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CAP´ITULO1 INTRODUC¸A˜O A par da Mecaˆnica e da Termodinaˆmica, o Electromagnetismo (incluindo a O´ptica) cons- titui um ramo da F´ısica Cla´ssica. Desenvolveu-se, como disciplina independente, a partir do se´culo xviii, embora so´ tenha ficado estabelecido como corpo coerente de doutrina no se´culo xix. Fica a dever-se a Maxwell a formulac¸a˜o sinte´tica das leis que regem os feno´menos electromagne´ticos, o que e´ reconhecido como um dos feitos mais admira´veis da histo´ria da F´ısica. A este respeito recordem-se as seguintes palavras de Feynman retiradas das suas famosas Lectures on Physics: Vista a Histo´ria do Homem daqui a muito tempo, digamos daqui a dez mil anos, na˜o restam muitas du´vidas sobre o facto de maior significado no se´culo xix — a descoberta de Maxwell das leis do Electromagnetismo. A Guerra Civil na Ame´rica sera´ reduzida a uma mera questa˜o provinciana comparada com aquela descoberta cient´ıfica que data da mesma de´cada. Seria fastidioso referir o impacte que o Electromagnetismo teve e continua a ter no desen- volvimento das sociedades, referindo os inu´meros aspectos onde a sua importaˆncia e´ mani- festa. Basta, ta˜o-so´, mencionar que este ramo da F´ısica esta´ na base de todo o sistema de telecomunicac¸o˜es que se tornou de capital importaˆncia em todos os sectores da vida moderna. 1.1 O ELECTROMAGNETISMO CLA´SSICO E A F´ISICA MODERNA Referimo-nos habitualmente a` teoria de Maxwell como sendo o Electromagnetismo Cla´ssico. Mas, apesar de “cla´ssica”, tal teoria continha o ge´rmen do que se designa ha- bitualmente por F´ısica Moderna. Desde logo, a teoria de Maxwell representou um primeiro passo no sentido da unificac¸a˜o das forc¸as fundamentais da natureza. Tal unificac¸a˜o e´ um dos to´picos da fronteira do con- hecimento cient´ıfico neste virar de se´culo. 2 • Campo electromagne´tico Na verdade, os f´ısicos procuram hoje entender as interacc¸o˜es fundamentais entre part´ıculas elementares com base numa u´nica forc¸a, a qual, em regimes diferentes de energia, pode as- sumir formas diversificadas. Para energias relativamente baixas, correspondentes a`s situac¸o˜es em que desenvolvemos as nossas vidas, distinguem-se quatro forc¸as fundamentais: a forc¸a elec- tromagne´tica, que se exerce entre quaisquer duas part´ıculas com carga ele´ctrica; a forc¸a fraca, que se manifesta ao n´ıvel dos constituintes dos nu´cleos ato´micos e que e´ responsa´vel, entre outros processos, pela desintegrac¸a˜o β; a forc¸a forte (a mais intensa das forc¸as fundamentais), que governa a interacc¸a˜o entre quarks, embora, mais prosaicamente, ela seja habitualmente referida como a forc¸a responsa´vel pela estabilidade do agregado nuclear; e a forc¸a gravitacio- nal, de todos bem conhecida, a` qual esta˜o sujeitas todas as part´ıculas. As forc¸as ele´ctrica, fraca e forte, hoje “unificadas” numa forc¸a u´nica, formam, conjuntamente com as part´ıculas elementares (seis quarks e seis lepto˜es), o chamado modelo-padra˜o da F´ısica de Part´ıculas. A unificac¸a˜o significa que as forc¸as, tal como as conhecemos, sa˜o diferentes manifestac¸o˜es de uma forc¸a mais fundamental, manifestac¸o˜es essas determinadas por factores de circunstaˆncia como seja, por exemplo, a temperatura da mate´ria. Para temperaturas muit´ıssimo elevadas, superiores a 1027 K, na˜o se distinguiria entre a forc¸a electromagne´tica, a forc¸a fraca e a forc¸a forte, pois teriam todas a mesma intensidade. E´ justamente um mero factor circunstancial que separa, de facto, a Electricidade do Mag- netismo. Para melhor se entender esta afirmac¸a˜o, suponhamos que uma carga ele´ctrica esta´ em repouso num determinado referencial, criando um campo ele´ctrico. Se essa carga estiver em movimento, produz-se uma corrente que, por sua vez, e´ a fonte de um campo magne´tico. Assim, o cara´cter do campo produzido (ele´ctrico ou magne´tico) depende apenas de a carga estar em repouso ou em movimento e, portanto, do referencial de onde o sistema esta´ a ser observado. Serve este exemplo para mostrar que a distinc¸a˜o entre campos ele´ctricos e magne´ticos e´ meramente formal. O Electromagnetismo Cla´ssico e´ a teoria unificada de feno´menos aparentemente ta˜o diver- sos como os ele´ctricos e os magne´ticos. Para temperaturas da ordem de 1015 K e superiores desaparece a distinc¸a˜o entre o campo electromagne´tico e o campo fraco e a interacc¸a˜o re- sultante designa-se por electro-fraca. No laborato´rio, embora em regio˜es do espac¸o muito localizadas e apenas por per´ıodos de tempo muito curtos, ja´ se consegue obter essas temper- aturas, que ocorreram nos primeiros instantes do Universo. Por seu lado, as temperaturas para as quais as interacc¸o˜es forte e electro-fraca se tornariam indistingu´ıveis na˜o sa˜o actual- mente alcanc¸a´veis. Quanto a` unificac¸a˜o “final” da interacc¸a˜o gravitacional com as outras, subsistem, mesmo em aspectos teo´ricos, problemas muito se´rios — na˜o se sabe ainda, em definitivo, qual e´ a “simetria” subjacente a` interacc¸a˜o u´nica. Em resumo, o Electromag- netismo Cla´ssico, ao revelar-se como uma teoria unificadora de duas forc¸as diferentes, foi precursor das ideias desenvolvidas neste se´culo sobre a unificac¸a˜o das forc¸as fundamentais da natureza. Ale´m disso, o Electromagnetismo Cla´ssico revelou aspectos f´ısico-matema´ticos que levaram a` formulac¸a˜o de uma nova mecaˆnica — a Mecaˆnica Relativista — no alvor do nosso se´culo. A questa˜o era bem simples: enquanto as leis da Mecaˆnica Cla´ssica ficavam invariantes sob transformac¸o˜es de Galileu, o mesmo na˜o acontecia com as equac¸o˜es de Maxwell. Na˜o fos- sem as sucessivas e brilhantes comprovac¸o˜es experimentais das leis do electromagnetismo, culminando com a produc¸a˜o e a recepc¸a˜o das ondas hertzianas, na˜o seria dif´ıcil admitir a possibilidade de, pelo menos, se tentar reformular a teoria, procurando leva´-la a uma for- mulac¸a˜o que fosse invariante quanto a transformac¸o˜es de Galileu. Contudo, os factos experimentais e (porque na˜o admiti-lo?) a beleza das pro´prias equac¸o˜es de Maxwell acabariam por impor uma reforma da Mecaˆnica, cieˆncia ja´ enta˜o secular e que Introduc¸a˜o • 3 tantas e ta˜o boas provas tinha dado e continuava a dar. Verificava-se que as equac¸o˜es do Electromagnetismo Cla´ssico, ou mais precisamente, a equac¸a˜o de propagac¸a˜o de uma onda electromagne´tica, ficava invariante perante uma classe de transformac¸o˜es espa´cio-temporais conhecidas por transformac¸o˜es de Lorentz. Seria afinal esta simetria que haveria de ser incorporada nas leis da Mecaˆnica (para ale´m das simetrias de translac¸a˜o e de rotac¸a˜o), dando origem a` Teoria da Relatividade. Ate´ agora fala´mos de dois aspectos altamente merito´rios do Electromagnetismo Cla´ssico que tiveram grande repercussa˜o na F´ısica Moderna. Falemos tambe´m daqueles aspectos que, sendo negativos do ponto de vista do confronto com os factos experimentais, acabariam por ser cruciais para o desenvolvimento da F´ısica do nosso se´culo. Assim, o Electromagnetismo Cla´ssico revelou-se inadequado quando se pretendeu explicar o espectro de um corpo negro. De facto, a teoria cla´ssica previa intensidades da radiac¸a˜o electromagne´tica irremediavelmente crescentes para pequenos comprimentos de onda (o que ficou conhecido por “cata´strofe do ultra-violeta”). Tal de´baˆcle viria a ser resolvida por Planck, que usou o conceito de quantum — quantidade mı´nima de energia de radiac¸a˜o electromagne´tica de determinada frequeˆncia —, o que permitiu explicar cabalmente o espectro de radiac¸a˜o do corpo negro. A plausibilidade de uma tal teoria “quaˆntica” era enta˜o, como e´ evidente, puramente fenomenolo´gica. Numa outra situac¸a˜o de interacc¸a˜o da radiac¸a˜o com a mate´ria — o efeito fotoele´ctrico — voltaria a verificar-se a impossibilidade da sua explicac¸a˜o a` luz do Electromagnetismo Cla´ssico. Foi Einstein quem avanc¸ou com a explicac¸a˜o do feno´meno,utilizando a mesma ideia de quantum proposta por Planck, para concluir que, independentemente da intensidade da fonte de luz, se a sua frequeˆncia na˜o fosse igual ou superior a um certo valor que dependia do metal que se estava a usar na experieˆncia, nunca poderia haver emissa˜o de electro˜es por parte deste. O quantum ficava definitivamente a pertencer a` linguagem da F´ısica Moderna, tornando-se num dos seus mais fecundos conceitos. Uma outra dificuldade (embora, esta, aparente) com o Electromagnetismo Cla´ssico surgiu quando, tambe´m no in´ıcio do se´culo xx, se tornou necessa´rio conceber modelos para a es- trutura do a´tomo. J. J. Thomson propoˆs um modelo engenhoso segundo o qual o a´tomo seria uma esfera com uma distribuic¸a˜o uniforme de carga positiva, estando as part´ıculas de carga negativa — os electro˜es — dispostas em circunfereˆncias no seu interior. Os electro˜es estariam igualmente espac¸ados e as circunfereˆncias podiam ser mesmo em nu´mero superior a um. Aplicando a Mecaˆnica e a Electrodinaˆmica Cla´ssica, este modelo era capaz de explicar algumas riscas dos espectros de emissa˜o dos a´tomos, podendo mesmo ser considerado a teoria cla´ssica do a´tomo. O modelo revelou-se, pore´m, totalmente incapaz de explicar os resultados da ce´lebre ex- perieˆncia de Rutherford de dispersa˜o de part´ıculas α e β, pelo que teve de ser abandonado. Mas o modelo ato´mico de Rutherford e o modelo, mais quantitativo, de Bohr eram absoluta- mente incompat´ıveis com as leis de Maxwell! Os electro˜es, descrevendo o´rbitas circulares em torno do nu´cleo, perderiam energia, pois radiavam constantemente e acabariam por cair nele. O grande sucesso do modelo planeta´rio de Bohr na explicac¸a˜o dos espectros dos a´tomos hidro- geno´ides seria um primeiro passo para se encontrar a explicac¸a˜o da estabilidade ato´mica (na˜o pondo afinal em causa a lei de Coulomb), no contexto de uma nova mecaˆnica — a Mecaˆnica Quaˆntica, formulada na de´cada de 20. No final dessa mesma de´cada, Dirac desenvolveu uma teoria quaˆntica relativista para o electra˜o. A interacc¸a˜o da luz com a mate´ria ou, dito de outra maneira, a interacc¸a˜o da luz com a nuvem electro´nica que rodeava os nu´cleos ato´micos, deve- ria ser tratada no quadro da nova teoria quaˆntica. Essa teoria — a Electrodinaˆmica Quaˆntica (em ingleˆs QED, de Quantum Electrodynamics) — comec¸ou de facto a ser desenvolvida nos u´ltimos anos da de´cada de 20 mas os resultados revelaram-se insatisfato´rios. Diz Feynman no seu livro QED — a Estranha Teoria da Luz e da Mate´ria a respeito desta situac¸a˜o: 4 • Campo electromagne´tico [...] Se se calculasse algo aproximadamente, [a teoria] daria uma resposta razoa´vel; se se tentasse calcular a mesma coisa mas com mais rigor, verificava-se que a correcc¸a˜o que se pensava ser pequena (o nu´mero seguinte numa se´rie convergente, por exemplo) era, de facto, muito grande — na realidade era infinita —, de maneira que resultou que, na pra´tica, na˜o se podia calcular nada para ale´m de uma certa precisa˜o. A situac¸a˜o viria a ficar esclarecida depois dos trabalhos de Schwinger, Tomonaga e do pro´prio Feynman, que inventaram o me´todo de calcular propriedades f´ısicas no quadro da teoria quaˆntica relativista da luz em interacc¸a˜o com a mate´ria. Claro que na˜o cabe aqui fazer mais do que esta breve alusa˜o a` QED, que e´, sessenta anos depois da sua formulac¸a˜o, a teoria f´ısica com comprovac¸a˜o experimental mais rigorosa: ha´ quantidades para as quais o valor previsto pela QED concorda em mais de dez d´ıgitos com o respectivo valor experimental. A` luz dessa teoria, a interacc¸a˜o entre duas cargas ele´ctricas e´ vista como o resultado da permuta de foto˜es — as part´ıculas (ou quanta) de campo. Os foto˜es so´ interagem com as cargas ele´ctricas, podendo ser por estas emitidos e absorvidos, mas na˜o interagem directamente consigo mesmos. Teorias algo parecidas com a QED, embora formuladas em espac¸os mais gerais e abstractos, e tendo subjacentes outras classes de simetria, esta˜o na base do modelo-padra˜o da F´ısica de Part´ıculas a que ja´ fizemos refereˆncia anteriormente. Por exemplo, a forc¸a forte, tambe´m chamada forc¸a de cor, tem muitas analogias com a forc¸a electromagne´tica, embora a teo- ria daquela seja mais complexa por envolver cargas de treˆs tipos (cores) e as part´ıculas de campo (gluo˜es) poderem interagir consigo mesmas. Na QED ha´ um so´ tipo de part´ıculas de campo (foto˜es), ao passo que na QCD (do ingleˆs Quantum Chromodynamics) as part´ıculas de campo sa˜o de oito tipos diferentes. Existem, pois, oito campos “cromo-ele´ctricos” e oito cam- pos “cromo-magne´ticos”, mas muitos dos conceitos da Electrodinaˆmica Quaˆntica aplicam-se, mutatis mutantis, na Cromodinaˆmica Quaˆntica. Aprender electromagnetismo significa tambe´m adquirir as bases necessa´rias a` abordagem de outras teorias f´ısicas, na realidade mais complexas, mas que fazem uso de um conjunto de conceitos que sa˜o origina´rios do Electromagnetismo. 1.2 ESTRUTURA CONCEPTUAL DO LIVRO No Electromagnetismo Cla´ssico, um dos problemas fundamentais que importa considerar e´ o da determinac¸a˜o de campos ele´ctricos e magne´ticos a partir de distribuic¸o˜es de cargas e de correntes conhecidas. A presente obra pressupo˜e que o leitor conhec¸a os me´todos e te´cnicas ba´sicas de deter- minac¸a˜o dos campos a partir das suas fontes (cargas e correntes) no vazio. No entanto, e no sentido de procurar tornar a leitura mais co´moda, evitando ao ma´ximo a necessidade de remeter o leitor para outras obras, inclu´ımos um cap´ıtulo de revisa˜o destes assuntos. Assim, no Cap´ıtulo 2 apresenta-se, de uma forma necessariamente breve, o conjunto de conceitos e leis ba´sicas do Electromagnetismo. Esses conceitos e leis sa˜o, por vezes, apresentados sem qualquer deduc¸a˜o (como a lei de Gauss ou a forc¸a de Lorentz), embora sejam ilustrados com exemplos, que se apresentam ao longo do texto, e com problemas resolvidos, que se apresen- tam no final do cap´ıtulo. Tambe´m nos cap´ıtulos seguintes se inclui sempre um conjunto de problemas resolvidos que ajudam a uma melhor compreensa˜o de todo o formalismo. Um dos objectivos do Cap´ıtulo 2 e´ obter as equac¸o˜es de Maxwell no vazio. O electromagnetismo em meios materiais e´ um assunto cujo tratamento fica para mais tarde. Os cap´ıtulos 3 a 6 referem-se exclusivamente a` electrosta´tica. No Cap´ıtulo 3 comec¸a-se por obter a energia de uma distribuic¸a˜o de cargas esta´ticas. Esta energia e´ aqui apresentada Introduc¸a˜o • 5 como o trabalho que um agente externo tem de realizar para construir essa distribuic¸a˜o a partir de uma situac¸a˜o inicial em que as cargas esta˜o infinitamente afastadas. Na sequeˆncia deste estudo, aborda-se o problema das forc¸as em condutores carregados em equil´ıbrio elec- trosta´tico. O Cap´ıtulo 4 e´ dedicado ao desenvolvimento em multipolos do potencial escalar. Para facilitar a abordagem do assunto estuda-se primeiro o dipolo e o quadrupolo linear, focando as caracter´ısticas do potencial e do campo ele´ctrico produzidos por estes sistemas. Apresentam- se alguns exemplos que ilustram a utilidade do desenvolvimento multipolar. Trata-se tambe´m a questa˜o da energia de interacc¸a˜o de uma distribuic¸a˜o de cargas (com ou sem caracter´ısticas multipolares bem definidas) com um campo externo. O Cap´ıtulo 5 e´ dedicado ao estudo do campo electrosta´tico em meios diele´ctricos. A apresentac¸a˜o e´ feita com bastante pormenor, pois um formalismo ideˆntico e´ aplicado, embora com algumas modificac¸o˜es, ao estudo dos campos magne´ticos em meios magne´ticos (Cap´ıtulo 8). Introduzem-se os conceitos de polarizac¸a˜o e de campo deslocamento ele´ctrico, classificam- se os diele´ctricos e determina-se a energia armazenada no campo electrosta´tico quando ha´ meios diele´ctricos. Consideram-se depois as forc¸as sobre diele´ctricos e obteˆm-se campos ele´ctricosem cavidades no interior de diele´ctricos. Por fim, analisam-se as caracter´ısticas das constantes diele´ctricas de substaˆncias como gases e l´ıquidos apolares e polares. No Cap´ıtulo 6 estuda-se a equac¸a˜o de Laplace. Apresenta-se o me´todo das imagens e deduzem-se va´rias soluc¸o˜es particulares dessa equac¸a˜o em coordenadas cartesianas, cil´ındricas e esfe´ricas. Ilustram-se as te´cnicas apresentadas com va´rios exemplos com distribuic¸o˜es de car- gas no vazio, a` superf´ıcie de condutores e em diele´ctricos. Os cap´ıtulos 7 e 8 sa˜o dedicados ao magnetismo. No Cap´ıtulo 7 estuda-se a energia armazenada no campo magne´tico e faz-se o desenvolvimento em multipolos do potencial vector (seguindo, de perto, o procedimento utilizado no Cap´ıtulo 4). No Cap´ıtulo 8 trata-se a questa˜o do magnetismo em meios materiais. A propagac¸a˜o do campo electromagne´tico no vazio e em meios materiais e´ o assunto abordado no Cap´ıtulo 9. No que diz respeito aos meios materiais, estuda-se a propagac¸a˜o em meios diele´ctricos e magne´ticos e tambe´m em meios condutores. Obteˆm-se as leis da reflexa˜o e da refracc¸a˜o e estuda-se ainda a propagac¸a˜o do campo electromagne´tico em guias de ondas. O Cap´ıtulo 10 e´ dedicado ao Electromagnetismo e a` Teoria da Relatividade. No sentido de facilitar a leitura, faz-se uma breve introduc¸a˜o a aspectos da cinema´tica e da dinaˆmica relativista e ao ca´lculo tensorial no espac¸o de Minkowski. Constro´i-se o tensor do campo electromagne´tico e apresentam-se as equac¸o˜es de Maxwell na sua forma covariante. Finalmente, o Cap´ıtulo 11 e´ uma introduc¸a˜o a` teoria cla´ssica da radiac¸a˜o. Apresentam-se os potenciais retardados e estuda-se a radiac¸a˜o dipolar e quadrupolar ele´ctrica. Nos Apeˆndices apresentam-se os teoremas de Gauss e de Stokes e tratam-se alguns aspectos do ca´lculo vectorial, que sa˜o de grande utilidade no desenvolvimento do formalismo pro´prio das mate´rias abordadas. CAP´ITULO2 EQUAC¸O˜ES DE MAXWELL Neste cap´ıtulo faz-se uma revisa˜o das leis ba´sicas da electricidade e do magnetismo, chegando-se a`s equac¸o˜es de Maxwell. Recorda-se, no caso da electrosta´tica, a lei de Coulomb e a lei de Gauss. No caso do magnetismo reveˆem-se as leis de Biot-Savart, de Laplace, de Ampe`re e de Faraday e Lenz. Sa˜o apresentados alguns exemplos de movimentos de part´ıculas carregadas em cam- pos ele´ctricos e magne´ticos para ilustrar a forc¸a de Lorentz. Por fim, obteˆm-se as equac¸o˜es de propagac¸a˜o no vazio dos potenciais escalar e vector e dos campos ele´ctrico e de induc¸a˜o magne´tica. 2.1 CAMPOS ELECTROSTA´TICOS A lei de Coulomb, obtida experimentalmente na segunda metade do se´culo xviii, descreve a forc¸a que uma carga ele´ctrica pontual, q, exerce numa outra, q′, quando esta˜o separadas por uma distaˆncia a: F = 1 4pi²0 qq′ a2 aˆ , (2.1) onde aˆ e´ o vector unita´rio com a direcc¸a˜o e o sentido de a (Figura 2.1). A constante ²0 designa-se por permitividade do va´cuo e tem o valor ²0 = 8, 8542× 10−12 F/m, pelo que, no SI 1 4pi²0 = 9× 109 N m2 C−2. E´ um facto experimental que, se q for uma carga esta´tica, a forc¸a exercida sobre q′ e´ dada pela expressa˜o (2.1), qualquer que seja a velocidade desta carga. No caso de a carga q estar em movimento, a forc¸a que esta exerce sobre a carga q′ ja´ na˜o e´ dada simplesmente pela lei de Coulomb. 8 • Campo electromagne´tico Fq ' a q P Figura 2.1. Forc¸a que a carga q exerce na carga q′ (as cargas teˆm o mesmo sinal). A forc¸a que q′ exerce sobre q e´ de grandeza igual mas de sentido oposto. E´ muito u´til introduzir o conceito de campo ele´ctrico, E, que e´ a forc¸a por unidade de carga. Em P (Figura 2.1) o campo ele´ctrico e´ dado por E = F q′ = 1 4pi²0 q a2 aˆ. (2.2) No SI o campo ele´ctrico exprime-se em N C−1 ou, o que e´ equivalente, em V m−1. No caso de um nu´mero arbitra´rio de cargas, aplica-se o princ´ıpio de sobreposic¸a˜o. De acordo com este princ´ıpio, o campo ele´ctrico resultante em P e´ a soma vectorial dos cam- pos criados individualmente por cada carga ele´ctrica. Se num volume v existir uma dis- tribuic¸a˜o cont´ınua de cargas, descrita por uma densidade ρ(r′), da aplicac¸a˜o do princ´ıpio de sobreposic¸a˜o resulta o campo electrosta´tico (ver Figura 2.2) E = 1 4pi²0 ∫ v ρ(r′) aˆ a2 dv. S P r r ' a d E P ' x y z v d v Figura 2.2. Distribuic¸a˜o cont´ınua de cargas no volume v. O campo elementar dE e´ produzido pela carga elementar dq = ρ(r′) dv. Fazemos uma chamada de atenc¸a˜o para a notac¸a˜o que estamos a utilizar e que manteremos ao longo do livro. Assim, o vector r, cujas componentes cartesianas no sistema de refereˆncia Equac¸o˜es de Maxwell • 9 ortonormado S sa˜o (x, y, z), e´ o vector posicional do ponto P onde se pretende calcular o campo (ou outra grandeza como, por exemplo, o potencial). O vector r′ indica, relativamente a` origem do mesmo referencial, a posic¸a˜o do ponto P′ onde se localiza a fonte do campo. As coordenadas cartesianas desse ponto sa˜o (x′, y′, z′). Note-se que (x, y, z) e (x′, y′, z′) sa˜o coordenadas independentes. O vector a = r − r′ (2.3) indica a localizac¸a˜o do ponto P relativamente a P′ e e´ uma func¸a˜o dos dois conjuntos de coordenadas. As fontes do campo distribuem-se num volume v, sendo o elemento de volume nesse domı´nio designado por dv. Em coordenadas cartesianas esse elemento infinitesimal de volume escreve-se dv = dx′dy′dz′. q P 1 P 2 F r r 1 r 2 q ' P Figura 2.3. Carga q′ a deslocar-se de P1 para P2. O trabalho da forc¸a ele´ctrica e´ independente da trajecto´ria. Consideremos agora a Figura 2.3. O trabalho realizado pela forc¸a ele´ctrica que q exerce sobre q′ quando esta u´ltima se desloca de P1 para P2 e´ dado por WP1→P2 = ∫ P1P2 F · dl = q′ ∫ P1P2 E · dl , tendo-se utilizado a definic¸a˜o de campo ele´ctrico para escrever a u´ltima igualdade. Como o campo electrosta´tico e´ conservativo, o integral na expressa˜o anterior na˜o depende do percurso entre P1 e P2. O trabalho WP1→P2 e´ sime´trico da variac¸a˜o da energia potencial: WP1→P2 = − [U(r2)− U(r1)] . (2.4) O trabalho realizado pela forc¸a externa quando a carga se desloca com velocidade de mo´dulo constante de P1 para P2 e´ o sime´trico de (2.4). Esse trabalho exterior iguala a variac¸a˜o da energia do sistema, ∆U : ∆U = −WP1→P2 = U(r2)− U(r1) = q′ [V (r2)− V (r1)]. (2.5) Introduziu-se nesta expressa˜o a func¸a˜o V (r), que e´ o potencial no ponto P, a` distaˆncia r de q. Em geral, a diferenc¸a de potencial entre dois pontos P1 e P2 e´ dada por V (r1)− V (r2) = ∫ P1P2 E · dl . (2.6) 10 • Campo electromagne´tico Para se conhecer o potencial num ponto (digamos P2), e´ necessa´rio fixar um valor para o potencial num outro ponto de refereˆncia (digamos P1). No caso de distribuic¸o˜es finitas de carga, a escolha usual corresponde a P1 →∞ e considera-se a´ı o potencial nulo. O potencial no ponto P e´ enta˜o V (r) = − ∫ P ∞ E · dl. (2.7) Chama-se a atenc¸a˜o para o facto de esta maneira de fixar o potencial na˜o ser aplica´vel quando a distribuic¸a˜o de cargas e´ infinita (por exemplo, uma linha infinita de carga). Deve enta˜o usar-se uma outra origem para o potencial V (r). O facto de o campo electrosta´tico ser conservativo significa que a sua circulac¸a˜o ao longo de uma trajecto´ria fechada C se anula:∮ C E · dl = 0 . (2.8) Da Eq. (2.6) resulta que o campo electrosta´tico se pode escrever como o sime´trico do gradiente do potencial V : E(r) = −∇V (r) . (2.9) Esta expressa˜o mostra que o potencial V (r) descreve completamente o campo electrosta´tico, indicando o sinal negativo na expressa˜o anterior que E aponta no sentido dos potenciais decrescentes. Se recordarmos que, qualquer que seja a func¸a˜o escalar V , se tem [ver (B.35)] ∇×∇V = 0 , imediatamentese conclui que ∇×E = 0 . (2.10) Esta equac¸a˜o pode tambe´m ser obtida a partir de (2.8) por aplicac¸a˜o do teorema de Stokes (ver Apeˆndice A). O potencial criado por uma carga pontual q num ponto situado a` distaˆncia a desta e´ particularmente simples de obter, se no integral (2.7) se considerar um percurso que tenha a direcc¸a˜o definida pela carga e pelo ponto onde se pretende obter o potencial: V = ∫ ∞ a q 4pi²0 dr r2 = q 4pi²0 a . (2.11) No caso de uma distribuic¸a˜o de cargas descrita por ρ(r′) contida num volume v (Figura 2.2), o potencial e´ dado, de acordo com o princ´ıpio da sobreposic¸a˜o, por V = 1 4pi²0 ∫ v ρ(r′) dv a , (2.12) onde [ver (2.3)] a e´ a distaˆncia do ponto (x′, y′, z′) — onde se localiza a carga elementar — ao ponto (x, y, z) — onde se pretende calcular o potencial. Os pontos do espac¸o que esta˜o ao mesmo potencial definem as chamadas superf´ıcies equipotenciais. E´ tambe´m conveniente relembrar a lei de Gauss, a qual desempenha um papel muito importante quando se pretende calcular o campo electrosta´ticoE criado por uma distribuic¸a˜o de cargas possuindo determinadas simetrias. De acordo com a lei de Gauss, o fluxo do campo ele´ctrico E atrave´s de uma superf´ıcie fechada S que encerra a carga total Q e´∮ S E · dS = Q ²0 . (2.13) Equac¸o˜es de Maxwell • 11 Usando agora o teorema de Gauss (ver Apeˆndice A) e atendendo a que a carga total e´ dada por Q = ∫ v ρ(r ′) dv, sendo v o volume total delimitado por S, conclui-se que∫ v ∇ ·E dv = 1 ²0 ∫ v ρ dv , de onde resulta a seguinte equac¸a˜o local para o campo electrosta´tico: ∇ ·E = ρ ²0 . (2.14) Combinando com a Eq. (2.9) obte´m-se a equac¸a˜o de Poisson: ∇2V = − ρ ²0 . (2.15) Numa regia˜o do espac¸o livre de cargas, ∇2V = 0 , que e´ a equac¸a˜o de Laplace. Vamos, a seguir, considerar alguns exemplos de distribuic¸o˜es esta´ticas de carga e obter os correspondentes campos ele´ctricos. Exemplo 2.1: Distribuic¸a˜o linear de carga de densidade uniforme Consideremos um fio cil´ındrico de comprimento L (muito grande) sobre o qual se encontra uniformemente distribu´ıda a carga Q (λ = Q/L e´ a densidade linear de carga). r l z Figura 2.4. Superf´ıcie de Gauss adequada a` determinac¸a˜o do campo ele´ctrico produzido por uma distribuic¸a˜o linear infinita de carga. Escolhe-se o eixo z coincidente com o eixo do fio, como se mostra na Figura 2.4. Comece- mos por investigar a configurac¸a˜o das linhas do campo ele´ctrico E. Devido a` extensa˜o infinita da distribuic¸a˜o e a` simetria axial, o campo na˜o pode depender das coordenadas cil´ındricas z e φ; igualmente, por se tratar de uma distribuic¸a˜o muito longa com simetria axial, o campo na˜o tem componente Ez nem Eφ. Assim, o campo ele´ctrico tem apenas componente radial, a qual e´ func¸a˜o de r, isto e´, E = E(r)eˆr. A determinac¸a˜o de E pode ser feita usando a lei de Gauss (2.13), que se escreve na forma∮ S E · dS = 1 ²0 ∫ ` λd` , (2.16) 12 • Campo electromagne´tico sendo a superf´ıcie gaussiana adequada uma superf´ıcie cil´ındrica de comprimento ` e raio r, coaxial com a linha de carga, como mostra a Figura 2.4. O integral no primeiro membro da Eq. (2.16) reduz-se ao fluxo do campo ele´ctrico que sai pela superf´ıcie lateral do cilindro 2pir`E(r) = λ` ²0 , de onde se obte´m E = λ 2pi²0r eˆr . (2.17) Exemplo 2.2: Distribuic¸a˜o volume´trica de carga com simetria esfe´rica Considere-se uma carga Q distribu´ıda uniformemente numa esfera de raio R. A densidade volume´trica de cargas e´ ρ = 3Q/(4piR3). Devido a` simetria da distribuic¸a˜o de carga, o campo ele´ctrico tem apenas componente radial, a qual so´ depende de r (distaˆncia ao centro da esfera). A aplicac¸a˜o da lei de Gauss far-se-a´ em duas etapas: i) Obtenc¸a˜o do campo E num ponto interior (r < R): E(r) 4pi r2 = ρ ²0 4 3 pi r3 , (2.18) tendo-se considerado uma superf´ıcie gaussiana esfe´rica, de raio r, conceˆntrica com a distribuic¸a˜o de carga; no segundo membro de (2.18) considera-se a carga contida no interior desta superf´ıcie; ii) Ca´lculo do campo E num ponto exterior (r > R): A aplicac¸a˜o da lei de Gauss a esta situac¸a˜o segue os mesmos passos, obtendo-se E(r) 4pi r2 = Q ²0 , dado que agora toda a carga Q esta´ contida no interior da superf´ıcie gaussiana de raio r > R. Temos, em conclusa˜o: E = Q 4pi²0R3 r eˆr, r ≤ R , (2.19) E = Q 4pi²0r2 eˆr, r ≥ R . (2.20) 2.2 CAMPOS DE INDUC¸A˜O MAGNE´TICA Considere-se a Figura 2.5, que representa um troc¸o de um circuito ele´ctrico percorrido por uma corrente estaciona´ria (quer dizer, que na˜o varia no tempo) de intensidade i. A corrente no circuito cria num ponto P, a` distaˆncia a do elemento (orientado) de circuito, dl, um campo de induc¸a˜o magne´tica, B. Equac¸o˜es de Maxwell • 13 i d l P d Bâ a Figura 2.5. Campo produzido por um elemento de corrente. O campo elementar dB e´ perpendicular a a e a dl. A contribuic¸a˜o elementar dB para este campo devida ao troc¸o elementar dl e´ dada pela lei de Biot-Savart: dB = µ0 4pi i dl× aˆ a2 , onde µ0 = 4pi × 10−7 N/A2 (ou, equivalentemente H/m) e´ a permeabilidade magne´tica do va´cuo. O campo de induc¸a˜o magne´tica B, no