Nocoes de Atividades Atuariais 01

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Noções de Atividades Atuariais
Autora: Edson Conceição Júnior
Tema 01
Revisão de Conceitos de Matemática 
Financeira Aplicada em Seguros: Juros 
Simples e Compostos; Taxas de Juros
seç
ões
Tema 01
Revisão de Conceitos de Matemática Financeira Aplicada 
em Seguros: Juros Simples e Compostos; Taxas de Juros
Como citar este material:
CONCEIÇÃO JUNIOR, Edson. Noções de Ativida-
des Atuariais: Revisão de Conceitos de Matemática 
Financeira Aplicada em Seguros: Juros Simples e 
Compostos; Taxas de Juros. Caderno de Ativida-
des. Valinhos: Anhanguera Educacional, 2014.
SeçõesSeções
Tema 01
Revisão de Conceitos de Matemática Financeira Aplicada em 
Seguros: Juros Simples e Compostos; Taxas de Juros
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Conteúdo
Nessa aula você estudará: 
• O Regime de Capitalização Simples.
• Equivalência de Capitais.
• Método Hamburguês.
• Juros Compostos.
• Taxas Proporcionais e Equivalentes.
• Taxas Nominais, Efetivas e Reais.
CONTEÚDOSEHABILIDADES
Introdução ao Estudo da Disciplina 
Caro(a) aluno(a).
Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro: Seguros, matemática atuarial e 
financeira, do autor Gustavo Henrique W. de Azevedo, editora Saraiva, 2008, PLT ------.
Roteiro de Estudo:
Prof. Esp. Edson Conceição 
Júnior
Noções de Atividades 
Atuariais 
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• Taxa Over, Taxa Básica Financeira e Taxa Referencial.
• Regimes de Capitalização.
Habilidades 
Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:
• Quais as diferenças entre Juros Simples e Juros Compostos?
• O que é Equivalência de Capitais?
• Quando trabalhar com taxas Proporcionais e Equivalentes?
• Como diferenciar taxas Nominais, Efetivas e Reais?
• Quais são e como identificar os Regimes de Capitalização?
CONTEÚDOSEHABILIDADES
LEITURAOBRIGATÓRIA
Revisão de conceitos de matemática financeira aplicada em 
seguros: Juros Simples e Compostos; Taxas de Juros
Para entender os noticiários sobre economia, rendimentos da caderneta de poupança, taxas 
de juros, taxas básicas de juros, ofertas de financiamentos com juros reduzidos e analisar 
os efeitos em nossas vidas utiliza-se a matemática financeira que estuda as variações 
monetárias em função do tempo, bem como, as entradas e saídas de dinheiro ao longo do 
tempo. Você verá adiante algumas premissas que são fundamentais para conhecer seu 
funcionamento e ampliar o entendimento de situações que envolvem as finanças, quer 
sejam pessoais quer sejam de empresas. Ao emprestar dinheiro de alguém, é certo 
que será devolvido o valor emprestado mais um valor para recompensá-lo por ter se 
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LEITURAOBRIGATÓRIA
privado de alguns gastos durante o empréstimo. Mas como remunerar esse capital 
emprestado? Veja alguns conceitos:
Juros: A recompensa ou a remuneração da quantia emprestada são os Juros (j). Principal 
(P) é o valor financiado ou a quantia emprestada, e o (M) é o valor a ser recebido, a 
quantia a ser paga, expressos em unidades monetárias. Taxa de juros (i) é a razão entre 
os juros (j) e o principal (P), expressa em percentual, levando-se em consideração o tempo. 
Períodos de capitalização representam a quantidade de períodos sob os quais o principal 
ficará submetido a uma determinada taxa de juros. Fluxo de caixa significa as entradas 
(recebimentos), representadas por setas apontadas para cima, e, saídas (pagamentos) de 
dinheiro ao longo do tempo representadas por setas apontadas para baixo.
Regime de Capitalização Simples: utilizado em países com baixo índice de inflação 
e custo real do dinheiro baixo, os juros são calculados sempre sobre o valor inicial, não 
ocorrendo qualquer alteração da base de cálculo durante o período de cálculo dos juros. 
Dessa forma, na modalidade de juros simples, a base de cálculo é sempre o Principal (P), o 
Valor Atual ou Valor Presente (PV), assim, o capital cresce de forma linear, seguindo uma 
reta, sendo indiferente se os juros são pagos periodicamente ou ao final do período total. 
Em países com alto índice de inflação ou custo financeiro real elevado, a exemplo do Brasil, 
a utilização de capitalização simples só é recomendada para aplicações de curto prazo. A 
capitalização simples representa o início do estudo da matemática financeira, pois todos os 
estudos de matemática financeira são oriundos de capitalização simples (KUHNEN, 2008).
Juros Simples: Os juros de cada período são sempre calculados em função do capital 
inicial (principal) aplicado e não são somados ao capital para o cálculo de novos juros 
nos períodos seguintes, ou seja, não são capitalizados e, consequentemente, não rendem 
juros. Assim, apenas o principal é que rende juros (PUCCINI, 2004).
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Juros Simples Comerciais, ordinários ou bancários e Juros Simples Exatos.
• Para estabelecer a conformidade entre a taxa e o período nos juros simples comerciais 
ou ordinários, utiliza-se o ano comercial, ou seja, todos os meses têm 30 dias e o ano 
têm 360 dias, não importando o calendário civil.
• Os juros simples exatos apoiam-se no calendário civil para calcular o número de dias 
entre duas datas. Sendo que o mês segue o número de dias do calendário, e o ano civil 
possui 365 dias ou 366 em ano bissexto.
Nas transações financeiras de curto prazo, geralmente os bancos utilizam uma combinação 
entre os conceitos de juros comerciais e exatos, denominada juros pela regra dos banqueiros 
que consiste em calcular o número de dias entre duas datas, utilizando-se do conceito de 
juros exatos, o calendário civil, e para calcular o número total de dias de um ano ou mês, 
utiliza-se do conceito de juros comerciais, no qual um mês têm 30 dias e um ano têm 360 dias.
Equivalência de Capitais: Se dá quando vários capitais, com datas de vencimento 
diferentes, transportados para uma mesma data chamada “data focal”, sob a mesma taxa, 
produzirem, nessa data, valores iguais. No regime de juros simples, a escolha da data 
focal influencia a resposta do problema, que significa que definida uma taxa de juro e a 
forma de cálculo (se racional ou comercial), dois capitais diferentes, em datas diferentes, 
podem ser equivalentes, se transportados para outra data, mesmo mantendo-se todas as 
outras condições do problema (PARENTE, 1996). Para um investidor ou para um tomador 
de recursos, dois capitais equivalentes significam que qualquer tipo de troca com relação 
a datas de vencimento, por exemplo, é totalmente indiferente para eles, assim, não há 
ganhos ou perdas para nenhuma das partes.
Método Hamburguês: empregado pelos bancos principalmente no cálculo dos juros 
incidentes sobre os saldos devedores dos cheques especiais e contas garantidas, consiste 
em multiplicar uma taxa diária pela soma dos saldos devedores, ou capital utilizado 
multiplicado pelos dias de utilização, ou seja, os diversos capitais multiplicados pelos 
respectivos prazos.
Juros Compostos: Os juros incidem sobre o saldo devedor do período anterior e dessa 
forma, existe a incorporação de juros sobre o principal (capital inicial) em determinados 
intervalos de tempo. Para efetuar qualquer tipo de cálculo neste regime de capitalização, 
é fundamental que se saiba inicialmente, qual a periodicidade em que serão incorporados 
LEITURAOBRIGATÓRIA
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os juros ao principal. Vale lembrar que, qualquer que seja o tipo de operação calculada 
sobre o regime de juros compostos, o prazo e a taxa deverão obrigatoriamente referir-se a 
um mesmo intervalo de tempo, ou seja, se a taxa (i) estiver expressa em dias, o prazo (n) 
também deverá ser expresso em dias; se taxa (i) expressa em mês, o prazo (n) também 
deverá ser em meses. Diferentemente do regime de juros simples, a transformação para 
uma mesma unidade de tempo não pode ser feita por meio de operações de multiplicação e 
divisão. Neste caso, deve se utilizar o conceito de equivalência de taxas a juros compostos.
