gabarito da apostila 2012

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Gabarito
1 – a) Para calcular , observamos que, como numerador e denominador têm 
limite, sendo o segundo deles diferente de 0, pela propriedade sobre o limite do quociente, temos:
b) Para calcular , observamos que numerador e denominador têm limite, sendo ambos iguais a 0 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente.
Como e , ambos, numerador e denominador, 
têm x=1 como raiz.
Fatorando os dois polinômios, temos:
e
pois e são as raízes do polinômio .
Logo, .
c) Para calcular , observamos que, como numerador e denominador têm limite, sendo o segundo deles diferente de 0, pela propriedade sobre o limite do quociente, temos:
d) Para calcular , observamos que numerador e denominador têm 
limite, sendo ambos iguais a 0 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente.
Como e , ambos, numerador e denominador, têm x=1 como raiz.
Fatorando os dois polinômios, temos:
e
Para fazer essa fatoração precisamos de uma propriedade geral, que é o Teorema d'Alembert. Segundo esse teorema, se o número a é raiz de um polinômio P(x) então P(x) é divisível por (x-a).
Assim sendo, podemos escrever, a partir da divisão de polinômios:
e
.
Logo,
e ) Para calcular , observamos que numerador e denominador têm 
limite, sendo ambos iguais a 0 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente.
Como e , ambos, numerador e denominador, têm x=a como raiz.
Fatorando os dois polinômios, temos:
Logo,
f) Para calcular , observamos que numerador e denominador têm limite, sendo ambos iguais a 0 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente.
Temos:
g) Para calcular , observamos que cada uma das parcelas não tem 
limite no ponto 1 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite da soma.
Entretanto, temos que:
Logo,
h) Para calcular , observamos que numerador e denominador têm limite, sendo ambos iguais a 0 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente.
Em primeiro lugar, é importante observar que 
Daí, 
Podíamos também ter calculado esse limite, multiplicando o numerador e o denominador da fração pela expressão conjugada do numerador, obtendo:
Dada a expressão ab, a expressão conjugada é a+b, reciprocamente, dada a+b, a conjugada é ab.
Sempre é verdade que
a2b2=(ab).(a+b)
i) Para calcular , observamos que numerador e denominador têm limite, sendo ambos iguais a 0 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente.
Entretanto, podemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por convenientes expressões que possibilitam simplificações interessantes. Assim sendo:
Não podemos esquecer que
(ab).(a+b)=a2b2
e que
(ab).(a2+ab+b2)=a3b3
Logo,
j) Para calcular , observamos que numerador e denominador têm limite, sendo ambos iguais a 0 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente.
Entretanto, 
bem como, a3-b3=(a-b).(a2+ab+b2),
podemos escrever:
e, portanto,
k) Para calcular , observamos que numerador e denominador têm limite, sendo ambos iguais a 0 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente.
Entretanto, multiplicando o numerador e o denominador da fração pela expressão conjugada do numerador, temos:
Dada a expressão ab, a expressão conjugada é a+b, reciprocamente, dada a+b, a conjugada é ab.
Sempre é verdade que
a2b2=(ab).(a+b)
l) Para calcular , observamos que numerador e denominador têm limite, sendo ambos iguais a 0 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente.
Entretanto, utilizando o mesmo tipo de artifício dos limites anteriores, temos:
m) Utilizando o mesmo tipo de artifício dos limites anteriores - uma vez que não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente - obtemos:
n) Utilizando o mesmo tipo de artifício dos limites anteriores - uma vez que não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente - obtemos:
o) Utilizando o mesmo tipo de artifício dos limites anteriores - uma vez que não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente - obtemos:
p) Utilizando o mesmo tipo de artifício dos limites anteriores - uma vez que não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente - obtemos:
q) Utilizando o mesmo tipo de artifício dos limites anteriores - uma vez que não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente - obtemos:
r) Utilizando o mesmo tipo de artifício dos limites anteriores - uma vez que não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente - obtemos:
s) Como não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente, utilizando o mesmo tipo de artifício que foi usado, por exemplo, no item d) do Exercício 4, obtemos:
É preciso observar que as fatorações 
foram obtidas através da divisão dos polinômios e por .
t) Como não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente, utilizando o mesmo tipo de artifício que foi usado, por exemplo, no item m) do Exercício 4, obtemos: