Função Logarítmica

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MATEMÁTICA
Prof. Me. Rondinelli Oliveira
LOGARITMO
A invenção dos logaritmos deve-se ao matemático escocês John Napier, barão de Merchiston (1550-1617), que se interessou fundamentalmente pelo cálculo numérico e pela trigonometria. Em 1614, e ao fim de 20 anos de trabalho, publicou a obra Mirifici Logarithmorum Canonis Descripíio, na qual explicou como se utilizam os logaritmos, mas não relatou o processo como chegou a eles. Um ano depois, em 1615, o matemático inglês Henry Briggs (1561-1631) visitou Napier e sugeriu-lhe a utilização da base 10. A ideia agradou Napier e eles resolveram elaborar as tábuas dos logaritmos decimais. Com a morte de Napier, Briggs concluiu o trabalho
DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
Definição: o Logaritmo de b na base a é o número ou expoente através do qual a base a deverá ser elevada para que o resultado seja b (no exemplo acima o resultado obtido é x)
Na prática
Exemplos:
a) 
b) 
c) 
d) 
01. (G1 - ifal 2016) Num determinado mês, a quantidade vendida de um certo produto, por dia, em uma loja, em função do dia do mês, é representada pela função Qual a quantidade vendida desse produto no dia desse mês? 
a) b) c) d) e) 
02. (Espm 2013) Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do país, dando origem a uma pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função onde P é a população no ano x, em milhares de habitantes. Considerando podemos concluir que a população dessa cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em meados do ano: 
a) 2005 b) 2002 c) 2011 d) 2007 e) 2004 
 
03. (Pucrs 2017) Uma turma de uma escola central de Porto Alegre recebeu a seguinte questão em sua primeira prova no Ensino Médio:
Um dos valores de que soluciona a equação é igual ao número de centros culturais localizados nas proximidades do centro da cidade. Esse número é 
a) b) c) d) e) 
04. (Uerj 2017) Uma calculadora tem duas teclas especiais, e Quando a tecla é digitada, o número que está no visor é substituído pelo logaritmo decimal desse número. Quando a tecla é digitada, o número do visor é multiplicado por 
Considere que uma pessoa digitou as teclas nesta ordem, e obteve no visor o número 
Nesse caso, o visor da calculadora mostrava inicialmente o seguinte número: 
a) b) c) d) e) 60
05. (Uerj 2016) Admita que a ordem de grandeza de uma medida é uma potência de base com expoente inteiro, para 
Considere que um terremoto tenha liberado uma energia em joules, cujo valor numérico é tal que 
A ordem de grandeza de em joules, equivale a: 
a) b) c) d) e) 
 
06. (Ucs 2016) Um equipamento é depreciado de tal forma que, anos após a compra, seu valor é dado por 
Dado: 
Se anos após a compra o equipamento estiver valendo então ele foi comprado por um valor, em reais, 
 
a) maior que 700.000 b) entre 600.000 e 700.000 
c) entre 500.000 e 600.000 d) entre 400.000 e 500.000 
e) menor que 400.000 
07. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2016) Uma pesquisa foi desenvolvida a partir de bactérias de uma cultura. Estimou-se então, de maneira aproximada, que, durante certo tempo, o aumento percentual do número de bactérias na cultura poderia ser obtido pela expressão em que é o tempo decorrido, em minutos, após o início da pesquisa, Nessas condições, ao fim da primeira hora da pesquisa, quantas bactérias havia em tal cultura? 
a) b) c) d) e) 575
08. (Enem 2016) Em 2011, um terremoto de magnitude na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por
sendo a energia, em liberada pelo terremoto e uma constante real positiva. Considere que e representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente.
Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 (adaptado).
Qual a relação entre e 
a) b) c) 
d) e) 
REGRAS e PROPRIEDADES LOGARÍTMICAS
P1) 
P2) 
P3) 
P4) 
P5) 
P6) 
P7) 
P8) 
P9) 
P10) 
P11) Logaritmo neperiano: 
P12) Equação Exponencial com bases distintas
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
09. (Eear 2017) Se e então ___. 
a) b) c) d) e) 0,9
 
10. (Usf 2016) O número de bactérias de uma determinada cultura pode ser modelado utilizando a função sendo o número de bactérias presentes na cultura e o tempo dado em horas a partir do início da observação. Aproximadamente, quantas horas serão necessárias para se observar bactérias nessa cultura? Considere 
a) 10 hs. b) 50 hs. c) 110 hs. d) 150 hs. e) 200 s. 
 
