Dimensionamento de Pilares em concreto Armado

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Dimensionamento de Pilares em concreto Armado 
 
À flexão composta reta (pilar sem informação de 
comprimento e momento fletor em 1 direção): 
 
Coeficiente para escolha da tabela para definição de “ω” 
 
� � ��� 
 
δ – coeficiente adimensional para determinar a tabela a ser 
consultada; 
d’ – distância do centro da barra do estribo até a face 
externa da seção do pilar (em “cm”); 
h – altura da seção transversal do pilar no sentido da 
análise das forças (em “cm”); 
 
 
Resistência característica de cálculo do concreto armado: 
 
��� � �
��	
� �
� 
 
fck – resistência característica do concreto a 28 dias (em “MPa”); 
fcd – resistência característica de cálculo do concreto (em “kN/cm²”); 
γc – fator de ponderação para o concreto (NBR-6118/2014); 
 
 
Resistência característica de cálculo do aço: 
 
��� � ��	
� 
 
fyk – resistência característica do aço (em “kN/cm²”); 
fyd – resistência característica de cálculo do aço (em “kN/cm²”); 
γs – fator de ponderação para o aço (NBR-6118/2014); 
 
 
Tensão característica de cálculo do concreto armado: 
 ��� � �, �� ∗ ��� 
 
σcd – tensão de resistência (em “kN/cm²”); 
fcd – resistência característica de cálculo do concreto (em “kN/cm²”); 
 
 
Força normal de cálculo atuante no pilar: 
 �� � �		�	
�	�	
� 
 
Nd - força normal majorada atuante na seção transversal do pilar (em “kN); 
Nk - força normal atuante na seção transversal do pilar (em “kN); 
γf – fator de ponderação para forças (NBR-6118/2014); 
γn – fator de ponderação para pilares com bw inferior a 19cm (NBR-6118/2014); 
 
 
Momento fletor de cálculo atuante no pilar (inferior e superior): 
 �� � �		�	
�	�	
� 
 
Md – momentos fletores majorados atuantes na seção transversal do pilar (em “kN); 
Mk - momentos fletores atuantes na seção transversal do pilar (em “kN); 
γc – fator de ponderação para o concreto (NBR-6118/2014); 
 
Sendo: 
 �� � (
, �� − �, ��	�	�) 
 
h – maior dimensão do pilar (em “cm); 
 
 
Coeficientes para consulta a tabela ou ábaco definida por “δ”: 
 
 � ��!" ∗ � ∗ ��� 
 #### – coeficiente adimensional para consulta em tabela definida pelo valor de δ; 
σcd – tensão de resistência (em “kN/cm²”); 
Nd - força normal majorada na seção transversal do pilar (em “kN); 
bw – base da seção transversal no sentido da análise das forças (em “cm”); 
h – altura da seção transversal no sentido da análise das forças (em “cm”); 
 
 
$ � ��!" ∗ �² ∗ ��� 
 
μ – coeficiente adimensional para consulta em tabela definida pelo valor de δ; 
σcd – tensão de resistência (em “kN/cm²”); 
Md – momentos fletores majorados atuantes na seção transversal do pilar (em “kN); 
bw – base da seção transversal no sentido da análise das forças (em “cm”); 
h – altura da seção transversal no sentido da análise das forças (em “cm”); 
 
 
Cálculo da área de armadura longitudinal do pilar (φL) 
 
&� � ' ∗ !" ∗ � ∗ ���	��� 
 
As – área de aço para escolha das barras (em “cm²”); ' – coeficiente adimensional extraído de tabela e definido por # e μ; 
bw – base da seção transversal no sentido da análise das forças (em “cm”); 
h – altura da seção transversal no sentido da análise das forças (em “cm”); 
σcd – tensão de resistência (em “kN/cm²”); 
fyd – resistência característica de cálculo do aço (em “kN/cm²”); 
φ 10,0mm A = 0,785 cm² (bitola mínima definida pela NBR-6118/2014) 
φ 12,5mm A = 1,227 cm² 
φ 16,0mm A = 2,011 cm² 
φ 20,0mm A = 3,142 cm² 
φ 25,0mm A = 4,909 cm² (bitola prática máxima indicada para obras de edificações comuns) 
φ 32,0mm A = 8,043 cm² 
φ 40,0mm A = 12,566 cm² 
 
