paramagnetismo dos materiais

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Paramagnetismo dos Materiais
Eletromagnetismo
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 1
Materiais Paramagnéticos
Os materiais respondem a campos magnéticos aplicados sobre eles de três formas distintas. 
Se eles exibem uma magnetização em caráter permanente, como ocorre com os materiais 
ferromagnéticos, o efeito do campo será o de aumentar sua magnetização. Há um reforço na 
magnetização do material.
Se seus constituintes exibem um momento de dipolo magnético, mas não exibem uma 
magnetização permanente, poderemos constatar dois fenômenos que, de certa maneira, competem 
entre si. De um lado, ocorre uma tendência para o alinhamento dos momentos de dipolo de acordo 
com a orientação do campo magnético. De outro, temos uma alteração dos momentos de dipolo 
magnético dos constituintes.
Os materiais paramagnéticos são aqueles em que a ação do campo magnético externo a eles 
aplicado é o de alinhar os momentos magnéticos dos seus átomos (quando existirem) ou moléculas 
com o campo externo. Eles exibem uma magnetização líquida, ou seja, diferente de zero, apenas 
enquanto estão sob a ação de um campo magnético externo. Quando o campo magnético é 
retirado, essas substâncias perdem suas propriedades magnéticas. Alumínio, Bário, Cálcio, Oxigênio 
e Sódio, por exemplo, são elementos paramagnéticos. 
Por causa do alinhamento com o campo externo, e como no caso dos materiais ferromagnéticos, 
os materiais são atraídos por ímãs. Interagem, portanto, com outros objetos que produzem 
campos magnéticos. No entanto, a força de atração exercida por esses materiais é bem mais débil 
que as forças exercidas pelos ímãs. Às vezes, são milhares de vezes mais débeis que aquelas 
exercidas pelos materiais ferromagnéticos. 
Em última análise, o paramagnetismo dos materiais tem relação com o momento de dipolo 
magnético dos seus constituintes. Assim, uma substância será paramagnética se os átomos tiverem 
elétrons não emparelhados. 
Substâncias cujos átomos ou moléculas têm um momento de dipolo magnético permanente são 
paramagnéticas. Os átomos ou moléculas com um número ímpar de elétrons recaem nessa categoria, 
pois, nessas circunstâncias, não há como se obter um momento angular nulo para eles. Consequen-
temente, o momento de dipolo magnético de cada um dos constituintes da matéria não é nulo.
 Átomos livres ou íons que contêm camadas internas não preenchidas exibem, igualmente, o 
ferromagnetismo. Nessa categoria estão, por exemplo, os elementos de transição.
Substâncias paramagnéticas são atraídas por 
um ímã.
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 2
 Metais são, por outro lado, igualmente, materiais paramagnéticos e isso porque tais materiais 
têm elétrons livres, os quais têm um momento de dipolo magnético permanente.
 Se os N constituintes de um material tiverem momentos de dipolo magnético permanente, 
isso não implica necessariamente o surgimento de uma magnetização macroscópica no material. 
De fato, poder-se-ia imaginar uma situação em que a orientação dos momentos de dipolo seja ao acaso. 
Isso acarretaria uma magnetização nula. Nesse caso, a soma dos momentos de dipolo será nula:
( 1 )
O efeito da temperatura (efeito térmico) é o de provocar uma situação caótica, resultando daí 
que a magnetização é nula. Para que o material se magnetize é importante que haja a orientação 
dos momentos de dipolo. No caso dos materiais paramagnéticos, essa questão deve ser analisada 
à luz de considerações sobre a energia de um sistema que contenha dipolos magnéticos.
O Efeito do Campo Magnético Externo
Consideremos o caso em que um material fique sujeito a um campo externo 

B. Nessas circuns-
tâncias, cada constituinte dotado de um momento de dipolo permanente se orientará preferen-
cialmente na direção do campo magnético externo. Os momentos de dipolo tenderão a se orientar 
na direção do campo magnético aplicado. Tal previsão é baseada em consideração sobre a energia 
adicional que um dipolo magnético adquire. Essa energia é dada por:
( 2 )
Na busca de uma situação mais estável, sistemas físicos procuram ficar no estado fundamental, 
que é o estado de energia mínima. Para um dipolo magnético apenas, tal configuração é aquela em 
que µ