ponto P, obte´m-se integrando sobre todo o circuito fechado: B = µ0 4pi ∮ C idl× aˆ a2 , (2.21) e exprime-se, no SI, em tesla (T) ou weber por metro quadrado (Wb/m2). Quando se tem uma distribuic¸a˜o extensa de corrente de intensidade i, pode introduzir-se a densidade de corrente j (expressa em A/m2 no SI) na seguinte forma: i = ∫ S j · dS, (2.22) sendo dS um elemento de superf´ıcie orientado da secc¸a˜o do condutor. Desta forma, a expressa˜o (2.21) pode ser generalizada e, em lugar do integral estendido a uma linha de corrente, passa a ter-se um integral estendido a todo o volume v que conte´m a distribuic¸a˜o de correntes: B = µ0 4pi ∫ v j(r′)× aˆ a2 dv. (2.23) As fontes do campoB esta˜o confinadas num volume v e sa˜o func¸a˜o das coordenadas (x′, y′, z′), tal como se tinha, na Secc¸a˜o 2.1, para uma distribuic¸a˜o de cargas. Experimentalmente, verifica-se que um circuito quando e´ colocado numa regia˜o onde existe um campo de induc¸a˜o magne´tica fica sujeito a uma forc¸a (tambe´m uma carga colocada numa regia˜o onde existe campo ele´ctrico fica sujeita a uma forc¸a). Considere-se, enta˜o, uma regia˜o do espac¸o onde existe um campo de induc¸a˜o magne´tica,B, cuja origem na˜o importa conhecer, e que se coloca, nessa regia˜o, um circuito percorrido por uma corrente i (mas que na˜o e´ a fonte do campo B).1 Verifica-se experimentalmente que sobre cada elemento dl do circuito se exerce uma forc¸a dada por dF = idl×B . (2.24) 1Na˜o confundir, portanto, com a situac¸a˜o da Figura 2.5, em que o circuito representado e´ a fonte do campo de induc¸a˜o magne´tica. 14 • Campo electromagne´tico Esta expressa˜o e´ denominada lei de Laplace. No Exemplo 2.5 consideram-se duas correntes paralelas e determina-se a forc¸a entre elas. O campo de induc¸a˜o magne´tica pode ser formalmente obtido a partir de cargas (monopo- los) magne´ticas. Os monopolos magne´ticos, embora u´teis de um ponto de vista conceptual, sa˜o objectos fict´ıcios, no sentido em que nunca foram detectados experimentalmente. As cargas magne´ticas (que designamos por q∗) foram propostas por Dirac e teˆm a vantagem de permitir escrever a forc¸a magne´tica de atracc¸a˜o ou de repulsa˜o existente entre elas de uma forma ideˆntica a` lei de Coulomb (2.1): F = 1 4piµ0 q∗q′∗ a2 aˆ. O facto de na˜o se observarem monopolos magne´ticos significa que os campos de induc¸a˜o magne´tica sa˜o produzidos por correntes, e as linhas de campo sa˜o sempre fechadas. Conse- quentemente, o fluxo de B atrave´s de uma superf´ıcie fechada qualquere´ sempre nulo:∮ S B · dS = 0 . (2.25) Por aplicac¸a˜o do teorema de Gauss (ver Apeˆndice A) resulta a seguinte equac¸a˜o local para o campo de induc¸a˜o magne´tica: ∇ ·B = 0 . (2.26) Formalmente, o resultado expresso por (2.26) pode ser obtido directamente a partir da lei de Biot-Savart. De facto, tomando a divergeˆncia de (2.23) tem-se, usando a Eq. (B.43) e notando que a corrente j e´ so´ func¸a˜o das coordenadas (x′, y′, z′) e que o operador∇ so´ actua nas coordenadas (x, y, z), ∇ ·B = −µ0 4pi ∫ v j(r′) · ( ∇× aˆ a2 ) dv , (2.27) sendo o vector a definido por (2.3). Mas, por outro lado, aˆ/a2 pode ser escrito como o gradiente de uma func¸a˜o escalar: ∇ ( 1 a ) =∇ ( 1 |r − r′| ) = − r − r ′ |r − r′|3 = − aˆ a2 . (2.28) Assim, a quantidade dentro de pareˆntesis no integral da Eq. (2.27) e´ zero (trata-se do rotacional de um gradiente) e, portanto, obte´m-se o resultado (2.26). A Eq. (2.26) (va´lida sempre) esta´ contida na lei de Biot-Savart (que se aplica em regimes estaciona´rios). Da Eq. (2.26) resulta ainda, e de uma maneira automa´tica [ver (B.36)], que o campoB(r) se pode exprimir como o rotacional de um campo vectorial A(r), ou seja, B =∇×A . (2.29) Conhecido A — o potencial vector — B fica univocamente determinado, mas o mesmo na˜o sucede com A, quando B e´ conhecido. De facto, pode adicionar-se a A qualquer vector cujo rotacional seja zero sem que tal afecte o campo f´ısico B. De resto, uma situac¸a˜o algo semelhante ocorre tambe´m para o potencial escalar V introduzido na Secc¸a˜o 2.1. Pode sempre somar-se a V uma func¸a˜o escalar cujo gradiente seja nulo (em particular uma constante qualquer) que isso na˜o altera o campo f´ısico E. (Vimos mesmo, na Secc¸a˜o 2.1, que se podia arbitrar a origem do potencial.) Equac¸o˜es de Maxwell • 15 Vejamos, enta˜o, qual a forma geral do potencial A do qual “deriva” o campo de induc¸a˜o magne´tica. A Eq. (2.23) pode ser escrita na forma B = µ0 4pi ∫ v ∇ ( 1 a ) × j(r′) dv , tendo-se usado (2.28). A expressa˜o (B.40) permite escrever ∇ ( 1 a ) × j =∇× ( 1 a j ) − 1 a ∇× j . A u´ltima parcela e´ nula, uma vez que o ca´lculo do rotacional envolve derivadas em ordem a (x, y, z) e a func¸a˜o vectorial j so´ depende do conjunto de varia´veis (x′, y′, z′). Assim, B = µ0 4pi ∫ v ∇× j(r ′) a dv =∇× [ µ0 4pi ∫ v j(r′) a dv ] , (2.30) onde se usou novamente o facto de o operador nabla, por actuar em func¸o˜es das coorde- nadas (x, y, z), poder passar para fora do integral [as varia´veis sobre as quais se integra sa˜o (x′, y′, z′)]. Comparando (2.30) com (2.29) conclui-se que A(r) = µ0 4pi ∫ v j(r′) a dv . (2.31) Se as correntes forem superficiais (κ e´ a densidade superficial de corrente), A(r) = µ0 4pi ∫ S κ(r′) dS a . (2.32) Quando a corrente e´ filamentar tem-se A(r) = µ0 i 4pi ∮ C dl a , (2.33) uma vez que a corrente i e´ a mesma em qualquer ponto do circuito. A lei de Biot-Savart tambe´m permite obter a chamada lei dos circuitos de Ampe`re. Inte- grando o campo de induc¸a˜o magne´tica ao longo de um contorno fechado qualquer e aplicando o teorema de Stokes, tem-se ∮ C B · dl = ∫ S ∇×B · dS . (2.34) Para determinar o rotacional do campo B vamos usar (2.29) e (2.31). De (B.41), ∇×B =∇× (∇×A) =∇(∇ ·A)−∇2A, (2.35) tendo, pois, de se determinar a divergeˆncia e o laplaciano do potencial vector A. Consider- emos, de momento, um regime estaciona´rio, o qual corresponde a uma situac¸a˜o em que na˜o ha´ dependeˆncias temporais nem na densidade de carga, nem na densidade de corrente. A equac¸a˜o de continuidade que, em geral, se escreve ∂ρ ∂t +∇ · j = 0 (2.36) reduz-se a ∇ · j = 0 , (2.37) 16 • Campo electromagne´tico dado que, na situac¸a˜o que estamos a considerar, o primeiro termo no membro esquerdo de (2.36) e´ nulo. O significado f´ısico da equac¸a˜o anterior e´ claro: as linhas de corrente fecham-se sobre si pro´prias. Se atendermos agora, por um lado, a` Eq. (2.12) para o potencial escalar V e a` expressa˜o que se obte´m para o seu laplaciano [Eq. de Poisson (2.15)], e, por outro lado, a` forma semelhante a (2.12) de cada uma das componentes deA [ver (2.31)], podemos concluir que cada uma dessas componentes tera´ de obedecer a equac¸o˜es de Poisson semelhantes a (2.15). Numa notac¸a˜o compacta, ∇2A = −µ0 j . (2.38) Vejamos finalmente o valor da divergeˆncia de A a fim de retomarmos (2.35). Aplicando o operador ∇ a (2.31), ∇ ·A = µ0 4pi ∫ v [∇ · j(r′) a + j(r′) ·∇ ( 1 a )] dv . A primeira parcela do segundo membro e´ nula porque ∇ na˜o actua nas coordenadas r′; na segunda parcela pode fazer-se a seguinte substituic¸a˜o ∇ ( 1 a ) =∇ ( 1 |r − r′| ) = −∇′ ( 1 |r − r′| ) = −∇′ ( 1 a ) , (2.39) onde o operador ∇′ actua nas coordenadas r′. Integrando por partes, reescreve-se o termo resultante na seguinte forma: ∇ ·A = −µ0 4pi [∫ v ∇′ · ( j(r′) a ) dv − ∫ v ∇′ · j(r′) a dv ] . A u´ltima parcela e´ nula atendendo a que estamos a considerar um regime estaciona´rio, pelo que (2.37) se verifica. Aplicando o teorema de Gauss a` primeira parcela, ∇ ·A = −µ0 4pi ∮ S j(r′) a · dS = 0 . A igualdade a zero verifica-se porque as correntes esta˜o limitadas no espac¸o, o que significa que j = 0 sobre a superf´ıcie S ou enta˜o j e´ tangente a` superf´ıcie S, sendo, por isso, nulo o fluxo atrave´s de S. Usando este resultado e o expresso por (2.38) na Eq. (2.35), obte´m-se ∇×B = µ0 j , (2.40) que e´ a forma local da lei dos circuitos de Ampe`re. A forma integral desta lei e´ obtida a partir de (2.34): ∮ C B · dl = µ0 ∫ S j · dS . (2.41) O conjunto de Eqs. (2.10), (2.14), (2.26) e (2.40) sa˜o as equac¸o˜es de Maxwell no vazio para o regime estaciona´rio. E´ u´til escrever essas equac¸o˜es em superf´ıcies de descontinuidade: divSE = nˆ · (E2 −E1) = σ ²0 (2.42) rotSE = 0 (2.43) divSB = 0 (2.44) rotSB = nˆ× (B2 −B1) = µ0κ . (2.45) O versor nˆ e´ normal a` superf´ıcie de separac¸a˜o dos meios 1 e 2 e aponta para o lado 2; E2 , B2 e E1 , B1 sa˜o os campos junto a` superf´ıcie nos meios 2 e 1, respectivamente; σ e´ a densidade superficial de carga e κ e´ a densidade superficial de corrente sobre a superf´ıcie de descontinuidade. Vamos considerar exemplos de distribuic¸o˜es estaciona´rias de correntes e obter os campos de induc¸a˜o magne´tica resultantes. Equac¸o˜es de Maxwell • 17 Exemplo 2.3: Condutor infinito percorrido por corrente distribu´ıda uniforme- mente a i S 1 S 2 r h C 1 d z Figura 2.6. Esquema para a determinac¸a˜o de B produzido por uma corrente num condutor rectil´ıneo e infinito. Consideremos um fio condutor muito longo de raio a percorrido por uma corrente i uniformemente distribu´ıda (Figura 2.6). A densidade de corrente e´ j = j eˆz = i pi a2 eˆz. Vamos procurar a soluc¸a˜o para o campo B usando coordenadas cil´ındricas, atendendo a` simetria axial do problema. Em termos das suas componentes, o campo de induc¸a˜o magne´tica escreve-se B(r, φ, z) = Br(r, φ, z)eˆr +Bφ(r, φ, z)eˆφ +Bz(r, φ, z)eˆz . Por simetria, B na˜o pode depender de φ nem de z, quer dizer B(r) = Br(r) eˆr +Bφ(r) eˆφ +Bz(r) eˆz . (2.46) A Eq. (2.26), quando aplicada ao campo dado por (2.46), permite concluir que 1 r d dr (rBr) = 0 ⇒ Br = C r . Ora, o campo B e´ uma quantidade f´ısica e portanto nunca podera´ tornar-se infinito, de onde se conclui que a constante C deve ser nula, sena˜o B divergiria na origem. Poder´ıamos ter chegado a` mesma conclusa˜o partindo da lei do fluxo (2.25). Considerando como superf´ıcie auxiliar a superf´ıcie cil´ındrica de raio r > a e altura h (bases S1 e S2 e superf´ıcie lateral SL), coaxial com o tubo de corrente, como se indica naFigura 2.6,∮ S B · dS = ∫ SL BL · dS + ∫ S1 B1 · dS + ∫ S2 B2 · dS = ∫ SL Br(r) dS = 2pi r hBr(r) = 0 , (2.47) 18 • Campo electromagne´tico onde se teve em conta o facto de os integrais estendidos a S1 e a S2 terem valores sime´tricos, uma vez que B na˜o depende de z. A Eq. (2.47) confirma que Br(r) = 0. Consideremos agora a lei dos circuitos de Ampe`re aplicada ao contorno C1 situado num plano vertical contendo o eixo do cilindro, como se mostra na Figura 2.6. Tem-se∮ C1 B · dl = 0→ Bz(r) dz −Bz(r′) dz = 0 e, supondo B(r′ →∞) = 0, vem Bz(r) dz = 0, ou seja, Bz(r) = 0. O campo B e´ enta˜o da forma B = Bφ(r) eˆφ, sendo a sua expressa˜o obtida recorrendo de novo a` lei dos circuitos de Ampe`re. Consideremos os caminhos C1 e C2, indicados na Figura 2.7, para o ca´lculo do campo em pontos interiores e pontos exteriores a` distribuic¸a˜o, respectivamente. a B B C 1 C 2 i Figura 2.7. Contornos C1 e C2 adequados ao ca´lculo do campo no Exemplo 2.3. Para r < a Bφ(r) 2pi r = µ0 i pi a2 pi r2 , ou seja, Bφ(r) = µ0 i r 2pi a2 eˆφ . Para r > a B(r) 2pi r = µ0 i , de onde resulta B(r) = µ0 i 2pi r eˆφ . (2.48) Estes resultados foram obtidos tendo em conta que, sobre os caminhos escolhidos, o campo de induc¸a˜o magne´tica mante´m constante a sua grandeza, e B e´ paralelo em cada ponto a` tangente ao caminho. Equac¸o˜es de Maxwell • 19 Exemplo 2.4: Soleno´ide infinito De novo recorremos a`s equac¸o˜es de Maxwell, quer na sua forma local, quer na sua forma integral, para obter o campo de induc¸a˜o magne´tica criado por um soleno´ide infinito. Este sistema e´, na pra´tica, um enrolamento compacto de espiras circulares cujo raio, a, e´ muito pequeno em comparac¸a˜o com o comprimento L do soleno´ide. Dada a simetria da distribuic¸a˜o de correntes, o problema resolve-se adequadamente em coordenadas cil´ındricas, podendo desde logo notar-se que B e´, em todo o espac¸o, independente das coordenadas z e φ, pelo que o campo de induc¸a˜o magne´tica tem a forma dada pela Eq. (2.46). S r h a i C 1 z Figura 2.8. Esquema utilizado para o ca´lculo do campo produzido por um soleno´ide infinito. De modo ana´logo ao que atra´s se discutiu, podemos usar a lei do fluxo, aplicando-a a` superf´ıcie cil´ındrica fechada de raio r e altura h, indicada por S na Figura 2.8. Designando por S1 e S2 as superf´ıcies das bases e por SL a superf´ıcie lateral,∮ S B · dS = ∫ SL BL · dS + ∫ S1 B1 · dS + ∫ S2 B2 · dS = ∫ SL Br(r) dS = 2pi r hBr(r) = 0 , uma vez que, sendoB independente de z, a segunda e a terceira parcelas do segundo membro sa˜o sime´tricas. O resultado do ca´lculo anterior permite concluir que Br(r) = 0 . Consideremos agora a lei dos circuitos de Ampe`re aplicada ao contorno circular C1 de raio r > a situado no plano perpendicular ao eixo do soleno´ide:∮ C1 B · dl = ∮ C1 Bφ(r) r dφ = 2pi r Bφ(r) = 0 , onde se fez uso do facto de o campo ser independente de φ e de o fluxo de corrente atrave´s da superf´ıcie aberta que se apoia em C1 ser nulo. Pode concluir-se que Bφ = 0 em todo o espac¸o, pois o resultado anterior e´ independente do raio r do contorno escolhido. O campo B sera´, em princ´ıpio, da forma B = Bz(r)eˆz. Vejamos agora o campo em pontos interiores, r < a. A equac¸a˜o local (2.40) escreve-se, neste caso, −∂Bz ∂r eˆφ = 0, 20 • Campo electromagne´tico uma vez que as correntes se distribuem sobre a superf´ıcie do soleno´ide; assim, o campo no interior tem um valor constante Bz = C; usando exactamente os mesmos argumentos, conclu´ımos que Bz no exterior tambe´m tem de ser constante. Pela lei de Biot-Savart o campo criado num ponto infinitamente afastado do eixo do soleno´ide (r →∞) e´ nulo. Assim, o campo de induc¸a˜o magne´tica e´ nulo em todo o espac¸o fora do soleno´ide: Bext → 0. A expressa˜o de B no interior e´ obtida usando a Eq. (2.45) rotSB = eˆr × (0− Ceˆz) = Ceˆφ = µ0κ = µ0 n i eˆφ , (2.49) em que n = N/L designa o nu´mero de espiras por unidade de comprimento. Podemos enta˜o escrever, para r < a, B = µ0 n i eˆz ; (2.50) e, para r > a, B = 0 . (2.51) Exemplo 2.5: Forc¸a entre duas correntes paralelas Consideremos dois fios rectil´ıneos, muito longos, percorridos por correntes de intensidades i1 e i2, respectivamente, como mostra a Figura 2.9. Pretende-se determinar a forc¸a que um fio exerce sobre o outro. e f e r e z ^ ^ ^ i 1 i 2 d 1 2 d l Figura 2.9. Fios paralelos percorridos por correntes i1 e i2, a` distaˆncia d um do outro. O fio 1 produz um campo de induc¸a˜o magne´tica que e´ dado por (2.48): B1 = µ0 i1 2pi r eˆφ . (2.52) De acordo com a lei de Laplace [ver Eq. (2.24)], a forc¸a que o campo B1 exerce sobre cada elemento de comprimento do condutor 2 e´ dada por dF = i2 dl eˆz ×B1 = µ0 i1 i2 dl2pi d eˆz × eˆφ = −µ0 i1 i2 dl 2pi d eˆr . Equac¸o˜es de Maxwell • 21 A intensidade da forc¸a por unidade de comprimento e´, enta˜o, dF dl = µ0 i1 i2 2pi d , (2.53) que e´ tambe´m igual a` intensidade da forc¸a por unidade de comprimento que o condutor 2 exerce sobre o condutor 1. Os dois fios atraem-se se as correntes tiverem o mesmo sentido e repelem-se se tiverem sentidos opostos. A Eq. (2.53) e´ utilizada para definir o ampere (unidade de corrente ele´ctrica no SI). 2.3 REGIME NA˜O ESTACIONA´RIO E CORRENTE DE DESLOCAMENTO DE MAXWELL Vimos na Secc¸a˜o 2.2 como se relaciona o campo de induc¸a˜o magne´tica com as correntes que o criam. E se o regime na˜o for estaciona´rio? E se houver dependeˆncias temporais nas densidades de carga e de corrente? Neste caso ha´, para ale´m de uma dependeˆncia espacial, uma dependeˆncia temporal nos campos ele´ctrico e de induc¸a˜o magne´tica. A lei de Faraday, por exemplo, refere-se a situac¸o˜es em que ha´ uma dependeˆncia temporal do fluxo do campo de induc¸a˜o magne´tica B atrave´s de uma superf´ıcie aberta S: φ = ∫ S B · dS. (2.54) A variac¸a˜o temporal deste fluxo induz uma forc¸a electromotriz, Ei, num circuito fechado C no qual se apoia a superf´ıcie aberta S. Em termos quantitativos, essa forc¸a electromotriz e´ dada por Ei = −dφdt , (2.55) equac¸a˜o que exprime a lei de Faraday. O sinal negativo traduz a lei de Lenz, segundo a qual a corrente induzida no circuito C vai, ela pro´pria, estar na origem de um campo de induc¸a˜o magne´tica (campo induzido) cujo fluxo, atrave´s de S, tem uma variac¸a˜o temporal que se opo˜e a` variac¸a˜o de φ. As leis de Faraday e de Lenz sa˜o, a` semelhanc¸a das outras leis que temos vindo a rever, puramente experimentais, isto e´, a sua validade assenta na sua verificac¸a˜o experimental. A forc¸a electromotriz induzida pode ser escrita como a circulac¸a˜o do campo ele´ctrico ao longo do contorno C, pelo que, de (2.54) e (2.55), se obte´m∮ C E · dl = −d dt ∫ S B · dS , que e´ a forma integral da lei de Faraday. A aplicac¸a˜o do teorema de Stokes ao primeiro membro conduz a` forma diferencial da lei de Faraday: ∇×E = −∂B ∂t . E´ esta equac¸a˜o de Maxwell que exprime a f´ısica que esta´ na base do funcionamento de componentes ta˜o importantes como os geradores e os transformadores. Note-se que, no caso esta´tico, a equac¸a˜o anterior reduz-se a` Eq. (2.10). No caso na˜o estaciona´rio, tambe´m a Eq. (2.40) tem de ser modificada. Calculando a divergeˆncia de ambos os membros desta equac¸a˜o vectorial, verifica-se que o primeiro se anula 22 • Campo electromagne´tico trivialmente. O segundo membro fica, simplesmente, µ0∇ ·j, que so´ se anula no caso estaciona´rio [situac¸a˜o que corresponde a (2.37)]. Assim, tera´ de se incluir no segundo membro de (2.40) um novo termo cuja divergeˆncia seja o sime´trico de µ0∇ · j. Maxwell verificou que esse termo era ²0µ0 ∂E/∂t. De facto, se em vez da Eq. (2.40) se considerar∇×B = µ0 j + ²0 µ0 ∂E ∂t , (2.56) verifica-se que a divergeˆncia do segundo membro (tal como a do primeiro) se anula: µ0 [ ∇ · j + ²0 ∂∇ ·E ∂t ] = µ0 [ ∇ · j + ∂ρ ∂t ] = 0 . A igualdade a zero resulta da equac¸a˜o de continuidade que relaciona a densidade de carga, ρ, com a densidade de corrente, j [ver (2.36)]. A expressa˜o ²0 ∂E/∂t e´ a corrente de deslo- camento de Maxwell e a necessidade da sua introduc¸a˜o tem um significado f´ısico claro: sem esse termo na˜o poderia haver conservac¸a˜o local da carga ele´ctrica expressa pela equac¸a˜o de continuidade. Claro que a Eq. (2.56) poderia ter sido obtida formalmente a partir de (2.31) e de (2.35). 