Taxas Proporcionais e Equivalentes:Nos juros simples observa-se que há taxas 
chamadas proporcionais, que mesmo sendo diferentes representam a mesma coisa, por 
exemplo, uma taxa de 2% ao mês é o mesmo que 12% ao semestre. O mesmo não se 
aplica quando aos juros compostos, pois, 1% ao mês é diferente de 12% ao ano. Isso ocorre 
porque no sistema de capitalização composta, ao contrário do que acontece no sistema 
de capitalização simples, duas taxas equivalentes não são necessariamente proporcionais 
entre si. Duas taxas são consideradas equivalentes a juros compostos, se aplicadas sobre 
um mesmo capital por um período equivalente de tempo, geram s iguais (SHINODA, 1998). 
Dessa forma surge a necessidade de se obter uma relação que permita calcular a taxa 
equivalente, num certo período de tempo, a uma dada taxa de juro composto (PARENTE, 
1996).
Fórmula
i2 = (1 + i1)(
n
2/
n
1) – 1
Sendo:
i1 = Taxa conhecida
i2 = Taxa desejada ou desconhecida
n1 = Período de tempo relativo à taxa conhecida
n2 = Período de tempo relativo à taxa desejada ou desconhecida
Taxas Nominais, Efetivas e Reais: exemplificando, toma-se um empréstimo de R$ 1.000,00 
com juros compostos por três meses à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. 
Note que, apesar da taxa ser expressa em termos anuais, a capitalização se dá em termos 
mensais. Isso implica em se utilizar uma taxa nominal anual quando, efetivamente, a 
remuneração do capital se dá em termos mensais.
LEITURAOBRIGATÓRIA
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Taxa nominal: é aquela cuja unidade do período a que se refere não coincide com a unidade 
do período de capitalização.
Taxa Efetiva: é aquela que efetivamente grava uma operação financeira.
Dada uma taxa de juros nominal, para o cálculo da respectiva taxa de juros efetiva, por 
convenção, calcula-se a taxa proporcional à dada, relativa à unidade de tempo mencionada 
para a capitalização, e, posteriormente, apura-se exponencialmente a taxa efetiva à nominal 
(TEIXEIRA, 1998). 
Cálculo da taxa Efetiva: if = (1 + i/K)
K – 1
Em que:
i = Taxa nominal
if= Taxa efetiva
K = Número de capitalizações para um período da taxa nominal
Taxa Over, Taxa Básica Financeira e Taxa Referencial: O overnight refere-se às 
operações realizadas no open Market por prazo mínimo de um dia. Open Market, é qualquer 
mercado sem local físico determinado e com livre acesso à negociação. No Brasil, entretanto, 
se aplica ao conjunto de transações realizada com títulos de renda fixa, de emissão pública ou 
privada, sendo a taxa over adotada geralmente nas operações financeiras desse mercado, 
porém, seu valor não é usado nos cálculos por não representar uma taxa efetiva. A taxa 
over é uma taxa nominal, pois costuma ser expressa ao mês, com capitalização diária, mas 
válida somente para dias úteis, ou seja, sua capitalização ocorre unicamente em dia de 
funcionamento do mercado financeiro. Caso se queira realizar uma operação com mais de 
um dia, utiliza-se o conceito da taxa nominal para converter a taxa over por um dia e, em 
seguida, utiliza-se o conceito da taxa efetiva para capitalizar, ou seja, converter a taxa over 
por um dia para o prazo da operação. Assim, o (FV) de um capital aplicado (PV) à taxa over 
mensal por um determinado número de dias é:
FV = PV(1 + tx over/30)du
Onde:
du = dias úteis no prazo da aplicação
FV = 
PV = Principal
tx over = Taxa Over
LEITURAOBRIGATÓRIA
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A taxa efetiva correspondente é expressa por: 
Onde:
• “io” é a taxa over
• “n” é o número de dias úteis do mês
Regimes de Capitalização: Existem basicamente três, que é o processo de reinvestimento, 
ou não, dos juros de uma aplicação financeira. Durante o prazo de aplicação, os juros pagos 
após cada período de capitalização podem ser reinvestidos no próprio empréstimo, ou não. 
Se forem reinvestidos, diz-se que os juros são capitalizados, porque passam a integrar o 
capital do próximo período de capitalização.
Capitalização simples (ou juro simples): os juros pagos não são reinvestidos no 
empréstimo. Portanto, não são capitalizados. O capital a cada momento é igual ao capital 
inicial C0.
O capital no momento t, a partir do momento anterior, será:
Em que:
Capitalização contínua: os juros também são capitalizados, mas os períodos de 
capitalização são considerados instantâneos, dando lugar a uma acumulação contínua de 
juros.
Agora que foram relembrados alguns conceitos, você está prontos para aplicar esses 
conhecimentos na resolução dos exercícios propostos.
LEITURAOBRIGATÓRIA
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LINKSIMPORTANTES
Quer saber mais sobre o assunto? 
Então:
Sites
O uso das técnicas de Matemática Financeira é imprescindível para a tomada de decisão, e 
as utilizando, é possível tomar decisões mais racionais. O site Matemática Financeira pode 
orientá-lo e ajudá-lo no desenvolvimento dessa disciplina. 
Disponível em: <http://matematicafinanceira.webnode.com.br/>. Acesso em: 02/01/2014. 
Visando ampliar seus conhecimentos em matemática financeira e suas aplicações, acesse 
o site Só Matemática, ele traz um conteúdo muito bem elaborado e apresentado de forma 
simples e didática. 
Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/index2.php>. Acesso em: 02/01/2014.
Vídeos Importantes: 
Exercício de matemática financeira. O vídeo mostra algumas técnicas de utilização da 
calculadora HP 12C. 
Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=8zuq-hFXuEA>. Acesso em: 02/01/2014.
Taxa Equivalente na HP12C. O vídeo mostra o cálculo das taxas equivalentes com a 
calculadora HP 12C. 
Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=50-b27fI72Q>. Acesso em: 02/01/2014.
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Instruções: 
Chegou a hora de você exercitar seu aprendizado por meio das resoluções 
das questões deste Caderno de Atividades. Essas atividades auxiliarão 
você no preparo para a avaliação desta disciplina. Leia cuidadosamente 
os enunciados e atente-se para o que está sendo pedido e para o modo de 
resolução de cada questão. Lembre-se: você pode consultar o Livro-Texto 
e fazer outras pesquisas relacionadas ao tema.
Questão 1:
Faça uma leitura do material disponível e 
explique como um capital investido por um 
determinado período de tempo pode pro-
duzir montantes diferentes mesmo se apli-
cado a mesma taxa percentual.
Questão 2:
Você fez um empréstimo de R$ 10.000,00 a 
uma taxa de juro simples de 12% ao ano a ser 
pago em dois anos. O valor a ser pago é de:
a) R$ 12.400,00
b) R$ 12.270,00
c) R$ 14.030,00
d) R$ 14.070,00
e) Nenhuma das alternativas
Questão 3:
Se você aplicar a quantia de R$ 50.000,00 
pelo prazo de quatro meses, terá como re-
muneração desse capital a quantia de R$ 
4.350,00. Qual é a taxa de juro simples ao 
mês dessa operação? Assinale a alternati-
va correta:
a) 2,11% ao mês
b) 2,18% ao mês
c) 8,7% ao mês
d) 1,09% ao mês
e) Nenhuma das alternativas.
AGORAÉASUAVEZ
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Questão 4:
Determine o capital que, aplicado duran-
te seis meses à taxa de juros composta 
de 2% ao mês, obteve rendimento de R$ 
20.000,00 de juros.
Questão 5:
Alberto aplicou R$ 6.000,00 a juros com-
postos durante um ano, à taxa de 24% a.a.. 
Responda:
a) Qual o montante? 
b) Qual a taxa mensal de juros da 
aplicação? 
c) Qual a taxa semestral de juros da 
aplicação? 
Questão 6:
O Capital deve ser remunerado no tempo, 
assim, ao efetuar um empréstimo ou apli-
cação é esperada essa remuneração. Ex-
plique qual a diferença entre juro e taxa de 
juro.
Questão 7:
O termo overnight é frequentemente en-
contrado nos noticiários de economia e 
dele surge a Taxa Over. Explique o que é 
Taxa Over e qual a sua aplicação.
Questão 8:
As empresas comerciais – bem como as 
No regime de capitalização composto, é 
mais vantajoso aplicar R$ 1.000,00 por 1 
ano a uma taxa de 24% ao ano com capita-
lização anual ou os mesmos R$ 1.000,00 a 
uma taxa de 2%ao mês com capitalização 
mensal? Justifique. 
Questão 9:
Em uma aplicação em regime de capitali-
zação composta a taxa de juros em cada 
período de capitalização incide apenas so-
bre o capital inicial investido. A afirmativa é 
correta? Justifique.
Questão 10:
Explique o fato de em um ano que a infla-
ção tenha sido de 7%, uma aplicação no 
valor de R$ 1.000,00 realizada a uma taxa 
efetiva de 30% ao ano apresentar um ga-
nho real de R$ 215,00.
 
AGORAÉASUAVEZ
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Neste tema você entrou em contato com a nomenclatura básica que será utilizada 
ao longo do curso, aprendeu a equação básica da Matemática Financeira, o conceito 
de fluxo de caixa e as formas de sua representação. Viu também a definição de taxa 
de juros e os modelos de formação dos juros nos regimes de capitalização simples e 
composta. Agora você é capaz de diferenciar os dois regimes de juros. Ao estudar o 
regime de juros simples ou de capitalização simples você entrou em contato com os 
conceitos de taxas de juros proporcionais e equivalentes concluindo que ambas são 
iguais nesse regime de juros e aprendeu a distinguir taxas de juros diárias: exata e 
comercial. Quando estudou o regime de juros compostos ou de capitalização composta 
você entrou em contato com os conceitos de taxas de juros nominais e efetivas; neste 
regime de juros essas taxas não são equivalentes como no regime de juros simples 
e se trabalha sempre com a taxa efetiva nas fórmulas. Estudou o conceito geral de 
equivalência para depois aplicar esse conceito.
Caro aluno, agora que o conteúdo dessa aula foi concluído, não se esqueça de acessar 
sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada. Bons estudos!
FINALIZANDO
16
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. 6 ed. São Paulo: Atlas, 2001.
AZEVEDO, G. H. W. Seguros, matemática atuarial e financeira. São Paulo: Saraiva, 2008.
KUHNEN, O. L. Finanças Empresariais. 2 ed. São Paulo: Atlas, 2008.
______. Matemática Financeira aplicada e Análise de Investimentos. 3 ed. São Paulo: 
Atlas, 2001.
PARENTE, E. A. M. Matemática Comercial e Financeira. Ed reform. São Paulo: FTD, 
1996.
PUCCINI, A. L. Matemática financeira – objetiva e aplicada. 6. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 
1999.
SHINODA, C. Matemática Financeira para usuários do Excel. São Paulo: Atlas, 1998.
TEIXEIRA, J. Matemática financeira. São Paulo: Makron Books, 1998.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. 7 ed. São Paulo: Atlas, 2000.
REFERÊNCIAS
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Juros (j): remuneração do capital no tempo.
Montante (M): valor total da transação financeira.
Principal (P): valor da aplicação ou quantia emprestada.
Regime de capitalização: é a forma como a taxa de juro incide sobre o capital inicial em 
vários períodos de tempo.
Taxa de juros (i): indica qual a remuneração que será paga ao dinheiro emprestado para 
um determinado período.
Tempo (n): representa o período de tempo durante o qual o capital ficou rendendo juros.
Taxa Efetiva: uma taxa de juros é efetiva quando coincide com o período de capitalização 
do investimento.
Taxas Proporcionais: aquelas que, ao serem aplicadas sobre o mesmo capital durante o 
mesmo período, produzem o mesmo no regime de juros simples.
Taxas Equivalentes: aquelas que, aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo 
período, produzem o mesmo no regime de juros compostos.
Taxa nominal: aquela cuja unidade do período a que se refere não coincide com a unidade 
do período de capitalização.
Taxa Efetiva: aquela que efetivamente grava uma operação financeira.
Taxa Over: a taxa nominal expressa ao mês com capitalização em dias úteis.
Taxa Aparente ou Nominal: aquela que vigora nas operações correntes.
Taxa Real: aquela calculada depois de serem expurgados os efeitos inflacionários.
GLOSSÁRIO
18
Questão 1
Resposta: Embora a taxa percentual seja a mesma, o que poderia levar a diferença no 
resultado seria o regime de capitalização aplicado, uma vez que, no regime de capitalização 
composto a relação entre Montante e Principal deixa de ser linear.
Questão 2
Resposta: Alternativa “A”.
Questão 3
Resposta: Alternativa “B”.
Questão 4
Resposta: Solução 
Logo, ao aplicar R$158.528,85 durante seis meses à taxa de juro de 2% ao mês, o retorno 
obtido total será de R$ 20.000,00.
GABARITO
19
Questão 5
Resposta: 
a) R$ 7.440,00.
b) 1,81% a.m.
c) 11,36% a.s.
Questão 6
Resposta: Juro (J): valor expresso em dinheiro (em reais, por exemplo) referente a 
determinado capital e para determinado período. Pode também ser definido como a 
remuneração do capital, ou seja, o valor pago pelos devedores aos emprestadores 
em troca do uso do dinheiro. Ao fazer uma aplicação financeira, o montante final (Cn) 
resgatado após n períodos deve ser igual ao capital inicial (C0) aplicado mais os juros 
(J) ganhos na operação. Logo, podemos escrever: Montante final = Capital inicial + J 
ou: Cn = C0 + J
Portanto: J = Cn - C0
Taxa de juro (i): é a porcentagem aplicada ao capital inicial que resulta no montante de 
juros (J). Conceitualmente, a taxa de juro é o custo de oportunidade do capital, isto é, a 
taxa paga/recebida para que um capital seja aplicado e resgatado no futuro e não gasto 
no presente. A taxa de juro pode ser calculada da seguinte forma: 
i= (Cn - 1)
 
C0
Questão 7
Resposta: A taxa over é uma taxa nominal apresentada ao mês, porém, com capitalização 
em dias úteis. Aplicada nas transações do Open Market, com títulos de renda fixa, de 
emissão pública ou privada.
Questão 8
Resposta: É mais vantajoso aplicar com uma taxa de 2% ao mês, que proporcionaria um 
rendimento de R$ 268,24, enquanto que a taxa de 24% ao ano, proporcionaria R$ 240,00 
de juros. O que explica a diferença é que no regime de capitalização composta, taxas 
proporcionais não são equivalentes. 
GABARITO
20
Questão 9
Resposta: A afirmativa está errada. Sob o regime de capitalização composta, a taxa de juros 
incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período de capitalização 
anterior.
Questão 10
Resposta: O fato ocorre em virtude da taxa efetiva de 30% não contemplar a inflação. 
Dessa forma, ao calcular a taxa real deve-se descapitalizar pela taxa de inflação, assim, a 
taxa real seria de 21,5%.
GABARITO