O melhor formulário de Eletromagnetismo da internet - parabéns ao professor

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Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Formulário de Teoria Eletromagnética I 
 
Prof. Antonio Lopes de Souza, Ph.D. 
 
ANALISE VETORIAL 
 
1- Distância entre dois pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2): 
 
2
12
2
12
2
12 )z-(z + )y-(y + )x-(x =d
 
 
2- Vetor dirigido do ponto A(x1,y1,z1) para o ponto B(x2,y2,z2): 
 
za)z-(z+a)y-(y+a)x-(xR 12y12x12


 
 
3- Vetor unitário e módulo de um vetor: 
 
zzyyxx aRaRaRR


 
RaRR 
 
 
R
R
aR 
 
z
2
y
2
x
2 RRRR 
 
4- Produto escalar entre dois vetores expressos em coordenadas cartesianas: 
 
zzyyxx aAaAaAA


 e 
zzyyxx aBaBaBB


 
 
zzyyxx BABABAcosBAB . A 
 onde  é o ângulo entre os dois vetores 
 
5- Produto vetorial entre dois vetores
aN
 
 
zzyyxx aAaAaAA


 e 
zzyyxx aBaBaBB


 
 
Na sinBABA


 onde 
Na

 é o vetor unitário normal ao plano formado pelos vetores 
A
 e 
B
 cujo 
sentido é dado pela regra do parafuso da mão direita (o sentido de movimento de um parafuso girado com a mão 
direita). 
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
aaa
BA  
 
6- Elementos diferenciais de volume 
 dv = dxdydz (cartesianas) 
 dv = dddz (cilíndricas) 
 dv = r
2
sindrdd (esféricas) 
 
ELETROSTÁTICA 
 
7- Lei de Coulomb 
 
R2
0
21 a
R4
QQ
F


 (N), onde 
m/F10854,8 120

, R é a distância entre as cargas e 
aN
 é o vetor 
unitário dirigido da carga provoca a força para a carga sobre a qual age a força. A lei de Coulomb descreve 
forças de interação mútua, ou seja, a força que a primeira carga provoca sobre a segunda é igual e contrária 
àquela que a segunda provoca sobre a primeira. 
 
 
 
 
8- Campo elétrico da carga pontual 
 
R2
0
a
R4
Q
E


 (V/m), onde Q é a carga fonte do campo elétrico e os outros elementos da equação se 
encontram definidos na fórmula 7. 
 
9- Campo elétrico de um sistema de N cargas pontuais 
 
Rm2
m0
N
1m
a
R4
Q
E



 (V/m), ou seja, o campo total é a soma dos campos provocados por cada carga 
do sistema, agindo isoladamente. 
 
10- Campo da linha infinita de cargas 
 
R
0
L a
R2
E



 (V/m), onde 
L
 é a densidade linear de cargas na linha infinita, R é a menor distância 
da linha ao ponto onde se quer 
E
, e 
Ra
 é o vetor unitário atuando ao longo de R e apontando da linha para o 
ponto onde se quer o campo elétrico. 
 
11- Campo da folha infinita de cargas 
 
N
0
S a
2
E



 (V/m), onde 
S
C/m
2
 é a densidade superficial de cargas presente na folha infinita e 
Na
 é o 
vetor unitário normal à folha e apontando da folha para o ponto onde se quer o campo elétrico. 
 
12- Distribuições de carga 
 
dLQ
L
L
 (carga linear) 
 
dSQ
S
S
 (carga superficial) 
 
dvQ
v
v
 (carga volumétrica) 
 
13- Equação das linhas de campo 
 dado 
yyxx aEaEE 
 
 
dx
dy
E
E
x
y

 
 
14- Fluxo elétrico 
 
dSD
S
 
, (C), onde 
D
 é o vetor densidade de fluxo elétrico medido em C/m
2
. 
ED 0
, onde 
0
 é 
a permissividade do vácuo ou espaço livre e dada por: 
 
)m/F(10
36
1
10854,8 9120
 


 
 
15- Lei de Gauss: “o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total envolvida pela mesma 
superfície”. 
 
QdSD
S
total  
 
 
 
 
16- Divergente 
 
z
D
y
D
x
D
D z
yx









 (cartesianas) 
 
z
DD1)D(1
D z












 (cilíndricas) 
 












D
sinr
1)sinD(
sinr
1
r
)Dr(
r
1
D r
2
2
 (esféricas) 
 
17- Primeira equação de Maxwell 
 
vD 
 onde 
v
é a densidade volumétrica de cargas 
 
18- Trabalho realizado para mover uma carga entre dois pontos dentro de um campo elétrico 
 
dLEQW
final
inicial
 
, onde 
dL
é o vetor deslocamento elementar definido abaixo para os três sistemas de 
coordenadas: 
 
zyx adzadyadxdL 
 (cartesianas) 
 
zadzadaddL  
 (cilíndricas) 
 
  adsinrardadrdL r
 (esféricas) 
 
19- Diferença de potencial (ddp) entre dois pontos A e B 
 
dLEVVV
A
B
BAAB  
 (V), ou seja, a diferença de potencial entre os pontos A e B é a medida do 
trabalho realizado para mover uma carga unitária e positiva de B até A dentro do campo elétrico em questão. 
 
20- Diferença de potencial no campo de uma carga pontual 
 
)
R
1
R
1
(
4
Q
VV
BA0
BA 


 (V), onde Q é a carga fonte do campo potencial presente na região e RA e 
RB são as menores distâncias entre a carga fonte Q e os pontos A e B, respectivamente. 
 
21- Diferença de potencial no campo de uma linha infinita de cargas 
 
A
B
0
L
BA
R
R
ln
2
VV



 (V), onde 
L
 é a densidade linear de cargas presente na linha infinita, RA e RB 
são as menores distâncias entre a linha e os pontos A e B respectivamente, e onde “ln” indica logaritmo natural. 
 
22- Campo potencial absoluto de uma carga pontual 
 
C
R
1
4
Q
V
0



 (V), onde R é a menor distância entre a carga fonte Q e o ponto onde se quer o 
potencial absoluto e C é uma constante cujo valor depende da localização do zero de referência para potencias. 
Para o caso em que o zero de referência é localizado no infinito o valor de C é zero. 
 
 
 
23- Gradiente 
 
zyx a
z
V
a
y
V
a
x
V








 =V
 (cartesianas) 
 
za
z
V
a
V1
a
V









 =V
 (cilíndricas) 
 










 a
V
sinr
1
a
V
r
1
a
r
V
r=V
 (esféricas) 
 
24- Relação entre V e 
E
 
 
VE 
 
 
25- Energia armazenada no campo elétrico de um sistema de N cargas pontuais 
 



N
1m
mmVQ
2
1
W
 (J) 
 
26- Energia armazenada no campo elétrico de uma distribuição contínua de cargas 
 
dv)E . D(
2
1
VdvW
volvol
vE  
 (J), onde 

é a densidade volumétrica de cargas presente no volume v. 
 
27- Corrente 
 
dS . JI
S

 (A), onde 
J
 é o vetor densidade de corrente, medido em Ampères por metro quadrado 
(A/m
2
) e S a superfície através da qual se quer medir o fluxo de corrente. 
 
28- Densidade de corrente de convecção 
 
UJ 
, onde 

é uma densidade volumétrica de cargas movendo-se com vetor velocidade 
U
. 
 
29- Equação da continuidade 
 
t
J . 



 
 
30- Condutores metálicos 
 
EJ 
 onde 
J
 é a densidade de corrente de condução, 

é a condutividade e 
E
é o campo elétrico 
aplicado ao meio. 
 
ee
, onde 
e
 é a densidade volumétrica eletrônica e
e
 é a mobilidade do elétron. 
 
31- Resistência de objetos condutores 
 
dS . E
dL . E
I
V
R
S
A
BAB




 ( ) 
32- Condições de fronteira condutor espaço-livre 
 
0ED tt 
 
 
sn0n ED 
 (caso a fronteira seja condutor-dielétrico basta substituir 
0
 por 
R0
) 
 
0DE 
 no interior do condutor. 
 
33- Materiais dielétricos 
 
EP e0
 (C/m
2
) 
 
1Re , onde 
P
 é o vetor polarização, 
e
 é a susceptibilidade elétrica do material e 
E
é o campo 
elétrico aplicado. 
 
bP . 
, onde 
b
é a densidade de cargas de polarização. 
 
PED 0 
 ou 
ED 
, onde 
R0
 
 
34- Condições de fronteira dielétrico-dielétrico 
 
2t1t EE 
 
 
2n21n1 EE 
 
 
2t11t2 DD 
 
 
2n1n DD 
 
 
35- Capacitância 
 
0V
Q
C 
, onde Q é o módulo da carga em um dos condutores do sistema e V0 é a diferença de potencial 
entre os condutores. 
 
35- Equação de Laplace: 
 
0V2 
 descreve as distribuições de potenciais eletrostáticos em regiões livres de cargas (exceto as 
cargas fontes do campo V). 
 
36- Equação de Poisson: 
 


 V2V
 descreve as distribuições de potenciais eletrostáticos em regiões com cargas (
V
) e 
permissividade (

). 
 
37- Laplaciano 
2
2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V
V









 (Cartesianas) 
2
2
2
2
2
2
z
VV1
)
V
(
1
V














 (Cilíndricas) 
2
2
222
2
2
2 V
sinr
1
)
V
(sin
sinr
1
)
r
V
r(
rr
1
V
















 (Esféricas) 
 
MAGNETOSTÁTICA 
12-9
0 10 x 854,810
36
1


 
 F/m 
-7
0 10 x 4
 H/m) 
38- Lei de Biot-Savart: 
2
R
R4
adLI
Hd



, onde 
dLI
é um elemento diferencial de corrente, R é distância do elemento diferencial de 
corrente ao ponto onde se quer o campo magnético e 
Ra
 é o vetor unitário apontando do elemento diferencial de 
corrente para o ponto onde se quer 
H
. 
 
39- Lei de Biot-Savart: 
a) campo magnético de distribuições filamentares de corrente: 
2
R
R4
adLI
H


 
 (A/m) 
b) campo magnético de distribuições superficiais de corrente: 
2
R
S
R4
dS)aK(
H


 

 (A/m) 
c) campo magnético de distribuições volumétricas de correntes: 
2
R
vol
R4
dv)aJ(
H


 

 (A/m) 
onde 
dLI
=
dSK
 =
dvJ
 onde I é a intensidade de corrente, 
K
 é o vetor densidade superficial de corrente (corrente 
em superfícies), medido em A/m, e 
J
 é o vetor densidade de corrente (corrente em volumes), medido em A/m
2
. 
 
40- Campo magnético do filamento infinito de corrente: 
Ha
R2
I
H



 (A/m), onde I é a corrente convencional fluindo no filamento e R é a menor distância do 
ponto onde se quer o campo magnético até filamento. O unitário do campo, 
Ha

, é normal ao plano formado por 
I e R e tem o sentido determinado pela regra da mão direita (o dedo polegar da mão direita aponta no sentido do 
fluxo da corrente convencional e os quatro dedos restantes enlaçam o condutor indicando o sentido do campo 
magnético, como na figura abaixo). 
 
(regra da mão direita para o sentido do campo magnético) 
 
41- Campo magnético do filamento finito 
 
H12 a )sin(sin
R4
I
H




, onde R é a menor distância entre a reta que contém o filamento finito (a 
reta suporte) e o ponto onde se quer o campo magnético. O ângulo 
 1
 é formado entre R e a reta que une o 
ponto onde se quer o campo magnético ao ponto por onde a corrente entra no filamento. O ângulo 
 2
 é 
formado entre R e a reta que une o ponto onde se quer o campo magnético ao ponto por onde a corrente sai do 
filamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sinal do ângulo é positivo quando o sentido de crescimento dele (ele cresce sempre a partir de R) coincidir 
com o da corrente. Na figura acima 
 1
é negativo e 
 2
é positivo. A direção de H é normal ao plano formado 
entre R e I. O sentido é obtido pela regra da mão direita (o dedo polegar apontando o sentido da corrente e as 
I 
1
 
2
 
R 
Ponto P 
Filamento finito 
Reta suporte do filamento 
extremidades dos outros dedos quatro tocando o ponto onde se quer H, o ponto P). Na figura acima H seria 
normal do plano do papel e apontaria para baixo, entrando no plano do papel no ponto P. 
 
42- Lei Circuital de Ampère 
 
IdL.H 
 , ou seja, a circulação do campo magnético é igual à corrente contínua envolvida no percurso 
da mesma circulação. O vetor 
Ld
 é tomado sobre o percurso de integração. O sentido da circulação é orientado 
positivamente com o sentido da corrente através da regra da mão direita (o dedo polegar indica o sentido 
positivo da corrente convencional e os quatro dedos restantes indicam o sentido positivo da circulação). 
 
43- Campo magnético do cabo coaxial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43.1) para <a 
2a2
I
H



 43.2) para a<<b 


2
I
H
 
43.3) para b<<c 
)bc(2
)c(I
H
22
22



 43.4) para >c 
0H 
 
 
44- Campo magnético da folha infinita percorrida por uma densidade de corrente 
)m/A( K
 
Na x K
2
1
H


, onde 
K
 é o vetor densidade superficial de corrente e 
Na

 é o vetor unitário normal à folha 
e dirigido dela para o ponto onde se quer calcular o campo magnético. 
 
44 – Campo de um solenoide infinitamente longo, com seção reta circular de raio “a”, com eixo de simetria 
coincidindo com o eixo “z” e percorrido por uma densidade superficial de corrente uniforme na direção 
azimutal 
 aKK a
 
44.1 – Solenoide ideal: 
ar para aKH za 
 e 
ar para 0H 
 
 44.2 – solenoide de N espiras com comprimento “d”: 
Za
d
NI
H


 para pontos próximos ao eixo de 
simetria e distantes das extremidades. 
 
45 – Rotacional 
45.1 - Definição geral da componente do rotacional na direção N 
N
0S
N
S
dL . H
lim)xH(
N 




 
 
 
x x 
a b c 
x 
Corrente I entrando no plano do papel 
Corrente I saindo do plano do papel 
y 
 
 
45.2- Rotacional em cartesianas 
z
xy
y
zx
x
yz a)
y
H
x
H
(a)
x
H
z
H
(a)
z
H
y
H
( H x 



















 
 
45.3- Rotacional em cilíndricas 
z
z
r
z a)
H1)H(1
(a)
H
z
H
(a)
z
HH1
( H x 

























 
Onde  é a coordenada radial em cilíndricas, ou seja, a menor distância do eixo z a um ponto do espaço. 
 
45.4- Rotacional em esféricas 























 a)
H
r
)rH(
(
r
1
a)
r
)rH(H
sin
1
(
r
1
a)
H)sinH(
(
rsin
1
 H x rrr
 
onde r é a coordenada radial em esféricas, ou seja, a menor distância da origem a um ponto no espaço. 
 
46 – Teorema de Stokes 
 
S
dS).H x (dL . H

, onde a integral de superfície é tomada sobre a superfície limitada pelo 
percurso da circulação. 
 
47- Densidade de Fluxo Magnético 
HB


 (Wb/m
2
), onde 
R0
 
)m/Henry( 10.4 70

é a permeabilidade do espaço livre e 
R
é a permeabilidade relativa do meio. Se o 
meio for o espaço livre 
0
 
 
48- Fluxo Magnético 

S
dS . B

 (Wb) 
 
49- Lei de Gauss do magnetismo 
0dS . B
S
 
 (o fluxo magnético total através de uma superfície fechado é nulo) 
 
50- Equações deMaxwell para campos estacionários na forma pontual 
0E x 
 (a circulação do campo eletrostático é nula) 
J H x 


 (lei de Ampère na forma pontual) 
 D . 
 (lei de Gauss na forma pontual – note que 

representa densidade de carga) 
0B . 
 (forma pontual da Lei de Gauss para o magnetismo) 
 
51- Equações de Maxwell para campos estacionários na forma integral 
0dL . E 
 
IdL . H 
 
 
vol
v
S
dvQdS . D

, onde 
v
representa densidade volumétrica de cargas. 
0dS . B
S


 
 
52- Potencial Escalar Magnético Vm 
mV- H 
 , 
0J 
 , ou seja, essa relação somente é válida em regiões onde não exista fluxo de corrente. O 
potencial magnético é medido em Ampère. 
dL . HVm
A
B
AB 
 (onde o percurso não pode fechar em torno de correntes) 
É possível definir uma “diferença de potencial magnético” VmAB entre dois pontos A e B desde que o percurso 
de integração não seja fechado em torno de correntes. Se o percurso AB fechar em torno de correntes a função 
potencial magnético escalar passa a ser multi-avaliada. 
 
53- Potencial Vetor Magnético 
A x B


, onde 
A
 é o potencial vetor magnético medido em (Wb/m). O Potencial Vetor Magnético 
aponta sempre no sentido da corrente que cria o campo. 
 
A partir da Lei de Biot-Savart e da definição de potencial vetor é possível mostrar que: 
 


R4
dLI
A 0
 para correntes filamentares 
 


S
0
R4
dSK
A

 para correntes superficiais 
 


vol
0
R4
dvJ
A

 para correntes volumétricas 
O potencial vetor magnético pode ser visualizado como uma fotografia fora de foco das distribuições de 
corrente. 
 
54- Força sobre uma carga Q em movimento dentro de um campo elétrico 
E
 . 
E QF


 
55- Força sobre uma carga Q em movimento com velocidade 
U
 dentro de um campo magnético 
B
 . 
)B x U(QF


 
56- Equação de Lorentz: força sobre uma carga Q em movimento com velocidade 
U
 dentro de um campo 
elétrico 
E
 e magnético
B
 
)B x UE(QF


 
57- Força provocada por um campo magnético estacionário 
B
 sobre um fluxo filamentar de corrente de 
intensidade I (A) 
B x dLIF


 
58- Força provocada por um campo magnético estacionário 
B
 sobre um fluxo superficial de corrente 
K
 (A/m) 
dS)B x K(F
S


 
59- Força provocada por um campo magnético estacionário 
B
 sobre um fluxo volumétrico de corrente 
J
 (A/m
2
) 
dv)B x J(F
vol


 
 
60- Força e torque sobre percursos fechados de corrente 
A força total exercida por um campo magnético uniforme 
B
 sobre um circuito fechado de corrente é nula. O 
torque não é nulo e é dado por: 
B x mT


, onde 
SIm


 é o vetor momento de dipolo magnético. Ele representa uma pequena espira na qual 
flui corrente convencional de intensidade I (A). O vetor 
S
 tem módulo igual à área da espira e aponta orientado 
com o fluxo da corrente convencional de acordo com a regra da mão direita como mostra a figura a seguir. 
 
 
O torque tem como finalidade o alinhamento entre os campos magnético do dipolo e o aplicado externamente. 
 
61-Magnetização 



 

vn
1i
i
0v
m
v
1
limM

 (A/m) 
bIdL . M 
 , onde 
bI
representa correntes de magnetização. 
HM m


, onde 
m
é a susceptibilidade magnética do material. 
mR 1 
 
bJM x 


, onde 
bJ
 é a densidade de correntes de magnetização. 

S
bb dS . JI

 
 
62- Relações gerais entre B e H 
 
HB


, onde 
R0
 
 
)MH(B 0


 e 
HM m


 
 
63- Condições de Fronteiras Magnéticas 
Componentes Normais : 
1N2N BB 
 , 
1N
2
1
2N HH



 , 
1N
2 m1
12m
1N
2
1
2m2N M
 
 
HM






 
Componentes Tangenciais: 
KHH 2t1t 
 onde K é o módulo do vetor densidade de corrente que poderia 
existir na fronteira entre os dois meios. Caso não exista corrente na fronteira as componentes tangenciais de H 
são contínuas. 
 