11. (Ufpr 2017) Suponha que a quantidade de um determinado medicamento no organismo horas após sua administração possa ser calculada pela fórmula:
sendo medido em miligramas, a expressão que fornece o tempo em função da quantidade de medicamento é: 
a) b) c) 
d) e) 
 
12. (Espcex (Aman) 2017) O número de bactérias de uma cultura é dado em função do tempo (em minutos), pela fórmula Considere o tempo (em minutos) necessário para que a cultura tenha bactérias é 
a) b) c) d) e) 
 
13. (Udesc 2016) No século XVII, os logaritmos foram desenvolvidos com o objetivo de facilitar alguns cálculos matemáticos. Com o uso dos logaritmos e com tabelas previamente elaboradas era possível, por exemplo, transformar multiplicações em somas e divisões em subtrações. Com o auxílio dos logaritmos era possível também realizar, de forma muito mais rápida, as operações de radiciação. 
A tabela abaixo é um pequeno exemplo do que era uma tabela de logaritmos.
	Tabela de logaritmos
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Com base nas informações da tabela acima, pode-se concluir que o valor aproximado para é: 
a) b) c) d) e) 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES (14 e 15): 
Utilize as informações a seguir para a(s) questão(ões) abaixo.
Informação I
A figura a seguir exibe parte do gráfico da função cujo domínio é . 
Informação II
Um carro, que no ato da compra vale tem uma desvalorização de ao ano. Ou seja, após um ano, o carro tem, a cada instante, um valor menor do que o valor que tinha exatamente um ano antes. 
14. (Insper 2015) Passados anos, o carro valerá cerca de 
a) b) c) 
d) e) 
15. (Insper 2015) Para que o carro perca do seu valor, é necessário que se passem 
a) entre 5 e 6 anos. b) entre 6 e 7 anos. c) entre 7 e 8 anos. 
d) entre 8 e 9 anos. e) entre 9 e 10 anos. 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Definição: é toda função , definida por com .
Gráfico de uma função .
A função logarítmica pode ser crescente ou decrescente, dependendo do valor da base (a).
(a) A função será crescente se 
(b) (a) A função será decrescente se 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
16. (Pucrs 2014) O modelo da cobertura que está sendo colocada no Estádio Beira-Rio está representado na figura abaixo.
Colocada devidamente em um plano cartesiano, é possível afirmar que, na forma em que está, a linha em destaque pode ser considerada uma restrição da representação da função dada por 
a) b) c) d) e) 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Leia o texto a seguir e responda à questão.
Um dos principais impactos das mudanças ambientais globais é o aumento da frequência e daintensidade de fenômenos extremos, que quando atingem áreas ou regiões habitadas pelo homem, causam danos. Responsáveis por perdas significativas de caráter social, econômico e ambiental, os desastres naturais são geralmente associados a terremotos, tsunamis, erupções vulcânicas, furacões, tornados, temporais, estiagens severas, ondas de calor etc.
(Disponível em: <www.inpe.br>. Acesso em: 20 maio 2015.) 
17. (Uel 2016) Em relação aos tremores de terra, a escala Richter atribui um número para quantificar sua magnitude. Por exemplo, o terremoto no Nepal, em 12 de maio de 2015, teve magnitude graus nessa escala. Sabendo-se que a magnitude de um terremoto pode ser descrita por uma função logarítmica, na qual representa a energia liberada pelo terremoto, em quilowatts-hora, assinale a alternativa que indica, corretamente, o gráfico dessa função. 
a) b) 
c) d) 
e) 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Escalas logarítmicas são usadas para facilitar a representação e a compreensão de grandezas que apresentam intervalos de variação excessivamente grandes. O pH, por exemplo, mede a acidez de uma solução numa escala que vai de a caso fosse utilizada diretamente a concentração do íon para fazer essa medida, teríamos uma escala bem pouco prática, variando de a 
Suponha que um economista, pensando nisso, tenha criado uma medida da renda dos habitantes de um país chamada Renda Comparativa definida por
em que é a renda, em dólares, de um habitante desse país e é o salário mínimo, em dólares, praticado no país. (Considere que a notação log indica logaritmo na base 
18. (Insper 2011) Dentre os gráficos abaixo, aquele que melhor representa a Renda Comparativa de um habitante desse país em função de sua renda, em dólares, é 
a) b) 
c) d) 
e) 
19. (ESPM-SP)A curva abaixo representa uma parte do gráfico da função f(x) = log2 (k · x), com k > 0.
A área da região sombreada vale: