemente em contato com funções de dois tipos: as funções discretas e as funções contínuas.
	As funções discretas aparecem nos jornais, na televisão e nas revistas em forma de gráficos. Por exemplo, considere que o censo demográfico de uma cidade forneceu os seguintes resultados:
	ano
	população
	1970
	154.000
	1980
	285.000
	1990
	430.100
	2000
	610.300
	Para visualizar melhor, podemos transformar essa tabela num gráfico em forma de barras verticais:
	O exemplo do censo demográfico mostra duas características interessantes das funções discretas. A primeira característica é que toda função discreta é representada por uma tabela.
	A segunda, e mais importante, característica é a impossibilidade de sabermos o valor da variável dependente para valores não-tabelados da variável independente. Por exemplo, não sabemos quantos habitantes existem na cidade no ano de 1985.
	Em geral, as funções discretas são resultados de medições em intervalos de tempo regulares. A inflação mensal, a temperatura diária, o lucro anual e o censo demográfico de dez em dez anos são exemplos de funções discretas.
	Por outro lado, as funções contínuas são representadas por equações no lugar de tabelas e é possível saber o valor da variável dependente para qualquer valor da variável independente.
	Um exemplo de função contínua é a velocidade instantânea de um carro sujeito à aceleração constante:
		
	Suponha que estejamos interessados em calcular a velocidade no instante t=2s sabendo-se que a velocidade inicial V0 é igual a 3m/s e a aceleração a é igual a 1m/s2:
		
m/s
	Qualquer valor de tempo que você imaginar tem uma velocidade correspondente.
	Para visualizar melhor, vamos construir o gráfico dessa função:
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
	O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis da variável independente.
Exemplo
	Encontre o domínio da função:
		
Solução
	Não são possíveis valores negativos de x já que, dentre os números reais, não existe a raiz quadrada de um número negativo.
	Assim, o domínio da função é representado da seguinte forma:
		
	Devemos ler essa notação matemática da seguinte forma:
x pertence ao conjunto dos números reais tal que x é maior ou igual a zero
Exemplo
	Encontre o domínio da função:
		
Solução
	Nesse caso, não é possível x=0 já que 
 não é definido como um número real.
	Assim, o domínio da função é representado da seguinte forma:
		
	
		A expressão 
 não é definida porque não existe um número real que multiplicado por zero seja igual a 1.
IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
	A imagem é o conjunto de todos os resultados que a variável dependente assume quando usamos os valores do domínio na equação da função.
Exemplo
	Encontre a imagem da função:
		
Solução
	Para qualquer valor de x dentro do domínio da função (só valores positivos de x), a variável y assume apenas valores positivos (incluindo o zero).
	Assim, a imagem da função é representada da seguinte forma:
		
Exemplo
	Encontre a imagem da função:
		
Solução
	Para qualquer valor de x dentro do domínio da função (todos os números reais), a variável y assume apenas valores negativos (incluindo o zero).
	Assim, a imagem da função é representada da seguinte forma:
		
EXERCÍCIOS
	1 – Encontreo domínio das funções abaixo:
		a) 
		b) 
		c) 
		d) 
		e) 
		f) 
		g) 
FUNÇÃO DO 1o GRAU
	A função do 1o grau é aquela que estabelece uma taxa constante de crescimento (ou decrescimento) da variável dependente.
Exemplo
	O apresentador do jornal da televisão informa que as exportações do país atualmente atingiram 300 milhões e estão crescendo 100 milhões por ano.
Solução
	Para entender melhor o problema, vamos construir a seguinte tabela:
	Prazo
	Total de Exportações (em milhões)
	Hoje
	300
	Após 1 ano
	400 (= 300 + 1 ( 100)
	Após 2 anos
	500 (= 300 + 2 ( 100)
	Após 3 anos
	600 (= 300 + 3 ( 100)
	...
	...
	Após x anos
	300 + x ( 100
	A função que relaciona o total de exportações e o número de anos é então dada por:
		
	Matematicamente, a função do 1o grau é dada pela relação:
		
 ou 
	Essa função é caracterizada graficamente por uma reta. O valor de “a” é chamado coeficiente angular e o valor de “b” é chamado coeficiente linear.
COEFICIENTE ANGULAR
	O coeficiente angular indica a taxa constante de crescimento ou decrescimento de y. Podemos analisá-lo de duas formas:
Pelo seu sinal;
Pelo seu valor absoluto.
	Quando analisamos o coeficiente angular pelo seu sinal estamos interessados em saber se a taxa é de crescimento ou de decrescimento.
	Uma taxa de crescimento é caracterizada por um valor positivo e uma taxa de decrescimento é caracterizada por um valor negativo.
Exemplo
	Vamos considerar que a temperatura no interior de uma sala refrigerada decresce a uma taxa constante de 2oC a cada hora enquanto do lado de fora a temperatura está crescendo a uma taxa constante de 2oC a cada hora.
Solução
	No primeiro caso, o coeficiente angular é igual a -2oC/h. Isso significa que a cada hora a temperatura cai 2oC. Por exemplo, se a sala estava inicialmente a 30oC então após 1 hora a temperatura será de 28oC, após 2 horas a temperatura será de 26oC e assim por diante.
	No segundo caso, o coeficiente angular é igual a +2oC/h. Isso significa que a cada hora a temperatura sobe 2oC. Por exemplo, se a temperatura do lado de fora da sala estava em 30oC então após 1 hora a temperatura será de 32oC, após 2 horas a temperatura será de 34oC e assim por diante.
	O gráfico da temperatura para o lado de dentro e para o lado de fora da sala é dado por:
	Por outro lado, quando analisamos o coeficiente angular pelo seu valor absoluto (apenas o número sem considerar o sinal) estamos interessados em saber se a taxa de crescimento ou decrescimento (dependendo do sinal) é elevada ou não.
COEFICIENTE LINEAR
	O coeficiente linear indica onde a função corta o eixo y, ou seja, o valor de y quando x é igual a zero. Podemos encontrar dois casos:
Coeficiente linear positivo, quando a função corta o eixo y num valor positivo;
Coeficiente linear negativo, quando a função corta o eixo y num valor negativo.
Exemplo
	Vamos considerar o caso de duas funções com coeficiente angular positivo, uma com coeficiente linear positivo e a outra com coeficiente linear negativo:
	
	
	Coeficiente linear positivo
	Coeficiente linear negativo
Exemplo
	Agora vamos considerar o caso de duas funções com coeficiente angular negativo, uma com coeficiente linear positivo e a outra com coeficiente linear negativo:
	
	
	Coeficiente linear positivo
	Coeficiente linear negativo
COMO OBTER A FUNÇÃO DO 1o GRAU
	Vamos supor que conhecemos dois pontos 
 e 
 pelos quais a reta passa.
	A inclinação da reta é dada pela tangente do ângulo ( no triângulo mostrado no gráfico:
			
		
	
	Fazendo 
 e 
 na fórmula acima podemos encontrar a equação da reta:
		
		
	Essa equação é usada quando sabemos qual é o coeficiente angular e um ponto por onde a reta passa.
	
		Poderíamos ter feito 
 e 
. Nesse caso, teríamos a seguinte equação da reta:
		
	Isso significa que qualquer um dos dois pontos pode ser usado na equação.
Exemplo
	Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos 
 e 
.
Solução
	Primeiramente, devemos encontrar o coeficiente angular:
		
	Agora, podemos usar a equação da reta:
		
		
		
	Por outro lado, poderíamos ter escolhido o outro ponto:
		
		
		
CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO DA FUNÇÃO
	Definimos uma função crescente quando, à medida que x aumenta dentro de um intervalo, o valor de y também aumenta. Na função do 1o grau, isso é caracterizado pelo valor positivo do coeficiente angular.
Exemplo
	
		coeficiente angular = +3, reta crescente.
	
		coeficiente angular = +2, reta crescente.
	Definimos uma função decrescente quando, à medida que x aumenta dentro de um intervalo, o valor de y diminui. Um coeficiente angular negativo caracteriza uma reta decrescente.
Exemplo
	
		coeficiente angular = -3, reta decrescente.
	
		coeficiente angular = -2, reta decrescente.
	
		Pode acontecer do valor de “a” ser nulo. Nesse caso, a reta, que não é crescente e nem decrescente, é chamada função constante (não possui inclinação).
ESBOÇO DO GRÁFICO ATRAVÉS DA EQUAÇÃO DA FUNÇÃO
	Podemos usar o nosso raciocínio para construir o gráfico da função encontrando as duas coordenadas mais importantes: onde a função corta o eixo x e onde corta o eixo y.
	Para encontrar em que ponto a função corta o eixo x, basta colocar zero onde aparecer y na equação. O valor calculado de x deve ser marcado sobre o eixo x.
	Para encontrar em que ponto a função corta o eixo y, basta colocar zero onde aparecer x na equação. O valor calculado de y deve ser marcado sobre o eixo y. Esse valor é igual ao coeficiente linear da função do 1o grau.
	Finalmente, usando uma régua, ligamos esses dois pontos com uma reta.
Exemplo
	Encontrar o gráfico da função:
		
Solução
		Para 
, 
		Para 
, 
	Vamos agora posicionar os dois pontos no gráfico:
	Finalmente, devemos traçar a reta que passa pelos dois pontos:
CLASSIFICAÇÃO DA FUNÇÃO DO 1o GRAU
	A função do 1o grau pode se enquadrar num dos três tipos listados abaixo:
Função Afim;
Função Linear;
Função Constante.
	A função afim é caracterizada por a(0 e b(0. Isso faz com que o gráfico nunca passe pela origem dos eixos (x=0 e y=0).
Exemplo
	Exemplos de funções do tipo afim:
		
 (função afim crescente)
		
 (função afim decrescente)
	Esboço do gráfico de uma função afim (decrescente):
	A função linear é caracterizada por a(0 e b=0. Isso faz com que o gráfico sempre passe pela origem do plano cartesiano (x=0 e y=0).
Exemplo
	Exemplos de funções do tipo linear:
		
 (função linear crescente)
		
 (função linear decrescente)
	Esboço do gráfico de uma função linear (crescente):
	A função constante é caracterizada por a=0. Isso faz com que o gráfico da função seja uma reta horizontal, ou seja, o valor de y não varia com x.
Exemplo
	Exemplos de funções do tipo constante:
		
 (positiva)
		
 (negativa)
	Esboço do gráfico de uma função constante (positiva):
	A função constante tem inclinação nula já que seu coeficiente angular é zero.
EXERCÍCIOS
	1 – Classifique as funções abaixo em crescentes ou decrescentes:
		a) 
		b) 
		c) 
		d) 
		e) 
		f) 
	2 – Classifique as funções abaixo em afim, linear e constante:
		a) 
		b) 
		c) 
		d) 
		e) 
		f) 
	3 – Encontre a equação da reta que passa pelos pontos:
		a) (1,3) e (2,6)
		b) (-1,2) e (2, -4)
		c) (2,5) e (3,5)
		d) (1,1) e (3,5)
		e) (3,2) e (4,1)
		f) (3,4) e (1,1)
	4 – Com os resultados da questão anterior, construa o gráfico correspondente a cada uma das retas.
MODELOS BASEADOS NA FUNÇÃO DO 1o GRAU
	Um modelo matemático é uma função que representa um determinado problema. Existem muitos exemplos de problemas que podem ser modelados por uma função do 1o grau:
Juros simples;
Avaliaçãode alternativas de consumo de celular;
Movimento uniforme (MU);
Movimento uniformemente variado (MUV).
JUROS SIMPLES
	No regime de capitalização chamado juros simples os juros são proporcionais ao tempo da aplicação. Por exemplo, se dobrarmos o prazo de um empréstimo então os juros dobrarão de valor.
	A equação abaixo fornece o valor dos juros de uma aplicação em juros simples:
		
	Nessa equação, identificamos os seguintes parâmetros:
		C é o capital aplicado em dinheiro;
		i é a taxa percentual por unidade de tempo (diária, mensal, anual, etc);
		t é o tempo da aplicação (dia, mês, ano, etc)
	Definimos o montante de uma aplicação como sendo a soma do capital com os juros do período considerado. Pela definição, a fórmula de cálculo do montante é dada por:
		
Exemplo
	Quanto rende de juros uma aplicação de $10.000,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês durante 2 meses ?
Solução
	Usando a equação do regime de juros simples:
		
ALTERNATIVAS DE CONSUMO DE CELULAR
	Suponha que a sua operadora de celular tenha duas opções de plano de consumo:
Plano pós-pago: você paga a assinatura de $30,00 mais $0,40 por minuto de ligação.
Plano pré-pago: $1,00 por minuto de ligação.
	Baseado nos dois planos acima, explique até que ponto o plano pré-pago é mais vantajoso que o pós-pago ?
	O modelo do plano pós-pago é dado pela equação:
		
, onde t é o tempo de conversação em minutos.
	O plano pré-pago pode ser modelado segundo a equação abaixo:
		
, onde t é o tempo de conversação em minutos.
	A partir das equações dos modelos, podemos montar o gráfico a seguir:
	A linha tracejada corresponde ao plano pós-pago e a linha cheia ao plano pré-pago.
	Conforme o gráfico, as duas retas se encontram no tempo de 50 minutos (marcado com um círculo). Nesse ponto as duas contas são iguais, ou seja, se você consumir 50 minutos todo mês então será indiferente você ter um plano pré-pago ou pós-pago.
	O valor da conta com o consumo de 50 minutos será de $50,00.
	Abaixo de 50 minutos, podemos verificar que a linha cheia está abaixo da linha tracejada. Isso significa que se você consumir menos de 50 minutos por mês, então o plano pré-pago é mais vantajoso porque a conta é mais barata.
	Já acima de 50 minutos, verificamos que a linha tracejada está abaixo da linha cheia, mostrando que se você consumir mais de 50 minutos por mês então o plano de conta é mais interessante já que no final do mês a conta será menor.
MOVIMENTO UNIFORME
	A velocidade é definida como a rapidez para completar um percurso. Isso é medido em termos de quanta distância é percorrida num período de tempo. Por exemplo, se um carro percorre 100 quilômetros em 2 horas, então a sua velocidade é de 50 quilômetros por cada hora do percurso.
	Em física, definimos o movimento uniforme como sendo aquele cuja velocidade é constante. Por esse motivo, podemos encarar o espaço como uma função do 1o grau dada por:
		
	Note que a velocidade é o coeficiente angular da reta e o seu valor determina se o espaço está crescendo ou decrescendo à medida que o tempo passa.
Exemplo
	Duas horas após iniciar o movimento, em que ponto estará um automóvel que viaja a uma velocidade constante de 50km/h e está situado inicialmente a 10km da origem ?
Solução
	Os dados do problema são:
		
, 
 e 
	Vamos calcular em que ponto estará o automóvel a partir da equação do espaço:
		
		
	O automóvel estará a 110km da origem. Note que 110km não é o espaço percorrido em duas horas, mas onde estará o automóvel em relação ao ponto de referência.
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
	A aceleração é definida como sendo a taxa de variação da velocidade na unidade de tempo. Isso é medido em termos de quanto aumenta ou diminui a velocidade num período de tempo. Por exemplo, se um carro tem uma velocidade de 5m/s e 10 segundos depois está com uma velocidade de 15m/s então a sua aceleração é de 10m/s em 10 segundos, ou seja, 1 m/s2.
	Em física, definimos o movimento uniformemente variado como sendo aquele cuja aceleração é constante. Dessa forma, podemos modelar a velocidade como uma função do 1o grau:		
	É importante perceber que a aceleração é o coeficiente angular da reta e o seu valor determina se a velocidade está crescendo ou decrescendo à medida que o tempo passa.
Exemplo
	Um automóvel viaja a uma velocidade de 10m/s e 5 segundos depois está a 20m/s. A que velocidade estará o automóvel em 10 segundos mantendo a aceleração constante ?
Solução
	Os dados do problema são:
		
, 
 e 
	Vamos calcular em que velocidade o móvel estará através da equação da velocidade:
		
FUNÇÃO DO 2o GRAU
	A função em que a maior potência da variável independente é igual a dois chama-se função do 2o grau. Matematicamente, a função do 2o grau é dada pela relação:
		
 ou 
	Essa função é caracterizada graficamente por uma parábola. O gráfico de uma função do 2o grau tem a propriedade de ser simétrico em relação ao seu vértice.
	O valor de “c” identifica o ponto onde a função do 2o grau corta o eixo y e o seu posicionamento é similar ao coeficiente linear na função do 1o grau.
Exemplo
	A função do espaço no MUV é dada pela seguinte equação do 2o grau:
		
	Note que a maior potência da variável independente t é dois.
CONCAVIDADE DA FUNÇÃO DO 2o GRAU
	A concavidade é uma característica importante da função, já que indica se a abertura da parábola está para cima ou para baixo. Essa característica pode ser prevista através do parâmetro “a” da equação, conforme a classificação:
a>0 (a positivo): concavidade para cima, ou seja, abertura para cima.
a<0 (a negativo): concavidade para baixo, ou seja, abertura para baixo.
Exemplo
	
	
	Concavidade para cima
	Concavidade para baixo
ZEROS DA FUNÇÃO DO 2o GRAU
	São os valores de x que anulam a função do 2o grau. Assim:
		y=0 ou f(x)=0
	A forma mais usada de resolução da equação do 2o grau é através da fórmula de Baskara:
		
		
	Note que na função do 1o grau só existe um único valor que anula a função (corta o eixo x) enquanto que na função do 2o grau existem dois valores.
Exemplo
	Encontre os zeros da função 
.
Solução
		
		
		
	Uma segunda forma de resolver o problema é através do cálculo do discriminante (:
		
	Obteremos então as seguintes raízes como solução:
		
		
	A introdução do elemento ( simplifica o entendimento do resultado de x’ e x”. Podemos estabelecer a seguinte classificação baseada no valor de (:
Quando (>0:
	Quando isso acontece, certamente teremos 2 raízes reais e diferentes, ou seja, a função do 2o grau “cortará” o eixo x nos pontos x’ e x”.
Exemplo
		
		
		
		
		
	
Quando (=0:
	Quando isso acontece, certamente teremos 2 raízes reais e iguais, ou seja, a função do 2o grau “tangenciará” o eixo x no ponto x’=x”.
Exemplo
		
		
		
		
		
	
	
		Nesse caso, dizemos que a raiz 2 tem multiplicidade 2 (2 raízes iguais a 2).
Quando (<0:
	Quando isso acontece, certamente não teremos raízes reais, ou seja, a função do 2o grau não “cortará” nem “tangenciará” o eixo x.
Exemplo
		
		
		
	Portanto:
		
	
PONTOS DE MÁXIMO E MÍNIMO DA FUNÇÃO DO 2o GRAU
	Dependendo da concavidade da função do 2o grau, podemos perceber que o vértice da parábola situa-se no ponto mais baixo ou no ponto mais alto do gráfico.
	Denominamos ponto de máximo ao valor de x cujo valor de y é máximo, ou seja, quando o valor de y está no ponto mais alto do gráfico. Isso acontece quando a função tem concavidade para baixo (a<0).
	Denominamos ponto de mínimo ao valor de x cujo valor de y é mínimo, ou seja, quando o valor de y está no ponto mais baixo do gráfico. Isso acontece quando a função tem concavidade para cima (a>0).
	O ponto de máximo ou mínimo pode ser calculado através do conhecimento das coordenadas do vértice da parábola:
		
		
ExemploGráfico com ponto de mínimo
	Gráfico com ponto de máximo
Exemplo
	Calcule o valor de xv e yv da função 
 e diga se xv é máximo ou mínimo.
Solução
	A partir da função encontramos os seguintes resultados:
		
		
		
	Observando o gráfico da função podemos entender melhor o problema:
	Logo, o ponto xv=2,5 é ponto de mínimo já que a concavidade está voltada para cima (a>0). Nesse caso, yv=-0,25 é o menor valor que a função assume.
MODELOS BASEADOS NA FUNÇÃO DO 2o GRAU
	Existem muitos problemas que podem ser modelados por uma função do 2o grau:
Movimento uniformemente variado (MUV);
Trajetória de projéteis;
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
	No movimento uniformemente variado, a posição do móvel depende do tempo conforme a seguinte função do 2o grau:
		
	Onde:
		S é a posição final do móvel em relação à origem;
		S0 é a posição inicial do móvel em relação à origem;
		V0 é a velocidade inicial do móvel;
		t é o tempo de percurso desde a posição inicial S0 até a posição final S;
Exemplo
	Um automóvel começou a mover-se num ponto que está a 20 metros distante da origem com aceleração constante de 1m/s2. Encontre a posição final do móvel após 10 segundos.
Solução
	A velocidade inicial do automóvel é igual a zero, já que estava parado e começou a se mover no ponto inicial. Substituindo os dados do problema na equação da posição:
		
	Após 10 segundos, o automóvel estará na posição:
		
TRAJETÓRIA DE PROJÉTEIS
	Em aplicações militares é interessante descobrir a trajetória de projéteis para que um alvo possa ser atingido com precisão. Galileu foi o primeiro a demonstrar que a equação da trajetória de um projétil é dada por:
		
		Onde:
	y é a altura que o projétil alcança;
	x é a distância horizontal do projétil;
	V0 é a velocidade inicial do projétil;
	( é o ângulo de lançamento do projétil.
	
Exemplo
	Encontre a altura máxima que pode atingir um míssil lançado de um equipamento de artilharia terrestre.
Solução
	A altura máxima é dada pelo valor do yv:
		
	Fica mais fácil simplificar essa expressão se soubermos que:
		
	Então a altura máxima é dada por:
		
	Isso significa que a altura máxima possível, considerando a velocidade inicial constante, depende do ângulo de lançamento do projétil e acontece quando o ângulo é de 90o (é um lançamento para cima!), já que sen(90o)=1.
EXERCÍCIOS
	1 – Calcule os valores de xv e yv e diga, para cada caso, se o ponto xv é de máximo ou mínimo:
		a) 
		b) 
		c) 
	2 – A partir das funções da questão anterior, identifique o número de raízes reais e construa o seu respectivo gráfico.
	3 – Considere a função do 2o grau:
		
	Somando e subtraindo 
 no segundo membro, obtenha a seguinte expressão:
		
	Em seguida:
		a) Mostre que se a>0, então o menor valor de f(x) ocorre em 
. Substituindo esse valor na expressão anterior, descubra o menor valor que a função assume.
		b) Mostre que se a<0, então o maior valor de f(x) também ocorre em 
. Substituindo esse valor na expressão anterior, descubra o maior valor que a função assume.
		c) Fazendo 
, demonstre a fórmula de Baskara.
FUNÇÃO EXPONENCIAL
	A função que representa um crescimento (ou um decrescimento) multiplicativo é conhecida como função exponencial.
Exemplo
	Um capital dobra a cada ano de aplicação. Encontre a função que expressa a relação entre o capital e o montante.
Solução
	Vamos representar o capital aplicado pela letra C e o montante pela letra M. A cada ano o montante será igual ao dobro do valor do capital aplicado no início do ano anterior, ou seja:
	Prazo da Aplicação
	Montante
	Hoje
	C
	Após 1 ano
	2(C
	Após 2 anos
	4C (=22(C)
	Após 3 anos
	8C (=23(C)
	...
	...
	Após x anos
	2x(C
	A função que relaciona o capital e o montante é então dada por:
		
	A função exponencial é caracterizada pela seguinte expressão:
		
, com a > 0.
	Chamamos os parâmetros “a” de base e “x” de expoente. A base de uma função exponencial representa o valor do seu crescimento ou decrescimento multiplicativo.
	Por exemplo, se uma função triplica a cada ano ou reduz-se à metade a cada hora então a base é representada por esses valores.
	A característica principal do seu gráfico é o seu crescimento (ou decrescimento) rápido. Outra característica é que o gráfico da função exponencial corta o eixo y no ponto y = +1.
Exemplo
	
	
PROPRIEDADES DA EXPONENCIAL
	Para compreender o comportamento de uma função exponencial é necessário conhecermos as seguintes propriedades:
	
Exemplo
		
Exemplo
		
Exemplo
		
Exemplo
		
	
Exemplo
		
Exemplo
		
Exemplo
		
CLASSIFICAÇÃO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
	A função exponencial pode ser classificada em crescente e decrescente, conforme o valor do parâmetro “a” da equação:
		
1o caso: a>1
	Quando o valor de a é maior do que 1, a função é dita crescente. O que acontece nesse caso é que a função representa um crescimento multiplicativo.
Exemplo
	Uma colônia de bactérias triplica a cada hora. Encontre o número de bactérias após 4 horas, sendo que no instante inicial o número de bactérias é igual a 10.000.
Solução
	Conforme o enunciado, a função que representa o problema é:
		
	Como a base é igual a 3, a função é crescente. Após 4 horas, o número de bactérias é igual a:
		
 bactérias.
	O gráfico dessa função é dado por:
2o caso: 0<a<1
	Quando o valor de a é maior do que zero e menor do que 1, a função é dita decrescente. O que acontece nesse caso é que a função representa um decrescimento multiplicativo.
Exemplo
	Um carro perde 10% do seu valor a cada ano de uso. Sabendo-se que o valor inicial do carro é $20.000,00, calcule seu valor após 3 anos.
Solução
	A cada ano de uso, o valor do automóvel se torna 90% do valor do ano anterior. Portanto, a função que representa o problema é:
		
	Como a base é igual a 0,9, a função é decrescente. Após 3 anos, o valor do carro é igual a:
		
	O gráfico dessa função é dado por:
	
		A parte em que x é negativo não existe para os dois exemplos mostrados já que a variável x é o tempo e não é possível existir tempo negativo.
O VALOR DE “e”
	Quando estamos trabalhando com funções exponenciais, é muito freqüente aparecerem expressões em que a base da função é a letra “e”. Essa letra, dada em homenagem ao matemático Leonard Euler, representa um número irracional igual a:
		
MODELOS BASEADOS NA FUNÇÃO EXPONENCIAL
	Existem muitos problemas que podem ser modelados por uma função exponencial:
Juros compostos;
Financiamento;
Diodo semicondutor.
JUROS COMPOSTOS
	No regime de capitalização chamado juros compostos o montante cresce exponencialmente com a taxa de juros mensal i e o tempo de aplicação n.
Exemplo
	Calcularemos o montante mês a mês de uma aplicação de $10.000,00 a uma taxa de 1% ao mês durante 4 meses.
Solução
	Primeiramente, devemos transformar a taxa percentual em taxa unitária. Nesse caso, uma taxa de 1% corresponde a:
		
	Vamos agora montar um quadro da aplicação:
	Prazo da Aplicação
	Juros
	Montante
	Hoje
	$0,00
	$10.000,00
	Após 1 mês
	$10.000,00 ( 0,01 = $100,00
	$10.100,00
	Após 2 meses
	$10.100,00 ( 0,01 = $101,00
	$10.201,00
	Após 3 meses
	$10.201,00 ( 0,01 = $101,00
	$10.303,01
	Após 4 meses
	$10.303,01 ( 0,01 = $103,03
	$10.406,04
	A equação abaixo fornece o valor do montante de uma aplicação financeira:
		
	Nessa equação, identificamos os seguintes parâmetros:
		C é o capital aplicado em dinheiro;
		i é a taxa unitária na unidade de tempo (diária, mensal, anual, etc);
		n é o tempo da aplicação (dia, mês, ano, etc)
Exemplo
	Quanto rende de juros uma aplicação de $10.000,00 a uma taxa de 3% ao mês durante 2 meses ?
SoluçãoUsando a equação do regime de juros compostos:
		
		
	O montante é definido como sendo a soma do capital com os juros do período considerado. A partir dessa definição, os juros podem ser calculados da seguinte forma:
		
		
FINANCIAMENTO
	Quando você está interessado em adquirir um carro ou uma casa, porém não tem possibilidade de pagar à vista, uma das soluções é pedir um empréstimo a uma instituição financeira através de uma operação conhecida como financiamento.
	O financiamento é um plano de pagamento baseado no princípio de que o valor de cada prestação divide-se em duas parcelas:
Amortização do valor emprestado: uma parte de cada prestação deve diminuir (amortizar) o valor que foi emprestado.
Juros sobre o saldo devedor: outra parte da prestação deve pagar juros sobre a parte do valor emprestado que não foi amortizada (saldo devedor).
	A equação do financiamento é dada por:
		
	Onde:
		P é o valor da prestação em dinheiro;
		VE é o valor emprestado em dinheiro;
		i é a taxa unitária na unidade de tempo (diária, mensal, anual, etc);
		n é o tempo da aplicação (dia, mês, ano, etc).
Exemplo
	Construir o plano de financiamento de um carro que custa $10.000,00 a uma taxa de 1% ao mês (i=0,01) durante 12 meses.
Solução
	Valor da parcelas é calculado da seguinte forma:
		
		
		
	Plano de Financiamento
	Tempo
(meses)
	Juros
(J=SD(i)
	Dívida
(D)
	Parcela
(P)
	Amortização
(A=P-J)
	Saldo Devedor
(SD=D-P)
	Hoje
	(
	$10.000,00
	(
	(
	$10.000,00
	Após 1 mês
	$100,00
	$10.100,00
	$888,49
	$788,49
	$9.211,51
	Após 2 meses
	$92,12
	$9.303,63
	$888,49
	$796,37
	$8.415,14
	Após 3 meses
	$84,15
	$8.499,29
	$888,49
	$804,34
	$7.610,80
	Após 4 meses
	$76,11
	$7.686,91
	$888,49
	$812,38
	$6.798,42
	Após 5 meses
	$67,98
	$6.866,40
	$888,49
	$820,51
	$5.977,91
	Após 6 meses
	$59,78
	$6.037,69
	$888,49
	$828,71
	$5.149,20
	Após 7 meses
	$51,49
	$5.200,69
	$888,49
	$837,00
	$4.312,20
	Após 8 meses
	$43,12
	$4.355,32
	$888,49
	$845,37
	$3.466,83
	Após 9 meses
	$34,67
	$3.501,50
	$888,49
	$853,82
	$2.613,01
	Após 10 meses
	$26,13
	$2.639,14
	$888,49
	$862,36
	$1.750,65
	Após 11 meses
	$17,51
	$1.768,16
	$888,49
	$870,98
	$879,67
	Após 12 meses
	$8,80
	$888,49
	$888,49
	$879,69
	$0,00* (dívida paga)
	Totais
	$661,85
	(
	$10.661,88
	$10.000,00*
	(
* ocorre uma diferença $0,02 por causa do arredondamento nas casas decimais.
	Graficamente, podemos representar a operação por:
	A parte cinza é a contribuição dos juros e a parte preta é a contribuição da amortização no valor da parcela. Desta forma, concluímos que a amortização deve crescer com o tempo e o valor dos juros deve decrescer com o tempo.
DIODO SEMICONDUTOR
	Chamamos de diodo ao elemento de circuito eletrônico construído com semicondutores (em geral são usados o silício, o germânio, o arsênio e o gálio). O diodo possui dois terminais conhecidos como catodo e anodo. O catodo é o terminal negativo e o anodo é o terminal positivo.
	A finalidade do diodo é conduzir a corrente elétrica somente num sentido e bloquear a corrente em sentido contrário. O diodo sempre permitirá passagem de corrente elétrica quando a tensão no anodo for maior que a tensão no catodo.
	As figuras abaixo mostram o símbolo do diodo e algumas imagens reais dos componentes:
	Símbolo:
Componentes:
 (DIODO)
	 (LED)
	A equação que modela o funcionamento do diodo semicondutor é dada por:
		
	Onde:
		iD é a corrente total (contínua mais alternada) sobre o diodo;
		ID é a corrente contínua sobre diodo;
		vd é a tensão alternada sobre o diodo;
		VT é a tensão térmica ((25mV);
		n é uma constante que vale 1 para diodos em circuitos integrados e vale 2 para diodos em circuitos discretos.
	A característica exponencial do diodo faz com que a sua principal aplicação seja o chaveamento analógico. Isso significa que o diodo liga ou desliga o circuito eletrônico ao qual está conectado.
	Outra aplicação do diodo é o LED (diodo emissor de luz) que ilumina as teclas e o display do seu telefone celular.
EXERCÍCIOS
	1 – Classifique as funções em crescente e decrescente e esboce seus gráficos:
		a) 
		b) 
		c) 
		d) 
	2 – O estudo da concentração de drogas na circulação sanguínea é um ramo da farmácia conhecido como farmacocinética. A redução da droga no corpo humano é modelada pela seguinte função exponencial:
		
	Onde:
		C0 é a concentração inicial da droga.
		t é o tempo decorrido desde que a droga foi introduzida no corpo.
	O valor de k no expoente responde pela rapidez de redução da droga no corpo e depende do medicamento considerado.
	Descubra a concentração de uma droga após 4h, se k é igual a 0,45/h e a concentração inicial é igual a 5 mg/ml.
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
	Considere o seguinte exemplo:
	Se o capital dobra a cada ano de aplicação, então quantos anos são necessários para o montante ser 8 vezes o valor do capital?
	Já sabemos que a relação de dependência entre o montante e o número de anos é dada por uma função exponencial de base igual a 2. Nosso objetivo agora é descobrir o valor do expoente que produz o montante conhecido, ou seja:
		
		
		
 anos
	Representamos (e resumimos!) toda essa situação por:
		
	Devemos ler essa expressão da seguinte forma: “logaritmo de 8 na base 2 é igual a 3”.
	Calcular o valor do logaritmo acima significa responder à seguinte pergunta:
Devemos elevar a base 2 a que valor de t para que o resultado seja igual a 8 ?
	Definimos então a função logarítmica por:
		
, com a > 0, a ( 1 e x > 0
	O parâmetro “a” é chamado de base do logaritmo. Uma característica importante é que o gráfico da função logarítmica corta o eixo x no ponto x = +1.
Exemplo
	
	
LOGARITMOS ESPECIAIS
	Existem dois logaritmos especiais na matemática ( o logaritmo decimal e o logaritmo natural, também chamado de logaritmo neperiano em homenagem ao matemático John Napier.
	O logaritmo decimal é aquele cuja base é 10. Sempre que nos referirmos a esse logaritmo, não é obrigatório informar o número 10, ou seja:
		
	O logaritmo natural é aquele cuja base é o número “e”. A referência a esse logaritmo é feita escrevendo-se “ln” no lugar de “loge”, portanto:
		
	
		É sempre bom olhar a ajuda do software matemático antes de seguir essas notações, já que alguns usam “log” significando logaritmo neperiano e não decimal.
PROPRIEDADES DO LOGARITMO
	Para compreender o comportamento de uma função logarítmica é necessário conhecermos as seguintes propriedades:
	Como 
, então: 
, a>0
Exemplo
	
Como 
, então: 
, a>0
Exemplo
	
Exemplo
	
Exemplo
	
	
Exemplo
	
 (mudança de base)
Exemplo
	
Exemplo
	
CLASSIFICAÇÃO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
	A função logarítmica pode ser classificada em crescente e decrescente, conforme o valor do parâmetro “a” da equação:
		
1o caso: a>1
	Quando o valor de a é maior do que 1, a função é dita crescente.
Exemplo
	Uma cultura de bactérias em laboratório triplica sua população a cada hora. Sabendo-se que inicialmente existiam 1.000 bactérias encontre quanto tempo se passou para que a cultura atingisse 243.000 bactérias.
Solução
	Primeiramente, devemos dividir o número final de bactérias pelo seu número inicial:
		
	Nesse caso, após um tempo t a colônia se torna 243 vezes o seu tamanho inicial. O valor procurado é dado pelo seguinte logaritmo:
		
 horas
	A função que representa o problema é dada por:
		
	Onde x representa o tamanho final da colônia em relação ao seu tamanho inicial.
	O gráfico dessa função é representado por:
2o caso: 0<a<1
	Quando o valor de a é maior do que zero e menor do que 1, a função é dita decrescente.
Exemplo
	A concentração de um determinado fármacona corrente sanguínea reduz-se à metade a cada hora. Sabendo-se que a concentração inicial do fármaco é igual a 6,4mg/ml e que uma concentração de 0,1mg/ml não fará mais efeito no combate à doença, encontre quanto tempo levará para o paciente tomar outra dose.
Solução
	Primeiramente, devemos dividir a concentração final pela sua concentração inicial:
		
	Nesse caso, após um tempo t a concentração reduz-se a 1/64 vezes a sua concentração inicial. O valor procurado é dado pelo seguinte logaritmo:
		
 horas
	Após 6 horas, o remédio não fará mais efeito porque a sua concentração na corrente sanguínea ficará abaixo de 0,1mg/ml.
	A função que representa o problema é dada por:
		
	Onde x representa a concentração final do fármaco na corrente sanguínea em relação à sua concentração inicial.
	O gráfico dessa função é representado por:
	
		A parte em que y é negativo não existe para os dois exemplos mostrados já que a variável y é o tempo e não é possível existir tempo negativo.
MODELOS BASEADOS NA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
	Vamos analisar um modelo interessante em que a função logarítmica se aplica:
Resfriamento de corpos;
RESFRIAMENTO DE CORPOS
	Isaac Newton foi o primeiro a demonstrar a lei matemática que regula o resfriamento de corpos. Uma das aplicações dessa lei é a determinação pelos peritos policiais da hora aproximada de um assassinato.
	A expressão que fornece a lei do resfriamento é dada por:
		
	Onde:
		t é o tempo decorrido desde que o crime aconteceu;
		(T é a diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente no tempo t após o crime;
		(T0 é a diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente na hora do crime;
		k é a taxa de resfriamento e significa o percentual de resfriamento do corpo.
	A grande limitação desse modelo é que o perito deve chegar ao local do crime enquanto o corpo ainda está com temperatura acima da temperatura ambiente ((T(0), caso contrário, o método perde a sua funcionalidade.
	A função logarítmica aparece no momento em que desejamos calcular o tempo decorrido desde que o crime aconteceu:
		
Exemplo
	Considere a seguinte notícia:
				Jornal do Dia Páginas Policiais
	Policiais encontraram às 23:00h o corpo de uma mulher aparentando 30 anos dentro de seu apartamento. Vizinhos acionaram a polícia após terem ouvidos tiros dentro do prédio. A análise pericial do corpo concluiu que a mulher foi assassinada por volta das 21:00h.
	
	Você, como perito policial que esteve presente na cena do crime, deve mostrar como chegou a essa conclusão no seu relatório policial.
Solução
	A primeira atitude sua como bom perito foi medir a temperatura do corpo imediatamente quando chegou ao local do crime (23:00h). Suponha que você tenha encontrado 34,8oC. Uma hora mais tarde, você mediu novamente a temperatura e descobriu que o corpo estava a 34,1oC.
	O quarto estava a 20oC e o corpo humano quando está vivo possui temperatura de 36,5oC. Com esses dados você pode calcular a hora em que ocorreu o crime.
	O primeiro objetivo é encontrar o valor do parâmetro k de posse da seguinte equação:
		
	Com:
		
		
		
	Então, usando uma calculadora, obtemos:
		
	O que significa que o corpo se resfria a uma taxa de aproximadamente 4,85% por cada hora a partir do momento do crime.
	Agora, podemos descobrir quanto tempo se passou desde a hora do assassinato conforme a equação:
		
	Com:
		
		
		
	Substituindo esses valores na equação:
		
 ( 2h 15min
	A hora aproximada do assassinato foi 20:45h (23:00h ( 2:15h)
EXERCÍCIOS
	1 – Encontre, se for possível, o valor dos seguintes logaritmos:
		a) 
	b) 
	c) 
	d) 
	e) 
	f) 
		g) 
	h) 
	i) 
	j) 
	l) 
	m) 
	2 – Outra aplicação prática da função logarítmica é a determinação da concentração segura de um fármaco na corrente sanguínea. O problema matemático se resume a encontrar qual é o tempo mínimo de aplicação da próxima dose sabendo-se que a concentração não pode atingir um determinado valor que é prejudicial à saúde do paciente.
	Considere que a concentração do fármaco na corrente sanguínea reduz-se à metade a cada hora. Sabendo-se que a concentração inicial do fármaco é 6,4mg/ml e que uma concentração de 10mg/ml pode levar o paciente a entrar em estado de coma, calcule o intervalo mínimo entre duas doses de forma que o paciente não seja prejudicado.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
	A nossa vida está repleta de casos que envolvem a repetição de um acontecimento no tempo, tais como: o período do ano em que mais chove ou faz sol na cidade, de quanto em quanto tempo ocorre uma recessão no país ou a hora em que vamos dormir todo dia. Chamamos de rotina a esse tipo de situação.
	Matematicamente, denomina-se periódico um evento que se repete ao longo do tempo (ou outra variável independente conforme a situação). Tais eventos podem ser descritos por uma função trigonométrica.
	As funções trigonométricas mais importantes são as funções seno e cosseno. A partir delas são construídas as funções tangente, cotangente, secante e cossecante.
UM POUCO DE GEOMETRIA – O CICLO TRIGONOMÉTRICO
	A forma mais simples de enxergar as funções trigonométricas principais é através do ciclo trigonométrico:
	O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio igual a 1 centrada no cruzamento dos eixos x e y. O eixo horizontal é denominado cosseno e o eixo vertical é chamado seno.
	Os valores do seno e do cosseno de um ângulo são dados pelas medidas sobre cada um dos eixos do ciclo trigonométrico.
Exemplo
	Se quisermos saber o valor do seno e do cosseno de um determinado ângulo ( basta fazer:
	Um ângulo positivo deve ser medido no sentido anti-horário e um ângulo negativo deve ser medido no sentido horário.
ÂNGULOS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO
	O ciclo trigonométrico é dividido em 4 partes (ou quadrantes) de 90o. O primeiro quadrante começa no ângulo 0o e vai até 90o (sobre o eixo vertical). O segundo quadrante começa do ângulo de 90o e vai até 180o (sobre o eixo horizontal). O terceiro quadrante começa do ângulo de 180o e vai até 270o (sobre o eixo vertical). O quarto quadrante começa do ângulo de 270o e vai até o ângulo de 360o (sobre eixo horizontal e coincidente com o ângulo de 0o):
ÂNGULOS EM GRAUS E RADIANOS
	Existem duas medidas principais de ângulos: o grau e o radiano. O grau é uma unidade de medida que nasceu da divisão arbitrária de uma circunferência em 360 partes iguais. Cada grau é subdividido em 60 minutos e cada minuto em 60 segundos.
	Para os matemáticos antigos, dividir a circunferência em 360 graus seria equivalente a dividir um ano em 360 dias.
	O grau é muito utilizado em Engenharia, pois existem instrumentos de medição graduados nesse sistema. Por outro lado, é pouco comum o grau aparecer em fórmulas matemáticas por causa do aumento no número de operações.
	Nos cálculos matemáticos, a medida de ângulo mais usada é o radiano. 1 radiano é definido como sendo o ângulo cujo raio R do ciclo trigonométrico coincide com o comprimento do arco S:
	O ângulo radiano é um número real que fornece a relação entre o comprimento do arco C e o tamanho do raio R:
		
	Essa relação tem ligação com a conhecida fórmula do comprimento da circunferência:
		
	Ao reorganizarmos essa fórmula, teremos:
		
	Podemos entender 2( como sendo o ângulo em radianos correspondente a uma volta completa na circunferência. Dessa forma, podemos converter graus em radianos fazendo:
	Graus
	Radianos
	180o
	(
	G
	R
	Então:
		
 ou 
Exemplo
	Encontrar os seguintes ângulos em radianos:
		a) 30o
		b) 45o
		c) 60o
Solução
	a)
		
	b)
		
	c)
		
AS FUNÇÕES SENO E COSSENO
	A partir do ciclo trigonométrico, vamos mostrar as características das funções trigonométricas seno e cosseno. Imagine o ponto P se deslocando no sentido anti-horário e observe o queacontece com a linha cinza vertical:
		Podemos notar que, quando (=0o, a linha cinza tem comprimento igual a zero.
	À medida que o ângulo ( aumenta, o comprimento da linha cinza aumenta até se tornar igual a 1, quando (=90o ((/2 rad).
	O valor do seno é então igual a +1 já que a linha está na parte positiva do eixo.
	
		Se o ponto P continuar se movendo no mesmo sentido, podemos perceber que o tamanho da linha cinza diminui até chegar em 0 quando o ângulo (=180o (( rad).
	
		O que acontece quando o ângulo ( ultrapassa os 180o é que o comprimento da linha cinza volta a aumentar, só que no sentido negativo até chegar em (=270o (3(/2 rad).
	O valor do seno é então igual a -1 já que a linha está na parte negativa do eixo.
	
		Se o ponto P continuar se movendo no mesmo sentido, podemos perceber que o tamanho da linha cinza diminui até chegar em 0 quando o ângulo (=360o (2( rad).
	A partir ponto, o ciclo do seno se repete.
	
	A partir dessa análise, podemos traçar o gráfico da função seno no intervalo de 0 a 2(:
	A função seno é representada da seguinte maneira:
		
, sendo que x é o ângulo dado em radianos.
	Podemos fazer a mesma análise do ciclo trigonométrico para a função cosseno (eixo horizontal). O resultado é o seguinte gráfico no intervalo de 0 a 2(:
	A função cosseno é representada da seguinte maneira:
		
, sendo que x é o ângulo dado em radianos.
	As funções trigonométricas seno e cosseno são chamadas periódicas, pois a cada ciclo de 360o (2() os seus valores se repetem. Dessa forma, os dois gráficos mostrados anteriormente se repetem ao longo do eixo x indefinidamente. Vale notar a característica oscilante das funções seno e cosseno entre os valores +1 e -1.
OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
	A partir das duas funções conhecidas, podemos definir outras quatro funções importantes: a secante, a cossecante, a tangente e a cotangente. Essas funções são definidas por:
		
 e 
		
 e 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS PRINCIPAIS
	As funções trigonométricas podem ser relacionadas entre si através de fórmulas conhecidas como relações trigonométricas.
	As principais relações trigonométricas são:
	
	
	Todas as fórmulas acima são demonstradas com o auxílio do ciclo trigonométrico. Algumas dessas demonstrações são mostradas no apêndice 1.
MODELOS BASEADOS NAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
	Vamos analisar dois modelos em que as funções trigonométricas se aplicam:
Voltagem elétrica;
Movimento harmônico simples (MHS).
VOLTAGEM ELÉTRICA
	A maioria dos aparelhos da nossa casa funciona no que chamamos corrente alternada (C.A.). O sistema de corrente alternada se baseia na variação da voltagem elétrica conforme a seguinte função trigonométrica:
		
	Onde:
		Vmáx é a tensão máxima fornecida pela distribuidora, igual a 
 Volts ((180V);
		f é a freqüência com que a voltagem varia, dada em ciclos por segundo (Hertz). No Brasil, a freqüência adotada é igual a 60 Hertz.
	O gráfico da voltagem é dado por:
	Essa variação da voltagem faz com que a corrente elétrica dentro dos aparelhos circule ora num sentido ora no sentido contrário. Portanto, uma freqüência de 60 Hz (ciclos por segundo) faz com que o sentido da corrente se alterne 60 vezes a cada 1 segundo!
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
		Se desprezarmos o atrito, o movimento de uma massa m presa a uma mola de constante k tem a característica de se repetir com o tempo. Portanto, o deslocamento da massa pode ser descrito pela seguinte função trigonométrica:
		
	
	Onde:
		Amáx é a amplitude máxima do movimento, dada em metros;
		f é a freqüência com que o deslocamento varia, dada em ciclos por segundo (Hertz).
	A relação funcional entre o deslocamento e o tempo é dada pelo gráfico:
	A amplitude máxima é o maior deslocamento que a massa pode atingir em relação ao ponto de equilíbrio. Determinamos a amplitude máxima medindo a distância do ponto em que a massa estava parada até o ponto em que foi deslocada para iniciar o seu movimento.
	Já a freqüência informa quantas vezes em 1 segundo a massa passa por um ponto de referência. Esse valor depende da massa m e da constante k da mola. Quanto maior a massa, para a mesma mola, mais lento será o movimento e menor será a freqüência.
EXERCÍCIOS
	1 – Prove as seguintes relações:
		a) 
		b) 
			Dica:
			Comece pela relação trigonométrica fundamental:
				
		c) 
		d) 
		e) 
		f) 
		g) 
			Dica:
			Você deve partir da relação:
				
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
	Considere a seguinte questão:
Qual é o ângulo cujo seno é igual a 1/2 ?
	Essa pergunta pode ser respondida através da definição das funções trigonométricas inversas. Partindo da função seno:
		
	Colocaremos x onde aparece y e y onde aparece x:
		
	Separando y, teremos a definição da função arco-seno:
		