 é paralelo e no mesmo sentido de 

B.
A tendência dos momentos de dipolo magnético 
é se orientarem aleatoriamente.
 
µ µ= =
=
∑
i
N
i
1
0
E B= −

µ.
Mediante a aplicação de um campo magnético 
externo, a tendência do momento de dipolo é 
ficar orientado na direção e sentido do mesmo.
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 3
 Como resultado temos, então, que um campo magnético provoca o alinhamento dos momentos 
de dipolo dos constituintes do material.
No entanto, conquanto haja uma tendência de provocar uma orientação dos dipolos magnéticos, 
esse efeito compete com o efeito térmico, o qual provoca o efeito oposto. Assim, o problema básico 
do paramagnetismo consiste em prever o valor médio da orientação dos momentos de dipolo. 
Definimos o vetor magnetização como o vetor que dá a densidade de momentos de dipolo 
magnético num determinado ponto do espaço. Ou seja, considerando-se o elemento de volume 
infinitesimal localizado num ponto cujo vetor é 
r , o seu momento magnético é:
( 3 )
A determinação do vetor magnetização seria possível se soubéssemos quantos deles exibem 
uma particular orientação. Geralmente, definimos a magnetização como a grandeza física dada pela 
média da componente do momento angular na direção do campo magnético vezes a densidade 
dos constituintes do material. Admitindo-se que existem N/V átomos por unidade de volume, um 
tratamento estatístico nos levaria a escrever a componente z da magnetização como:
( 4 )
onde Zµ é o valor médio do momento magnético dos constituintes do material. 
Como o valor médio depende da intensidade do campo magnético externo e da temperartura, 
podemos prever que a magnetização é dependente da temperatura e do campo de intensidade 
magnética aplicado ao material. Portanto, podemos prever que a magnetização será função do 
campo de intensidade elétrica e da temperatura:
( 5 )
Ademais, quando a temperatura tende a zero, a magnetização atinge o valor máximo, isto é: 
( 6 )
Mediante a aplicação de um campo externo, 
é possível orientar os momentos de dipolo. 
O grau dessa orientação depende, no entanto, 
da temperatura.
d r M r dV 