 
Quantidade de barras: 
 
�() � &�&() 
 
Nφ – número de barras a utilizar – números iguais para ambos os lados do pilar; 
As – área de aço para escolha das barras (em “cm²”); 
Aφl – área da seção transversal por bitola (em “cm²”); 
 
 
Espaçamento entre as barras: 
 
 
* � !" − (+ ∗ ,�-.) − (+ ∗ (/) − (�() ∗ ())�() − 
 
 
 
eh ≤ 
 
 
 
 
 
 
 
e – espaçamento entre barras por face do pilar (em “cm”); 
bw– menor dimensão da seção transversal no sentido da análise das forças (em “cm”); 
Cnom – cobrimento nominal de concreto entre estribo e face externa do pilar (em “cm”); 
Nφl – número de barras a utilizar – números iguais para ambos os lados do pilar; 
φt – diâmetro nominal da bitola do estribo(em “cm”); 
φl – diâmetro nominal da bitola da armadura longitudinal definida pela As (em “cm”); 
As – área de aço para escolha das barras (em “cm²”); 
 
 
Dimensionamento a flexo compressão oblíqua (pilar com informação de comprimento e 
momento fletor em 2 direções) 
 
Coeficientes para escolha da tabela para definição de “ω” 
 
 � ��!" ∗ � ∗ ��� 
 
2 cm 
φl 
1,2 x maior diâmetro do agregado 
��� � �, � ∗ ��� 
Para momento fletor na direção x: 
 
$� � ���!" ∗ ��² ∗ ��� 
 
 
Para momento fletor na direção x: 
 
$� � ���!" ∗ ��² ∗ ��� 
 
 
Cálculo da área de armadura longitudinal do pilar (φl) 
 
Deverá ser calculada para cada direção do pilar 
 
&�� � ' ∗ !" ∗ � ∗ ���	��� 
 
&�� � ' ∗ !" ∗ � ∗ ���	��� 
 
Obs: Sendo as barras coincidentes sendo consideradas apenas uma. 
 
φ 10,0mm A = 0,785 cm² (bitola mínima definida pela NBR-6118/2014) 
φ 12,5mm A = 1,227 cm² 
φ 16,0mm A = 2,011 cm² 
φ 20,0mm A = 3,142 cm² 
φ 25,0mm A = 4,909 cm² (bitola prática máxima indicada para obras de edificações comuns) 
φ 32,0mm A = 8,043 cm² 
φ 40,0mm A = 12,566 cm² 
 
 
Armadura mínima do pilar 
 
&�,.0� � �, 
�	�	 � ������	 
As,min ≤ 0,004 x Ac 
 
As,mín – armadura mínima total do pilar (em “cm²”); 
Nd – força normal de cálculo atuante no pilar (em “kN”); 
fyd – resistência característica de cálculo do aço (em “kN/cm²”); 
 
 
Armadura máxima do pilar 
 &�,.1� � �, ��	�	(!"	�	�) 
 
As,max – armadura máxima total do pilar (em “cm²”); 
bw – menor dimensão do pilar (em “cm”); 
h – maior dimensão do pilar (em “cm”); 
ℓo + h 
ℓ 
Diâmetro máximo e mínimo da armadura longitudinal 
 
φlmín= 10mm 
 
φlmáx= 1/8 da menor dimensão 
 
 
Esquema de ordem de menor dimensão (bw) X maior dimensão (h) de acordo com o sentido 
das forças 
 
 
Cálculo de esforços de 2ª ordem 
 
Comprimento Equivalente 
 
 
 
 ℓ3 4	 
 
 
 
 
 
 
 
Valores para k de acordo com condições de extremidade do pilar: 
 
k=2 (para engaste livre); 
k=1 (birotulada – maioria dos casos); 
k=0,70 (rótula / engaste); 
k=0,50 (biengastado); 
 
ℓo + h 
ℓ 
Índice de Esbeltez 
 
5 � 	 ∗ 6*7 
 
λ – índice de esbeltez do pilar; 
k – coeficiente de acordo com as condições dos apoios do pilar (em geral 1); 
ℓe – vão equivalente do pilar; 
r – raio de giração do pilar 
 
 
7 � 8 9&� 
r – raio de giração do pilar 
I – momento de inércia do pilar (em “cm4”); 
Ac – área do concreto da seção transversal do pilar (em cm²”); 
 
 
9 � !"	�	�:
+ 
 
I – momento de inércia do pilar (em “cm4”); 
bw - base do pilar no sentido da inércia de cálculo (em “cm”); 
h – altura do pilar no sentido da inércia de cálculo (em “cm”); 
 
 &� � !"	�	� 
 
Ac – área do concreto da seção transversal do pilar (em cm²”); 
bw – menor dimensão do pilar no sentido da inércia de cálculo (em “cm”); 
h – altura do pilar no sentido da inércia de cálculo (em “cm”); 
 
 
Simplificação da equação somente para pilares retangulares 
 
5 � 6* ∗ √
+� 
 
λ – índice de esbeltez do pilar 
h – altura do pilar no sentido da inércia de cálculo (em “cm”); 
ℓe – vão equivalente do pilar (em “cm”); 
 
Classificação do pilar quanto ao grau de esbeltez 
 
λλλλ ≤ λλλλ1: pilares curtos 
λλλλ1 < λλλλ ≤ 90: pilares medianamente esbeltos 
90 < λλλλ ≤ 140: pilares esbeltos 
140 < λλλλ ≤ 200: pilares muito esbeltos 
 
 
 
Sendo “λλλλ1” a esbeltez limite expressapela equação abaixo: 
 
λλλλ
 � <+� = >
+, �	?	 @
ABCDEF
αααα! 
 
*0 � ���� 
 
λ1 – esbeltes limite; 
ei – excentricidade inicial (em “cm”); 
h – altura do pilar na direção da inércia calculada (em “cm”); 
 
Sendo ααααb conforme critérios abaixo: 
 
Para pilares biapoiados sem forças transversais atuantes: 
 
αααα! � �, G� = H�, I�	�	 @�&�JDK≥ 0,40 
 
Sendo: 
 
0,40 < ααααb ≤ 1,0 
 
MA – momento fletor de 1ª ordem atuando no extremo “A” do pilar (maior momento fletor 
absoluto); 
MB – momento fletor de 1ª ordem atuando no extremo oposto a “A” no pilar. (se no mesmo 
lado de “A” é positivo, se em lado oposto a “A” sendo negativo); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estribos do pilar 
 
Diâmetro (φt) 
 
φtmin = 5,0 mm 
φtmáx = ¼ * φt 
 
 
 
 
+ MA 
+ MB 
P
il
a
r 
+ MA 
- MB 
P
ila
r + 
- 
+ 
Espaçamento 
 
Mínimo 
 
 
etmín ≤ 
 
 
 
 
 
Máximo 
 
 
etmáx ≤ 
 
 
 
 
 
Estribos suplementares 
 
Região de proteção sem necessidade de estribos suplementares 
 
d = 20*φt 
 
A região de proteção somente comporta a barra de canto mais 2 barras seguintes. Deve 
ser feita a análise dos extremos do pilar para a parte interna. Os estribos suplementares são 
postos em gancho abrangendo uma armadura longitudinal de uma face do pilar a outra, 
conforme imagem abaixo. 
 
 
20 cm; 
Menor dimensão; 
24*φl para CA-25 ; 
12*φl para CA-50; 
40 cm 
2 * Menor dimensão 
 
Estribos suplementares