2.4 AS EQUAC¸O˜ES DE MAXWELL E A FORC¸A DE LORENTZ Em resumo, no vazio, as equac¸o˜es de Maxwell podem ser escritas na forma: ∇ ·E = ρ ²0 (2.57) ∇×E = −∂B ∂t (2.58) ∇ ·B = 0 (2.59) ∇×B = µ0 j + ²0 µ0 ∂E ∂t . (2.60) Equac¸o˜es de Maxwell • 23 Na forma integral, estas equac¸o˜es escrevem-se:∮ S E · dS = 1 ²0 ∫ v ρ dv = Q ²0 (2.61)∮ C E · dl = −d dt ∫ S B · dS (2.62)∮ S B · dS = 0 (2.63)∮ C B · dl = µ0 ∫ S ( j + ²0 ∂E ∂t ) · dS . (2.64) Faz-se notar que a equac¸a˜o integral (2.62) e´ mais geral do que a equac¸a˜o diferencial (2.58), a qual so´ e´ aplica´vel quandoB varia no tempo. Se a superf´ıcie S variar no tempo, ha´ ainda uma variac¸a˜o temporal do fluxo do campo de induc¸a˜o magne´tica (mesmo queB seja estaciona´rio) e, neste caso, e´ (2.62) que se deve aplicar. Recorde-se, tambe´m, que quando uma carga ele´ctrica q se desloca, com velocidade v, numa regia˜o do espac¸o onde existem campos ele´ctrico e de induc¸a˜o magne´tica fica sujeita a uma forc¸a (forc¸a de Lorentz), que e´ dada por F = q (E + v ×B) . (2.65) Como exemplos de aplicac¸a˜o da forc¸a de Lorentz vamos considerar duas experieˆncias histo´ricas: a experieˆncia de Thomson e a experieˆncia de Hall. Exemplo 2.6: Experieˆncia de Thomson A determinac¸a˜o experimental da raza˜o carga/massa do electra˜o, realizada por J. J. Thom- son em 1897, marca a descoberta do electra˜o. Conceptualmente, a experieˆncia baseia-se no efeito que os campos ele´ctricos e magne´ticos exercem sobre part´ıculas carregadas e, por isso, e´ um exemplo apresentado frequentemente para ilustrar a aplicac¸a˜o da forc¸a de Lorentz (2.65). O dispositivo experimental utilizado, conhecido por tubo de raios cato´dicos, esta´ representado esquematicamente na Figura 2.10. V P E , B+ - F Figura 2.10. Tubo de raios cato´dicos usado na experieˆncia de Thomson. Ha´ um filamento F que, depois de aquecido, liberta electro˜es cuja velocidade, em geral pequena, se pode aumentar estabelecendo uma diferenc¸a de potencial V entre P e F. A 24 • Campo electromagne´tico placa meta´lica P tem uma pequena abertura que permite colimar o feixe de electro˜es. Estes entram a seguir numa regia˜o entre duas placas meta´licas deflectoras indo, finalmente, embater num e´cran fluorescente (a fluoresceˆncia do e´cran permite determinar visualmente o ponto de impacto). Na regia˜o entre as placas pode estabelecer-se um campo ele´ctrico, de intensidade E (con- trola´vel externamente) que aponta para baixo, e um campo de induc¸a˜o magne´tica de intensi- dade B (tambe´m controlada externamente) e que aponta para dentro do plano do papel. Sob a acc¸a˜o do campo ele´ctrico, o feixe de electro˜es sofre um desvio na sua trajecto´ria, devido a` forc¸a vertical, dirigida para cima, que sobre eles se exerce, passando a descrever uma para´bola (no plano da Figura 2.11). O campo de induc¸a˜o magne´tica, quando presente, exerce uma forc¸a sobre os electro˜es que e´ ainda vertical mas que aponta para baixo. As intensidades E e B dos campos podem ser escolhidas de modo a que a forc¸a resultante que se exerce sobre cada electra˜o seja nula (despreza-se a forc¸a de interacc¸a˜o mu´tua entre os electro˜es do feixe e a forc¸a grav´ıtica). Nestas condic¸o˜es a trajecto´ria das part´ıculas passa de novo a ser rectil´ınea [Figuras 2.10 e 2.11)]. x y E y ( b )( a ) ( c ) EL B Figura 2.11. Placas deflectoras na experieˆncia de Thomson. (a) Auseˆncia de campos; (b) apenas campo ele´ctrico aplicado; (c) campos ele´ctrico e de induc¸a˜o magne´tica aplicados. Experimentalmente, consideram-se treˆs situac¸o˜es distintas: (a) auseˆncia de campos aplica- dos; (b) apenas campo ele´ctrico aplicado; (c) campo ele´ctrico e campo de induc¸a˜o magne´tica aplicados. Na Figura 2.11 representam-se as placas deflectoras, de comprimento L, e cada uma destas situac¸o˜es. Em qualquer das situac¸o˜es, o movimento das cargas segundo o eixo x e´ rectil´ıneo e uniforme, pois a componente da forc¸a nessa direcc¸a˜o e´ nula (quer haja, quer na˜o campos aplicados). O tempo que um electra˜o demora a passar entre as placas e´ t = L/v0, sendo v0 a sua velocidade a` sa´ıda do colimador (ou, por outras palavras, a` entrada das pla- cas). Na situac¸a˜o (b), a part´ıcula fica sujeita a uma forc¸a constante na direcc¸a˜o do eixo y, dada em mo´dulo por F = eE, sendo e o mo´dulo da carga do electra˜o. Segundo esse eixo, o movimento e´ uniformemente acelerado, com acelerac¸a˜o a = eE/m, onde m e´ a massa do electra˜o. Nestas condic¸o˜es os electro˜es descrevem uma trajecto´ria parabo´lica na regia˜o entre as placas deflectoras e a distaˆncia y indicada na Figura 2.11 (b) e´ dada por y = 1 2 a t2 = eE 2m L2 v20 . (2.66) O valor de y pode ser medido experimentalmente a partir da posic¸a˜o do ponto de impacto do feixe no e´cran fluorescente e do conhecimento das dimenso˜es do tubo. Mantendo o mesmo campo ele´ctrico e ligando agora o campo de induc¸a˜o magne´tica [situac¸a˜o (c)], este pode ser ajustado de tal modo que o desvio da trajecto´ria dos electro˜es seja nulo quando atravessam as placas [tal como em (a)]. Usando a expressa˜o (2.65) da forc¸a de Lorentz e impondo a Equac¸o˜es de Maxwell • 25 igualdade da forc¸a ele´ctrica e magne´tica, eE = eB v0, conclui-se que v0 = E/B. Inserindo em (2.66), encontra-se a expressa˜o e m = 2 y E L2B2 . Esta expressa˜o pode ser usada para obter experimentalmente o valor da raza˜o carga/massa do electra˜o (ou de qualquer outra part´ıcula carregada). Exemplo 2.7: Efeito Hall A Figura 2.12 representa um bloco de material condutor, de condutividade σ, fixo no espac¸o. Sob a acc¸a˜o do campo ele´ctrico, E (direcc¸a˜o y), estabelece-se uma densidade de corrente de conduc¸a˜o j = ρv , (2.67) cujo fluxo atrave´s da secc¸a˜o recta do condutor e´ a intensidade de corrente i [ver Eq. (2.22)]. A relac¸a˜o entre a densidade de corrente j e o campo ele´ctrico E e´ j = σE . E z y x jv B h 0 Figura 2.12. Condutor para verificar o efeito Hall. Sob a acc¸a˜o do campo ele´ctrico, as cargas negativas (electro˜es) deslocam-se para a es- querda do condutor2. Consideremos que se aplica um campo de induc¸a˜o magne´tica esta´tico e uniforme segundo o eixo x. Sob a acc¸a˜o deste campo, os electro˜es ficam sujeitos a` forc¸a magne´tica Fm = q v ×B, que aponta no sentido de −z (note-se que q = −e < 0). Devido a esta forc¸a, as part´ıculas de carga negativa sa˜o desviadas para baixo, contribuindo para uma acumulac¸a˜o de cargas deste tipo na face inferior do condutor (plano xy). Concomitantemente, ha´ uma acumulac¸a˜o de cargas positivas na face superior (plano z = h) do condutor. Estas acumulac¸o˜es de cargas da˜o origem a uma diferenc¸a de potencial entre as duas faces (diferenc¸a de potencial de Hall), e o correspondente campo ele´ctrico e´ vertical, apontando no sentido de −z. Sob a acc¸a˜o deste campo, que vamos designar por E′ = −E′ kˆ, as cargas ele´ctricas no condutor ficam tambe´m sujeitas a uma forc¸a vertical, dirigida de baixo para cima, que 2O efeito de uma corrente de cargas negativas e´ equivalente, muitas vezes, ao de uma corrente decargas positivas deslocando-se em sentido oposto. O efeito Hall, como veremos, permite distinguir as duas situac¸o˜es. 26 • Campo electromagne´tico tende a equilibrar a forc¸a magne´tica. Este e´ o chamado efeito Hall, descoberto em 1879 pelo norte-americano Edwin H. Hall. Quando as forc¸as ele´ctrica e magne´tica se igualam, tem-se, da Eq. (2.65), E′ = v B . (2.68) O campo ele´ctrico pode ser medido experimentalmente, de forma indirecta atrave´s da diferenc¸a de potencial de Hall, V , pois E′ = V/h. Sabemos hoje que, nos metais, a corrente ele´ctrica e´ devida aos electro˜es, pelo que a face superior do condutor fica a um potencial mais elevado do que a face inferior. Se as cargas em movimento que esta˜o na origem da corrente ele´ctrica fossem positivas, ter-se-ia a situac¸a˜o contra´ria. De resto, e´ este o caso em alguns semicondutores e foi justamente o efeito Hall que permitiu chegar a essa conclusa˜o. Combinando as expresso˜es (2.68) e (2.67), podemos escrever E′ j B = 1 nq , (2.69) tendo-se usado ρ = n q, em que n e´ o nu´mero de cargas por unidade de volume do material condutor. A raza˜o 1/(n q) e´ conhecida por coeficiente de Hall e e´ uma caracter´ıstica do material. Conhecidos j (a corrente), B (o campo de induc¸a˜o magne´tica aplicado) e E′ (atrave´s da diferenc¸a de potencial medida), pode conhecer-se a estrutura do material, ou seja, o seu coeficiente de Hall. Por outro lado, conhecidos j, E′ e o coeficiente de Hall, a expressa˜o (2.69) permite conhecer o campo de induc¸a˜o magne´tica B. E´ esta, precisamente, a func¸a˜o de uma “sonda de Hall”, que pode ter dimenso˜es muito reduzidas. Claro que, antes de ser utilizada, a sonda tem de ser “calibrada” com campos de induc¸a˜o magne´tica conhecidos, isto e´, o seu coeficiente de Hall tem de ser conhecido. 2.5 EQUAC¸O˜ES PARA OS POTENCIAIS A equac¸a˜o de Maxwell (2.58) implica a generalizac¸a˜o da Eq. (2.9), que relaciona o potencial escalar com o campo ele´ctrico no caso esta´tico. Assim, usando (2.29) no segundo membro da Eq. (2.58), conclui-se que e´ a quantidade E + ∂A/∂t (e na˜o apenas o campo ele´ctrico) que se pode exprimir como o gradiente de uma func¸a˜o escalar, isto e´, E = −∇V − ∂A ∂t , (2.70) sendo −∂A∂t a contribuic¸a˜o na˜o conservativa para E. A equac¸a˜o anterior, a par da Eq. (2.29) que aqui reescrevemos, B =∇×A , (2.71) permitem determinar os campos f´ısicos E e B a partir dos potenciais V e A. Surge aqui um ponto muito interessante. Constata-se que a escolha destes potenciais na˜o e´ u´nica, isto e´, ha´ va´rios conjuntos de pares de potenciais (escalar e vector) que conduzem aos mesmos campos ele´ctrico e de induc¸a˜o magne´tica. Considere-se o par (V,A), a que correspondem os campos f´ısicos obtidos a partir de (2.70) e de (2.71). Se alterarmos V e A, juntando ao segundo o gradiente de uma func¸a˜o escalar χ e subtraindo ao primeiro a derivada temporal dessa mesma func¸a˜o, isto e´, se considerarmos os novos potenciais (V ′,A′) que se relacionam com os anteriores atrave´s de V ′ = V − ∂χ ∂t (2.72) Equac¸o˜es de Maxwell • 27 A′ =A+∇χ, (2.73) os campos E′ e B′ gerados pelos novos potenciais coincidem com os anteriores: E′ = −∇V +∇ ( ∂χ ∂t ) − ∂A ∂t − ∂ ∂t ∇χ = E B′ =∇× (A+∇χ) =∇×A =B . As Eqs. (2.72) e (2.73) expressam a chamada liberdade de padra˜o (gauge, em ingleˆs) na fixac¸a˜o dos potenciais. Esta liberdade e´, de resto, uma das caracter´ısticas mais peculiares da teoria do electromagnetismo e corresponde a uma das mais importantes simetrias que as modernas teorias das forc¸as fundamentais incorporam. Ate´ se designam habitualmente por teorias de gauge! Vejamos quais as equac¸o˜es a que os potenciais electromagne´ticos teˆm de obedecer. A equac¸a˜o para o potencial V obte´m-se aplicando o operador nabla a ambos os membros de (2.70) e usando a Eq. (2.57): −∇2V −∇ · ∂A ∂t = ρ ²0 . (2.74) Por outro lado, de (2.35) e de (2.60) conclui-se que ∇(∇ ·A)−∇2A = µ0 j − 1 c2 ∂2A ∂t2 − 1 c2 ∇∂V ∂t , (2.75) tendo-se utilizado (2.70) e onde c2 = 1 ²0µ0 (2.76) e´ o quadrado da velocidade da luz (c = 3×108 m/s). A` Eq. (2.75) pode ainda dar-se uma outra forma: 1 c2 ∂2A ∂t2 −∇2A = µ0j −∇ ( 1 c2 ∂V ∂t +∇ ·A ) . (2.77) Usando a liberdade de escolha do padra˜o, e´ sempre poss´ıvel escolher um par (V,A) que satisfac¸a a equac¸a˜o 1 c2 ∂V ∂t +∇ ·A = 0 . (2.78) Este e´ o chamado padra˜o de Lorentz. Nestas condic¸o˜es [frisamos bem que a condic¸a˜o (2.78) na˜o introduz nenhuma restric¸a˜o na determinac¸a˜o dos campos E e B] as Eqs. (2.74) e (2.77) ficam desacopladas, passando a escrever-se nas formas ∇2V − 1 c2 ∂2V ∂t2 = − ρ ²0 (2.79) ∇2A− 1 c2 ∂2A ∂t2 = −µ0 j . (2.80) Ha´ outras escolhas de padra˜o que tambe´m sa˜o habituais. Uma delas consiste em considerar simplesmente ∇ · A = 0 e e´ denominada gauge de Coulomb, da radiac¸a˜o, ou transversa. As Eqs. (2.79) e (2.80), obtidas na gauge de Lorentz, reduzem-se, no caso do vazio e na auseˆncia de fontes (ρ = 0, j = 0), a um par de equac¸o˜es diferenciais homoge´neas, ∇2V − 1 c2 ∂2V ∂t2 = 0 (2.81) 28 • Campo electromagne´tico ∇2A− 1 c2 ∂2A ∂t2 = 0 , (2.82) cujas soluc¸o˜es sa˜o ondas que se propagam com velocidade c. Tambe´m os campos E e B obedecem a equac¸o˜es de onda semelhantes a estas. Assim, tomando o rotacional em ambos os membros de (2.58) e usando (2.60) e (B.41), tem-se ∇(∇ ·E)−∇2E = −µ0∂j ∂t − µ0²0∂ 2E ∂t2 . Finalmente, fazendo uso de (2.57) e de (2.76), obte´m-se ∇2E − 1 c2 ∂2E ∂t2 = 1 ²0 ∇ ρ+ µ0∂j ∂t , (2.83) que e´ uma equac¸a˜o na˜o homoge´nea. De modo ana´logo, tem-se, para o campo de induc¸a˜o magne´tica, ∇2B − 1 c2 ∂2B ∂t2 = −µ0∇× j . (2.84) Na auseˆncia de cargas e de correntes, as Eqs. (2.83) e (2.84) transformam-se em equac¸o˜es homoge´neas do tipo da Eq. (2.82). 2.6 PROBLEMAS RESOLVIDOS 2.6.1 Campo electrosta´tico (coordenadas cartesianas) Questa˜o Um campo de vectores e´ definido do seguinte modo: E = k ²0 jˆ para y > a 3 k ²0 ( 1 + y a ) jˆ para 0 < y < a − k²0 jˆ para y < 0 . (2.85) Verificar se pode tratar-se de um campo electrosta´tico e determinar a distribuic¸a˜o de cargas que cria este campo. Resposta Para que E seja um campo electrosta´tico tem de se verificar ∇×E = 0 [cf. Eq. (2.10)]. O rotacional do campo ele´ctrico em coordenadas cartesianas e´ (ver Apeˆndice B): ∇×E = ( ∂Ez ∂y − ∂Ey ∂z ) iˆ+ ( ∂Ex ∂z − ∂Ez ∂x ) jˆ + ( ∂Ey ∂x − ∂Ex ∂y ) kˆ . Sendo o campo vectorial dado em (2.85) da forma E = Ey(y) jˆ em todo o espac¸o, o seu rotacional e´ nulo e pode, pois, tratar-se de um campo electrosta´tico. Equac¸o˜es de Maxwell • 29 As distribuic¸o˜es volume´tricas de carga sa˜o obtidas a partir de (2.14). Em coordenadas cartesianas a divergeˆncia do campo ele´ctrico e´ (ver Apeˆndice B): ∇ ·E = ∂Ex ∂x + ∂Ey ∂y + ∂Ez ∂z . i) Para y > a e y < 0, o campo E e´ constante e, portanto, ρ = 0. ii) Para 0 < y < a, tomando a divergeˆncia de (2.85), obte´m-se ∇ ·E = 3k a²0 e, de ∇ ·E = ρ/²0 [cf. (2.14)], ρ = 3 k a . As distribuic¸o˜es superficiais de carga sa˜o obtidas a partir da divergeˆncia superficial de E [cf. (2.42)]: divSE = nˆ · (E2 −E1) = σ ²0 , sendo nˆ a normal a` superf´ıcie; o ı´ndice 2 designa a regia˜o para onde aponta o vector unita´rio e o ı´ndice 1 a outra regia˜o. i) Carga superficial em y = 0: σ = ²0 jˆ · [ 3k ²0 jˆ − ( − k ²0 jˆ )] = 4k , tendo-se escolhido nˆ = jˆ. ii) Carga superficial em y = a (escolhendo tambe´m nˆ = jˆ): σ = ²0 jˆ · ( k ²0 jˆ − 6k ²0 jˆ ) = −5k . 2.6.2 Campo ele´ctrico com simetria cil´ındrica — I Questa˜o Um campo ele´ctrico e´ dado, em coordenadas cil´ındricas, por E = E0 ( r a )3 eˆr para 0 < r < a 0 no resto do espac¸o. Determinar a distribuic¸a˜o de cargas que cria este campo e o potencial ele´ctrico em todo o espac¸o. Resposta A distribuic¸a˜o de carga e´ obtida a partir das expresso˜es (2.14) e (2.42). Como o campo e´ dado em coordenadas cil´ındricas deve utilizar-se a expressa˜o da divergeˆncia do campo ele´ctrico em coordenadas cil´ındricas (ver Apeˆndice B): ∇ ·E = 1 r ∂ ∂r (r Er) + 1 r ∂Eφ ∂φ + ∂Ez ∂z . 30 • Campo electromagne´tico Na questa˜o proposta, E = Er(r)eˆr, pelo que a divergeˆncia do campo ele´ctrico e´ dada por ∇ ·E = 1 r d dr (r Er) = 1 r d dr ( E0 a3 r4 ) = 4r2 a3 E0 , donde ρ = 4²0 r2 a3 E0 (2.86) na regia˜o 0 < r < a. Na regia˜o r > a o campo e´ nulo e ρ = 0. A distribuic¸a˜o volume´trica de carga localiza-se num cilindro de raio a. A distribuic¸a˜o superficial de carga sobre a superf´ıcie r = a e´ obtida a partir da divergeˆncia superficial do campo ele´ctrico dada por nˆ · (E2 −E1) = eˆr · (0− E0eˆr) = −E0 . Usando (2.42) pode concluir-se que, em r = a, σ = −²0E0 . (2.87) E´ interessante notar que as distribuic¸o˜es de carga (2.86) e (2.87) conduzem a uma carga total nula para um cilindro de altura arbitra´ria L. A carga total nesse cilindro e´ Q = ∫ ρdv + ∫ σ dS e, de (2.86) e (2.87), Q = 4²0E0 a3 2piL ∫ a 0 r2 r dr − 2piaL²0E0 = 2piaL²0E0 − 2piaL²0E0 = 0 . Vamos agora obter o potencial electrosta´tico, o qual, devido a` simetria cil´ındrica do prob- lema, so´ pode depender de r. Para r > a o campo electrosta´tico e´ nulo, pelo que o potencial e´ constante nessa regia˜o. Para garantir que V (r → ∞) = 0 e, como o potencial e´ constante no exterior, devemos considerar o potencial nulo em r = a. Na regia˜o exterior ao cilindro, V (r) = 0 , r ≥ a . Na regia˜o r ≤ a, podemos determinar o potencial a partir da circulac¸a˜o do campo ele´ctrico dado (e´ conveniente utilizar percursos radiais nessa circulac¸a˜o). Assim, a circulac¸a˜o entre um ponto do eixo do cilindro e um ponto a` distaˆncia r deste e´ V (0)− V (r) = ∫ r 0 E · dr = E0 a3 ∫ r 0 r3dr = E0 r 4 4a3 . Para garantir que V (a) = 0 tera´ de ser V (0) = E0a/4. Introduzindo este valor na expressa˜o anterior obte´m-se o potencial V (r) = E0 a 4 [ 1− ( r a )4] , r ≤ a . Equac¸o˜es de Maxwell • 31 2.6.3 Campo ele´ctrico com simetria cil´ındrica — II Questa˜o A regia˜o entre dois cilindros coaxiais infinitamente longos esta´ carregada, sendo a densi- dade de carga, expressa em coordenadas cil´ındricas, dada por ρ = A exp(−αr) , onde A e α sa˜o constantes. Calcular o campo ele´ctrico em todo o espac¸o em func¸a˜o dos raios dos cilindros interno e externo, a e b respectivamente. Resposta Dada a simetria da distribuic¸a˜o de cargas, o campo ele´ctrico na˜o depende de φ, nem de z. Tambe´m, pela mesma raza˜o, tem apenas componente radial, E(r) = Er(r) eˆr. Designaremos Er simplesmente por E. O me´todo mais expedito para calcular o campo ele´ctrico em todo o espac¸o consiste em aplicar a lei de Gauss expressa pela Eq. (2.13), que aqui reescrevemos:∮ S E · dS = Q ²0 , (2.88) onde Q e´ a carga no volume limitado pela superf´ıcie fechada S (superf´ıcie de Gauss). Para a situac¸a˜o apresentada, escolhemos superf´ıcies de Gauss cil´ındricas coaxiais, cujo eixo comum e´ o eixo de simetria da distribuic¸a˜o de cargas e cuja altura e´ L (esta altura e´ arbitra´ria e os resultados na˜o va˜o depender de L). Consideremos, pois, treˆs superf´ıcies de Gauss, S1, S2 e S3. a b C 1 C 2 C 3 Figura 2.13. Corte transversal do sistema referido no Problema 2.6.3. A Figura 2.13 mostra um corte por um plano perpendicular ao eixo de simetria, sendo C1, C2 e C3 as circunfereˆncias que resultam da intersecc¸a˜o desse plano com as superf´ıcies de Gauss, S1, S2 e S3. Seja r o raio de uma qualquer dessas circunfereˆncias Ci. O fluxo do campo ele´ctrico [ver Eq. (2.88)] e´ ∮ S E · dS = 2pirLE . (2.89) 32 • Campo electromagne´tico • Regia˜o 0 < r < a A carga na regia˜o limitada pela superf´ıcie cil´ındrica S1 e´ zero, pelo que E = 0 (2.90) nessa regia˜o. • Regia˜o a < r < b Comecemos por calcular a carga dentro da regia˜o v2 limitada por S2: Q = ∫ v2 ρ dv = 2piLA ∫ r a e−αr r dr = 2piLA [( r exp(−αr) −α ∣∣∣∣r a − ( exp(−αr) α2 ∣∣∣∣r a ] = 2piLA [ − r α e−αr + a α e−αa − 1 α2 e−αr + 1 α2 e−αa ] . (2.91) Combinando (2.88), (2.89) e (2.91), o campo ele´ctrico vem dado por E = A ²0rα [( a+ 1 α ) e−αa − ( r + 1 α ) e−αr ] . (2.92) • Regia˜o r > b Segue-se um procedimento ana´logo, mas neste caso a integrac¸a˜o na coordenada radial para determinar a carga [Eq. (2.91)] vai de a ate´ b. Encontra-se para o campo elec- trosta´tico uma expressa˜o parecida com (2.92), mas agora com uma dependeˆncia mais simples em r: E = A ²0rα [( a+ 1 α ) e−αa − ( b+ 1 α ) e−αb ] . (2.93) Esta dependeˆncia em 1/r e´ t´ıpica da linha infinita carregada (ou do campo criado no exterior por qualquer distribuic¸a˜o infinita de carga com simetria cil´ındrica). E´ interessante confirmar que o campo ele´ctrico e´ cont´ınuo, pois na˜o ha´ distribuic¸o˜es su- perficiais de carga. Sobre a superf´ıcie r = a obte´m-se E = 0 de (2.92) [cf. Eq. (2.90)]. Por outro lado, sobre a superf´ıcie r = b, as Eqs. (2.92) e (2.93) conduzem ao mesmo valor para o campo ele´ctrico. 