µ( ) ( )=
M N
VZ Z
= µ
M M H TZ Z= ( , )
lim ( , )
T Z
M H T M
→
→
0
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 4
Finalmente, é de se esperar que no limite de altas temperaturas a magnetização tenda a zero:
( 7 )
Para determinarmos o grau de alinhamento dos dipolos magnéticos devemos, no entanto, 
recorrer à Mecânica Estatística. O fato é que, quando analisamos médias de grandezas físicas para 
sistemas que contêm um número muito grande de átomos, por exemplo, fazemos uso de conceitos 
estatísticos. Valores médios, como a média da do momento de dipolo, podem ser obtidos a partir 
de uma função de distribuição.
Função de Distribuição
 No contexto da mecânica estatística clássica, a função de distribuição mais importante é aquela 
que especifica a probabilidade, P(E), de encontrarmos um sistema macroscópico à temperatura T 
dotado de uma energia E. Essa função é dada por:
( 8 )
onde k é a constante de Boltzmann e Z é um fator de normalização. Isto é, ele é introduzido 
na expressão acima para assegurar que a soma sobre todas as probabilidades seja igual a 1. 
Da expressão acima resulta que:
( 9 )
 A partir da função de distribuição, podemos determinar valores médios. Por exemplo, o valor 
médio da energia será:
( 10 )
De (...) temos que a configuração correspondente ao valor mínimo da energia é a que ocorre 
com maior probabilidade, ou seja, é a preferida do sistema físico.lim ( , )
T Z
M H T
→∞
→ 0
P E e
Z T
E
kT
( )
( )
=
−
P E Z T e
E
E
kT
E
( ) ( )∑ ∑= ⇒ =
−
1 
E E P E
E
=∑ ( )
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 5
Dada a função de distribuição, temos agora elementos para determinar o valor médio do 
momento magnético Zµ . Tal valor é dado por:
( 11 )
Uma aplicação interessante da Mecânica estatística clássica é conhecida como teorema de 
Bohr-van Leeuwen. O enunciado desse teorema apresentado por Bohr em sua tese de doutorado, 
em 1911, pode ser traduzido da seguinte forma: Se o momento angular total de um sistema for nulo, a 
aplicação da estatística clássica leva à previsão de que tais sistemas não exibem nem o diamagnetismo 
nem o paramagnetismo. Existe um cancelamento, no nível clássico, dos dois efeitos. Como resultado, 
a teoria clássica não é capaz de explicar o magnetismo da matéria.
Para melhor perceber onde a teoria clássica falha em descrever o magnetismo, basta considerar a 
função de distribuição de um sistema quando nele aplicamos um campo magnético. Considerando-se 
que o campo magnético não realiza trabalho, as energias do sistema antes de introduzirmos o 
campo são as mesmas:
( 12 )
e, portanto,
( 13 )
Ou seja, a descrição estatística num ou noutro caso leva ao mesmo resultado. Não há dependência 
em relação ao campo magnético externo.
Consideremos a seguir dois limites importantes. Quando a temperatura tende a zero, a magne-
tização atinge o valor máximo possível. Nesse limite, obtemos:
( 14 )
Ou seja, no limite de temperatura baixa, todos os momentos de dipolo estão alinhados na 
direção do campo magnético.
O segundo limite importante é aquele de altas temperaturas quando então a magnetização 
tende a zero.
Uma função de distribuição típica depende 
da temperatura. No exemplo, consideramos 
a distribuição de velocidades num gás como 
função da temperatura.
µ µZ ZP E=∑ ( )
E = EB
P(E) = P(EB)
lim ( )
T sat
M T N
V
M
→
= ≡
0 0
µ
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 6
A Teoria de Langevin
 A teoria clássica do Paramagnetismo foi desenvolvida por Langevin. Nela fazemos uso da 
estatística clássica de Maxwell-Boltzmann para a determinação do valor médio da componente z 
dos momentos magnéticos. Adotamos o eixo z como aquele determinado pela direção do campo 
magnético. Em função do ângulo θ formado pelo dipolo magnético e o eixo z, escrevemos:
( 15 )
De acordo com (000) e (000), a probabilidade de encontrarmos um dipolo com uma determinada 
orientação é dada por:
( 16 )
Tento em vista que a energia depende da direção, podemos considerar que a expressão acima 
estabelece a probabilidade de encontrar dipolos com uma determinada orientação no espaço. 
De (000), inferimos que a probabilidade de encontrarmos a orientação dos dipolos dentro de um 
ângulo sólido dΩ é dada por:
( 17 )
Observe-se que, estatisticamente, encontraremos mais dipolos alinhados com o campo do que 
em qualquer outra direção.
Para levarmos em conta as possíveis direções no espaço, fazemos uso do conceito de ângulo 
sólido, utilizando coordenadas esféricas, e escrevemos:
( 18 )
Tendo em vista que a energia depende apenas da direção considerada, a soma sobre as 
energias possíveis é equivalente a uma soma sobre as direções delimitadas por um ângulo sólido 
infinitesimal. Escrevemos, primeiramente, que:
( 19 )
O momento de dipolo magnético e sua 
componente z.
µ µ θZ = 0 cos
P E
Z T
e
E
kT( )
( )
=
−1
dP
Z T
e d
ZB
kT=
1
( )
cosµ θ
Ω
Representação de um elemento de ângulo 
sólido infinitesimal.
d d d
d
Ω
Ω
=
=∫
sen 
 
θ θ ϕ
pi4
d dPZ Zµ µ=
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 7
Consequentemente, o valor médio do momento de dipolo é dado por:
( 20 )
o que nos leva ao resultado:
( 21 )
onde, por definição:
( 22 )
enquanto a função de partição é dada por:
( 23 )
Efetuando a integral acima, obtemos:
( 24 )
De (...) seque-se que:
( 25 )
Portanto, de (...) e (...) resulta que:
( 26 )
onde L(β) é a função de Langevin:
( 27 )
µ µ µ θ
µ θ µ θ
Z Z
B
kT
B
kT
Z T
e d
Z T
e d= =∫∫ ∫∫
1 10 0
0( ) ( )
cos
cos cos
Ω Ω
µ θ θ ϕ µ θ
pi
β θ
pi
Z z
d d e= ∫ ∫
1
0 0
2
0sen 
cos cos
β
µ
= 0
B
kT
Z T d d e d e( ) (cos )cos cos= = −∫ ∫ ∫sen θ θ ϕ pi θ
pi
β θ
pi
β θ
pi
0 1
2
0
2
Z T e e( ) = −
−β β
β
µ µ
βZ
T d Z
d
( ) ( )= 0
In
µ µ βZ T L( ) ( )= 0
Comportamento da função de LangevinL( )β β β
= −cotanh 1
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 8
A magnetização resultante é dada por:
( 28 )
Podemos fazer uma expansão de Taylor da função L(β). Para valores pequenos de β, podemos 
escrever, dentro de uma boa aproximação:
( 29 )
Assim, para temperaturas tais que
( 30 )
o comportamento da magnetização com a temperatura é tal que
( 31 )
e, portanto, para altas temperaturas, a magnetização cai com o inverso da temperatura. Tal compor-
tamento é denominado Lei de Curie. Como esperado, para altas temperaturas a substância perde 
sua magnetização. Isto é:
( 32 )
A teoria clássica de Langevin parte do pressuposto de que os constituintes exibem um momento 
de dipolo magnético e, consequentemente, possuem um momento angular.
M N
V
N
V
L N
V
B
kT
kT
BZ
= = = −






µ µ β µ
µ
µ0 0
0
0
( ) cotan
L( )β β≅
3
0BT
k
µ

M T N
V
B
kT
( ) = µ0
2
3
A Lei de Curie se torna válida para altas 
temperaturas.
lim ( )
T
M T
→∞
= 0
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 9
Momento angular na teoria qûantica
Aprendemos, no período de transição entre os séculos XIX e XX, que uma nova maneira de 
descrever os fenômenos naturais se impunha. Essa nova maneira recebeu o nome de teoria quântica. 
Ela é essencial no nível atômico e subatômico. A teoria quântica foi introduzida como uma neces-
sidade visando a levar em conta a natureza dualística da matéria. Ou seja, devemos incorporar 
à descrição dos fenômenos a natureza ondulatória da matéria. Na teoria quântica vemos que 
grandezas físicas têm um espectro discreto. Esse é o caso da energia de um sistema físico como o 
átomo. Além da energia, o momento angular é quantizado. Assim, o momento angular total de um 
elétron num átomo é tal que
( 33 )
onde l é um outro número quântico e h é a constante de Planck dividida pelo valor 2π. Esse número 
quântico assume um valor inteiro, não negativo.
( 34 )
Os possíveis valores de l são dados pela relação 
( 35 )
Outra coisa curiosa sobre o momento angular é a sua componente z também ser quantizada, 
isto é, assume valores dados pela relação:
( 36 )
onde ml é um novo número quântico.
( 37 )
  
L L L h l l2
2
1≡ ⋅ = +( )
l = número quântico azimutal
l = 0, 1, 2, .....
0 ≤ l ≤ n − 1
LZ = h ml 
ml = número quântico magnético
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 10
Esse é um número quântico inteiro, mas que pode assumir valores negativos. Seu valor está 
restrito ao intervalo de valores: 
( 38 )
Temos assim 2l + 1 valores possíveis para o número quântico magnético.
 Finalmente, lembramos que o elétron tem spin. O spin (s) é uma grandeza vetorial. Trata-se de 
um momento angular intrínseco. O módulo dessa grandeza vetorial no caso do spin do eletron é:
( 39 )
enquanto a componente desse vetor ao longo de um eixo, o qual denominamos z, pode assumir 
apenas dois valores:
( 40 )
A constante /h é a constante de Planck dividida por 2π.
 Temos, assim, apenas duas possibilidades para a componente z do momento angular de spin. 
Por essa razão, dizemos que o spin do elétron é 1/2.
− l ≤ ml ≤ l.
Valores possíveisda componente z do momento 
angular l = 3.

S h h2
2 21
2
1 1
2
3
4
= +




 =
S hZ = ±
/
2
A componente z do spin e o valor do módulo dessa grandeza física só podem assumir alguns 
valores. São quantizados.
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 11
Assim, o momento angular total de um elétron num átomo, que, de acordo com a expressão 
(000), é a soma dos momentos angulares orbital e de spin, assume valores dados pela expressão: 
( 41 )
onde j é um número quântico e h é a constante de Planck dividida pelo valor 2π.
( 42 )
Os possíveis valores de J  2 são, por exemplo, dados pelos valores:
( 43 )
Outra coisa curiosa sobre o momento angular é a sua componente z também ser quantizada, 
isto é, assume valores dados pela relação:
( 44 )
onde ml é um novo número quântico. Esse é um número quântico que pode assumir valores inteiros, 
semi-inteiros, bem como pode assumir valores negativos. Seu valor está restrito ao intervalo de valores: 
( 45 )
Temos, assim, 2j + 1 valores possíveis para o número quântico magnético. Por exemplo, no caso 
de j = 1/2, os valores da componente z do momento angular total são dados por:
( 46 )
No caso em que j = 3 (veja figura), a componente z do momento angular total pode assumir 
apenas um dos 7 valores dados a seguir:
( 47 )
J J J h j j2
2
1≡ ⋅ = +
 
( )
j = número quântico associado ao momento angular total.
J h j J h j J h j2 2 2 2 2 23
4
1
2
2 1 15
4
3
2
= / =




 = / =( ) = / =


, , 


......
J hmZ j=
− ≤ ≤j m jj
O momento angular total é também quantizado.
J h J hZ Z= / = − /
1
2
1
2
, , e 
J h J h J h J J hZ Z Z Z Z= / = / = / = = − /3 2 0, , , , , J h J hZ Z= − / = − /2 3, ,
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 12
Energia Magnética de Elétrons, Prótons e Átomos 
Um átomo adquire um momento de dipolo dado pela expressão:
( 48 )
onde g é um fator conhecido como fator de Landé, e é a carga elétrica do elétron e me é a sua massa. 
Tal fator é muito próximo e é uma característica de um particular estado atômico. 

J , em (000), é 
o momento angular total do átomo. Tal grandeza é dada pela soma do momento angular total de 
cada um dos elétrons.
( 49 )
Assim, quando sob a ação de um campo magnético externo, cuja orientação adotaremos como 
aquela ao longo da direção z, o átomo terá uma energia, associada à sua interação com o campo 
magnético externo dada pela expressão:
( 50 )
De (000), segue-se que os valores possíveis da energia magnética são aqueles dados pela expressão:
( 51 )
onde µB é o mágneton de Bohr:
( 52 )
E mJ é um dos valores possíveis para tal número quântico. Por exemplo, no caso de j =
5
2
 temos 
6 valores possíveis para a energia magnética (veja Figura XX).
O desdobramento de níveis em 2J + 1 níveis, quando um átomo se encontra sob o efeito de um 
campo magnético externo, tem o nome de Efeito Zeeman.


µ = −





g
q
m
Je
e2
Cada átomo se comporta como um pequeno ímã.
  
J L S= +
E B g e
m
J B g e
m
J B
e e
Zmag = − ⋅ =





 ⋅ =





 ⋅

  
µ
2 2
E g ehB
m
m g Bm
e
J B Jmag =
/




 =2
µ
µB
e
e
q h
m
Am= / = ⋅ −
2
9 27 10 24 2.
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 13
O fator g de Landé pode ser escrito em termos dos números quânticos S, l e J e isso porque
( 53 )
Analogamente, 
( 54 )
E, portanto, o fator g é dado por:
( 55 )
Consequências e aplicações do magnetismo 
das partículas
Além do efeito Zeeman, podemos citar outra consequência do magnetismo dos constituintes do 
átomo. Trata-se de entender a experiência de Stern-Gerlach. Essa experiência é uma consequência 
do magnetismo do elétron, isto é, a energia de um elétron sob a ação de um campo magnético pode 
Sob a ação de um campo magnético externo, os níveis de energia se desdobram em 2J + 1 níveis 
de energia. Este é o efeito Zeeman.
( ) ( ) ( ) ( )
(
        
J S J S S J L S J j j s s l l
j j
− = + − ⋅ = ⇒ ⋅ =
+ + + − +2 2 2 22 1 1 1
2 ++1)
( ) ( ) ( ) ( )
(
        
J S J L L J S L J j j l l s s
j j
− = + − ⋅ = ⇒ ⋅ =
+ + + − +2 2 2 22 1 1 1
2 ++1)
g g j j l l s s
j j
g j j s s l lj s=
+ + + − +
+





 +
+ + + − +( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) (1 1 1
2 1
1 1 11
2 1
)
( )j j +






Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 14
assumir apenas dois valores, os quais dependem do momento magnético do elétron. Lembramos 
primeiramente que, admitindo o campo magnético ao longo do eixo z, a energia magnética é dada por:
( 56 )
a qual pode assumir apenas dois valores:
( 57 )
onde U+ é a energia dos elétrons com a componente z do spin com sinal negativo (dizemos com 
o spin para baixo) e U− é a energia dos elétrons com a componente z do spin com sinal positivo 
(aqueles com o spin para cima).
A força sobre um elétron sujeita a um campo magnético não uniforme é dada por:
( 58 )
Assim, a componente z da força é dada pela expressão: 
( 59 )
Consequentemente, um feixe de elétrons quando em movimento, numa região em que existe 
um campo magnético não uniforme, se dividiria em dois e isso porque alguns átomos experimen-
tarão uma força tal que:
( 60 )
Tais elétrons, aqueles cujo spin está “para cima”, se moverão no sentido contrário àquele para o 
qual o gradiente do campo magnético cresce (
∂
∂
>
B
z
Z 0 ) , enquanto os dotados de spin “para cima”, 
experimentarão uma força de mesmo módulo, mas de sentido oposto aos de spin para cima. 
U r q
m
S B re
e
Z( ) ( )
� � �−





2 2 3
U r q h
m
B r B r
U r q h
m
B
e
e
Z B Z
e
e
Z
+
−
=
/




 =
= −
/





( ) ( ) ( )
( )
  

2
2
ω
(( ) ( ) r B rB Z= −ω
 
F U= −∇
F g q
m
S B
z
rZ e
e
Z
Z= −






∂
∂





2
( )
F B
zz B
Z− = −
∂
∂
ω
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 15
( 61 )
Um feixe de elétrons se dividirá, portanto, em dois. Isto explica o resultado da experiência 
de Stern-Gerlach.
Observe-se que é essencial que o campo magnético não seja uniforme.
Uma das aplicações do magnetismo do próton é conhecida como Ressonância Nuclear Magné-
tica, que é utilizada para efeito de diagnóstico médico. Ela foi descrita, rapidamente, no tema carga 
elétrica e spin. Aqui apresentamos sua base em termos mais precisos.
Para um átomo, ou uma partícula como o próton, dotado de energia magnética, é possível 
fazê-lo passar de uma energia para um nível de energia mais alto. Para tanto, deve-se transferir 
a ele uma quantidade de energia dada pela diferença de níveis. Para o caso de um próton, essa 
energia é dada por:
( 62 )
onde é o mágneton de Bohr do próton:
( 63 )
Ao observar um fóton da radiação eletromagnética, constatamos que o fóton foi dotado de 
frequência ω dada por:
( 64 )
Assim, a uma frequência dita de ressonância dada por:
( 65 )
um próton efetua uma transição de um nível de energia mais baixo para um nível de energia mais alto.
Um arranjo simples de um aparelho de ressonância nuclear é aquele no qual colocamos uma 
substância como a água numa região, onde uma bobina produz uma corrente alternada que oscila 
com uma determinada frequência (veja figura a seguir). Os prótons que compõem os átomos de 
hidrogênio de cada molécula da água podem absorver a energia provida pela bobina, na medida 
F B
zz B
Z+ =
∂
∂
ω
Experiência de Stern-Gerlach.
∆ = − − − =U g J B g JB g BB Z B Z Bµ µ µ( ) ( )1
µB
P e
P
q h
m
=
/
2
ω µ= ∆ =U g BB
ω
µ
= =
g B g q
m
BP B P e
P 2
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 16
em que, na frequência de ressonância, eles experimentam uma transição de seu nível de energia 
mais baixa para o nível de energia mais alta.
Nesse processo, a água contendo muitos prótons, à medida que mais e mais prótons são 
promovidos para níveis de energia mais alta, absorverá a energia da bobina a uma determinada 
taxa. Essa absorção será máxima na frequência de ressonância. Um osciloscópio permite 
determinar a que frequência isso ocorrerá, ou seja, é possível observar quando ocorrerá a absorção 
de energia necessária para efetuar as mudanças de nível.
No caso, a vantagem de se utilizar o próton no núcleo de átomo de hidrogênio, está em que ele se 
comporta como se fora uma partícula livre. Isto é, temos apenas dois níveis de energia associados 
aos valores do spin: S hZ = / / 2 e S hZ = − / / 2.
Outra aplicação do magnetismo dos constituintes se refere à possibilidade de resfriar uma subs-
tância mediante o processo inverso daquele descrito anteriormente. Trata-se do resfriamento por 
desmagnetização adiabática. Nesse caso, a energia não é bombeada para o sistema, mas subtraída.
Paramagnetismo Quântico
No contexto quântico fazemos uso, como no caso clássico, de métodos estatísticos. Em particular, 
levando-se em conta agora que a energia é quantizada, podemos prever que a probabilidade de 
encontrarmos o sistema num nível de energia En é dada por:
( 66 )
 Consideremos primeiramente o caso de um sistema de dois níveis:
( 67 )
Como vimos antes, esse sistema descreve um elétron de momento magnético µ

 sob a ação 
do campo 

B.
P E e
e
e
Zn
E
kT
E
kT
n
E
kT
n
n
n
( ) = =
−
−
=
∞
−
∑ 0
E B
E B
( )
( )
+
−
=
= −
µ
µ
0
0
Mediante um campo magnético externo, os 
níveis de energia de um sistema de dois níveis 
se bifurcam.
Esquema básico de um aparelho de ressonância 
magnética.
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 17
Nesse caso, 
( 68 )
onde
( 69 )
O número de dipolos alinhados com o campo magnético, energia −µ0B, é:
( 70 )
O número de dipolos orientados no sentido oposto ao do campo magnético (aquele cuja energia 
é E+ = µ0B) é:
( 71 )
 Pode-se facilmente verificar que:
( 72 )
 O fato é que, para temperaturas muito altas, o número de dipolos orientados numa ou noutra 
direção é praticamente o mesmo:
( 73 )
 Ou seja, efeitos térmicos desalinham os dipolos magnéticos.
 A magnetização média é dada por:
( 74 )
Z T e e( ) cosh= + =−β β β2
β
µ
= 0
B
kT
N N P E N e( ) ( )( )
cosh
− −= = 
2
β
β
N N P E N e( ) ( )( )
cosh
+ +
−
= = 
2
β
β
N(+) + N(−) = N
lim ( ) lim ( )( ) ( )
T T
N T N T N
→∞
+
→∞
−= =
2
M N
V
N
V
= −
− +
µ µ0 0
( ) ( )
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 18
 De (...) e (...) segue-se que:
( 75 )
Temos, assim, que no limite de baixa temperatura a magnetização é alta. Em particular,
( 76 )
Para altas temperaturas, o comportamento é aquele previsto pela Lei de Curie:
( 77 )
No caso em que os níveis são (2J + 1) vezes degenerados, escrevemos:
( 78 )
No limite de baixas temperaturas, haverá maior alinhamento dos dipolos em maior valor de J. 
Em particular, à temperatura zero, teremos:
( 79 )
Para determinarmos o comportamento para altas temperaturas, fazemos uso da expansão da 
função exponencial para valores pequenos do argumento. Escrevemos:
( 80 )
Assim, a magnetização pode ser escrita como uma relação que envolve somas simples, a saber:
( 81 )
M T N
V
N
V
B
kT
( ) tanh tan= =µ β µ µ0 0 0
lim ( )
T
M T N
V→∞
= µ0
M T N
V
B
kT
( ) = µ0
2
M N
V
gM gM B
kT
gM B
kT
M J
J
M J
J
=












=−
=−
∑
∑
µ
µ
µ
0
0
0
exp
exp
lim ( )
T
M T N
V
g J
→∞
= µ0
e g B
kT
M
gM B
kT
µ µ0 1 0= + + ⋅⋅⋅
M B T N
V
g
M M g B
KT
M g B
KT
j j
M j
j
j
M j
J
J
( , ) =
+





+





=−
=−
∑
µ
µ
µ0
0
0
1
1
jj
∑
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 19
Na expressão acima retivemos até termos lineares na expansão (000). Lembrando que:
( 82 )
obtemos, depois de substituir (...) em (...):
( 83 )
átomos, para os quais J = 0, não exibem o paramagnetismo. Eles são, como veremos depois, diamagnéticos.
M
M j
M j j j
j
M j
j
j
M j
j
j
M j
j
J
J
J
=
= +
= + +[ ]
=−
=−
=−
∑
∑
∑
0
2 1
1
3
1 2 12 ( )( )
M N
V
J J
kT
g B= +( )1
3
2
0µ
Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 20
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Eletromagnetismo » Paramagnetismo dos Materiais 21
Créditos 
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, 
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.