, onde y é dado em radianos
	Podemos definir as outras funções trigonométricas inversas da mesma maneira.
Exemplo
	Quanto vale 
 ?
Solução
	Interpretando y como o ângulo cujo seno é 
, então, y é igual a 
 (=30o).
GRÁFICOS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
	Os gráficos do arco-seno e do arco-cosseno são obtidos descobrindo-se os valores de y quando x varia de –1 a +1.
OUTRAS FUNÇÕES ESPECIAIS
Função condicional
	A característica mais marcante da função condicional é a definição de uma expressão diferente para cada trecho do seu domínio.
Exemplo
	Encontre o gráfico da seguinte função condicional:
		
Solução
	Esse gráfico deve ser construído por partes. Enquanto x for positivo, y é dado pela primeira função. Já quando x for negativo, y é dado pela segunda função.
	Portanto, o gráfico é dado por:
Exemplo
	Encontre o gráfico da seguinte função condicional:
		
Solução
	Fazendo da mesma forma que no exemplo anterior:
	Para a primeira função, não é permitido calcular o valor de y no ponto x=2 (o que daria y=4). Essa situação é representada pela bola aberta.
	Conforme a função condicional, quando x=2 temos que y=6. Devemos representar esse caso com uma bola fechada.
Função modular
	A função modular é definida por:
		
	A finalidade da função modular é transformar qualquer valor negativo de y em positivo. Todas as funções estudadas anteriormente podem ser convertidas em funções modulares, bastando para isso refletir a parte negativa de y para a parte positiva.
Exemplo
	Construir o gráfico da função 
.
Solução
	O primeiro passo consiste em construir o gráfico da função
:
	Agora, devemos refletir a parte negativa de y para a parte positiva:
	Dessa forma, podemos encontrar o gráfico de qualquer função modular.
MODELO BASEADO NA FUNÇÃO MODULAR
	Vamos analisar um modelo onde a função modular se aplica:
Retificador de onda completa;
RETIFICADOR DE ONDA COMPLETA
	O retificador de onda completa é um dispositivo eletrônico que implementa a função modular. A figura abaixo mostra o circuito do retificador:
	A análise dos sinais de entrada e saída permite entender melhor a função do retificador:
	
	
	Dizemos que o retificador transforma um sinal em corrente alternada em um sinal em corrente contínua pulsada (a corrente elétrica sobe até um valor máximo e cai até zero).
	O circuito retificador é utilizado dentro do carregador da bateria do celular para converter corrente alternada em corrente contínua.
ALTERAÇÕES NO GRÁFICO DA FUNÇÃO
	Podemos alterar o gráfico de uma função para obtermos um novo gráfico que anda guarda relação visual com a função que lhe deu origem. São possíveis as seguintes alterações:
Ampliar ou comprimir uma função;
Refletir uma função em relação aos eixos x e y;
Deslocar uma função.
AMPLIANDO OU COMPRIMINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO
	Uma função pode ser ampliada ou comprimida nas direções horizontal e vertical. Sendok um número positivo, as alterações na direção horizontal são feitas através da seguinte operação:
		
	Para k>1, a função g(x) é igual a f(x) comprimida k vezes na direção horizontal;
Para 0<k<1, a função g(x) é igual a f(x) ampliada k vezes na direção horizontal.
Exemplo
	Construir os gráficos das funções 
 e 
.
Solução
	Conforme a regra, a função g(x) é igual a f(x) comprimida duas vezes na direção horizontal:
		Observe que g(x) é uma compressão horizontal de f(x) e que, por outro lado, f(x) é uma ampliação horizontal de g(x).
	
	Sendo k um número positivo, as alterações na direção vertical são feitas através da seguinte operação:
		
	Para k>1, a função g(x) é igual a f(x) ampliada k vezes na direção vertical;
Para 0<k<1, a função g(x) é igual a f(x) comprimida k vezes na direção vertical.
Exemplo
	Construir os gráficos das funções 
 e 
.
Solução
	Conforme a regra, a função g(x) é igual a f(x) ampliada duas vezes na direção vertical:
		É interessante observar que g(x) é uma ampliação vertical de f(x) e que, por outro lado, f(x) é uma compressão vertical de g(x).
	
REFLETINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO
	Uma função pode ser refletida em relação aos eixos x e y. Uma reflexão em relação ao eixo y é feita através da seguinte operação:
		
Exemplo
	Construir os gráficos das funções 
 e 
.
Solução
	Conforme a regra, a função g(x) é igual a f(x) refletida em relação ao eixo y:
		É interessante observar que g(x) é uma reflexão de f(x) em relação ao eixo y e que, por outro lado, f(x) é uma reflexão de g(x) em relação ao eixo y.
	
	Uma reflexão em relação ao eixo x é feita através da seguinte operação:
		
Exemplo
	Construir os gráficos das funções 
 e 
.
Solução
	Conforme a regra, a função g(x) é igual a f(x) refletida em relação ao eixo x:
		É interessante observar que g(x) é uma reflexão de f(x) em relação ao eixo x e que, por outro lado, f(x) é uma reflexão de g(x) em relação ao eixo x.
	
DESLOCANDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO
	Uma função também pode ser deslocada nas direções horizontal e vertical. As alterações na direção vertical são feitas através da seguinte operação:
		
	Para k>0, a função g(x) é igual a f(x) deslocada k unidades para cima;
Para k<0, a função g(x) é igual a f(x) deslocada k unidades para baixo.
Exemplo
	Construir os gráficos das funções 
 e 
.
Solução
	Conforme a regra, a função g(x) é igual a f(x) deslocada duas unidades para cima:
		É interessante observar que g(x) é igual a f(x) deslocada para cima e que, por outro lado, f(x) é igual a g(x) deslocada para baixo.
	
	As alterações na direção horizontal são feitas através da seguinte operação:
		
	Para k>0, a função g(x) é igual a f(x) deslocada k unidades para a esquerda;
Para k<0, a função g(x) é igual a f(x) deslocada k unidades para a direita.
Exemplo
	Construir os gráficos das funções 
 e 
.
Solução
	Conforme a regra, a função g(x) é igual a f(x) deslocada cinco unidades para a direita:
		Podemos observar que g(x) é igual a f(x) deslocada 5 unidades para a direita e que, por outro lado, f(x) é igual a g(x) deslocada cinco unidades para a esquerda.
	
APLICAÇÕES DAS ALTERAÇÕES NO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
	Em Estatística, a distribuição de probabilidade mais importante é dada pela função:
		
	Onde:
		( é o valor médio das ocorrências;
		( é o desvio padrão da distribuição ((>0).
	A função f(x) é conhecida como curva normal, curva de sino ou curva de Gauss em homenagem ao matemático Karl Friedrich Gauss.
	Dependendo do valor de (, a curva de Gauss pode ser deslocada para a esquerda ou direita:
	As suas aplicações práticas vão desde o controle de qualidade nas indústrias até a análise dos ruídos que causam interferências nos sinais de televisão ou do telefone celular.
	Dependendo do valor de (, a função pode ser ampliada ou comprimida verticalmente:
	A medida da dispersão das ocorrências em relação à média é dada pelo desvio-padrão (. Um exemplo claro do desvio padrão é dado pela distribuição das alturas de uma população. Caso o número de pessoas altas seja maior, o desvio padrão é pequeno. Por outro lado, caso a população esteja distribuída entre pessoas altas e baixas o valor do desvio padrão é grande.
FUNÇÃO COMPOSTA
	A função composta é o resultado da substituição de uma função g(x) no lugar da variável independente de uma outra função f(x). Representamos essa situação por:
		
	Devemos ler 
 da seguinte maneira:“f bola g” ou função composta de g(x) em f(x).
	Podemos entender melhor a função composta usando os diagramas de Venn:
	
	
	Maneira mais trabalhosa
	Maneira mais rápida
	Conforme o primeiro diagrama de Venn, o cálculo de z é feito em duas partes. Primeiro, substituímos x em g(x) para obtermos y. Em seguida, usamos o resultado de y na função f(y) para encontrarmos o valor de z. Essa é a forma mais trabalhosa de calcular uma função composta.
	Como pode ser visto no segundo diagrama de Venn, podemos utilizar a definição de função composta para poupar o trabalho de calcularmos o valor intermediário y.
Exemplo
	Encontrar 
, sabendo-se que 
 e 
.
Solução
	Devemos substituir g(x) onde aparecer a variável x na função f(x):
		
		
 USANDO SOFTWARE MATEMÁTICO
	®
	O Mathematica é um software matemático com funções internas que auxiliam as mais diversas tarefas em que o cálculo necessita ser simplificado.
	Atualmente, é um dos softwares mais utilizados tanto na área Matemática como na Física, Computação, Engenharia, Biologia, etc.
	
 O AMBIENTE DO MATHEMATICA
	O ambiente do Mathematica é composto por uma janela de edição (em branco), onde os comandos são digitados e executados. Possui ainda uma barra de menu e uma barra de comandos com as operações matemáticas mais comuns.
 EXECUTANDO UM COMANDO
	Para executarmos um comando no Mathematica basta clicar na área de edição e começar a digitar o código. Em seguida, devemos pressionar a combinação de teclas: Shift e Enter.
	Todo comando digitado e executado recebe uma numeração de ordem de execução especificada entre colchetes após a palavra In.
Exemplo
	Digite o comando:
		Plot[x^2,{x,-2,2}]
	Após pressionar Shift + Enter, aparecerá na janela de edição:
		In[1]:=Plot[x^2,{x,-2,2}]
	O símbolo In significa que é um comando de entrada e [1] é a sua ordem na execução, ou seja, In[1] é o primeiro comando de entrada executado.
	O resultado da execução é precedido do símbolo Out[1] que significa resultado da execução do primeiro comando. Se o comando for executado corretamente, a janela de edição se parecerá exatamente com a figura abaixo:
 SIMBOLOGIA DAS OPERAÇÕES
	O Mathematica utiliza os seguintes símbolos na construção de equações:
	Símbolo
	Descrição
	Exemplo
	.
	Indica início das casas decimais do número
	2.3 (=2,3)
	* ou espaço
	Indica multiplicação entre os números
	2*3 ou 2 3
	/
	Indica divisão entre os números
	2/3
	^
	Indica potência
	2^3 (=23)
	*^
	Indica potência de dez
	2*^3 (=2x103)
	O Mathematica possui ainda um conjunto de constantes:
	Símbolo
	Descrição
	Exemplo
	E
	Indica o valor de e=2,7182...
	E^2
	Pi
	Indica o valor de (=3,1415...
	Pi/2
	I
	Indica o número complexo i
	I^2
	Infinity
	Indica o símbolo (
	-Infinity
	Degree
	Fator de conversão de graus para radianos: 
	90*Degree (=Pi/2)
 ALGUMAS FUNÇÕES DO MATHEMATICA
	No quadro abaixo estão descritas algumas das funções básicas do Mathematica.
	Comando
	Descrição
	Exemplo
	Sqrt[x]
	Raiz quadrada de x
	Sqrt[2]
	Exp[x]
	Exponencial de base “e”
	Exp[1]
	Log[x]
	Logaritmo de base “e” (logaritmo neperiano)
	Log[E]
	Log[b,x]
	Logaritmo de base b
	Log[2,8] (=log28)
	N!
	Fatorial de n
	3!
	Comando
	Descrição
	Exemplo
	Abs[x]
	Módulode x
	Abs[-2] (=|-2|)
	Mod[n,m]
	Resto da divisão de n por m
	Mod[5,2] (=1)
	Sin[x]
	Seno de x (x em radianos)
	Sin[Pi/2]
	Cos[x]
	Cosseno de x (x em radianos)
	Cos[Pi]
	Tan[x]
	Tangente de x (x em radianos)
	Tan[Pi/2]
	ArcSin[x]
	Arco-Seno de x (resultado em radianos)
	ArcSin[1/2]*1/Degree
	ArcCos[x]
	Arco-Cosseno de x (resultado em radianos)
	ArcCos[Sqrt[3]/2]*1/Degree
	ArcTan[x]
	Arco-Tangente de x (resultado em radianos)
	ArcTan[Infinity]*1/Degree
	
		É importante observar que todos os comandos começam com letra maiúscula e os seus argumentos são fechados por colchetes.
 REUSANDO RESULTADOS
	Os resultados de uma execução podem ser reaproveitados de forma que o seu comando possa ficar mais compacto.
	Comando
	Descrição
	Exemplo
	%
	Aproveita o último resultado calculado
	%+2
	%n
	Aproveita o resultado que está em Out[n]
	%3+2 (=Out[3]+2)
	
		Cuidado com a reutilização de comandos, principalmente com o comando %n. Tenha certeza que Out[n] é o resultado que você deseja utilizar.
Exemplo
	Digite e execute o comando:
		(Sin[x])^2
	Em seguida digite e execute o comando:
		%+(Cos[x])^2
 COMPUTAÇÃO SIMBÓLICA
	O Mathematica consegue fatorar, expandir e operar uma equação algébrica das mais diversas formas. Essa facilidade é conhecida como computação simbólica.
Exemplo
	Digite e execute o comando:
		3*x2-x+x2
	O resultado após a execução:
		4*x2-x
Factor[expressão]
	Esse comando fatora a expressão entre colchetes.
Exemplo
	Digite e execute o comando:
		Factor[3*x2-x+x2]
	O resultado será:
		x(-1+4x)
Expand[expressão]
	Esse comando expande a expressão entre colchetes.
Exemplo
	Digite e execute o comando:
		Expand[(1+x)^2]
	O resultado será:
		1+2x+x2
Simplify[expressão]
	Esse comando simplifica ao máximo a expressão entre colchetes.
Exemplo
	Digite e execute o comando:
		Simplify[1+2x+x2]
	O resultado será:
		(1+x)2
Together[expressão]
	Esse comando coloca a expressão sob o mesmo denominador.
Exemplo
	Digite e execute o comando:
		Together[1/x+1/(x-1)]
	O resultado será:
		
Apart[expressão]
	Esse comando separa a expressão em vários termos com denominadores simples.
Exemplo
	Digite e execute o comando:
		Apart[(-1+2*x)/(x*(-1+x))]
	O resultado será:
		
TrigExpand[expressão_trigonométrica]
	Esse comando coloca expressões trigonométricas como soma de termos.
Exemplo
	Digite e execute o comando:
		TrigExpand[Cos[2*x]]
	O resultado será:
		Cos[x]2-Sin[x]2
 ENCONTRANDO AS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO
	O Mathematica pode encontrar as raízes de uma determinada equação. Isso é feito através do comando:
		Solve[expressão = = 0,variável_da_equação]
Exemplo
	Digite e execute o comando:
		Solve[x2-5x+6= = 0,x]
	O resultado será:
		{{x(2},{x(3}}
 DEFININDO FUNÇÕES
	Uma função pode ser definida para posterior uso. Isso é feito através do seguinte comando:
		f[ x_ ]:=expressão em x
	Note que existe um traço após a ocorrência de x dentro dos colchetes.
Exemplo
	Digite e execute os comandos:
		f[ x_ ]:=x2-5x+6
		f[2]
	O resultado será igual a:
		0
	Agora, digite e execute o comando:
		f[x^2]
	O resultado será:
		x4-5x2+6
 PLOTANDO FUNÇÕES
	Uma função pode ser colocada num gráfico usando o comando:
		Plot[expressão,{variável_independente, mínimo, máximo}]
Exemplo
	Digite e execute o comando:
		Plot[x2-5x+6,{x,0,3}]
	O resultado será o gráfico da função f(x)=x2-5x+6 no intervalo de x=0 a x=3.
	É possível colocar várias funções no mesmo gráfico através do seguinte comando:
		Plot[{expressão1, expressão2,...},{variável_independente, mínimo, máximo}]
Exemplo
	Digite e execute o comando:
		Plot[{x^2, x^3, x^4},{x,-3,3}]
	O resultado será um único gráfico com as funções f(x)=x2, g(x)=x3 e h(x)=x4 para x variando de -3 a 3.
f(x)=sen(x)
g(x)=sen(2x)
g(x)=2(sen(x)
c
Vértice da Parábola
VSAÍDA(t)
VENTRADA(t) = sen(t)
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
Esse ciclo se repete 60 vezes a cada 1 segundo!
( = 1 radiano
Sentido anti-horário
g(x)=(x-5)2
g(x)=sen(x)+2
Cosseno do ângulo (
Seno do ângulo (
VSAÍDA(t) = (sen(t)(
f(x)
f(x)=x2
VENTRADA(t)
f(x)=sen(x)
g(x)=-x
f(x)=sen(x)
f(x)=x
g(x)=-x2
f(x)=x2
página � PAGE �37�
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