2.6.4 Campo ele´ctrico em coordenadas esfe´ricas Questa˜o Um campo ele´ctrico na regia˜o r > a e´ dado por Er = 2A cos θ r3 Eθ = A sin θ r3 Eφ = 0 , sendo A uma constante. Calcular a distribuic¸a˜o volume´trica de carga nesta regia˜o. Equac¸o˜es de Maxwell • 33 Resposta De acordo com (2.14), ρ = ²0∇ ·E, de modo que o problema se reduz a` determinac¸a˜o da divergeˆncia do campo vectorial dado. Conve´m, evidentemente, utilizar a expressa˜o da divergeˆncia do campo ele´ctrico em coordenadas esfe´ricas (ver Apeˆndice B): ∇ ·E = 1 r2 ∂ ∂r (r2Er) + 1 r sin θ ∂ ∂θ (Eθ sin θ) + 1 r sin θ ∂Eφ ∂φ . O campo dado na˜o depende de φ, pelo que a u´ltima parcela e´ nula. As duas primeiras parcelas sa˜o 1 r2 ∂ ∂r (r2Er) = 2A cos θ r2 ( − 1 r2 ) = −2A cos θ r4 e 1 r sin θ ∂ ∂θ (Eθ sin θ) = 1 r sin θ 2A sin θ cos θ r3 = 2A cos θ r4 , donde ρ = 0 em todos os pontos da regia˜o considerada. 2.6.5 Esfera uniformemente carregada Questa˜o Uma esfera de raio R esta´ carregada com uma carga total Q uniformemente distribu´ıda no seu volume. Determinar o potencial para todos os valores de r. Resposta No Exemplo 2.2 foi obtido o campo ele´ctrico criado por esta distribuic¸a˜o de cargas [ver Eqs. (2.19) e (2.20)]: E = 1 4pi²0 Q r2 eˆr (r ≥ R) , (2.94) e E = 1 4pi²0 Qr R3 eˆr (r ≤ R) . (2.95) O potencial electrosta´tico, que so´ depende da coordenada radial, pode ser calculado a partir da circulac¸a˜o do campo ele´ctrico tal como no Problema 2.6.2. O potencial vem dado por V (r) = Q 4pi²0r (r ≥ R) (2.96) V (r) = Q 8pi²0R [ 3− ( r R )2] (r ≤ R) . (2.97) O termo constante nesta u´ltima expressa˜o garante a continuidade do potencial sobre a su- perf´ıcie r = R. Note-se que foi feita a escolha usual, limr→∞ V (r) = 0. Usando a relac¸a˜o ∇V = −E e tomando a expressa˜o do gradiente em coordenadas esfe´ricas (Apeˆndice B) pode o leitor confirmar que as expresso˜es obtidas para o potencial sa˜o consistentes com as indicadas para o campo ele´ctrico [Eqs. (2.94) e (2.95)]. 34 • Campo electromagne´tico 2.6.6 Campo criado por um plano de corrente uniforme Questa˜o Calcular o campo de induc¸a˜o magne´tica em todo o espac¸o criado por uma densidadede corrente uniforme que percorre um plano infinito. Resposta Considere-se que o plano de correntes e´ o plano xy e, portanto, que o eixo z e´ perpendicular a esse plano. Seja κ = κ jˆ a densidade superficial de corrente. O campo de induc¸a˜o magne´tica na˜o pode depender nem de x nem de y, pois a distribuic¸a˜o de correntes e´ infinita segundo essas direcc¸o˜es. Eventualmente, podera´ depender de z, ou seja, da distaˆncia ao plano. Assim, B(r) = Bx(z) iˆ+By(z) jˆ +Bz(z) kˆ . (2.98) De acordo com a lei de Biot-Savart, o campo elementar dB produzido por um elemento de corrente dl′ e´ perpendicular a este. Logo, o campo na˜o pode ter componente segundo y (a direcc¸a˜o da corrente superficial). Por outro lado, a divergeˆncia do campo de induc¸a˜o magne´tica e´ nula, ∇ ·B = 0 [cf. Eq. (2.26)] e, dada a forma (2.98), conclui-se que Bz tem de ser constante. Usando argumentos de simetria, e´ fa´cil concluir que esta constante e´ nula. Assim, consideremos um ponto P de coordenadas (X,Y, Z). As correntes no semiplano x > X criam em P um campoB cuja componente segundo z e´ anulada pelas correntes no semi-plano x < X, resultando um campo de induc¸a˜o magne´tica paralelo ao plano de correntes. k 1 k 2 d B 1 d B 2 y x z P d B Figura 2.14. Campo de induc¸a˜o magne´tica criado por plano de correntes. Na Figura 2.14 representam-se esquematicamente os campos criados num ponto P (0, 0, Z) por duas correntes localizadas simetricamente relativamente ao eixo y. O campo (infinites- imal) produzido por estas correntes e´ paralelo ao plano xy, o mesmo se verificando para quaisquer duas correntes localizadas simetricamente em relac¸a˜o ao eixo y. Como o plano de correntes e´ infinito, as razo˜es aduzidas manteˆm-se va´lidas para qualquer ponto, independen- temente da sua localizac¸a˜o. Desta discussa˜o conclui-se que B = Bx(z) iˆ . Equac¸o˜es de Maxwell • 35 Exploremos agora a Eq. (2.45) em z = 0: rotSB = nˆ× (B2 −B1) = µ0κ . Escolhendo nˆ = kˆ, se fizermos B2 = B iˆ em z = 0+, enta˜o B1 = −B iˆ em z = 0− e a equac¸a˜o anterior reduz-se a 2B = µ0 κ , donde se obte´m a grandeza do campo, B = κµ0 2 , (2.99) junto ao plano de correntes. y x z D A B C L Figura 2.15. Contorno ABCDA adequado ao ca´lculo da circulac¸a˜o do campo de induc¸a˜o magne´tica. Esse contorno e´ paralelo ao plano xz. Considere-se, por fim, a circulac¸a˜o deB ao longo de um rectaˆngulo horizontal (paralelo ao plano xz, como mostra a Figura 2.15). Esta circulac¸a˜o e´ nula, pois na˜o ha´ fluxo de corrente atrave´s da superf´ıcie que se apoia no contorno considerado. Os lados do rectaˆngulo paralelos ao plano de corrente teˆm comprimento L e os lados perpendiculares comprimento arbitra´rio. A circulac¸a˜o de B ao longo destes dois lados e´ nula, porque B e´ perpendicular ao versor kˆ (direcc¸a˜o da circulac¸a˜o). Sendo L o comprimento comum dos segmentos AB e CD, B′ o valor do campo de induc¸a˜o magne´tica em cada ponto do segmento AB e B′′ o valor do campo no segmento CD, a circulac¸a˜o ao longo do contorno escolhido reduz-se a B′L−B′′L = 0 → B′ = B′′ , ou seja, o mo´dulo do campo B na˜o depende da distaˆncia ao plano de correntes. Podemos, enta˜o, concluir que o campoB e´ constante, tanto nas regio˜es z > 0, como z < 0, sendo o seu valor dado por (2.99). Teremos, pois, B = −κµ0 2 iˆ para z < 0 B = κµ0 2 iˆ para z > 0 . 36 • Campo electromagne´tico 2.6.7 Distribuic¸a˜o de correntes entre planos paralelos Questa˜o Considerar uma distribuic¸a˜o de correntes de densidade uniforme, j = j0 kˆ, entre duas superf´ıcies planas infinitas perpendiculares ao eixo x e situadas a` distaˆncia a uma da outra. Calcular o campo de induc¸a˜o magne´tica em todo o espac¸o. Resposta Em regime estaciona´rio o campo de induc¸a˜o magne´tica e as correntes volume´tricas que o produzem relacionam-se atrave´s da Eq. (2.40), que aqui reescrevemos: ∇×B = µ0 j . (2.100) A direcc¸a˜o do campo produzido e´ identificada explorando algumas simetrias do problema. Sabemos que o campo tem de ser perpendicular a`s correntes que o originam e, por isso, na situac¸a˜o concreta que estamos a estudar, o campo so´ pode estar no plano x y, ja´ que a corrente tem a direcc¸a˜o do eixo z. B BA B CD n ^ B ya / 2 z x j j B j j a / 2 Figura 2.16. Esquema da distribuic¸a˜o de correntes do Problema 2.6.7. A Figura 2.16 mostra um esquema da situac¸a˜o descrita no enunciado, tendo-se considerado a origem dos eixos no ponto me´dio do segmento perpendicular aos dois planos infinitos. A Figura 2.17 mostra a situac¸a˜o em estudo segundo um corte por um plano horizontal (por exemplo, o plano z = 0). O campo criado em qualquer ponto, P1, do eixo y (x = 0) e´ nulo. Compreende-se que assim seja pois a distribuic¸a˜o de correntes e´ sime´trica relativamente a este ponto, quer no sentido positivo, quer no sentido negativo do eixo x, do eixo y e do eixo z. Como se depreende da Figura 2.17, para pontos P2 da regia˜o −a2 < x < 0 o campo e´ paralelo ao eixo y e aponta no sentido negativo deste eixo. Na zona 0 < x < a2 , o campo continua a ser paralelo a y, mas aponta agora no sentido positivo de y. O campo de induc¸a˜o magne´tica so´ tem, pois, componente segundo a direcc¸a˜o Equac¸o˜es de Maxwell • 37 a / 2 - a / 2 P 1 y x B B P 2 P 3 A B CD Figura 2.17. Corte transversal da distribuic¸a˜o de correntes do Problema 2.6.7. y. Por outro lado, so´ pode depender da coordenada x (a distribuic¸a˜o e´ infinita segundo y e segundo z). Para B = By(x) jˆ a Eq. (2.100) escreve-se enta˜o ∇×B = kˆ ∂ ∂x By = µ0 j0 kˆ , donde dBy dx = µ0 j0 , que integrada conduz a By(x) = µ0 j0 x . A constante que vem da integrac¸a˜o da equac¸a˜o diferencial e´ nula, pois so´ assim se garante que By(x = 0) = 0. Em termos vectoriais B = µ0 j0 x jˆ , −a2 ≤ x ≤ a 2 . Para determinar o campo fora do domı´nio onde ha´ correntes considere-se o contorno ABCDA indicado nas figuras 2.16 e 2.17, e a equac¸a˜o integral correspondente a` lei difer- encial (2.100): ∮ C B · dl = µ0 i , (2.101) onde i e´ a corrente que flui atrave´s de uma superf´ıcie que se apoia no contorno fechado C. Fora da regia˜o onde ha´ correntes o campo continua a ter a direcc¸a˜o de y, como se pode comprovar utilizando os mesmos argumentos de simetria expressos acima (que sa˜o os argumentos utilizados tambe´m no problema anterior). A circulac¸a˜o do campo de induc¸a˜o magne´tica ao longo de ABCDA e´ nula, pois i = 0. Por outro lado, a circulac¸a˜o ao longo de BC e de DA e´ zero, dado que o campo tem a direcc¸a˜o do eixo y e a circulac¸a˜o se faz ao longo do eixo x. Deste modo, a circulac¸a˜o do campo ao longo do lado AB tera´ de ser sime´trica da circulac¸a˜o ao longo do lado CD. Como estes lados teˆm igual comprimento, o campo B tera´ de ter o mesmo valor sobre cada um deles. Sendo arbitra´ria a distaˆncia a que cada um 38 • Campo electromagne´tico dos referidos segmentos se encontra do eixo y, podemos concluir que, fora da distribuic¸a˜o volume´trica de correntes, o campo B na˜o depende de y (em analogia com a situac¸a˜o do problema anterior). Como na˜o existe distribuic¸a˜o superficial de correntes, a componente tangencial do campo de induc¸a˜o magne´tica (de resto, a u´nica) na˜o tem descontinuidade nos planos x = ±a2 . Deste modo, o valor do campo nas regio˜es onde na˜o ha´ correntes e´ constante e igual ao seu valor para x = ±a2 . Em resumo B = −µ0 j0 a2 jˆ para x ≤ − a 2 B = µ0 j0 x jˆ para − a2 ≤ x ≤ a 2 B = µ0 j0 a 2 jˆ para x ≥ a 2 . 2.6.8 Cilindro carregado a rodar Questa˜o Um cilindro infinito de raio a tem distribu´ıda no seu interior uma densidade de carga uniforme, ρ. O cilindro roda em torno do seu eixo com velocidade angular constante, ω. Calcular o campo de induc¸a˜o magne´tica em todo o
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