Uma relação vetorial mais geral para o caso da existência de correntes nas fronteiras seria: 
Ka x )HH( N1221


, onde 
12Na

é o vetor unitário normal à fronteira e dirigido do meio 1 para o meio 2. 
 
K
BB
2
2t
1
1t 



 
vD 
 e 
KMM 2m1t
1m
2m
2t 



 
Mão Direita 
m
 
Corrente convencional I 
Área S 
Vetor momento de dipolo 
magnético 
 
64- Circuitos Magnéticos 
S
L


 (Ae/Wb), – Relutância de um material linear, homogêneo e isotrópico de comprimento L, área 
de seção reta S e permeabilidade 

. 
mV
, onde 

é o fluxo magnético fluindo no circuito magnético. Essa fórmula somente pode ser 
aplicada para calcular “quedas” de potencial magnético em meios lineares, homogêneos e isotrópicos, nos quais 
R
é constante. 
Em materiais não lineares 
mV
 é calculada a partir da equação: 

B
A
mAB dL . HV
 , que, para casos em que 
supomos o campo magnético uniforme na seção reta do circuito magnético, pode ser calculada como 
HLVm 
, 
onde L é o comprimento da seção e H deve ser obtido a partir da curva de magnetização (curva B-H) do 
material. 
A fonte que alimenta um circuito magnético (o conjunto de N espiras percorrido por corrente I) pode ser 
representada como: 
NIV fonte m 
 
 
65- Energia potencial armazenada em um campo magnético estacionário em que 
B
 está linearmente relacionado 
com 
H
 
 
dv H . B
2
1
W
vol
H 
 
66 – Indutância e Indutância Mútua 
Auto Indutância: 
I
N
L


 (Henry/m), onde o produto 
N
 é o enlace de fluxo e I a corrente que gera o enlace de 
fluxo. 
Indutância mútua entre os circuitos 1 e 2: 
1
122
2 1
I
N
M


, onde 
12
 é o fluxo produzido por I1 que envolve o 
caminho da corrente filamentar I2 e N2 é o número de espiras do circuito 2 
 
21M12 MM 
 
 
CAMPOS VARIANTES NO TEMPO 
12-9
0 10 x 854,810
36
1


 
 F/m 
-7
0 10 x 4
 H/m) 
 
67- Lei de Faraday 
 
dt
d
Nfem


 (volts) 
 
68- Força eletromotriz 
 
 dL . Efem
 , onde E é um campo não conservativo, ou seja, não é um campo elétrico originário de 
separação de cargas eletrostáticas. 
 
69- Força eletromotriz “Transformadora” 
 
Sd . )
t
B
(dL . Efem
S



 


 (V), onde 
B
 é um campo magnético variando no tempo enlaçando um 
percurso condutor estacionário. 
 
70- Força eletromotriz “Geradora” 
 
dL . )B x U(dL . Efem  
 (V), onde U é a velocidade com que um percurso condutor se move 
dentro do campo magnético uniforme 
B
 . 
 
71 – Densidade de Corrente de Deslocamento 
 
t
D
Jd




 (A/m
2
), onde 
D
 é uma densidade de fluxo elétrico variando com o tempo. 
 
Sd . JI
S
dd


 (A) 
 
72 – Equações de Maxwell na forma Integral 
t
B
 -E x 




 (forma pontual da Lei de Faraday) 
 
t
D
J H x 




 (lei de Ampère par campos dinâmicos) 
 
vD . 
 (lei de Gauss na forma pontual onde 
v
 representa densidade volumétrica de carga variando 
no tempo). 
 
0B . 
 (forma pontual da Lei de Gauss para o magnetismo) 
 
 
73 – Equações de Maxwell para campos dinâmicos na forma Integral 
Sd . )
t
B
(dL . E
S



 

t
D
IdL . H
S


 

 
 
volS
dvQdS . D

, onde 

representa densidade volumétrica de cargas variando no tempo 
0dS . B
S

